↑

Properties

Label 30.0.88803681641...4375.1
Degree $30$
Signature $[0, 15]$
Discriminant $-\,3^{45}\cdot 5^{15}\cdot 11^{24}$
Root discriminant $79.12$
Ramified primes $3, 5, 11$
Class number $641542$ (GRH)
Class group $[11, 11, 5302]$ (GRH)
Galois group $C_{30}$ (as 30T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![437898889, -407179074, 895738962, -423386340, 986142570, -677157372, 854563813, -382359834, 410561139, -92677708, 111961041, -12472110, 27573775, 846300, 5617005, -1370448, 2221179, -678264, 448144, -88182, 41115, 1672, -675, 1314, 152, -48, 60, -30, 21, -6, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^30 - 6*x^29 + 21*x^28 - 30*x^27 + 60*x^26 - 48*x^25 + 152*x^24 + 1314*x^23 - 675*x^22 + 1672*x^21 + 41115*x^20 - 88182*x^19 + 448144*x^18 - 678264*x^17 + 2221179*x^16 - 1370448*x^15 + 5617005*x^14 + 846300*x^13 + 27573775*x^12 - 12472110*x^11 + 111961041*x^10 - 92677708*x^9 + 410561139*x^8 - 382359834*x^7 + 854563813*x^6 - 677157372*x^5 + 986142570*x^4 - 423386340*x^3 + 895738962*x^2 - 407179074*x + 437898889)
 
gp: K = bnfinit(x^30 - 6*x^29 + 21*x^28 - 30*x^27 + 60*x^26 - 48*x^25 + 152*x^24 + 1314*x^23 - 675*x^22 + 1672*x^21 + 41115*x^20 - 88182*x^19 + 448144*x^18 - 678264*x^17 + 2221179*x^16 - 1370448*x^15 + 5617005*x^14 + 846300*x^13 + 27573775*x^12 - 12472110*x^11 + 111961041*x^10 - 92677708*x^9 + 410561139*x^8 - 382359834*x^7 + 854563813*x^6 - 677157372*x^5 + 986142570*x^4 - 423386340*x^3 + 895738962*x^2 - 407179074*x + 437898889, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{30} - 6 x^{29} + 21 x^{28} - 30 x^{27} + 60 x^{26} - 48 x^{25} + 152 x^{24} + 1314 x^{23} - 675 x^{22} + 1672 x^{21} + 41115 x^{20} - 88182 x^{19} + 448144 x^{18} - 678264 x^{17} + 2221179 x^{16} - 1370448 x^{15} + 5617005 x^{14} + 846300 x^{13} + 27573775 x^{12} - 12472110 x^{11} + 111961041 x^{10} - 92677708 x^{9} + 410561139 x^{8} - 382359834 x^{7} + 854563813 x^{6} - 677157372 x^{5} + 986142570 x^{4} - 423386340 x^{3} + 895738962 x^{2} - 407179074 x + 437898889 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $30$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 15]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(-888036816414409452791555204508727769663016716400146484375=-\,3^{45}\cdot 5^{15}\cdot 11^{24}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $79.12$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 5, 11$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(495=3^{2}\cdot 5\cdot 11\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{495}(256,·)$, $\chi_{495}(1,·)$, $\chi_{495}(196,·)$, $\chi_{495}(389,·)$, $\chi_{495}(449,·)$, $\chi_{495}(136,·)$, $\chi_{495}(331,·)$, $\chi_{495}(269,·)$, $\chi_{495}(14,·)$, $\chi_{495}(16,·)$, $\chi_{495}(466,·)$, $\chi_{495}(344,·)$, $\chi_{495}(89,·)$, $\chi_{495}(346,·)$, $\chi_{495}(91,·)$, $\chi_{495}(284,·)$, $\chi_{495}(31,·)$, $\chi_{495}(224,·)$, $\chi_{495}(419,·)$, $\chi_{495}(421,·)$, $\chi_{495}(166,·)$, $\chi_{495}(104,·)$, $\chi_{495}(361,·)$, $\chi_{495}(301,·)$, $\chi_{495}(434,·)$, $\chi_{495}(179,·)$, $\chi_{495}(181,·)$, $\chi_{495}(119,·)$, $\chi_{495}(59,·)$, $\chi_{495}(254,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $\frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{18} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{19} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{20} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{2} a^{21} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3}$, $\frac{1}{2} a^{22} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{23} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{24} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{34} a^{25} - \frac{4}{17} a^{24} - \frac{1}{34} a^{23} - \frac{1}{17} a^{22} + \frac{5}{34} a^{21} + \frac{1}{34} a^{20} - \frac{7}{34} a^{19} - \frac{2}{17} a^{18} - \frac{7}{34} a^{17} + \frac{1}{17} a^{16} + \frac{4}{17} a^{15} - \frac{15}{34} a^{14} - \frac{3}{17} a^{13} + \frac{5}{17} a^{12} + \frac{6}{17} a^{11} + \frac{6}{17} a^{9} - \frac{1}{34} a^{8} + \frac{7}{17} a^{7} + \frac{13}{34} a^{6} - \frac{2}{17} a^{5} + \frac{1}{34} a^{4} - \frac{3}{17} a^{3} - \frac{3}{34} a^{2} + \frac{4}{17} a + \frac{1}{17}$, $\frac{1}{3706} a^{26} + \frac{21}{3706} a^{25} - \frac{505}{3706} a^{24} + \frac{333}{1853} a^{23} - \frac{19}{3706} a^{22} + \frac{537}{3706} a^{21} + \frac{300}{1853} a^{20} - \frac{282}{1853} a^{19} - \frac{497}{3706} a^{18} + \frac{316}{1853} a^{17} + \frac{219}{3706} a^{16} - \frac{121}{1853} a^{15} - \frac{484}{1853} a^{14} - \frac{388}{1853} a^{13} + \frac{389}{1853} a^{12} - \frac{553}{3706} a^{11} - \frac{912}{1853} a^{10} + \frac{1333}{3706} a^{9} + \frac{1753}{3706} a^{8} - \frac{1621}{3706} a^{7} - \frac{638}{1853} a^{6} + \frac{274}{1853} a^{5} - \frac{337}{1853} a^{4} - \frac{828}{1853} a^{3} - \frac{1371}{3706} a^{2} - \frac{291}{1853} a + \frac{1}{34}$, $\frac{1}{3706} a^{27} + \frac{35}{3706} a^{25} - \frac{283}{3706} a^{24} - \frac{81}{1853} a^{23} + \frac{827}{3706} a^{22} - \frac{213}{3706} a^{21} + \frac{394}{1853} a^{20} + \frac{387}{1853} a^{19} - \frac{267}{3706} a^{18} + \frac{463}{3706} a^{17} + \frac{827}{3706} a^{16} + \frac{422}{1853} a^{15} + \frac{1131}{3706} a^{14} + \frac{35}{1853} a^{13} + \frac{331}{3706} a^{12} - \frac{675}{3706} a^{11} + \frac{362}{1853} a^{10} - \frac{1497}{3706} a^{9} - \frac{251}{1853} a^{8} + \frac{87}{1853} a^{7} + \frac{592}{1853} a^{6} - \frac{641}{1853} a^{5} - \frac{1345}{3706} a^{4} + \frac{1577}{3706} a^{3} - \frac{338}{1853} a^{2} - \frac{6}{109} a - \frac{3}{34}$, $\frac{1}{737494} a^{28} - \frac{67}{737494} a^{27} - \frac{45}{368747} a^{26} + \frac{5058}{368747} a^{25} - \frac{28057}{737494} a^{24} + \frac{2021}{21691} a^{23} - \frac{128457}{737494} a^{22} - \frac{18185}{368747} a^{21} + \frac{114413}{737494} a^{20} + \frac{34943}{737494} a^{19} + \frac{67179}{737494} a^{18} - \frac{53725}{368747} a^{17} + \frac{50713}{737494} a^{16} + \frac{1641}{368747} a^{15} + \frac{20441}{737494} a^{14} + \frac{71554}{368747} a^{13} - \frac{172212}{368747} a^{12} - \frac{78168}{368747} a^{11} - \frac{125024}{368747} a^{10} - \frac{120941}{368747} a^{9} - \frac{33635}{368747} a^{8} + \frac{755}{368747} a^{7} - \frac{240153}{737494} a^{6} + \frac{20832}{368747} a^{5} - \frac{172103}{368747} a^{4} + \frac{341991}{737494} a^{3} + \frac{109207}{737494} a^{2} + \frac{101742}{368747} a + \frac{791}{3383}$, $\frac{1}{6908484439211469039114680205482171132450719674240038710866679184558370075062235701419908858358038496994460179434625882156898949414} a^{29} + \frac{3805130749713234660787868401549506978744652130559155151063481069043054766975424600345408085248355851397516221551585890447093}{6908484439211469039114680205482171132450719674240038710866679184558370075062235701419908858358038496994460179434625882156898949414} a^{28} + \frac{245614204233042632446848897734648937956665177011720476695825598444376577922939214135436667458158586700552705786408462752011098}{3454242219605734519557340102741085566225359837120019355433339592279185037531117850709954429179019248497230089717312941078449474707} a^{27} + \frac{269300751842368004993766597593839619173945931641452305413965192893661181089354903170449044450132465959786974624335594656164309}{6908484439211469039114680205482171132450719674240038710866679184558370075062235701419908858358038496994460179434625882156898949414} a^{26} - \frac{40628770567283963849348130316966123015210454094769415375153726491737628575363280565129785258352874863904291750883698009701141073}{6908484439211469039114680205482171132450719674240038710866679184558370075062235701419908858358038496994460179434625882156898949414} a^{25} - \frac{767482065074948050844694992369156456052343127959371849795592346357810144429694165244340747637928800365272587832675206496433101453}{6908484439211469039114680205482171132450719674240038710866679184558370075062235701419908858358038496994460179434625882156898949414} a^{24} + \frac{576001923354013707754995638127114403391173567736669390108194755516873903754072869585641652140903517947329451248490546962438098707}{3454242219605734519557340102741085566225359837120019355433339592279185037531117850709954429179019248497230089717312941078449474707} a^{23} - \frac{480311096318089185897984405328159191560101606026223377125389001691808094805128017088330719093398392585088783799399535075500077843}{6908484439211469039114680205482171132450719674240038710866679184558370075062235701419908858358038496994460179434625882156898949414} a^{22} + \frac{257366761467457191463420741025823245582236426835202963869301501307183240795545120389047162562312494598670402878138737258653837920}{3454242219605734519557340102741085566225359837120019355433339592279185037531117850709954429179019248497230089717312941078449474707} a^{21} + \frac{1174188053454807596989599184621754972862724974974314890221142964073060614478909494764034297430403361977766944747331327541680968457}{6908484439211469039114680205482171132450719674240038710866679184558370075062235701419908858358038496994460179434625882156898949414} a^{20} + \frac{753433302850058781308380847441332083787726761197568512136354446719866473638794919239035227978351714188780856111511800880178381831}{6908484439211469039114680205482171132450719674240038710866679184558370075062235701419908858358038496994460179434625882156898949414} a^{19} - \frac{831860862733459504108117187197546644854877245211100863026470399768193855180027535624999595030789846236634614697562707530441957939}{6908484439211469039114680205482171132450719674240038710866679184558370075062235701419908858358038496994460179434625882156898949414} a^{18} - \frac{94089410637593400347089553865075804167182850267111013555715247996157452423107561721105107072578327520421499543624821736272050687}{3454242219605734519557340102741085566225359837120019355433339592279185037531117850709954429179019248497230089717312941078449474707} a^{17} - \frac{19205065570847773651793270870505699784010675860256427510751894320825152392641616607053532223641913772865247091942488785989531341}{406381437600674649359687070910715948967689392602355218286275246150492357356602100083524050491649323352615304672625051891582291142} a^{16} + \frac{855269544086984883078651491478224410208163521959020266974628503355274850924202635314285797544426829209703599938064378456848964686}{3454242219605734519557340102741085566225359837120019355433339592279185037531117850709954429179019248497230089717312941078449474707} a^{15} - \frac{159767982775299181726772109612475648662606469982272613662877227796130108502966667920844693948561086578932895356615011294992569675}{6908484439211469039114680205482171132450719674240038710866679184558370075062235701419908858358038496994460179434625882156898949414} a^{14} + \frac{45721913474243144727229301539149303753975886920538065790760469471087868097981604935630769001172355593260613348707203868718957367}{3454242219605734519557340102741085566225359837120019355433339592279185037531117850709954429179019248497230089717312941078449474707} a^{13} - \frac{2909828767836297716977601394626921573583530617638462142682812765547120387391627275738331479443239169908457398307094488642411307291}{6908484439211469039114680205482171132450719674240038710866679184558370075062235701419908858358038496994460179434625882156898949414} a^{12} + \frac{1339735995975485595968682135660405704751937685529377106658915455625429666107139992795727038203429532467216015301508398745936538639}{3454242219605734519557340102741085566225359837120019355433339592279185037531117850709954429179019248497230089717312941078449474707} a^{11} - \frac{480779989072224850867675292378739480523238230895998872308285860270220948378714482808236501601984797542794740152344392599884465513}{3454242219605734519557340102741085566225359837120019355433339592279185037531117850709954429179019248497230089717312941078449474707} a^{10} - \frac{1947430871686748844532728766079050600514291522699502619916582510958824337689575577506386260381050852112177124499321707406526183531}{6908484439211469039114680205482171132450719674240038710866679184558370075062235701419908858358038496994460179434625882156898949414} a^{9} - \frac{186478105184195815888113147656679454138215068908266412094285814430722907653439311243072065629845587484445463871971429835233057511}{3454242219605734519557340102741085566225359837120019355433339592279185037531117850709954429179019248497230089717312941078449474707} a^{8} + \frac{1686582678291920313924480945803174487594847464417805169060457701776981420429685834980758048508547494285874628578135850853566547865}{3454242219605734519557340102741085566225359837120019355433339592279185037531117850709954429179019248497230089717312941078449474707} a^{7} + \frac{3002304126767164042450386785843892231378516014027588881234465955822169130302191979062476617604486398165105330389244080388214991297}{6908484439211469039114680205482171132450719674240038710866679184558370075062235701419908858358038496994460179434625882156898949414} a^{6} + \frac{407977645997835962595802458694017898698503725712469995528269900069851577295347122295325707330455772028421316883282045265206498433}{3454242219605734519557340102741085566225359837120019355433339592279185037531117850709954429179019248497230089717312941078449474707} a^{5} + \frac{951159851011444462896661264590143816549244371919197981235908043607898105580291222934372073342848498195078294692736204889556948839}{6908484439211469039114680205482171132450719674240038710866679184558370075062235701419908858358038496994460179434625882156898949414} a^{4} - \frac{1151449536281303457956869033336718934743900515597345160363051100189190073227638724568868688812059982307648619609906754642849452153}{6908484439211469039114680205482171132450719674240038710866679184558370075062235701419908858358038496994460179434625882156898949414} a^{3} + \frac{262571930060304576022932813477175553824227709482293618821035733552445498043052424629697560471874744614002231053966878056250194108}{3454242219605734519557340102741085566225359837120019355433339592279185037531117850709954429179019248497230089717312941078449474707} a^{2} + \frac{38386013901664414590122202572070288449855531296168753843124500646392508145950895064668681430774156004478234673286939461879725627}{406381437600674649359687070910715948967689392602355218286275246150492357356602100083524050491649323352615304672625051891582291142} a - \frac{57306352236507074812081584959000616227698236010219872740176716897483772239137293499891896993267730086152054066385716814562847}{160864444633061729593319056617197669921546120109906364058740725202774881829791731509800886190984922856481632269236387140988659}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

$C_{11}\times C_{11}\times C_{5302}$, which has order $641542$ (assuming GRH)

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $14$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  \( 15853905121.091976 \) (assuming GRH)
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{30}$ (as 30T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 30
The 30 conjugacy class representatives for $C_{30}$
Character table for $C_{30}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-15}) \), \(\Q(\zeta_{9})^+\), \(\Q(\zeta_{11})^+\), 6.0.2460375.1, 10.0.162778775259375.1, 15.15.10943023107606534329121.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $15^{2}$ R R $30$ R $30$ ${\href{/LocalNumberField/17.5.0.1}{5} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/19.5.0.1}{5} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/23.3.0.1}{3} }^{10}$ $30$ $15^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/37.10.0.1}{10} }^{3}$ $30$ ${\href{/LocalNumberField/43.6.0.1}{6} }^{5}$ $15^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/53.5.0.1}{5} }^{6}$ $30$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
5Data not computed
11Data not computed