Properties

Label 28.28.857...125.1
Degree $28$
Signature $[28, 0]$
Discriminant $8.576\times 10^{56}$
Root discriminant \(107.98\)
Ramified primes $5,7$
Class number $1$ (GRH)
Class group trivial (GRH)
Galois group $C_{28}$ (as 28T1)

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Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^28 - 84*x^26 - 21*x^25 + 2870*x^24 + 1365*x^23 - 52311*x^22 - 35384*x^21 + 558551*x^20 + 476021*x^19 - 3616123*x^18 - 3640098*x^17 + 14278698*x^16 + 16439787*x^15 - 33849902*x^14 - 44286151*x^13 + 45977568*x^12 + 70220969*x^11 - 31909787*x^10 - 63232365*x^9 + 7294518*x^8 + 30363184*x^7 + 2492042*x^6 - 6990543*x^5 - 1496096*x^4 + 540274*x^3 + 194915*x^2 + 17822*x + 361)
 
gp: K = bnfinit(y^28 - 84*y^26 - 21*y^25 + 2870*y^24 + 1365*y^23 - 52311*y^22 - 35384*y^21 + 558551*y^20 + 476021*y^19 - 3616123*y^18 - 3640098*y^17 + 14278698*y^16 + 16439787*y^15 - 33849902*y^14 - 44286151*y^13 + 45977568*y^12 + 70220969*y^11 - 31909787*y^10 - 63232365*y^9 + 7294518*y^8 + 30363184*y^7 + 2492042*y^6 - 6990543*y^5 - 1496096*y^4 + 540274*y^3 + 194915*y^2 + 17822*y + 361, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^28 - 84*x^26 - 21*x^25 + 2870*x^24 + 1365*x^23 - 52311*x^22 - 35384*x^21 + 558551*x^20 + 476021*x^19 - 3616123*x^18 - 3640098*x^17 + 14278698*x^16 + 16439787*x^15 - 33849902*x^14 - 44286151*x^13 + 45977568*x^12 + 70220969*x^11 - 31909787*x^10 - 63232365*x^9 + 7294518*x^8 + 30363184*x^7 + 2492042*x^6 - 6990543*x^5 - 1496096*x^4 + 540274*x^3 + 194915*x^2 + 17822*x + 361);
 
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^28 - 84*x^26 - 21*x^25 + 2870*x^24 + 1365*x^23 - 52311*x^22 - 35384*x^21 + 558551*x^20 + 476021*x^19 - 3616123*x^18 - 3640098*x^17 + 14278698*x^16 + 16439787*x^15 - 33849902*x^14 - 44286151*x^13 + 45977568*x^12 + 70220969*x^11 - 31909787*x^10 - 63232365*x^9 + 7294518*x^8 + 30363184*x^7 + 2492042*x^6 - 6990543*x^5 - 1496096*x^4 + 540274*x^3 + 194915*x^2 + 17822*x + 361)
 

\( x^{28} - 84 x^{26} - 21 x^{25} + 2870 x^{24} + 1365 x^{23} - 52311 x^{22} - 35384 x^{21} + 558551 x^{20} + 476021 x^{19} - 3616123 x^{18} - 3640098 x^{17} + 14278698 x^{16} + \cdots + 361 \) Copy content Toggle raw display

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 
oscar: defining_polynomial(K)
 

Invariants

Degree:  $28$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
oscar: degree(K)
 
Signature:  $[28, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
oscar: signature(K)
 
Discriminant:   \(857574960063654015836849375042748140931725025177001953125\) \(\medspace = 5^{21}\cdot 7^{50}\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
 
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
 
Root discriminant:  \(107.98\)
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
 
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
 
Galois root discriminant:  $5^{3/4}7^{25/14}\approx 107.9769724365677$
Ramified primes:   \(5\), \(7\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
 
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
 
Discriminant root field:  \(\Q(\sqrt{5}) \)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:  $28$
sage: K.automorphisms()
 
magma: Automorphisms(K);
 
oscar: automorphisms(K)
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(245=5\cdot 7^{2}\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{245}(64,·)$, $\chi_{245}(1,·)$, $\chi_{245}(132,·)$, $\chi_{245}(134,·)$, $\chi_{245}(71,·)$, $\chi_{245}(202,·)$, $\chi_{245}(204,·)$, $\chi_{245}(13,·)$, $\chi_{245}(141,·)$, $\chi_{245}(83,·)$, $\chi_{245}(97,·)$, $\chi_{245}(153,·)$, $\chi_{245}(27,·)$, $\chi_{245}(29,·)$, $\chi_{245}(223,·)$, $\chi_{245}(48,·)$, $\chi_{245}(99,·)$, $\chi_{245}(36,·)$, $\chi_{245}(167,·)$, $\chi_{245}(169,·)$, $\chi_{245}(106,·)$, $\chi_{245}(237,·)$, $\chi_{245}(239,·)$, $\chi_{245}(176,·)$, $\chi_{245}(211,·)$, $\chi_{245}(118,·)$, $\chi_{245}(188,·)$, $\chi_{245}(62,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $\frac{1}{19}a^{13}-\frac{8}{19}a^{12}-\frac{4}{19}a^{11}-\frac{5}{19}a^{10}-\frac{6}{19}a^{8}-\frac{3}{19}a^{7}-\frac{5}{19}a^{6}-\frac{9}{19}a^{5}-\frac{8}{19}a^{4}+\frac{6}{19}a^{3}-\frac{7}{19}a^{2}+\frac{8}{19}a$, $\frac{1}{19}a^{14}+\frac{8}{19}a^{12}+\frac{1}{19}a^{11}-\frac{2}{19}a^{10}-\frac{6}{19}a^{9}+\frac{6}{19}a^{8}+\frac{9}{19}a^{7}+\frac{8}{19}a^{6}-\frac{4}{19}a^{5}-\frac{1}{19}a^{4}+\frac{3}{19}a^{3}+\frac{9}{19}a^{2}+\frac{7}{19}a$, $\frac{1}{19}a^{15}+\frac{8}{19}a^{12}-\frac{8}{19}a^{11}-\frac{4}{19}a^{10}+\frac{6}{19}a^{9}-\frac{6}{19}a^{7}-\frac{2}{19}a^{6}-\frac{5}{19}a^{5}-\frac{9}{19}a^{4}-\frac{1}{19}a^{3}+\frac{6}{19}a^{2}-\frac{7}{19}a$, $\frac{1}{19}a^{16}-\frac{1}{19}a^{12}+\frac{9}{19}a^{11}+\frac{8}{19}a^{10}+\frac{4}{19}a^{8}+\frac{3}{19}a^{7}-\frac{3}{19}a^{6}+\frac{6}{19}a^{5}+\frac{6}{19}a^{4}-\frac{4}{19}a^{3}-\frac{8}{19}a^{2}-\frac{7}{19}a$, $\frac{1}{19}a^{17}+\frac{1}{19}a^{12}+\frac{4}{19}a^{11}-\frac{5}{19}a^{10}+\frac{4}{19}a^{9}-\frac{3}{19}a^{8}-\frac{6}{19}a^{7}+\frac{1}{19}a^{6}-\frac{3}{19}a^{5}+\frac{7}{19}a^{4}-\frac{2}{19}a^{3}+\frac{5}{19}a^{2}+\frac{8}{19}a$, $\frac{1}{19}a^{18}-\frac{7}{19}a^{12}-\frac{1}{19}a^{11}+\frac{9}{19}a^{10}-\frac{3}{19}a^{9}+\frac{4}{19}a^{7}+\frac{2}{19}a^{6}-\frac{3}{19}a^{5}+\frac{6}{19}a^{4}-\frac{1}{19}a^{3}-\frac{4}{19}a^{2}-\frac{8}{19}a$, $\frac{1}{19}a^{19}-\frac{1}{19}a$, $\frac{1}{19}a^{20}-\frac{1}{19}a^{2}$, $\frac{1}{19}a^{21}-\frac{1}{19}a^{3}$, $\frac{1}{19}a^{22}-\frac{1}{19}a^{4}$, $\frac{1}{361}a^{23}-\frac{3}{361}a^{22}-\frac{9}{361}a^{21}-\frac{2}{361}a^{20}-\frac{6}{361}a^{19}+\frac{3}{361}a^{18}+\frac{2}{361}a^{17}+\frac{3}{361}a^{16}+\frac{6}{361}a^{15}-\frac{7}{361}a^{14}+\frac{8}{361}a^{12}-\frac{23}{361}a^{11}+\frac{12}{361}a^{10}-\frac{18}{361}a^{9}+\frac{78}{361}a^{8}-\frac{71}{361}a^{7}-\frac{50}{361}a^{6}-\frac{8}{19}a^{5}-\frac{89}{361}a^{4}+\frac{153}{361}a^{3}+\frac{44}{361}a^{2}+\frac{6}{19}a$, $\frac{1}{361}a^{24}+\frac{1}{361}a^{22}+\frac{9}{361}a^{21}+\frac{7}{361}a^{20}+\frac{4}{361}a^{19}-\frac{8}{361}a^{18}+\frac{9}{361}a^{17}-\frac{4}{361}a^{16}-\frac{8}{361}a^{15}-\frac{2}{361}a^{14}+\frac{8}{361}a^{13}+\frac{153}{361}a^{12}-\frac{2}{19}a^{11}+\frac{94}{361}a^{10}-\frac{147}{361}a^{9}-\frac{160}{361}a^{8}-\frac{111}{361}a^{7}-\frac{93}{361}a^{6}+\frac{139}{361}a^{5}+\frac{8}{19}a^{4}-\frac{86}{361}a^{3}+\frac{151}{361}a^{2}+\frac{8}{19}a$, $\frac{1}{361}a^{25}-\frac{7}{361}a^{22}-\frac{3}{361}a^{21}+\frac{6}{361}a^{20}-\frac{2}{361}a^{19}+\frac{6}{361}a^{18}-\frac{6}{361}a^{17}+\frac{8}{361}a^{16}-\frac{8}{361}a^{15}-\frac{4}{361}a^{14}+\frac{1}{361}a^{13}-\frac{84}{361}a^{12}+\frac{155}{361}a^{11}+\frac{69}{361}a^{10}-\frac{28}{361}a^{9}-\frac{37}{361}a^{8}-\frac{41}{361}a^{7}+\frac{18}{361}a^{6}+\frac{3}{19}a^{5}-\frac{73}{361}a^{4}+\frac{55}{361}a^{3}+\frac{127}{361}a^{2}-\frac{8}{19}a$, $\frac{1}{6859}a^{26}-\frac{4}{6859}a^{25}-\frac{9}{6859}a^{24}+\frac{7}{6859}a^{23}+\frac{12}{6859}a^{22}+\frac{96}{6859}a^{21}-\frac{79}{6859}a^{20}+\frac{27}{6859}a^{19}+\frac{103}{6859}a^{18}+\frac{112}{6859}a^{17}-\frac{4}{361}a^{16}-\frac{139}{6859}a^{15}+\frac{89}{6859}a^{14}-\frac{141}{6859}a^{13}-\frac{3263}{6859}a^{12}+\frac{533}{6859}a^{11}+\frac{2476}{6859}a^{10}-\frac{3034}{6859}a^{9}+\frac{777}{6859}a^{8}+\frac{567}{6859}a^{7}-\frac{1930}{6859}a^{6}-\frac{2540}{6859}a^{5}+\frac{1381}{6859}a^{4}+\frac{353}{6859}a^{3}-\frac{2448}{6859}a^{2}-\frac{51}{361}a+\frac{9}{19}$, $\frac{1}{35\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{18\!\cdots\!50}{35\!\cdots\!81}a^{26}+\frac{27\!\cdots\!35}{35\!\cdots\!81}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!29}{35\!\cdots\!81}a^{24}-\frac{40\!\cdots\!44}{35\!\cdots\!81}a^{23}+\frac{61\!\cdots\!47}{35\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{64\!\cdots\!11}{18\!\cdots\!99}a^{21}+\frac{80\!\cdots\!60}{35\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{61\!\cdots\!34}{35\!\cdots\!81}a^{19}+\frac{45\!\cdots\!52}{35\!\cdots\!81}a^{18}+\frac{46\!\cdots\!08}{35\!\cdots\!81}a^{17}+\frac{98\!\cdots\!10}{35\!\cdots\!81}a^{16}-\frac{83\!\cdots\!55}{35\!\cdots\!81}a^{15}+\frac{62\!\cdots\!41}{35\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!68}{18\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{33\!\cdots\!98}{35\!\cdots\!81}a^{12}-\frac{37\!\cdots\!88}{35\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!23}{35\!\cdots\!81}a^{10}+\frac{74\!\cdots\!71}{35\!\cdots\!81}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!96}{35\!\cdots\!81}a^{8}+\frac{46\!\cdots\!28}{35\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{53\!\cdots\!81}{35\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{53\!\cdots\!59}{35\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!19}{35\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{54\!\cdots\!52}{35\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{53\!\cdots\!05}{35\!\cdots\!81}a^{2}-\frac{41\!\cdots\!28}{18\!\cdots\!99}a-\frac{33\!\cdots\!64}{97\!\cdots\!21}$ Copy content Toggle raw display

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 
oscar: basis(OK)
 

Monogenic:  No
Index:  Not computed
Inessential primes:  $19$

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 
oscar: class_group(K)
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
 
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
 
Rank:  $27$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
oscar: rank(UK)
 
Torsion generator:   \( -1 \)  (order $2$) Copy content Toggle raw display
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
oscar: torsion_units_generator(OK)
 
Fundamental units:   $\frac{29\!\cdots\!40}{48\!\cdots\!89}a^{27}+\frac{73\!\cdots\!83}{48\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{25\!\cdots\!34}{48\!\cdots\!89}a^{25}-\frac{67\!\cdots\!62}{48\!\cdots\!89}a^{24}+\frac{87\!\cdots\!50}{48\!\cdots\!89}a^{23}+\frac{24\!\cdots\!23}{48\!\cdots\!89}a^{22}-\frac{83\!\cdots\!33}{25\!\cdots\!31}a^{21}-\frac{47\!\cdots\!01}{48\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!56}{48\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{54\!\cdots\!68}{48\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{99\!\cdots\!31}{48\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{36\!\cdots\!08}{48\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{33\!\cdots\!98}{48\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!65}{48\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!96}{25\!\cdots\!31}a^{13}-\frac{38\!\cdots\!62}{48\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{45\!\cdots\!70}{48\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{57\!\cdots\!13}{48\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!35}{48\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{49\!\cdots\!02}{48\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!35}{48\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{22\!\cdots\!11}{48\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{89\!\cdots\!90}{48\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{50\!\cdots\!06}{48\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{21\!\cdots\!68}{48\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{40\!\cdots\!63}{48\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!22}{25\!\cdots\!31}a+\frac{36\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!49}$, $\frac{34\!\cdots\!84}{68\!\cdots\!09}a^{27}+\frac{14\!\cdots\!84}{68\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{15\!\cdots\!62}{36\!\cdots\!11}a^{25}-\frac{18\!\cdots\!26}{68\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!21}{68\!\cdots\!09}a^{23}+\frac{84\!\cdots\!17}{68\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{18\!\cdots\!00}{68\!\cdots\!09}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!17}{68\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{20\!\cdots\!81}{68\!\cdots\!09}a^{19}+\frac{23\!\cdots\!96}{68\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!10}{68\!\cdots\!09}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!10}{68\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{58\!\cdots\!81}{68\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{75\!\cdots\!55}{68\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!60}{68\!\cdots\!09}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!55}{68\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{23\!\cdots\!21}{68\!\cdots\!09}a^{11}+\frac{32\!\cdots\!56}{68\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{20\!\cdots\!96}{68\!\cdots\!09}a^{9}-\frac{30\!\cdots\!11}{68\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!78}{68\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!47}{68\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!65}{68\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{41\!\cdots\!54}{68\!\cdots\!09}a^{4}-\frac{98\!\cdots\!07}{68\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{43\!\cdots\!51}{68\!\cdots\!09}a^{2}+\frac{35\!\cdots\!42}{36\!\cdots\!11}a+\frac{40\!\cdots\!73}{19\!\cdots\!69}$, $\frac{17\!\cdots\!25}{36\!\cdots\!11}a^{27}-\frac{55\!\cdots\!45}{68\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{27\!\cdots\!94}{68\!\cdots\!09}a^{25}-\frac{22\!\cdots\!90}{68\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{93\!\cdots\!55}{68\!\cdots\!09}a^{23}+\frac{28\!\cdots\!80}{68\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!25}{68\!\cdots\!09}a^{21}-\frac{86\!\cdots\!11}{68\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!35}{68\!\cdots\!09}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!70}{68\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!55}{68\!\cdots\!09}a^{17}-\frac{27\!\cdots\!20}{19\!\cdots\!69}a^{16}+\frac{46\!\cdots\!76}{68\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{44\!\cdots\!55}{68\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!85}{68\!\cdots\!09}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!40}{68\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!00}{68\!\cdots\!09}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!85}{68\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!50}{68\!\cdots\!09}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!40}{68\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{43\!\cdots\!10}{68\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{79\!\cdots\!00}{68\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{36\!\cdots\!76}{68\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!50}{68\!\cdots\!09}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!00}{68\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!35}{68\!\cdots\!09}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!10}{36\!\cdots\!11}a+\frac{16\!\cdots\!41}{19\!\cdots\!69}$, $\frac{93\!\cdots\!15}{68\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{21\!\cdots\!40}{68\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{78\!\cdots\!50}{68\!\cdots\!09}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!10}{68\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{26\!\cdots\!85}{68\!\cdots\!09}a^{23}+\frac{64\!\cdots\!30}{68\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{48\!\cdots\!60}{68\!\cdots\!09}a^{21}-\frac{21\!\cdots\!83}{68\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{52\!\cdots\!05}{68\!\cdots\!09}a^{19}+\frac{32\!\cdots\!50}{68\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{34\!\cdots\!30}{68\!\cdots\!09}a^{17}-\frac{25\!\cdots\!70}{68\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!59}{68\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!90}{68\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{33\!\cdots\!30}{68\!\cdots\!09}a^{13}-\frac{33\!\cdots\!50}{68\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{49\!\cdots\!90}{68\!\cdots\!09}a^{11}+\frac{53\!\cdots\!82}{68\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{40\!\cdots\!10}{68\!\cdots\!09}a^{9}-\frac{49\!\cdots\!60}{68\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!35}{68\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{24\!\cdots\!40}{68\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{22\!\cdots\!82}{68\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{58\!\cdots\!30}{68\!\cdots\!09}a^{4}-\frac{31\!\cdots\!60}{68\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{53\!\cdots\!50}{68\!\cdots\!09}a^{2}+\frac{45\!\cdots\!10}{36\!\cdots\!11}a+\frac{55\!\cdots\!28}{19\!\cdots\!69}$, $\frac{10\!\cdots\!90}{68\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{97\!\cdots\!30}{68\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{86\!\cdots\!34}{68\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{31\!\cdots\!90}{36\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{29\!\cdots\!35}{68\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!85}{68\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{54\!\cdots\!40}{68\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!66}{68\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{58\!\cdots\!45}{68\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!85}{36\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{39\!\cdots\!05}{68\!\cdots\!09}a^{17}-\frac{34\!\cdots\!20}{68\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!92}{68\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{97\!\cdots\!80}{19\!\cdots\!69}a^{14}-\frac{44\!\cdots\!90}{68\!\cdots\!09}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!10}{68\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{74\!\cdots\!65}{68\!\cdots\!09}a^{11}+\frac{28\!\cdots\!64}{68\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{74\!\cdots\!35}{68\!\cdots\!09}a^{9}-\frac{32\!\cdots\!90}{68\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{41\!\cdots\!10}{68\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{20\!\cdots\!70}{68\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!32}{68\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{32\!\cdots\!20}{36\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{84\!\cdots\!25}{68\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{70\!\cdots\!55}{68\!\cdots\!09}a^{2}+\frac{46\!\cdots\!90}{36\!\cdots\!11}a+\frac{47\!\cdots\!60}{19\!\cdots\!69}$, $\frac{16\!\cdots\!34}{68\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{61\!\cdots\!71}{68\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{14\!\cdots\!03}{68\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{16\!\cdots\!19}{68\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{50\!\cdots\!26}{68\!\cdots\!09}a^{23}+\frac{54\!\cdots\!22}{68\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{96\!\cdots\!00}{68\!\cdots\!09}a^{21}-\frac{29\!\cdots\!74}{68\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!26}{68\!\cdots\!09}a^{19}+\frac{52\!\cdots\!11}{68\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{77\!\cdots\!50}{68\!\cdots\!09}a^{17}-\frac{47\!\cdots\!30}{68\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{34\!\cdots\!97}{68\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{25\!\cdots\!85}{68\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!25}{68\!\cdots\!09}a^{13}-\frac{85\!\cdots\!75}{68\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{17\!\cdots\!11}{68\!\cdots\!09}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!30}{68\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!46}{68\!\cdots\!09}a^{9}-\frac{21\!\cdots\!06}{68\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!48}{68\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!87}{68\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{27\!\cdots\!51}{68\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{49\!\cdots\!34}{68\!\cdots\!09}a^{4}-\frac{79\!\cdots\!02}{68\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{62\!\cdots\!06}{68\!\cdots\!09}a^{2}+\frac{49\!\cdots\!27}{36\!\cdots\!11}a+\frac{55\!\cdots\!78}{19\!\cdots\!69}$, $\frac{39\!\cdots\!81}{68\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{16\!\cdots\!59}{68\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{33\!\cdots\!50}{68\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{56\!\cdots\!46}{68\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!69}{68\!\cdots\!09}a^{23}+\frac{18\!\cdots\!98}{19\!\cdots\!69}a^{22}-\frac{20\!\cdots\!65}{68\!\cdots\!09}a^{21}-\frac{53\!\cdots\!28}{68\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{21\!\cdots\!99}{68\!\cdots\!09}a^{19}+\frac{96\!\cdots\!59}{68\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!50}{68\!\cdots\!09}a^{17}-\frac{83\!\cdots\!30}{68\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{57\!\cdots\!87}{68\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{40\!\cdots\!80}{68\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!15}{68\!\cdots\!09}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!95}{68\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!44}{68\!\cdots\!09}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!93}{68\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!89}{68\!\cdots\!09}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!19}{68\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{75\!\cdots\!42}{68\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{84\!\cdots\!23}{68\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!43}{68\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!76}{68\!\cdots\!09}a^{4}-\frac{44\!\cdots\!68}{68\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!39}{68\!\cdots\!09}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!58}{36\!\cdots\!11}a+\frac{20\!\cdots\!66}{19\!\cdots\!69}$, $\frac{78\!\cdots\!50}{35\!\cdots\!81}a^{27}+\frac{26\!\cdots\!23}{35\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{66\!\cdots\!42}{35\!\cdots\!81}a^{25}-\frac{38\!\cdots\!92}{35\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{22\!\cdots\!69}{35\!\cdots\!81}a^{23}+\frac{18\!\cdots\!21}{35\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{41\!\cdots\!33}{35\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{41\!\cdots\!15}{35\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{45\!\cdots\!78}{35\!\cdots\!81}a^{19}+\frac{51\!\cdots\!50}{35\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{29\!\cdots\!17}{35\!\cdots\!81}a^{17}-\frac{37\!\cdots\!86}{35\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!46}{35\!\cdots\!81}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!41}{35\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{27\!\cdots\!08}{35\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{23\!\cdots\!87}{18\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{38\!\cdots\!49}{35\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{69\!\cdots\!39}{35\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{27\!\cdots\!61}{35\!\cdots\!81}a^{9}-\frac{62\!\cdots\!84}{35\!\cdots\!81}a^{8}+\frac{75\!\cdots\!67}{35\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{30\!\cdots\!13}{35\!\cdots\!81}a^{6}+\frac{89\!\cdots\!28}{35\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{72\!\cdots\!33}{35\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{83\!\cdots\!96}{35\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{65\!\cdots\!19}{35\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{60\!\cdots\!73}{18\!\cdots\!99}a+\frac{60\!\cdots\!35}{97\!\cdots\!21}$, $\frac{65\!\cdots\!04}{35\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{29\!\cdots\!71}{35\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{55\!\cdots\!12}{35\!\cdots\!81}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!92}{35\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!30}{35\!\cdots\!81}a^{23}+\frac{76\!\cdots\!07}{35\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{34\!\cdots\!43}{35\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{84\!\cdots\!09}{35\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{37\!\cdots\!66}{35\!\cdots\!81}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!04}{35\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{24\!\cdots\!17}{35\!\cdots\!81}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!26}{35\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{99\!\cdots\!66}{35\!\cdots\!81}a^{15}+\frac{67\!\cdots\!43}{35\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{24\!\cdots\!48}{35\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{19\!\cdots\!30}{35\!\cdots\!81}a^{12}+\frac{37\!\cdots\!10}{35\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{32\!\cdots\!21}{35\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{32\!\cdots\!25}{35\!\cdots\!81}a^{9}-\frac{31\!\cdots\!57}{35\!\cdots\!81}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!29}{35\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!97}{35\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{28\!\cdots\!18}{35\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{41\!\cdots\!18}{35\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{68\!\cdots\!58}{35\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{41\!\cdots\!21}{35\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{32\!\cdots\!60}{18\!\cdots\!99}a+\frac{16\!\cdots\!02}{97\!\cdots\!21}$, $\frac{26\!\cdots\!40}{35\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{13\!\cdots\!29}{35\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{22\!\cdots\!25}{35\!\cdots\!81}a^{25}+\frac{28\!\cdots\!37}{18\!\cdots\!99}a^{24}+\frac{76\!\cdots\!85}{35\!\cdots\!81}a^{23}-\frac{77\!\cdots\!54}{35\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!09}{35\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{26\!\cdots\!53}{35\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!16}{35\!\cdots\!81}a^{19}+\frac{28\!\cdots\!18}{18\!\cdots\!99}a^{18}-\frac{98\!\cdots\!56}{35\!\cdots\!81}a^{17}-\frac{49\!\cdots\!30}{35\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{39\!\cdots\!32}{35\!\cdots\!81}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!59}{18\!\cdots\!99}a^{14}-\frac{97\!\cdots\!71}{35\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{68\!\cdots\!83}{35\!\cdots\!81}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!97}{35\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!66}{35\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!20}{35\!\cdots\!81}a^{9}-\frac{97\!\cdots\!35}{35\!\cdots\!81}a^{8}+\frac{55\!\cdots\!69}{35\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{44\!\cdots\!17}{35\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!98}{35\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{50\!\cdots\!40}{18\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{54\!\cdots\!36}{35\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{72\!\cdots\!82}{35\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{44\!\cdots\!47}{18\!\cdots\!99}a+\frac{50\!\cdots\!98}{97\!\cdots\!21}$, $\frac{11\!\cdots\!28}{35\!\cdots\!81}a^{27}+\frac{34\!\cdots\!23}{35\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{49\!\cdots\!04}{18\!\cdots\!99}a^{25}-\frac{26\!\cdots\!48}{35\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{32\!\cdots\!60}{35\!\cdots\!81}a^{23}+\frac{16\!\cdots\!83}{35\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{58\!\cdots\!75}{35\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{40\!\cdots\!09}{35\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{63\!\cdots\!02}{35\!\cdots\!81}a^{19}+\frac{54\!\cdots\!24}{35\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{41\!\cdots\!91}{35\!\cdots\!81}a^{17}-\frac{41\!\cdots\!48}{35\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!06}{35\!\cdots\!81}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!37}{35\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{39\!\cdots\!50}{35\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{50\!\cdots\!52}{35\!\cdots\!81}a^{12}+\frac{56\!\cdots\!90}{35\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{81\!\cdots\!75}{35\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{42\!\cdots\!33}{35\!\cdots\!81}a^{9}-\frac{74\!\cdots\!56}{35\!\cdots\!81}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!47}{35\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{37\!\cdots\!53}{35\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{83\!\cdots\!92}{35\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{91\!\cdots\!39}{35\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!84}{35\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{84\!\cdots\!49}{35\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{87\!\cdots\!18}{18\!\cdots\!99}a+\frac{15\!\cdots\!67}{97\!\cdots\!21}$, $\frac{26\!\cdots\!43}{35\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{15\!\cdots\!37}{18\!\cdots\!99}a^{26}-\frac{21\!\cdots\!09}{35\!\cdots\!81}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!11}{35\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{73\!\cdots\!49}{35\!\cdots\!81}a^{23}-\frac{44\!\cdots\!08}{35\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!78}{35\!\cdots\!81}a^{21}+\frac{52\!\cdots\!96}{35\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!27}{35\!\cdots\!81}a^{19}-\frac{28\!\cdots\!29}{35\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{92\!\cdots\!13}{35\!\cdots\!81}a^{17}+\frac{31\!\cdots\!26}{35\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{37\!\cdots\!59}{35\!\cdots\!81}a^{15}+\frac{40\!\cdots\!84}{35\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{95\!\cdots\!53}{35\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{21\!\cdots\!28}{35\!\cdots\!81}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!09}{35\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{47\!\cdots\!50}{35\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!90}{35\!\cdots\!81}a^{9}-\frac{54\!\cdots\!04}{35\!\cdots\!81}a^{8}+\frac{65\!\cdots\!72}{35\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!02}{18\!\cdots\!99}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!22}{35\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!38}{35\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{65\!\cdots\!18}{35\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!55}{35\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{91\!\cdots\!91}{18\!\cdots\!99}a+\frac{11\!\cdots\!70}{97\!\cdots\!21}$, $\frac{41\!\cdots\!38}{35\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{66\!\cdots\!60}{35\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{34\!\cdots\!56}{35\!\cdots\!81}a^{25}-\frac{31\!\cdots\!53}{35\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!98}{35\!\cdots\!81}a^{23}+\frac{37\!\cdots\!24}{35\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{21\!\cdots\!44}{35\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!60}{35\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{23\!\cdots\!92}{35\!\cdots\!81}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!86}{35\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!22}{35\!\cdots\!81}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!21}{35\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{60\!\cdots\!95}{35\!\cdots\!81}a^{15}+\frac{58\!\cdots\!80}{35\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!17}{35\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!55}{35\!\cdots\!81}a^{12}+\frac{21\!\cdots\!29}{35\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{25\!\cdots\!97}{35\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!62}{35\!\cdots\!81}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!55}{35\!\cdots\!81}a^{8}+\frac{62\!\cdots\!95}{35\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!87}{35\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{58\!\cdots\!49}{35\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!14}{35\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{21\!\cdots\!68}{35\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{24\!\cdots\!91}{35\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!85}{18\!\cdots\!99}a+\frac{37\!\cdots\!15}{97\!\cdots\!21}$, $\frac{94\!\cdots\!81}{35\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{25\!\cdots\!93}{35\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{79\!\cdots\!23}{35\!\cdots\!81}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!29}{35\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{26\!\cdots\!30}{35\!\cdots\!81}a^{23}+\frac{56\!\cdots\!49}{35\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{49\!\cdots\!53}{35\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{20\!\cdots\!99}{35\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{52\!\cdots\!67}{35\!\cdots\!81}a^{19}+\frac{30\!\cdots\!89}{35\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{34\!\cdots\!05}{35\!\cdots\!81}a^{17}-\frac{25\!\cdots\!99}{35\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!27}{35\!\cdots\!81}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!17}{35\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{34\!\cdots\!01}{35\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{33\!\cdots\!07}{35\!\cdots\!81}a^{12}+\frac{50\!\cdots\!09}{35\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{53\!\cdots\!43}{35\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{40\!\cdots\!94}{35\!\cdots\!81}a^{9}-\frac{49\!\cdots\!58}{35\!\cdots\!81}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!86}{35\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{24\!\cdots\!74}{35\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!20}{35\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{61\!\cdots\!61}{35\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!35}{18\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{57\!\cdots\!67}{35\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{45\!\cdots\!36}{18\!\cdots\!99}a+\frac{50\!\cdots\!25}{97\!\cdots\!21}$, $\frac{11\!\cdots\!58}{35\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{36\!\cdots\!53}{35\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{99\!\cdots\!60}{35\!\cdots\!81}a^{25}-\frac{21\!\cdots\!26}{35\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{34\!\cdots\!80}{35\!\cdots\!81}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!43}{35\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{62\!\cdots\!07}{35\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{39\!\cdots\!71}{35\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{67\!\cdots\!50}{35\!\cdots\!81}a^{19}+\frac{53\!\cdots\!56}{35\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{44\!\cdots\!55}{35\!\cdots\!81}a^{17}-\frac{41\!\cdots\!21}{35\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!60}{35\!\cdots\!81}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!75}{35\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{44\!\cdots\!62}{35\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{51\!\cdots\!58}{35\!\cdots\!81}a^{12}+\frac{66\!\cdots\!26}{35\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{83\!\cdots\!81}{35\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{55\!\cdots\!69}{35\!\cdots\!81}a^{9}-\frac{78\!\cdots\!98}{35\!\cdots\!81}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!39}{35\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{39\!\cdots\!49}{35\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{32\!\cdots\!38}{35\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!10}{35\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{56\!\cdots\!66}{35\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{98\!\cdots\!41}{35\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{81\!\cdots\!80}{18\!\cdots\!99}a+\frac{86\!\cdots\!61}{97\!\cdots\!21}$, $\frac{88\!\cdots\!23}{35\!\cdots\!81}a^{27}+\frac{10\!\cdots\!58}{35\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{39\!\cdots\!94}{18\!\cdots\!99}a^{25}-\frac{27\!\cdots\!48}{35\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{25\!\cdots\!28}{35\!\cdots\!81}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!05}{35\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{46\!\cdots\!14}{35\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{36\!\cdots\!72}{35\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{50\!\cdots\!52}{35\!\cdots\!81}a^{19}+\frac{47\!\cdots\!11}{35\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{32\!\cdots\!32}{35\!\cdots\!81}a^{17}-\frac{35\!\cdots\!79}{35\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!67}{35\!\cdots\!81}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!11}{35\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{31\!\cdots\!63}{35\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{42\!\cdots\!43}{35\!\cdots\!81}a^{12}+\frac{44\!\cdots\!78}{35\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{67\!\cdots\!63}{35\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{33\!\cdots\!07}{35\!\cdots\!81}a^{9}-\frac{60\!\cdots\!93}{35\!\cdots\!81}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!21}{35\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{29\!\cdots\!39}{35\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!94}{35\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{70\!\cdots\!42}{35\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{74\!\cdots\!44}{35\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{62\!\cdots\!50}{35\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{61\!\cdots\!06}{18\!\cdots\!99}a+\frac{10\!\cdots\!18}{97\!\cdots\!21}$, $\frac{55\!\cdots\!70}{35\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{14\!\cdots\!45}{35\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{46\!\cdots\!75}{35\!\cdots\!81}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!27}{35\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!56}{35\!\cdots\!81}a^{23}+\frac{74\!\cdots\!69}{35\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{29\!\cdots\!22}{35\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{19\!\cdots\!52}{35\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{31\!\cdots\!92}{35\!\cdots\!81}a^{19}+\frac{25\!\cdots\!43}{35\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!21}{35\!\cdots\!81}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!10}{35\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{82\!\cdots\!71}{35\!\cdots\!81}a^{15}+\frac{89\!\cdots\!50}{35\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{20\!\cdots\!10}{35\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{24\!\cdots\!14}{35\!\cdots\!81}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!24}{18\!\cdots\!99}a^{11}+\frac{38\!\cdots\!12}{35\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!57}{18\!\cdots\!99}a^{9}-\frac{34\!\cdots\!71}{35\!\cdots\!81}a^{8}+\frac{90\!\cdots\!88}{35\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!31}{35\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!96}{35\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{40\!\cdots\!73}{35\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{26\!\cdots\!41}{35\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{38\!\cdots\!89}{35\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{32\!\cdots\!58}{18\!\cdots\!99}a+\frac{38\!\cdots\!79}{97\!\cdots\!21}$, $\frac{18\!\cdots\!06}{35\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{13\!\cdots\!84}{35\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{15\!\cdots\!36}{35\!\cdots\!81}a^{25}+\frac{75\!\cdots\!55}{35\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{52\!\cdots\!62}{35\!\cdots\!81}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!36}{35\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{97\!\cdots\!75}{35\!\cdots\!81}a^{21}+\frac{53\!\cdots\!57}{35\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!38}{35\!\cdots\!81}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!38}{35\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{73\!\cdots\!84}{35\!\cdots\!81}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!44}{35\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{31\!\cdots\!35}{35\!\cdots\!81}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!80}{35\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{85\!\cdots\!73}{35\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{42\!\cdots\!87}{35\!\cdots\!81}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!73}{35\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{83\!\cdots\!00}{35\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!31}{35\!\cdots\!81}a^{9}-\frac{95\!\cdots\!89}{35\!\cdots\!81}a^{8}+\frac{84\!\cdots\!71}{35\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{60\!\cdots\!97}{35\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{22\!\cdots\!52}{35\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!20}{35\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!74}{35\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{22\!\cdots\!65}{35\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!45}{18\!\cdots\!99}a+\frac{19\!\cdots\!88}{97\!\cdots\!21}$, $\frac{14\!\cdots\!62}{35\!\cdots\!81}a^{27}+\frac{24\!\cdots\!59}{35\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!37}{35\!\cdots\!81}a^{25}-\frac{23\!\cdots\!93}{35\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{42\!\cdots\!12}{35\!\cdots\!81}a^{23}+\frac{88\!\cdots\!51}{35\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{78\!\cdots\!06}{35\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!63}{35\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{84\!\cdots\!07}{35\!\cdots\!81}a^{19}+\frac{19\!\cdots\!84}{35\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{54\!\cdots\!68}{35\!\cdots\!81}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!98}{35\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!68}{35\!\cdots\!81}a^{15}+\frac{57\!\cdots\!76}{35\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{45\!\cdots\!35}{35\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!52}{35\!\cdots\!81}a^{12}+\frac{51\!\cdots\!98}{35\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{22\!\cdots\!36}{35\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!86}{35\!\cdots\!81}a^{9}-\frac{19\!\cdots\!85}{35\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!63}{35\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{91\!\cdots\!55}{35\!\cdots\!81}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!55}{35\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!91}{35\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{38\!\cdots\!22}{35\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!70}{35\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!80}{18\!\cdots\!99}a+\frac{25\!\cdots\!37}{97\!\cdots\!21}$, $\frac{83\!\cdots\!16}{35\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{11\!\cdots\!64}{35\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{70\!\cdots\!37}{35\!\cdots\!81}a^{25}-\frac{79\!\cdots\!50}{35\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{23\!\cdots\!52}{35\!\cdots\!81}a^{23}+\frac{80\!\cdots\!00}{35\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{43\!\cdots\!39}{35\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{23\!\cdots\!83}{35\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{46\!\cdots\!55}{35\!\cdots\!81}a^{19}+\frac{32\!\cdots\!40}{35\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{30\!\cdots\!68}{35\!\cdots\!81}a^{17}-\frac{25\!\cdots\!46}{35\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!79}{35\!\cdots\!81}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!57}{35\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!77}{35\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{31\!\cdots\!72}{35\!\cdots\!81}a^{12}+\frac{42\!\cdots\!16}{35\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{50\!\cdots\!76}{35\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{33\!\cdots\!26}{35\!\cdots\!81}a^{9}-\frac{44\!\cdots\!71}{35\!\cdots\!81}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!89}{35\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{20\!\cdots\!30}{35\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!54}{35\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{45\!\cdots\!54}{35\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{24\!\cdots\!99}{35\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{36\!\cdots\!49}{35\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{28\!\cdots\!42}{18\!\cdots\!99}a+\frac{34\!\cdots\!62}{97\!\cdots\!21}$, $\frac{13\!\cdots\!28}{35\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{48\!\cdots\!40}{35\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!73}{35\!\cdots\!81}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!18}{35\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{39\!\cdots\!79}{35\!\cdots\!81}a^{23}+\frac{49\!\cdots\!79}{35\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{71\!\cdots\!02}{35\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{23\!\cdots\!15}{35\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{77\!\cdots\!16}{35\!\cdots\!81}a^{19}+\frac{38\!\cdots\!64}{35\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{50\!\cdots\!71}{35\!\cdots\!81}a^{17}-\frac{32\!\cdots\!46}{35\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!25}{35\!\cdots\!81}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!48}{35\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{51\!\cdots\!42}{35\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{44\!\cdots\!03}{35\!\cdots\!81}a^{12}+\frac{77\!\cdots\!61}{35\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{74\!\cdots\!12}{35\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{67\!\cdots\!73}{35\!\cdots\!81}a^{9}-\frac{70\!\cdots\!03}{35\!\cdots\!81}a^{8}+\frac{30\!\cdots\!53}{35\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{36\!\cdots\!89}{35\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{52\!\cdots\!01}{35\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{93\!\cdots\!06}{35\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!05}{18\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{91\!\cdots\!03}{35\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{78\!\cdots\!54}{18\!\cdots\!99}a+\frac{12\!\cdots\!52}{97\!\cdots\!21}$, $\frac{48\!\cdots\!49}{35\!\cdots\!81}a^{27}+\frac{53\!\cdots\!78}{35\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{41\!\cdots\!10}{35\!\cdots\!81}a^{25}-\frac{75\!\cdots\!51}{18\!\cdots\!99}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!85}{35\!\cdots\!81}a^{23}+\frac{79\!\cdots\!12}{35\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{25\!\cdots\!87}{35\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{19\!\cdots\!85}{35\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{28\!\cdots\!42}{35\!\cdots\!81}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!63}{18\!\cdots\!99}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!45}{35\!\cdots\!81}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!27}{35\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{74\!\cdots\!91}{35\!\cdots\!81}a^{15}+\frac{44\!\cdots\!14}{18\!\cdots\!99}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!78}{35\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!65}{35\!\cdots\!81}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!45}{35\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{34\!\cdots\!05}{35\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!47}{35\!\cdots\!81}a^{9}-\frac{30\!\cdots\!68}{35\!\cdots\!81}a^{8}+\frac{87\!\cdots\!74}{35\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!42}{35\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!80}{35\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!45}{18\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!28}{35\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{24\!\cdots\!41}{35\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{20\!\cdots\!81}{18\!\cdots\!99}a+\frac{36\!\cdots\!00}{97\!\cdots\!21}$, $\frac{50\!\cdots\!63}{35\!\cdots\!81}a^{27}+\frac{35\!\cdots\!01}{35\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{42\!\cdots\!37}{35\!\cdots\!81}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!77}{35\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!89}{35\!\cdots\!81}a^{23}+\frac{77\!\cdots\!92}{35\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{26\!\cdots\!33}{35\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{19\!\cdots\!16}{35\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{28\!\cdots\!80}{35\!\cdots\!81}a^{19}+\frac{25\!\cdots\!62}{35\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!69}{35\!\cdots\!81}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!72}{35\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{75\!\cdots\!06}{35\!\cdots\!81}a^{15}+\frac{85\!\cdots\!26}{35\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!72}{35\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{23\!\cdots\!64}{35\!\cdots\!81}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!19}{35\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{36\!\cdots\!77}{35\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!25}{35\!\cdots\!81}a^{9}-\frac{33\!\cdots\!76}{35\!\cdots\!81}a^{8}+\frac{80\!\cdots\!09}{35\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!41}{35\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{84\!\cdots\!02}{35\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{39\!\cdots\!61}{35\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{28\!\cdots\!28}{35\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{37\!\cdots\!67}{35\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{32\!\cdots\!15}{18\!\cdots\!99}a+\frac{28\!\cdots\!18}{97\!\cdots\!21}$, $\frac{51\!\cdots\!87}{35\!\cdots\!81}a^{27}+\frac{43\!\cdots\!48}{35\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{43\!\cdots\!86}{35\!\cdots\!81}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!68}{35\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!79}{35\!\cdots\!81}a^{23}+\frac{83\!\cdots\!27}{35\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{26\!\cdots\!84}{35\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{20\!\cdots\!43}{35\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!88}{18\!\cdots\!99}a^{19}+\frac{27\!\cdots\!45}{35\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!99}{35\!\cdots\!81}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!59}{35\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{37\!\cdots\!85}{18\!\cdots\!99}a^{15}+\frac{91\!\cdots\!55}{35\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!99}{35\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{24\!\cdots\!54}{35\!\cdots\!81}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!34}{35\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{20\!\cdots\!66}{18\!\cdots\!99}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!26}{35\!\cdots\!81}a^{9}-\frac{33\!\cdots\!55}{35\!\cdots\!81}a^{8}+\frac{36\!\cdots\!49}{35\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!00}{35\!\cdots\!81}a^{6}+\frac{24\!\cdots\!94}{35\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{36\!\cdots\!34}{35\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{87\!\cdots\!35}{35\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{30\!\cdots\!75}{35\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{45\!\cdots\!32}{18\!\cdots\!99}a+\frac{71\!\cdots\!90}{97\!\cdots\!21}$, $\frac{39\!\cdots\!82}{35\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{73\!\cdots\!50}{35\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{32\!\cdots\!21}{35\!\cdots\!81}a^{25}+\frac{52\!\cdots\!82}{35\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!76}{35\!\cdots\!81}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!25}{35\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{19\!\cdots\!28}{35\!\cdots\!81}a^{21}+\frac{23\!\cdots\!62}{35\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{21\!\cdots\!30}{35\!\cdots\!81}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!59}{35\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!84}{35\!\cdots\!81}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!62}{35\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{63\!\cdots\!58}{35\!\cdots\!81}a^{15}-\frac{34\!\cdots\!93}{35\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!63}{35\!\cdots\!81}a^{13}+\frac{63\!\cdots\!52}{35\!\cdots\!81}a^{12}+\frac{30\!\cdots\!56}{35\!\cdots\!81}a^{11}-\frac{54\!\cdots\!54}{35\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{33\!\cdots\!36}{35\!\cdots\!81}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!68}{35\!\cdots\!81}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!63}{35\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{30\!\cdots\!35}{35\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{62\!\cdots\!27}{35\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!98}{35\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{61\!\cdots\!99}{35\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{30\!\cdots\!44}{35\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!24}{18\!\cdots\!99}a+\frac{20\!\cdots\!95}{97\!\cdots\!21}$, $\frac{21\!\cdots\!17}{35\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{15\!\cdots\!28}{35\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!80}{35\!\cdots\!81}a^{25}+\frac{87\!\cdots\!68}{35\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{60\!\cdots\!35}{35\!\cdots\!81}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!83}{35\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!39}{35\!\cdots\!81}a^{21}+\frac{49\!\cdots\!56}{35\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!52}{35\!\cdots\!81}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!53}{35\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{75\!\cdots\!09}{35\!\cdots\!81}a^{17}-\frac{21\!\cdots\!53}{35\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{30\!\cdots\!56}{35\!\cdots\!81}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!97}{35\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{74\!\cdots\!54}{35\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{38\!\cdots\!58}{35\!\cdots\!81}a^{12}+\frac{57\!\cdots\!91}{18\!\cdots\!99}a^{11}+\frac{64\!\cdots\!77}{35\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{47\!\cdots\!14}{18\!\cdots\!99}a^{9}-\frac{59\!\cdots\!98}{35\!\cdots\!81}a^{8}+\frac{39\!\cdots\!37}{35\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{28\!\cdots\!84}{35\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{73\!\cdots\!91}{35\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{65\!\cdots\!42}{35\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!28}{35\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{55\!\cdots\!03}{35\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{40\!\cdots\!47}{18\!\cdots\!99}a+\frac{46\!\cdots\!04}{97\!\cdots\!21}$, $\frac{29\!\cdots\!65}{35\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{14\!\cdots\!14}{35\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{24\!\cdots\!39}{35\!\cdots\!81}a^{25}+\frac{54\!\cdots\!89}{35\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{84\!\cdots\!21}{35\!\cdots\!81}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!73}{35\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!26}{35\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{33\!\cdots\!46}{35\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!59}{35\!\cdots\!81}a^{19}+\frac{65\!\cdots\!54}{35\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!95}{35\!\cdots\!81}a^{17}-\frac{59\!\cdots\!09}{35\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{43\!\cdots\!47}{35\!\cdots\!81}a^{15}+\frac{29\!\cdots\!02}{35\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!61}{35\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{83\!\cdots\!24}{35\!\cdots\!81}a^{12}+\frac{84\!\cdots\!37}{18\!\cdots\!99}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!63}{35\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{71\!\cdots\!05}{18\!\cdots\!99}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!02}{35\!\cdots\!81}a^{8}+\frac{59\!\cdots\!83}{35\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{65\!\cdots\!67}{35\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!94}{35\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!70}{35\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!09}{35\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!24}{35\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!99}a-\frac{37\!\cdots\!85}{97\!\cdots\!21}$ Copy content Toggle raw display (assuming GRH)
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
 
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
 
Regulator:  \( 98168811512269490000 \) (assuming GRH)
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 
oscar: regulator(K)
 

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{28}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 98168811512269490000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{857574960063654015836849375042748140931725025177001953125}}\cr\approx \mathstrut & 0.449932505734670 \end{aligned}\] (assuming GRH)

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
 
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^28 - 84*x^26 - 21*x^25 + 2870*x^24 + 1365*x^23 - 52311*x^22 - 35384*x^21 + 558551*x^20 + 476021*x^19 - 3616123*x^18 - 3640098*x^17 + 14278698*x^16 + 16439787*x^15 - 33849902*x^14 - 44286151*x^13 + 45977568*x^12 + 70220969*x^11 - 31909787*x^10 - 63232365*x^9 + 7294518*x^8 + 30363184*x^7 + 2492042*x^6 - 6990543*x^5 - 1496096*x^4 + 540274*x^3 + 194915*x^2 + 17822*x + 361)
 
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
 
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
 
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
 
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
 
K = bnfinit(x^28 - 84*x^26 - 21*x^25 + 2870*x^24 + 1365*x^23 - 52311*x^22 - 35384*x^21 + 558551*x^20 + 476021*x^19 - 3616123*x^18 - 3640098*x^17 + 14278698*x^16 + 16439787*x^15 - 33849902*x^14 - 44286151*x^13 + 45977568*x^12 + 70220969*x^11 - 31909787*x^10 - 63232365*x^9 + 7294518*x^8 + 30363184*x^7 + 2492042*x^6 - 6990543*x^5 - 1496096*x^4 + 540274*x^3 + 194915*x^2 + 17822*x + 361, 1);
 
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
 
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
 
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^28 - 84*x^26 - 21*x^25 + 2870*x^24 + 1365*x^23 - 52311*x^22 - 35384*x^21 + 558551*x^20 + 476021*x^19 - 3616123*x^18 - 3640098*x^17 + 14278698*x^16 + 16439787*x^15 - 33849902*x^14 - 44286151*x^13 + 45977568*x^12 + 70220969*x^11 - 31909787*x^10 - 63232365*x^9 + 7294518*x^8 + 30363184*x^7 + 2492042*x^6 - 6990543*x^5 - 1496096*x^4 + 540274*x^3 + 194915*x^2 + 17822*x + 361);
 
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
 
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
 
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
 
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
 
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
 
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
 
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^28 - 84*x^26 - 21*x^25 + 2870*x^24 + 1365*x^23 - 52311*x^22 - 35384*x^21 + 558551*x^20 + 476021*x^19 - 3616123*x^18 - 3640098*x^17 + 14278698*x^16 + 16439787*x^15 - 33849902*x^14 - 44286151*x^13 + 45977568*x^12 + 70220969*x^11 - 31909787*x^10 - 63232365*x^9 + 7294518*x^8 + 30363184*x^7 + 2492042*x^6 - 6990543*x^5 - 1496096*x^4 + 540274*x^3 + 194915*x^2 + 17822*x + 361);
 
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
 
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
 
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
 
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
 
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
 

Galois group

$C_{28}$ (as 28T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: G = GaloisGroup(K);
 
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
 
A cyclic group of order 28
The 28 conjugacy class representatives for $C_{28}$
Character table for $C_{28}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{5}) \), 4.4.6125.1, 7.7.13841287201.1, 14.14.14967283701606751125078125.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]
 
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
 
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
 
oscar: subfields(K)[2:end-1]
 

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $28$ $28$ R R ${\href{/padicField/11.7.0.1}{7} }^{4}$ $28$ $28$ ${\href{/padicField/19.1.0.1}{1} }^{28}$ $28$ ${\href{/padicField/29.14.0.1}{14} }^{2}$ ${\href{/padicField/31.2.0.1}{2} }^{14}$ $28$ ${\href{/padicField/41.14.0.1}{14} }^{2}$ $28$ $28$ $28$ ${\href{/padicField/59.7.0.1}{7} }^{4}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
 
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
 
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
 
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
 
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
 
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
 
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
\(5\) Copy content Toggle raw display Deg $28$$4$$7$$21$
\(7\) Copy content Toggle raw display Deg $28$$14$$2$$50$