Number field 30.0.4764432829290274543179606325793429277837276458740234375.1

• Label: 30.0.476...375.1
• Degree: $30$
• Signature: $[0, 15]$
• Discriminant: $-4.764\times 10^{54}$
• Root discriminant: \(66.47\)
• Ramified primes: $5,7$
• Class number: $9616$ (GRH)
• Class group: [2, 2, 2, 1202] (GRH)
• Galois group: $C_{30}$ (as 30T1)

Normalized defining polynomial

x^30 + 10*x^28 - 5*x^27 + 90*x^26 - 101*x^25 + 825*x^24 + 1800*x^23 + 7860*x^22 + 14795*x^21 + 61451*x^20 + 89825*x^19 + 460135*x^18 + 435185*x^17 + 861265*x^16 + 1091474*x^15 + 1745550*x^14 + 1796430*x^13 + 2950295*x^12 - 2539455*x^11 + 1973826*x^10 - 1313050*x^9 + 1136155*x^8 - 555375*x^7 + 727995*x^6 - 77851*x^5 + 8325*x^4 - 890*x^3 + 95*x^2 - 10*x + 1

Invariants

Degree:		$30$
Signature:		$[0, 15]$
Discriminant:		\(-4764432829290274543179606325793429277837276458740234375\) \(\medspace = -\,5^{48}\cdot 7^{25}\)
Root discriminant:		\(66.47\)
Galois root discriminant:		$5^{8/5}7^{5/6}\approx 66.46612708676464$
Ramified primes:		\(5\), \(7\)
Discriminant root field:		\(\Q(\sqrt{-7}) \)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:		$30$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:		\(175=5^{2}\cdot 7\)
Dirichlet character group:		$\lbrace$$\chi_{175}(1,·)$, $\chi_{175}(66,·)$, $\chi_{175}(131,·)$, $\chi_{175}(6,·)$, $\chi_{175}(71,·)$, $\chi_{175}(136,·)$, $\chi_{175}(11,·)$, $\chi_{175}(76,·)$, $\chi_{175}(141,·)$, $\chi_{175}(16,·)$, $\chi_{175}(81,·)$, $\chi_{175}(146,·)$, $\chi_{175}(86,·)$, $\chi_{175}(151,·)$, $\chi_{175}(26,·)$, $\chi_{175}(156,·)$, $\chi_{175}(31,·)$, $\chi_{175}(96,·)$, $\chi_{175}(36,·)$, $\chi_{175}(101,·)$, $\chi_{175}(166,·)$, $\chi_{175}(41,·)$, $\chi_{175}(106,·)$, $\chi_{175}(171,·)$, $\chi_{175}(46,·)$, $\chi_{175}(111,·)$, $\chi_{175}(51,·)$, $\chi_{175}(116,·)$, $\chi_{175}(121,·)$, $\chi_{175}(61,·)$$\rbrace$
This is a CM field.
Reflex fields:		unavailable$^{16384}$

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $\frac{1}{43}a^{19}+\frac{12}{43}a^{18}+\frac{19}{43}a^{17}+\frac{18}{43}a^{16}-\frac{9}{43}a^{15}+\frac{7}{43}a^{14}+\frac{5}{43}a^{13}+\frac{9}{43}a^{12}-\frac{1}{43}a^{11}-\frac{19}{43}a^{10}-\frac{17}{43}a^{9}+\frac{21}{43}a^{8}+\frac{12}{43}a^{7}+\frac{13}{43}a^{6}-\frac{4}{43}a^{5}+\frac{4}{43}a^{4}-\frac{11}{43}a^{3}+\frac{13}{43}a^{2}-\frac{17}{43}a+\frac{20}{43}$, $\frac{1}{43}a^{20}+\frac{4}{43}a^{18}+\frac{5}{43}a^{17}-\frac{10}{43}a^{16}-\frac{14}{43}a^{15}+\frac{7}{43}a^{14}-\frac{8}{43}a^{13}+\frac{20}{43}a^{12}-\frac{7}{43}a^{11}-\frac{4}{43}a^{10}+\frac{10}{43}a^{9}+\frac{18}{43}a^{8}-\frac{2}{43}a^{7}+\frac{12}{43}a^{6}+\frac{9}{43}a^{5}-\frac{16}{43}a^{4}+\frac{16}{43}a^{3}-\frac{1}{43}a^{2}+\frac{9}{43}a+\frac{18}{43}$, $\frac{1}{43}a^{21}+\frac{7}{43}a^{14}+\frac{7}{43}a^{7}+\frac{6}{43}$, $\frac{1}{43}a^{22}+\frac{7}{43}a^{15}+\frac{7}{43}a^{8}+\frac{6}{43}a$, $\frac{1}{43}a^{23}+\frac{7}{43}a^{16}+\frac{7}{43}a^{9}+\frac{6}{43}a^{2}$, $\frac{1}{301}a^{24}-\frac{3}{301}a^{23}+\frac{3}{301}a^{22}+\frac{1}{7}a^{18}+\frac{1}{43}a^{17}+\frac{22}{301}a^{16}+\frac{107}{301}a^{15}+\frac{1}{7}a^{12}+\frac{1}{43}a^{10}-\frac{107}{301}a^{9}-\frac{108}{301}a^{8}+\frac{1}{7}a^{6}+\frac{7}{43}a^{3}+\frac{68}{301}a^{2}+\frac{104}{301}a+\frac{1}{7}$, $\frac{1}{36\!\cdots\!57}a^{25}+\frac{30\!\cdots\!63}{36\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{39\!\cdots\!20}{36\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{30\!\cdots\!25}{36\!\cdots\!57}a^{22}+\frac{53\!\cdots\!97}{52\!\cdots\!51}a^{21}-\frac{161154634934220}{74\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{70\!\cdots\!00}{36\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{76\!\cdots\!86}{36\!\cdots\!57}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!69}{36\!\cdots\!57}a^{17}-\frac{64\!\cdots\!88}{36\!\cdots\!57}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!85}{36\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{23\!\cdots\!89}{52\!\cdots\!51}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!08}{36\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!36}{36\!\cdots\!57}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!75}{52\!\cdots\!51}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!80}{36\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!57}{36\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!80}{36\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!28}{36\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{95\!\cdots\!03}{36\!\cdots\!57}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!70}{52\!\cdots\!51}a^{5}-\frac{433951721474767}{17\!\cdots\!51}a^{4}-\frac{76\!\cdots\!63}{36\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{95\!\cdots\!63}{36\!\cdots\!57}a^{2}-\frac{33\!\cdots\!59}{36\!\cdots\!57}a-\frac{12\!\cdots\!93}{36\!\cdots\!57}$, $\frac{1}{15\!\cdots\!51}a^{26}+\frac{12}{15\!\cdots\!51}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!34}{15\!\cdots\!51}a^{24}+\frac{25\!\cdots\!62}{15\!\cdots\!51}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!70}{15\!\cdots\!51}a^{22}+\frac{25\!\cdots\!47}{22\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{69\!\cdots\!67}{15\!\cdots\!51}a^{20}+\frac{42\!\cdots\!54}{15\!\cdots\!51}a^{19}-\frac{43\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!51}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!48}{15\!\cdots\!51}a^{17}-\frac{26\!\cdots\!72}{15\!\cdots\!51}a^{16}+\frac{60\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!51}a^{15}-\frac{67\!\cdots\!86}{15\!\cdots\!51}a^{14}+\frac{67\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!51}a^{13}+\frac{62\!\cdots\!04}{15\!\cdots\!51}a^{12}+\frac{60\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!51}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!20}{15\!\cdots\!51}a^{10}-\frac{76\!\cdots\!04}{22\!\cdots\!93}a^{9}+\frac{54\!\cdots\!38}{15\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{99\!\cdots\!94}{15\!\cdots\!51}a^{7}-\frac{59\!\cdots\!34}{15\!\cdots\!51}a^{6}-\frac{94\!\cdots\!58}{22\!\cdots\!93}a^{5}-\frac{65\!\cdots\!36}{15\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!97}{15\!\cdots\!51}a^{3}-\frac{59\!\cdots\!76}{15\!\cdots\!51}a^{2}-\frac{52\!\cdots\!62}{15\!\cdots\!51}a+\frac{70\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!51}$, $\frac{1}{15\!\cdots\!51}a^{27}+\frac{4}{15\!\cdots\!51}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!15}{22\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!20}{15\!\cdots\!51}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!47}{22\!\cdots\!93}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!93}{15\!\cdots\!51}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!39}{15\!\cdots\!51}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!24}{15\!\cdots\!51}a^{19}-\frac{61\!\cdots\!54}{15\!\cdots\!51}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!26}{15\!\cdots\!51}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!28}{15\!\cdots\!51}a^{16}-\frac{29\!\cdots\!44}{15\!\cdots\!51}a^{15}-\frac{81\!\cdots\!86}{15\!\cdots\!51}a^{14}+\frac{32\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!51}a^{13}-\frac{67\!\cdots\!05}{15\!\cdots\!51}a^{12}+\frac{77\!\cdots\!98}{15\!\cdots\!51}a^{11}+\frac{22\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!51}a^{10}-\frac{41\!\cdots\!17}{15\!\cdots\!51}a^{9}-\frac{40\!\cdots\!19}{15\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{27\!\cdots\!32}{15\!\cdots\!51}a^{7}-\frac{84\!\cdots\!98}{22\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{39\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!51}a^{5}+\frac{79\!\cdots\!28}{22\!\cdots\!93}a^{4}-\frac{56\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!51}a^{3}+\frac{49\!\cdots\!09}{22\!\cdots\!93}a^{2}+\frac{49\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!51}a-\frac{22\!\cdots\!01}{32\!\cdots\!99}$, $\frac{1}{15\!\cdots\!51}a^{28}-\frac{41\!\cdots\!18}{15\!\cdots\!51}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!51}a^{14}-\frac{51\!\cdots\!16}{15\!\cdots\!51}a^{7}-\frac{82\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!51}$, $\frac{1}{15\!\cdots\!51}a^{29}-\frac{41\!\cdots\!18}{15\!\cdots\!51}a^{22}+\frac{21\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!51}a^{15}-\frac{51\!\cdots\!16}{15\!\cdots\!51}a^{8}-\frac{82\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!51}a$

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

$C_{2}\times C_{2}\times C_{2}\times C_{1202}$, which has order $9616$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$14$
Torsion generator:		\( -\frac{2412612091064194800}{22560704784664886693} a^{29} - \frac{24126123104910695585}{22560704784664886693} a^{27} + \frac{12063060455320974000}{22560704784664886693} a^{26} - \frac{217135088195777532000}{22560704784664886693} a^{25} + \frac{243673821197483674800}{22560704784664886693} a^{24} - \frac{1990404975127960710000}{22560704784664886693} a^{23} - \frac{4342701763915550640000}{22560704784664886693} a^{22} - \frac{18963131035764571128000}{22560704784664886693} a^{21} - \frac{35694602951979507415218}{22560704784664886693} a^{20} - \frac{148257425607985834654800}{22560704784664886693} a^{19} - \frac{216712881079841297910000}{22560704784664886693} a^{18} - \frac{1110127264521823274298000}{22560704784664886693} a^{17} - \frac{1049932592849771614038000}{22560704784664886693} a^{16} - \frac{2077898352610403734422000}{22560704784664886693} a^{15} - \frac{2633303369482200955135200}{22560704784664886693} a^{14} - \frac{4211329192401012206918270}{22560704784664886693} a^{13} - \frac{4334088738750451464564000}{22560704784664886693} a^{12} - \frac{7117917389206238597466000}{22560704784664886693} a^{11} + \frac{6126719837713424805834000}{22560704784664886693} a^{10} - \frac{4762076473256875365304800}{22560704784664886693} a^{9} + \frac{3167880306171840982140000}{22560704784664886693} a^{8} - \frac{2741101290323040242994000}{22560704784664886693} a^{7} + \frac{1339773657277972324101055}{22560704784664886693} a^{6} - \frac{1756369539234278493426000}{22560704784664886693} a^{5} + \frac{187824263901438629374800}{22560704784664886693} a^{4} - \frac{20084995658109421710000}{22560704784664886693} a^{3} + \frac{2147224761047133372000}{22560704784664886693} a^{2} - \frac{229198148651098506000}{22560704784664886693} a + \frac{24126120910641948000}{22560704784664886693} \)  (order $14$)
Fundamental units:		$\frac{25\!\cdots\!00}{22\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{38\!\cdots\!10}{32\!\cdots\!99}a^{28}+\frac{25\!\cdots\!50}{22\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{23\!\cdots\!15}{52\!\cdots\!51}a^{26}+\frac{22\!\cdots\!50}{22\!\cdots\!93}a^{25}-\frac{23\!\cdots\!00}{22\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{20\!\cdots\!55}{22\!\cdots\!93}a^{23}+\frac{68\!\cdots\!50}{32\!\cdots\!99}a^{22}+\frac{20\!\cdots\!15}{22\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{57\!\cdots\!25}{32\!\cdots\!99}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!75}{22\!\cdots\!93}a^{19}+\frac{35\!\cdots\!60}{32\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!70}{22\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!55}{32\!\cdots\!99}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!75}{22\!\cdots\!93}a^{15}+\frac{43\!\cdots\!75}{32\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{47\!\cdots\!05}{22\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{50\!\cdots\!90}{22\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{80\!\cdots\!90}{22\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{56\!\cdots\!43}{22\!\cdots\!93}a^{10}+\frac{44\!\cdots\!50}{22\!\cdots\!93}a^{9}-\frac{28\!\cdots\!05}{22\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{25\!\cdots\!75}{22\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!40}{22\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!18}{22\!\cdots\!93}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!75}{22\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!70}{22\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!75}{22\!\cdots\!93}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!95}{32\!\cdots\!99}a-\frac{23\!\cdots\!68}{22\!\cdots\!93}$, $\frac{25\!\cdots\!50}{22\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{25\!\cdots\!95}{22\!\cdots\!93}a^{28}+\frac{25\!\cdots\!00}{22\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{10\!\cdots\!80}{22\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{23\!\cdots\!25}{22\!\cdots\!93}a^{25}-\frac{23\!\cdots\!00}{22\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{21\!\cdots\!55}{22\!\cdots\!93}a^{23}+\frac{48\!\cdots\!75}{22\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{20\!\cdots\!00}{22\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{40\!\cdots\!50}{22\!\cdots\!93}a^{20}+\frac{23\!\cdots\!00}{32\!\cdots\!99}a^{19}+\frac{24\!\cdots\!95}{22\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!25}{22\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!75}{22\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!25}{22\!\cdots\!93}a^{15}+\frac{30\!\cdots\!75}{22\!\cdots\!93}a^{14}+\frac{47\!\cdots\!30}{22\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{50\!\cdots\!65}{22\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!00}{32\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{57\!\cdots\!25}{22\!\cdots\!93}a^{10}+\frac{44\!\cdots\!75}{22\!\cdots\!93}a^{9}-\frac{28\!\cdots\!30}{22\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{37\!\cdots\!00}{32\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!75}{32\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!93}{22\!\cdots\!93}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!25}{22\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!05}{22\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!25}{22\!\cdots\!93}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!00}{22\!\cdots\!93}a-\frac{23\!\cdots\!68}{22\!\cdots\!93}$, $\frac{69\!\cdots\!20}{15\!\cdots\!51}a^{29}-\frac{39\!\cdots\!39}{15\!\cdots\!51}a^{28}+\frac{69\!\cdots\!50}{15\!\cdots\!51}a^{27}-\frac{73\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!51}a^{26}+\frac{64\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!51}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!23}{15\!\cdots\!51}a^{24}+\frac{61\!\cdots\!60}{15\!\cdots\!51}a^{23}+\frac{93\!\cdots\!65}{15\!\cdots\!51}a^{22}+\frac{68\!\cdots\!93}{22\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{16\!\cdots\!67}{36\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{37\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!51}a^{19}+\frac{38\!\cdots\!19}{15\!\cdots\!51}a^{18}+\frac{28\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!51}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!82}{15\!\cdots\!51}a^{16}+\frac{43\!\cdots\!14}{15\!\cdots\!51}a^{15}+\frac{43\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!51}a^{14}+\frac{79\!\cdots\!69}{15\!\cdots\!51}a^{13}+\frac{58\!\cdots\!64}{15\!\cdots\!51}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!51}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!18}{15\!\cdots\!51}a^{10}+\frac{23\!\cdots\!58}{15\!\cdots\!51}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!39}{15\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!26}{15\!\cdots\!51}a^{7}-\frac{82\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!51}a^{6}+\frac{72\!\cdots\!90}{15\!\cdots\!51}a^{5}-\frac{33\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{35\!\cdots\!46}{15\!\cdots\!51}a^{3}-\frac{88\!\cdots\!86}{15\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!03}{22\!\cdots\!93}a+\frac{52\!\cdots\!48}{22\!\cdots\!93}$, $\frac{14\!\cdots\!92}{15\!\cdots\!51}a^{29}-\frac{49\!\cdots\!96}{15\!\cdots\!51}a^{28}+\frac{14\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!51}a^{27}-\frac{28\!\cdots\!30}{36\!\cdots\!57}a^{26}+\frac{18\!\cdots\!57}{22\!\cdots\!93}a^{25}-\frac{19\!\cdots\!90}{15\!\cdots\!51}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!80}{15\!\cdots\!51}a^{23}+\frac{21\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!51}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!51}a^{21}+\frac{17\!\cdots\!50}{15\!\cdots\!51}a^{20}+\frac{80\!\cdots\!60}{15\!\cdots\!51}a^{19}+\frac{98\!\cdots\!69}{15\!\cdots\!51}a^{18}+\frac{87\!\cdots\!42}{22\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{39\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!51}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!61}{15\!\cdots\!51}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!51}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!80}{15\!\cdots\!51}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!18}{22\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{46\!\cdots\!56}{22\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{52\!\cdots\!06}{15\!\cdots\!51}a^{10}+\frac{39\!\cdots\!75}{15\!\cdots\!51}a^{9}-\frac{27\!\cdots\!91}{15\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!42}{15\!\cdots\!51}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!05}{15\!\cdots\!51}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!46}{15\!\cdots\!51}a^{5}-\frac{44\!\cdots\!58}{15\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!40}{22\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!54}{15\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{39\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!51}a-\frac{59\!\cdots\!38}{22\!\cdots\!93}$, $\frac{49\!\cdots\!97}{15\!\cdots\!51}a^{29}-\frac{27\!\cdots\!56}{15\!\cdots\!51}a^{28}+\frac{49\!\cdots\!16}{15\!\cdots\!51}a^{27}-\frac{24\!\cdots\!19}{15\!\cdots\!51}a^{26}+\frac{63\!\cdots\!46}{22\!\cdots\!93}a^{25}-\frac{50\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!51}a^{24}+\frac{40\!\cdots\!66}{15\!\cdots\!51}a^{23}+\frac{88\!\cdots\!00}{15\!\cdots\!51}a^{22}+\frac{38\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!51}a^{21}+\frac{72\!\cdots\!96}{15\!\cdots\!51}a^{20}+\frac{30\!\cdots\!22}{15\!\cdots\!51}a^{19}+\frac{44\!\cdots\!70}{15\!\cdots\!51}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!51}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!44}{15\!\cdots\!51}a^{16}+\frac{42\!\cdots\!73}{15\!\cdots\!51}a^{15}+\frac{76\!\cdots\!51}{22\!\cdots\!93}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!75}{22\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{87\!\cdots\!50}{15\!\cdots\!51}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!51}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!99}{15\!\cdots\!51}a^{10}+\frac{96\!\cdots\!78}{15\!\cdots\!51}a^{9}-\frac{63\!\cdots\!80}{15\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{55\!\cdots\!82}{15\!\cdots\!51}a^{7}-\frac{27\!\cdots\!80}{15\!\cdots\!51}a^{6}+\frac{35\!\cdots\!32}{15\!\cdots\!51}a^{5}-\frac{37\!\cdots\!67}{15\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{67\!\cdots\!90}{32\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{66\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{29\!\cdots\!85}{22\!\cdots\!93}a-\frac{75\!\cdots\!55}{15\!\cdots\!51}$, $\frac{64\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!51}a^{29}+\frac{14\!\cdots\!14}{15\!\cdots\!51}a^{28}+\frac{66\!\cdots\!93}{15\!\cdots\!51}a^{27}+\frac{11\!\cdots\!58}{15\!\cdots\!51}a^{26}+\frac{52\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!51}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!13}{36\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{40\!\cdots\!26}{15\!\cdots\!51}a^{23}+\frac{33\!\cdots\!55}{22\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{11\!\cdots\!40}{22\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!51}a^{20}+\frac{62\!\cdots\!65}{15\!\cdots\!51}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!39}{15\!\cdots\!51}a^{18}+\frac{43\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!51}a^{17}+\frac{96\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!51}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!04}{15\!\cdots\!51}a^{15}+\frac{20\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!51}a^{14}+\frac{40\!\cdots\!50}{22\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{38\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!51}a^{12}+\frac{48\!\cdots\!85}{15\!\cdots\!51}a^{11}+\frac{29\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!51}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!14}{15\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!34}{15\!\cdots\!51}a^{8}-\frac{77\!\cdots\!20}{15\!\cdots\!51}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!51}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!69}{15\!\cdots\!51}a^{5}+\frac{88\!\cdots\!04}{15\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{34\!\cdots\!56}{15\!\cdots\!51}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{39\!\cdots\!00}{15\!\cdots\!51}a+\frac{11\!\cdots\!22}{15\!\cdots\!51}$, $\frac{19\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!51}a^{29}+\frac{11\!\cdots\!18}{15\!\cdots\!51}a^{28}+\frac{19\!\cdots\!04}{15\!\cdots\!51}a^{27}-\frac{12\!\cdots\!60}{22\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{17\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!51}a^{25}-\frac{18\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!51}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!70}{15\!\cdots\!51}a^{23}+\frac{36\!\cdots\!66}{15\!\cdots\!51}a^{22}+\frac{31\!\cdots\!73}{32\!\cdots\!99}a^{21}+\frac{29\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!51}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!50}{15\!\cdots\!51}a^{19}+\frac{18\!\cdots\!34}{15\!\cdots\!51}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!90}{22\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{90\!\cdots\!05}{15\!\cdots\!51}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!14}{15\!\cdots\!51}a^{15}+\frac{22\!\cdots\!86}{15\!\cdots\!51}a^{14}+\frac{35\!\cdots\!90}{15\!\cdots\!51}a^{13}+\frac{37\!\cdots\!56}{15\!\cdots\!51}a^{12}+\frac{59\!\cdots\!05}{15\!\cdots\!51}a^{11}-\frac{45\!\cdots\!80}{15\!\cdots\!51}a^{10}+\frac{72\!\cdots\!35}{32\!\cdots\!99}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!51}a^{7}-\frac{94\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!51}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!51}a^{5}-\frac{94\!\cdots\!34}{22\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{70\!\cdots\!66}{15\!\cdots\!51}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!69}{15\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!51}a-\frac{10\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!51}$, $\frac{29\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!51}a^{29}-\frac{20\!\cdots\!20}{15\!\cdots\!51}a^{28}+\frac{29\!\cdots\!77}{15\!\cdots\!51}a^{27}-\frac{14\!\cdots\!02}{15\!\cdots\!51}a^{26}+\frac{26\!\cdots\!86}{15\!\cdots\!51}a^{25}-\frac{29\!\cdots\!50}{15\!\cdots\!51}a^{24}+\frac{24\!\cdots\!80}{15\!\cdots\!51}a^{23}+\frac{52\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!51}a^{22}+\frac{23\!\cdots\!62}{15\!\cdots\!51}a^{21}+\frac{62\!\cdots\!19}{22\!\cdots\!93}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!84}{15\!\cdots\!51}a^{19}+\frac{26\!\cdots\!60}{15\!\cdots\!51}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!72}{15\!\cdots\!51}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!93}{15\!\cdots\!51}a^{16}+\frac{25\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!51}a^{15}+\frac{31\!\cdots\!96}{15\!\cdots\!51}a^{14}+\frac{50\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!51}a^{13}+\frac{52\!\cdots\!90}{15\!\cdots\!51}a^{12}+\frac{86\!\cdots\!52}{15\!\cdots\!51}a^{11}-\frac{76\!\cdots\!17}{15\!\cdots\!51}a^{10}+\frac{82\!\cdots\!07}{22\!\cdots\!93}a^{9}-\frac{38\!\cdots\!00}{15\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{33\!\cdots\!60}{15\!\cdots\!51}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!35}{22\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{21\!\cdots\!56}{15\!\cdots\!51}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!44}{15\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!66}{15\!\cdots\!51}a^{3}-\frac{28\!\cdots\!60}{36\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{40\!\cdots\!36}{15\!\cdots\!51}a-\frac{13\!\cdots\!15}{15\!\cdots\!51}$, $\frac{18\!\cdots\!36}{15\!\cdots\!51}a^{29}-\frac{30\!\cdots\!60}{22\!\cdots\!93}a^{28}+\frac{18\!\cdots\!64}{15\!\cdots\!51}a^{27}-\frac{11\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!51}a^{26}+\frac{16\!\cdots\!91}{15\!\cdots\!51}a^{25}-\frac{20\!\cdots\!36}{15\!\cdots\!51}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!00}{15\!\cdots\!51}a^{23}+\frac{31\!\cdots\!15}{15\!\cdots\!51}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!51}a^{21}+\frac{25\!\cdots\!78}{15\!\cdots\!51}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!36}{15\!\cdots\!51}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!51}a^{18}+\frac{82\!\cdots\!85}{15\!\cdots\!51}a^{17}+\frac{69\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!51}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!16}{15\!\cdots\!51}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!24}{15\!\cdots\!51}a^{14}+\frac{29\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!51}a^{13}+\frac{29\!\cdots\!05}{15\!\cdots\!51}a^{12}+\frac{50\!\cdots\!70}{15\!\cdots\!51}a^{11}-\frac{53\!\cdots\!80}{15\!\cdots\!51}a^{10}+\frac{41\!\cdots\!36}{15\!\cdots\!51}a^{9}-\frac{27\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{54\!\cdots\!80}{36\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!51}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!20}{15\!\cdots\!51}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!86}{15\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!75}{15\!\cdots\!51}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!90}{15\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{35\!\cdots\!75}{15\!\cdots\!51}a-\frac{19\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!51}$, $\frac{79\!\cdots\!60}{15\!\cdots\!51}a^{29}+\frac{21\!\cdots\!34}{22\!\cdots\!93}a^{28}+\frac{79\!\cdots\!73}{15\!\cdots\!51}a^{27}-\frac{24\!\cdots\!70}{15\!\cdots\!51}a^{26}+\frac{70\!\cdots\!28}{15\!\cdots\!51}a^{25}-\frac{66\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!51}a^{24}+\frac{64\!\cdots\!02}{15\!\cdots\!51}a^{23}+\frac{22\!\cdots\!26}{22\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{65\!\cdots\!24}{15\!\cdots\!51}a^{21}+\frac{12\!\cdots\!30}{15\!\cdots\!51}a^{20}+\frac{73\!\cdots\!53}{22\!\cdots\!93}a^{19}+\frac{80\!\cdots\!69}{15\!\cdots\!51}a^{18}+\frac{37\!\cdots\!69}{15\!\cdots\!51}a^{17}+\frac{59\!\cdots\!33}{22\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!48}{22\!\cdots\!93}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!00}{15\!\cdots\!51}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!92}{15\!\cdots\!51}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!63}{22\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!17}{15\!\cdots\!51}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!86}{15\!\cdots\!51}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!05}{22\!\cdots\!93}a^{9}-\frac{78\!\cdots\!52}{15\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{73\!\cdots\!68}{15\!\cdots\!51}a^{7}-\frac{29\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!51}a^{6}+\frac{51\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!51}a^{5}+\frac{39\!\cdots\!82}{15\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!60}{36\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{37\!\cdots\!28}{15\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{26\!\cdots\!62}{22\!\cdots\!93}a-\frac{18\!\cdots\!86}{15\!\cdots\!51}$, $\frac{57\!\cdots\!60}{15\!\cdots\!51}a^{28}-\frac{28\!\cdots\!30}{15\!\cdots\!51}a^{27}+\frac{51\!\cdots\!40}{15\!\cdots\!51}a^{26}-\frac{58\!\cdots\!46}{15\!\cdots\!51}a^{25}+\frac{47\!\cdots\!50}{15\!\cdots\!51}a^{24}-\frac{81\!\cdots\!04}{15\!\cdots\!51}a^{23}+\frac{45\!\cdots\!60}{15\!\cdots\!51}a^{22}+\frac{84\!\cdots\!70}{15\!\cdots\!51}a^{21}+\frac{35\!\cdots\!46}{15\!\cdots\!51}a^{20}+\frac{51\!\cdots\!50}{15\!\cdots\!51}a^{19}+\frac{26\!\cdots\!10}{15\!\cdots\!51}a^{18}+\frac{24\!\cdots\!10}{15\!\cdots\!51}a^{17}+\frac{28\!\cdots\!04}{22\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{62\!\cdots\!04}{15\!\cdots\!51}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!00}{15\!\cdots\!51}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!80}{15\!\cdots\!51}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!70}{15\!\cdots\!51}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!30}{15\!\cdots\!51}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!96}{15\!\cdots\!51}a^{10}-\frac{34\!\cdots\!48}{15\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{65\!\cdots\!30}{15\!\cdots\!51}a^{8}-\frac{31\!\cdots\!50}{15\!\cdots\!51}a^{7}+\frac{41\!\cdots\!70}{15\!\cdots\!51}a^{6}-\frac{44\!\cdots\!46}{15\!\cdots\!51}a^{5}+\frac{47\!\cdots\!50}{15\!\cdots\!51}a^{4}-\frac{51\!\cdots\!40}{15\!\cdots\!51}a^{3}-\frac{34\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!51}a^{2}-\frac{57\!\cdots\!60}{15\!\cdots\!51}a+\frac{57\!\cdots\!46}{15\!\cdots\!51}$, $\frac{13\!\cdots\!90}{15\!\cdots\!51}a^{29}+\frac{13\!\cdots\!19}{15\!\cdots\!51}a^{28}+\frac{13\!\cdots\!00}{15\!\cdots\!51}a^{27}-\frac{52\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!51}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!05}{15\!\cdots\!51}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!80}{15\!\cdots\!51}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!51}a^{23}+\frac{24\!\cdots\!75}{15\!\cdots\!51}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!00}{15\!\cdots\!51}a^{21}+\frac{20\!\cdots\!90}{15\!\cdots\!51}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!47}{22\!\cdots\!93}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!19}{15\!\cdots\!51}a^{18}+\frac{61\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!51}a^{17}+\frac{63\!\cdots\!15}{15\!\cdots\!51}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!65}{15\!\cdots\!51}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!51}a^{14}+\frac{24\!\cdots\!06}{15\!\cdots\!51}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!67}{15\!\cdots\!51}a^{12}+\frac{58\!\cdots\!60}{22\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!51}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!51}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!06}{15\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!00}{22\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!45}{32\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{88\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!51}a^{5}-\frac{66\!\cdots\!85}{15\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{70\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!51}a^{3}-\frac{75\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{78\!\cdots\!40}{15\!\cdots\!51}a-\frac{65\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!51}$, $\frac{288074480023250}{22\!\cdots\!93}a^{28}-\frac{144037240011625}{22\!\cdots\!93}a^{27}+\frac{25\!\cdots\!50}{22\!\cdots\!93}a^{26}-\frac{29\!\cdots\!25}{22\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{23\!\cdots\!25}{22\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{40\!\cdots\!95}{22\!\cdots\!93}a^{23}+\frac{22\!\cdots\!00}{22\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{42\!\cdots\!75}{22\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{17\!\cdots\!75}{22\!\cdots\!93}a^{20}+\frac{25\!\cdots\!25}{22\!\cdots\!93}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!75}{22\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!25}{22\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!26}{32\!\cdots\!99}a^{16}+\frac{31\!\cdots\!50}{22\!\cdots\!93}a^{15}+\frac{50\!\cdots\!50}{22\!\cdots\!93}a^{14}+\frac{51\!\cdots\!50}{22\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{84\!\cdots\!75}{22\!\cdots\!93}a^{12}-\frac{73\!\cdots\!75}{22\!\cdots\!93}a^{11}+\frac{56\!\cdots\!50}{22\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!40}{22\!\cdots\!93}a^{9}+\frac{32\!\cdots\!75}{22\!\cdots\!93}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!75}{22\!\cdots\!93}a^{7}+\frac{20\!\cdots\!75}{22\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{22\!\cdots\!75}{22\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{23\!\cdots\!25}{22\!\cdots\!93}a^{4}-\frac{25\!\cdots\!50}{22\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!40}{22\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{288074480023250}{22\!\cdots\!93}a+\frac{28807448002325}{22\!\cdots\!93}$, $\frac{42560726506259}{15\!\cdots\!51}a^{28}+\frac{13\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!51}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!51}a^{14}+\frac{24\!\cdots\!92}{15\!\cdots\!51}a^{7}-\frac{26\!\cdots\!18}{15\!\cdots\!51}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 1429364684924.111 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{0}\cdot(2\pi)^{15}\cdot 1429364684924.111 \cdot 9616}{14\cdot\sqrt{4764432829290274543179606325793429277837276458740234375}}\cr\approx \mathstrut & 0.422378582110552 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_{30}$ (as 30T1):

A cyclic group of order 30

The 30 conjugacy class representatives for $C_{30}$

Character table for $C_{30}$

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-7}) \), \(\Q(\zeta_{7})^+\), 5.5.390625.1, \(\Q(\zeta_{7})\), 10.0.2564544677734375.1, 15.15.16836836874485015869140625.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	$15^{2}$	$30$	R	R	$15^{2}$	${\href{/padicField/13.10.0.1}{10} }^{3}$	$30$	$30$	$15^{2}$	${\href{/padicField/29.5.0.1}{5} }^{6}$	$30$	$15^{2}$	${\href{/padicField/41.10.0.1}{10} }^{3}$	${\href{/padicField/43.1.0.1}{1} }^{30}$	$30$	$15^{2}$	$30$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(5\)		Deg $30$	$5$	$6$	$48$
\(7\)	7.6.5.5	$x^{6} + 7$	$6$	$1$	$5$	$C_6$	$[\ ]_{6}$
	7.6.5.5	$x^{6} + 7$	$6$	$1$	$5$	$C_6$	$[\ ]_{6}$
	7.6.5.5	$x^{6} + 7$	$6$	$1$	$5$	$C_6$	$[\ ]_{6}$
	7.6.5.5	$x^{6} + 7$	$6$	$1$	$5$	$C_6$	$[\ ]_{6}$
	7.6.5.5	$x^{6} + 7$	$6$	$1$	$5$	$C_6$	$[\ ]_{6}$