↑

Properties

Label 30.0.83201595086...6647.1
Degree $30$
Signature $[0, 15]$
Discriminant $-\,7^{25}\cdot 31^{24}$
Root discriminant $78.95$
Ramified primes $7, 31$
Class number $23771$ (GRH)
Class group $[23771]$ (GRH)
Galois group $C_{30}$ (as 30T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![15625, -3125, 66250, 11125, 265400, 150145, 1098726, -1844854, 5288663, -6252286, 18785418, -17174668, 66639441, -40183766, 26509376, -14461184, 7897623, -3985130, 1995079, -591905, 246113, -74141, 25941, -6544, 1481, 83, 138, -4, 13, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^30 - x^29 + 13*x^28 - 4*x^27 + 138*x^26 + 83*x^25 + 1481*x^24 - 6544*x^23 + 25941*x^22 - 74141*x^21 + 246113*x^20 - 591905*x^19 + 1995079*x^18 - 3985130*x^17 + 7897623*x^16 - 14461184*x^15 + 26509376*x^14 - 40183766*x^13 + 66639441*x^12 - 17174668*x^11 + 18785418*x^10 - 6252286*x^9 + 5288663*x^8 - 1844854*x^7 + 1098726*x^6 + 150145*x^5 + 265400*x^4 + 11125*x^3 + 66250*x^2 - 3125*x + 15625)
 
gp: K = bnfinit(x^30 - x^29 + 13*x^28 - 4*x^27 + 138*x^26 + 83*x^25 + 1481*x^24 - 6544*x^23 + 25941*x^22 - 74141*x^21 + 246113*x^20 - 591905*x^19 + 1995079*x^18 - 3985130*x^17 + 7897623*x^16 - 14461184*x^15 + 26509376*x^14 - 40183766*x^13 + 66639441*x^12 - 17174668*x^11 + 18785418*x^10 - 6252286*x^9 + 5288663*x^8 - 1844854*x^7 + 1098726*x^6 + 150145*x^5 + 265400*x^4 + 11125*x^3 + 66250*x^2 - 3125*x + 15625, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{30} - x^{29} + 13 x^{28} - 4 x^{27} + 138 x^{26} + 83 x^{25} + 1481 x^{24} - 6544 x^{23} + 25941 x^{22} - 74141 x^{21} + 246113 x^{20} - 591905 x^{19} + 1995079 x^{18} - 3985130 x^{17} + 7897623 x^{16} - 14461184 x^{15} + 26509376 x^{14} - 40183766 x^{13} + 66639441 x^{12} - 17174668 x^{11} + 18785418 x^{10} - 6252286 x^{9} + 5288663 x^{8} - 1844854 x^{7} + 1098726 x^{6} + 150145 x^{5} + 265400 x^{4} + 11125 x^{3} + 66250 x^{2} - 3125 x + 15625 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $30$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 15]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(-832015950863087654302330210882647132596170473948590696647=-\,7^{25}\cdot 31^{24}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $78.95$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $7, 31$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(217=7\cdot 31\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{217}(128,·)$, $\chi_{217}(1,·)$, $\chi_{217}(2,·)$, $\chi_{217}(4,·)$, $\chi_{217}(97,·)$, $\chi_{217}(8,·)$, $\chi_{217}(202,·)$, $\chi_{217}(66,·)$, $\chi_{217}(194,·)$, $\chi_{217}(16,·)$, $\chi_{217}(78,·)$, $\chi_{217}(132,·)$, $\chi_{217}(156,·)$, $\chi_{217}(157,·)$, $\chi_{217}(94,·)$, $\chi_{217}(159,·)$, $\chi_{217}(32,·)$, $\chi_{217}(33,·)$, $\chi_{217}(163,·)$, $\chi_{217}(101,·)$, $\chi_{217}(39,·)$, $\chi_{217}(64,·)$, $\chi_{217}(95,·)$, $\chi_{217}(171,·)$, $\chi_{217}(109,·)$, $\chi_{217}(47,·)$, $\chi_{217}(187,·)$, $\chi_{217}(188,·)$, $\chi_{217}(125,·)$, $\chi_{217}(190,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $\frac{1}{5} a^{19} + \frac{2}{5} a^{18} + \frac{1}{5} a^{15} + \frac{2}{5} a^{14} + \frac{2}{5} a^{12} + \frac{2}{5} a^{10} + \frac{2}{5} a^{8} + \frac{2}{5} a^{6} - \frac{1}{5} a^{5} + \frac{2}{5} a^{2} - \frac{1}{5} a$, $\frac{1}{5} a^{20} + \frac{1}{5} a^{18} + \frac{1}{5} a^{16} + \frac{1}{5} a^{14} + \frac{2}{5} a^{13} + \frac{1}{5} a^{12} + \frac{2}{5} a^{11} + \frac{1}{5} a^{10} + \frac{2}{5} a^{9} + \frac{1}{5} a^{8} + \frac{2}{5} a^{7} + \frac{2}{5} a^{5} + \frac{2}{5} a^{3} + \frac{2}{5} a$, $\frac{1}{5} a^{21} - \frac{2}{5} a^{18} + \frac{1}{5} a^{17} + \frac{1}{5} a^{13} + \frac{1}{5} a^{11} + \frac{1}{5} a^{9} + \frac{1}{5} a^{5} + \frac{2}{5} a^{4} + \frac{1}{5} a$, $\frac{1}{5} a^{22} + \frac{2}{5} a^{15} - \frac{1}{5} a^{8} - \frac{2}{5} a$, $\frac{1}{5} a^{23} + \frac{2}{5} a^{16} - \frac{1}{5} a^{9} - \frac{2}{5} a^{2}$, $\frac{1}{5} a^{24} + \frac{2}{5} a^{17} - \frac{1}{5} a^{10} - \frac{2}{5} a^{3}$, $\frac{1}{1219496603866583382131615} a^{25} + \frac{114168656488787084906459}{1219496603866583382131615} a^{24} + \frac{2228449438753151036821}{243899320773316676426323} a^{23} - \frac{104514293968220794864514}{1219496603866583382131615} a^{22} - \frac{47129481948544800580141}{1219496603866583382131615} a^{21} - \frac{111626227996544258128994}{1219496603866583382131615} a^{20} - \frac{60022088303214427161693}{1219496603866583382131615} a^{19} - \frac{369648206552939840328276}{1219496603866583382131615} a^{18} + \frac{553416525692028522895382}{1219496603866583382131615} a^{17} + \frac{77724199438462328418511}{1219496603866583382131615} a^{16} + \frac{150512961860029046517909}{1219496603866583382131615} a^{15} + \frac{78183687758132535455038}{243899320773316676426323} a^{14} + \frac{195981345663681957226956}{1219496603866583382131615} a^{13} + \frac{35383639258651670391171}{243899320773316676426323} a^{12} - \frac{69076234583436173719805}{243899320773316676426323} a^{11} + \frac{420822950417636729676991}{1219496603866583382131615} a^{10} - \frac{313978255932705425318429}{1219496603866583382131615} a^{9} - \frac{363083366421636756538286}{1219496603866583382131615} a^{8} + \frac{259329350757415232653562}{1219496603866583382131615} a^{7} + \frac{96081943470381103997374}{1219496603866583382131615} a^{6} + \frac{186264735488301840985559}{1219496603866583382131615} a^{5} - \frac{366756533949494248116704}{1219496603866583382131615} a^{4} + \frac{341773222804623639528279}{1219496603866583382131615} a^{3} + \frac{460721532973374407705229}{1219496603866583382131615} a^{2} - \frac{581716071951093805541603}{1219496603866583382131615} a - \frac{40723799589823135861600}{243899320773316676426323}$, $\frac{1}{6097483019332916910658075} a^{26} - \frac{1}{6097483019332916910658075} a^{25} + \frac{274376571316016014302603}{6097483019332916910658075} a^{24} + \frac{91136436328705764730221}{6097483019332916910658075} a^{23} - \frac{457107392136263739493852}{6097483019332916910658075} a^{22} - \frac{4326997482431076178527}{6097483019332916910658075} a^{21} - \frac{182983304966178606320809}{6097483019332916910658075} a^{20} - \frac{300079140731492698791084}{6097483019332916910658075} a^{19} + \frac{2892824159965365267561516}{6097483019332916910658075} a^{18} - \frac{891625383745779525386271}{6097483019332916910658075} a^{17} - \frac{2804664010193907803804227}{6097483019332916910658075} a^{16} - \frac{81095253911329029187934}{243899320773316676426323} a^{15} + \frac{693205676750145708989284}{6097483019332916910658075} a^{14} + \frac{257400686578257758996251}{1219496603866583382131615} a^{13} - \frac{178951705143438518642072}{6097483019332916910658075} a^{12} + \frac{1109639167281143557041826}{6097483019332916910658075} a^{11} - \frac{805742927015490373115584}{6097483019332916910658075} a^{10} + \frac{2049920708912904012094194}{6097483019332916910658075} a^{9} + \frac{2888528012759053987869711}{6097483019332916910658075} a^{8} - \frac{302948030159788170524573}{6097483019332916910658075} a^{7} + \frac{2540363136787356703211963}{6097483019332916910658075} a^{6} - \frac{2493483516000017918536586}{6097483019332916910658075} a^{5} + \frac{2502331531969922288538893}{6097483019332916910658075} a^{4} + \frac{1429191228289894192187686}{6097483019332916910658075} a^{3} - \frac{9981338426830112006404}{6097483019332916910658075} a^{2} - \frac{10177100325016913775879}{243899320773316676426323} a - \frac{5225385539033790797509}{243899320773316676426323}$, $\frac{1}{30487415096664584553290375} a^{27} - \frac{1}{30487415096664584553290375} a^{26} - \frac{12}{30487415096664584553290375} a^{25} + \frac{2064174157845273671544896}{30487415096664584553290375} a^{24} + \frac{1913376460380660931192963}{30487415096664584553290375} a^{23} - \frac{1533218643569044515286767}{30487415096664584553290375} a^{22} + \frac{769080270225636774806331}{30487415096664584553290375} a^{21} + \frac{2751238283891426493008881}{30487415096664584553290375} a^{20} - \frac{1369215689743247841324009}{30487415096664584553290375} a^{19} - \frac{9865398507049079605395866}{30487415096664584553290375} a^{18} - \frac{13438732787034934285264112}{30487415096664584553290375} a^{17} + \frac{989896320200832764695459}{6097483019332916910658075} a^{16} - \frac{7730672224527083122879571}{30487415096664584553290375} a^{15} + \frac{567895900519001175558629}{6097483019332916910658075} a^{14} - \frac{9336104016407115095397552}{30487415096664584553290375} a^{13} - \frac{14007695198020633974105909}{30487415096664584553290375} a^{12} + \frac{4227133659975337565805226}{30487415096664584553290375} a^{11} + \frac{2799423148212070638780859}{30487415096664584553290375} a^{10} - \frac{3904744988748113621839934}{30487415096664584553290375} a^{9} - \frac{2066128692489164610186668}{30487415096664584553290375} a^{8} - \frac{5556345000567719881983232}{30487415096664584553290375} a^{7} + \frac{1235922055219389349525689}{30487415096664584553290375} a^{6} - \frac{5540957989291303016805437}{30487415096664584553290375} a^{5} - \frac{3251807885342179848069979}{30487415096664584553290375} a^{4} + \frac{7318527976823893674218651}{30487415096664584553290375} a^{3} + \frac{2918814875829694821275294}{6097483019332916910658075} a^{2} - \frac{63146580599352035018891}{243899320773316676426323} a + \frac{112111082787935799411196}{243899320773316676426323}$, $\frac{1}{152437075483322922766451875} a^{28} - \frac{1}{152437075483322922766451875} a^{27} - \frac{12}{152437075483322922766451875} a^{26} + \frac{21}{152437075483322922766451875} a^{25} - \frac{10234032664055013696352062}{152437075483322922766451875} a^{24} + \frac{1247468652490801282251558}{152437075483322922766451875} a^{23} - \frac{2106200234492627425314344}{152437075483322922766451875} a^{22} + \frac{5472737582008955540379506}{152437075483322922766451875} a^{21} + \frac{5683733970441355979483041}{152437075483322922766451875} a^{20} + \frac{13315111137211644279897209}{152437075483322922766451875} a^{19} - \frac{47725862974340777037107162}{152437075483322922766451875} a^{18} - \frac{22067895945962712074051}{30487415096664584553290375} a^{17} - \frac{71481360311803532463178371}{152437075483322922766451875} a^{16} + \frac{6453016258880463608150974}{30487415096664584553290375} a^{15} + \frac{26638040643654003002532773}{152437075483322922766451875} a^{14} + \frac{12796475592670867104397191}{152437075483322922766451875} a^{13} + \frac{18553186428992101425745301}{152437075483322922766451875} a^{12} - \frac{17027018822188163656526541}{152437075483322922766451875} a^{11} - \frac{51568296601183978343598459}{152437075483322922766451875} a^{10} + \frac{69486135445058303472907607}{152437075483322922766451875} a^{9} - \frac{30861710837638873412424232}{152437075483322922766451875} a^{8} + \frac{9257059367678006124860164}{152437075483322922766451875} a^{7} - \frac{3181958227578699648275037}{152437075483322922766451875} a^{6} + \frac{382387318567510453464046}{152437075483322922766451875} a^{5} + \frac{52675299960725670310217776}{152437075483322922766451875} a^{4} + \frac{8449239916916848010146074}{30487415096664584553290375} a^{3} + \frac{16054277651240033236686}{243899320773316676426323} a^{2} + \frac{22369394834623542511442}{1219496603866583382131615} a - \frac{98169940742002946565044}{243899320773316676426323}$, $\frac{1}{762185377416614613832259375} a^{29} - \frac{1}{762185377416614613832259375} a^{28} - \frac{12}{762185377416614613832259375} a^{27} + \frac{21}{762185377416614613832259375} a^{26} - \frac{187}{762185377416614613832259375} a^{25} - \frac{47599740065342697477657942}{762185377416614613832259375} a^{24} - \frac{20606207457762502256072594}{762185377416614613832259375} a^{23} + \frac{18569907296407147515097631}{762185377416614613832259375} a^{22} - \frac{45942334295170439487170459}{762185377416614613832259375} a^{21} - \frac{16278814832184274958153041}{762185377416614613832259375} a^{20} - \frac{38893311184157834192931787}{762185377416614613832259375} a^{19} + \frac{67030664468335794825569574}{152437075483322922766451875} a^{18} + \frac{93575113613705916065572879}{762185377416614613832259375} a^{17} + \frac{54407897897452118548093874}{152437075483322922766451875} a^{16} + \frac{380251653700542045971894398}{762185377416614613832259375} a^{15} + \frac{287937650597154740900475191}{762185377416614613832259375} a^{14} - \frac{288753541558188090569972449}{762185377416614613832259375} a^{13} + \frac{13905584080387334532588334}{762185377416614613832259375} a^{12} - \frac{239766049758500331501683084}{762185377416614613832259375} a^{11} + \frac{226328024440582544800457607}{762185377416614613832259375} a^{10} + \frac{102261703292142360623338143}{762185377416614613832259375} a^{9} - \frac{291979069829490687317830586}{762185377416614613832259375} a^{8} - \frac{112548093838889564511191162}{762185377416614613832259375} a^{7} - \frac{77783529403005429548477704}{762185377416614613832259375} a^{6} - \frac{101779661511945187964579724}{762185377416614613832259375} a^{5} - \frac{42656704684448111811107576}{152437075483322922766451875} a^{4} - \frac{2042028774344653528798572}{6097483019332916910658075} a^{3} + \frac{425883999066928006453104}{1219496603866583382131615} a^{2} - \frac{351000006844064283307684}{1219496603866583382131615} a + \frac{47134391986130405166667}{243899320773316676426323}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

$C_{23771}$, which has order $23771$ (assuming GRH)

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $14$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -\frac{1761335410116761735487}{152437075483322922766451875} a^{29} + \frac{1845208524884226580034}{152437075483322922766451875} a^{28} - \frac{22561867872448043183143}{152437075483322922766451875} a^{27} + \frac{7716326558606765698324}{152437075483322922766451875} a^{26} - \frac{237946267856495355489839}{152437075483322922766451875} a^{25} - \frac{1090350491977042979111}{1219496603866583382131615} a^{24} - \frac{2543703824667673805421416}{152437075483322922766451875} a^{23} + \frac{2337040469880640428457608}{30487415096664584553290375} a^{22} - \frac{1824743484880965157964532}{6097483019332916910658075} a^{21} + \frac{130018592796458187649557554}{152437075483322922766451875} a^{20} - \frac{428827216041127164383502523}{152437075483322922766451875} a^{19} + \frac{1032077671990873306759753536}{152437075483322922766451875} a^{18} - \frac{3460436885202949788855281453}{152437075483322922766451875} a^{17} + \frac{6938259492873588295477332348}{152437075483322922766451875} a^{16} - \frac{13407940861820042370681712446}{152437075483322922766451875} a^{15} + \frac{24462167362416787069274717839}{152437075483322922766451875} a^{14} - \frac{8918563198571803407806786171}{30487415096664584553290375} a^{13} + \frac{66935991176780732734813658474}{152437075483322922766451875} a^{12} - \frac{109641215965431851117976862159}{152437075483322922766451875} a^{11} + \frac{18987920300897167637341901533}{152437075483322922766451875} a^{10} - \frac{6581627402338392775475172827}{152437075483322922766451875} a^{9} + \frac{5385499744560558135409811948}{152437075483322922766451875} a^{8} - \frac{1961550515967357647737190093}{152437075483322922766451875} a^{7} + \frac{1070989809275924766649682349}{152437075483322922766451875} a^{6} + \frac{25584906548011778575150521}{30487415096664584553290375} a^{5} - \frac{2869491987737332359296048558}{152437075483322922766451875} a^{4} + \frac{47220563614082707479961}{1219496603866583382131615} a^{3} + \frac{105009139688865985372844}{243899320773316676426323} a^{2} - \frac{7129214755234511786495}{243899320773316676426323} a + \frac{25161934430239453364100}{243899320773316676426323} \) (order $14$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  \( 1790415251466.914 \) (assuming GRH)
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{30}$ (as 30T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 30
The 30 conjugacy class representatives for $C_{30}$
Character table for $C_{30}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-7}) \), \(\Q(\zeta_{7})^+\), 5.5.923521.1, \(\Q(\zeta_{7})\), 10.0.14334539666270887.1, 15.15.222495240978703757087365489.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $15^{2}$ $30$ ${\href{/LocalNumberField/5.6.0.1}{6} }^{5}$ R $15^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/13.10.0.1}{10} }^{3}$ $30$ $30$ $15^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/29.5.0.1}{5} }^{6}$ R ${\href{/LocalNumberField/37.3.0.1}{3} }^{10}$ ${\href{/LocalNumberField/41.10.0.1}{10} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/43.5.0.1}{5} }^{6}$ $30$ $15^{2}$ $30$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
7Data not computed
31Data not computed