↑

Properties

Label 29.29.1271861999...4161.1
Degree $29$
Signature $[29, 0]$
Discriminant $929^{28}$
Root discriminant $733.96$
Ramified prime $929$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{29}$ (as 29T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-2711408412652309, -5127494290967802, 10944332007104174, 9152562248392343, -15103434975606529, -6101874655993302, 10520005444822970, 1725076964802557, -4238937042324143, -54383106047402, 1045971567643780, -93674380846644, -161458375653531, 26518327124887, 15628114907220, -3528471156331, -939536322456, 270515586354, 34389111341, -12707566814, -737137472, 374467531, 8492788, -6896718, -43560, 76138, 107, -448, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^29 - x^28 - 448*x^27 + 107*x^26 + 76138*x^25 - 43560*x^24 - 6896718*x^23 + 8492788*x^22 + 374467531*x^21 - 737137472*x^20 - 12707566814*x^19 + 34389111341*x^18 + 270515586354*x^17 - 939536322456*x^16 - 3528471156331*x^15 + 15628114907220*x^14 + 26518327124887*x^13 - 161458375653531*x^12 - 93674380846644*x^11 + 1045971567643780*x^10 - 54383106047402*x^9 - 4238937042324143*x^8 + 1725076964802557*x^7 + 10520005444822970*x^6 - 6101874655993302*x^5 - 15103434975606529*x^4 + 9152562248392343*x^3 + 10944332007104174*x^2 - 5127494290967802*x - 2711408412652309)
 
gp: K = bnfinit(x^29 - x^28 - 448*x^27 + 107*x^26 + 76138*x^25 - 43560*x^24 - 6896718*x^23 + 8492788*x^22 + 374467531*x^21 - 737137472*x^20 - 12707566814*x^19 + 34389111341*x^18 + 270515586354*x^17 - 939536322456*x^16 - 3528471156331*x^15 + 15628114907220*x^14 + 26518327124887*x^13 - 161458375653531*x^12 - 93674380846644*x^11 + 1045971567643780*x^10 - 54383106047402*x^9 - 4238937042324143*x^8 + 1725076964802557*x^7 + 10520005444822970*x^6 - 6101874655993302*x^5 - 15103434975606529*x^4 + 9152562248392343*x^3 + 10944332007104174*x^2 - 5127494290967802*x - 2711408412652309, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{29} - x^{28} - 448 x^{27} + 107 x^{26} + 76138 x^{25} - 43560 x^{24} - 6896718 x^{23} + 8492788 x^{22} + 374467531 x^{21} - 737137472 x^{20} - 12707566814 x^{19} + 34389111341 x^{18} + 270515586354 x^{17} - 939536322456 x^{16} - 3528471156331 x^{15} + 15628114907220 x^{14} + 26518327124887 x^{13} - 161458375653531 x^{12} - 93674380846644 x^{11} + 1045971567643780 x^{10} - 54383106047402 x^{9} - 4238937042324143 x^{8} + 1725076964802557 x^{7} + 10520005444822970 x^{6} - 6101874655993302 x^{5} - 15103434975606529 x^{4} + 9152562248392343 x^{3} + 10944332007104174 x^{2} - 5127494290967802 x - 2711408412652309 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $29$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[29, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(127186199976511404062972685561977327455002805301971051425559672113022697399314124161=929^{28}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $733.96$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $929$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(929\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{929}(1,·)$, $\chi_{929}(261,·)$, $\chi_{929}(454,·)$, $\chi_{929}(72,·)$, $\chi_{929}(521,·)$, $\chi_{929}(524,·)$, $\chi_{929}(719,·)$, $\chi_{929}(400,·)$, $\chi_{929}(148,·)$, $\chi_{929}(537,·)$, $\chi_{929}(539,·)$, $\chi_{929}(20,·)$, $\chi_{929}(352,·)$, $\chi_{929}(673,·)$, $\chi_{929}(347,·)$, $\chi_{929}(511,·)$, $\chi_{929}(807,·)$, $\chi_{929}(173,·)$, $\chi_{929}(304,·)$, $\chi_{929}(561,·)$, $\chi_{929}(437,·)$, $\chi_{929}(201,·)$, $\chi_{929}(568,·)$, $\chi_{929}(212,·)$, $\chi_{929}(506,·)$, $\chi_{929}(379,·)$, $\chi_{929}(445,·)$, $\chi_{929}(830,·)$, $\chi_{929}(575,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $\frac{1}{101} a^{24} + \frac{13}{101} a^{23} - \frac{1}{101} a^{22} - \frac{4}{101} a^{21} + \frac{13}{101} a^{20} + \frac{4}{101} a^{19} - \frac{32}{101} a^{18} - \frac{49}{101} a^{17} + \frac{30}{101} a^{16} - \frac{9}{101} a^{15} - \frac{32}{101} a^{14} - \frac{20}{101} a^{13} - \frac{22}{101} a^{12} - \frac{26}{101} a^{11} + \frac{17}{101} a^{10} - \frac{11}{101} a^{9} - \frac{13}{101} a^{8} - \frac{34}{101} a^{7} - \frac{23}{101} a^{6} - \frac{40}{101} a^{5} - \frac{10}{101} a^{4} - \frac{30}{101} a^{3} - \frac{28}{101} a^{2} - \frac{41}{101} a - \frac{39}{101}$, $\frac{1}{101} a^{25} + \frac{32}{101} a^{23} + \frac{9}{101} a^{22} - \frac{36}{101} a^{21} + \frac{37}{101} a^{20} + \frac{17}{101} a^{19} - \frac{37}{101} a^{18} - \frac{40}{101} a^{17} + \frac{5}{101} a^{16} - \frac{16}{101} a^{15} - \frac{8}{101} a^{14} + \frac{36}{101} a^{13} - \frac{43}{101} a^{12} - \frac{49}{101} a^{11} - \frac{30}{101} a^{10} + \frac{29}{101} a^{9} + \frac{34}{101} a^{8} + \frac{15}{101} a^{7} - \frac{44}{101} a^{6} + \frac{5}{101} a^{5} - \frac{1}{101} a^{4} - \frac{42}{101} a^{3} + \frac{20}{101} a^{2} - \frac{11}{101} a + \frac{2}{101}$, $\frac{1}{101} a^{26} - \frac{3}{101} a^{23} - \frac{4}{101} a^{22} - \frac{37}{101} a^{21} + \frac{5}{101} a^{20} + \frac{37}{101} a^{19} - \frac{26}{101} a^{18} - \frac{43}{101} a^{17} + \frac{34}{101} a^{16} - \frac{23}{101} a^{15} + \frac{50}{101} a^{14} - \frac{9}{101} a^{13} + \frac{49}{101} a^{12} - \frac{6}{101} a^{11} - \frac{10}{101} a^{10} - \frac{18}{101} a^{9} + \frac{27}{101} a^{8} + \frac{34}{101} a^{7} + \frac{34}{101} a^{6} - \frac{34}{101} a^{5} - \frac{25}{101} a^{4} - \frac{30}{101} a^{3} - \frac{24}{101} a^{2} + \frac{1}{101} a + \frac{36}{101}$, $\frac{1}{19897} a^{27} + \frac{63}{19897} a^{26} - \frac{77}{19897} a^{25} - \frac{49}{19897} a^{24} + \frac{5027}{19897} a^{23} + \frac{6033}{19897} a^{22} - \frac{7349}{19897} a^{21} + \frac{4985}{19897} a^{20} - \frac{8682}{19897} a^{19} - \frac{5743}{19897} a^{18} - \frac{8249}{19897} a^{17} - \frac{1262}{19897} a^{16} - \frac{460}{19897} a^{15} + \frac{3411}{19897} a^{14} - \frac{9743}{19897} a^{13} - \frac{8958}{19897} a^{12} + \frac{7207}{19897} a^{11} - \frac{4776}{19897} a^{10} - \frac{3642}{19897} a^{9} - \frac{2507}{19897} a^{8} + \frac{9150}{19897} a^{7} + \frac{9079}{19897} a^{6} + \frac{8681}{19897} a^{5} - \frac{9855}{19897} a^{4} - \frac{6289}{19897} a^{3} - \frac{46}{19897} a^{2} - \frac{299}{19897} a + \frac{6130}{19897}$, $\frac{1}{1083808709444467144766673252051413868934004032545032202695512151275721762830225628735804331498207579488237946532743899472839688464966100036963493927218492040579808447281464009132685163655340625893755727} a^{28} - \frac{8266190305238821139090353821350299191607692042976052350957357449358650878737607775710556334974640738491078795261117572590651904804334807620516017176146579265043416944545190293255852142504714735622}{1083808709444467144766673252051413868934004032545032202695512151275721762830225628735804331498207579488237946532743899472839688464966100036963493927218492040579808447281464009132685163655340625893755727} a^{27} - \frac{3720911268211538275294086691131211517566085356273846552039381467246227305993681197084155542528290872093726166824837558403102735152825960683118820817107234721035612653240386060061903684652106729673299}{1083808709444467144766673252051413868934004032545032202695512151275721762830225628735804331498207579488237946532743899472839688464966100036963493927218492040579808447281464009132685163655340625893755727} a^{26} + \frac{3909640123127675328744025855440694979544060410424189581251275632875049562442414893966091937392641087340505886144063053131980336699739966748004333457724016642933361235872990321540540217942351676903622}{1083808709444467144766673252051413868934004032545032202695512151275721762830225628735804331498207579488237946532743899472839688464966100036963493927218492040579808447281464009132685163655340625893755727} a^{25} - \frac{5008883432503379519481303711374658932346131680845923414207892931647168392981258250060166476016867804368734458393425334861222482709509794246849707793098806423135427096514071434281941803210377058317945}{1083808709444467144766673252051413868934004032545032202695512151275721762830225628735804331498207579488237946532743899472839688464966100036963493927218492040579808447281464009132685163655340625893755727} a^{24} + \frac{321585250496446621849475374689835148123043118907598623689822450658756322166895470914531006735635410251754182922246096985369481624815113361579256291560272926110950101673384197095964551357055282052380926}{1083808709444467144766673252051413868934004032545032202695512151275721762830225628735804331498207579488237946532743899472839688464966100036963493927218492040579808447281464009132685163655340625893755727} a^{23} - \frac{479480590115239402459110096361216643195006809000497423570473050136333491997639775489786429976292374140171349240263495316687805307396062461046233673022747103953753413546622808133435546071734981229810269}{1083808709444467144766673252051413868934004032545032202695512151275721762830225628735804331498207579488237946532743899472839688464966100036963493927218492040579808447281464009132685163655340625893755727} a^{22} + \frac{407200879774508098948611297144371685890140415228191783135867776795826163319686460919392909760791589230229597361165669779240767916398278517934776995781584307845981357103495306541721508064265362369946513}{1083808709444467144766673252051413868934004032545032202695512151275721762830225628735804331498207579488237946532743899472839688464966100036963493927218492040579808447281464009132685163655340625893755727} a^{21} + \frac{262884375182034419391350650757699462293514550902967360739531782033541013712606439968973126133939846329292911046270177780221483448835400798612142209564451006414838847369951935154520588590103393468332588}{1083808709444467144766673252051413868934004032545032202695512151275721762830225628735804331498207579488237946532743899472839688464966100036963493927218492040579808447281464009132685163655340625893755727} a^{20} + \frac{96006742961138804689459751568963675584289888525228956461337558736983128139110395398687137014500994909164265163721123539907127742230006898472461284298262083530263648965842457250579382853710315543310210}{1083808709444467144766673252051413868934004032545032202695512151275721762830225628735804331498207579488237946532743899472839688464966100036963493927218492040579808447281464009132685163655340625893755727} a^{19} - \frac{160892510631264936179510394920407643688264970142764386371801232361793772006254104555933719512918833797676317982144486237941103787871014030561133575497460009889438320012738585808868182879468698230148431}{1083808709444467144766673252051413868934004032545032202695512151275721762830225628735804331498207579488237946532743899472839688464966100036963493927218492040579808447281464009132685163655340625893755727} a^{18} + \frac{40437973115918220957188884277751315982777896095658398523244510120569560065272349111862327082582621588271391215913671445647910056349393309717615759752724091278313367567937268033756191430612058492885000}{1083808709444467144766673252051413868934004032545032202695512151275721762830225628735804331498207579488237946532743899472839688464966100036963493927218492040579808447281464009132685163655340625893755727} a^{17} + \frac{149093739859169040276799616838559805351489013832307943570768753784341337439607710626312152473661448723216558090178877449293755865303091872577906299219231841167188037754282337719017346867193433361395022}{1083808709444467144766673252051413868934004032545032202695512151275721762830225628735804331498207579488237946532743899472839688464966100036963493927218492040579808447281464009132685163655340625893755727} a^{16} + \frac{47538566440834355282227638978056077263153115435516209539907032614110786862592345273062196591679704601531237613204612853365573640833191120066642127851462284628182623567257968885121901609511042593839559}{1083808709444467144766673252051413868934004032545032202695512151275721762830225628735804331498207579488237946532743899472839688464966100036963493927218492040579808447281464009132685163655340625893755727} a^{15} + \frac{228148427082048167750816707276787943908253041799234434037281154306122501333963748904940516340001409391441932693545723950629886736191816343511828123779041503601450447121503798879478803532504457656427791}{1083808709444467144766673252051413868934004032545032202695512151275721762830225628735804331498207579488237946532743899472839688464966100036963493927218492040579808447281464009132685163655340625893755727} a^{14} - \frac{219159352905239214985006511368714900828690007971169548024550628155037817159409174944480017947613040010782505327788084592439366507244784420452544920400108549923234620342368526959378837654449034045919685}{1083808709444467144766673252051413868934004032545032202695512151275721762830225628735804331498207579488237946532743899472839688464966100036963493927218492040579808447281464009132685163655340625893755727} a^{13} + \frac{93737960506810475598823970882492768918199288898865429817170063194676939447412932974854738718739824895316521306208290799071327004678318510388683655347855188612691610831677832291987534925325476579897997}{1083808709444467144766673252051413868934004032545032202695512151275721762830225628735804331498207579488237946532743899472839688464966100036963493927218492040579808447281464009132685163655340625893755727} a^{12} + \frac{375787070238309221363478838879564578129820768780840345826090393128314344035447210877919013571983746218275063153540968909807041757998176033398233856834832126287881426118950659439626669841945814061020061}{1083808709444467144766673252051413868934004032545032202695512151275721762830225628735804331498207579488237946532743899472839688464966100036963493927218492040579808447281464009132685163655340625893755727} a^{11} + \frac{13345032339822766641018145210735545458237522408501504987139948099009070794777549244943173187871380855830223329980660206083650644437818316651834253299010245985077083979931498753542844023034947102484118}{1083808709444467144766673252051413868934004032545032202695512151275721762830225628735804331498207579488237946532743899472839688464966100036963493927218492040579808447281464009132685163655340625893755727} a^{10} + \frac{121564257897331208344121793045268186923792784091747531427380010890694745333881328992096926195341479285993583407593375196645600169943152645694619579616543721712856622501222351861582603068148844866878448}{1083808709444467144766673252051413868934004032545032202695512151275721762830225628735804331498207579488237946532743899472839688464966100036963493927218492040579808447281464009132685163655340625893755727} a^{9} + \frac{26993265354455651674909988830127671887540922531264583229429230052326837781867289276213788771543370667491985736045866615836308038537775089042093486176230089751311265837288153920399957067595331229230362}{1083808709444467144766673252051413868934004032545032202695512151275721762830225628735804331498207579488237946532743899472839688464966100036963493927218492040579808447281464009132685163655340625893755727} a^{8} - \frac{432843098810041286864892148528936946264422483331030526485898578427040425217645767953793258709919457409422841586006596477099875805049590386413392600324344803284715707519355549102302775638244309647224097}{1083808709444467144766673252051413868934004032545032202695512151275721762830225628735804331498207579488237946532743899472839688464966100036963493927218492040579808447281464009132685163655340625893755727} a^{7} - \frac{329664317845302086074993812315785008511697311057758935191069156933438630409914162291794029605833758368730719375514773274134907377244814463747518657545970625349470021613782761712994030868250367399614200}{1083808709444467144766673252051413868934004032545032202695512151275721762830225628735804331498207579488237946532743899472839688464966100036963493927218492040579808447281464009132685163655340625893755727} a^{6} - \frac{161049255357534633346489561991387818126139156713331638429437114641055083260227314060635923844025486768288631223619763514175256147443418790649205570107315537016358422540281203707846788028581935985090166}{1083808709444467144766673252051413868934004032545032202695512151275721762830225628735804331498207579488237946532743899472839688464966100036963493927218492040579808447281464009132685163655340625893755727} a^{5} + \frac{398399410200426535605508376156434885452924222517927105252306737247237244946484235991883691183129990378429900569049462307219157251739776323927943464322920310024592606731816443318525231827271223872444108}{1083808709444467144766673252051413868934004032545032202695512151275721762830225628735804331498207579488237946532743899472839688464966100036963493927218492040579808447281464009132685163655340625893755727} a^{4} - \frac{2242775985495376555050057260389843036793830002578821521304332417154031413213779621205210610109293636729634311876397753387586023160271651796830271998821272576132773213526432936607248978128142176095133}{1083808709444467144766673252051413868934004032545032202695512151275721762830225628735804331498207579488237946532743899472839688464966100036963493927218492040579808447281464009132685163655340625893755727} a^{3} + \frac{393092462089730103178546563751019855772974846288603869224254472160163563073733038462054363065119911323274887188235144911755512144911375737229808510202123557784429720864843820088176593850719895553357848}{1083808709444467144766673252051413868934004032545032202695512151275721762830225628735804331498207579488237946532743899472839688464966100036963493927218492040579808447281464009132685163655340625893755727} a^{2} - \frac{242650360969494576505325680062942082900529145844518333831806138467309202242936084164279179741660736090976769964847789396017327045893429813747258937685780015790678888060325735046013283985733228662190593}{1083808709444467144766673252051413868934004032545032202695512151275721762830225628735804331498207579488237946532743899472839688464966100036963493927218492040579808447281464009132685163655340625893755727} a - \frac{523700990406173621631723461466637320442920821374310608725316266866140988533070291827848295021369489106211363382689644586345990135648866582610181219876344939719086690829560011401652619012609682935818973}{1083808709444467144766673252051413868934004032545032202695512151275721762830225628735804331498207579488237946532743899472839688464966100036963493927218492040579808447281464009132685163655340625893755727}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $28$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{29}$ (as 29T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 29
The 29 conjugacy class representatives for $C_{29}$
Character table for $C_{29}$ is not computed

Intermediate fields

The extension is primitive: there are no intermediate fields between this field and $\Q$.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $29$ $29$ $29$ $29$ $29$ $29$ $29$ $29$ $29$ $29$ $29$ $29$ $29$ $29$ $29$ $29$ $29$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
929Data not computed