LMFDB - Number field 30.0.67540340288911750220987142641365428116063232133203.1

Show commands: Magma / Oscar / PariGP / SageMath

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^30 - x^29 + 12*x^28 - 45*x^27 + 210*x^26 - 744*x^25 + 2465*x^24 - 6965*x^23 + 19758*x^22 - 48686*x^21 + 121619*x^20 - 306546*x^19 + 810012*x^18 - 2087415*x^17 + 5002572*x^16 - 11311375*x^15 + 24424402*x^14 - 49257771*x^13 + 88022499*x^12 - 134078913*x^11 + 172501038*x^10 - 188691174*x^9 + 176841252*x^8 - 141293241*x^7 + 95362353*x^6 - 55362204*x^5 + 28414476*x^4 - 12173571*x^3 + 3774762*x^2 - 708588*x + 59049)

gp: K = bnfinit(y^30 - y^29 + 12*y^28 - 45*y^27 + 210*y^26 - 744*y^25 + 2465*y^24 - 6965*y^23 + 19758*y^22 - 48686*y^21 + 121619*y^20 - 306546*y^19 + 810012*y^18 - 2087415*y^17 + 5002572*y^16 - 11311375*y^15 + 24424402*y^14 - 49257771*y^13 + 88022499*y^12 - 134078913*y^11 + 172501038*y^10 - 188691174*y^9 + 176841252*y^8 - 141293241*y^7 + 95362353*y^6 - 55362204*y^5 + 28414476*y^4 - 12173571*y^3 + 3774762*y^2 - 708588*y + 59049, 1)

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^30 - x^29 + 12*x^28 - 45*x^27 + 210*x^26 - 744*x^25 + 2465*x^24 - 6965*x^23 + 19758*x^22 - 48686*x^21 + 121619*x^20 - 306546*x^19 + 810012*x^18 - 2087415*x^17 + 5002572*x^16 - 11311375*x^15 + 24424402*x^14 - 49257771*x^13 + 88022499*x^12 - 134078913*x^11 + 172501038*x^10 - 188691174*x^9 + 176841252*x^8 - 141293241*x^7 + 95362353*x^6 - 55362204*x^5 + 28414476*x^4 - 12173571*x^3 + 3774762*x^2 - 708588*x + 59049);

oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^30 - x^29 + 12*x^28 - 45*x^27 + 210*x^26 - 744*x^25 + 2465*x^24 - 6965*x^23 + 19758*x^22 - 48686*x^21 + 121619*x^20 - 306546*x^19 + 810012*x^18 - 2087415*x^17 + 5002572*x^16 - 11311375*x^15 + 24424402*x^14 - 49257771*x^13 + 88022499*x^12 - 134078913*x^11 + 172501038*x^10 - 188691174*x^9 + 176841252*x^8 - 141293241*x^7 + 95362353*x^6 - 55362204*x^5 + 28414476*x^4 - 12173571*x^3 + 3774762*x^2 - 708588*x + 59049)

$ x^{30} - x^{29} + 12 x^{28} - 45 x^{27} + 210 x^{26} - 744 x^{25} + 2465 x^{24} - 6965 x^{23} + \cdots + 59049 $ x^30 - x^29 + 12*x^28 - 45*x^27 + 210*x^26 - 744*x^25 + 2465*x^24 - 6965*x^23 + 19758*x^22 - 48686*x^21 + 121619*x^20 - 306546*x^19 + 810012*x^18 - 2087415*x^17 + 5002572*x^16 - 11311375*x^15 + 24424402*x^14 - 49257771*x^13 + 88022499*x^12 - 134078913*x^11 + 172501038*x^10 - 188691174*x^9 + 176841252*x^8 - 141293241*x^7 + 95362353*x^6 - 55362204*x^5 + 28414476*x^4 - 12173571*x^3 + 3774762*x^2 - 708588*x + 59049

sage: K.defining_polynomial()

gp: K.pol

magma: DefiningPolynomial(K);

oscar: defining_polynomial(K)

Invariants

Degree:	$30$	sage: K.degree() gp: poldegree(K.pol) magma: Degree(K); oscar: degree(K)
Signature:	$[0, 15]$	sage: K.signature() gp: K.sign magma: Signature(K); oscar: signature(K)
Discriminant:	$-67540340288911750220987142641365428116063232133203$ -67540340288911750220987142641365428116063232133203 $\medspace = -\,3^{15}\cdot 1117^{14}$	sage: K.disc() gp: K.disc magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK); oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
Root discriminant:	$45.81$	sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree()) gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol)) magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K)); oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
Galois root discriminant:	$3^{1/2}1117^{1/2}\approx 57.88782255362521$
Ramified primes:	$3$, $1117$ 3, 1117	sage: K.disc().support() gp: factor(abs(K.disc))[,1]~ magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK)); oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
Discriminant root field:	$\Q(\sqrt{-3}) $
$\card{ \Aut(K/\Q) }$:	$2$	sage: K.automorphisms() magma: Automorphisms(K); oscar: automorphisms(K)
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator $a$)

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $\frac{1}{3}a^{6}+\frac{1}{3}a^{4}+\frac{1}{3}a^{2}$, $\frac{1}{3}a^{7}+\frac{1}{3}a^{5}+\frac{1}{3}a^{3}$, $\frac{1}{3}a^{8}-\frac{1}{3}a^{2}$, $\frac{1}{9}a^{9}-\frac{1}{3}a^{5}-\frac{4}{9}a^{3}-\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{9}a^{10}-\frac{1}{9}a^{4}$, $\frac{1}{9}a^{11}-\frac{1}{9}a^{5}$, $\frac{1}{9}a^{12}-\frac{1}{9}a^{6}$, $\frac{1}{9}a^{13}-\frac{1}{9}a^{7}$, $\frac{1}{27}a^{14}+\frac{1}{27}a^{13}-\frac{1}{27}a^{12}-\frac{1}{27}a^{11}-\frac{1}{27}a^{8}-\frac{1}{27}a^{7}+\frac{1}{27}a^{6}+\frac{1}{27}a^{5}+\frac{1}{3}a^{4}+\frac{1}{3}a^{3}-\frac{1}{3}a^{2}-\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{27}a^{15}+\frac{1}{27}a^{13}+\frac{1}{27}a^{11}-\frac{1}{27}a^{9}-\frac{1}{27}a^{7}+\frac{8}{27}a^{5}+\frac{1}{3}a^{3}+\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{81}a^{16}-\frac{1}{81}a^{15}+\frac{4}{81}a^{13}-\frac{1}{81}a^{12}+\frac{2}{81}a^{10}+\frac{1}{81}a^{9}-\frac{1}{9}a^{8}+\frac{5}{81}a^{7}-\frac{8}{81}a^{6}-\frac{7}{27}a^{4}-\frac{4}{9}a^{3}+\frac{4}{9}a^{2}+\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{81}a^{17}-\frac{1}{81}a^{15}+\frac{1}{81}a^{14}+\frac{2}{81}a^{12}-\frac{4}{81}a^{11}+\frac{1}{27}a^{10}+\frac{1}{81}a^{9}-\frac{1}{81}a^{8}-\frac{11}{81}a^{6}+\frac{13}{27}a^{5}-\frac{1}{27}a^{4}+\frac{2}{9}a^{3}+\frac{1}{9}a^{2}+\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{81}a^{18}-\frac{1}{27}a^{13}+\frac{4}{81}a^{12}+\frac{1}{27}a^{11}+\frac{1}{27}a^{10}-\frac{1}{9}a^{8}+\frac{1}{27}a^{7}-\frac{5}{81}a^{6}-\frac{1}{27}a^{5}-\frac{10}{27}a^{4}-\frac{1}{3}a^{3}+\frac{4}{9}a^{2}+\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{243}a^{19}-\frac{1}{243}a^{17}+\frac{1}{243}a^{16}-\frac{1}{81}a^{15}-\frac{1}{243}a^{14}+\frac{8}{243}a^{13}-\frac{1}{81}a^{12}+\frac{1}{243}a^{11}-\frac{10}{243}a^{10}+\frac{1}{81}a^{9}+\frac{19}{243}a^{8}+\frac{1}{9}a^{7}-\frac{8}{81}a^{6}-\frac{1}{27}a^{5}-\frac{4}{27}a^{4}+\frac{2}{9}a^{3}-\frac{4}{9}a^{2}$, $\frac{1}{243}a^{20}-\frac{1}{243}a^{18}+\frac{1}{243}a^{17}-\frac{4}{243}a^{15}-\frac{1}{243}a^{14}+\frac{7}{243}a^{12}-\frac{1}{243}a^{11}+\frac{1}{27}a^{10}-\frac{5}{243}a^{9}+\frac{1}{27}a^{8}+\frac{13}{81}a^{6}+\frac{4}{27}a^{5}-\frac{1}{27}a^{4}+\frac{2}{9}a^{3}+\frac{1}{9}a^{2}$, $\frac{1}{729}a^{21}+\frac{1}{729}a^{20}-\frac{1}{729}a^{19}-\frac{1}{243}a^{18}-\frac{2}{729}a^{17}-\frac{1}{729}a^{16}-\frac{5}{729}a^{15}-\frac{4}{729}a^{14}-\frac{26}{729}a^{13}-\frac{5}{243}a^{12}-\frac{16}{729}a^{11}+\frac{19}{729}a^{10}-\frac{23}{729}a^{9}+\frac{4}{243}a^{8}+\frac{11}{81}a^{7}+\frac{11}{81}a^{6}-\frac{8}{27}a^{5}+\frac{2}{27}a^{4}-\frac{5}{27}a^{3}+\frac{1}{3}a^{2}$, $\frac{1}{729}a^{22}+\frac{1}{729}a^{20}+\frac{1}{729}a^{19}-\frac{2}{729}a^{18}+\frac{1}{729}a^{17}-\frac{1}{729}a^{16}+\frac{7}{729}a^{15}-\frac{1}{729}a^{14}+\frac{8}{729}a^{13}-\frac{16}{729}a^{12}+\frac{35}{729}a^{11}+\frac{4}{81}a^{10}+\frac{2}{729}a^{9}-\frac{11}{81}a^{8}+\frac{4}{27}a^{7}-\frac{5}{27}a^{5}+\frac{1}{9}a^{4}-\frac{10}{27}a^{3}-\frac{1}{3}a^{2}$, $\frac{1}{2187}a^{23}-\frac{1}{2187}a^{22}+\frac{2}{2187}a^{20}+\frac{1}{2187}a^{19}+\frac{1}{729}a^{18}-\frac{1}{243}a^{17}-\frac{2}{729}a^{16}+\frac{1}{729}a^{15}-\frac{29}{2187}a^{14}+\frac{8}{2187}a^{13}+\frac{35}{729}a^{12}-\frac{82}{2187}a^{11}-\frac{119}{2187}a^{10}-\frac{10}{729}a^{9}+\frac{26}{243}a^{8}-\frac{10}{81}a^{7}-\frac{8}{81}a^{6}+\frac{29}{81}a^{5}+\frac{4}{81}a^{4}+\frac{5}{27}a^{3}-\frac{1}{3}a^{2}+\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{41553}a^{24}-\frac{1}{41553}a^{23}-\frac{1}{1539}a^{22}-\frac{25}{41553}a^{21}-\frac{71}{41553}a^{20}-\frac{14}{13851}a^{19}-\frac{5}{4617}a^{18}+\frac{61}{13851}a^{17}-\frac{41}{13851}a^{16}+\frac{124}{41553}a^{15}+\frac{584}{41553}a^{14}-\frac{238}{13851}a^{13}-\frac{73}{41553}a^{12}-\frac{2252}{41553}a^{11}+\frac{743}{13851}a^{10}+\frac{55}{1539}a^{9}-\frac{410}{4617}a^{8}+\frac{1}{19}a^{7}+\frac{7}{171}a^{6}+\frac{121}{1539}a^{5}+\frac{34}{513}a^{4}-\frac{20}{171}a^{3}+\frac{26}{171}a^{2}-\frac{1}{57}a+\frac{4}{19}$, $\frac{1}{41553}a^{25}-\frac{1}{4617}a^{23}-\frac{14}{41553}a^{22}+\frac{2}{4617}a^{21}-\frac{25}{13851}a^{20}+\frac{46}{41553}a^{19}-\frac{10}{4617}a^{18}-\frac{37}{13851}a^{17}-\frac{113}{41553}a^{16}+\frac{28}{4617}a^{15}-\frac{227}{13851}a^{14}-\frac{1775}{41553}a^{13}+\frac{109}{4617}a^{12}+\frac{499}{13851}a^{11}-\frac{656}{41553}a^{10}+\frac{5}{171}a^{9}-\frac{5}{1539}a^{8}-\frac{85}{513}a^{7}+\frac{184}{1539}a^{6}-\frac{46}{513}a^{5}-\frac{686}{1539}a^{4}-\frac{70}{171}a^{3}+\frac{4}{171}a^{2}-\frac{9}{19}a+\frac{4}{19}$, $\frac{1}{373977}a^{26}-\frac{1}{373977}a^{24}-\frac{79}{373977}a^{23}-\frac{28}{124659}a^{22}+\frac{124}{373977}a^{21}-\frac{77}{41553}a^{20}+\frac{67}{124659}a^{19}+\frac{125}{41553}a^{18}+\frac{1123}{373977}a^{17}+\frac{20}{41553}a^{16}+\frac{5213}{373977}a^{15}+\frac{845}{373977}a^{14}+\frac{95}{6561}a^{13}-\frac{20690}{373977}a^{12}-\frac{94}{4617}a^{11}+\frac{4810}{124659}a^{10}-\frac{253}{41553}a^{9}+\frac{148}{4617}a^{8}+\frac{8}{1539}a^{7}-\frac{1952}{13851}a^{6}+\frac{44}{1539}a^{5}+\frac{1696}{4617}a^{4}+\frac{509}{1539}a^{3}+\frac{55}{513}a^{2}-\frac{8}{57}a-\frac{7}{19}$, $\frac{1}{373977}a^{27}-\frac{1}{373977}a^{25}+\frac{2}{373977}a^{24}+\frac{2}{124659}a^{23}-\frac{182}{373977}a^{22}-\frac{17}{41553}a^{21}-\frac{197}{124659}a^{20}+\frac{17}{13851}a^{19}+\frac{43}{373977}a^{18}-\frac{214}{41553}a^{17}+\frac{101}{19683}a^{16}+\frac{3707}{373977}a^{15}-\frac{1522}{124659}a^{14}-\frac{10466}{373977}a^{13}-\frac{767}{13851}a^{12}-\frac{134}{124659}a^{11}-\frac{326}{13851}a^{10}-\frac{20}{4617}a^{9}-\frac{59}{513}a^{8}+\frac{163}{13851}a^{7}-\frac{37}{513}a^{6}-\frac{566}{4617}a^{5}+\frac{197}{513}a^{4}+\frac{256}{513}a^{3}+\frac{1}{171}a^{2}+\frac{8}{57}a-\frac{2}{19}$, $\frac{1}{3277160451}a^{28}+\frac{349}{364128939}a^{27}-\frac{1339}{3277160451}a^{26}+\frac{38054}{3277160451}a^{25}+\frac{2083}{1092386817}a^{24}+\frac{326659}{3277160451}a^{23}+\frac{220955}{364128939}a^{22}+\frac{504128}{1092386817}a^{21}-\frac{17485}{19164681}a^{20}+\frac{3371947}{3277160451}a^{19}-\frac{231605}{121376313}a^{18}+\frac{7285577}{3277160451}a^{17}+\frac{4070078}{3277160451}a^{16}+\frac{9836635}{1092386817}a^{15}+\frac{2139280}{172482129}a^{14}+\frac{11753560}{364128939}a^{13}+\frac{25681622}{1092386817}a^{12}+\frac{16747751}{364128939}a^{11}-\frac{983624}{19164681}a^{10}-\frac{3378592}{121376313}a^{9}+\frac{16938748}{121376313}a^{8}-\frac{192614}{13486257}a^{7}-\frac{4735453}{40458771}a^{6}-\frac{4920313}{13486257}a^{5}-\frac{6494456}{13486257}a^{4}+\frac{422411}{4495419}a^{3}-\frac{32230}{65151}a^{2}+\frac{48073}{166497}a+\frac{19340}{55499}$, $\frac{1}{92\!\cdots\!71}a^{29}+\frac{70\!\cdots\!95}{92\!\cdots\!71}a^{28}+\frac{62\!\cdots\!59}{92\!\cdots\!71}a^{27}+\frac{32\!\cdots\!48}{30\!\cdots\!57}a^{26}+\frac{18\!\cdots\!81}{92\!\cdots\!71}a^{25}+\frac{36\!\cdots\!46}{92\!\cdots\!71}a^{24}+\frac{85\!\cdots\!84}{40\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{58\!\cdots\!34}{10\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!26}{30\!\cdots\!57}a^{21}+\frac{15\!\cdots\!49}{92\!\cdots\!71}a^{20}-\frac{19\!\cdots\!65}{92\!\cdots\!71}a^{19}-\frac{23\!\cdots\!94}{92\!\cdots\!71}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!23}{30\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!06}{92\!\cdots\!71}a^{16}-\frac{42\!\cdots\!41}{92\!\cdots\!71}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!84}{92\!\cdots\!71}a^{14}-\frac{50\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!19}a^{13}+\frac{72\!\cdots\!41}{16\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{25\!\cdots\!60}{12\!\cdots\!99}a^{11}+\frac{51\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!48}{34\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!83}{34\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!59}{37\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!91}a^{6}+\frac{46\!\cdots\!36}{42\!\cdots\!33}a^{5}-\frac{77\!\cdots\!42}{37\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!73}{12\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!40}{42\!\cdots\!33}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!52}{46\!\cdots\!37}a+\frac{42\!\cdots\!96}{15\!\cdots\!79}$ 1, a, a^2, a^3, a^4, a^5, 1/3*a^6 + 1/3*a^4 + 1/3*a^2, 1/3*a^7 + 1/3*a^5 + 1/3*a^3, 1/3*a^8 - 1/3*a^2, 1/9*a^9 - 1/3*a^5 - 4/9*a^3 - 1/3*a, 1/9*a^10 - 1/9*a^4, 1/9*a^11 - 1/9*a^5, 1/9*a^12 - 1/9*a^6, 1/9*a^13 - 1/9*a^7, 1/27*a^14 + 1/27*a^13 - 1/27*a^12 - 1/27*a^11 - 1/27*a^8 - 1/27*a^7 + 1/27*a^6 + 1/27*a^5 + 1/3*a^4 + 1/3*a^3 - 1/3*a^2 - 1/3*a, 1/27*a^15 + 1/27*a^13 + 1/27*a^11 - 1/27*a^9 - 1/27*a^7 + 8/27*a^5 + 1/3*a^3 + 1/3*a, 1/81*a^16 - 1/81*a^15 + 4/81*a^13 - 1/81*a^12 + 2/81*a^10 + 1/81*a^9 - 1/9*a^8 + 5/81*a^7 - 8/81*a^6 - 7/27*a^4 - 4/9*a^3 + 4/9*a^2 + 1/3*a, 1/81*a^17 - 1/81*a^15 + 1/81*a^14 + 2/81*a^12 - 4/81*a^11 + 1/27*a^10 + 1/81*a^9 - 1/81*a^8 - 11/81*a^6 + 13/27*a^5 - 1/27*a^4 + 2/9*a^3 + 1/9*a^2 + 1/3*a, 1/81*a^18 - 1/27*a^13 + 4/81*a^12 + 1/27*a^11 + 1/27*a^10 - 1/9*a^8 + 1/27*a^7 - 5/81*a^6 - 1/27*a^5 - 10/27*a^4 - 1/3*a^3 + 4/9*a^2 + 1/3*a, 1/243*a^19 - 1/243*a^17 + 1/243*a^16 - 1/81*a^15 - 1/243*a^14 + 8/243*a^13 - 1/81*a^12 + 1/243*a^11 - 10/243*a^10 + 1/81*a^9 + 19/243*a^8 + 1/9*a^7 - 8/81*a^6 - 1/27*a^5 - 4/27*a^4 + 2/9*a^3 - 4/9*a^2, 1/243*a^20 - 1/243*a^18 + 1/243*a^17 - 4/243*a^15 - 1/243*a^14 + 7/243*a^12 - 1/243*a^11 + 1/27*a^10 - 5/243*a^9 + 1/27*a^8 + 13/81*a^6 + 4/27*a^5 - 1/27*a^4 + 2/9*a^3 + 1/9*a^2, 1/729*a^21 + 1/729*a^20 - 1/729*a^19 - 1/243*a^18 - 2/729*a^17 - 1/729*a^16 - 5/729*a^15 - 4/729*a^14 - 26/729*a^13 - 5/243*a^12 - 16/729*a^11 + 19/729*a^10 - 23/729*a^9 + 4/243*a^8 + 11/81*a^7 + 11/81*a^6 - 8/27*a^5 + 2/27*a^4 - 5/27*a^3 + 1/3*a^2, 1/729*a^22 + 1/729*a^20 + 1/729*a^19 - 2/729*a^18 + 1/729*a^17 - 1/729*a^16 + 7/729*a^15 - 1/729*a^14 + 8/729*a^13 - 16/729*a^12 + 35/729*a^11 + 4/81*a^10 + 2/729*a^9 - 11/81*a^8 + 4/27*a^7 - 5/27*a^5 + 1/9*a^4 - 10/27*a^3 - 1/3*a^2, 1/2187*a^23 - 1/2187*a^22 + 2/2187*a^20 + 1/2187*a^19 + 1/729*a^18 - 1/243*a^17 - 2/729*a^16 + 1/729*a^15 - 29/2187*a^14 + 8/2187*a^13 + 35/729*a^12 - 82/2187*a^11 - 119/2187*a^10 - 10/729*a^9 + 26/243*a^8 - 10/81*a^7 - 8/81*a^6 + 29/81*a^5 + 4/81*a^4 + 5/27*a^3 - 1/3*a^2 + 1/3*a, 1/41553*a^24 - 1/41553*a^23 - 1/1539*a^22 - 25/41553*a^21 - 71/41553*a^20 - 14/13851*a^19 - 5/4617*a^18 + 61/13851*a^17 - 41/13851*a^16 + 124/41553*a^15 + 584/41553*a^14 - 238/13851*a^13 - 73/41553*a^12 - 2252/41553*a^11 + 743/13851*a^10 + 55/1539*a^9 - 410/4617*a^8 + 1/19*a^7 + 7/171*a^6 + 121/1539*a^5 + 34/513*a^4 - 20/171*a^3 + 26/171*a^2 - 1/57*a + 4/19, 1/41553*a^25 - 1/4617*a^23 - 14/41553*a^22 + 2/4617*a^21 - 25/13851*a^20 + 46/41553*a^19 - 10/4617*a^18 - 37/13851*a^17 - 113/41553*a^16 + 28/4617*a^15 - 227/13851*a^14 - 1775/41553*a^13 + 109/4617*a^12 + 499/13851*a^11 - 656/41553*a^10 + 5/171*a^9 - 5/1539*a^8 - 85/513*a^7 + 184/1539*a^6 - 46/513*a^5 - 686/1539*a^4 - 70/171*a^3 + 4/171*a^2 - 9/19*a + 4/19, 1/373977*a^26 - 1/373977*a^24 - 79/373977*a^23 - 28/124659*a^22 + 124/373977*a^21 - 77/41553*a^20 + 67/124659*a^19 + 125/41553*a^18 + 1123/373977*a^17 + 20/41553*a^16 + 5213/373977*a^15 + 845/373977*a^14 + 95/6561*a^13 - 20690/373977*a^12 - 94/4617*a^11 + 4810/124659*a^10 - 253/41553*a^9 + 148/4617*a^8 + 8/1539*a^7 - 1952/13851*a^6 + 44/1539*a^5 + 1696/4617*a^4 + 509/1539*a^3 + 55/513*a^2 - 8/57*a - 7/19, 1/373977*a^27 - 1/373977*a^25 + 2/373977*a^24 + 2/124659*a^23 - 182/373977*a^22 - 17/41553*a^21 - 197/124659*a^20 + 17/13851*a^19 + 43/373977*a^18 - 214/41553*a^17 + 101/19683*a^16 + 3707/373977*a^15 - 1522/124659*a^14 - 10466/373977*a^13 - 767/13851*a^12 - 134/124659*a^11 - 326/13851*a^10 - 20/4617*a^9 - 59/513*a^8 + 163/13851*a^7 - 37/513*a^6 - 566/4617*a^5 + 197/513*a^4 + 256/513*a^3 + 1/171*a^2 + 8/57*a - 2/19, 1/3277160451*a^28 + 349/364128939*a^27 - 1339/3277160451*a^26 + 38054/3277160451*a^25 + 2083/1092386817*a^24 + 326659/3277160451*a^23 + 220955/364128939*a^22 + 504128/1092386817*a^21 - 17485/19164681*a^20 + 3371947/3277160451*a^19 - 231605/121376313*a^18 + 7285577/3277160451*a^17 + 4070078/3277160451*a^16 + 9836635/1092386817*a^15 + 2139280/172482129*a^14 + 11753560/364128939*a^13 + 25681622/1092386817*a^12 + 16747751/364128939*a^11 - 983624/19164681*a^10 - 3378592/121376313*a^9 + 16938748/121376313*a^8 - 192614/13486257*a^7 - 4735453/40458771*a^6 - 4920313/13486257*a^5 - 6494456/13486257*a^4 + 422411/4495419*a^3 - 32230/65151*a^2 + 48073/166497*a + 19340/55499, 1/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171*a^29 + 701662844298639380821432835923510016348132905595/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171*a^28 + 627841036211890996904559261616085333070076731723659/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171*a^27 + 3242400816987936894289245017403649898100868288705348/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057*a^26 + 18646588801344340223996977531976396878603098585283681/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171*a^25 + 36615302708783440415052409338260869583894233550420146/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171*a^24 + 85639209172559782710872806136481938702188421905322284/400265036083252144359217940506849343392035483326872721877*a^23 - 588585575302558707573971103172042073953475468568115334/1022899536657199924473556959073059433112979568502008067019*a^22 + 1220023311545997292205750226713971972561689019660330726/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057*a^21 + 15687834284024536216831570705261135995452505180963991849/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171*a^20 - 1950182121961266066316006726616340810299587916831900665/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171*a^19 - 23580447807961243442239924824795981088181664399906827794/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171*a^18 + 14772592818894421606982640353798195116352267270009397323/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057*a^17 + 15830026367685661255292206669677233823135208633139923606/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171*a^16 - 42611591145227208084400416595157291354328190031496962441/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171*a^15 - 15866161821928172331427706671852750167453300583745343484/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171*a^14 - 50953715193343182112097193029064835161544257450243369017/1022899536657199924473556959073059433112979568502008067019*a^13 + 7258179032776301830342125813897325515154202049488372941/161510453156399988074772151432588331544154668710843379003*a^12 + 258283760422604875088705415292155130920892048728646660/12628389341446912647821690852753820161888636648172939099*a^11 + 51675541383211414842391272838758374906967565010586332339/1022899536657199924473556959073059433112979568502008067019*a^10 + 14202075901144722662429266788946248936847174278390969248/340966512219066641491185653024353144370993189500669355673*a^9 - 20187881767983756923850698562791599951856082348046675783/340966512219066641491185653024353144370993189500669355673*a^8 + 1266441051546162637390641484228807146646734522384632359/37885168024340737943465072558261460485665909944518817297*a^7 - 13141615789694571350841945607908148185449908626222862007/113655504073022213830395217674784381456997729833556451891*a^6 + 469775585685755117629056399385116698394874601379892636/4209463113815637549273896950917940053962878882724313033*a^5 - 7738711813544814805569990747460011420688344845852407942/37885168024340737943465072558261460485665909944518817297*a^4 + 1231348409886560915858733937893418121408607036288039073/12628389341446912647821690852753820161888636648172939099*a^3 + 1249390381399919788367031903006655660889956446661045640/4209463113815637549273896950917940053962878882724313033*a^2 - 144969404927624234261313161617902332092013960500759652/467718123757293061030432994546437783773653209191590337*a + 42969898752279757971925717674794138466787849498409096/155906041252431020343477664848812594591217736397196779

sage: K.integral_basis()

gp: K.zk

magma: IntegralBasis(K);

oscar: basis(OK)

Monogenic:		No
Index:		Not computed
Inessential primes:		$3$

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()

gp: K.clgp

magma: ClassGroup(K);

oscar: class_group(K)

Unit group

sage: UK = K.unit_group()

magma: UK, fUK := UnitGroup(K);

oscar: UK, fUK = unit_group(OK)

Rank:	$14$	sage: UK.rank() gp: K.fu magma: UnitRank(K); oscar: rank(UK)
Torsion generator:	\( -\frac{17240303365876863765732656419376340682469}{59058307037381865563052279638600485479572673} a^{29} + \frac{10166566551583970140711423627320830797232}{59058307037381865563052279638600485479572673} a^{28} - \frac{67678054620361900780146076046996910202402}{19686102345793955187684093212866828493190891} a^{27} + \frac{230829970243523141033020719991861178114737}{19686102345793955187684093212866828493190891} a^{26} - \frac{1113395891465648914640434494394938747891794}{19686102345793955187684093212866828493190891} a^{25} + \frac{3822240881692960369901247648111492149173117}{19686102345793955187684093212866828493190891} a^{24} - \frac{37848747529731382545608466649026300153743839}{59058307037381865563052279638600485479572673} a^{23} + \frac{104728577812217625409984431483005409814057531}{59058307037381865563052279638600485479572673} a^{22} - \frac{33140300279142901862255430506119199291802538}{6562034115264651729228031070955609497730297} a^{21} + \frac{718577946267968546054639497068341451751309786}{59058307037381865563052279638600485479572673} a^{20} - \frac{1806539382225062528177134129976064227160314974}{59058307037381865563052279638600485479572673} a^{19} + \frac{1518124354046899318167390245430748440087923000}{19686102345793955187684093212866828493190891} a^{18} - \frac{4041228218252847128907407260893834677055345163}{19686102345793955187684093212866828493190891} a^{17} + \frac{16683862372054993358864746794673323917019413}{31700647899829235406898700825872509650871} a^{16} - \frac{24559530661140143253979389375113794120457830973}{19686102345793955187684093212866828493190891} a^{15} + \frac{165250949628186772549645709958918208645653101843}{59058307037381865563052279638600485479572673} a^{14} - \frac{354379390190139123097533623815978113935669118890}{59058307037381865563052279638600485479572673} a^{13} + \frac{78473111054066411257168767350698673618290533971}{6562034115264651729228031070955609497730297} a^{12} - \frac{410981901890143514005765414123533052449595104767}{19686102345793955187684093212866828493190891} a^{11} + \frac{67253612884774521743965756138194203741805595210}{2187344705088217243076010356985203165910099} a^{10} - \frac{27729354552007667643772408710133672929492078329}{729114901696072414358670118995067721970033} a^{9} + \frac{87248112007248015454744277625518328697967416088}{2187344705088217243076010356985203165910099} a^{8} - \frac{78176582382846781161047682008722997620533228728}{2187344705088217243076010356985203165910099} a^{7} + \frac{15051782725862379476775773291366471061664238}{556151717540863779068398260103026485103} a^{6} - \frac{12499233710878423811675624348901580021467635657}{729114901696072414358670118995067721970033} a^{5} + \frac{762835590123433623570483732659219489381153540}{81012766855119157150963346555007524663337} a^{4} - \frac{41406321804769367425051723860403850514482815}{9001418539457684127884816283889724962593} a^{3} + \frac{47338291813799531068085097058835292988823156}{27004255618373052383654448851669174887779} a^{2} - \frac{3793307478431774579124009715514562797941385}{9001418539457684127884816283889724962593} a + \frac{138764118402052272380358033203706218271370}{3000472846485894709294938761296574987531} \) -(17240303365876863765732656419376340682469)/(59058307037381865563052279638600485479572673)a^(29) + (10166566551583970140711423627320830797232)/(59058307037381865563052279638600485479572673)a^(28) - (67678054620361900780146076046996910202402)/(19686102345793955187684093212866828493190891)a^(27) + (230829970243523141033020719991861178114737)/(19686102345793955187684093212866828493190891)a^(26) - (1113395891465648914640434494394938747891794)/(19686102345793955187684093212866828493190891)a^(25) + (3822240881692960369901247648111492149173117)/(19686102345793955187684093212866828493190891)a^(24) - (37848747529731382545608466649026300153743839)/(59058307037381865563052279638600485479572673)a^(23) + (104728577812217625409984431483005409814057531)/(59058307037381865563052279638600485479572673)a^(22) - (33140300279142901862255430506119199291802538)/(6562034115264651729228031070955609497730297)a^(21) + (718577946267968546054639497068341451751309786)/(59058307037381865563052279638600485479572673)a^(20) - (1806539382225062528177134129976064227160314974)/(59058307037381865563052279638600485479572673)a^(19) + (1518124354046899318167390245430748440087923000)/(19686102345793955187684093212866828493190891)a^(18) - (4041228218252847128907407260893834677055345163)/(19686102345793955187684093212866828493190891)a^(17) + (16683862372054993358864746794673323917019413)/(31700647899829235406898700825872509650871)a^(16) - (24559530661140143253979389375113794120457830973)/(19686102345793955187684093212866828493190891)a^(15) + (165250949628186772549645709958918208645653101843)/(59058307037381865563052279638600485479572673)a^(14) - (354379390190139123097533623815978113935669118890)/(59058307037381865563052279638600485479572673)a^(13) + (78473111054066411257168767350698673618290533971)/(6562034115264651729228031070955609497730297)a^(12) - (410981901890143514005765414123533052449595104767)/(19686102345793955187684093212866828493190891)a^(11) + (67253612884774521743965756138194203741805595210)/(2187344705088217243076010356985203165910099)a^(10) - (27729354552007667643772408710133672929492078329)/(729114901696072414358670118995067721970033)a^(9) + (87248112007248015454744277625518328697967416088)/(2187344705088217243076010356985203165910099)a^(8) - (78176582382846781161047682008722997620533228728)/(2187344705088217243076010356985203165910099)a^(7) + (15051782725862379476775773291366471061664238)/(556151717540863779068398260103026485103)a^(6) - (12499233710878423811675624348901580021467635657)/(729114901696072414358670118995067721970033)a^(5) + (762835590123433623570483732659219489381153540)/(81012766855119157150963346555007524663337)a^(4) - (41406321804769367425051723860403850514482815)/(9001418539457684127884816283889724962593)a^(3) + (47338291813799531068085097058835292988823156)/(27004255618373052383654448851669174887779)a^(2) - (3793307478431774579124009715514562797941385)/(9001418539457684127884816283889724962593)*a + (138764118402052272380358033203706218271370)/(3000472846485894709294938761296574987531) (order $6$)	sage: UK.torsion_generator() gp: K.tu[2] magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K); oscar: torsion_units_generator(OK)
Fundamental units:	$\frac{14\!\cdots\!66}{34\!\cdots\!73}a^{29}-\frac{90\!\cdots\!28}{30\!\cdots\!57}a^{28}+\frac{52\!\cdots\!71}{10\!\cdots\!19}a^{27}-\frac{54\!\cdots\!69}{30\!\cdots\!57}a^{26}+\frac{26\!\cdots\!88}{30\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{30\!\cdots\!98}{10\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{30\!\cdots\!61}{30\!\cdots\!57}a^{23}-\frac{27\!\cdots\!08}{10\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{26\!\cdots\!91}{34\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{63\!\cdots\!19}{34\!\cdots\!73}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!96}{30\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{96\!\cdots\!16}{30\!\cdots\!57}a^{17}-\frac{24\!\cdots\!61}{30\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!19}{10\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!05}{30\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{95\!\cdots\!37}{10\!\cdots\!19}a^{13}-\frac{33\!\cdots\!04}{17\!\cdots\!67}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!43}{34\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!49}{34\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{69\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!91}a^{9}-\frac{73\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!91}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!66}{37\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{56\!\cdots\!20}{12\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{36\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!99}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!27}{12\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{33\!\cdots\!72}{42\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{43\!\cdots\!53}{14\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{36\!\cdots\!22}{46\!\cdots\!37}a-\frac{10\!\cdots\!13}{12\!\cdots\!77}$, $\frac{17\!\cdots\!49}{92\!\cdots\!71}a^{29}-\frac{28\!\cdots\!85}{92\!\cdots\!71}a^{28}+\frac{11\!\cdots\!05}{92\!\cdots\!71}a^{27}-\frac{11\!\cdots\!71}{30\!\cdots\!57}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!23}{92\!\cdots\!71}a^{25}-\frac{52\!\cdots\!02}{92\!\cdots\!71}a^{24}+\frac{17\!\cdots\!75}{92\!\cdots\!71}a^{23}-\frac{19\!\cdots\!85}{30\!\cdots\!57}a^{22}+\frac{52\!\cdots\!86}{30\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{44\!\cdots\!95}{92\!\cdots\!71}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!39}{92\!\cdots\!71}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!88}{92\!\cdots\!71}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!72}{30\!\cdots\!57}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!79}{92\!\cdots\!71}a^{16}+\frac{46\!\cdots\!96}{92\!\cdots\!71}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!97}{92\!\cdots\!71}a^{14}+\frac{80\!\cdots\!49}{30\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{90\!\cdots\!97}{16\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!56}{10\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!91}a^{10}+\frac{91\!\cdots\!77}{34\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!54}{34\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{36\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!91}a^{7}-\frac{30\!\cdots\!45}{11\!\cdots\!91}a^{6}+\frac{72\!\cdots\!22}{37\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!94}{12\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{24\!\cdots\!29}{42\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{40\!\cdots\!00}{15\!\cdots\!79}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!79}a-\frac{15\!\cdots\!39}{15\!\cdots\!79}$, $\frac{60\!\cdots\!98}{92\!\cdots\!71}a^{29}-\frac{32\!\cdots\!34}{92\!\cdots\!71}a^{28}+\frac{70\!\cdots\!62}{92\!\cdots\!71}a^{27}-\frac{23\!\cdots\!96}{92\!\cdots\!71}a^{26}+\frac{50\!\cdots\!48}{40\!\cdots\!77}a^{25}-\frac{39\!\cdots\!48}{92\!\cdots\!71}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!69}{92\!\cdots\!71}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!35}{30\!\cdots\!57}a^{22}+\frac{33\!\cdots\!58}{30\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{24\!\cdots\!86}{92\!\cdots\!71}a^{20}+\frac{61\!\cdots\!99}{92\!\cdots\!71}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!00}{92\!\cdots\!71}a^{18}+\frac{41\!\cdots\!27}{92\!\cdots\!71}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!33}{92\!\cdots\!71}a^{16}+\frac{25\!\cdots\!24}{92\!\cdots\!71}a^{15}-\frac{55\!\cdots\!62}{92\!\cdots\!71}a^{14}+\frac{39\!\cdots\!96}{30\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{41\!\cdots\!57}{16\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{45\!\cdots\!82}{10\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{67\!\cdots\!19}{10\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{91\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!91}a^{9}-\frac{28\!\cdots\!60}{34\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{83\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!91}a^{7}-\frac{62\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!91}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!45}{37\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{69\!\cdots\!90}{37\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!85}{12\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!50}{42\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{32\!\cdots\!35}{46\!\cdots\!37}a-\frac{85\!\cdots\!64}{15\!\cdots\!79}$, $\frac{95\!\cdots\!33}{30\!\cdots\!57}a^{29}-\frac{28\!\cdots\!75}{92\!\cdots\!71}a^{28}+\frac{41\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!91}a^{27}-\frac{12\!\cdots\!89}{92\!\cdots\!71}a^{26}+\frac{59\!\cdots\!58}{92\!\cdots\!71}a^{25}-\frac{70\!\cdots\!42}{30\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{70\!\cdots\!36}{92\!\cdots\!71}a^{23}-\frac{65\!\cdots\!51}{30\!\cdots\!57}a^{22}+\frac{18\!\cdots\!53}{30\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{45\!\cdots\!86}{30\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{34\!\cdots\!15}{92\!\cdots\!71}a^{19}-\frac{96\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!08}{92\!\cdots\!71}a^{17}-\frac{58\!\cdots\!58}{92\!\cdots\!71}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{31\!\cdots\!15}{92\!\cdots\!71}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!97}{30\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{24\!\cdots\!17}{16\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{90\!\cdots\!57}{34\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{41\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!64}{34\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!47}{34\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{57\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!91}a^{7}-\frac{44\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!91}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!20}{12\!\cdots\!99}a^{5}-\frac{53\!\cdots\!81}{37\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{89\!\cdots\!16}{12\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!70}{42\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{34\!\cdots\!02}{46\!\cdots\!37}a-\frac{12\!\cdots\!39}{15\!\cdots\!79}$, $\frac{17\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!19}a^{29}-\frac{15\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!91}a^{28}+\frac{62\!\cdots\!98}{30\!\cdots\!57}a^{27}-\frac{22\!\cdots\!08}{30\!\cdots\!57}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!17}{30\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{36\!\cdots\!66}{30\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!96}{30\!\cdots\!57}a^{23}-\frac{34\!\cdots\!20}{30\!\cdots\!57}a^{22}+\frac{96\!\cdots\!30}{30\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{78\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!19}a^{20}+\frac{19\!\cdots\!05}{10\!\cdots\!19}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!72}{30\!\cdots\!57}a^{18}+\frac{39\!\cdots\!37}{30\!\cdots\!57}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!70}{30\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!78}{30\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{54\!\cdots\!63}{30\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!95}{30\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!83}{16\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!65}{10\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{86\!\cdots\!55}{34\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!18}{37\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!70}{49\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!91}a^{6}+\frac{46\!\cdots\!91}{37\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{25\!\cdots\!40}{37\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{42\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{55\!\cdots\!09}{42\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{52\!\cdots\!58}{15\!\cdots\!79}a-\frac{61\!\cdots\!26}{15\!\cdots\!79}$, $\frac{25\!\cdots\!29}{48\!\cdots\!09}a^{29}-\frac{17\!\cdots\!46}{48\!\cdots\!09}a^{28}+\frac{29\!\cdots\!62}{48\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{11\!\cdots\!24}{53\!\cdots\!01}a^{26}+\frac{49\!\cdots\!12}{48\!\cdots\!09}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!52}{48\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{57\!\cdots\!06}{48\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{52\!\cdots\!49}{16\!\cdots\!03}a^{22}+\frac{15\!\cdots\!41}{16\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!57}{48\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{27\!\cdots\!95}{48\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{69\!\cdots\!42}{48\!\cdots\!09}a^{18}+\frac{26\!\cdots\!36}{70\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{47\!\cdots\!67}{48\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!10}{48\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!27}{48\!\cdots\!09}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!74}{16\!\cdots\!03}a^{13}-\frac{35\!\cdots\!39}{16\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!69}{28\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{34\!\cdots\!62}{59\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!78}{17\!\cdots\!67}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!57}{17\!\cdots\!67}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!34}{31\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{30\!\cdots\!39}{59\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{65\!\cdots\!26}{19\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!39}{66\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!83}{22\!\cdots\!07}a^{3}-\frac{27\!\cdots\!61}{82\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{20\!\cdots\!61}{24\!\cdots\!23}a-\frac{71\!\cdots\!06}{82\!\cdots\!41}$, $\frac{14\!\cdots\!42}{92\!\cdots\!71}a^{29}-\frac{14\!\cdots\!31}{92\!\cdots\!71}a^{28}+\frac{16\!\cdots\!35}{92\!\cdots\!71}a^{27}-\frac{64\!\cdots\!38}{92\!\cdots\!71}a^{26}+\frac{29\!\cdots\!08}{92\!\cdots\!71}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!85}{92\!\cdots\!71}a^{24}+\frac{34\!\cdots\!00}{92\!\cdots\!71}a^{23}-\frac{32\!\cdots\!89}{30\!\cdots\!57}a^{22}+\frac{93\!\cdots\!67}{30\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{68\!\cdots\!09}{92\!\cdots\!71}a^{20}+\frac{17\!\cdots\!13}{92\!\cdots\!71}a^{19}-\frac{43\!\cdots\!83}{92\!\cdots\!71}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!16}{92\!\cdots\!71}a^{17}-\frac{29\!\cdots\!44}{92\!\cdots\!71}a^{16}+\frac{70\!\cdots\!99}{92\!\cdots\!71}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!71}{92\!\cdots\!71}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!09}{30\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!69}{16\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{45\!\cdots\!54}{34\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{22\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!91}a^{10}+\frac{87\!\cdots\!23}{34\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{94\!\cdots\!43}{34\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{29\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!91}a^{7}-\frac{22\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!91}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!34}{12\!\cdots\!99}a^{5}-\frac{92\!\cdots\!55}{12\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{67\!\cdots\!68}{18\!\cdots\!71}a^{3}-\frac{23\!\cdots\!04}{15\!\cdots\!79}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!50}{46\!\cdots\!37}a-\frac{32\!\cdots\!42}{67\!\cdots\!73}$, $\frac{29\!\cdots\!17}{92\!\cdots\!71}a^{29}-\frac{21\!\cdots\!49}{92\!\cdots\!71}a^{28}+\frac{34\!\cdots\!36}{92\!\cdots\!71}a^{27}-\frac{12\!\cdots\!91}{92\!\cdots\!71}a^{26}+\frac{58\!\cdots\!52}{92\!\cdots\!71}a^{25}-\frac{20\!\cdots\!49}{92\!\cdots\!71}a^{24}+\frac{66\!\cdots\!84}{92\!\cdots\!71}a^{23}-\frac{62\!\cdots\!35}{30\!\cdots\!57}a^{22}+\frac{19\!\cdots\!31}{34\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!27}{92\!\cdots\!71}a^{20}+\frac{32\!\cdots\!80}{92\!\cdots\!71}a^{19}-\frac{81\!\cdots\!37}{92\!\cdots\!71}a^{18}+\frac{21\!\cdots\!37}{92\!\cdots\!71}a^{17}-\frac{55\!\cdots\!68}{92\!\cdots\!71}a^{16}+\frac{57\!\cdots\!50}{40\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{29\!\cdots\!74}{92\!\cdots\!71}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!08}{30\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{74\!\cdots\!76}{53\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{37\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!03}{34\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!14}{34\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{49\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!91}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!99}{37\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{80\!\cdots\!87}{37\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{44\!\cdots\!01}{37\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{72\!\cdots\!46}{12\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{94\!\cdots\!88}{42\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{26\!\cdots\!52}{46\!\cdots\!37}a-\frac{98\!\cdots\!72}{15\!\cdots\!79}$, $\frac{24\!\cdots\!00}{30\!\cdots\!57}a^{29}-\frac{47\!\cdots\!00}{92\!\cdots\!71}a^{28}+\frac{29\!\cdots\!66}{30\!\cdots\!57}a^{27}-\frac{30\!\cdots\!43}{92\!\cdots\!71}a^{26}+\frac{14\!\cdots\!56}{92\!\cdots\!71}a^{25}-\frac{16\!\cdots\!15}{30\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{16\!\cdots\!42}{92\!\cdots\!71}a^{23}-\frac{17\!\cdots\!18}{34\!\cdots\!73}a^{22}+\frac{43\!\cdots\!37}{30\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!10}{30\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{79\!\cdots\!17}{92\!\cdots\!71}a^{19}-\frac{66\!\cdots\!38}{30\!\cdots\!57}a^{18}+\frac{53\!\cdots\!49}{92\!\cdots\!71}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!93}{92\!\cdots\!71}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!52}{30\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{72\!\cdots\!44}{92\!\cdots\!71}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!19}a^{13}-\frac{54\!\cdots\!34}{16\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{60\!\cdots\!69}{10\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!63}{34\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{45\!\cdots\!67}{42\!\cdots\!33}a^{9}-\frac{38\!\cdots\!20}{34\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{38\!\cdots\!70}{37\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{86\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!91}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!83}{37\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!31}{42\!\cdots\!33}a^{4}+\frac{53\!\cdots\!82}{42\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{67\!\cdots\!86}{14\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{51\!\cdots\!38}{46\!\cdots\!37}a-\frac{16\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!79}$, $\frac{32\!\cdots\!48}{92\!\cdots\!71}a^{29}-\frac{18\!\cdots\!61}{92\!\cdots\!71}a^{28}+\frac{38\!\cdots\!72}{92\!\cdots\!71}a^{27}-\frac{14\!\cdots\!04}{10\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{62\!\cdots\!04}{92\!\cdots\!71}a^{25}-\frac{21\!\cdots\!20}{92\!\cdots\!71}a^{24}+\frac{70\!\cdots\!17}{92\!\cdots\!71}a^{23}-\frac{65\!\cdots\!08}{30\!\cdots\!57}a^{22}+\frac{18\!\cdots\!00}{30\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!65}{92\!\cdots\!71}a^{20}+\frac{33\!\cdots\!17}{92\!\cdots\!71}a^{19}-\frac{84\!\cdots\!60}{92\!\cdots\!71}a^{18}+\frac{75\!\cdots\!28}{30\!\cdots\!57}a^{17}-\frac{57\!\cdots\!98}{92\!\cdots\!71}a^{16}+\frac{59\!\cdots\!79}{40\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!91}{92\!\cdots\!71}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!95}{30\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!07}{16\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{25\!\cdots\!56}{10\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{37\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!27}{34\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!89}{34\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{47\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!91}a^{7}-\frac{35\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!91}a^{6}+\frac{74\!\cdots\!74}{37\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{40\!\cdots\!30}{37\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{65\!\cdots\!47}{12\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{82\!\cdots\!83}{42\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{21\!\cdots\!47}{46\!\cdots\!37}a-\frac{69\!\cdots\!49}{15\!\cdots\!79}$, $\frac{91\!\cdots\!82}{92\!\cdots\!71}a^{29}-\frac{18\!\cdots\!31}{30\!\cdots\!57}a^{28}+\frac{10\!\cdots\!94}{92\!\cdots\!71}a^{27}-\frac{37\!\cdots\!63}{92\!\cdots\!71}a^{26}+\frac{59\!\cdots\!59}{30\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{61\!\cdots\!35}{92\!\cdots\!71}a^{24}+\frac{67\!\cdots\!21}{30\!\cdots\!57}a^{23}-\frac{18\!\cdots\!00}{30\!\cdots\!57}a^{22}+\frac{19\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!91}a^{21}-\frac{38\!\cdots\!57}{92\!\cdots\!71}a^{20}+\frac{32\!\cdots\!79}{30\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!28}{92\!\cdots\!71}a^{18}+\frac{64\!\cdots\!86}{92\!\cdots\!71}a^{17}-\frac{55\!\cdots\!40}{30\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{39\!\cdots\!05}{92\!\cdots\!71}a^{15}-\frac{29\!\cdots\!22}{30\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{63\!\cdots\!40}{30\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{73\!\cdots\!98}{17\!\cdots\!67}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!65}{34\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{36\!\cdots\!64}{34\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{44\!\cdots\!93}{34\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!86}{11\!\cdots\!91}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!91}a^{7}-\frac{41\!\cdots\!78}{42\!\cdots\!33}a^{6}+\frac{83\!\cdots\!35}{12\!\cdots\!99}a^{5}-\frac{49\!\cdots\!70}{12\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{87\!\cdots\!24}{42\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!69}{14\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!55}{46\!\cdots\!37}a-\frac{41\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!79}$, $\frac{83\!\cdots\!32}{92\!\cdots\!71}a^{29}-\frac{47\!\cdots\!40}{72\!\cdots\!73}a^{28}+\frac{97\!\cdots\!42}{92\!\cdots\!71}a^{27}-\frac{11\!\cdots\!19}{30\!\cdots\!57}a^{26}+\frac{16\!\cdots\!92}{92\!\cdots\!71}a^{25}-\frac{57\!\cdots\!04}{92\!\cdots\!71}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!26}{92\!\cdots\!71}a^{23}-\frac{17\!\cdots\!52}{30\!\cdots\!57}a^{22}+\frac{49\!\cdots\!58}{30\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{36\!\cdots\!64}{92\!\cdots\!71}a^{20}+\frac{90\!\cdots\!10}{92\!\cdots\!71}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!46}{92\!\cdots\!71}a^{18}+\frac{74\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!91}a^{17}-\frac{15\!\cdots\!75}{92\!\cdots\!71}a^{16}+\frac{37\!\cdots\!89}{92\!\cdots\!71}a^{15}-\frac{83\!\cdots\!62}{92\!\cdots\!71}a^{14}+\frac{59\!\cdots\!15}{30\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{62\!\cdots\!01}{16\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{69\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{34\!\cdots\!62}{34\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{42\!\cdots\!48}{34\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{45\!\cdots\!50}{34\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{59\!\cdots\!13}{49\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!91}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!34}{37\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!16}{42\!\cdots\!33}a^{4}+\frac{66\!\cdots\!78}{42\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{85\!\cdots\!49}{14\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{68\!\cdots\!89}{46\!\cdots\!37}a-\frac{24\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!79}$, $\frac{75\!\cdots\!98}{92\!\cdots\!71}a^{29}-\frac{57\!\cdots\!52}{92\!\cdots\!71}a^{28}+\frac{89\!\cdots\!01}{92\!\cdots\!71}a^{27}-\frac{13\!\cdots\!98}{40\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{15\!\cdots\!78}{92\!\cdots\!71}a^{25}-\frac{52\!\cdots\!53}{92\!\cdots\!71}a^{24}+\frac{17\!\cdots\!51}{92\!\cdots\!71}a^{23}-\frac{16\!\cdots\!90}{30\!\cdots\!57}a^{22}+\frac{15\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{33\!\cdots\!14}{92\!\cdots\!71}a^{20}+\frac{83\!\cdots\!14}{92\!\cdots\!71}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!60}{92\!\cdots\!71}a^{18}+\frac{56\!\cdots\!84}{92\!\cdots\!71}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!04}{92\!\cdots\!71}a^{16}+\frac{34\!\cdots\!99}{92\!\cdots\!71}a^{15}-\frac{77\!\cdots\!79}{92\!\cdots\!71}a^{14}+\frac{43\!\cdots\!98}{24\!\cdots\!91}a^{13}-\frac{34\!\cdots\!27}{94\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{64\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{96\!\cdots\!93}{10\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{40\!\cdots\!45}{34\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{43\!\cdots\!79}{34\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!91}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!40}{12\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{21\!\cdots\!53}{37\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!40}{37\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!16}{12\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{25\!\cdots\!03}{42\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{73\!\cdots\!86}{46\!\cdots\!37}a-\frac{28\!\cdots\!96}{15\!\cdots\!79}$, $\frac{50\!\cdots\!63}{92\!\cdots\!71}a^{29}+\frac{45\!\cdots\!51}{30\!\cdots\!57}a^{28}+\frac{58\!\cdots\!63}{92\!\cdots\!71}a^{27}-\frac{16\!\cdots\!85}{92\!\cdots\!71}a^{26}+\frac{28\!\cdots\!50}{30\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{27\!\cdots\!84}{92\!\cdots\!71}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{81\!\cdots\!45}{30\!\cdots\!57}a^{22}+\frac{23\!\cdots\!56}{30\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!68}{92\!\cdots\!71}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!43}{30\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!83}{92\!\cdots\!71}a^{18}+\frac{28\!\cdots\!35}{92\!\cdots\!71}a^{17}-\frac{23\!\cdots\!65}{30\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!99}{92\!\cdots\!71}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!83}{37\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{26\!\cdots\!42}{30\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{26\!\cdots\!13}{16\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{28\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{39\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!12}{34\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{49\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!91}a^{8}+\frac{40\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!91}a^{7}-\frac{27\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!91}a^{6}+\frac{52\!\cdots\!06}{37\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!54}{37\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{40\!\cdots\!36}{12\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{34\!\cdots\!58}{42\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{43\!\cdots\!08}{46\!\cdots\!37}a+\frac{25\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!79}$ 147326509423245146159392131791221598674014172251085366/340966512219066641491185653024353144370993189500669355673a^29 - 907082342685779063120637183309971698386301823956067828/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^28 + 5252629511152721066028360113819083161450752867115148571/1022899536657199924473556959073059433112979568502008067019a^27 - 54571370926605632476933358426099751753631784944844426569/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^26 + 262921287221845626399243324604573116167477535276839286188/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^25 - 302100711371313039159572298217915663893259979212684225298/1022899536657199924473556959073059433112979568502008067019a^24 + 3003316540365915315320810623285453745070979463620114248361/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^23 - 2781102373552678098056620523352008259551493792767845300408/1022899536657199924473556959073059433112979568502008067019a^22 + 2640669867319874732660498692270375217672626381879211201891/340966512219066641491185653024353144370993189500669355673a^21 - 6393846429460027905273041578296336495690390936079227791719/340966512219066641491185653024353144370993189500669355673a^20 + 144608572678702262195696664576471792734111422706703433496596/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^19 - 121327083353475072059469223086710341925647903193521369885564/1022899536657199924473556959073059433112979568502008067019a^18 + 967964887426604734108571925157076167820742317945455333291016/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^17 - 2483423329712135026018917815972703741885159556285922382018061/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^16 + 1969610740632726491134157425089284374727071608012662112665119/1022899536657199924473556959073059433112979568502008067019a^15 - 13278686923569772734960162915603138738291319312513999325736605/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^14 + 9510171925744699116409229578344778212527613750529887040485437/1022899536657199924473556959073059433112979568502008067019a^13 - 333604376461767198845184653127535838483436194918452716861704/17945605906266665341641350159176481282683852078982597667a^12 + 11140121021616141102191225776886132665038565850270327455566043/340966512219066641491185653024353144370993189500669355673a^11 - 16567014600157214405392454743040602050034056444931189973692849/340966512219066641491185653024353144370993189500669355673a^10 + 6904618091054294783236341709625300394286832904517730957856214/113655504073022213830395217674784381456997729833556451891a^9 - 7321235104011961376127874373461427102309038438588810153845869/113655504073022213830395217674784381456997729833556451891a^8 + 2210947223306552067563705732365162620754583644967593450653266/37885168024340737943465072558261460485665909944518817297a^7 - 565436064870826837084018484508892757326067586095319255634720/12628389341446912647821690852753820161888636648172939099a^6 + 363398839473386863334765979142091799649116340133397555843697/12628389341446912647821690852753820161888636648172939099a^5 - 201364273296546718937382481351095080517091526969716981051927/12628389341446912647821690852753820161888636648172939099a^4 + 33062140669822047467918932401451583922414228058301613459172/4209463113815637549273896950917940053962878882724313033a^3 - 4338158350128470166370314629256073384108772805031282546453/1403154371271879183091298983639313351320959627574771011a^2 + 364449268983544723372245124425059577382087738350517837622/467718123757293061030432994546437783773653209191590337a - 108861340617274325889294915349583484596650430884155713/1227606624034889923964391061801673973159194774781077, 1758197276300593621857354491286981240015424249825849/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^29 - 282568061230766070625665872156765601235436530251624085/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^28 + 112491934898340351849241191305620151806890630801917105/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^27 - 1112009134049576698048797017960274784735311247682183771/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^26 + 10794939724677543856506599373248763037106670320993881123/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^25 - 52651755801208697044067427671349243637966493289882647402/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^24 + 176743407017574827606681597298929503407057946698725176175/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^23 - 192966278352369861137216067879626413127567780887778925985/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^22 + 525743774376932862636853232855121720435151708900926342386/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^21 - 4491433613518843459598775307752395787395270433401715871895/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^20 + 10635372580531960956559088805287383668216203124693277721339/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^19 - 26866721196053850825005581365381290141776356459805200460288/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^18 + 22622614714846018335310280072467411632074515573244674380272/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^17 - 181559865533778778580596852186465071632803468131937738539779/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^16 + 462957180765569004194243475209885647146831582503420881378696/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^15 - 1086213273735008369422205538507152314864873758732145750758397/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^14 + 806014579726401777638267969224365512540824852883938581529649/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^13 - 90367574810258102294276236284505141440928171527710303993197/161510453156399988074772151432588331544154668710843379003a^12 + 1126874661838822388665428677417807056156999836022928592330656/1022899536657199924473556959073059433112979568502008067019a^11 - 213600839625012462134160050096628716439690997293311551028476/113655504073022213830395217674784381456997729833556451891a^10 + 912494352610815104237807763542132927595923803021149293235577/340966512219066641491185653024353144370993189500669355673a^9 - 1084074772379766599078618017520902205181906022378534785615754/340966512219066641491185653024353144370993189500669355673a^8 + 362414725807140571292396369966351447124634356350225491236248/113655504073022213830395217674784381456997729833556451891a^7 - 308652755001704861142972818167178665035211434704731830166645/113655504073022213830395217674784381456997729833556451891a^6 + 72952014085268521164659922817986672288065801285364442714322/37885168024340737943465072558261460485665909944518817297a^5 - 14150734442946604107285821646376847328640600992285193994794/12628389341446912647821690852753820161888636648172939099a^4 + 2410817444470909186753676194556184553515963571206367732229/4209463113815637549273896950917940053962878882724313033a^3 - 40920524260312714754812328988625696686281263069664723400/155906041252431020343477664848812594591217736397196779a^2 + 12386486767672836421562039923708491808490822165762860145/155906041252431020343477664848812594591217736397196779a - 1587682118472695586509171073500730495396901159927414139/155906041252431020343477664848812594591217736397196779, 603778071470334549905411257263930035403802253060769898/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^29 - 321262556400201663229288667304555423581976264285417134/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^28 + 7050889008777832749669913794463888007064028216894539062/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^27 - 23882006056108755955304449885080837879738391254537209696/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^26 + 5004228928314023756804647267476420241170806484331158448/400265036083252144359217940506849343392035483326872721877a^25 - 393986499987362949708708842118545414498108242969488942548/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^24 + 1296718926610762784907497046531604630322962180212383350369/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^23 - 1191703751315938892941719003292034904949865889818471260535/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^22 + 3393430362719335003454247374701928466211370940124731325358/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^21 - 24428187568020463171625870776563213462253734153713995572386/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^20 + 61411310230975931840552934715278995638639126440880528435399/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^19 - 155006931942302038760776525383110194184396173237735701317500/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^18 + 413062643337091395666215577755974340518155843694500676942627/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^17 - 1058286104205519560281728044116641221937084209216686473077233/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^16 + 2501722707436615263984383434613380107720572852957035813143724/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^15 - 5599220705412180252539066093570278602592593706303199913305162/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^14 + 3996355493606910410425577191062157801615503931760889584321896/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^13 - 417967365539385057065438178450120680692457472466763296772557/161510453156399988074772151432588331544154668710843379003a^12 + 4594291132053473814494272393195351103330051844381859366297382/1022899536657199924473556959073059433112979568502008067019a^11 - 6704976223288847497910786413751400434239496831624405621450219/1022899536657199924473556959073059433112979568502008067019a^10 + 911303421984196863058914325977937479195652067999137513038793/113655504073022213830395217674784381456997729833556451891a^9 - 2832567880087809013592359470567762692207983732607848560302660/340966512219066641491185653024353144370993189500669355673a^8 + 834701462415947663645553380366791857057239134431455700196201/113655504073022213830395217674784381456997729833556451891a^7 - 621642694134989847073978591504715978735033457018210055341943/113655504073022213830395217674784381456997729833556451891a^6 + 128584242902132027564757041061108105706313013246393937171445/37885168024340737943465072558261460485665909944518817297a^5 - 69446973318874652499989791873979726517725060458824435725390/37885168024340737943465072558261460485665909944518817297a^4 + 11164086267545083213457715562011921745522191750956897540285/12628389341446912647821690852753820161888636648172939099a^3 - 1353355598559326514555815546585103228488756099791765716650/4209463113815637549273896950917940053962878882724313033a^2 + 32060079305412939842594333251845191415166600010020955135/467718123757293061030432994546437783773653209191590337a - 850910040144496460338553077200296947097749220296707864/155906041252431020343477664848812594591217736397196779, 956174981157845675182122782302375479173923506412865333/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^29 - 2892767543294197180089723014663155642262656421923173175/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^28 + 419372442829288225463179147160325520569784464133880608/113655504073022213830395217674784381456997729833556451891a^27 - 129247665806995836374408181624578006138279728417136523989/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^26 + 597949035477792200700439310938747985315876196176784430858/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^25 - 707276338444521264139035948226062861975227360595500132542/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^24 + 7002685603969153051974582875763402378457859512644399576236/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^23 - 6583460049497852131609905247249436733789764482451561944651/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^22 + 18632369983560429891184319184258114644251714393405077303253/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^21 - 45853329710222961575783019751985685570704489319309372274186/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^20 + 342679965390579478232972956625072285737294510797753590343515/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^19 - 96100389404585267040026898406567380408876156076513343728250/1022899536657199924473556959073059433112979568502008067019a^18 + 2286984968279473994541087219768048355339121547341322915588508/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^17 - 5896354960798277049000851468840645464724707347474006596197658/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^16 + 204393041496286432611848365358288867888453229194618516951848/133421678694417381453072646835616447797345161108957573959a^15 - 31809475065644966863390891042848660232182332284253785161396115/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^14 + 22852559903121837657848755036027046755248080586053309112773597/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^13 - 2419778553644435755578507845538606331516677662787891628986017/161510453156399988074772151432588331544154668710843379003a^12 + 9082993515726147600568698603283317467777848358927819422993157/340966512219066641491185653024353144370993189500669355673a^11 - 41121768046703337807223540020867529158070063805541343907612215/1022899536657199924473556959073059433112979568502008067019a^10 + 17395591719012299434717441952038907292386731172467982993359564/340966512219066641491185653024353144370993189500669355673a^9 - 18703568545070456821720156031290720154555044987064466720714247/340966512219066641491185653024353144370993189500669355673a^8 + 5723416328421094578376696931545599394859963531612738000744954/113655504073022213830395217674784381456997729833556451891a^7 - 4453914443179763371815410529013777018383499167523358991525203/113655504073022213830395217674784381456997729833556451891a^6 + 322174746092581843960916005374471204562274527029023779958620/12628389341446912647821690852753820161888636648172939099a^5 - 538522866944592822170564922318633793080118419873349547691181/37885168024340737943465072558261460485665909944518817297a^4 + 89115034364517280862892563620974940046309178337125020530516/12628389341446912647821690852753820161888636648172939099a^3 - 11998711407375685995167400929936675736054925161145743349870/4209463113815637549273896950917940053962878882724313033a^2 + 341689730511258602222488972230293931124712243589730815002/467718123757293061030432994546437783773653209191590337a - 12837816980026896782066680405133757218598343695347525639/155906041252431020343477664848812594591217736397196779, 1750062741516082176333085997738785230992903317975078217/1022899536657199924473556959073059433112979568502008067019a^29 - 157191801553625467760547859760629202805546723541684273/113655504073022213830395217674784381456997729833556451891a^28 + 62010603723060583878611005808366891449888629778522595798/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^27 - 224328421037020590437598607166529308998817716059505854208/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^26 + 1057472074131946447601466935872964481568237739080015378117/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^25 - 3697015581816366816344534843813618933567478556583472626266/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^24 + 12200865803555154103799352803007778993786014613762488305896/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^23 - 34121541496194803872036604194064811187488605654054433422620/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^22 + 96838556296956368633812290812529906653680418733049141478630/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^21 - 78695717248125952832640449681968258498678931725636778953775/1022899536657199924473556959073059433112979568502008067019a^20 + 196838005218220981961510959642301979676485892445296440530405/1022899536657199924473556959073059433112979568502008067019a^19 - 1489739596146922095315800882111310914945377492100226062987272/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^18 + 3950700142917083223361365347900709861269783690612318434015637/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^17 - 10160582365883989910849872907277262929115722352728136252046570/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^16 + 24205687636151571815703472001907991662068474610992547399352478/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^15 - 54463499211473168793853720147751307917612127768613180078268363/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^14 + 117127313156507909204795569994221907348554678622595763328475995/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^13 - 12351467866683149694216810458871914343110282522232359582202283/161510453156399988074772151432588331544154668710843379003a^12 + 137995775578861790089868947638232999815889388290881449075196065/1022899536657199924473556959073059433112979568502008067019a^11 - 206115056909146722256643372934937358487330680206173772408709995/1022899536657199924473556959073059433112979568502008067019a^10 + 86274830573876973783908884012883621607496405213681887555618355/340966512219066641491185653024353144370993189500669355673a^9 - 10205016233375732194436476892866078699708538664506934599534818/37885168024340737943465072558261460485665909944518817297a^8 + 1210713493638196352744746770815447849196331504257074158057270/4941543655348791905669357290208016585086857818850280517a^7 - 21459238103556178664666291893017813641920524035909355878653015/113655504073022213830395217674784381456997729833556451891a^6 + 4616085193978265201865555666679558632664503690982638765239291/37885168024340737943465072558261460485665909944518817297a^5 - 2564523497820625621322010820668045807566979498790819714145740/37885168024340737943465072558261460485665909944518817297a^4 + 422556488313186032006667159155370821042922483845582151314353/12628389341446912647821690852753820161888636648172939099a^3 - 55878329455885067759755774766247900746889896964949891148809/4209463113815637549273896950917940053962878882724313033a^2 + 527373208386614268181854630614228833797382131457253319458/155906041252431020343477664848812594591217736397196779a - 61548115248710241840723100698474175958381502787759870926/155906041252431020343477664848812594591217736397196779, 253873631396914762813650762050107051717156000336282729/484531359469199964224316454297764994632464006132530137009a^29 - 174318674945360809964385170761377118862184782646193846/484531359469199964224316454297764994632464006132530137009a^28 + 2985342655219596661606990324130453142983351507333180762/484531359469199964224316454297764994632464006132530137009a^27 - 1165429406976299046729778289511812366047816696379317324/53836817718799996024924050477529443848051556236947793001a^26 + 49949146425469306467897177645176354661630362583447045712/484531359469199964224316454297764994632464006132530137009a^25 - 173015343953414921299048676789351576820734692898245457852/484531359469199964224316454297764994632464006132530137009a^24 + 570438023678013741054792187449778486996602092413172340206/484531359469199964224316454297764994632464006132530137009a^23 - 528604732300907042374265508491021279241066625453170678749/161510453156399988074772151432588331544154668710843379003a^22 + 1502293216718012637568067367331413793212632490171124491341/161510453156399988074772151432588331544154668710843379003a^21 - 10915278481250725947099550146379971726165106982472827134457/484531359469199964224316454297764994632464006132530137009a^20 + 27361225407173054425851686221473440431180837666211685229295/484531359469199964224316454297764994632464006132530137009a^19 - 69032632946102881600501175745226580216530667111084989841542/484531359469199964224316454297764994632464006132530137009a^18 + 2658681529958079155081108354186414236331852720381543552036/7022193615495651655424876149242970936702376900471451261a^17 - 471054271316633647789261631276773017758032671722865379677767/484531359469199964224316454297764994632464006132530137009a^16 + 1118627430219217188359255982725173166187142247428920471428410/484531359469199964224316454297764994632464006132530137009a^15 - 2511550521810315838653771333194502015572311918460271726626227/484531359469199964224316454297764994632464006132530137009a^14 + 1797103001884209140125517746874771905077857897117370956718274/161510453156399988074772151432588331544154668710843379003a^13 - 3588713137521310485981702694923556719645589416285796729899739/161510453156399988074772151432588331544154668710843379003a^12 + 110335185033881500384828133076304049605970902752582363257269/2833516722042105053943371077764707570950081907207778579a^11 - 344692705233486371013670717414844915577431018375660248020262/5981868635422221780547116719725493760894617359660865889a^10 + 1285038629182834258192319810077641181287556433779648575657178/17945605906266665341641350159176481282683852078982597667a^9 - 1353427864564961076532093115971560030722791229806284654289957/17945605906266665341641350159176481282683852078982597667a^8 + 21359498771443387703791074668518998999997276695872187471334/314835191338011672660374564196078618994453545245308731a^7 - 308693548251185326796620517473040055875207071660817121204739/5981868635422221780547116719725493760894617359660865889a^6 + 65430136258136378233175567077077911037388174370789946399826/1993956211807407260182372239908497920298205786553621963a^5 - 11990925782251510616891944733152032808004641756197253567939/664652070602469086727457413302832640099401928851207321a^4 + 1958515961170272987380318346247231155881136151260930777683/221550690200823028909152471100944213366467309617069107a^3 - 27944757106421281259717689882585451399213413062545704861/8205581118549001070709350781516452346906196652484041a^2 + 20124597782632779344212264788385092853150219379577192461/24616743355647003212128052344549357040718589957452123a - 717564503774450173612674787491492867347357768898948406/8205581118549001070709350781516452346906196652484041, 1423725855928863505704174465123707353184229508556561642/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^29 - 1456374396709356057647831221388553881668081289036870431/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^28 + 16922548555849819156652644741955093771498592362322130135/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^27 - 64350746541519117053431228494881126662950056297518328338/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^26 + 298210884708208574841327108442238097521703699126473291608/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^25 - 1058366584388211440458510744651601710280193539580250862185/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^24 + 3496781668216084936514910261621829564223631988031840068400/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^23 - 3290088707923858479913094081792248501051573049913010209989/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^22 + 9313933830155328045610066802464217058731012048101487889167/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^21 - 68818999533582110643022964086766575215819754908899506737709/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^20 + 171497531158679397092634352867522491869220695842915086702713/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^19 - 432632702929251862808256494090736416166820884251083433303783/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^18 + 1143761153033222340114354847821015065433078865347541079891516/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^17 - 2949112547538704584987529488083267906877552586473092348317744/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^16 + 7058954977970878818269791867619024344544136262613622836348699/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^15 - 15930928318901592426485994345937158240742026806184532082981071/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^14 + 11449522516636655668992867501803802527778225184198281352144009/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^13 - 1213242798556402502236430256831575312515087938086668903300669/161510453156399988074772151432588331544154668710843379003a^12 + 4560780441558022952918385925674363566210642444787957544801354/340966512219066641491185653024353144370993189500669355673a^11 - 2299483187820516917576084098135656576971674081475538464165584/113655504073022213830395217674784381456997729833556451891a^10 + 8778826242242317030881914877626517259523064561899374893657323/340966512219066641491185653024353144370993189500669355673a^9 - 9467293132459649535343404211428443977904253349589298110457943/340966512219066641491185653024353144370993189500669355673a^8 + 2907459569449413163895636522821182916571202896164616665789834/113655504073022213830395217674784381456997729833556451891a^7 - 2273826861522352317008859321123004213901832342573905767998358/113655504073022213830395217674784381456997729833556451891a^6 + 165625775220425567617615914435345148537454605181560661386534/12628389341446912647821690852753820161888636648172939099a^5 - 92894056225867991251903618062419861741783233873703713446055/12628389341446912647821690852753820161888636648172939099a^4 + 670946022649700975511075686206657366533598420719324997768/183020135383288589098865084822519132780994734031491871a^3 - 233781959776143627944549526269222778184636777008427594004/155906041252431020343477664848812594591217736397196779a^2 + 187283735157549149098765014219573280738747587247478070050/467718123757293061030432994546437783773653209191590337a - 327532477212401680221090180432300177597838032886552142/6778523532714392188846854993426634547444249408573773, 2927126128817781691607114732058179530860970912562211617/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^29 - 2180050653831750317516535178546749298944425810984209549/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^28 + 34560570747398592339506653746966997020035874249118995136/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^27 - 122847196728763097735622191168827079668767663258804046591/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^26 + 583178743640967062361040668988740059776499315869476069952/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^25 - 2028046908368129195638166966439779594236827764212176513349/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^24 + 6693848642801232389853017667484675536245497160736723982484/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^23 - 6221019996342026644615969171282738778026728072069149141635/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^22 + 1963534518612089749596874982103799292338768143393387151831/340966512219066641491185653024353144370993189500669355673a^21 - 128807674008653141329189288937267677036108426881095722810627/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^20 + 322635447609037771210713554886403424191299657745846545192980/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^19 - 813663828474992616198200234445344856973601258455662110902337/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^18 + 2160147931158861250179403240592002462408724230463017468718837/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^17 - 5550918840889899027572981858612168854006523188205691032115968/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^16 + 574184642874200804721460266780227000502866614549011163924450/400265036083252144359217940506849343392035483326872721877a^15 - 29686189278344753619726288924038094341201967623435401824577174/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^14 + 21260749001032296912618099700960297121312122162268411859782108/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^13 - 746138878932722482769291132265154190221750040323523741639576/53836817718799996024924050477529443848051556236947793001a^12 + 24932720760426230383463816089924074049315393972119035867054128/1022899536657199924473556959073059433112979568502008067019a^11 - 37082662429813752121539354698924398476825240973329855423134462/1022899536657199924473556959073059433112979568502008067019a^10 + 15442672871312984552096640324930371949097057156749403284919603/340966512219066641491185653024353144370993189500669355673a^9 - 16340726452576230297824561019645722342131591190967596209779214/340966512219066641491185653024353144370993189500669355673a^8 + 4919723693635211080859882211733933208670125559122180071408751/113655504073022213830395217674784381456997729833556451891a^7 - 1253543649827096743926188224652244226958572769306105697844499/37885168024340737943465072558261460485665909944518817297a^6 + 802436444139304609898369879201402509575571340734481987587087/37885168024340737943465072558261460485665909944518817297a^5 - 443348287030282637427204934736044078594804540932709917015101/37885168024340737943465072558261460485665909944518817297a^4 + 72612565079933889670531906024290945196930664508615888490646/12628389341446912647821690852753820161888636648172939099a^3 - 9451084263030996347998969983732914013283883409883369262888/4209463113815637549273896950917940053962878882724313033a^2 + 260964444268324072649164080309147041245963885002117054452/467718123757293061030432994546437783773653209191590337a - 9812116004414412859691924119487756366486679629620300072/155906041252431020343477664848812594591217736397196779, 249640257883699577296344864117167611007156861148822100/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^29 - 479751068905174476317413845908314041786503491624832800/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^28 + 2931263118833202255829431677380544463525237459471439166/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^27 - 30529673963540515419967958110590087183682909254936255143/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^26 + 146067271057631957634445260479476821413729581991354203156/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^25 - 167954493677383946924275803439541522160682798725132811015/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^24 + 1661147894589529924558650521312962395456142545648465655742/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^23 - 170584608293163558825600833504395766377884937487976521218/340966512219066641491185653024353144370993189500669355673a^22 + 4366171795486879002919876531011178825081494139243537506437/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^21 - 10544884533106988157315224468485626821622709998058773885410/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^20 + 79375492769907401338056041041515572740204405524685953570617/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^19 - 66746723201992399922974479965373415231264849517670558834238/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^18 + 532648887332739482335623344429657055329967363926670124910449/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^17 - 1366727746173897102774501393695459805987626074643731093152893/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^16 + 1080548811702595424246746970317124576407486387880126485621952/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^15 - 7271128206954102392067981692808661585049052824097506583788344/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^14 + 1732918317748720678509954133969917526847855169633272918098075/1022899536657199924473556959073059433112979568502008067019a^13 - 545634840538529988079557415384420694309030257934898228460834/161510453156399988074772151432588331544154668710843379003a^12 + 6039126135749909183493931054404295260888485597301275473022569/1022899536657199924473556959073059433112979568502008067019a^11 - 2966894256553062416127823614101055591955121844135515671204163/340966512219066641491185653024353144370993189500669355673a^10 + 45300866123259747475778451151039903763912716828968176398967/4209463113815637549273896950917940053962878882724313033a^9 - 3845047986670186531478229674573743377033624841577537917310320/340966512219066641491185653024353144370993189500669355673a^8 + 382219125458223815347646998059872560391687529742558200615770/37885168024340737943465072558261460485665909944518817297a^7 - 866365431038880868642455404615756681575309592734418982554947/113655504073022213830395217674784381456997729833556451891a^6 + 182138859503977338434647750847679009945338307776581840223083/37885168024340737943465072558261460485665909944518817297a^5 - 11047519265163556466637974017447564084196041123782519815731/4209463113815637549273896950917940053962878882724313033a^4 + 5383402071599887150000628338546189105605803411782170857882/4209463113815637549273896950917940053962878882724313033a^3 - 678360511218546679835171122912948335849679914120562766486/1403154371271879183091298983639313351320959627574771011a^2 + 51746133134997116879709290003118783819228953104216227338/467718123757293061030432994546437783773653209191590337a - 1687209312668267534720102963053704754587414834466329188/155906041252431020343477664848812594591217736397196779, 32489339126282664123781647882554098000058783971698308648/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^29 - 18345614974641299982170885630985165641402713569132464861/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^28 + 381546684285558632322401931646217575433118735154078499572/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^27 - 143983102961690685282952973226572821589473352324834369504/1022899536657199924473556959073059433112979568502008067019a^26 + 6254673066301543453764097011355668888739505808594438633704/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^25 - 21437082284543240721073515208359435355829529831850591295320/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^24 + 70692858389839029324754937448581839349322262011492202424617/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^23 - 65103676960559042074704913056501770663575531088773255268108/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^22 + 185410544982159445081453072336148206380100867141545007952300/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^21 - 1337824789064483763423381602677821027387563700120862002416065/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^20 + 3363745109392549089062743269986406027088164819099362019424717/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^19 - 8482972578529746905190723086332743193552276450213853734241960/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^18 + 7530985748561701318842338092095755035712151298948076710574528/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^17 - 57905516595129626871811985357323969816713884764408721876389198/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^16 + 5961450389213801784398010064001919907741764777225479085790879/400265036083252144359217940506849343392035483326872721877a^15 - 307277619277966387267340247475077888241396260236089983082059491/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^14 + 219506251823185516107783199105606052865849046563281457627934795/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^13 - 22998325673546519779594942577286293253215297883018617599278007/161510453156399988074772151432588331544154668710843379003a^12 + 253689540857624187696985724220368951034360760414720139977290856/1022899536657199924473556959073059433112979568502008067019a^11 - 372283989806038112368722220371298829038072029265447585272592715/1022899536657199924473556959073059433112979568502008067019a^10 + 152816782615486023332997101414548983167594438617328678079081427/340966512219066641491185653024353144370993189500669355673a^9 - 159487074649314302418939197372139643790935032148977453616281989/340966512219066641491185653024353144370993189500669355673a^8 + 47376982829933031144507830310352028561389267649050086109626439/113655504073022213830395217674784381456997729833556451891a^7 - 35636136793877586099554746312009681304806925290750888836103660/113655504073022213830395217674784381456997729833556451891a^6 + 7461633366563953903186702903276305934018065176983206924313174/37885168024340737943465072558261460485665909944518817297a^5 - 4070290374217402717648423505987618308096220919900482731745330/37885168024340737943465072558261460485665909944518817297a^4 + 659366411934818576491231234665566443984876815636427850089547/12628389341446912647821690852753820161888636648172939099a^3 - 82333541863386846097794263298711250923441054222393630688883/4209463113815637549273896950917940053962878882724313033a^2 + 2102396427800091409648750484088474279434001419052947597047/467718123757293061030432994546437783773653209191590337a - 69831215529757498239408823885284655002238846019122541049/155906041252431020343477664848812594591217736397196779, 919392174970924072859577160502668140588412675972996382/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^29 - 187946633598409448882292239030032720224090257641069531/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^28 + 10758667185874410488219330697570501834500934799231964194/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^27 - 37257562459432949163051754901345998639751309802228782963/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^26 + 59348737627713754443309904153917692613544290356658065159/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^25 - 613986099989146701326032885624901631662359037318071702135/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^24 + 673657813813212674948408597777927163525128093845603514921/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^23 - 1867192942766744254237307416973453662017336925757708118400/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^22 + 196670592518253868818457735512551530710706303105564988359/113655504073022213830395217674784381456997729833556451891a^21 - 38451669654400481248422374927048874826569681601076053917457/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^20 + 32166624711710480605714574282882012255484185038866772630379/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^19 - 243715967940953357081729828737801503606678089036619578348828/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^18 + 648274655602629635661414089941593461361296184159171304235686/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^17 - 554393295899195613389881279262358645607416050781542767472740/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^16 + 3940042819699957004440702581821448197725177331886923064571205/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^15 - 2945821540755068537320100795210550694680602067270301385719822/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^14 + 6319114939195246608653283217061538632271335677950986798016440/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^13 - 73693019010172207212714104325710317087397791155683341020598/17945605906266665341641350159176481282683852078982597667a^12 + 2445546583583868034047273994290138816825571738534246013463965/340966512219066641491185653024353144370993189500669355673a^11 - 3604925462965849313484935222940446494150719965816070640975664/340966512219066641491185653024353144370993189500669355673a^10 + 4472899974742937849211687802218756382782249175942214633561993/340966512219066641491185653024353144370993189500669355673a^9 - 1577200788664648938960276270245107215222869217948082788136186/113655504073022213830395217674784381456997729833556451891a^8 + 1438694805944372056518535105006977145004242373550529972578908/113655504073022213830395217674784381456997729833556451891a^7 - 41646960100040448599383291091852586722631640482153673135378/4209463113815637549273896950917940053962878882724313033a^6 + 83391827433198677324860547699696999202811874977691973018235/12628389341446912647821690852753820161888636648172939099a^5 - 49444383007176434391197607267683615337927493594858540910870/12628389341446912647821690852753820161888636648172939099a^4 + 8799235859479888538581443847272943119389584472275780946524/4209463113815637549273896950917940053962878882724313033a^3 - 1227431883612690070768522944018541671688724953548754743469/1403154371271879183091298983639313351320959627574771011a^2 + 107370295792969138278174470145498532329915344687635119055/467718123757293061030432994546437783773653209191590337a - 4142793277012736790451509110277912668385652219498121537/155906041252431020343477664848812594591217736397196779, 8317383497987464414963395846032034703345889942787962332/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^29 - 47122654414281147743342230014830233604941944169307140/72488943542636215120173327808327046441077292256047815773a^28 + 97871114042306557036775821919952786806208257614391126642/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^27 - 115567550402890315972150980083978396532713240911977309019/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^26 + 1646662844319877871052826898248641514611540916033569224392/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^25 - 5715600498244843115488639408013072761092889385368146187304/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^24 + 18854336067288504968548325981398853649271511461110942138026/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^23 - 17492130884275185384400149684744967636391752417478815639052/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^22 + 49702584255534435126375609573881531780326279708971506602958/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^21 - 361673849422467833450984556424534894337726036173125459767864/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^20 + 906133701989139317181649413124765097689690177799239335415310/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^19 - 2285815512237608495708507630864088098137040478467090228120746/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^18 + 74968770206381252348223434230924936163977011738500340563689/113655504073022213830395217674784381456997729833556451891a^17 - 15596867686497284955450775487057352177346746440781166226336675/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^16 + 37072629015361366264016769687947715910394822293850200621617889/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^15 - 83263081242340146633180762621903847838006365997913160222429462/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^14 + 59608999629422665809654723048134593495239116064195141294376015/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^13 - 6269652655279578530822331619033266220871417335707989959380601/161510453156399988074772151432588331544154668710843379003a^12 + 69698893722235761728932372614775775983092685868447047552292872/1022899536657199924473556959073059433112979568502008067019a^11 - 34451229149697050980143632689622971511377121514351477651229262/340966512219066641491185653024353144370993189500669355673a^10 + 42908770351349889118694057278080612281658378014184020318197948/340966512219066641491185653024353144370993189500669355673a^9 - 45292627282421719882516855378362702601750834256802894767843950/340966512219066641491185653024353144370993189500669355673a^8 + 591795057107310618749032432032062641608988716407289162982613/4941543655348791905669357290208016585086857818850280517a^7 - 10379069792612713659974422709210429265839287114694200713468961/113655504073022213830395217674784381456997729833556451891a^6 + 2205168502156173830684618276542188027631366791860022771363634/37885168024340737943465072558261460485665909944518817297a^5 - 134835173231785837382520627982361703782229746930315502563216/4209463113815637549273896950917940053962878882724313033a^4 + 66107491792863158188196292244316863904514197788731151458578/4209463113815637549273896950917940053962878882724313033a^3 - 8506713695377053066054244266619407813045764548109566729349/1403154371271879183091298983639313351320959627574771011a^2 + 685912954491709125366268162799068961234639643578451673289/467718123757293061030432994546437783773653209191590337a - 24544878165104490450102704120441238194622404818364756783/155906041252431020343477664848812594591217736397196779, 753104857075549803613461496320114689362865574821924698/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^29 - 571637399225294498469272452442699265926327962669422152/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^28 + 8918338799513166285564423471452003152602102172576000901/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^27 - 1378767922437866545281907801380496238304456456139425898/400265036083252144359217940506849343392035483326872721877a^26 + 150760728964428374654930719627558305962805455949188945978/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^25 - 524240837661376407877120923130593225702841012801681866953/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^24 + 1732734740907693950117980977256782202323244681215156965851/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^23 - 1611344813965788777899543327105430733989447429485679470390/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^22 + 1526436941584152868918692655019821582678491685237521007660/1022899536657199924473556959073059433112979568502008067019a^21 - 33406813479920244253345046681929834262549459070241656581114/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^20 + 83708156865772887740880366468679038187922945141571275123914/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^19 - 210998593991535948032142572749904762142467772434421534372460/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^18 + 560120917307161976220360746232185166273464512550468401752484/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^17 - 1439259952810657461819863607788045442147452458919292858358504/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^16 + 3427025092878945560410807319617225612042169175081807234958099/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^15 - 7707916479493914966036430587502947481456862990773693656181679/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^14 + 43491767239572337693068370193126737192843754145168426967198/24162981180878738373391109269442348813692430752015938591a^13 - 3403724136022015080488326649471054346735145764422697142727/944505574014035017981123692588235856983360635735926193a^12 + 6493854304797221351912492847595438726724828150208770388121181/1022899536657199924473556959073059433112979568502008067019a^11 - 9684670091151307565342944054443982328371185624199721692754593/1022899536657199924473556959073059433112979568502008067019a^10 + 4047873752260433891354110653781841456633925755211295272972545/340966512219066641491185653024353144370993189500669355673a^9 - 4303499195189299719689749204337305332661093690998126018933779/340966512219066641491185653024353144370993189500669355673a^8 + 1302996265805273000854535296319125932540806235134755622445622/113655504073022213830395217674784381456997729833556451891a^7 - 111367858366300704269852333382178687105397370502953726880540/12628389341446912647821690852753820161888636648172939099a^6 + 215221066251531742950088932096796140959256588072054725153153/37885168024340737943465072558261460485665909944518817297a^5 - 119421595249855966226926482389555368930686458187373000923340/37885168024340737943465072558261460485665909944518817297a^4 + 19668582616498350280178147815931699325478689226031483868916/12628389341446912647821690852753820161888636648172939099a^3 - 2599108702386774118067866769315009102867569584209146779703/4209463113815637549273896950917940053962878882724313033a^2 + 73411116287383280761086071481881883223770795343824969686/467718123757293061030432994546437783773653209191590337a - 2844772324231746444712685310389354609106236604420689396/155906041252431020343477664848812594591217736397196779, 501416688572795397338322133891330734884459227294808663/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^29 + 4508133652129412009397035605791634094374020843451951/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^28 + 5861652620263915015747495101427234110646916409158533663/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^27 - 16530832292804366325459189017677480538208374978437876985/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^26 + 28784919622131459655055863804288008157020430574391973150/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^25 - 278562812715850037136972010387003958621386320492577929184/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^24 + 102262582087647021080625297851854799244930580715756420159/1022899536657199924473556959073059433112979568502008067019a^23 - 816737567442825586983301831248819149755909470967799612045/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^22 + 2357363149157007290114306472157495921510381676922911890756/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^21 - 16293361966897515906821845530688191881085208993174888883068/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^20 + 13930575332058150602424214456996056872024558774877420487243/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^19 - 105073929523147526469935333305442718024693671891989505446283/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^18 + 283685032403073552467146352132988282516731702446306568739235/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^17 - 239535561227645620869311460814506508028624993627338063288265/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^16 + 1671636890177890274436451547795973855713133217779497160672899/9206095829914799320262012631657534898016816116518072603171a^15 - 15242656914148690735395595045997581672008109675157099883383/37885168024340737943465072558261460485665909944518817297a^14 + 2619335198902277696495020549007144101804972547609869622356342/3068698609971599773420670877219178299338938705506024201057a^13 - 268950868003944050526139446105594671556399530871400164973613/161510453156399988074772151432588331544154668710843379003a^12 + 2848292383665119393518861877479505556507155110630361455715891/1022899536657199924473556959073059433112979568502008067019a^11 - 3945231168188611325177239652356715394385230375865465313814575/1022899536657199924473556959073059433112979568502008067019a^10 + 1516808702243220865060587544431027398076083369862811221433312/340966512219066641491185653024353144370993189500669355673a^9 - 492416545373537929749945830203914654249057777900513765605711/113655504073022213830395217674784381456997729833556451891a^8 + 407251005873201895852474777855613051488634689371470564846305/113655504073022213830395217674784381456997729833556451891a^7 - 278374581069468598123637763440045325296035000938821210333936/113655504073022213830395217674784381456997729833556451891a^6 + 52227001730843880136268591382538096743466589025201593957306/37885168024340737943465072558261460485665909944518817297a^5 - 26856773931735054563111936254245934426801043939360496088454/37885168024340737943465072558261460485665909944518817297a^4 + 4048243478491424750304152899266738503554689603271309933136/12628389341446912647821690852753820161888636648172939099a^3 - 349390651302682172812188854856672397546341911602920625958/4209463113815637549273896950917940053962878882724313033a^2 + 4319770046802357795717752203672693044837213602350083208/467718123757293061030432994546437783773653209191590337a + 25704874829860527481905247567823773517328647557945407/155906041252431020343477664848812594591217736397196779 (assuming GRH)	sage: UK.fundamental_units() gp: K.fu magma: [K\|fUK(g): g in Generators(UK)]; oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
Regulator:	$ 3232250515402658.0 $ (assuming GRH)	sage: K.regulator() gp: K.reg magma: Regulator(K); oscar: regulator(K)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{0}\cdot(2\pi)^{15}\cdot 3232250515402658.0 \cdot 1}{6\cdot\sqrt{67540340288911750220987142641365428116063232133203}}\cr\approx \mathstrut & 61.5559681346093 \end{aligned}\] (assuming GRH)

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula

x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^30 - x^29 + 12*x^28 - 45*x^27 + 210*x^26 - 744*x^25 + 2465*x^24 - 6965*x^23 + 19758*x^22 - 48686*x^21 + 121619*x^20 - 306546*x^19 + 810012*x^18 - 2087415*x^17 + 5002572*x^16 - 11311375*x^15 + 24424402*x^14 - 49257771*x^13 + 88022499*x^12 - 134078913*x^11 + 172501038*x^10 - 188691174*x^9 + 176841252*x^8 - 141293241*x^7 + 95362353*x^6 - 55362204*x^5 + 28414476*x^4 - 12173571*x^3 + 3774762*x^2 - 708588*x + 59049)

DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()

hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();

2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))

# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula

K = bnfinit(x^30 - x^29 + 12*x^28 - 45*x^27 + 210*x^26 - 744*x^25 + 2465*x^24 - 6965*x^23 + 19758*x^22 - 48686*x^21 + 121619*x^20 - 306546*x^19 + 810012*x^18 - 2087415*x^17 + 5002572*x^16 - 11311375*x^15 + 24424402*x^14 - 49257771*x^13 + 88022499*x^12 - 134078913*x^11 + 172501038*x^10 - 188691174*x^9 + 176841252*x^8 - 141293241*x^7 + 95362353*x^6 - 55362204*x^5 + 28414476*x^4 - 12173571*x^3 + 3774762*x^2 - 708588*x + 59049, 1);

[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]

/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */

Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^30 - x^29 + 12*x^28 - 45*x^27 + 210*x^26 - 744*x^25 + 2465*x^24 - 6965*x^23 + 19758*x^22 - 48686*x^21 + 121619*x^20 - 306546*x^19 + 810012*x^18 - 2087415*x^17 + 5002572*x^16 - 11311375*x^15 + 24424402*x^14 - 49257771*x^13 + 88022499*x^12 - 134078913*x^11 + 172501038*x^10 - 188691174*x^9 + 176841252*x^8 - 141293241*x^7 + 95362353*x^6 - 55362204*x^5 + 28414476*x^4 - 12173571*x^3 + 3774762*x^2 - 708588*x + 59049);

OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);

UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);

r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);

hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);

2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));

# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula

Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^30 - x^29 + 12*x^28 - 45*x^27 + 210*x^26 - 744*x^25 + 2465*x^24 - 6965*x^23 + 19758*x^22 - 48686*x^21 + 121619*x^20 - 306546*x^19 + 810012*x^18 - 2087415*x^17 + 5002572*x^16 - 11311375*x^15 + 24424402*x^14 - 49257771*x^13 + 88022499*x^12 - 134078913*x^11 + 172501038*x^10 - 188691174*x^9 + 176841252*x^8 - 141293241*x^7 + 95362353*x^6 - 55362204*x^5 + 28414476*x^4 - 12173571*x^3 + 3774762*x^2 - 708588*x + 59049);

OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);

UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);

r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);

hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);

2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))

Galois group

$D_{30}$ (as 30T14):

sage: K.galois_group(type='pari')

gp: polgalois(K.pol)

magma: G = GaloisGroup(K);

oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)

A solvable group of order 60

The 18 conjugacy class representatives for $D_{30}$

Character table for $D_{30}$

Intermediate fields

$\Q(\sqrt{-3}) $, 3.1.3351.1, 5.1.11229201.1, 6.0.33687603.2, 10.0.378284865295203.1, 15.1.4744833691813716605070951.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]

gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]

magma: L := Subfields(K); L[2..#L];

oscar: subfields(K)[2:end-1]

Sibling fields

Degree 30 sibling:	30.2.25147520034238141665614212776801727735214210097595917.1
Minimal sibling:	This field is its own minimal sibling

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	$30$	R	${\href{/padicField/5.10.0.1}{10} }^{3}$	${\href{/padicField/7.5.0.1}{5} }^{6}$	$30$	$15^{2}$	$30$	${\href{/padicField/19.2.0.1}{2} }^{14}{,}\,{\href{/padicField/19.1.0.1}{1} }^{2}$	${\href{/padicField/23.2.0.1}{2} }^{15}$	${\href{/padicField/29.6.0.1}{6} }^{5}$	$15^{2}$	${\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{10}$	${\href{/padicField/41.2.0.1}{2} }^{15}$	${\href{/padicField/43.2.0.1}{2} }^{14}{,}\,{\href{/padicField/43.1.0.1}{1} }^{2}$	${\href{/padicField/47.2.0.1}{2} }^{15}$	${\href{/padicField/53.2.0.1}{2} }^{15}$	$30$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:

p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]

\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:

p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])

// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:

p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:

p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
$3$ 3	3.2.1.2	$x^{2} + 3$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
	3.2.1.2	$x^{2} + 3$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
	3.2.1.2	$x^{2} + 3$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
	3.2.1.2	$x^{2} + 3$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
	3.2.1.2	$x^{2} + 3$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
	3.2.1.2	$x^{2} + 3$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
	3.2.1.2	$x^{2} + 3$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
	3.2.1.2	$x^{2} + 3$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
	3.2.1.2	$x^{2} + 3$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
	3.2.1.2	$x^{2} + 3$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
	3.2.1.2	$x^{2} + 3$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
	3.2.1.2	$x^{2} + 3$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
	3.2.1.2	$x^{2} + 3$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
	3.2.1.2	$x^{2} + 3$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
	3.2.1.2	$x^{2} + 3$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
$1117$ 1117	$\Q_{1117}$	$x$	$1$	$1$	$0$	Trivial	$[\ ]$
	$\Q_{1117}$	$x$	$1$	$1$	$0$	Trivial	$[\ ]$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
		Deg $2$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$

Artin representations

	Label	Dimension	Conductor	Artin stem field	$G$	Ind	$\chi(c)$
*	1.1.1t1.a.a	$1$	$1$	$\Q$	$C_1$	$1$	$1$
	1.1117.2t1.a.a	$1$	$ 1117 $	$\Q(\sqrt{1117}) $	$C_2$ (as 2T1)	$1$	$1$
	1.3351.2t1.a.a	$1$	$ 3 \cdot 1117 $	$\Q(\sqrt{-3351}) $	$C_2$ (as 2T1)	$1$	$-1$
*	1.3.2t1.a.a	$1$	$ 3 $	$\Q(\sqrt{-3}) $	$C_2$ (as 2T1)	$1$	$-1$
*	2.3351.6t3.b.a	$2$	$ 3 \cdot 1117 $	6.2.12543017517.1	$D_{6}$ (as 6T3)	$1$	$0$
*	2.3351.3t2.a.a	$2$	$ 3 \cdot 1117 $	3.1.3351.1	$S_3$ (as 3T2)	$1$	$0$
*	2.3351.5t2.a.b	$2$	$ 3 \cdot 1117 $	5.1.11229201.1	$D_{5}$ (as 5T2)	$1$	$0$
*	2.3351.5t2.a.a	$2$	$ 3 \cdot 1117 $	5.1.11229201.1	$D_{5}$ (as 5T2)	$1$	$0$
*	2.3351.10t3.a.a	$2$	$ 3 \cdot 1117 $	10.2.140848064844913917.1	$D_{10}$ (as 10T3)	$1$	$0$
*	2.3351.10t3.a.b	$2$	$ 3 \cdot 1117 $	10.2.140848064844913917.1	$D_{10}$ (as 10T3)	$1$	$0$
*	2.3351.15t2.a.b	$2$	$ 3 \cdot 1117 $	15.1.4744833691813716605070951.1	$D_{15}$ (as 15T2)	$1$	$0$
*	2.3351.15t2.a.a	$2$	$ 3 \cdot 1117 $	15.1.4744833691813716605070951.1	$D_{15}$ (as 15T2)	$1$	$0$
*	2.3351.15t2.a.d	$2$	$ 3 \cdot 1117 $	15.1.4744833691813716605070951.1	$D_{15}$ (as 15T2)	$1$	$0$
*	2.3351.15t2.a.c	$2$	$ 3 \cdot 1117 $	15.1.4744833691813716605070951.1	$D_{15}$ (as 15T2)	$1$	$0$
*	2.3351.30t14.b.b	$2$	$ 3 \cdot 1117 $	30.0.67540340288911750220987142641365428116063232133203.1	$D_{30}$ (as 30T14)	$1$	$0$
*	2.3351.30t14.b.c	$2$	$ 3 \cdot 1117 $	30.0.67540340288911750220987142641365428116063232133203.1	$D_{30}$ (as 30T14)	$1$	$0$
*	2.3351.30t14.b.d	$2$	$ 3 \cdot 1117 $	30.0.67540340288911750220987142641365428116063232133203.1	$D_{30}$ (as 30T14)	$1$	$0$
*	2.3351.30t14.b.a	$2$	$ 3 \cdot 1117 $	30.0.67540340288911750220987142641365428116063232133203.1	$D_{30}$ (as 30T14)	$1$	$0$

Data is given for all irreducible representations of the Galois group for the Galois closure of this field. Those marked with * are summands in the permutation representation coming from this field. Representations which appear with multiplicity greater than one are indicated by exponents on the *.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more