Normalized defining polynomial
\( x^{30} - x^{29} + 13 x^{28} - 4 x^{27} + 138 x^{26} + 83 x^{25} + 1481 x^{24} - 6544 x^{23} + \cdots + 15625 \)
Invariants
| Degree: | $30$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[0, 15]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(-832015950863087654302330210882647132596170473948590696647\)
\(\medspace = -\,7^{25}\cdot 31^{24}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(78.95\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $7^{5/6}31^{4/5}\approx 78.94737999029167$ | ||
| Ramified primes: |
\(7\), \(31\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{-7}) \) | ||
| $\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $30$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
| Conductor: | \(217=7\cdot 31\) | ||
| Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{217}(128,·)$, $\chi_{217}(1,·)$, $\chi_{217}(2,·)$, $\chi_{217}(4,·)$, $\chi_{217}(97,·)$, $\chi_{217}(8,·)$, $\chi_{217}(202,·)$, $\chi_{217}(66,·)$, $\chi_{217}(194,·)$, $\chi_{217}(16,·)$, $\chi_{217}(78,·)$, $\chi_{217}(132,·)$, $\chi_{217}(156,·)$, $\chi_{217}(157,·)$, $\chi_{217}(94,·)$, $\chi_{217}(159,·)$, $\chi_{217}(32,·)$, $\chi_{217}(33,·)$, $\chi_{217}(163,·)$, $\chi_{217}(101,·)$, $\chi_{217}(39,·)$, $\chi_{217}(64,·)$, $\chi_{217}(95,·)$, $\chi_{217}(171,·)$, $\chi_{217}(109,·)$, $\chi_{217}(47,·)$, $\chi_{217}(187,·)$, $\chi_{217}(188,·)$, $\chi_{217}(125,·)$, $\chi_{217}(190,·)$$\rbrace$ | ||
| This is a CM field. | |||
| Reflex fields: | unavailable$^{16384}$ | ||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $\frac{1}{5}a^{19}+\frac{2}{5}a^{18}+\frac{1}{5}a^{15}+\frac{2}{5}a^{14}+\frac{2}{5}a^{12}+\frac{2}{5}a^{10}+\frac{2}{5}a^{8}+\frac{2}{5}a^{6}-\frac{1}{5}a^{5}+\frac{2}{5}a^{2}-\frac{1}{5}a$, $\frac{1}{5}a^{20}+\frac{1}{5}a^{18}+\frac{1}{5}a^{16}+\frac{1}{5}a^{14}+\frac{2}{5}a^{13}+\frac{1}{5}a^{12}+\frac{2}{5}a^{11}+\frac{1}{5}a^{10}+\frac{2}{5}a^{9}+\frac{1}{5}a^{8}+\frac{2}{5}a^{7}+\frac{2}{5}a^{5}+\frac{2}{5}a^{3}+\frac{2}{5}a$, $\frac{1}{5}a^{21}-\frac{2}{5}a^{18}+\frac{1}{5}a^{17}+\frac{1}{5}a^{13}+\frac{1}{5}a^{11}+\frac{1}{5}a^{9}+\frac{1}{5}a^{5}+\frac{2}{5}a^{4}+\frac{1}{5}a$, $\frac{1}{5}a^{22}+\frac{2}{5}a^{15}-\frac{1}{5}a^{8}-\frac{2}{5}a$, $\frac{1}{5}a^{23}+\frac{2}{5}a^{16}-\frac{1}{5}a^{9}-\frac{2}{5}a^{2}$, $\frac{1}{5}a^{24}+\frac{2}{5}a^{17}-\frac{1}{5}a^{10}-\frac{2}{5}a^{3}$, $\frac{1}{12\!\cdots\!15}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!15}a^{24}+\frac{22\!\cdots\!21}{24\!\cdots\!23}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!14}{12\!\cdots\!15}a^{22}-\frac{47\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!15}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!94}{12\!\cdots\!15}a^{20}-\frac{60\!\cdots\!93}{12\!\cdots\!15}a^{19}-\frac{36\!\cdots\!76}{12\!\cdots\!15}a^{18}+\frac{55\!\cdots\!82}{12\!\cdots\!15}a^{17}+\frac{77\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!15}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!09}{12\!\cdots\!15}a^{15}+\frac{78\!\cdots\!38}{24\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!56}{12\!\cdots\!15}a^{13}+\frac{35\!\cdots\!71}{24\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{69\!\cdots\!05}{24\!\cdots\!23}a^{11}+\frac{42\!\cdots\!91}{12\!\cdots\!15}a^{10}-\frac{31\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!15}a^{9}-\frac{36\!\cdots\!86}{12\!\cdots\!15}a^{8}+\frac{25\!\cdots\!62}{12\!\cdots\!15}a^{7}+\frac{96\!\cdots\!74}{12\!\cdots\!15}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!15}a^{5}-\frac{36\!\cdots\!04}{12\!\cdots\!15}a^{4}+\frac{34\!\cdots\!79}{12\!\cdots\!15}a^{3}+\frac{46\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!15}a^{2}-\frac{58\!\cdots\!03}{12\!\cdots\!15}a-\frac{40\!\cdots\!00}{24\!\cdots\!23}$, $\frac{1}{60\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{1}{60\!\cdots\!75}a^{25}+\frac{27\!\cdots\!03}{60\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{91\!\cdots\!21}{60\!\cdots\!75}a^{23}-\frac{45\!\cdots\!52}{60\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{43\!\cdots\!27}{60\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!09}{60\!\cdots\!75}a^{20}-\frac{30\!\cdots\!84}{60\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{28\!\cdots\!16}{60\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{89\!\cdots\!71}{60\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{28\!\cdots\!27}{60\!\cdots\!75}a^{16}-\frac{81\!\cdots\!34}{24\!\cdots\!23}a^{15}+\frac{69\!\cdots\!84}{60\!\cdots\!75}a^{14}+\frac{25\!\cdots\!51}{12\!\cdots\!15}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!72}{60\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!26}{60\!\cdots\!75}a^{11}-\frac{80\!\cdots\!84}{60\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{20\!\cdots\!94}{60\!\cdots\!75}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!11}{60\!\cdots\!75}a^{8}-\frac{30\!\cdots\!73}{60\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!63}{60\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!86}{60\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!93}{60\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!86}{60\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{99\!\cdots\!04}{60\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!79}{24\!\cdots\!23}a-\frac{52\!\cdots\!09}{24\!\cdots\!23}$, $\frac{1}{30\!\cdots\!75}a^{27}-\frac{1}{30\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{12}{30\!\cdots\!75}a^{25}+\frac{20\!\cdots\!96}{30\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{19\!\cdots\!63}{30\!\cdots\!75}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!67}{30\!\cdots\!75}a^{22}+\frac{76\!\cdots\!31}{30\!\cdots\!75}a^{21}+\frac{27\!\cdots\!81}{30\!\cdots\!75}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!09}{30\!\cdots\!75}a^{19}-\frac{98\!\cdots\!66}{30\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!12}{30\!\cdots\!75}a^{17}+\frac{98\!\cdots\!59}{60\!\cdots\!75}a^{16}-\frac{77\!\cdots\!71}{30\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{56\!\cdots\!29}{60\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{93\!\cdots\!52}{30\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!09}{30\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{42\!\cdots\!26}{30\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{27\!\cdots\!59}{30\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{39\!\cdots\!34}{30\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!68}{30\!\cdots\!75}a^{8}-\frac{55\!\cdots\!32}{30\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!89}{30\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{55\!\cdots\!37}{30\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{32\!\cdots\!79}{30\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{73\!\cdots\!51}{30\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{29\!\cdots\!94}{60\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{63\!\cdots\!91}{24\!\cdots\!23}a+\frac{11\!\cdots\!96}{24\!\cdots\!23}$, $\frac{1}{15\!\cdots\!75}a^{28}-\frac{1}{15\!\cdots\!75}a^{27}-\frac{12}{15\!\cdots\!75}a^{26}+\frac{21}{15\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!62}{15\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!58}{15\!\cdots\!75}a^{23}-\frac{21\!\cdots\!44}{15\!\cdots\!75}a^{22}+\frac{54\!\cdots\!06}{15\!\cdots\!75}a^{21}+\frac{56\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!75}a^{19}-\frac{47\!\cdots\!62}{15\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!51}{30\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{71\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{64\!\cdots\!74}{30\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{26\!\cdots\!73}{15\!\cdots\!75}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!91}{15\!\cdots\!75}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!75}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!75}a^{11}-\frac{51\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{69\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{30\!\cdots\!32}{15\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{92\!\cdots\!64}{15\!\cdots\!75}a^{7}-\frac{31\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!75}a^{6}+\frac{38\!\cdots\!46}{15\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{52\!\cdots\!76}{15\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{84\!\cdots\!74}{30\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!86}{24\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!42}{12\!\cdots\!15}a-\frac{98\!\cdots\!44}{24\!\cdots\!23}$, $\frac{1}{76\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{1}{76\!\cdots\!75}a^{28}-\frac{12}{76\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{21}{76\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{187}{76\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{47\!\cdots\!42}{76\!\cdots\!75}a^{24}-\frac{20\!\cdots\!94}{76\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{18\!\cdots\!31}{76\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{45\!\cdots\!59}{76\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!41}{76\!\cdots\!75}a^{20}-\frac{38\!\cdots\!87}{76\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{67\!\cdots\!74}{15\!\cdots\!75}a^{18}+\frac{93\!\cdots\!79}{76\!\cdots\!75}a^{17}+\frac{54\!\cdots\!74}{15\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{38\!\cdots\!98}{76\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{28\!\cdots\!91}{76\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{28\!\cdots\!49}{76\!\cdots\!75}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!34}{76\!\cdots\!75}a^{12}-\frac{23\!\cdots\!84}{76\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{22\!\cdots\!07}{76\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!43}{76\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{29\!\cdots\!86}{76\!\cdots\!75}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!62}{76\!\cdots\!75}a^{7}-\frac{77\!\cdots\!04}{76\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!24}{76\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{42\!\cdots\!76}{15\!\cdots\!75}a^{4}-\frac{20\!\cdots\!72}{60\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{42\!\cdots\!04}{12\!\cdots\!15}a^{2}-\frac{35\!\cdots\!84}{12\!\cdots\!15}a+\frac{47\!\cdots\!67}{24\!\cdots\!23}$
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
$C_{23771}$, which has order $23771$ (assuming GRH)
Unit group
| Rank: | $14$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -\frac{1761335410116761735487}{152437075483322922766451875} a^{29} + \frac{1845208524884226580034}{152437075483322922766451875} a^{28} - \frac{22561867872448043183143}{152437075483322922766451875} a^{27} + \frac{7716326558606765698324}{152437075483322922766451875} a^{26} - \frac{237946267856495355489839}{152437075483322922766451875} a^{25} - \frac{1090350491977042979111}{1219496603866583382131615} a^{24} - \frac{2543703824667673805421416}{152437075483322922766451875} a^{23} + \frac{2337040469880640428457608}{30487415096664584553290375} a^{22} - \frac{1824743484880965157964532}{6097483019332916910658075} a^{21} + \frac{130018592796458187649557554}{152437075483322922766451875} a^{20} - \frac{428827216041127164383502523}{152437075483322922766451875} a^{19} + \frac{1032077671990873306759753536}{152437075483322922766451875} a^{18} - \frac{3460436885202949788855281453}{152437075483322922766451875} a^{17} + \frac{6938259492873588295477332348}{152437075483322922766451875} a^{16} - \frac{13407940861820042370681712446}{152437075483322922766451875} a^{15} + \frac{24462167362416787069274717839}{152437075483322922766451875} a^{14} - \frac{8918563198571803407806786171}{30487415096664584553290375} a^{13} + \frac{66935991176780732734813658474}{152437075483322922766451875} a^{12} - \frac{109641215965431851117976862159}{152437075483322922766451875} a^{11} + \frac{18987920300897167637341901533}{152437075483322922766451875} a^{10} - \frac{6581627402338392775475172827}{152437075483322922766451875} a^{9} + \frac{5385499744560558135409811948}{152437075483322922766451875} a^{8} - \frac{1961550515967357647737190093}{152437075483322922766451875} a^{7} + \frac{1070989809275924766649682349}{152437075483322922766451875} a^{6} + \frac{25584906548011778575150521}{30487415096664584553290375} a^{5} - \frac{2869491987737332359296048558}{152437075483322922766451875} a^{4} + \frac{47220563614082707479961}{1219496603866583382131615} a^{3} + \frac{105009139688865985372844}{243899320773316676426323} a^{2} - \frac{7129214755234511786495}{243899320773316676426323} a + \frac{25161934430239453364100}{243899320773316676426323} \)
(order $14$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{29\!\cdots\!67}{15\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{75\!\cdots\!74}{15\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{36\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{17\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!75}a^{26}+\frac{40\!\cdots\!74}{15\!\cdots\!75}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!39}{30\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{46\!\cdots\!46}{15\!\cdots\!75}a^{23}-\frac{32\!\cdots\!23}{30\!\cdots\!75}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!11}{30\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{57\!\cdots\!08}{15\!\cdots\!75}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!26}{15\!\cdots\!75}a^{18}+\frac{46\!\cdots\!28}{15\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{74\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!75}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!75}a^{14}+\frac{93\!\cdots\!86}{30\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{61\!\cdots\!54}{15\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{97\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!82}{15\!\cdots\!75}a^{9}+\frac{23\!\cdots\!12}{15\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!23}{15\!\cdots\!75}a^{7}-\frac{92\!\cdots\!34}{15\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!61}{30\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!57}{30\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{25\!\cdots\!03}{60\!\cdots\!75}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!15}a-\frac{22\!\cdots\!00}{24\!\cdots\!23}$, $\frac{17\!\cdots\!62}{15\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{17\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{22\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!75}a^{27}-\frac{62\!\cdots\!74}{15\!\cdots\!75}a^{26}+\frac{23\!\cdots\!14}{15\!\cdots\!75}a^{25}+\frac{60\!\cdots\!92}{60\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{25\!\cdots\!91}{15\!\cdots\!75}a^{23}-\frac{22\!\cdots\!23}{30\!\cdots\!75}a^{22}+\frac{71\!\cdots\!07}{24\!\cdots\!23}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{42\!\cdots\!98}{15\!\cdots\!75}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!61}{15\!\cdots\!75}a^{18}+\frac{34\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{67\!\cdots\!48}{15\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!46}{15\!\cdots\!75}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!39}{15\!\cdots\!75}a^{14}+\frac{88\!\cdots\!61}{30\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{66\!\cdots\!49}{15\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!75}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{53\!\cdots\!73}{15\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!75}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!99}{15\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{25\!\cdots\!96}{30\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{28\!\cdots\!58}{15\!\cdots\!75}a^{4}-\frac{46\!\cdots\!36}{12\!\cdots\!15}a^{3}+\frac{24\!\cdots\!28}{60\!\cdots\!75}a^{2}+\frac{70\!\cdots\!70}{24\!\cdots\!23}a-\frac{24\!\cdots\!75}{24\!\cdots\!23}$, $\frac{58\!\cdots\!58}{12\!\cdots\!15}a^{29}-\frac{52\!\cdots\!07}{12\!\cdots\!15}a^{22}-\frac{45\!\cdots\!74}{12\!\cdots\!15}a^{15}-\frac{63\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!15}a^{8}+\frac{49\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!15}a$, $\frac{74\!\cdots\!64}{30\!\cdots\!75}a^{29}+\frac{55\!\cdots\!73}{30\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{83\!\cdots\!98}{30\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{13\!\cdots\!37}{30\!\cdots\!75}a^{26}+\frac{97\!\cdots\!08}{30\!\cdots\!75}a^{25}+\frac{23\!\cdots\!26}{30\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!09}{30\!\cdots\!75}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!16}{12\!\cdots\!15}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!84}{30\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{21\!\cdots\!24}{30\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{87\!\cdots\!78}{30\!\cdots\!75}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!47}{30\!\cdots\!75}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!24}{60\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{40\!\cdots\!17}{30\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{74\!\cdots\!24}{30\!\cdots\!75}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!66}{60\!\cdots\!75}a^{14}+\frac{65\!\cdots\!19}{12\!\cdots\!15}a^{13}+\frac{30\!\cdots\!81}{30\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{79\!\cdots\!42}{24\!\cdots\!23}a^{11}+\frac{68\!\cdots\!07}{30\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{59\!\cdots\!31}{30\!\cdots\!75}a^{9}+\frac{21\!\cdots\!73}{30\!\cdots\!75}a^{8}-\frac{46\!\cdots\!16}{30\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{77\!\cdots\!87}{30\!\cdots\!75}a^{6}+\frac{51\!\cdots\!73}{60\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{68\!\cdots\!17}{12\!\cdots\!15}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!33}{30\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{31\!\cdots\!85}{24\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{62\!\cdots\!00}{24\!\cdots\!23}a+\frac{77\!\cdots\!25}{24\!\cdots\!23}$, $\frac{21\!\cdots\!18}{15\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{26\!\cdots\!18}{15\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{27\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!75}a^{27}-\frac{14\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!75}a^{26}+\frac{28\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!75}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!44}{15\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{30\!\cdots\!08}{15\!\cdots\!75}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!42}{15\!\cdots\!75}a^{22}+\frac{57\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!38}{15\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{54\!\cdots\!34}{15\!\cdots\!75}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!23}{30\!\cdots\!75}a^{18}+\frac{44\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!83}{30\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!75}a^{15}-\frac{32\!\cdots\!12}{15\!\cdots\!75}a^{14}+\frac{59\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{91\!\cdots\!38}{15\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!75}a^{11}-\frac{50\!\cdots\!24}{15\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!49}{15\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{22\!\cdots\!73}{15\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{46\!\cdots\!34}{15\!\cdots\!75}a^{7}-\frac{34\!\cdots\!72}{15\!\cdots\!75}a^{6}+\frac{24\!\cdots\!18}{15\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{65\!\cdots\!72}{30\!\cdots\!75}a^{4}-\frac{74\!\cdots\!08}{12\!\cdots\!15}a^{3}-\frac{31\!\cdots\!07}{24\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!76}{12\!\cdots\!15}a-\frac{75\!\cdots\!75}{24\!\cdots\!23}$, $\frac{29\!\cdots\!53}{24\!\cdots\!23}a^{29}-\frac{26\!\cdots\!24}{12\!\cdots\!15}a^{28}+\frac{82\!\cdots\!92}{12\!\cdots\!15}a^{27}-\frac{28\!\cdots\!74}{12\!\cdots\!15}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!09}{12\!\cdots\!15}a^{25}-\frac{30\!\cdots\!63}{12\!\cdots\!15}a^{24}-\frac{48\!\cdots\!76}{12\!\cdots\!15}a^{23}-\frac{48\!\cdots\!36}{12\!\cdots\!15}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!28}{12\!\cdots\!15}a^{21}-\frac{51\!\cdots\!99}{12\!\cdots\!15}a^{20}+\frac{24\!\cdots\!63}{24\!\cdots\!23}a^{19}-\frac{41\!\cdots\!17}{12\!\cdots\!15}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!98}{24\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{64\!\cdots\!26}{24\!\cdots\!23}a^{16}+\frac{34\!\cdots\!06}{12\!\cdots\!15}a^{15}-\frac{59\!\cdots\!98}{12\!\cdots\!15}a^{14}+\frac{83\!\cdots\!18}{12\!\cdots\!15}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!15}a^{12}+\frac{35\!\cdots\!64}{12\!\cdots\!15}a^{11}-\frac{38\!\cdots\!14}{12\!\cdots\!15}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!84}{12\!\cdots\!15}a^{9}+\frac{62\!\cdots\!04}{12\!\cdots\!15}a^{8}-\frac{57\!\cdots\!33}{12\!\cdots\!15}a^{7}-\frac{22\!\cdots\!98}{12\!\cdots\!15}a^{6}-\frac{62\!\cdots\!67}{24\!\cdots\!23}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!40}{24\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{46\!\cdots\!75}{24\!\cdots\!23}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!15}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!51}{12\!\cdots\!15}a-\frac{64\!\cdots\!85}{24\!\cdots\!23}$, $\frac{48\!\cdots\!21}{76\!\cdots\!75}a^{29}+\frac{19\!\cdots\!84}{76\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{39\!\cdots\!68}{76\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{29\!\cdots\!81}{76\!\cdots\!75}a^{26}+\frac{57\!\cdots\!78}{76\!\cdots\!75}a^{25}+\frac{37\!\cdots\!33}{76\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{92\!\cdots\!16}{76\!\cdots\!75}a^{23}+\frac{42\!\cdots\!81}{76\!\cdots\!75}a^{22}-\frac{33\!\cdots\!59}{76\!\cdots\!75}a^{21}+\frac{27\!\cdots\!44}{76\!\cdots\!75}a^{20}-\frac{60\!\cdots\!07}{76\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{62\!\cdots\!72}{15\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{47\!\cdots\!66}{76\!\cdots\!75}a^{17}+\frac{58\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!75}a^{16}-\frac{58\!\cdots\!67}{76\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!51}{76\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!24}{76\!\cdots\!75}a^{13}+\frac{45\!\cdots\!44}{76\!\cdots\!75}a^{12}-\frac{65\!\cdots\!69}{76\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!77}{76\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{32\!\cdots\!62}{76\!\cdots\!75}a^{9}+\frac{42\!\cdots\!84}{76\!\cdots\!75}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!07}{76\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!81}{76\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{41\!\cdots\!49}{76\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!71}{30\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{39\!\cdots\!09}{60\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!61}{12\!\cdots\!15}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!19}{24\!\cdots\!23}a+\frac{51\!\cdots\!05}{24\!\cdots\!23}$, $\frac{17\!\cdots\!91}{12\!\cdots\!15}a^{29}-\frac{15\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!15}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!98}{12\!\cdots\!15}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!81}{12\!\cdots\!15}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!15}a$, $\frac{80\!\cdots\!08}{76\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{11\!\cdots\!93}{76\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{11\!\cdots\!14}{76\!\cdots\!75}a^{27}-\frac{78\!\cdots\!62}{76\!\cdots\!75}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!94}{76\!\cdots\!75}a^{25}+\frac{20\!\cdots\!34}{76\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!93}{76\!\cdots\!75}a^{23}-\frac{57\!\cdots\!37}{76\!\cdots\!75}a^{22}+\frac{23\!\cdots\!68}{76\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{71\!\cdots\!38}{76\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{23\!\cdots\!64}{76\!\cdots\!75}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!75}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!57}{76\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{82\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{84\!\cdots\!34}{76\!\cdots\!75}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!27}{76\!\cdots\!75}a^{14}+\frac{29\!\cdots\!73}{76\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{46\!\cdots\!38}{76\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{77\!\cdots\!88}{76\!\cdots\!75}a^{11}-\frac{50\!\cdots\!29}{76\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{45\!\cdots\!24}{76\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!18}{76\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!14}{76\!\cdots\!75}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!37}{76\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{58\!\cdots\!27}{76\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!67}{30\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!03}{30\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!88}{60\!\cdots\!75}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!23}{12\!\cdots\!15}a-\frac{64\!\cdots\!58}{24\!\cdots\!23}$, $\frac{14\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{12\!\cdots\!06}{15\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{18\!\cdots\!12}{15\!\cdots\!75}a^{27}-\frac{35\!\cdots\!66}{15\!\cdots\!75}a^{26}+\frac{19\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!75}a^{25}+\frac{57\!\cdots\!27}{60\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{21\!\cdots\!19}{15\!\cdots\!75}a^{23}-\frac{18\!\cdots\!37}{30\!\cdots\!75}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!31}{60\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!61}{15\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{34\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!75}a^{19}-\frac{81\!\cdots\!24}{15\!\cdots\!75}a^{18}+\frac{27\!\cdots\!02}{15\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{54\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!64}{15\!\cdots\!75}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!26}{15\!\cdots\!75}a^{14}+\frac{72\!\cdots\!54}{30\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{54\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{90\!\cdots\!06}{15\!\cdots\!75}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!22}{15\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{27\!\cdots\!93}{15\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{43\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{57\!\cdots\!62}{15\!\cdots\!75}a^{7}-\frac{86\!\cdots\!66}{15\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!89}{30\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{77\!\cdots\!97}{15\!\cdots\!75}a^{4}-\frac{37\!\cdots\!49}{12\!\cdots\!15}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!68}{60\!\cdots\!75}a^{2}+\frac{58\!\cdots\!05}{24\!\cdots\!23}a+\frac{42\!\cdots\!82}{24\!\cdots\!23}$, $\frac{97\!\cdots\!44}{15\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{60\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{12\!\cdots\!66}{15\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{96\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!75}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!18}{15\!\cdots\!75}a^{25}+\frac{52\!\cdots\!82}{60\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!42}{15\!\cdots\!75}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!11}{30\!\cdots\!75}a^{22}+\frac{91\!\cdots\!27}{60\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{62\!\cdots\!73}{15\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{21\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!75}a^{19}-\frac{48\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!75}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{31\!\cdots\!26}{15\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{61\!\cdots\!02}{15\!\cdots\!75}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!18}{15\!\cdots\!75}a^{14}+\frac{40\!\cdots\!67}{30\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{28\!\cdots\!38}{15\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{48\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{78\!\cdots\!74}{15\!\cdots\!75}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!24}{15\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{28\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!75}a^{7}-\frac{44\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{98\!\cdots\!02}{30\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{49\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!39}{12\!\cdots\!15}a^{3}+\frac{24\!\cdots\!48}{60\!\cdots\!75}a^{2}+\frac{91\!\cdots\!95}{24\!\cdots\!23}a+\frac{29\!\cdots\!01}{24\!\cdots\!23}$, $\frac{51\!\cdots\!03}{76\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{40\!\cdots\!53}{76\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{64\!\cdots\!89}{76\!\cdots\!75}a^{27}-\frac{56\!\cdots\!87}{76\!\cdots\!75}a^{26}+\frac{68\!\cdots\!39}{76\!\cdots\!75}a^{25}+\frac{57\!\cdots\!49}{76\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{74\!\cdots\!93}{76\!\cdots\!75}a^{23}-\frac{32\!\cdots\!07}{76\!\cdots\!75}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!23}{76\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{34\!\cdots\!48}{76\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!64}{76\!\cdots\!75}a^{19}-\frac{53\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!75}a^{18}+\frac{92\!\cdots\!87}{76\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{35\!\cdots\!18}{15\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{33\!\cdots\!69}{76\!\cdots\!75}a^{15}-\frac{61\!\cdots\!02}{76\!\cdots\!75}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!53}{76\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{16\!\cdots\!48}{76\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{27\!\cdots\!23}{76\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{20\!\cdots\!71}{76\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!04}{76\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{45\!\cdots\!58}{76\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{44\!\cdots\!64}{76\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{27\!\cdots\!63}{76\!\cdots\!75}a^{6}+\frac{44\!\cdots\!28}{76\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!12}{15\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!57}{60\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!94}{60\!\cdots\!75}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!08}{12\!\cdots\!15}a-\frac{12\!\cdots\!54}{24\!\cdots\!23}$, $\frac{95\!\cdots\!38}{60\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{81\!\cdots\!49}{60\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{25\!\cdots\!12}{60\!\cdots\!75}a^{27}-\frac{88\!\cdots\!64}{60\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{52\!\cdots\!74}{60\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{94\!\cdots\!18}{60\!\cdots\!75}a^{24}-\frac{15\!\cdots\!01}{60\!\cdots\!75}a^{23}-\frac{19\!\cdots\!48}{60\!\cdots\!75}a^{22}+\frac{45\!\cdots\!28}{60\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!14}{60\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{75\!\cdots\!18}{12\!\cdots\!15}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!62}{60\!\cdots\!75}a^{18}+\frac{50\!\cdots\!28}{12\!\cdots\!15}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!15}a^{16}+\frac{67\!\cdots\!02}{60\!\cdots\!75}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!18}{60\!\cdots\!75}a^{14}+\frac{25\!\cdots\!48}{60\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{42\!\cdots\!98}{60\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!04}{60\!\cdots\!75}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!04}{60\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{69\!\cdots\!69}{60\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{35\!\cdots\!89}{60\!\cdots\!75}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!68}{60\!\cdots\!75}a^{7}-\frac{70\!\cdots\!28}{60\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{19\!\cdots\!62}{12\!\cdots\!15}a^{5}-\frac{67\!\cdots\!48}{24\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{28\!\cdots\!10}{24\!\cdots\!23}a^{3}-\frac{80\!\cdots\!77}{60\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!15}a-\frac{63\!\cdots\!57}{24\!\cdots\!23}$, $\frac{59\!\cdots\!08}{15\!\cdots\!75}a^{29}-\frac{11\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!75}a^{28}+\frac{71\!\cdots\!22}{15\!\cdots\!75}a^{27}+\frac{38\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!75}a^{26}+\frac{79\!\cdots\!26}{15\!\cdots\!75}a^{25}+\frac{22\!\cdots\!46}{30\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{90\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!75}a^{23}-\frac{64\!\cdots\!92}{30\!\cdots\!75}a^{22}+\frac{24\!\cdots\!29}{30\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{31\!\cdots\!16}{15\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!42}{15\!\cdots\!75}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!99}{15\!\cdots\!75}a^{18}+\frac{88\!\cdots\!97}{15\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!24}{15\!\cdots\!75}a^{15}-\frac{46\!\cdots\!36}{15\!\cdots\!75}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!29}{30\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!16}{15\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{22\!\cdots\!93}{15\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{87\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{30\!\cdots\!02}{15\!\cdots\!75}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!91}{15\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{25\!\cdots\!89}{30\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{62\!\cdots\!92}{15\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{46\!\cdots\!43}{30\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!21}{24\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!80}{24\!\cdots\!23}a-\frac{59\!\cdots\!10}{24\!\cdots\!23}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 1790415251466.914 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{0}\cdot(2\pi)^{15}\cdot 1790415251466.914 \cdot 23771}{14\cdot\sqrt{832015950863087654302330210882647132596170473948590696647}}\cr\approx \mathstrut & 0.0989704133814656 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
| A cyclic group of order 30 |
| The 30 conjugacy class representatives for $C_{30}$ |
| Character table for $C_{30}$ |
Intermediate fields
| \(\Q(\sqrt{-7}) \), \(\Q(\zeta_{7})^+\), 5.5.923521.1, \(\Q(\zeta_{7})\), 10.0.14334539666270887.1, 15.15.222495240978703757087365489.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | $15^{2}$ | $30$ | ${\href{/padicField/5.6.0.1}{6} }^{5}$ | R | $15^{2}$ | ${\href{/padicField/13.10.0.1}{10} }^{3}$ | $30$ | $30$ | $15^{2}$ | ${\href{/padicField/29.5.0.1}{5} }^{6}$ | R | ${\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{10}$ | ${\href{/padicField/41.10.0.1}{10} }^{3}$ | ${\href{/padicField/43.5.0.1}{5} }^{6}$ | $30$ | $15^{2}$ | $30$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(7\)
| Deg $30$ | $6$ | $5$ | $25$ | |||
|
\(31\)
| Deg $30$ | $5$ | $6$ | $24$ |