Number field 28.28.642581186433047492874742549394260203375244140625.1

• Label: 28.28.642...625.1
• Degree: $28$
• Signature: $[28, 0]$
• Discriminant: $6.426\times 10^{47}$
• Root discriminant: \(50.98\)
• Ramified primes: $5,29$
• Class number: $2$ (GRH)
• Class group: [2] (GRH)
• Galois group: $C_2\times C_{14}$ (as 28T2)

Normalized defining polynomial

x^28 - x^27 - 40*x^26 + 35*x^25 + 667*x^24 - 497*x^23 - 6073*x^22 + 3733*x^21 + 33381*x^20 - 16356*x^19 - 116335*x^18 + 43955*x^17 + 264151*x^16 - 74631*x^15 - 396001*x^14 + 80966*x^13 + 391804*x^12 - 55684*x^11 - 251669*x^10 + 23519*x^9 + 101079*x^8 - 5634*x^7 - 23674*x^6 + 574*x^5 + 2842*x^4 + 28*x^3 - 133*x^2 - 7*x + 1

Invariants

Degree:		$28$
Signature:		$[28, 0]$
Discriminant:		\(642581186433047492874742549394260203375244140625\) \(\medspace = 5^{14}\cdot 29^{26}\)
Root discriminant:		\(50.98\)
Galois root discriminant:		$5^{1/2}29^{13/14}\approx 50.983071971075404$
Ramified primes:		\(5\), \(29\)
Discriminant root field:		\(\Q\)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:		$28$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:		\(145=5\cdot 29\)
Dirichlet character group:		$\lbrace$$\chi_{145}(64,·)$, $\chi_{145}(1,·)$, $\chi_{145}(4,·)$, $\chi_{145}(6,·)$, $\chi_{145}(129,·)$, $\chi_{145}(136,·)$, $\chi_{145}(9,·)$, $\chi_{145}(74,·)$, $\chi_{145}(139,·)$, $\chi_{145}(141,·)$, $\chi_{145}(16,·)$, $\chi_{145}(81,·)$, $\chi_{145}(86,·)$, $\chi_{145}(24,·)$, $\chi_{145}(91,·)$, $\chi_{145}(94,·)$, $\chi_{145}(96,·)$, $\chi_{145}(144,·)$, $\chi_{145}(34,·)$, $\chi_{145}(36,·)$, $\chi_{145}(71,·)$, $\chi_{145}(109,·)$, $\chi_{145}(111,·)$, $\chi_{145}(49,·)$, $\chi_{145}(51,·)$, $\chi_{145}(54,·)$, $\chi_{145}(121,·)$, $\chi_{145}(59,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $\frac{1}{59}a^{25}-\frac{25}{59}a^{24}+\frac{28}{59}a^{22}+\frac{5}{59}a^{21}-\frac{13}{59}a^{20}-\frac{29}{59}a^{19}+\frac{25}{59}a^{18}+\frac{9}{59}a^{17}-\frac{22}{59}a^{16}-\frac{25}{59}a^{15}+\frac{19}{59}a^{14}-\frac{21}{59}a^{13}+\frac{26}{59}a^{12}+\frac{8}{59}a^{11}-\frac{11}{59}a^{10}-\frac{17}{59}a^{9}+\frac{16}{59}a^{8}-\frac{15}{59}a^{7}-\frac{13}{59}a^{6}+\frac{21}{59}a^{5}+\frac{27}{59}a^{4}-\frac{16}{59}a^{3}+\frac{25}{59}a^{2}-\frac{7}{59}a-\frac{27}{59}$, $\frac{1}{59}a^{26}+\frac{24}{59}a^{24}+\frac{28}{59}a^{23}-\frac{3}{59}a^{22}-\frac{6}{59}a^{21}+\frac{8}{59}a^{19}-\frac{15}{59}a^{18}+\frac{26}{59}a^{17}+\frac{15}{59}a^{16}-\frac{16}{59}a^{15}-\frac{18}{59}a^{14}-\frac{27}{59}a^{13}+\frac{9}{59}a^{12}+\frac{12}{59}a^{11}+\frac{3}{59}a^{10}+\frac{4}{59}a^{9}-\frac{28}{59}a^{8}+\frac{25}{59}a^{7}-\frac{9}{59}a^{6}+\frac{21}{59}a^{5}+\frac{10}{59}a^{4}-\frac{21}{59}a^{3}+\frac{28}{59}a^{2}-\frac{25}{59}a-\frac{26}{59}$, $\frac{1}{11\!\cdots\!89}a^{27}+\frac{46\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!76}{69\!\cdots\!17}a^{25}-\frac{16\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!89}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!86}{11\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{12\!\cdots\!14}{69\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{19\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{40\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{42\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{38\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{43\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{24\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{57\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{43\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{45\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{38\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{36\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{55\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{32\!\cdots\!98}{69\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{23\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{44\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{82\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!89}a+\frac{44\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!89}$

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

$C_{2}$, which has order $2$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$27$
Torsion generator:		\( -1 \)  (order $2$)
Fundamental units:		$\frac{14\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{22\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{33\!\cdots\!09}{69\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{80\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!89}a^{24}+\frac{91\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{70\!\cdots\!07}{69\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{80\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{95\!\cdots\!06}{11\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{42\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{45\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{29\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{26\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{42\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{33\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{38\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{27\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{23\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{88\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{44\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!31}{69\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{75\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{53\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{84\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!89}a+\frac{65\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!89}$, $\frac{12\!\cdots\!45}{11\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{12\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{29\!\cdots\!30}{69\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{43\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!89}a^{24}+\frac{83\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{35\!\cdots\!60}{69\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{75\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{44\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{41\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{19\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{50\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{31\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{84\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{45\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{91\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{43\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{67\!\cdots\!06}{11\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{26\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{34\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{97\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!63}{69\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{30\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{32\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{60\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!89}a+\frac{67\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!89}$, $\frac{24\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!89}a^{27}+\frac{11\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{58\!\cdots\!10}{69\!\cdots\!17}a^{25}-\frac{58\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!89}a^{24}+\frac{16\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!89}a^{23}+\frac{70\!\cdots\!05}{69\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!89}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{83\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{77\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{27\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{49\!\cdots\!70}{19\!\cdots\!71}a^{16}+\frac{58\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{68\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{77\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!62}{19\!\cdots\!71}a^{11}+\frac{96\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{28\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{56\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{47\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{48\!\cdots\!14}{69\!\cdots\!17}a^{5}-\frac{33\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{36\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{25\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{24\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!89}a-\frac{48\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!89}$, $\frac{17\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{23\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{41\!\cdots\!90}{69\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{84\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!89}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{72\!\cdots\!64}{69\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{95\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{53\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{43\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{38\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{21\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{90\!\cdots\!45}{19\!\cdots\!71}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{48\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{27\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{76\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{93\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!40}{69\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{26\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{36\!\cdots\!46}{11\!\cdots\!89}a+\frac{31\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!89}$, $\frac{85\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{25\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{18\!\cdots\!94}{69\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{16\!\cdots\!95}{19\!\cdots\!71}a^{24}+\frac{47\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{88\!\cdots\!90}{69\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{38\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{12\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{61\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{52\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{93\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{35\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{44\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{61\!\cdots\!45}{11\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{33\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{39\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{73\!\cdots\!53}{69\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{44\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{77\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{28\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!89}a+\frac{20\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!89}$, $\frac{16\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{29\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{58\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!63}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!89}a^{24}+\frac{79\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{84\!\cdots\!00}{69\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{51\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{43\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{21\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{61\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{91\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{91\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{25\!\cdots\!46}{11\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{78\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{92\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{38\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{67\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{60\!\cdots\!15}{69\!\cdots\!17}a^{5}-\frac{21\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{26\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{44\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!89}a-\frac{46\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!89}$, $\frac{76\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{13\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!40}{69\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{49\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!89}a^{24}+\frac{47\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{43\!\cdots\!88}{69\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{42\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{58\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{22\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{73\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{80\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{21\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{57\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{36\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{39\!\cdots\!52}{69\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{18\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{57\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!89}a+\frac{14\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!89}$, $\frac{13\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{15\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{32\!\cdots\!00}{69\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{56\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!89}a^{24}+\frac{91\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{47\!\cdots\!90}{69\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{82\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{62\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{44\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{75\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{34\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{50\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{48\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{98\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{29\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{43\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!89}{69\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{50\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!89}a+\frac{43\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!89}$, $\frac{11\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{60\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{28\!\cdots\!60}{69\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{19\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!89}a^{24}+\frac{81\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!20}{69\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{75\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{15\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{42\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{51\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{34\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{52\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{51\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{32\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{20\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!47}{69\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{34\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{27\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{38\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{77\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!89}a+\frac{75\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!89}$, $\frac{11\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{60\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{28\!\cdots\!60}{69\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{19\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!89}a^{24}+\frac{81\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!20}{69\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{75\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{15\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{42\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{51\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{34\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{52\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{51\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{32\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{20\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!47}{69\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{34\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{27\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{38\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{77\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!89}a+\frac{87\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!89}$, $\frac{13\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{15\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{32\!\cdots\!00}{69\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{56\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!89}a^{24}+\frac{91\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{47\!\cdots\!90}{69\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{82\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{62\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{44\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{75\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{34\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{50\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{48\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{98\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{29\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{43\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!89}{69\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{50\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!89}a+\frac{54\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!89}$, $\frac{27\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{10\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{57\!\cdots\!00}{69\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{39\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!89}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{36\!\cdots\!90}{69\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{50\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{46\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{74\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{84\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{78\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{45\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{76\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!98}{69\!\cdots\!17}a^{5}-\frac{58\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{35\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!89}a-\frac{26\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!89}$, $\frac{26\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{21\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{63\!\cdots\!95}{69\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{72\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!89}a^{24}+\frac{17\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{57\!\cdots\!81}{69\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{68\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{89\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{30\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{64\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{68\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{92\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{99\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{82\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{94\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{47\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{56\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{21\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{90\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!67}{69\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{37\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{34\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{90\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!89}a+\frac{56\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!89}$, 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$\frac{58\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{95\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!69}{69\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{35\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!89}a^{24}+\frac{38\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{32\!\cdots\!77}{69\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{35\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{46\!\cdots\!06}{11\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{19\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{23\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{69\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{76\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{25\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{27\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!86}{11\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{85\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{45\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!58}{69\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{87\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{72\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!89}a+\frac{11\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!89}$, 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$\frac{29\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{39\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{67\!\cdots\!04}{69\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!89}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{12\!\cdots\!46}{69\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{16\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{90\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{75\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{30\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{67\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{41\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{96\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{50\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{91\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{40\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{55\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{20\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{64\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{26\!\cdots\!90}{69\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{47\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{86\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!89}a+\frac{11\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!89}$, $\frac{56\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{54\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!31}{69\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!89}a^{24}+\frac{38\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!23}{69\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{34\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{19\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{19\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{81\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{68\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{29\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{23\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{23\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{97\!\cdots\!45}{11\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{83\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{52\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{59\!\cdots\!40}{69\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{74\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{50\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{56\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!89}a+\frac{24\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!89}$, $\frac{20\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{30\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{46\!\cdots\!03}{69\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!89}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{95\!\cdots\!72}{69\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{12\!\cdots\!06}{11\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{57\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{61\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{39\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{34\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{53\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{43\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{47\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{35\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{27\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{98\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{56\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!83}{69\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{90\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{62\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{91\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!89}a+\frac{96\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!89}$, $\frac{20\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{42\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{46\!\cdots\!69}{69\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!89}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!28}{69\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{20\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{59\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{99\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{44\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{61\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{66\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{80\!\cdots\!64}{11\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{65\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{68\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{42\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{36\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{17\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!86}{69\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{47\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!89}a+\frac{31\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!89}$, $\frac{41\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{21\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{73\!\cdots\!15}{69\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{78\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!89}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{70\!\cdots\!17}{69\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{25\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{96\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{75\!\cdots\!37}{19\!\cdots\!71}a^{19}-\frac{45\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{39\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{23\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{31\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{26\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{40\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{32\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{45\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{32\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{21\!\cdots\!91}{69\!\cdots\!17}a^{5}-\frac{45\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{38\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{67\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{99\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!89}a-\frac{14\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!89}$, $\frac{51\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{47\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!31}{69\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{16\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!89}a^{24}+\frac{34\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!61}{69\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{30\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{16\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{68\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{57\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{26\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{17\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{36\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{40\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{49\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{49\!\cdots\!37}{69\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{59\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{82\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{67\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{26\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!89}a-\frac{72\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!89}$, $\frac{22\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{35\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{50\!\cdots\!49}{69\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!89}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!95}{69\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{15\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{64\!\cdots\!86}{11\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{73\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{45\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{41\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{63\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{50\!\cdots\!86}{11\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{58\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{40\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{34\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{20\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{59\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!83}{69\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{93\!\cdots\!06}{11\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{27\!\cdots\!46}{11\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{64\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!89}a+\frac{80\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!89}$, $\frac{32\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{16\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{63\!\cdots\!09}{69\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{63\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!89}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{58\!\cdots\!07}{69\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{82\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{84\!\cdots\!06}{11\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{42\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{35\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{30\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{27\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{78\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{35\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{77\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{30\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{40\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!56}{69\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{53\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{22\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!89}a-\frac{35\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!89}$, $\frac{26\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{15\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{49\!\cdots\!49}{69\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{60\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!89}a^{24}+\frac{99\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{56\!\cdots\!87}{69\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{47\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{80\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{40\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{99\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{45\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{31\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{25\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{96\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{39\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{32\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{46\!\cdots\!16}{69\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{40\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{50\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{74\!\cdots\!86}{11\!\cdots\!89}a-\frac{22\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!89}$, $\frac{18\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{44\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{40\!\cdots\!08}{69\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{16\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!89}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!72}{69\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{88\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{20\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{43\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{58\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{27\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{71\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{55\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{58\!\cdots\!86}{11\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{36\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{71\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{27\!\cdots\!47}{69\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{98\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{84\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{56\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{30\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!89}a+\frac{12\!\cdots\!86}{11\!\cdots\!89}$, $\frac{36\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{51\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{84\!\cdots\!34}{69\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!89}a^{24}+\frac{23\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{16\!\cdots\!82}{69\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{20\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{36\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{29\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{79\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{55\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{68\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{55\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{62\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{86\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{28\!\cdots\!46}{69\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{50\!\cdots\!64}{11\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!89}a+\frac{13\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!89}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 512915496404520.1 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{28}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 512915496404520.1 \cdot 2}{2\cdot\sqrt{642581186433047492874742549394260203375244140625}}\cr\approx \mathstrut & 0.171759867298331 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_2\times C_{14}$ (as 28T2):

An abelian group of order 28

The 28 conjugacy class representatives for $C_2\times C_{14}$

Character table for $C_2\times C_{14}$

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{5}) \), \(\Q(\sqrt{29}) \), \(\Q(\sqrt{145}) \), \(\Q(\sqrt{5}, \sqrt{29})\), 7.7.594823321.1, 14.14.27641779937927268828125.1, \(\Q(\zeta_{29})^+\), 14.14.801611618199890796015625.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	${\href{/padicField/2.14.0.1}{14} }^{2}$	${\href{/padicField/3.14.0.1}{14} }^{2}$	R	${\href{/padicField/7.14.0.1}{14} }^{2}$	${\href{/padicField/11.14.0.1}{14} }^{2}$	${\href{/padicField/13.14.0.1}{14} }^{2}$	${\href{/padicField/17.2.0.1}{2} }^{14}$	${\href{/padicField/19.14.0.1}{14} }^{2}$	${\href{/padicField/23.14.0.1}{14} }^{2}$	R	${\href{/padicField/31.14.0.1}{14} }^{2}$	${\href{/padicField/37.14.0.1}{14} }^{2}$	${\href{/padicField/41.2.0.1}{2} }^{14}$	${\href{/padicField/43.14.0.1}{14} }^{2}$	${\href{/padicField/47.14.0.1}{14} }^{2}$	${\href{/padicField/53.14.0.1}{14} }^{2}$	${\href{/padicField/59.1.0.1}{1} }^{28}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(5\)	5.14.7.1	$x^{14} + 140 x^{13} + 8435 x^{12} + 284200 x^{11} + 5810525 x^{10} + 72852500 x^{9} + 534104381 x^{8} + 1994350486 x^{7} + 2670547075 x^{6} + 1822151870 x^{5} + 743294125 x^{4} + 386790250 x^{3} + 1508497384 x^{2} + 5074882448 x + 4401772109$	$2$	$7$	$7$	$C_{14}$	$[\ ]_{2}^{7}$
	5.14.7.1	$x^{14} + 140 x^{13} + 8435 x^{12} + 284200 x^{11} + 5810525 x^{10} + 72852500 x^{9} + 534104381 x^{8} + 1994350486 x^{7} + 2670547075 x^{6} + 1822151870 x^{5} + 743294125 x^{4} + 386790250 x^{3} + 1508497384 x^{2} + 5074882448 x + 4401772109$	$2$	$7$	$7$	$C_{14}$	$[\ ]_{2}^{7}$
\(29\)	29.14.13.1	$x^{14} + 29$	$14$	$1$	$13$	$C_{14}$	$[\ ]_{14}$
	29.14.13.1	$x^{14} + 29$	$14$	$1$	$13$	$C_{14}$	$[\ ]_{14}$