Properties

Label 29.29.131...481.1
Degree $29$
Signature $[29, 0]$
Discriminant $1.312\times 10^{76}$
Root discriminant \(421.46\)
Ramified prime $523$
Class number $1$ (GRH)
Class group trivial (GRH)
Galois group $C_{29}$ (as 29T1)

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Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^29 - x^28 - 252*x^27 + 493*x^26 + 26301*x^25 - 70613*x^24 - 1477005*x^23 + 4757585*x^22 + 49139083*x^21 - 176708296*x^20 - 1019533247*x^19 + 3897692875*x^18 + 13650905238*x^17 - 52791707208*x^16 - 121558760223*x^15 + 441031541121*x^14 + 744433170879*x^13 - 2221117761731*x^12 - 3198643328695*x^11 + 6333895042002*x^10 + 9161654939551*x^9 - 8623697894872*x^8 - 14867816867065*x^7 + 2648025494151*x^6 + 9891108006231*x^5 + 1898151784214*x^4 - 1956687026062*x^3 - 891062263511*x^2 - 130453149826*x - 6306528127)
 
gp: K = bnfinit(y^29 - y^28 - 252*y^27 + 493*y^26 + 26301*y^25 - 70613*y^24 - 1477005*y^23 + 4757585*y^22 + 49139083*y^21 - 176708296*y^20 - 1019533247*y^19 + 3897692875*y^18 + 13650905238*y^17 - 52791707208*y^16 - 121558760223*y^15 + 441031541121*y^14 + 744433170879*y^13 - 2221117761731*y^12 - 3198643328695*y^11 + 6333895042002*y^10 + 9161654939551*y^9 - 8623697894872*y^8 - 14867816867065*y^7 + 2648025494151*y^6 + 9891108006231*y^5 + 1898151784214*y^4 - 1956687026062*y^3 - 891062263511*y^2 - 130453149826*y - 6306528127, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^29 - x^28 - 252*x^27 + 493*x^26 + 26301*x^25 - 70613*x^24 - 1477005*x^23 + 4757585*x^22 + 49139083*x^21 - 176708296*x^20 - 1019533247*x^19 + 3897692875*x^18 + 13650905238*x^17 - 52791707208*x^16 - 121558760223*x^15 + 441031541121*x^14 + 744433170879*x^13 - 2221117761731*x^12 - 3198643328695*x^11 + 6333895042002*x^10 + 9161654939551*x^9 - 8623697894872*x^8 - 14867816867065*x^7 + 2648025494151*x^6 + 9891108006231*x^5 + 1898151784214*x^4 - 1956687026062*x^3 - 891062263511*x^2 - 130453149826*x - 6306528127);
 
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^29 - x^28 - 252*x^27 + 493*x^26 + 26301*x^25 - 70613*x^24 - 1477005*x^23 + 4757585*x^22 + 49139083*x^21 - 176708296*x^20 - 1019533247*x^19 + 3897692875*x^18 + 13650905238*x^17 - 52791707208*x^16 - 121558760223*x^15 + 441031541121*x^14 + 744433170879*x^13 - 2221117761731*x^12 - 3198643328695*x^11 + 6333895042002*x^10 + 9161654939551*x^9 - 8623697894872*x^8 - 14867816867065*x^7 + 2648025494151*x^6 + 9891108006231*x^5 + 1898151784214*x^4 - 1956687026062*x^3 - 891062263511*x^2 - 130453149826*x - 6306528127)
 

\( x^{29} - x^{28} - 252 x^{27} + 493 x^{26} + 26301 x^{25} - 70613 x^{24} - 1477005 x^{23} + 4757585 x^{22} + 49139083 x^{21} - 176708296 x^{20} - 1019533247 x^{19} + \cdots - 6306528127 \) Copy content Toggle raw display

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 
oscar: defining_polynomial(K)
 

Invariants

Degree:  $29$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
oscar: degree(K)
 
Signature:  $[29, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
oscar: signature(K)
 
Discriminant:   \(13123427860740340635045684158089751314114754706664887333885491004189525894481\) \(\medspace = 523^{28}\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
 
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
 
Root discriminant:  \(421.46\)
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
 
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
 
Galois root discriminant:  $523^{28/29}\approx 421.4637736028196$
Ramified primes:   \(523\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
 
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
 
Discriminant root field:  \(\Q\)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:  $29$
sage: K.automorphisms()
 
magma: Automorphisms(K);
 
oscar: automorphisms(K)
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(523\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{523}(1,·)$, $\chi_{523}(387,·)$, $\chi_{523}(134,·)$, $\chi_{523}(520,·)$, $\chi_{523}(9,·)$, $\chi_{523}(394,·)$, $\chi_{523}(11,·)$, $\chi_{523}(206,·)$, $\chi_{523}(408,·)$, $\chi_{523}(465,·)$, $\chi_{523}(150,·)$, $\chi_{523}(473,·)$, $\chi_{523}(280,·)$, $\chi_{523}(345,·)$, $\chi_{523}(285,·)$, $\chi_{523}(160,·)$, $\chi_{523}(304,·)$, $\chi_{523}(226,·)$, $\chi_{523}(99,·)$, $\chi_{523}(81,·)$, $\chi_{523}(490,·)$, $\chi_{523}(43,·)$, $\chi_{523}(428,·)$, $\chi_{523}(174,·)$, $\chi_{523}(368,·)$, $\chi_{523}(496,·)$, $\chi_{523}(73,·)$, $\chi_{523}(121,·)$, $\chi_{523}(191,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $\frac{1}{19}a^{17}-\frac{2}{19}a^{16}+\frac{7}{19}a^{15}-\frac{1}{19}a^{14}+\frac{4}{19}a^{13}+\frac{8}{19}a^{12}-\frac{4}{19}a^{11}-\frac{6}{19}a^{10}+\frac{1}{19}a^{8}-\frac{2}{19}a^{7}+\frac{7}{19}a^{6}-\frac{1}{19}a^{5}+\frac{4}{19}a^{4}+\frac{8}{19}a^{3}-\frac{4}{19}a^{2}-\frac{6}{19}a$, $\frac{1}{19}a^{18}+\frac{3}{19}a^{16}-\frac{6}{19}a^{15}+\frac{2}{19}a^{14}-\frac{3}{19}a^{13}-\frac{7}{19}a^{12}+\frac{5}{19}a^{11}+\frac{7}{19}a^{10}+\frac{1}{19}a^{9}+\frac{3}{19}a^{7}-\frac{6}{19}a^{6}+\frac{2}{19}a^{5}-\frac{3}{19}a^{4}-\frac{7}{19}a^{3}+\frac{5}{19}a^{2}+\frac{7}{19}a$, $\frac{1}{19}a^{19}-\frac{1}{19}a$, $\frac{1}{19}a^{20}-\frac{1}{19}a^{2}$, $\frac{1}{19}a^{21}-\frac{1}{19}a^{3}$, $\frac{1}{19}a^{22}-\frac{1}{19}a^{4}$, $\frac{1}{19}a^{23}-\frac{1}{19}a^{5}$, $\frac{1}{361}a^{24}-\frac{8}{361}a^{23}-\frac{7}{361}a^{22}+\frac{1}{361}a^{21}-\frac{8}{361}a^{20}+\frac{8}{361}a^{19}+\frac{7}{361}a^{18}-\frac{9}{361}a^{17}+\frac{172}{361}a^{16}-\frac{48}{361}a^{15}+\frac{61}{361}a^{14}-\frac{9}{19}a^{13}-\frac{83}{361}a^{12}+\frac{166}{361}a^{11}+\frac{160}{361}a^{10}-\frac{69}{361}a^{9}+\frac{86}{361}a^{8}-\frac{37}{361}a^{7}+\frac{84}{361}a^{6}-\frac{102}{361}a^{5}+\frac{64}{361}a^{4}-\frac{122}{361}a^{3}+\frac{98}{361}a^{2}+\frac{4}{19}a$, $\frac{1}{361}a^{25}+\frac{5}{361}a^{23}+\frac{2}{361}a^{22}+\frac{1}{361}a^{20}-\frac{5}{361}a^{19}+\frac{9}{361}a^{18}+\frac{5}{361}a^{17}-\frac{40}{361}a^{16}-\frac{2}{19}a^{15}-\frac{25}{361}a^{14}+\frac{88}{361}a^{13}+\frac{91}{361}a^{12}-\frac{127}{361}a^{11}+\frac{71}{361}a^{10}-\frac{143}{361}a^{9}-\frac{166}{361}a^{8}-\frac{136}{361}a^{7}+\frac{7}{19}a^{6}-\frac{87}{361}a^{5}+\frac{67}{361}a^{4}+\frac{72}{361}a^{3}-\frac{90}{361}a^{2}-\frac{5}{19}a$, $\frac{1}{40793}a^{26}+\frac{1}{40793}a^{25}-\frac{35}{40793}a^{24}-\frac{395}{40793}a^{23}+\frac{681}{40793}a^{22}+\frac{968}{40793}a^{21}-\frac{121}{40793}a^{20}-\frac{31}{40793}a^{19}-\frac{16}{2147}a^{18}+\frac{287}{40793}a^{17}-\frac{10967}{40793}a^{16}+\frac{15176}{40793}a^{15}-\frac{6025}{40793}a^{14}+\frac{483}{40793}a^{13}-\frac{10472}{40793}a^{12}-\frac{16842}{40793}a^{11}-\frac{20228}{40793}a^{10}+\frac{32}{2147}a^{9}-\frac{1975}{40793}a^{8}+\frac{4327}{40793}a^{7}-\frac{18514}{40793}a^{6}-\frac{14389}{40793}a^{5}+\frac{4001}{40793}a^{4}+\frac{8871}{40793}a^{3}-\frac{2984}{40793}a^{2}+\frac{1072}{2147}a+\frac{5}{113}$, $\frac{1}{46\!\cdots\!37}a^{27}+\frac{19899893856}{46\!\cdots\!37}a^{26}+\frac{1895686225114}{46\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{5571536327734}{46\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{42321077651837}{46\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{76647823822703}{46\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{24910417720468}{46\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{31702543407817}{46\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{114401628107544}{46\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{47550185191851}{46\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{59831914544399}{46\!\cdots\!37}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!96}{46\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{914928674201160}{46\!\cdots\!37}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!52}{46\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{734808000550862}{46\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!34}{46\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!55}{46\!\cdots\!37}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!40}{46\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!19}{46\!\cdots\!37}a^{9}+\frac{842932255131992}{46\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{71513217065338}{46\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{194121422850161}{46\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{938921828943813}{46\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{21\!\cdots\!46}{46\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!60}{46\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{21\!\cdots\!13}{46\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{116778584174148}{242401250142523}a+\frac{53481690844}{209146893997}$, $\frac{1}{27\!\cdots\!59}a^{28}-\frac{72\!\cdots\!35}{14\!\cdots\!61}a^{27}-\frac{12\!\cdots\!48}{27\!\cdots\!59}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!15}{27\!\cdots\!59}a^{25}+\frac{81\!\cdots\!21}{14\!\cdots\!61}a^{24}-\frac{30\!\cdots\!38}{27\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{76\!\cdots\!32}{27\!\cdots\!59}a^{22}-\frac{23\!\cdots\!70}{27\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{37\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{31\!\cdots\!08}{27\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{31\!\cdots\!58}{27\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!80}{27\!\cdots\!59}a^{17}-\frac{33\!\cdots\!05}{27\!\cdots\!59}a^{16}+\frac{43\!\cdots\!82}{27\!\cdots\!59}a^{15}+\frac{47\!\cdots\!55}{27\!\cdots\!59}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!80}{27\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!72}{23\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{88\!\cdots\!17}{27\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!21}{14\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!54}{27\!\cdots\!59}a^{9}-\frac{66\!\cdots\!44}{27\!\cdots\!59}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!17}{27\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{45\!\cdots\!74}{27\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{59\!\cdots\!69}{27\!\cdots\!59}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!51}{27\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{62\!\cdots\!19}{27\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!66}{27\!\cdots\!59}a^{2}+\frac{21\!\cdots\!35}{14\!\cdots\!61}a-\frac{55\!\cdots\!15}{12\!\cdots\!79}$ Copy content Toggle raw display

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 
oscar: basis(OK)
 

Monogenic:  No
Index:  Not computed
Inessential primes:  $19$

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 
oscar: class_group(K)
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
 
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
 
Rank:  $28$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
oscar: rank(UK)
 
Torsion generator:   \( -1 \)  (order $2$) Copy content Toggle raw display
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
oscar: torsion_units_generator(OK)
 
Fundamental units:   $\frac{59\!\cdots\!95}{27\!\cdots\!59}a^{28}-\frac{56\!\cdots\!98}{27\!\cdots\!59}a^{27}-\frac{14\!\cdots\!40}{27\!\cdots\!59}a^{26}+\frac{28\!\cdots\!03}{27\!\cdots\!59}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!50}{27\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{41\!\cdots\!47}{27\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{88\!\cdots\!48}{27\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{28\!\cdots\!60}{27\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{29\!\cdots\!97}{27\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!64}{27\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{61\!\cdots\!68}{27\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{23\!\cdots\!27}{27\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{83\!\cdots\!62}{27\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{32\!\cdots\!10}{27\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{74\!\cdots\!51}{27\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{27\!\cdots\!53}{27\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{46\!\cdots\!59}{27\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!61}{27\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!23}{27\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{42\!\cdots\!61}{27\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{56\!\cdots\!70}{27\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{64\!\cdots\!30}{27\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{92\!\cdots\!02}{27\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{34\!\cdots\!42}{27\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{65\!\cdots\!60}{27\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!51}{27\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!76}{27\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!61}{14\!\cdots\!61}a-\frac{13\!\cdots\!33}{12\!\cdots\!79}$, $\frac{25\!\cdots\!11}{27\!\cdots\!59}a^{28}-\frac{65\!\cdots\!40}{27\!\cdots\!59}a^{27}-\frac{64\!\cdots\!60}{27\!\cdots\!59}a^{26}+\frac{22\!\cdots\!72}{27\!\cdots\!59}a^{25}+\frac{64\!\cdots\!55}{27\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{28\!\cdots\!81}{27\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{34\!\cdots\!59}{27\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{17\!\cdots\!70}{27\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!52}{27\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!06}{44\!\cdots\!19}a^{19}-\frac{17\!\cdots\!14}{27\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!65}{27\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!53}{27\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!26}{27\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{66\!\cdots\!76}{27\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!35}{27\!\cdots\!59}a^{13}-\frac{58\!\cdots\!37}{27\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{64\!\cdots\!03}{27\!\cdots\!59}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!73}{27\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!18}{27\!\cdots\!59}a^{9}-\frac{34\!\cdots\!46}{27\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{27\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!59}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!09}{27\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!41}{27\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{40\!\cdots\!24}{27\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{58\!\cdots\!84}{27\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{59\!\cdots\!51}{27\!\cdots\!59}a^{2}+\frac{26\!\cdots\!25}{14\!\cdots\!61}a+\frac{36\!\cdots\!54}{12\!\cdots\!79}$, $\frac{68\!\cdots\!25}{27\!\cdots\!59}a^{28}-\frac{13\!\cdots\!84}{27\!\cdots\!59}a^{27}-\frac{16\!\cdots\!17}{27\!\cdots\!59}a^{26}+\frac{51\!\cdots\!67}{27\!\cdots\!59}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!55}{27\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{66\!\cdots\!06}{27\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{93\!\cdots\!37}{27\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{42\!\cdots\!60}{27\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{28\!\cdots\!70}{27\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!40}{27\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{53\!\cdots\!53}{27\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{31\!\cdots\!07}{27\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{58\!\cdots\!67}{27\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{41\!\cdots\!57}{27\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{38\!\cdots\!03}{27\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!40}{14\!\cdots\!61}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!76}{27\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!40}{27\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{45\!\cdots\!59}{27\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{46\!\cdots\!86}{27\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!56}{27\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{68\!\cdots\!80}{27\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{29\!\cdots\!23}{27\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!54}{14\!\cdots\!61}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!28}{27\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{65\!\cdots\!01}{27\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{56\!\cdots\!44}{27\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{55\!\cdots\!54}{14\!\cdots\!61}a-\frac{26\!\cdots\!94}{12\!\cdots\!79}$, $\frac{75\!\cdots\!84}{14\!\cdots\!61}a^{28}-\frac{29\!\cdots\!58}{27\!\cdots\!59}a^{27}-\frac{35\!\cdots\!18}{27\!\cdots\!59}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!20}{27\!\cdots\!59}a^{25}+\frac{36\!\cdots\!62}{27\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{13\!\cdots\!34}{27\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{19\!\cdots\!53}{27\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{88\!\cdots\!87}{27\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{61\!\cdots\!36}{27\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{31\!\cdots\!58}{27\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!00}{27\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{67\!\cdots\!70}{27\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!04}{27\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{88\!\cdots\!71}{27\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{84\!\cdots\!34}{27\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{71\!\cdots\!13}{27\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{34\!\cdots\!16}{27\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{35\!\cdots\!78}{27\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!40}{27\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!71}{27\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{33\!\cdots\!86}{27\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!99}{27\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{71\!\cdots\!34}{27\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!06}{27\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{60\!\cdots\!58}{27\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!83}{27\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!98}{27\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!29}{14\!\cdots\!61}a-\frac{85\!\cdots\!65}{12\!\cdots\!79}$, $\frac{31\!\cdots\!13}{27\!\cdots\!59}a^{28}+\frac{27\!\cdots\!14}{27\!\cdots\!59}a^{27}-\frac{80\!\cdots\!09}{27\!\cdots\!59}a^{26}+\frac{94\!\cdots\!62}{27\!\cdots\!59}a^{25}+\frac{87\!\cdots\!01}{27\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{75\!\cdots\!40}{27\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{52\!\cdots\!41}{27\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{72\!\cdots\!34}{27\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{19\!\cdots\!08}{27\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{32\!\cdots\!42}{27\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{46\!\cdots\!50}{27\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{84\!\cdots\!04}{27\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{72\!\cdots\!60}{27\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!73}{27\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{76\!\cdots\!58}{27\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!75}{27\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{53\!\cdots\!49}{27\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{74\!\cdots\!33}{27\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!73}{27\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{24\!\cdots\!22}{27\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{66\!\cdots\!36}{27\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{38\!\cdots\!35}{27\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!18}{27\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!69}{27\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{35\!\cdots\!45}{14\!\cdots\!61}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!91}{27\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{23\!\cdots\!52}{44\!\cdots\!19}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!56}{14\!\cdots\!61}a+\frac{25\!\cdots\!95}{12\!\cdots\!79}$, $\frac{12\!\cdots\!15}{27\!\cdots\!59}a^{28}-\frac{78\!\cdots\!78}{14\!\cdots\!61}a^{27}-\frac{32\!\cdots\!10}{27\!\cdots\!59}a^{26}+\frac{68\!\cdots\!14}{27\!\cdots\!59}a^{25}+\frac{29\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!01}a^{24}-\frac{96\!\cdots\!35}{27\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{16\!\cdots\!91}{24\!\cdots\!43}a^{22}+\frac{64\!\cdots\!02}{27\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{62\!\cdots\!56}{27\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!59}{27\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{52\!\cdots\!73}{27\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!40}{27\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{70\!\cdots\!76}{27\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!73}{27\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{58\!\cdots\!41}{27\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{45\!\cdots\!89}{14\!\cdots\!61}a^{12}-\frac{29\!\cdots\!40}{27\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!49}{14\!\cdots\!61}a^{10}+\frac{87\!\cdots\!86}{27\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!38}{27\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!85}{27\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!12}{27\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{60\!\cdots\!72}{27\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!35}{27\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{48\!\cdots\!03}{27\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{25\!\cdots\!64}{27\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{35\!\cdots\!71}{14\!\cdots\!61}a-\frac{21\!\cdots\!78}{12\!\cdots\!79}$, $\frac{10\!\cdots\!42}{27\!\cdots\!59}a^{28}-\frac{19\!\cdots\!87}{27\!\cdots\!59}a^{27}-\frac{26\!\cdots\!10}{27\!\cdots\!59}a^{26}+\frac{73\!\cdots\!28}{27\!\cdots\!59}a^{25}+\frac{27\!\cdots\!17}{27\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{97\!\cdots\!63}{27\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!54}{27\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{62\!\cdots\!99}{27\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{47\!\cdots\!62}{27\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{22\!\cdots\!62}{27\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!60}{44\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{48\!\cdots\!46}{27\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!77}{27\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{63\!\cdots\!11}{27\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{78\!\cdots\!12}{27\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{51\!\cdots\!11}{27\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{34\!\cdots\!18}{24\!\cdots\!43}a^{12}-\frac{25\!\cdots\!95}{27\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!99}{27\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{73\!\cdots\!38}{27\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{41\!\cdots\!52}{27\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!48}{27\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{75\!\cdots\!72}{27\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{62\!\cdots\!42}{27\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{54\!\cdots\!84}{27\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{65\!\cdots\!74}{27\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!95}{27\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!35}{14\!\cdots\!61}a-\frac{78\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!79}$, $\frac{79\!\cdots\!57}{27\!\cdots\!59}a^{28}-\frac{10\!\cdots\!21}{27\!\cdots\!59}a^{27}-\frac{20\!\cdots\!34}{27\!\cdots\!59}a^{26}+\frac{44\!\cdots\!41}{27\!\cdots\!59}a^{25}+\frac{34\!\cdots\!61}{44\!\cdots\!19}a^{24}-\frac{61\!\cdots\!49}{27\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!62}{27\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{40\!\cdots\!55}{27\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{38\!\cdots\!04}{27\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!25}{27\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{77\!\cdots\!01}{27\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!10}{14\!\cdots\!61}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!01}{27\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{44\!\cdots\!32}{27\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{85\!\cdots\!06}{27\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{37\!\cdots\!20}{27\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{49\!\cdots\!72}{27\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{18\!\cdots\!49}{27\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!56}{27\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{54\!\cdots\!13}{27\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{58\!\cdots\!88}{27\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{80\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{97\!\cdots\!13}{27\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{41\!\cdots\!65}{27\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{67\!\cdots\!12}{27\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{79\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!85}{27\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!10}{14\!\cdots\!61}a-\frac{11\!\cdots\!32}{12\!\cdots\!79}$, $\frac{13\!\cdots\!55}{27\!\cdots\!59}a^{28}+\frac{73\!\cdots\!85}{27\!\cdots\!59}a^{27}-\frac{18\!\cdots\!66}{14\!\cdots\!61}a^{26}+\frac{15\!\cdots\!13}{27\!\cdots\!59}a^{25}+\frac{37\!\cdots\!58}{27\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{44\!\cdots\!68}{27\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{22\!\cdots\!65}{27\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{37\!\cdots\!61}{27\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{81\!\cdots\!02}{27\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!23}{27\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!84}{27\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{38\!\cdots\!60}{27\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{28\!\cdots\!32}{27\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{56\!\cdots\!50}{27\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{29\!\cdots\!40}{27\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{51\!\cdots\!46}{27\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!28}{27\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{27\!\cdots\!36}{27\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{93\!\cdots\!15}{27\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{81\!\cdots\!76}{27\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{23\!\cdots\!87}{24\!\cdots\!43}a^{8}-\frac{98\!\cdots\!36}{27\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{41\!\cdots\!14}{27\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!49}{27\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!36}{27\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{69\!\cdots\!58}{27\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{57\!\cdots\!03}{27\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!88}{14\!\cdots\!61}a-\frac{94\!\cdots\!91}{12\!\cdots\!79}$, $\frac{18\!\cdots\!79}{27\!\cdots\!49}a^{28}-\frac{36\!\cdots\!39}{27\!\cdots\!49}a^{27}-\frac{45\!\cdots\!87}{27\!\cdots\!49}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!63}{27\!\cdots\!49}a^{25}+\frac{46\!\cdots\!90}{27\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{17\!\cdots\!74}{27\!\cdots\!49}a^{23}-\frac{25\!\cdots\!22}{27\!\cdots\!49}a^{22}+\frac{11\!\cdots\!06}{27\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{78\!\cdots\!73}{27\!\cdots\!49}a^{20}-\frac{39\!\cdots\!39}{27\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!03}{27\!\cdots\!49}a^{18}+\frac{85\!\cdots\!10}{27\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!45}{27\!\cdots\!49}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!79}{27\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!94}{27\!\cdots\!49}a^{14}+\frac{89\!\cdots\!44}{27\!\cdots\!49}a^{13}+\frac{47\!\cdots\!83}{27\!\cdots\!49}a^{12}-\frac{23\!\cdots\!65}{14\!\cdots\!71}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!23}{27\!\cdots\!49}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!51}{27\!\cdots\!49}a^{9}+\frac{46\!\cdots\!23}{27\!\cdots\!49}a^{8}-\frac{18\!\cdots\!56}{27\!\cdots\!49}a^{7}-\frac{92\!\cdots\!54}{27\!\cdots\!49}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!18}{27\!\cdots\!49}a^{5}+\frac{69\!\cdots\!41}{27\!\cdots\!49}a^{4}-\frac{84\!\cdots\!76}{14\!\cdots\!71}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!54}{27\!\cdots\!49}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!95}{14\!\cdots\!71}a-\frac{84\!\cdots\!86}{12\!\cdots\!69}$, $\frac{28\!\cdots\!90}{27\!\cdots\!59}a^{28}-\frac{32\!\cdots\!84}{27\!\cdots\!59}a^{27}-\frac{71\!\cdots\!81}{27\!\cdots\!59}a^{26}+\frac{15\!\cdots\!00}{27\!\cdots\!59}a^{25}+\frac{73\!\cdots\!83}{27\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{21\!\cdots\!10}{27\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{41\!\cdots\!66}{27\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!54}{27\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!95}{27\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{52\!\cdots\!97}{27\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!38}{27\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!39}{27\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{36\!\cdots\!92}{27\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!27}{27\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{31\!\cdots\!58}{27\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!93}{27\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!02}{27\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{66\!\cdots\!05}{27\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{79\!\cdots\!80}{27\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{19\!\cdots\!87}{27\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!92}{27\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{29\!\cdots\!73}{27\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{37\!\cdots\!37}{27\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!27}{27\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{26\!\cdots\!42}{27\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{33\!\cdots\!92}{27\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{31\!\cdots\!47}{14\!\cdots\!61}a^{2}-\frac{41\!\cdots\!71}{75\!\cdots\!19}a-\frac{22\!\cdots\!98}{65\!\cdots\!41}$, $\frac{10\!\cdots\!98}{27\!\cdots\!59}a^{28}-\frac{12\!\cdots\!50}{27\!\cdots\!59}a^{27}-\frac{26\!\cdots\!38}{27\!\cdots\!59}a^{26}+\frac{56\!\cdots\!00}{27\!\cdots\!59}a^{25}+\frac{27\!\cdots\!34}{27\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{79\!\cdots\!31}{27\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!69}{27\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{52\!\cdots\!49}{27\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{50\!\cdots\!01}{27\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{19\!\cdots\!80}{27\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!18}{27\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{42\!\cdots\!32}{27\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{70\!\cdots\!58}{14\!\cdots\!61}a^{16}-\frac{57\!\cdots\!55}{27\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!62}{27\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{48\!\cdots\!19}{27\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{68\!\cdots\!00}{27\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{24\!\cdots\!47}{27\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!42}{27\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{71\!\cdots\!52}{27\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{81\!\cdots\!92}{27\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!68}{27\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!62}{27\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{54\!\cdots\!53}{27\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{92\!\cdots\!65}{27\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!27}{44\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!96}{27\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{27\!\cdots\!12}{14\!\cdots\!61}a-\frac{15\!\cdots\!16}{12\!\cdots\!79}$, $\frac{22\!\cdots\!60}{27\!\cdots\!59}a^{28}-\frac{25\!\cdots\!00}{27\!\cdots\!59}a^{27}-\frac{55\!\cdots\!90}{27\!\cdots\!59}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!15}{27\!\cdots\!59}a^{25}+\frac{57\!\cdots\!50}{27\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{16\!\cdots\!86}{27\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{32\!\cdots\!39}{27\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{58\!\cdots\!05}{14\!\cdots\!61}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!01}{27\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{40\!\cdots\!11}{27\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!53}{27\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{89\!\cdots\!62}{27\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{28\!\cdots\!13}{27\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!13}{27\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!82}{27\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!30}{27\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!89}{27\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{51\!\cdots\!02}{27\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{61\!\cdots\!21}{27\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{79\!\cdots\!36}{14\!\cdots\!61}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!83}{27\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!37}{27\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{29\!\cdots\!83}{27\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!69}{27\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{32\!\cdots\!13}{44\!\cdots\!19}a^{4}+\frac{38\!\cdots\!31}{27\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{44\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{59\!\cdots\!51}{14\!\cdots\!61}a-\frac{32\!\cdots\!74}{12\!\cdots\!79}$, $\frac{34\!\cdots\!90}{27\!\cdots\!59}a^{28}-\frac{34\!\cdots\!11}{27\!\cdots\!59}a^{27}-\frac{86\!\cdots\!12}{27\!\cdots\!59}a^{26}+\frac{16\!\cdots\!57}{27\!\cdots\!59}a^{25}+\frac{89\!\cdots\!42}{27\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{24\!\cdots\!91}{27\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{50\!\cdots\!68}{27\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{16\!\cdots\!38}{27\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{16\!\cdots\!12}{27\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{60\!\cdots\!64}{27\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{35\!\cdots\!71}{27\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!31}{27\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{24\!\cdots\!95}{14\!\cdots\!61}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!12}{24\!\cdots\!43}a^{15}-\frac{41\!\cdots\!48}{27\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!31}{27\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!68}{27\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{79\!\cdots\!18}{27\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!83}{27\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{23\!\cdots\!69}{27\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{31\!\cdots\!66}{27\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{34\!\cdots\!56}{27\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{50\!\cdots\!18}{27\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!59}{27\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{35\!\cdots\!97}{27\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!24}{27\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{79\!\cdots\!42}{27\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!16}{14\!\cdots\!61}a-\frac{50\!\cdots\!80}{12\!\cdots\!79}$, $\frac{52\!\cdots\!62}{27\!\cdots\!59}a^{28}-\frac{66\!\cdots\!12}{27\!\cdots\!59}a^{27}-\frac{13\!\cdots\!92}{27\!\cdots\!59}a^{26}+\frac{29\!\cdots\!86}{27\!\cdots\!59}a^{25}+\frac{13\!\cdots\!91}{27\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{40\!\cdots\!33}{27\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{75\!\cdots\!63}{27\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{26\!\cdots\!62}{27\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{24\!\cdots\!24}{27\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{98\!\cdots\!67}{27\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{50\!\cdots\!19}{27\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{21\!\cdots\!87}{27\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{65\!\cdots\!20}{27\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{29\!\cdots\!37}{27\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{55\!\cdots\!94}{27\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{24\!\cdots\!35}{27\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{32\!\cdots\!72}{27\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{65\!\cdots\!99}{14\!\cdots\!61}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!91}{27\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{36\!\cdots\!11}{27\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{38\!\cdots\!18}{27\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{55\!\cdots\!77}{27\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{63\!\cdots\!08}{27\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{30\!\cdots\!69}{27\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{44\!\cdots\!14}{27\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{33\!\cdots\!91}{14\!\cdots\!61}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!32}{27\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!30}{14\!\cdots\!61}a-\frac{71\!\cdots\!12}{12\!\cdots\!79}$, $\frac{12\!\cdots\!95}{27\!\cdots\!59}a^{28}-\frac{14\!\cdots\!82}{27\!\cdots\!59}a^{27}-\frac{30\!\cdots\!73}{27\!\cdots\!59}a^{26}+\frac{65\!\cdots\!91}{27\!\cdots\!59}a^{25}+\frac{32\!\cdots\!89}{27\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{92\!\cdots\!37}{27\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{18\!\cdots\!55}{27\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{61\!\cdots\!55}{27\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{59\!\cdots\!05}{27\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{22\!\cdots\!31}{27\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!78}{27\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{50\!\cdots\!76}{27\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!27}{27\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{69\!\cdots\!05}{27\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!35}{27\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{31\!\cdots\!41}{14\!\cdots\!61}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!94}{44\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{30\!\cdots\!93}{27\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{31\!\cdots\!45}{27\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{91\!\cdots\!24}{27\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{85\!\cdots\!75}{27\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!24}{27\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!51}{27\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{42\!\cdots\!02}{14\!\cdots\!61}a^{5}+\frac{86\!\cdots\!42}{27\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{56\!\cdots\!83}{27\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!85}{27\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!11}{14\!\cdots\!61}a-\frac{11\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!79}$, $\frac{98\!\cdots\!81}{27\!\cdots\!59}a^{28}-\frac{21\!\cdots\!37}{27\!\cdots\!59}a^{27}-\frac{24\!\cdots\!89}{27\!\cdots\!59}a^{26}+\frac{77\!\cdots\!54}{27\!\cdots\!59}a^{25}+\frac{24\!\cdots\!92}{27\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{98\!\cdots\!23}{27\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!78}{27\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{62\!\cdots\!53}{27\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{41\!\cdots\!04}{27\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{22\!\cdots\!59}{27\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{74\!\cdots\!30}{27\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{47\!\cdots\!69}{27\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{79\!\cdots\!19}{27\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{61\!\cdots\!29}{27\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{48\!\cdots\!69}{27\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{25\!\cdots\!39}{14\!\cdots\!61}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!80}{27\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{23\!\cdots\!54}{27\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{37\!\cdots\!30}{27\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{66\!\cdots\!14}{27\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!89}{27\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{99\!\cdots\!76}{27\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{30\!\cdots\!88}{27\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!92}{14\!\cdots\!61}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!76}{27\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!49}{27\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{66\!\cdots\!18}{27\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{55\!\cdots\!58}{14\!\cdots\!61}a-\frac{24\!\cdots\!39}{12\!\cdots\!79}$, $\frac{41\!\cdots\!08}{27\!\cdots\!59}a^{28}-\frac{99\!\cdots\!01}{27\!\cdots\!59}a^{27}-\frac{10\!\cdots\!61}{27\!\cdots\!59}a^{26}+\frac{34\!\cdots\!65}{27\!\cdots\!59}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!77}{27\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{44\!\cdots\!46}{27\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{55\!\cdots\!57}{27\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{27\!\cdots\!35}{27\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{16\!\cdots\!59}{27\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{97\!\cdots\!59}{27\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{29\!\cdots\!95}{27\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!66}{27\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!35}{14\!\cdots\!61}a^{16}-\frac{26\!\cdots\!30}{27\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!78}{27\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!70}{27\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!78}{27\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!94}{27\!\cdots\!59}a^{11}+\frac{90\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{28\!\cdots\!49}{27\!\cdots\!59}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!66}{24\!\cdots\!43}a^{8}-\frac{42\!\cdots\!00}{27\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!36}{27\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{27\!\cdots\!92}{27\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{24\!\cdots\!03}{27\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{62\!\cdots\!32}{27\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{87\!\cdots\!03}{27\!\cdots\!59}a^{2}+\frac{70\!\cdots\!54}{14\!\cdots\!61}a+\frac{78\!\cdots\!68}{12\!\cdots\!79}$, $\frac{30\!\cdots\!69}{27\!\cdots\!59}a^{28}-\frac{17\!\cdots\!67}{14\!\cdots\!61}a^{27}-\frac{77\!\cdots\!84}{27\!\cdots\!59}a^{26}+\frac{15\!\cdots\!05}{27\!\cdots\!59}a^{25}+\frac{42\!\cdots\!88}{14\!\cdots\!61}a^{24}-\frac{22\!\cdots\!67}{27\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{45\!\cdots\!23}{27\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{15\!\cdots\!91}{27\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{15\!\cdots\!05}{27\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{91\!\cdots\!90}{44\!\cdots\!19}a^{19}-\frac{31\!\cdots\!96}{27\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!47}{27\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{41\!\cdots\!51}{27\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!31}{27\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{36\!\cdots\!07}{27\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!79}{27\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!26}{14\!\cdots\!61}a^{12}-\frac{72\!\cdots\!94}{27\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{50\!\cdots\!86}{14\!\cdots\!61}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!15}{27\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!67}{27\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{31\!\cdots\!72}{27\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{44\!\cdots\!19}{27\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!41}{27\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{30\!\cdots\!78}{27\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!30}{27\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{68\!\cdots\!68}{27\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{98\!\cdots\!56}{14\!\cdots\!61}a-\frac{58\!\cdots\!32}{12\!\cdots\!79}$, $\frac{12\!\cdots\!96}{27\!\cdots\!59}a^{28}-\frac{14\!\cdots\!58}{27\!\cdots\!59}a^{27}-\frac{31\!\cdots\!21}{27\!\cdots\!59}a^{26}+\frac{66\!\cdots\!82}{27\!\cdots\!59}a^{25}+\frac{32\!\cdots\!62}{27\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{93\!\cdots\!33}{27\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{18\!\cdots\!64}{27\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{62\!\cdots\!28}{27\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{60\!\cdots\!05}{27\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!68}{27\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!64}{27\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{50\!\cdots\!87}{27\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!89}{27\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{68\!\cdots\!51}{27\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{74\!\cdots\!33}{14\!\cdots\!61}a^{14}+\frac{57\!\cdots\!16}{27\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{84\!\cdots\!53}{27\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{29\!\cdots\!38}{27\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{35\!\cdots\!31}{27\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{85\!\cdots\!76}{27\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!21}{27\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!91}{27\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!22}{27\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{62\!\cdots\!92}{27\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!82}{27\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{39\!\cdots\!47}{27\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{25\!\cdots\!15}{27\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{58\!\cdots\!74}{23\!\cdots\!01}a-\frac{21\!\cdots\!15}{12\!\cdots\!79}$, $\frac{30\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!59}a^{28}-\frac{34\!\cdots\!18}{27\!\cdots\!59}a^{27}-\frac{78\!\cdots\!60}{27\!\cdots\!59}a^{26}+\frac{16\!\cdots\!71}{27\!\cdots\!59}a^{25}+\frac{81\!\cdots\!62}{27\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{22\!\cdots\!37}{27\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{45\!\cdots\!55}{27\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{80\!\cdots\!30}{14\!\cdots\!61}a^{21}+\frac{15\!\cdots\!64}{27\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{56\!\cdots\!88}{27\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{30\!\cdots\!26}{27\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!15}{27\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{40\!\cdots\!47}{27\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!54}{27\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{35\!\cdots\!63}{27\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!68}{27\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!60}{27\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{72\!\cdots\!57}{27\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{89\!\cdots\!55}{27\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{58\!\cdots\!53}{75\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!18}{27\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{31\!\cdots\!66}{27\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{41\!\cdots\!41}{27\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!42}{27\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{28\!\cdots\!18}{27\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{93\!\cdots\!14}{27\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{64\!\cdots\!27}{27\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{88\!\cdots\!68}{14\!\cdots\!61}a-\frac{49\!\cdots\!77}{12\!\cdots\!79}$, $\frac{10\!\cdots\!19}{27\!\cdots\!59}a^{28}-\frac{20\!\cdots\!61}{27\!\cdots\!59}a^{27}-\frac{26\!\cdots\!42}{27\!\cdots\!59}a^{26}+\frac{76\!\cdots\!39}{27\!\cdots\!59}a^{25}+\frac{27\!\cdots\!04}{27\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!48}{27\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!57}{24\!\cdots\!43}a^{22}+\frac{64\!\cdots\!14}{27\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{46\!\cdots\!50}{27\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!37}{27\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{88\!\cdots\!81}{27\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{49\!\cdots\!88}{27\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{53\!\cdots\!01}{14\!\cdots\!61}a^{16}-\frac{64\!\cdots\!59}{27\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{72\!\cdots\!51}{27\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{52\!\cdots\!33}{27\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{33\!\cdots\!67}{27\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{25\!\cdots\!81}{27\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!04}{24\!\cdots\!43}a^{10}+\frac{72\!\cdots\!10}{27\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{34\!\cdots\!06}{27\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!64}{27\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{65\!\cdots\!01}{27\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{63\!\cdots\!47}{27\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{48\!\cdots\!12}{27\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{73\!\cdots\!53}{27\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!11}{27\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!89}{14\!\cdots\!61}a-\frac{68\!\cdots\!30}{12\!\cdots\!79}$, $\frac{11\!\cdots\!68}{27\!\cdots\!59}a^{28}-\frac{11\!\cdots\!94}{27\!\cdots\!59}a^{27}-\frac{28\!\cdots\!40}{27\!\cdots\!59}a^{26}+\frac{56\!\cdots\!74}{27\!\cdots\!59}a^{25}+\frac{30\!\cdots\!62}{27\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{13\!\cdots\!26}{44\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{16\!\cdots\!04}{27\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{54\!\cdots\!63}{27\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{56\!\cdots\!87}{27\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!42}{27\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!14}{27\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{44\!\cdots\!97}{27\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!40}{27\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{61\!\cdots\!53}{27\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{72\!\cdots\!28}{14\!\cdots\!61}a^{14}+\frac{51\!\cdots\!23}{27\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{84\!\cdots\!19}{27\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{26\!\cdots\!41}{27\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{36\!\cdots\!03}{27\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{75\!\cdots\!22}{27\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!50}{27\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!91}{27\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!18}{27\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{44\!\cdots\!75}{27\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!76}{27\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!59}{27\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{24\!\cdots\!86}{27\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{42\!\cdots\!65}{14\!\cdots\!61}a-\frac{31\!\cdots\!89}{12\!\cdots\!79}$, $\frac{28\!\cdots\!81}{27\!\cdots\!59}a^{28}-\frac{22\!\cdots\!22}{27\!\cdots\!59}a^{27}-\frac{38\!\cdots\!35}{14\!\cdots\!61}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!77}{27\!\cdots\!59}a^{25}+\frac{76\!\cdots\!21}{27\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{18\!\cdots\!77}{27\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{43\!\cdots\!69}{27\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!28}{27\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!85}{27\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{48\!\cdots\!27}{27\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{30\!\cdots\!03}{27\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!73}{27\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{42\!\cdots\!58}{27\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!32}{27\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{38\!\cdots\!59}{27\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!83}{27\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!51}{27\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{63\!\cdots\!80}{27\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!76}{27\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!03}{27\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{31\!\cdots\!36}{27\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{24\!\cdots\!03}{27\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{50\!\cdots\!92}{27\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{75\!\cdots\!84}{27\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{35\!\cdots\!67}{27\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{53\!\cdots\!50}{27\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{81\!\cdots\!93}{27\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!61}{14\!\cdots\!61}a-\frac{74\!\cdots\!21}{12\!\cdots\!79}$, $\frac{44\!\cdots\!07}{27\!\cdots\!59}a^{28}-\frac{10\!\cdots\!73}{27\!\cdots\!59}a^{27}-\frac{10\!\cdots\!11}{27\!\cdots\!59}a^{26}+\frac{37\!\cdots\!33}{27\!\cdots\!59}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!99}{27\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{46\!\cdots\!69}{27\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{58\!\cdots\!84}{27\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{29\!\cdots\!35}{27\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{17\!\cdots\!51}{27\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!35}{27\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{30\!\cdots\!29}{27\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!65}{14\!\cdots\!61}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!57}{27\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{28\!\cdots\!55}{27\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!73}{27\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!52}{27\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!82}{27\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!34}{27\!\cdots\!59}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!29}{27\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{29\!\cdots\!41}{27\!\cdots\!59}a^{9}-\frac{27\!\cdots\!03}{27\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{44\!\cdots\!87}{27\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{97\!\cdots\!79}{27\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{28\!\cdots\!28}{27\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{26\!\cdots\!77}{27\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{56\!\cdots\!64}{27\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!79}{27\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{95\!\cdots\!25}{14\!\cdots\!61}a-\frac{16\!\cdots\!21}{12\!\cdots\!79}$, $\frac{10\!\cdots\!73}{27\!\cdots\!59}a^{28}-\frac{14\!\cdots\!92}{27\!\cdots\!59}a^{27}-\frac{25\!\cdots\!03}{27\!\cdots\!59}a^{26}+\frac{32\!\cdots\!82}{14\!\cdots\!61}a^{25}+\frac{26\!\cdots\!13}{27\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{84\!\cdots\!42}{27\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!78}{27\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{55\!\cdots\!21}{27\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{48\!\cdots\!39}{27\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!25}{27\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{95\!\cdots\!30}{27\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{44\!\cdots\!94}{27\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!00}{27\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{58\!\cdots\!04}{27\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{98\!\cdots\!95}{27\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{48\!\cdots\!45}{27\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{54\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{24\!\cdots\!56}{27\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{22\!\cdots\!20}{27\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{70\!\cdots\!47}{27\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{33\!\cdots\!32}{14\!\cdots\!61}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!52}{27\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!35}{27\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{55\!\cdots\!70}{27\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{75\!\cdots\!18}{27\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!30}{27\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!52}{27\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!42}{14\!\cdots\!61}a-\frac{12\!\cdots\!35}{12\!\cdots\!79}$, $\frac{10\!\cdots\!50}{27\!\cdots\!59}a^{28}-\frac{12\!\cdots\!03}{27\!\cdots\!59}a^{27}-\frac{27\!\cdots\!55}{27\!\cdots\!59}a^{26}+\frac{58\!\cdots\!05}{27\!\cdots\!59}a^{25}+\frac{28\!\cdots\!77}{27\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{82\!\cdots\!28}{27\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!22}{27\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{54\!\cdots\!64}{27\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{52\!\cdots\!35}{27\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!91}{27\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!11}{27\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{44\!\cdots\!41}{27\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!92}{27\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{60\!\cdots\!56}{27\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!29}{27\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{50\!\cdots\!01}{27\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{72\!\cdots\!81}{27\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{25\!\cdots\!41}{27\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{30\!\cdots\!28}{27\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{75\!\cdots\!11}{27\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{86\!\cdots\!05}{27\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!68}{27\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!12}{24\!\cdots\!43}a^{6}+\frac{56\!\cdots\!82}{27\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{98\!\cdots\!07}{27\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!28}{27\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!04}{14\!\cdots\!61}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!22}{75\!\cdots\!19}a-\frac{83\!\cdots\!40}{65\!\cdots\!41}$, $\frac{11\!\cdots\!27}{27\!\cdots\!59}a^{28}-\frac{19\!\cdots\!68}{27\!\cdots\!59}a^{27}-\frac{28\!\cdots\!16}{27\!\cdots\!59}a^{26}+\frac{77\!\cdots\!13}{27\!\cdots\!59}a^{25}+\frac{28\!\cdots\!26}{27\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!65}{27\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!84}{27\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{65\!\cdots\!68}{27\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{50\!\cdots\!15}{27\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!24}{27\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{95\!\cdots\!37}{27\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{50\!\cdots\!57}{27\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!83}{27\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{67\!\cdots\!95}{27\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{83\!\cdots\!12}{27\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{54\!\cdots\!60}{27\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{40\!\cdots\!74}{27\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{27\!\cdots\!35}{27\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!29}{27\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{77\!\cdots\!44}{27\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{38\!\cdots\!04}{24\!\cdots\!43}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!03}{27\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{78\!\cdots\!21}{27\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{67\!\cdots\!63}{27\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{56\!\cdots\!29}{27\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{72\!\cdots\!75}{27\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!62}{27\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!99}{14\!\cdots\!61}a-\frac{80\!\cdots\!15}{12\!\cdots\!79}$ Copy content Toggle raw display (assuming GRH)
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
 
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
 
Regulator:  \( 404654663243202000000000000000 \) (assuming GRH)
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 
oscar: regulator(K)
 

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{29}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 404654663243202000000000000000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{13123427860740340635045684158089751314114754706664887333885491004189525894481}}\cr\approx \mathstrut & 0.948201818780279 \end{aligned}\] (assuming GRH)

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
 
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^29 - x^28 - 252*x^27 + 493*x^26 + 26301*x^25 - 70613*x^24 - 1477005*x^23 + 4757585*x^22 + 49139083*x^21 - 176708296*x^20 - 1019533247*x^19 + 3897692875*x^18 + 13650905238*x^17 - 52791707208*x^16 - 121558760223*x^15 + 441031541121*x^14 + 744433170879*x^13 - 2221117761731*x^12 - 3198643328695*x^11 + 6333895042002*x^10 + 9161654939551*x^9 - 8623697894872*x^8 - 14867816867065*x^7 + 2648025494151*x^6 + 9891108006231*x^5 + 1898151784214*x^4 - 1956687026062*x^3 - 891062263511*x^2 - 130453149826*x - 6306528127)
 
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
 
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
 
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
 
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
 
K = bnfinit(x^29 - x^28 - 252*x^27 + 493*x^26 + 26301*x^25 - 70613*x^24 - 1477005*x^23 + 4757585*x^22 + 49139083*x^21 - 176708296*x^20 - 1019533247*x^19 + 3897692875*x^18 + 13650905238*x^17 - 52791707208*x^16 - 121558760223*x^15 + 441031541121*x^14 + 744433170879*x^13 - 2221117761731*x^12 - 3198643328695*x^11 + 6333895042002*x^10 + 9161654939551*x^9 - 8623697894872*x^8 - 14867816867065*x^7 + 2648025494151*x^6 + 9891108006231*x^5 + 1898151784214*x^4 - 1956687026062*x^3 - 891062263511*x^2 - 130453149826*x - 6306528127, 1);
 
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
 
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
 
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^29 - x^28 - 252*x^27 + 493*x^26 + 26301*x^25 - 70613*x^24 - 1477005*x^23 + 4757585*x^22 + 49139083*x^21 - 176708296*x^20 - 1019533247*x^19 + 3897692875*x^18 + 13650905238*x^17 - 52791707208*x^16 - 121558760223*x^15 + 441031541121*x^14 + 744433170879*x^13 - 2221117761731*x^12 - 3198643328695*x^11 + 6333895042002*x^10 + 9161654939551*x^9 - 8623697894872*x^8 - 14867816867065*x^7 + 2648025494151*x^6 + 9891108006231*x^5 + 1898151784214*x^4 - 1956687026062*x^3 - 891062263511*x^2 - 130453149826*x - 6306528127);
 
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
 
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
 
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
 
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
 
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
 
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
 
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^29 - x^28 - 252*x^27 + 493*x^26 + 26301*x^25 - 70613*x^24 - 1477005*x^23 + 4757585*x^22 + 49139083*x^21 - 176708296*x^20 - 1019533247*x^19 + 3897692875*x^18 + 13650905238*x^17 - 52791707208*x^16 - 121558760223*x^15 + 441031541121*x^14 + 744433170879*x^13 - 2221117761731*x^12 - 3198643328695*x^11 + 6333895042002*x^10 + 9161654939551*x^9 - 8623697894872*x^8 - 14867816867065*x^7 + 2648025494151*x^6 + 9891108006231*x^5 + 1898151784214*x^4 - 1956687026062*x^3 - 891062263511*x^2 - 130453149826*x - 6306528127);
 
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
 
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
 
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
 
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
 
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
 

Galois group

$C_{29}$ (as 29T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: G = GaloisGroup(K);
 
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
 
A cyclic group of order 29
The 29 conjugacy class representatives for $C_{29}$
Character table for $C_{29}$ is not computed

Intermediate fields

The extension is primitive: there are no intermediate fields between this field and $\Q$.
sage: K.subfields()[1:-1]
 
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
 
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
 
oscar: subfields(K)[2:end-1]
 

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $29$ $29$ $29$ $29$ $29$ $29$ $29$ ${\href{/padicField/19.1.0.1}{1} }^{29}$ $29$ $29$ $29$ $29$ $29$ $29$ $29$ $29$ $29$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
 
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
 
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
 
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
 
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
 
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
 
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
\(523\) Copy content Toggle raw display Deg $29$$29$$1$$28$