Normalized defining polynomial
\( x^{29} - 8 x^{28} + 42 x^{27} - 91 x^{26} + 71 x^{25} - 172 x^{24} + 980 x^{23} - 2477 x^{22} + 4032 x^{21} - 5998 x^{20} + 8995 x^{19} - 12396 x^{18} + 15464 x^{17} - 17477 x^{16} + \cdots + 1 \)
Invariants
Degree: | $29$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[1, 14]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(190430537333205962921320156798047381287357677729\) \(\medspace = 2383^{14}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(42.69\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | $2383^{1/2}\approx 48.815980989835694$ | ||
Ramified primes: | \(2383\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
$\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $1$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is not Galois over $\Q$. | |||
This is not a CM field. |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $\frac{1}{3}a^{8}-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{3}a^{9}-\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{3}a^{10}-\frac{1}{3}a^{2}$, $\frac{1}{3}a^{11}-\frac{1}{3}a^{3}$, $\frac{1}{3}a^{12}-\frac{1}{3}a^{4}$, $\frac{1}{3}a^{13}-\frac{1}{3}a^{5}$, $\frac{1}{3}a^{14}-\frac{1}{3}a^{6}$, $\frac{1}{9}a^{15}+\frac{1}{9}a^{14}+\frac{1}{9}a^{13}+\frac{1}{9}a^{12}+\frac{1}{9}a^{11}+\frac{1}{9}a^{10}+\frac{1}{9}a^{9}+\frac{1}{9}a^{8}-\frac{4}{9}a^{7}-\frac{4}{9}a^{6}-\frac{4}{9}a^{5}-\frac{4}{9}a^{4}-\frac{4}{9}a^{3}-\frac{4}{9}a^{2}-\frac{4}{9}a-\frac{4}{9}$, $\frac{1}{9}a^{16}+\frac{1}{9}a^{8}-\frac{2}{9}$, $\frac{1}{9}a^{17}+\frac{1}{9}a^{9}-\frac{2}{9}a$, $\frac{1}{9}a^{18}+\frac{1}{9}a^{10}-\frac{2}{9}a^{2}$, $\frac{1}{9}a^{19}+\frac{1}{9}a^{11}-\frac{2}{9}a^{3}$, $\frac{1}{45}a^{20}-\frac{1}{45}a^{19}+\frac{2}{45}a^{18}+\frac{2}{45}a^{17}-\frac{1}{45}a^{16}-\frac{1}{45}a^{15}-\frac{7}{45}a^{14}-\frac{1}{45}a^{13}-\frac{1}{9}a^{11}+\frac{7}{45}a^{10}+\frac{4}{45}a^{9}-\frac{2}{45}a^{8}-\frac{14}{45}a^{7}+\frac{2}{9}a^{6}+\frac{22}{45}a^{5}+\frac{4}{9}a^{4}-\frac{1}{5}a^{3}-\frac{2}{15}a^{2}+\frac{1}{3}a-\frac{7}{15}$, $\frac{1}{45}a^{21}+\frac{1}{45}a^{19}-\frac{1}{45}a^{18}+\frac{1}{45}a^{17}-\frac{2}{45}a^{16}+\frac{2}{45}a^{15}+\frac{2}{45}a^{14}-\frac{2}{15}a^{13}+\frac{1}{9}a^{12}-\frac{1}{15}a^{11}+\frac{1}{45}a^{10}-\frac{1}{15}a^{9}-\frac{2}{15}a^{8}+\frac{1}{45}a^{7}-\frac{8}{45}a^{6}+\frac{17}{45}a^{5}+\frac{16}{45}a^{4}+\frac{1}{9}a^{3}-\frac{2}{15}a^{2}+\frac{14}{45}a-\frac{16}{45}$, $\frac{1}{135}a^{22}-\frac{1}{135}a^{21}+\frac{4}{135}a^{19}+\frac{1}{27}a^{18}-\frac{1}{27}a^{16}-\frac{4}{135}a^{15}+\frac{1}{15}a^{14}-\frac{8}{135}a^{13}-\frac{13}{135}a^{12}-\frac{2}{45}a^{11}-\frac{11}{135}a^{10}-\frac{22}{135}a^{9}-\frac{2}{45}a^{8}-\frac{13}{27}a^{7}-\frac{5}{27}a^{6}-\frac{11}{45}a^{5}-\frac{56}{135}a^{4}-\frac{67}{135}a^{3}-\frac{1}{15}a^{2}-\frac{4}{27}a-\frac{58}{135}$, $\frac{1}{135}a^{23}-\frac{1}{135}a^{21}+\frac{1}{135}a^{20}-\frac{1}{45}a^{19}-\frac{1}{135}a^{18}+\frac{4}{135}a^{17}-\frac{2}{45}a^{16}-\frac{7}{135}a^{15}+\frac{7}{135}a^{14}+\frac{4}{45}a^{13}+\frac{11}{135}a^{12}+\frac{13}{135}a^{11}+\frac{7}{45}a^{10}+\frac{1}{27}a^{9}+\frac{2}{27}a^{8}+\frac{4}{45}a^{7}-\frac{28}{135}a^{6}-\frac{1}{27}a^{5}-\frac{11}{45}a^{4}-\frac{4}{135}a^{3}-\frac{41}{135}a^{2}-\frac{1}{45}a-\frac{5}{27}$, $\frac{1}{135}a^{24}+\frac{1}{9}a^{8}-\frac{16}{135}$, $\frac{1}{2295}a^{25}+\frac{2}{2295}a^{24}-\frac{7}{2295}a^{23}+\frac{2}{2295}a^{22}+\frac{8}{2295}a^{21}+\frac{2}{2295}a^{20}-\frac{22}{2295}a^{19}-\frac{43}{2295}a^{18}-\frac{52}{2295}a^{17}+\frac{122}{2295}a^{16}+\frac{53}{2295}a^{15}-\frac{298}{2295}a^{14}-\frac{67}{2295}a^{13}-\frac{28}{2295}a^{12}-\frac{7}{2295}a^{11}-\frac{73}{2295}a^{10}-\frac{112}{2295}a^{9}-\frac{103}{2295}a^{8}-\frac{1072}{2295}a^{7}-\frac{28}{2295}a^{6}+\frac{653}{2295}a^{5}+\frac{512}{2295}a^{4}-\frac{322}{2295}a^{3}-\frac{478}{2295}a^{2}-\frac{458}{2295}a-\frac{5}{153}$, $\frac{1}{20655}a^{26}-\frac{1}{6885}a^{25}-\frac{2}{1215}a^{24}+\frac{4}{4131}a^{23}-\frac{2}{20655}a^{22}+\frac{1}{255}a^{21}+\frac{2}{20655}a^{20}-\frac{341}{20655}a^{19}+\frac{7}{153}a^{18}+\frac{518}{20655}a^{17}+\frac{164}{4131}a^{16}-\frac{182}{6885}a^{15}-\frac{2164}{20655}a^{14}-\frac{622}{4131}a^{13}+\frac{1087}{6885}a^{12}-\frac{470}{4131}a^{11}-\frac{286}{4131}a^{10}+\frac{205}{1377}a^{9}+\frac{2639}{20655}a^{8}+\frac{10126}{20655}a^{7}+\frac{916}{6885}a^{6}+\frac{8093}{20655}a^{5}+\frac{5176}{20655}a^{4}+\frac{587}{6885}a^{3}+\frac{3496}{20655}a^{2}-\frac{2171}{20655}a+\frac{7039}{20655}$, $\frac{1}{119117385}a^{27}-\frac{2564}{119117385}a^{26}-\frac{22546}{119117385}a^{25}+\frac{163486}{119117385}a^{24}+\frac{53738}{39705795}a^{23}+\frac{400906}{119117385}a^{22}+\frac{1144649}{119117385}a^{21}-\frac{100477}{13235265}a^{20}+\frac{62698}{119117385}a^{19}+\frac{3106148}{119117385}a^{18}+\frac{1372672}{39705795}a^{17}+\frac{1246973}{23823477}a^{16}+\frac{444833}{119117385}a^{15}-\frac{2936167}{39705795}a^{14}-\frac{4276}{7006905}a^{13}-\frac{3153319}{119117385}a^{12}-\frac{1041382}{39705795}a^{11}-\frac{15334577}{119117385}a^{10}+\frac{1573253}{119117385}a^{9}-\frac{9031}{60435}a^{8}-\frac{4949653}{23823477}a^{7}-\frac{59524924}{119117385}a^{6}+\frac{6300764}{13235265}a^{5}+\frac{16270786}{119117385}a^{4}+\frac{2873897}{7006905}a^{3}-\frac{16947886}{119117385}a^{2}+\frac{2148520}{23823477}a+\frac{58725184}{119117385}$, $\frac{1}{24\!\cdots\!85}a^{28}-\frac{12\!\cdots\!84}{27\!\cdots\!65}a^{27}+\frac{19\!\cdots\!69}{83\!\cdots\!95}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!55}{49\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{22\!\cdots\!37}{83\!\cdots\!95}a^{24}+\frac{92\!\cdots\!01}{24\!\cdots\!85}a^{23}-\frac{17\!\cdots\!70}{55\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!54}{24\!\cdots\!85}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!81}{24\!\cdots\!85}a^{20}-\frac{37\!\cdots\!67}{83\!\cdots\!95}a^{19}+\frac{26\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!15}a^{18}+\frac{27\!\cdots\!66}{24\!\cdots\!85}a^{17}-\frac{51\!\cdots\!58}{16\!\cdots\!39}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!17}{24\!\cdots\!85}a^{15}-\frac{38\!\cdots\!19}{24\!\cdots\!85}a^{14}-\frac{50\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!44}{24\!\cdots\!85}a^{12}+\frac{21\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!35}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!11}{83\!\cdots\!95}a^{10}+\frac{19\!\cdots\!89}{24\!\cdots\!85}a^{9}-\frac{39\!\cdots\!12}{24\!\cdots\!85}a^{8}+\frac{38\!\cdots\!28}{83\!\cdots\!95}a^{7}+\frac{24\!\cdots\!73}{67\!\cdots\!05}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!76}{24\!\cdots\!85}a^{5}-\frac{90\!\cdots\!92}{24\!\cdots\!85}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!94}{14\!\cdots\!05}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!08}{49\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!35}{49\!\cdots\!17}a+\frac{16\!\cdots\!52}{24\!\cdots\!85}$
Monogenic: | No | |
Index: | Not computed | |
Inessential primes: | $3$, $5$ |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
Unit group
Rank: | $14$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
Torsion generator: | \( -1 \) (order $2$) | sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
Fundamental units: | $\frac{33\!\cdots\!44}{24\!\cdots\!85}a^{28}-\frac{89\!\cdots\!31}{83\!\cdots\!95}a^{27}+\frac{53\!\cdots\!96}{92\!\cdots\!55}a^{26}-\frac{33\!\cdots\!93}{24\!\cdots\!85}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!61}{83\!\cdots\!95}a^{24}-\frac{59\!\cdots\!62}{24\!\cdots\!85}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!33}{83\!\cdots\!95}a^{22}-\frac{89\!\cdots\!84}{24\!\cdots\!85}a^{21}+\frac{15\!\cdots\!67}{24\!\cdots\!85}a^{20}-\frac{74\!\cdots\!98}{83\!\cdots\!95}a^{19}+\frac{22\!\cdots\!17}{17\!\cdots\!85}a^{18}-\frac{45\!\cdots\!92}{24\!\cdots\!85}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!59}{83\!\cdots\!95}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!39}{49\!\cdots\!17}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!23}{49\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{42\!\cdots\!37}{18\!\cdots\!15}a^{13}+\frac{51\!\cdots\!56}{24\!\cdots\!85}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!35}a^{11}+\frac{37\!\cdots\!16}{55\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{31\!\cdots\!56}{24\!\cdots\!85}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!02}{49\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!62}{27\!\cdots\!65}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!29}{67\!\cdots\!05}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!88}{24\!\cdots\!85}a^{5}+\frac{41\!\cdots\!91}{24\!\cdots\!85}a^{4}-\frac{87\!\cdots\!08}{24\!\cdots\!85}a^{3}+\frac{66\!\cdots\!82}{24\!\cdots\!85}a^{2}-\frac{28\!\cdots\!44}{24\!\cdots\!85}a+\frac{14\!\cdots\!63}{24\!\cdots\!85}$, $\frac{50\!\cdots\!74}{24\!\cdots\!85}a^{28}-\frac{11\!\cdots\!31}{83\!\cdots\!95}a^{27}+\frac{12\!\cdots\!55}{16\!\cdots\!39}a^{26}-\frac{33\!\cdots\!04}{24\!\cdots\!85}a^{25}+\frac{50\!\cdots\!78}{37\!\cdots\!05}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!81}{24\!\cdots\!85}a^{23}+\frac{94\!\cdots\!42}{55\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{98\!\cdots\!78}{24\!\cdots\!85}a^{21}+\frac{17\!\cdots\!96}{24\!\cdots\!85}a^{20}-\frac{93\!\cdots\!61}{83\!\cdots\!95}a^{19}+\frac{23\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!15}a^{18}-\frac{59\!\cdots\!74}{24\!\cdots\!85}a^{17}+\frac{24\!\cdots\!89}{83\!\cdots\!95}a^{16}-\frac{84\!\cdots\!88}{24\!\cdots\!85}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!34}{31\!\cdots\!15}a^{14}-\frac{38\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{76\!\cdots\!19}{24\!\cdots\!85}a^{12}-\frac{27\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!35}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!48}{83\!\cdots\!95}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!83}{49\!\cdots\!17}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!99}{49\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{43\!\cdots\!22}{83\!\cdots\!95}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{48\!\cdots\!29}{24\!\cdots\!85}a^{5}+\frac{58\!\cdots\!76}{29\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!06}{24\!\cdots\!85}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!63}{24\!\cdots\!85}a^{2}-\frac{33\!\cdots\!49}{24\!\cdots\!85}a+\frac{19\!\cdots\!66}{24\!\cdots\!85}$, $\frac{10\!\cdots\!56}{24\!\cdots\!85}a^{28}-\frac{23\!\cdots\!77}{83\!\cdots\!95}a^{27}+\frac{11\!\cdots\!76}{83\!\cdots\!95}a^{26}-\frac{54\!\cdots\!13}{24\!\cdots\!85}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!12}{27\!\cdots\!65}a^{24}-\frac{16\!\cdots\!26}{24\!\cdots\!85}a^{23}+\frac{30\!\cdots\!22}{92\!\cdots\!55}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!07}{24\!\cdots\!85}a^{21}+\frac{23\!\cdots\!08}{24\!\cdots\!85}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!73}{83\!\cdots\!95}a^{19}+\frac{29\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!15}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!80}{49\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{55\!\cdots\!37}{16\!\cdots\!39}a^{16}-\frac{89\!\cdots\!36}{24\!\cdots\!85}a^{15}+\frac{86\!\cdots\!48}{24\!\cdots\!85}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!43}{55\!\cdots\!45}a^{13}+\frac{67\!\cdots\!32}{24\!\cdots\!85}a^{12}-\frac{38\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{78\!\cdots\!18}{83\!\cdots\!95}a^{10}-\frac{77\!\cdots\!57}{49\!\cdots\!17}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!63}{24\!\cdots\!85}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!51}{83\!\cdots\!95}a^{7}+\frac{24\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{30\!\cdots\!27}{24\!\cdots\!85}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!79}{24\!\cdots\!85}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!14}{24\!\cdots\!85}a^{3}+\frac{63\!\cdots\!02}{24\!\cdots\!85}a^{2}-\frac{82\!\cdots\!68}{49\!\cdots\!17}a+\frac{29\!\cdots\!59}{49\!\cdots\!17}$, $\frac{11\!\cdots\!06}{24\!\cdots\!85}a^{28}-\frac{18\!\cdots\!66}{54\!\cdots\!15}a^{27}+\frac{14\!\cdots\!36}{83\!\cdots\!95}a^{26}-\frac{89\!\cdots\!53}{24\!\cdots\!85}a^{25}+\frac{16\!\cdots\!82}{83\!\cdots\!95}a^{24}-\frac{16\!\cdots\!32}{24\!\cdots\!85}a^{23}+\frac{34\!\cdots\!54}{83\!\cdots\!95}a^{22}-\frac{24\!\cdots\!06}{24\!\cdots\!85}a^{21}+\frac{73\!\cdots\!76}{49\!\cdots\!17}a^{20}-\frac{65\!\cdots\!24}{30\!\cdots\!85}a^{19}+\frac{45\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!15}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!81}{49\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{47\!\cdots\!31}{92\!\cdots\!55}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!93}{24\!\cdots\!85}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!18}{24\!\cdots\!85}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!96}{32\!\cdots\!85}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!22}{24\!\cdots\!85}a^{12}-\frac{35\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!91}a^{11}+\frac{83\!\cdots\!58}{83\!\cdots\!95}a^{10}-\frac{38\!\cdots\!08}{24\!\cdots\!85}a^{9}-\frac{44\!\cdots\!04}{49\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{63\!\cdots\!29}{83\!\cdots\!95}a^{7}+\frac{39\!\cdots\!47}{67\!\cdots\!05}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!59}{24\!\cdots\!85}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!47}{24\!\cdots\!85}a^{4}-\frac{54\!\cdots\!75}{49\!\cdots\!17}a^{3}+\frac{36\!\cdots\!37}{49\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!56}{49\!\cdots\!17}a+\frac{24\!\cdots\!97}{24\!\cdots\!85}$, $\frac{17\!\cdots\!12}{24\!\cdots\!85}a^{28}-\frac{43\!\cdots\!94}{83\!\cdots\!95}a^{27}+\frac{14\!\cdots\!83}{55\!\cdots\!13}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!71}{24\!\cdots\!85}a^{25}+\frac{31\!\cdots\!88}{83\!\cdots\!95}a^{24}-\frac{62\!\cdots\!55}{49\!\cdots\!17}a^{23}+\frac{52\!\cdots\!66}{83\!\cdots\!95}a^{22}-\frac{36\!\cdots\!88}{24\!\cdots\!85}a^{21}+\frac{60\!\cdots\!89}{24\!\cdots\!85}a^{20}-\frac{30\!\cdots\!09}{83\!\cdots\!95}a^{19}+\frac{77\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!15}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!52}{24\!\cdots\!85}a^{17}+\frac{81\!\cdots\!12}{83\!\cdots\!95}a^{16}-\frac{27\!\cdots\!36}{24\!\cdots\!85}a^{15}+\frac{29\!\cdots\!74}{24\!\cdots\!85}a^{14}-\frac{21\!\cdots\!87}{18\!\cdots\!15}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!71}{24\!\cdots\!85}a^{12}-\frac{93\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!35}a^{11}+\frac{29\!\cdots\!24}{55\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!58}{49\!\cdots\!17}a^{9}-\frac{74\!\cdots\!71}{24\!\cdots\!85}a^{8}+\frac{95\!\cdots\!97}{92\!\cdots\!55}a^{7}-\frac{77\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{83\!\cdots\!09}{24\!\cdots\!85}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!31}{49\!\cdots\!17}a^{4}-\frac{31\!\cdots\!47}{49\!\cdots\!17}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!99}{24\!\cdots\!85}a^{2}-\frac{84\!\cdots\!04}{24\!\cdots\!85}a+\frac{31\!\cdots\!53}{24\!\cdots\!85}$, $\frac{13\!\cdots\!88}{35\!\cdots\!35}a^{28}-\frac{29\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!45}a^{27}+\frac{46\!\cdots\!41}{39\!\cdots\!15}a^{26}-\frac{49\!\cdots\!56}{35\!\cdots\!35}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!45}a^{24}-\frac{19\!\cdots\!78}{35\!\cdots\!35}a^{23}+\frac{72\!\cdots\!35}{23\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!97}{35\!\cdots\!35}a^{21}+\frac{16\!\cdots\!94}{35\!\cdots\!35}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!45}a^{19}+\frac{30\!\cdots\!68}{19\!\cdots\!65}a^{18}-\frac{64\!\cdots\!38}{35\!\cdots\!35}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!45}a^{16}-\frac{72\!\cdots\!11}{35\!\cdots\!35}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!06}{70\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{21\!\cdots\!04}{86\!\cdots\!55}a^{13}+\frac{38\!\cdots\!56}{20\!\cdots\!55}a^{12}-\frac{76\!\cdots\!37}{97\!\cdots\!05}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!05}a^{10}-\frac{35\!\cdots\!52}{35\!\cdots\!35}a^{9}-\frac{56\!\cdots\!49}{35\!\cdots\!35}a^{8}+\frac{63\!\cdots\!89}{39\!\cdots\!15}a^{7}+\frac{41\!\cdots\!52}{94\!\cdots\!55}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!11}{35\!\cdots\!35}a^{5}+\frac{33\!\cdots\!66}{35\!\cdots\!35}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!69}{41\!\cdots\!31}a^{3}+\frac{81\!\cdots\!82}{35\!\cdots\!35}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!28}{70\!\cdots\!27}a+\frac{33\!\cdots\!57}{35\!\cdots\!35}$, $\frac{72\!\cdots\!88}{83\!\cdots\!95}a^{28}-\frac{57\!\cdots\!31}{83\!\cdots\!95}a^{27}+\frac{41\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!15}a^{26}-\frac{63\!\cdots\!28}{83\!\cdots\!95}a^{25}+\frac{36\!\cdots\!68}{83\!\cdots\!95}a^{24}-\frac{95\!\cdots\!17}{83\!\cdots\!95}a^{23}+\frac{69\!\cdots\!18}{83\!\cdots\!95}a^{22}-\frac{58\!\cdots\!89}{27\!\cdots\!65}a^{21}+\frac{25\!\cdots\!14}{83\!\cdots\!95}a^{20}-\frac{35\!\cdots\!64}{83\!\cdots\!95}a^{19}+\frac{22\!\cdots\!27}{34\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{73\!\cdots\!17}{83\!\cdots\!95}a^{17}+\frac{87\!\cdots\!08}{83\!\cdots\!95}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!74}{18\!\cdots\!05}a^{15}+\frac{89\!\cdots\!64}{83\!\cdots\!95}a^{14}-\frac{52\!\cdots\!48}{55\!\cdots\!45}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!32}{30\!\cdots\!85}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!61}{39\!\cdots\!45}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!91}{83\!\cdots\!95}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!54}{10\!\cdots\!95}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!49}{83\!\cdots\!95}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!61}{83\!\cdots\!95}a^{7}+\frac{65\!\cdots\!29}{74\!\cdots\!45}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!39}{83\!\cdots\!95}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!78}{27\!\cdots\!65}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!46}{83\!\cdots\!95}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!72}{83\!\cdots\!95}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!74}{55\!\cdots\!13}a-\frac{92\!\cdots\!02}{83\!\cdots\!95}$, $\frac{10\!\cdots\!26}{24\!\cdots\!85}a^{28}-\frac{26\!\cdots\!29}{83\!\cdots\!95}a^{27}+\frac{33\!\cdots\!09}{21\!\cdots\!41}a^{26}-\frac{73\!\cdots\!23}{24\!\cdots\!85}a^{25}+\frac{55\!\cdots\!35}{55\!\cdots\!13}a^{24}-\frac{13\!\cdots\!71}{24\!\cdots\!85}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!91}{27\!\cdots\!65}a^{22}-\frac{20\!\cdots\!84}{24\!\cdots\!85}a^{21}+\frac{28\!\cdots\!26}{24\!\cdots\!85}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!83}{83\!\cdots\!95}a^{19}+\frac{34\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!15}a^{18}-\frac{82\!\cdots\!01}{24\!\cdots\!85}a^{17}+\frac{31\!\cdots\!57}{83\!\cdots\!95}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!68}{24\!\cdots\!85}a^{15}+\frac{93\!\cdots\!48}{24\!\cdots\!85}a^{14}-\frac{37\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{70\!\cdots\!87}{24\!\cdots\!85}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!35}a^{11}+\frac{21\!\cdots\!98}{48\!\cdots\!35}a^{10}+\frac{65\!\cdots\!38}{24\!\cdots\!85}a^{9}-\frac{21\!\cdots\!87}{24\!\cdots\!85}a^{8}+\frac{54\!\cdots\!73}{83\!\cdots\!95}a^{7}+\frac{36\!\cdots\!23}{67\!\cdots\!05}a^{6}-\frac{22\!\cdots\!14}{49\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{66\!\cdots\!57}{24\!\cdots\!85}a^{4}-\frac{37\!\cdots\!53}{49\!\cdots\!17}a^{3}+\frac{97\!\cdots\!44}{24\!\cdots\!85}a^{2}+\frac{24\!\cdots\!97}{24\!\cdots\!85}a-\frac{43\!\cdots\!73}{24\!\cdots\!85}$, $\frac{74\!\cdots\!19}{14\!\cdots\!05}a^{28}-\frac{36\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!95}a^{27}+\frac{29\!\cdots\!82}{16\!\cdots\!39}a^{26}-\frac{14\!\cdots\!13}{49\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{47\!\cdots\!66}{48\!\cdots\!35}a^{24}-\frac{19\!\cdots\!48}{24\!\cdots\!85}a^{23}+\frac{35\!\cdots\!28}{83\!\cdots\!95}a^{22}-\frac{21\!\cdots\!64}{24\!\cdots\!85}a^{21}+\frac{31\!\cdots\!97}{24\!\cdots\!85}a^{20}-\frac{52\!\cdots\!82}{27\!\cdots\!65}a^{19}+\frac{39\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!15}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!01}{49\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!96}{27\!\cdots\!65}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!41}{24\!\cdots\!85}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!34}{24\!\cdots\!85}a^{14}-\frac{47\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!58}{49\!\cdots\!17}a^{12}-\frac{25\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!35}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!00}{16\!\cdots\!39}a^{10}-\frac{52\!\cdots\!64}{24\!\cdots\!85}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!06}{24\!\cdots\!85}a^{8}+\frac{35\!\cdots\!37}{83\!\cdots\!95}a^{7}+\frac{24\!\cdots\!38}{92\!\cdots\!85}a^{6}-\frac{60\!\cdots\!78}{24\!\cdots\!85}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!39}{24\!\cdots\!85}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!94}{24\!\cdots\!85}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!78}{49\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{44\!\cdots\!03}{24\!\cdots\!85}a+\frac{31\!\cdots\!13}{29\!\cdots\!01}$, $\frac{13\!\cdots\!49}{24\!\cdots\!85}a^{28}-\frac{39\!\cdots\!84}{83\!\cdots\!95}a^{27}+\frac{21\!\cdots\!06}{83\!\cdots\!95}a^{26}-\frac{16\!\cdots\!59}{24\!\cdots\!85}a^{25}+\frac{54\!\cdots\!13}{83\!\cdots\!95}a^{24}-\frac{25\!\cdots\!14}{24\!\cdots\!85}a^{23}+\frac{49\!\cdots\!03}{83\!\cdots\!95}a^{22}-\frac{85\!\cdots\!50}{49\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{73\!\cdots\!76}{24\!\cdots\!85}a^{20}-\frac{71\!\cdots\!59}{16\!\cdots\!45}a^{19}+\frac{91\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!15}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!91}{24\!\cdots\!85}a^{17}+\frac{32\!\cdots\!06}{27\!\cdots\!65}a^{16}-\frac{33\!\cdots\!28}{24\!\cdots\!85}a^{15}+\frac{34\!\cdots\!48}{24\!\cdots\!85}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{29\!\cdots\!54}{24\!\cdots\!85}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!35}a^{11}+\frac{42\!\cdots\!84}{83\!\cdots\!95}a^{10}-\frac{55\!\cdots\!18}{24\!\cdots\!85}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!14}{24\!\cdots\!85}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!41}{10\!\cdots\!05}a^{7}-\frac{46\!\cdots\!56}{85\!\cdots\!95}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!82}{24\!\cdots\!85}a^{5}+\frac{24\!\cdots\!19}{24\!\cdots\!85}a^{4}-\frac{96\!\cdots\!65}{49\!\cdots\!17}a^{3}+\frac{91\!\cdots\!17}{49\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!24}{24\!\cdots\!85}a+\frac{86\!\cdots\!39}{24\!\cdots\!85}$, $\frac{32\!\cdots\!59}{24\!\cdots\!85}a^{28}-\frac{29\!\cdots\!00}{20\!\cdots\!19}a^{27}+\frac{66\!\cdots\!59}{83\!\cdots\!95}a^{26}-\frac{59\!\cdots\!46}{24\!\cdots\!85}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!56}{83\!\cdots\!95}a^{24}-\frac{37\!\cdots\!94}{24\!\cdots\!85}a^{23}+\frac{15\!\cdots\!19}{83\!\cdots\!95}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!81}{24\!\cdots\!85}a^{21}+\frac{48\!\cdots\!98}{49\!\cdots\!17}a^{20}-\frac{36\!\cdots\!83}{27\!\cdots\!65}a^{19}+\frac{56\!\cdots\!83}{27\!\cdots\!23}a^{18}-\frac{72\!\cdots\!16}{24\!\cdots\!85}a^{17}+\frac{99\!\cdots\!89}{27\!\cdots\!65}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!55}{49\!\cdots\!17}a^{15}+\frac{98\!\cdots\!61}{24\!\cdots\!85}a^{14}-\frac{40\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{99\!\cdots\!43}{29\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{55\!\cdots\!67}{23\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{87\!\cdots\!93}{83\!\cdots\!95}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!69}{24\!\cdots\!85}a^{9}-\frac{90\!\cdots\!77}{24\!\cdots\!85}a^{8}+\frac{78\!\cdots\!96}{83\!\cdots\!95}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!03}{67\!\cdots\!05}a^{6}-\frac{99\!\cdots\!34}{24\!\cdots\!85}a^{5}-\frac{47\!\cdots\!42}{24\!\cdots\!85}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!84}{24\!\cdots\!85}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!68}{24\!\cdots\!85}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!72}{34\!\cdots\!45}a+\frac{42\!\cdots\!65}{49\!\cdots\!17}$, $\frac{49\!\cdots\!32}{14\!\cdots\!05}a^{28}-\frac{20\!\cdots\!32}{83\!\cdots\!95}a^{27}+\frac{37\!\cdots\!29}{30\!\cdots\!85}a^{26}-\frac{52\!\cdots\!88}{24\!\cdots\!85}a^{25}+\frac{48\!\cdots\!43}{83\!\cdots\!95}a^{24}-\frac{94\!\cdots\!26}{24\!\cdots\!85}a^{23}+\frac{21\!\cdots\!17}{83\!\cdots\!95}a^{22}-\frac{30\!\cdots\!50}{49\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!52}{24\!\cdots\!85}a^{20}-\frac{85\!\cdots\!42}{83\!\cdots\!95}a^{19}+\frac{18\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!15}a^{18}-\frac{42\!\cdots\!28}{24\!\cdots\!85}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!86}{83\!\cdots\!95}a^{16}-\frac{81\!\cdots\!22}{49\!\cdots\!17}a^{15}+\frac{22\!\cdots\!41}{24\!\cdots\!85}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!59}{61\!\cdots\!05}a^{13}-\frac{53\!\cdots\!94}{24\!\cdots\!85}a^{12}+\frac{50\!\cdots\!93}{69\!\cdots\!55}a^{11}-\frac{30\!\cdots\!54}{27\!\cdots\!65}a^{10}+\frac{66\!\cdots\!38}{49\!\cdots\!17}a^{9}-\frac{31\!\cdots\!82}{24\!\cdots\!85}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!34}{27\!\cdots\!65}a^{7}+\frac{28\!\cdots\!67}{39\!\cdots\!65}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!97}{24\!\cdots\!85}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!53}{24\!\cdots\!85}a^{4}-\frac{30\!\cdots\!49}{24\!\cdots\!85}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!69}{49\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{99\!\cdots\!91}{24\!\cdots\!85}a-\frac{56\!\cdots\!81}{49\!\cdots\!17}$, $\frac{39\!\cdots\!78}{49\!\cdots\!17}a^{28}-\frac{15\!\cdots\!03}{27\!\cdots\!65}a^{27}+\frac{80\!\cdots\!02}{27\!\cdots\!65}a^{26}-\frac{24\!\cdots\!02}{49\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!16}{55\!\cdots\!13}a^{24}-\frac{61\!\cdots\!09}{49\!\cdots\!17}a^{23}+\frac{56\!\cdots\!23}{83\!\cdots\!95}a^{22}-\frac{35\!\cdots\!37}{24\!\cdots\!85}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!15}{49\!\cdots\!17}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!09}{83\!\cdots\!95}a^{19}+\frac{65\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!15}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!68}{24\!\cdots\!85}a^{17}+\frac{61\!\cdots\!57}{83\!\cdots\!95}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!22}{24\!\cdots\!85}a^{15}+\frac{38\!\cdots\!12}{49\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!56}{18\!\cdots\!15}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!48}{24\!\cdots\!85}a^{12}-\frac{86\!\cdots\!20}{23\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{59\!\cdots\!08}{30\!\cdots\!85}a^{10}-\frac{94\!\cdots\!39}{24\!\cdots\!85}a^{9}-\frac{19\!\cdots\!03}{14\!\cdots\!05}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!93}{27\!\cdots\!65}a^{7}+\frac{37\!\cdots\!52}{67\!\cdots\!05}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!98}{24\!\cdots\!85}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!43}{24\!\cdots\!85}a^{4}-\frac{32\!\cdots\!81}{24\!\cdots\!85}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!94}{24\!\cdots\!85}a^{2}-\frac{64\!\cdots\!22}{24\!\cdots\!85}a-\frac{16\!\cdots\!34}{24\!\cdots\!85}$, $a$ (assuming GRH) | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 6346995452652.517 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{1}\cdot(2\pi)^{14}\cdot 6346995452652.517 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{190430537333205962921320156798047381287357677729}}\cr\approx \mathstrut & 2.17379230843342 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
A solvable group of order 58 |
The 16 conjugacy class representatives for $D_{29}$ |
Character table for $D_{29}$ |
Intermediate fields
The extension is primitive: there are no intermediate fields between this field and $\Q$. |
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | $29$ | ${\href{/padicField/3.2.0.1}{2} }^{14}{,}\,{\href{/padicField/3.1.0.1}{1} }$ | ${\href{/padicField/5.2.0.1}{2} }^{14}{,}\,{\href{/padicField/5.1.0.1}{1} }$ | $29$ | $29$ | $29$ | ${\href{/padicField/17.2.0.1}{2} }^{14}{,}\,{\href{/padicField/17.1.0.1}{1} }$ | $29$ | $29$ | $29$ | $29$ | ${\href{/padicField/37.2.0.1}{2} }^{14}{,}\,{\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }$ | $29$ | $29$ | $29$ | ${\href{/padicField/53.2.0.1}{2} }^{14}{,}\,{\href{/padicField/53.1.0.1}{1} }$ | $29$ |
Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(2383\) | $\Q_{2383}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ |
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ |