Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^30 - 15*x^27 + 850*x^24 + 13165*x^21 + 361380*x^18 + 1208974*x^15 + 4103510*x^12 - 1555150*x^9 + 670505*x^6 - 820*x^3 + 1)
gp: K = bnfinit(y^30 - 15*y^27 + 850*y^24 + 13165*y^21 + 361380*y^18 + 1208974*y^15 + 4103510*y^12 - 1555150*y^9 + 670505*y^6 - 820*y^3 + 1, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^30 - 15*x^27 + 850*x^24 + 13165*x^21 + 361380*x^18 + 1208974*x^15 + 4103510*x^12 - 1555150*x^9 + 670505*x^6 - 820*x^3 + 1);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^30 - 15*x^27 + 850*x^24 + 13165*x^21 + 361380*x^18 + 1208974*x^15 + 4103510*x^12 - 1555150*x^9 + 670505*x^6 - 820*x^3 + 1)
\( x^{30} - 15 x^{27} + 850 x^{24} + 13165 x^{21} + 361380 x^{18} + 1208974 x^{15} + 4103510 x^{12} + \cdots + 1 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $30$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[0, 15]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(-10495827164017277150673379537693108431994915008544921875\)
\(\medspace = -\,3^{45}\cdot 5^{48}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(68.24\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $3^{3/2}5^{8/5}\approx 68.23919407079482$ | ||
| Ramified primes: |
\(3\), \(5\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{-3}) \) | ||
| $\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $30$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
| Conductor: | \(225=3^{2}\cdot 5^{2}\) | ||
| Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{225}(1,·)$, $\chi_{225}(131,·)$, $\chi_{225}(196,·)$, $\chi_{225}(71,·)$, $\chi_{225}(136,·)$, $\chi_{225}(11,·)$, $\chi_{225}(76,·)$, $\chi_{225}(206,·)$, $\chi_{225}(16,·)$, $\chi_{225}(146,·)$, $\chi_{225}(211,·)$, $\chi_{225}(86,·)$, $\chi_{225}(151,·)$, $\chi_{225}(26,·)$, $\chi_{225}(91,·)$, $\chi_{225}(221,·)$, $\chi_{225}(31,·)$, $\chi_{225}(161,·)$, $\chi_{225}(101,·)$, $\chi_{225}(166,·)$, $\chi_{225}(41,·)$, $\chi_{225}(106,·)$, $\chi_{225}(46,·)$, $\chi_{225}(176,·)$, $\chi_{225}(116,·)$, $\chi_{225}(181,·)$, $\chi_{225}(56,·)$, $\chi_{225}(121,·)$, $\chi_{225}(61,·)$, $\chi_{225}(191,·)$$\rbrace$ | ||
| This is a CM field. | |||
| Reflex fields: | unavailable$^{16384}$ | ||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $\frac{1}{7}a^{12}+\frac{1}{7}a^{6}+\frac{1}{7}$, $\frac{1}{7}a^{13}+\frac{1}{7}a^{7}+\frac{1}{7}a$, $\frac{1}{7}a^{14}+\frac{1}{7}a^{8}+\frac{1}{7}a^{2}$, $\frac{1}{7}a^{15}+\frac{1}{7}a^{9}+\frac{1}{7}a^{3}$, $\frac{1}{7}a^{16}+\frac{1}{7}a^{10}+\frac{1}{7}a^{4}$, $\frac{1}{7}a^{17}+\frac{1}{7}a^{11}+\frac{1}{7}a^{5}$, $\frac{1}{7}a^{18}-\frac{1}{7}$, $\frac{1}{7}a^{19}-\frac{1}{7}a$, $\frac{1}{7}a^{20}-\frac{1}{7}a^{2}$, $\frac{1}{7}a^{21}-\frac{1}{7}a^{3}$, $\frac{1}{7}a^{22}-\frac{1}{7}a^{4}$, $\frac{1}{7}a^{23}-\frac{1}{7}a^{5}$, $\frac{1}{1530907}a^{24}+\frac{2994}{218701}a^{21}-\frac{95044}{1530907}a^{18}-\frac{4303}{218701}a^{15}+\frac{554}{9751}a^{12}-\frac{33990}{218701}a^{9}+\frac{25286}{1530907}a^{6}+\frac{26492}{218701}a^{3}+\frac{476708}{1530907}$, $\frac{1}{1530907}a^{25}+\frac{2994}{218701}a^{22}-\frac{95044}{1530907}a^{19}-\frac{4303}{218701}a^{16}+\frac{554}{9751}a^{13}-\frac{33990}{218701}a^{10}+\frac{25286}{1530907}a^{7}+\frac{26492}{218701}a^{4}+\frac{476708}{1530907}a$, $\frac{1}{1530907}a^{26}+\frac{2994}{218701}a^{23}-\frac{95044}{1530907}a^{20}-\frac{4303}{218701}a^{17}+\frac{554}{9751}a^{14}-\frac{33990}{218701}a^{11}+\frac{25286}{1530907}a^{8}+\frac{26492}{218701}a^{5}+\frac{476708}{1530907}a^{2}$, $\frac{1}{13\!\cdots\!93}a^{27}+\frac{25\!\cdots\!53}{19\!\cdots\!99}a^{24}-\frac{76\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{98\!\cdots\!26}{19\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{43\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!93}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!98}{19\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{86\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!93}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!49}{19\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!93}a^{3}+\frac{25\!\cdots\!42}{19\!\cdots\!99}$, $\frac{1}{13\!\cdots\!93}a^{28}+\frac{25\!\cdots\!53}{19\!\cdots\!99}a^{25}-\frac{76\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{98\!\cdots\!26}{19\!\cdots\!99}a^{19}+\frac{43\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!98}{19\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{86\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!93}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!49}{19\!\cdots\!99}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!42}{19\!\cdots\!99}a$, $\frac{1}{13\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{25\!\cdots\!53}{19\!\cdots\!99}a^{26}-\frac{76\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!93}a^{23}+\frac{98\!\cdots\!26}{19\!\cdots\!99}a^{20}+\frac{43\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!98}{19\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{86\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!93}a^{11}+\frac{22\!\cdots\!49}{19\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!42}{19\!\cdots\!99}a^{2}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
$C_{3641}$, which has order $3641$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $14$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -\frac{148248976519146198942551125}{1386296242742438692504366093} a^{29} + \frac{317675954960175014841890835}{198042320391776956072052299} a^{26} - \frac{126011586872750921645367842390}{1386296242742438692504366093} a^{23} - \frac{278814325074580350522364281451}{198042320391776956072052299} a^{20} - \frac{53574255225438895825289073358465}{1386296242742438692504366093} a^{17} - \frac{25604320847243540531889400997250}{198042320391776956072052299} a^{14} - \frac{608345203718322207803827803644090}{1386296242742438692504366093} a^{11} + \frac{32933660986169431170986149895110}{198042320391776956072052299} a^{8} - \frac{99402335352361051203938763690093}{1386296242742438692504366093} a^{5} + \frac{17366423173342244910048040640}{198042320391776956072052299} a^{2} \)
(order $18$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{21\!\cdots\!00}{19\!\cdots\!99}a^{29}+\frac{15\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!93}a^{28}-\frac{22\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!93}a^{26}-\frac{33\!\cdots\!76}{19\!\cdots\!99}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!60}{19\!\cdots\!99}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{19\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!93}a^{20}+\frac{29\!\cdots\!25}{19\!\cdots\!99}a^{19}+\frac{76\!\cdots\!95}{19\!\cdots\!99}a^{17}+\frac{57\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!93}a^{14}+\frac{27\!\cdots\!50}{19\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{87\!\cdots\!10}{19\!\cdots\!99}a^{11}+\frac{65\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{23\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!93}a^{8}-\frac{35\!\cdots\!25}{19\!\cdots\!99}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!49}{19\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!93}a^{4}-\frac{34\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!75}{19\!\cdots\!99}a$, $\frac{14\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{22\!\cdots\!55}{19\!\cdots\!99}a^{28}-\frac{31\!\cdots\!35}{19\!\cdots\!99}a^{26}-\frac{23\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!90}{13\!\cdots\!93}a^{23}+\frac{19\!\cdots\!85}{19\!\cdots\!99}a^{22}+\frac{27\!\cdots\!51}{19\!\cdots\!99}a^{20}+\frac{20\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!93}a^{19}+\frac{53\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{82\!\cdots\!50}{19\!\cdots\!99}a^{16}+\frac{25\!\cdots\!50}{19\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{60\!\cdots\!90}{13\!\cdots\!93}a^{11}+\frac{93\!\cdots\!26}{19\!\cdots\!99}a^{10}-\frac{32\!\cdots\!10}{19\!\cdots\!99}a^{8}-\frac{24\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!93}a^{7}+\frac{99\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!00}{19\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{17\!\cdots\!40}{19\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{36\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!93}a$, $\frac{53\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!93}a^{28}-\frac{77\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{45\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{72\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!93}a^{19}+\frac{19\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{73\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!93}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!72}{13\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!93}a$, $\frac{15\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!93}a^{29}-\frac{33\!\cdots\!76}{19\!\cdots\!99}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!93}a^{23}+\frac{29\!\cdots\!25}{19\!\cdots\!99}a^{20}+\frac{57\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{27\!\cdots\!50}{19\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{65\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{35\!\cdots\!25}{19\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!93}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!75}{19\!\cdots\!99}a^{2}$, $\frac{48\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!93}a^{29}-\frac{10\!\cdots\!36}{19\!\cdots\!99}a^{26}+\frac{41\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!93}a^{23}+\frac{90\!\cdots\!30}{19\!\cdots\!99}a^{20}+\frac{17\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{83\!\cdots\!76}{19\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!39}{28\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{32\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!93}a^{5}-\frac{56\!\cdots\!30}{19\!\cdots\!99}a^{2}$, $\frac{67\!\cdots\!10}{19\!\cdots\!99}a^{27}-\frac{70\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{57\!\cdots\!54}{19\!\cdots\!99}a^{21}+\frac{62\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{24\!\cdots\!72}{19\!\cdots\!99}a^{15}+\frac{57\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{27\!\cdots\!76}{19\!\cdots\!99}a^{9}-\frac{73\!\cdots\!90}{13\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{43\!\cdots\!97}{19\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!93}$, $\frac{22\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!93}a^{29}-\frac{40\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!93}a^{28}+\frac{46\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{34\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{60\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!93}a^{25}-\frac{67\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{19\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{34\!\cdots\!14}{13\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{38\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{30\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{52\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!93}a^{19}+\frac{62\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{82\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!93}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!93}a^{15}+\frac{27\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{48\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{63\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{93\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!93}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!93}a^{9}-\frac{35\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{62\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!93}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!93}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!93}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!93}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!93}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!93}a-\frac{49\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!93}$, $\frac{10\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!93}a^{29}-\frac{27\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!93}a^{28}+\frac{45\!\cdots\!55}{19\!\cdots\!99}a^{27}-\frac{16\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{41\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!93}a^{25}-\frac{48\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{91\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{23\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{38\!\cdots\!26}{19\!\cdots\!99}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{36\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!93}a^{19}+\frac{42\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{38\!\cdots\!36}{13\!\cdots\!93}a^{17}-\frac{99\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!02}{19\!\cdots\!99}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{33\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{38\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{43\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!93}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!90}{19\!\cdots\!99}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{42\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{49\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{72\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!93}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{30\!\cdots\!65}{19\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!93}a^{2}+\frac{94\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!93}a-\frac{74\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!93}$, $\frac{25\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!93}a^{29}-\frac{15\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!93}a^{28}-\frac{45\!\cdots\!55}{19\!\cdots\!99}a^{27}-\frac{38\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{23\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{48\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{21\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!93}a^{22}-\frac{38\!\cdots\!26}{19\!\cdots\!99}a^{21}+\frac{33\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{42\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{92\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!93}a^{17}-\frac{57\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!93}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!02}{19\!\cdots\!99}a^{15}+\frac{30\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!93}a^{13}-\frac{38\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{64\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!90}{19\!\cdots\!99}a^{9}-\frac{39\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!93}a^{7}+\frac{49\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!93}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!93}a^{4}-\frac{30\!\cdots\!65}{19\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!93}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!93}a+\frac{74\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!93}$, $\frac{14\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!93}a^{29}-\frac{40\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!93}a^{28}+\frac{12\!\cdots\!25}{28\!\cdots\!57}a^{27}-\frac{22\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{60\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!93}a^{25}-\frac{90\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!52}{13\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{34\!\cdots\!14}{13\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{73\!\cdots\!73}{19\!\cdots\!99}a^{21}+\frac{19\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{52\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!93}a^{19}+\frac{79\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{53\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!93}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{44\!\cdots\!27}{28\!\cdots\!57}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{48\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{72\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{60\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!93}a^{10}+\frac{50\!\cdots\!04}{28\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{62\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{93\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{99\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!93}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{57\!\cdots\!69}{19\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{30\!\cdots\!14}{13\!\cdots\!93}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!93}a-\frac{13\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!93}$, $\frac{50\!\cdots\!72}{13\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{15\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!93}a^{28}-\frac{53\!\cdots\!85}{28\!\cdots\!57}a^{27}-\frac{73\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!93}a^{26}-\frac{23\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{39\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{42\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!93}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!93}a^{22}-\frac{32\!\cdots\!73}{19\!\cdots\!99}a^{21}+\frac{68\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!93}a^{20}+\frac{20\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{34\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{57\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!93}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!41}{28\!\cdots\!57}a^{15}+\frac{68\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!93}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!93}a^{13}-\frac{31\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{23\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!93}a^{11}+\frac{64\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!04}{28\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!72}{13\!\cdots\!93}a^{8}-\frac{24\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!93}a^{7}+\frac{40\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!93}a^{4}-\frac{25\!\cdots\!09}{19\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!93}a+\frac{13\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!93}$, $\frac{18\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{15\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!93}a^{28}+\frac{95\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{40\!\cdots\!03}{19\!\cdots\!99}a^{26}-\frac{23\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!93}a^{25}-\frac{20\!\cdots\!88}{19\!\cdots\!99}a^{24}+\frac{16\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!93}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{80\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{35\!\cdots\!54}{19\!\cdots\!99}a^{20}+\frac{20\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!93}a^{19}+\frac{17\!\cdots\!06}{19\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{68\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{57\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{34\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!93}a^{15}+\frac{32\!\cdots\!76}{19\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!16}{19\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{77\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!93}a^{11}+\frac{64\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!93}a^{10}+\frac{39\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!93}a^{9}-\frac{41\!\cdots\!61}{19\!\cdots\!99}a^{8}-\frac{24\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{29\!\cdots\!51}{28\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{63\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!15}{19\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!93}a-\frac{30\!\cdots\!94}{19\!\cdots\!99}$, $\frac{14\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!93}a^{29}-\frac{21\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!93}a^{28}-\frac{17\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{22\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{30\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{25\!\cdots\!90}{13\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{17\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!93}a^{22}-\frac{14\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{19\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{28\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{53\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!93}a^{17}-\frac{77\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!93}a^{16}-\frac{61\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!93}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{28\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!93}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{60\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{98\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{70\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!93}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!93}a^{8}-\frac{46\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!93}a^{7}+\frac{26\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{99\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{57\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!93}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{51\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{58\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!93}a-\frac{45\!\cdots\!88}{13\!\cdots\!93}$, $\frac{16\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!93}a^{29}-\frac{17\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!93}a^{28}-\frac{15\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{12\!\cdots\!73}{69\!\cdots\!07}a^{26}+\frac{25\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{22\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!93}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{22\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{59\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!93}a^{17}-\frac{62\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!93}a^{16}-\frac{55\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!93}a^{15}+\frac{19\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{21\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!93}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{67\!\cdots\!72}{13\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{71\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{70\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!93}a^{9}-\frac{25\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{33\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!93}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{40\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!93}a-\frac{17\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!93}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 1819602443243.4526 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{0}\cdot(2\pi)^{15}\cdot 1819602443243.4526 \cdot 3641}{18\cdot\sqrt{10495827164017277150673379537693108431994915008544921875}}\cr\approx \mathstrut & 0.106687705562896 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^30 - 15*x^27 + 850*x^24 + 13165*x^21 + 361380*x^18 + 1208974*x^15 + 4103510*x^12 - 1555150*x^9 + 670505*x^6 - 820*x^3 + 1)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^30 - 15*x^27 + 850*x^24 + 13165*x^21 + 361380*x^18 + 1208974*x^15 + 4103510*x^12 - 1555150*x^9 + 670505*x^6 - 820*x^3 + 1, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^30 - 15*x^27 + 850*x^24 + 13165*x^21 + 361380*x^18 + 1208974*x^15 + 4103510*x^12 - 1555150*x^9 + 670505*x^6 - 820*x^3 + 1);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^30 - 15*x^27 + 850*x^24 + 13165*x^21 + 361380*x^18 + 1208974*x^15 + 4103510*x^12 - 1555150*x^9 + 670505*x^6 - 820*x^3 + 1);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A cyclic group of order 30 |
| The 30 conjugacy class representatives for $C_{30}$ |
| Character table for $C_{30}$ |
Intermediate fields
| \(\Q(\sqrt{-3}) \), \(\Q(\zeta_{9})^+\), 5.5.390625.1, \(\Q(\zeta_{9})\), 10.0.37078857421875.1, 15.15.207828545629978179931640625.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | $30$ | R | R | ${\href{/padicField/7.3.0.1}{3} }^{10}$ | $30$ | $15^{2}$ | ${\href{/padicField/17.10.0.1}{10} }^{3}$ | ${\href{/padicField/19.5.0.1}{5} }^{6}$ | $30$ | $30$ | $15^{2}$ | ${\href{/padicField/37.5.0.1}{5} }^{6}$ | $30$ | ${\href{/padicField/43.3.0.1}{3} }^{10}$ | $30$ | ${\href{/padicField/53.10.0.1}{10} }^{3}$ | $30$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(3\)
| Deg $30$ | $6$ | $5$ | $45$ | |||
|
\(5\)
| Deg $30$ | $5$ | $6$ | $48$ |