Number field 28.28.83709274472667248662717543234670163936409630856037139892578125.1

• Label: 28.28.837...125.1
• Degree: $28$
• Signature: $[28, 0]$
• Discriminant: $8.371\times 10^{61}$
• Root discriminant: \(162.75\)
• Ramified primes: $3,5,7$
• Class number: $1$ (GRH)
• Class group: trivial (GRH)
• Galois group: $C_{28}$ (as 28T1)

Normalized defining polynomial

x^28 - 7*x^27 - 91*x^26 + 623*x^25 + 3640*x^24 - 23205*x^23 - 85141*x^22 + 472657*x^21 + 1298689*x^20 - 5765676*x^19 - 13490477*x^18 + 43240799*x^17 + 95742934*x^16 - 195423844*x^15 - 451889985*x^14 + 487358557*x^13 + 1342231212*x^12 - 484759443*x^11 - 2289033110*x^10 - 289531417*x^9 + 1935821398*x^8 + 834820998*x^7 - 668407222*x^6 - 463370698*x^5 + 34038536*x^4 + 68490877*x^3 + 8311506*x^2 - 1013901*x - 63209

Invariants

Degree:		$28$
Signature:		$[28, 0]$
Discriminant:		\(83709274472667248662717543234670163936409630856037139892578125\) \(\medspace = 3^{14}\cdot 5^{21}\cdot 7^{48}\)
Root discriminant:		\(162.75\)
Galois root discriminant:		$3^{1/2}5^{3/4}7^{12/7}\approx 162.7524847850728$
Ramified primes:		\(3\), \(5\), \(7\)
Discriminant root field:		\(\Q(\sqrt{5}) \)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:		$28$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:		\(735=3\cdot 5\cdot 7^{2}\)
Dirichlet character group:		$\lbrace$$\chi_{735}(512,·)$, $\chi_{735}(1,·)$, $\chi_{735}(323,·)$, $\chi_{735}(197,·)$, $\chi_{735}(64,·)$, $\chi_{735}(8,·)$, $\chi_{735}(631,·)$, $\chi_{735}(589,·)$, $\chi_{735}(526,·)$, $\chi_{735}(274,·)$, $\chi_{735}(211,·)$, $\chi_{735}(533,·)$, $\chi_{735}(407,·)$, $\chi_{735}(218,·)$, $\chi_{735}(92,·)$, $\chi_{735}(484,·)$, $\chi_{735}(421,·)$, $\chi_{735}(169,·)$, $\chi_{735}(106,·)$, $\chi_{735}(428,·)$, $\chi_{735}(722,·)$, $\chi_{735}(302,·)$, $\chi_{735}(113,·)$, $\chi_{735}(694,·)$, $\chi_{735}(617,·)$, $\chi_{735}(379,·)$, $\chi_{735}(316,·)$, $\chi_{735}(638,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $\frac{1}{31}a^{20}+\frac{10}{31}a^{19}+\frac{7}{31}a^{18}+\frac{6}{31}a^{17}-\frac{11}{31}a^{16}-\frac{3}{31}a^{15}+\frac{5}{31}a^{14}+\frac{12}{31}a^{13}-\frac{3}{31}a^{12}-\frac{4}{31}a^{11}-\frac{1}{31}a^{10}+\frac{15}{31}a^{9}-\frac{6}{31}a^{8}+\frac{9}{31}a^{7}-\frac{11}{31}a^{6}+\frac{6}{31}a^{4}-\frac{4}{31}a^{3}-\frac{1}{31}a^{2}+\frac{7}{31}a$, $\frac{1}{31}a^{21}-\frac{2}{31}a^{18}-\frac{9}{31}a^{17}+\frac{14}{31}a^{16}+\frac{4}{31}a^{15}-\frac{7}{31}a^{14}+\frac{1}{31}a^{13}-\frac{5}{31}a^{12}+\frac{8}{31}a^{11}-\frac{6}{31}a^{10}-\frac{1}{31}a^{9}+\frac{7}{31}a^{8}-\frac{8}{31}a^{7}-\frac{14}{31}a^{6}+\frac{6}{31}a^{5}-\frac{2}{31}a^{4}+\frac{8}{31}a^{3}-\frac{14}{31}a^{2}-\frac{8}{31}a$, $\frac{1}{31}a^{22}-\frac{2}{31}a^{19}-\frac{9}{31}a^{18}+\frac{14}{31}a^{17}+\frac{4}{31}a^{16}-\frac{7}{31}a^{15}+\frac{1}{31}a^{14}-\frac{5}{31}a^{13}+\frac{8}{31}a^{12}-\frac{6}{31}a^{11}-\frac{1}{31}a^{10}+\frac{7}{31}a^{9}-\frac{8}{31}a^{8}-\frac{14}{31}a^{7}+\frac{6}{31}a^{6}-\frac{2}{31}a^{5}+\frac{8}{31}a^{4}-\frac{14}{31}a^{3}-\frac{8}{31}a^{2}$, $\frac{1}{31}a^{23}+\frac{11}{31}a^{19}-\frac{3}{31}a^{18}-\frac{15}{31}a^{17}+\frac{2}{31}a^{16}-\frac{5}{31}a^{15}+\frac{5}{31}a^{14}+\frac{1}{31}a^{13}-\frac{12}{31}a^{12}-\frac{9}{31}a^{11}+\frac{5}{31}a^{10}-\frac{9}{31}a^{9}+\frac{5}{31}a^{8}-\frac{7}{31}a^{7}+\frac{7}{31}a^{6}+\frac{8}{31}a^{5}-\frac{2}{31}a^{4}+\frac{15}{31}a^{3}-\frac{2}{31}a^{2}+\frac{14}{31}a$, $\frac{1}{589}a^{24}+\frac{9}{589}a^{22}-\frac{8}{589}a^{21}+\frac{2}{589}a^{20}+\frac{106}{589}a^{19}+\frac{12}{589}a^{18}-\frac{226}{589}a^{17}+\frac{235}{589}a^{16}-\frac{32}{589}a^{15}+\frac{269}{589}a^{14}+\frac{261}{589}a^{13}+\frac{6}{589}a^{12}+\frac{47}{589}a^{11}+\frac{8}{589}a^{10}-\frac{8}{31}a^{9}-\frac{1}{31}a^{8}-\frac{136}{589}a^{7}-\frac{192}{589}a^{6}+\frac{149}{589}a^{5}-\frac{44}{589}a^{4}+\frac{13}{31}a^{3}+\frac{63}{589}a^{2}+\frac{125}{589}a+\frac{3}{19}$, $\frac{1}{589}a^{25}+\frac{9}{589}a^{23}-\frac{8}{589}a^{22}+\frac{2}{589}a^{21}-\frac{8}{589}a^{20}+\frac{50}{589}a^{19}+\frac{154}{589}a^{18}+\frac{140}{589}a^{17}+\frac{44}{589}a^{16}+\frac{22}{589}a^{15}+\frac{280}{589}a^{14}-\frac{184}{589}a^{13}-\frac{200}{589}a^{12}-\frac{125}{589}a^{11}-\frac{2}{31}a^{10}+\frac{2}{31}a^{9}-\frac{41}{589}a^{8}-\frac{40}{589}a^{7}+\frac{225}{589}a^{6}-\frac{44}{589}a^{5}+\frac{8}{31}a^{4}-\frac{70}{589}a^{3}+\frac{239}{589}a^{2}-\frac{116}{589}a$, $\frac{1}{18259}a^{26}+\frac{12}{18259}a^{25}+\frac{8}{18259}a^{24}+\frac{157}{18259}a^{23}+\frac{11}{18259}a^{22}-\frac{128}{18259}a^{21}+\frac{9}{18259}a^{20}-\frac{4862}{18259}a^{19}+\frac{140}{961}a^{18}-\frac{311}{18259}a^{17}-\frac{7760}{18259}a^{16}-\frac{1875}{18259}a^{15}+\frac{462}{961}a^{14}-\frac{5006}{18259}a^{13}-\frac{7604}{18259}a^{12}-\frac{3637}{18259}a^{11}-\frac{7646}{18259}a^{10}+\frac{1270}{18259}a^{9}+\frac{300}{961}a^{8}-\frac{8042}{18259}a^{7}+\frac{3665}{18259}a^{6}-\frac{115}{589}a^{5}-\frac{2648}{18259}a^{4}+\frac{8747}{18259}a^{3}-\frac{2745}{18259}a^{2}-\frac{1460}{18259}a+\frac{206}{589}$, $\frac{1}{23\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{22\!\cdots\!01}{23\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{14\!\cdots\!08}{23\!\cdots\!09}a^{25}-\frac{72\!\cdots\!11}{23\!\cdots\!09}a^{24}-\frac{23\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{28\!\cdots\!63}{39\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{73\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!09}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!25}{23\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!62}{23\!\cdots\!09}a^{19}+\frac{95\!\cdots\!12}{23\!\cdots\!09}a^{18}+\frac{99\!\cdots\!46}{23\!\cdots\!09}a^{17}-\frac{51\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{82\!\cdots\!19}{23\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{69\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{63\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{44\!\cdots\!26}{12\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{21\!\cdots\!78}{23\!\cdots\!09}a^{11}+\frac{67\!\cdots\!94}{23\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{60\!\cdots\!82}{23\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{97\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!44}{23\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{68\!\cdots\!87}{23\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!08}{23\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!50}{23\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!68}{23\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{93\!\cdots\!66}{23\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{33\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!09}a-\frac{10\!\cdots\!65}{75\!\cdots\!39}$

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$27$
Torsion generator:		\( -1 \)  (order $2$)
Fundamental units:		$\frac{18\!\cdots\!34}{83\!\cdots\!31}a^{27}-\frac{14\!\cdots\!70}{83\!\cdots\!31}a^{26}-\frac{15\!\cdots\!59}{83\!\cdots\!31}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!49}{83\!\cdots\!31}a^{24}+\frac{55\!\cdots\!37}{83\!\cdots\!31}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!08}{26\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!69}{83\!\cdots\!31}a^{21}+\frac{97\!\cdots\!60}{83\!\cdots\!31}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!77}{83\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!39}{83\!\cdots\!31}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!01}{83\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{92\!\cdots\!47}{83\!\cdots\!31}a^{16}+\frac{92\!\cdots\!23}{83\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{44\!\cdots\!95}{83\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{42\!\cdots\!26}{83\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!07}{83\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!59}{83\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!01}{83\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{23\!\cdots\!62}{83\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!09}{83\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!39}{83\!\cdots\!31}a^{7}-\frac{42\!\cdots\!99}{83\!\cdots\!31}a^{6}-\frac{89\!\cdots\!84}{83\!\cdots\!31}a^{5}-\frac{47\!\cdots\!15}{83\!\cdots\!31}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!30}{83\!\cdots\!31}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!29}{83\!\cdots\!31}a^{2}-\frac{30\!\cdots\!83}{83\!\cdots\!31}a-\frac{41\!\cdots\!34}{26\!\cdots\!01}$, $\frac{43\!\cdots\!06}{12\!\cdots\!11}a^{27}-\frac{34\!\cdots\!15}{12\!\cdots\!11}a^{26}-\frac{36\!\cdots\!64}{12\!\cdots\!11}a^{25}+\frac{30\!\cdots\!66}{12\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!33}{12\!\cdots\!11}a^{23}-\frac{36\!\cdots\!02}{39\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{27\!\cdots\!36}{12\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{23\!\cdots\!49}{12\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{36\!\cdots\!93}{12\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{28\!\cdots\!96}{12\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{33\!\cdots\!39}{12\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!28}{12\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!28}{12\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!45}{12\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!34}{12\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{30\!\cdots\!38}{12\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{31\!\cdots\!56}{12\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{50\!\cdots\!81}{12\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{56\!\cdots\!38}{12\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{38\!\cdots\!01}{12\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{51\!\cdots\!76}{12\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!06}{12\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!00}{12\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!35}{12\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{29\!\cdots\!35}{12\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{42\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{57\!\cdots\!21}{12\!\cdots\!11}a-\frac{67\!\cdots\!44}{39\!\cdots\!81}$, $\frac{99\!\cdots\!82}{12\!\cdots\!11}a^{27}-\frac{80\!\cdots\!28}{12\!\cdots\!11}a^{26}-\frac{82\!\cdots\!44}{12\!\cdots\!11}a^{25}+\frac{70\!\cdots\!66}{12\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{28\!\cdots\!77}{12\!\cdots\!11}a^{23}-\frac{84\!\cdots\!44}{39\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{57\!\cdots\!05}{12\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{53\!\cdots\!24}{12\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{74\!\cdots\!12}{12\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{65\!\cdots\!88}{12\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{67\!\cdots\!09}{12\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{50\!\cdots\!95}{12\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{43\!\cdots\!45}{12\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{23\!\cdots\!62}{12\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{20\!\cdots\!23}{12\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{69\!\cdots\!64}{12\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{62\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!93}{12\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!70}{12\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{86\!\cdots\!81}{12\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{22\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{45\!\cdots\!18}{12\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{23\!\cdots\!10}{12\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{67\!\cdots\!03}{12\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{73\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!13}{12\!\cdots\!11}a+\frac{77\!\cdots\!83}{39\!\cdots\!81}$, $\frac{71\!\cdots\!60}{12\!\cdots\!11}a^{27}-\frac{56\!\cdots\!85}{12\!\cdots\!11}a^{26}-\frac{59\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!11}a^{25}+\frac{49\!\cdots\!35}{12\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{21\!\cdots\!30}{12\!\cdots\!11}a^{23}-\frac{59\!\cdots\!50}{39\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{43\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{37\!\cdots\!09}{12\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{58\!\cdots\!30}{12\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{46\!\cdots\!55}{12\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{54\!\cdots\!20}{12\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{35\!\cdots\!35}{12\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{35\!\cdots\!91}{12\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!40}{12\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!40}{12\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{50\!\cdots\!05}{12\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{50\!\cdots\!35}{12\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{81\!\cdots\!62}{12\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{90\!\cdots\!60}{12\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{62\!\cdots\!30}{12\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{83\!\cdots\!35}{12\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{34\!\cdots\!04}{12\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!50}{12\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{48\!\cdots\!65}{12\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{67\!\cdots\!20}{12\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!55}{12\!\cdots\!11}a-\frac{20\!\cdots\!60}{39\!\cdots\!81}$, $\frac{37\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{29\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{31\!\cdots\!33}{23\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{26\!\cdots\!39}{23\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{31\!\cdots\!12}{75\!\cdots\!39}a^{22}-\frac{22\!\cdots\!58}{23\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{19\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{30\!\cdots\!15}{23\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!13}{23\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{27\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{19\!\cdots\!82}{23\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{92\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{85\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!59}{23\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!88}{23\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{45\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{47\!\cdots\!86}{23\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{38\!\cdots\!99}{23\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{44\!\cdots\!78}{23\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!45}{23\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{19\!\cdots\!38}{23\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{50\!\cdots\!60}{12\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{33\!\cdots\!41}{23\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!93}{23\!\cdots\!09}a-\frac{28\!\cdots\!91}{75\!\cdots\!39}$, $\frac{11\!\cdots\!56}{23\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{94\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{99\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{83\!\cdots\!79}{23\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{35\!\cdots\!95}{23\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{99\!\cdots\!62}{75\!\cdots\!39}a^{22}-\frac{72\!\cdots\!58}{23\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{62\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{96\!\cdots\!90}{23\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{77\!\cdots\!03}{23\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{89\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{59\!\cdots\!77}{23\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{59\!\cdots\!96}{23\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{28\!\cdots\!94}{23\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{27\!\cdots\!79}{23\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{82\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{83\!\cdots\!78}{23\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!66}{23\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{97\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!08}{23\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!65}{23\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{55\!\cdots\!58}{23\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{27\!\cdots\!75}{12\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{74\!\cdots\!66}{23\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!34}{23\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{99\!\cdots\!48}{23\!\cdots\!09}a-\frac{37\!\cdots\!49}{75\!\cdots\!39}$, $\frac{17\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{13\!\cdots\!65}{23\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{14\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{54\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!50}{75\!\cdots\!39}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!30}{23\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{85\!\cdots\!27}{23\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!95}{23\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!90}{23\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!95}{23\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{78\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!14}{23\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{36\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{50\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{97\!\cdots\!70}{23\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!40}{23\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{43\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!40}{23\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{48\!\cdots\!20}{23\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{77\!\cdots\!08}{23\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!35}{12\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{52\!\cdots\!35}{23\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{47\!\cdots\!20}{23\!\cdots\!09}a^{2}+\frac{51\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!09}a-\frac{21\!\cdots\!60}{75\!\cdots\!39}$, $\frac{16\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{13\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!92}{23\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!29}{23\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{49\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!82}{75\!\cdots\!39}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!03}{23\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{88\!\cdots\!48}{23\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!51}{23\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{83\!\cdots\!77}{23\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{79\!\cdots\!01}{23\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{40\!\cdots\!99}{23\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{36\!\cdots\!99}{23\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!54}{23\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!43}{23\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!40}{23\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!81}{23\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!44}{23\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!93}{23\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{41\!\cdots\!70}{23\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{75\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!81}{23\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!13}{23\!\cdots\!09}a-\frac{15\!\cdots\!17}{75\!\cdots\!39}$, $\frac{26\!\cdots\!30}{23\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{20\!\cdots\!20}{23\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{21\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{79\!\cdots\!55}{23\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{21\!\cdots\!10}{75\!\cdots\!39}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!45}{23\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!47}{23\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{21\!\cdots\!90}{23\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!55}{23\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!40}{23\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{63\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{63\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!65}{23\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{34\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{31\!\cdots\!65}{23\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{55\!\cdots\!40}{23\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{49\!\cdots\!05}{12\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{28\!\cdots\!55}{23\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{28\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!09}a-\frac{64\!\cdots\!46}{75\!\cdots\!39}$, $\frac{58\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{43\!\cdots\!45}{23\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{27\!\cdots\!42}{12\!\cdots\!11}a^{25}+\frac{39\!\cdots\!57}{23\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{19\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{47\!\cdots\!07}{75\!\cdots\!39}a^{22}-\frac{43\!\cdots\!43}{23\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{29\!\cdots\!12}{23\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{62\!\cdots\!73}{23\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{36\!\cdots\!95}{23\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{62\!\cdots\!43}{23\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{28\!\cdots\!34}{23\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{43\!\cdots\!81}{23\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!58}{23\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{20\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{38\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{61\!\cdots\!46}{23\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{57\!\cdots\!57}{23\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!04}{23\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{33\!\cdots\!86}{23\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!93}{23\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{38\!\cdots\!53}{23\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{44\!\cdots\!17}{23\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{92\!\cdots\!92}{23\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{72\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!11}{23\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{33\!\cdots\!74}{23\!\cdots\!09}a-\frac{88\!\cdots\!90}{75\!\cdots\!39}$, $\frac{66\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{51\!\cdots\!25}{23\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{57\!\cdots\!90}{23\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{45\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{21\!\cdots\!50}{23\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{53\!\cdots\!10}{75\!\cdots\!39}a^{22}-\frac{45\!\cdots\!34}{23\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{34\!\cdots\!51}{23\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{63\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{41\!\cdots\!78}{23\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{61\!\cdots\!50}{23\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{31\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{41\!\cdots\!33}{23\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!95}{23\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!51}{23\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{41\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{58\!\cdots\!72}{23\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{59\!\cdots\!26}{23\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{29\!\cdots\!96}{23\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{88\!\cdots\!26}{23\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{96\!\cdots\!57}{23\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{31\!\cdots\!44}{23\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{24\!\cdots\!96}{23\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!65}{23\!\cdots\!09}a^{2}+\frac{24\!\cdots\!58}{23\!\cdots\!09}a+\frac{12\!\cdots\!65}{75\!\cdots\!39}$, 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$\frac{80\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{74\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{60\!\cdots\!53}{23\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{65\!\cdots\!77}{23\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{17\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{77\!\cdots\!37}{75\!\cdots\!39}a^{22}-\frac{24\!\cdots\!72}{23\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{49\!\cdots\!64}{23\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{61\!\cdots\!31}{23\!\cdots\!09}a^{18}+\frac{42\!\cdots\!22}{23\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{49\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!09}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!40}{23\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!52}{23\!\cdots\!09}a^{14}+\frac{60\!\cdots\!81}{23\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{83\!\cdots\!87}{23\!\cdots\!09}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!34}{23\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!70}{23\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{20\!\cdots\!23}{23\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{20\!\cdots\!14}{23\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{80\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{27\!\cdots\!41}{23\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{23\!\cdots\!67}{12\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!39}{23\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{46\!\cdots\!73}{23\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!48}{23\!\cdots\!09}a-\frac{17\!\cdots\!88}{75\!\cdots\!39}$, 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$\frac{29\!\cdots\!28}{23\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{23\!\cdots\!17}{23\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{24\!\cdots\!65}{23\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{20\!\cdots\!20}{23\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{87\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{24\!\cdots\!81}{75\!\cdots\!39}a^{22}-\frac{17\!\cdots\!96}{23\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{15\!\cdots\!77}{23\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{23\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{19\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{72\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{65\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!93}{23\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!15}{23\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{34\!\cdots\!08}{23\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{35\!\cdots\!08}{23\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!58}{23\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{33\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{86\!\cdots\!92}{23\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{21\!\cdots\!42}{23\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!73}{23\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{48\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!09}a+\frac{22\!\cdots\!60}{75\!\cdots\!39}$, $\frac{49\!\cdots\!66}{23\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{30\!\cdots\!66}{23\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{47\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{27\!\cdots\!06}{23\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{20\!\cdots\!38}{23\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{33\!\cdots\!47}{75\!\cdots\!39}a^{22}-\frac{51\!\cdots\!38}{23\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{82\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!06}{23\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{89\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{19\!\cdots\!41}{23\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{64\!\cdots\!91}{23\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{87\!\cdots\!82}{23\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{30\!\cdots\!81}{23\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{91\!\cdots\!08}{23\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!34}{23\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!66}{23\!\cdots\!09}a^{9}-\frac{36\!\cdots\!97}{23\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!62}{23\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{61\!\cdots\!59}{23\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{49\!\cdots\!39}{23\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{31\!\cdots\!77}{23\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{41\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{45\!\cdots\!02}{23\!\cdots\!09}a^{2}+\frac{35\!\cdots\!88}{23\!\cdots\!09}a-\frac{28\!\cdots\!73}{75\!\cdots\!39}$, $\frac{16\!\cdots\!12}{12\!\cdots\!11}a^{27}-\frac{12\!\cdots\!73}{12\!\cdots\!11}a^{26}-\frac{26\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!26}{12\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{96\!\cdots\!94}{23\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{26\!\cdots\!90}{75\!\cdots\!39}a^{22}-\frac{20\!\cdots\!14}{23\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{16\!\cdots\!93}{23\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{27\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!50}{23\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{25\!\cdots\!50}{23\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!44}{23\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!53}{23\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{74\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{81\!\cdots\!08}{23\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!58}{23\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!44}{23\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!10}{12\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{23\!\cdots\!32}{12\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{24\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{39\!\cdots\!26}{23\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{46\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!11}{23\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{99\!\cdots\!60}{12\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{43\!\cdots\!90}{23\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{39\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!09}a-\frac{46\!\cdots\!70}{39\!\cdots\!81}$, $\frac{23\!\cdots\!05}{12\!\cdots\!11}a^{27}-\frac{34\!\cdots\!81}{23\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{37\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{30\!\cdots\!34}{23\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!62}{23\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{36\!\cdots\!25}{75\!\cdots\!39}a^{22}-\frac{28\!\cdots\!04}{23\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{23\!\cdots\!42}{23\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{38\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!00}{12\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{36\!\cdots\!12}{23\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!52}{23\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!28}{23\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{30\!\cdots\!91}{23\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{34\!\cdots\!36}{23\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{48\!\cdots\!95}{23\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{61\!\cdots\!01}{23\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{35\!\cdots\!33}{23\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{29\!\cdots\!08}{12\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{74\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!37}{12\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{30\!\cdots\!93}{23\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{56\!\cdots\!72}{23\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{45\!\cdots\!70}{23\!\cdots\!09}a-\frac{15\!\cdots\!45}{75\!\cdots\!39}$, $\frac{18\!\cdots\!31}{12\!\cdots\!11}a^{27}-\frac{25\!\cdots\!33}{23\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{29\!\cdots\!33}{23\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{23\!\cdots\!97}{23\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!36}{23\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!80}{39\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{24\!\cdots\!96}{23\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{17\!\cdots\!44}{23\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{34\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!12}{23\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{34\!\cdots\!95}{23\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!96}{23\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!02}{23\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{77\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!53}{23\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{32\!\cdots\!90}{23\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{31\!\cdots\!33}{23\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{57\!\cdots\!81}{23\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!46}{23\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{51\!\cdots\!33}{23\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{36\!\cdots\!43}{23\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{19\!\cdots\!18}{23\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{51\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{24\!\cdots\!17}{23\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{70\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{60\!\cdots\!98}{23\!\cdots\!09}a-\frac{18\!\cdots\!71}{75\!\cdots\!39}$, $\frac{22\!\cdots\!70}{23\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{17\!\cdots\!50}{23\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{18\!\cdots\!95}{23\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!77}{23\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{67\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{18\!\cdots\!86}{75\!\cdots\!39}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!06}{23\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!82}{23\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!57}{23\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!78}{23\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{58\!\cdots\!50}{12\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!11}{23\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{53\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{52\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!31}{23\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!52}{23\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{25\!\cdots\!79}{23\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{28\!\cdots\!74}{23\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{19\!\cdots\!68}{23\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!01}{23\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{49\!\cdots\!91}{23\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{56\!\cdots\!56}{12\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{68\!\cdots\!84}{23\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{22\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{23\!\cdots\!98}{23\!\cdots\!09}a-\frac{50\!\cdots\!61}{75\!\cdots\!39}$, $\frac{98\!\cdots\!58}{23\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{76\!\cdots\!39}{23\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{83\!\cdots\!96}{23\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{68\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{30\!\cdots\!74}{23\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{81\!\cdots\!20}{75\!\cdots\!39}a^{22}-\frac{62\!\cdots\!12}{23\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{51\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{85\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{63\!\cdots\!46}{23\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{80\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{49\!\cdots\!14}{23\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{53\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{23\!\cdots\!94}{23\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{25\!\cdots\!66}{23\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{68\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{75\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{81\!\cdots\!42}{23\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{64\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{50\!\cdots\!26}{23\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{45\!\cdots\!35}{23\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{68\!\cdots\!53}{23\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!09}a-\frac{27\!\cdots\!75}{75\!\cdots\!39}$, 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$\frac{18\!\cdots\!43}{23\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{77\!\cdots\!67}{12\!\cdots\!11}a^{26}-\frac{15\!\cdots\!27}{23\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{68\!\cdots\!10}{12\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{57\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!97}{75\!\cdots\!39}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!72}{23\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{98\!\cdots\!28}{23\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!66}{23\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!62}{23\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!04}{23\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{93\!\cdots\!59}{23\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{44\!\cdots\!06}{23\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{48\!\cdots\!08}{23\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!42}{23\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!33}{23\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!19}{23\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!20}{23\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{91\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!96}{23\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{24\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!14}{23\!\cdots\!09}a-\frac{79\!\cdots\!57}{75\!\cdots\!39}$, 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$\frac{55\!\cdots\!28}{23\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{46\!\cdots\!98}{23\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{43\!\cdots\!93}{23\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{40\!\cdots\!11}{23\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!33}{23\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!27}{24\!\cdots\!69}a^{22}-\frac{26\!\cdots\!53}{23\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{30\!\cdots\!73}{23\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{29\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{38\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!78}{23\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{29\!\cdots\!34}{23\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!22}{23\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{55\!\cdots\!44}{23\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{44\!\cdots\!36}{23\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{17\!\cdots\!56}{23\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{79\!\cdots\!93}{23\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{32\!\cdots\!15}{23\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{78\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{31\!\cdots\!59}{23\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{40\!\cdots\!11}{23\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!02}{23\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{98\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!12}{23\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{93\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{31\!\cdots\!38}{23\!\cdots\!09}a+\frac{59\!\cdots\!35}{75\!\cdots\!39}$, $\frac{27\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{21\!\cdots\!95}{23\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{23\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{19\!\cdots\!81}{23\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{84\!\cdots\!65}{23\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{23\!\cdots\!42}{75\!\cdots\!39}a^{22}-\frac{17\!\cdots\!17}{23\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{76\!\cdots\!72}{12\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{23\!\cdots\!82}{23\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!31}{23\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!94}{23\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!41}{23\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!47}{23\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{66\!\cdots\!13}{23\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{68\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{31\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{36\!\cdots\!68}{23\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{23\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{33\!\cdots\!98}{23\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{57\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!34}{23\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!67}{23\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!46}{23\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{29\!\cdots\!45}{23\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{35\!\cdots\!34}{23\!\cdots\!09}a-\frac{57\!\cdots\!10}{75\!\cdots\!39}$, $\frac{49\!\cdots\!36}{23\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{38\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{41\!\cdots\!45}{23\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{33\!\cdots\!65}{23\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!56}{23\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!78}{24\!\cdots\!69}a^{22}-\frac{31\!\cdots\!11}{23\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{25\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{43\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{31\!\cdots\!47}{23\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{40\!\cdots\!88}{23\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{24\!\cdots\!68}{23\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{27\!\cdots\!04}{23\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!30}{23\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{33\!\cdots\!99}{23\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{38\!\cdots\!86}{23\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{52\!\cdots\!70}{23\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{68\!\cdots\!28}{23\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{37\!\cdots\!77}{23\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{61\!\cdots\!93}{23\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{62\!\cdots\!88}{23\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!48}{23\!\cdots\!09}a^{5}-\frac{33\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{32\!\cdots\!57}{23\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{74\!\cdots\!62}{23\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{30\!\cdots\!36}{23\!\cdots\!09}a-\frac{26\!\cdots\!16}{75\!\cdots\!39}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 16515401085022949000000 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{28}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 16515401085022949000000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{83709274472667248662717543234670163936409630856037139892578125}}\cr\approx \mathstrut & 0.242277017782523 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_{28}$ (as 28T1):

A cyclic group of order 28

The 28 conjugacy class representatives for $C_{28}$

Character table for $C_{28}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{5}) \), \(\Q(\zeta_{15})^+\), 7.7.13841287201.1, 14.14.14967283701606751125078125.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	$28$	R	R	R	${\href{/padicField/11.14.0.1}{14} }^{2}$	$28$	$28$	${\href{/padicField/19.2.0.1}{2} }^{14}$	$28$	${\href{/padicField/29.7.0.1}{7} }^{4}$	${\href{/padicField/31.1.0.1}{1} }^{28}$	$28$	${\href{/padicField/41.14.0.1}{14} }^{2}$	$28$	$28$	$28$	${\href{/padicField/59.7.0.1}{7} }^{4}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(3\)		Deg $28$	$2$	$14$	$14$
\(5\)		Deg $28$	$4$	$7$	$21$
\(7\)		Deg $28$	$7$	$4$	$48$