Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^28 - 3*x^27 - 111*x^26 + 355*x^25 + 5014*x^24 - 16873*x^23 - 121463*x^22 + 430221*x^21 + 1739875*x^20 - 6558612*x^19 - 15281943*x^18 + 62805921*x^17 + 82351466*x^16 - 386151006*x^15 - 261479693*x^14 + 1531368941*x^13 + 426084076*x^12 - 3886142713*x^11 - 137358612*x^10 + 6204587325*x^9 - 603585672*x^8 - 6078001902*x^7 + 902850052*x^6 + 3489342686*x^5 - 463454290*x^4 - 1069073901*x^3 + 59014540*x^2 + 137225481*x + 9342001)
gp: K = bnfinit(y^28 - 3*y^27 - 111*y^26 + 355*y^25 + 5014*y^24 - 16873*y^23 - 121463*y^22 + 430221*y^21 + 1739875*y^20 - 6558612*y^19 - 15281943*y^18 + 62805921*y^17 + 82351466*y^16 - 386151006*y^15 - 261479693*y^14 + 1531368941*y^13 + 426084076*y^12 - 3886142713*y^11 - 137358612*y^10 + 6204587325*y^9 - 603585672*y^8 - 6078001902*y^7 + 902850052*y^6 + 3489342686*y^5 - 463454290*y^4 - 1069073901*y^3 + 59014540*y^2 + 137225481*y + 9342001, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^28 - 3*x^27 - 111*x^26 + 355*x^25 + 5014*x^24 - 16873*x^23 - 121463*x^22 + 430221*x^21 + 1739875*x^20 - 6558612*x^19 - 15281943*x^18 + 62805921*x^17 + 82351466*x^16 - 386151006*x^15 - 261479693*x^14 + 1531368941*x^13 + 426084076*x^12 - 3886142713*x^11 - 137358612*x^10 + 6204587325*x^9 - 603585672*x^8 - 6078001902*x^7 + 902850052*x^6 + 3489342686*x^5 - 463454290*x^4 - 1069073901*x^3 + 59014540*x^2 + 137225481*x + 9342001);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^28 - 3*x^27 - 111*x^26 + 355*x^25 + 5014*x^24 - 16873*x^23 - 121463*x^22 + 430221*x^21 + 1739875*x^20 - 6558612*x^19 - 15281943*x^18 + 62805921*x^17 + 82351466*x^16 - 386151006*x^15 - 261479693*x^14 + 1531368941*x^13 + 426084076*x^12 - 3886142713*x^11 - 137358612*x^10 + 6204587325*x^9 - 603585672*x^8 - 6078001902*x^7 + 902850052*x^6 + 3489342686*x^5 - 463454290*x^4 - 1069073901*x^3 + 59014540*x^2 + 137225481*x + 9342001)
\( x^{28} - 3 x^{27} - 111 x^{26} + 355 x^{25} + 5014 x^{24} - 16873 x^{23} - 121463 x^{22} + \cdots + 9342001 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $28$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[28, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(40485042622025269417087481839880287486644411644458770751953125\)
\(\medspace = 5^{21}\cdot 7^{14}\cdot 29^{24}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(158.58\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $5^{3/4}7^{1/2}29^{6/7}\approx 158.58442120365285$ | ||
| Ramified primes: |
\(5\), \(7\), \(29\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{5}) \) | ||
| $\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $28$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
| Conductor: | \(1015=5\cdot 7\cdot 29\) | ||
| Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{1015}(832,·)$, $\chi_{1015}(1,·)$, $\chi_{1015}(484,·)$, $\chi_{1015}(132,·)$, $\chi_{1015}(517,·)$, $\chi_{1015}(587,·)$, $\chi_{1015}(204,·)$, $\chi_{1015}(141,·)$, $\chi_{1015}(83,·)$, $\chi_{1015}(596,·)$, $\chi_{1015}(981,·)$, $\chi_{1015}(342,·)$, $\chi_{1015}(344,·)$, $\chi_{1015}(281,·)$, $\chi_{1015}(538,·)$, $\chi_{1015}(923,·)$, $\chi_{1015}(799,·)$, $\chi_{1015}(993,·)$, $\chi_{1015}(36,·)$, $\chi_{1015}(806,·)$, $\chi_{1015}(552,·)$, $\chi_{1015}(169,·)$, $\chi_{1015}(748,·)$, $\chi_{1015}(239,·)$, $\chi_{1015}(1009,·)$, $\chi_{1015}(692,·)$, $\chi_{1015}(223,·)$, $\chi_{1015}(958,·)$$\rbrace$ | ||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $\frac{1}{59}a^{23}-\frac{25}{59}a^{22}-\frac{1}{59}a^{21}-\frac{4}{59}a^{20}+\frac{21}{59}a^{19}+\frac{29}{59}a^{18}+\frac{17}{59}a^{17}-\frac{11}{59}a^{16}+\frac{3}{59}a^{15}+\frac{3}{59}a^{14}-\frac{2}{59}a^{13}-\frac{25}{59}a^{12}-\frac{1}{59}a^{11}+\frac{23}{59}a^{10}+\frac{23}{59}a^{9}-\frac{2}{59}a^{8}+\frac{22}{59}a^{7}-\frac{6}{59}a^{6}-\frac{7}{59}a^{5}+\frac{27}{59}a^{4}-\frac{18}{59}a^{3}+\frac{29}{59}a^{2}+\frac{17}{59}a$, $\frac{1}{1003}a^{24}+\frac{3}{1003}a^{23}+\frac{7}{1003}a^{22}+\frac{440}{1003}a^{21}+\frac{381}{1003}a^{20}+\frac{381}{1003}a^{19}+\frac{416}{1003}a^{18}-\frac{7}{1003}a^{17}+\frac{167}{1003}a^{16}+\frac{146}{1003}a^{15}+\frac{318}{1003}a^{14}-\frac{376}{1003}a^{13}-\frac{229}{1003}a^{12}+\frac{467}{1003}a^{11}+\frac{490}{1003}a^{10}-\frac{184}{1003}a^{9}+\frac{320}{1003}a^{8}+\frac{197}{1003}a^{7}+\frac{2}{1003}a^{6}+\frac{67}{1003}a^{5}+\frac{266}{1003}a^{4}+\frac{351}{1003}a^{3}+\frac{21}{59}a^{2}+\frac{122}{1003}a-\frac{3}{17}$, $\frac{1}{1003}a^{25}-\frac{2}{1003}a^{23}+\frac{419}{1003}a^{22}+\frac{64}{1003}a^{21}+\frac{241}{1003}a^{20}+\frac{276}{1003}a^{19}-\frac{252}{1003}a^{18}+\frac{188}{1003}a^{17}-\frac{355}{1003}a^{16}-\frac{120}{1003}a^{15}-\frac{327}{1003}a^{14}-\frac{104}{1003}a^{13}+\frac{151}{1003}a^{12}+\frac{92}{1003}a^{11}+\frac{352}{1003}a^{10}-\frac{131}{1003}a^{9}+\frac{240}{1003}a^{8}+\frac{414}{1003}a^{7}+\frac{61}{1003}a^{6}+\frac{65}{1003}a^{5}-\frac{447}{1003}a^{4}+\frac{307}{1003}a^{3}+\frac{54}{1003}a^{2}+\frac{460}{1003}a-\frac{8}{17}$, $\frac{1}{331993}a^{26}-\frac{1}{19529}a^{25}+\frac{121}{331993}a^{24}-\frac{2561}{331993}a^{23}+\frac{61326}{331993}a^{22}-\frac{28599}{331993}a^{21}-\frac{39714}{331993}a^{20}+\frac{966}{331993}a^{19}+\frac{15707}{331993}a^{18}+\frac{60443}{331993}a^{17}-\frac{154985}{331993}a^{16}-\frac{128892}{331993}a^{15}+\frac{1321}{331993}a^{14}-\frac{48596}{331993}a^{13}-\frac{23298}{331993}a^{12}+\frac{108759}{331993}a^{11}+\frac{134820}{331993}a^{10}-\frac{6701}{331993}a^{9}-\frac{4681}{331993}a^{8}+\frac{9026}{331993}a^{7}+\frac{161998}{331993}a^{6}+\frac{5295}{331993}a^{5}+\frac{128820}{331993}a^{4}-\frac{118749}{331993}a^{3}-\frac{100792}{331993}a^{2}-\frac{30737}{331993}a+\frac{1620}{5627}$, $\frac{1}{59\!\cdots\!17}a^{27}+\frac{10\!\cdots\!61}{34\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{18\!\cdots\!97}{59\!\cdots\!17}a^{25}-\frac{16\!\cdots\!21}{59\!\cdots\!17}a^{24}-\frac{55\!\cdots\!37}{59\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{38\!\cdots\!92}{59\!\cdots\!17}a^{22}+\frac{23\!\cdots\!87}{59\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!10}{59\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{43\!\cdots\!14}{59\!\cdots\!17}a^{19}+\frac{57\!\cdots\!67}{59\!\cdots\!17}a^{18}+\frac{21\!\cdots\!66}{59\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{47\!\cdots\!08}{59\!\cdots\!17}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!03}{59\!\cdots\!17}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!27}{59\!\cdots\!17}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!04}{59\!\cdots\!17}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!34}{59\!\cdots\!17}a^{12}-\frac{41\!\cdots\!39}{59\!\cdots\!17}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!95}{59\!\cdots\!17}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!10}{59\!\cdots\!17}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!84}{34\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{19\!\cdots\!60}{59\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!18}{59\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{60\!\cdots\!18}{59\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{18\!\cdots\!20}{59\!\cdots\!17}a^{4}-\frac{59\!\cdots\!93}{59\!\cdots\!17}a^{3}-\frac{28\!\cdots\!95}{59\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{77\!\cdots\!70}{59\!\cdots\!17}a+\frac{30\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!63}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $27$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{26\!\cdots\!94}{92\!\cdots\!11}a^{27}-\frac{57\!\cdots\!72}{92\!\cdots\!11}a^{26}-\frac{29\!\cdots\!43}{92\!\cdots\!11}a^{25}+\frac{69\!\cdots\!05}{92\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!87}{92\!\cdots\!11}a^{23}-\frac{32\!\cdots\!74}{92\!\cdots\!11}a^{22}-\frac{33\!\cdots\!35}{92\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{81\!\cdots\!04}{92\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{49\!\cdots\!03}{92\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!83}{92\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{45\!\cdots\!51}{92\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!85}{92\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!95}{92\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{63\!\cdots\!87}{92\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{95\!\cdots\!32}{92\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!45}{92\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{21\!\cdots\!09}{92\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{47\!\cdots\!59}{92\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{29\!\cdots\!70}{92\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{57\!\cdots\!59}{92\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!73}{92\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{34\!\cdots\!35}{92\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{82\!\cdots\!80}{92\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{80\!\cdots\!55}{92\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{32\!\cdots\!40}{92\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{56\!\cdots\!51}{92\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{91\!\cdots\!27}{92\!\cdots\!11}a+\frac{21\!\cdots\!65}{15\!\cdots\!29}$, $\frac{11\!\cdots\!54}{59\!\cdots\!17}a^{27}-\frac{25\!\cdots\!62}{59\!\cdots\!17}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!97}{59\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{31\!\cdots\!71}{59\!\cdots\!17}a^{24}+\frac{58\!\cdots\!19}{59\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!04}{59\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{14\!\cdots\!89}{59\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{37\!\cdots\!86}{59\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{21\!\cdots\!29}{59\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{56\!\cdots\!67}{59\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!41}{59\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{53\!\cdots\!33}{59\!\cdots\!17}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!59}{59\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{31\!\cdots\!07}{59\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{49\!\cdots\!50}{59\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!73}{59\!\cdots\!17}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!83}{59\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!63}{59\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!76}{59\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{41\!\cdots\!02}{59\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!29}{59\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{34\!\cdots\!79}{59\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!86}{59\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!09}{59\!\cdots\!17}a^{4}+\frac{64\!\cdots\!52}{59\!\cdots\!17}a^{3}-\frac{23\!\cdots\!92}{59\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!79}{59\!\cdots\!17}a-\frac{73\!\cdots\!07}{10\!\cdots\!63}$, $\frac{15\!\cdots\!40}{59\!\cdots\!17}a^{27}-\frac{33\!\cdots\!95}{59\!\cdots\!17}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!48}{59\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{40\!\cdots\!10}{59\!\cdots\!17}a^{24}+\frac{79\!\cdots\!65}{59\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{19\!\cdots\!90}{59\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{19\!\cdots\!40}{59\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{49\!\cdots\!05}{59\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{29\!\cdots\!65}{59\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{74\!\cdots\!20}{59\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{28\!\cdots\!85}{59\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{69\!\cdots\!80}{59\!\cdots\!17}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!60}{59\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{41\!\cdots\!45}{59\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{69\!\cdots\!00}{59\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!80}{59\!\cdots\!17}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!30}{59\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{37\!\cdots\!35}{59\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{32\!\cdots\!10}{59\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{52\!\cdots\!45}{59\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{38\!\cdots\!40}{59\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{43\!\cdots\!40}{59\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!60}{59\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{18\!\cdots\!90}{59\!\cdots\!17}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!95}{59\!\cdots\!17}a^{3}-\frac{27\!\cdots\!95}{59\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!15}{59\!\cdots\!17}a-\frac{25\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!63}$, $\frac{12\!\cdots\!54}{59\!\cdots\!17}a^{27}-\frac{14\!\cdots\!62}{59\!\cdots\!17}a^{26}-\frac{14\!\cdots\!12}{59\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!16}{59\!\cdots\!17}a^{24}+\frac{67\!\cdots\!59}{59\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{93\!\cdots\!94}{59\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{17\!\cdots\!29}{59\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{24\!\cdots\!56}{59\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{28\!\cdots\!04}{59\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{39\!\cdots\!92}{59\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{30\!\cdots\!21}{59\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{39\!\cdots\!53}{59\!\cdots\!17}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!09}{59\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!82}{59\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{95\!\cdots\!85}{59\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!18}{59\!\cdots\!17}a^{12}+\frac{29\!\cdots\!93}{59\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!73}{59\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{57\!\cdots\!16}{59\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{45\!\cdots\!12}{59\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{70\!\cdots\!69}{59\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{43\!\cdots\!04}{59\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{51\!\cdots\!74}{59\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!64}{59\!\cdots\!17}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!37}{59\!\cdots\!17}a^{3}-\frac{33\!\cdots\!37}{59\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{32\!\cdots\!89}{59\!\cdots\!17}a-\frac{32\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!63}$, $\frac{59\!\cdots\!12}{34\!\cdots\!01}a^{27}-\frac{24\!\cdots\!51}{34\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{70\!\cdots\!13}{34\!\cdots\!01}a^{25}+\frac{41\!\cdots\!83}{34\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{35\!\cdots\!02}{34\!\cdots\!01}a^{23}-\frac{23\!\cdots\!12}{34\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{96\!\cdots\!17}{34\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{71\!\cdots\!39}{34\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!52}{34\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!31}{34\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!48}{34\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!59}{34\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!89}{34\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!26}{34\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{63\!\cdots\!30}{34\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{48\!\cdots\!59}{34\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!79}{34\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!84}{34\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{41\!\cdots\!58}{34\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!16}{34\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{50\!\cdots\!57}{34\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{26\!\cdots\!67}{34\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{36\!\cdots\!92}{34\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!12}{34\!\cdots\!01}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!21}{34\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!46}{34\!\cdots\!01}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!57}{34\!\cdots\!01}a-\frac{26\!\cdots\!23}{59\!\cdots\!39}$, $\frac{88\!\cdots\!00}{59\!\cdots\!17}a^{27}+\frac{11\!\cdots\!00}{59\!\cdots\!17}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!15}{59\!\cdots\!17}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!55}{59\!\cdots\!17}a^{24}+\frac{91\!\cdots\!40}{59\!\cdots\!17}a^{23}+\frac{54\!\cdots\!10}{59\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{32\!\cdots\!40}{59\!\cdots\!17}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!30}{59\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{70\!\cdots\!75}{59\!\cdots\!17}a^{19}+\frac{17\!\cdots\!75}{59\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{95\!\cdots\!80}{59\!\cdots\!17}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!80}{59\!\cdots\!17}a^{16}+\frac{82\!\cdots\!50}{59\!\cdots\!17}a^{15}+\frac{65\!\cdots\!25}{59\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{46\!\cdots\!35}{59\!\cdots\!17}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!55}{59\!\cdots\!17}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!10}{59\!\cdots\!17}a^{11}+\frac{74\!\cdots\!90}{59\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{36\!\cdots\!40}{59\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{44\!\cdots\!10}{59\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{47\!\cdots\!40}{59\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{88\!\cdots\!25}{59\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{35\!\cdots\!88}{59\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{57\!\cdots\!55}{59\!\cdots\!17}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!85}{59\!\cdots\!17}a^{3}-\frac{93\!\cdots\!45}{59\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!10}{59\!\cdots\!17}a-\frac{24\!\cdots\!97}{10\!\cdots\!63}$, $\frac{97\!\cdots\!46}{59\!\cdots\!17}a^{27}-\frac{27\!\cdots\!43}{59\!\cdots\!17}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!25}{59\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{31\!\cdots\!59}{59\!\cdots\!17}a^{24}+\frac{48\!\cdots\!46}{59\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!06}{59\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!61}{59\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{37\!\cdots\!43}{59\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!56}{59\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{55\!\cdots\!53}{59\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!94}{59\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{51\!\cdots\!72}{59\!\cdots\!17}a^{16}+\frac{76\!\cdots\!91}{59\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{29\!\cdots\!98}{59\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{25\!\cdots\!10}{59\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!47}{59\!\cdots\!17}a^{12}+\frac{48\!\cdots\!97}{59\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!90}{59\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{55\!\cdots\!34}{59\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{31\!\cdots\!28}{59\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{50\!\cdots\!01}{59\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!21}{59\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{48\!\cdots\!34}{59\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{88\!\cdots\!86}{59\!\cdots\!17}a^{4}+\frac{30\!\cdots\!53}{59\!\cdots\!17}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!48}{59\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{71\!\cdots\!96}{59\!\cdots\!17}a-\frac{92\!\cdots\!37}{10\!\cdots\!63}$, $\frac{27\!\cdots\!01}{59\!\cdots\!17}a^{27}-\frac{74\!\cdots\!45}{59\!\cdots\!17}a^{26}-\frac{30\!\cdots\!24}{59\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{87\!\cdots\!98}{59\!\cdots\!17}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!85}{59\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{41\!\cdots\!56}{59\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{33\!\cdots\!89}{59\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{61\!\cdots\!02}{34\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{48\!\cdots\!74}{59\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!61}{59\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{43\!\cdots\!02}{59\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!15}{59\!\cdots\!17}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!46}{59\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{84\!\cdots\!46}{59\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{85\!\cdots\!78}{59\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{31\!\cdots\!48}{59\!\cdots\!17}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!40}{59\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{72\!\cdots\!27}{59\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!94}{34\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{98\!\cdots\!87}{59\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{27\!\cdots\!92}{59\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{77\!\cdots\!64}{59\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{22\!\cdots\!41}{59\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{31\!\cdots\!12}{59\!\cdots\!17}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!25}{59\!\cdots\!17}a^{3}-\frac{49\!\cdots\!88}{59\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{23\!\cdots\!85}{59\!\cdots\!17}a-\frac{25\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!63}$, $\frac{19\!\cdots\!93}{59\!\cdots\!17}a^{27}-\frac{65\!\cdots\!75}{59\!\cdots\!17}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!41}{34\!\cdots\!01}a^{25}+\frac{76\!\cdots\!95}{59\!\cdots\!17}a^{24}+\frac{96\!\cdots\!14}{59\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{36\!\cdots\!84}{59\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{22\!\cdots\!93}{59\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{90\!\cdots\!16}{59\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{30\!\cdots\!94}{59\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!65}{59\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{24\!\cdots\!59}{59\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!04}{59\!\cdots\!17}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!68}{59\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{72\!\cdots\!20}{59\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!48}{59\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{26\!\cdots\!98}{59\!\cdots\!17}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!92}{59\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{60\!\cdots\!44}{59\!\cdots\!17}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!29}{59\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{82\!\cdots\!40}{59\!\cdots\!17}a^{8}-\frac{33\!\cdots\!91}{59\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{63\!\cdots\!49}{59\!\cdots\!17}a^{6}+\frac{29\!\cdots\!12}{59\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!01}{59\!\cdots\!17}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!88}{59\!\cdots\!17}a^{3}-\frac{42\!\cdots\!30}{59\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!06}{59\!\cdots\!17}a+\frac{22\!\cdots\!87}{10\!\cdots\!63}$, $\frac{25\!\cdots\!76}{59\!\cdots\!17}a^{27}-\frac{56\!\cdots\!61}{59\!\cdots\!17}a^{26}-\frac{16\!\cdots\!76}{34\!\cdots\!01}a^{25}+\frac{67\!\cdots\!35}{59\!\cdots\!17}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!60}{59\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{32\!\cdots\!50}{59\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{33\!\cdots\!42}{59\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{82\!\cdots\!72}{59\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{50\!\cdots\!91}{59\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!92}{59\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{47\!\cdots\!13}{59\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!00}{59\!\cdots\!17}a^{16}+\frac{29\!\cdots\!36}{59\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{71\!\cdots\!77}{59\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!55}{59\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!48}{59\!\cdots\!17}a^{12}+\frac{31\!\cdots\!99}{59\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{66\!\cdots\!02}{59\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{56\!\cdots\!06}{59\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{98\!\cdots\!54}{59\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{65\!\cdots\!48}{59\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{83\!\cdots\!67}{59\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{48\!\cdots\!64}{59\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!43}{59\!\cdots\!17}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!47}{59\!\cdots\!17}a^{3}-\frac{58\!\cdots\!69}{59\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{37\!\cdots\!82}{59\!\cdots\!17}a-\frac{40\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!63}$, $\frac{43\!\cdots\!96}{59\!\cdots\!17}a^{27}-\frac{10\!\cdots\!50}{59\!\cdots\!17}a^{26}-\frac{48\!\cdots\!42}{59\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!44}{59\!\cdots\!17}a^{24}+\frac{22\!\cdots\!17}{59\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{58\!\cdots\!91}{59\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{55\!\cdots\!66}{59\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!98}{59\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{81\!\cdots\!35}{59\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!82}{59\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{76\!\cdots\!34}{59\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!28}{59\!\cdots\!17}a^{16}+\frac{45\!\cdots\!77}{59\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!94}{59\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!66}{59\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{46\!\cdots\!16}{59\!\cdots\!17}a^{12}+\frac{44\!\cdots\!99}{59\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!97}{59\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{73\!\cdots\!49}{59\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!50}{59\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{82\!\cdots\!37}{59\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!99}{59\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{61\!\cdots\!37}{59\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{53\!\cdots\!58}{59\!\cdots\!17}a^{4}+\frac{27\!\cdots\!77}{59\!\cdots\!17}a^{3}-\frac{84\!\cdots\!92}{59\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{50\!\cdots\!82}{59\!\cdots\!17}a-\frac{53\!\cdots\!55}{10\!\cdots\!63}$, $\frac{24\!\cdots\!08}{59\!\cdots\!17}a^{27}-\frac{53\!\cdots\!60}{59\!\cdots\!17}a^{26}-\frac{27\!\cdots\!95}{59\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{63\!\cdots\!50}{59\!\cdots\!17}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!05}{59\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{30\!\cdots\!14}{59\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{95\!\cdots\!34}{17\!\cdots\!07}a^{21}+\frac{77\!\cdots\!09}{59\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{47\!\cdots\!51}{59\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!83}{59\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{45\!\cdots\!04}{59\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!32}{59\!\cdots\!17}a^{16}+\frac{27\!\cdots\!50}{59\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{66\!\cdots\!47}{59\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!26}{59\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!70}{59\!\cdots\!17}a^{12}+\frac{28\!\cdots\!41}{59\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{60\!\cdots\!61}{59\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{48\!\cdots\!77}{59\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{51\!\cdots\!01}{34\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{51\!\cdots\!64}{59\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{72\!\cdots\!65}{59\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{34\!\cdots\!54}{59\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{30\!\cdots\!33}{59\!\cdots\!17}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!24}{59\!\cdots\!17}a^{3}-\frac{45\!\cdots\!13}{59\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!66}{59\!\cdots\!17}a-\frac{20\!\cdots\!08}{10\!\cdots\!63}$, $\frac{19\!\cdots\!11}{59\!\cdots\!17}a^{27}-\frac{63\!\cdots\!92}{59\!\cdots\!17}a^{26}-\frac{21\!\cdots\!06}{59\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{73\!\cdots\!30}{59\!\cdots\!17}a^{24}+\frac{95\!\cdots\!65}{59\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{34\!\cdots\!76}{59\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{22\!\cdots\!24}{59\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{85\!\cdots\!67}{59\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{30\!\cdots\!84}{59\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!57}{59\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{24\!\cdots\!06}{59\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!09}{59\!\cdots\!17}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!81}{59\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{66\!\cdots\!62}{59\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{24\!\cdots\!99}{59\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!21}{59\!\cdots\!17}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!16}{59\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{51\!\cdots\!51}{59\!\cdots\!17}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!18}{59\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{65\!\cdots\!91}{59\!\cdots\!17}a^{8}-\frac{21\!\cdots\!72}{59\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{46\!\cdots\!49}{59\!\cdots\!17}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!79}{59\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!75}{59\!\cdots\!17}a^{4}-\frac{48\!\cdots\!16}{59\!\cdots\!17}a^{3}-\frac{25\!\cdots\!01}{59\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{37\!\cdots\!07}{59\!\cdots\!17}a+\frac{39\!\cdots\!27}{59\!\cdots\!39}$, $\frac{59\!\cdots\!12}{34\!\cdots\!01}a^{27}-\frac{24\!\cdots\!51}{34\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{70\!\cdots\!13}{34\!\cdots\!01}a^{25}+\frac{41\!\cdots\!83}{34\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{35\!\cdots\!02}{34\!\cdots\!01}a^{23}-\frac{23\!\cdots\!12}{34\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{96\!\cdots\!17}{34\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{71\!\cdots\!39}{34\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!52}{34\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!31}{34\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!48}{34\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!59}{34\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!89}{34\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!26}{34\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{63\!\cdots\!30}{34\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{48\!\cdots\!59}{34\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!79}{34\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!84}{34\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{41\!\cdots\!58}{34\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!16}{34\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{50\!\cdots\!57}{34\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{26\!\cdots\!67}{34\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{36\!\cdots\!92}{34\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!12}{34\!\cdots\!01}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!21}{34\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!46}{34\!\cdots\!01}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!56}{34\!\cdots\!01}a-\frac{27\!\cdots\!01}{59\!\cdots\!39}$, $\frac{17\!\cdots\!86}{34\!\cdots\!01}a^{27}-\frac{42\!\cdots\!00}{34\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{20\!\cdots\!73}{34\!\cdots\!01}a^{25}+\frac{50\!\cdots\!89}{34\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{92\!\cdots\!38}{34\!\cdots\!01}a^{23}-\frac{24\!\cdots\!88}{34\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{23\!\cdots\!10}{34\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{61\!\cdots\!28}{34\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{34\!\cdots\!19}{34\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{92\!\cdots\!65}{34\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{32\!\cdots\!80}{34\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{87\!\cdots\!52}{34\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!06}{34\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{52\!\cdots\!81}{34\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{77\!\cdots\!37}{34\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!47}{34\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!54}{34\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{47\!\cdots\!80}{34\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{34\!\cdots\!44}{34\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{69\!\cdots\!66}{34\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{39\!\cdots\!42}{34\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{58\!\cdots\!61}{34\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!40}{34\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!91}{34\!\cdots\!01}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!99}{34\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{41\!\cdots\!88}{34\!\cdots\!01}a^{2}-\frac{24\!\cdots\!26}{34\!\cdots\!01}a-\frac{24\!\cdots\!85}{59\!\cdots\!39}$, $\frac{11\!\cdots\!69}{59\!\cdots\!17}a^{27}-\frac{20\!\cdots\!23}{59\!\cdots\!17}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!86}{59\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{25\!\cdots\!81}{59\!\cdots\!17}a^{24}+\frac{60\!\cdots\!90}{59\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{12\!\cdots\!50}{59\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!95}{59\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{32\!\cdots\!02}{59\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!41}{34\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{49\!\cdots\!38}{59\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!87}{59\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{48\!\cdots\!31}{59\!\cdots\!17}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!25}{59\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{29\!\cdots\!83}{59\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{45\!\cdots\!80}{59\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!78}{59\!\cdots\!17}a^{12}+\frac{96\!\cdots\!76}{59\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!18}{59\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!94}{59\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!53}{34\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!81}{59\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{39\!\cdots\!82}{59\!\cdots\!17}a^{6}+\frac{68\!\cdots\!34}{59\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{17\!\cdots\!19}{59\!\cdots\!17}a^{4}-\frac{50\!\cdots\!21}{59\!\cdots\!17}a^{3}-\frac{28\!\cdots\!88}{59\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{83\!\cdots\!91}{59\!\cdots\!17}a+\frac{12\!\cdots\!14}{10\!\cdots\!63}$, $\frac{24\!\cdots\!57}{59\!\cdots\!17}a^{27}-\frac{66\!\cdots\!41}{59\!\cdots\!17}a^{26}-\frac{27\!\cdots\!92}{59\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{78\!\cdots\!94}{59\!\cdots\!17}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!73}{59\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{37\!\cdots\!77}{59\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{29\!\cdots\!06}{59\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{92\!\cdots\!67}{59\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{41\!\cdots\!77}{59\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!13}{59\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{35\!\cdots\!19}{59\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!28}{59\!\cdots\!17}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!55}{59\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{73\!\cdots\!17}{59\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{57\!\cdots\!06}{59\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{26\!\cdots\!33}{59\!\cdots\!17}a^{12}+\frac{96\!\cdots\!32}{59\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{58\!\cdots\!22}{59\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{73\!\cdots\!41}{59\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{77\!\cdots\!85}{59\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!78}{59\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{56\!\cdots\!06}{59\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!27}{59\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!67}{59\!\cdots\!17}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!72}{59\!\cdots\!17}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!54}{34\!\cdots\!01}a^{2}-\frac{78\!\cdots\!31}{59\!\cdots\!17}a-\frac{68\!\cdots\!70}{10\!\cdots\!63}$, $\frac{26\!\cdots\!65}{59\!\cdots\!17}a^{27}-\frac{46\!\cdots\!14}{59\!\cdots\!17}a^{26}-\frac{29\!\cdots\!56}{59\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{56\!\cdots\!74}{59\!\cdots\!17}a^{24}+\frac{81\!\cdots\!63}{34\!\cdots\!01}a^{23}-\frac{27\!\cdots\!20}{59\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{35\!\cdots\!57}{59\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{70\!\cdots\!24}{59\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{32\!\cdots\!33}{34\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!02}{59\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{54\!\cdots\!68}{59\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!27}{59\!\cdots\!17}a^{16}+\frac{35\!\cdots\!65}{59\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{64\!\cdots\!40}{59\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!26}{59\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!27}{59\!\cdots\!17}a^{12}+\frac{42\!\cdots\!34}{59\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{63\!\cdots\!95}{59\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{76\!\cdots\!75}{59\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{96\!\cdots\!14}{59\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{86\!\cdots\!72}{59\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{86\!\cdots\!34}{59\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{58\!\cdots\!38}{59\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{40\!\cdots\!32}{59\!\cdots\!17}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!00}{59\!\cdots\!17}a^{3}-\frac{45\!\cdots\!54}{34\!\cdots\!01}a^{2}-\frac{33\!\cdots\!66}{59\!\cdots\!17}a+\frac{16\!\cdots\!78}{59\!\cdots\!39}$, $\frac{92\!\cdots\!45}{59\!\cdots\!17}a^{27}-\frac{66\!\cdots\!18}{59\!\cdots\!17}a^{26}-\frac{94\!\cdots\!70}{59\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{44\!\cdots\!82}{34\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{36\!\cdots\!60}{59\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{34\!\cdots\!44}{59\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{64\!\cdots\!86}{59\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{86\!\cdots\!71}{59\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{40\!\cdots\!03}{59\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!34}{59\!\cdots\!17}a^{18}+\frac{40\!\cdots\!71}{59\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!73}{59\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{95\!\cdots\!18}{59\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{65\!\cdots\!00}{59\!\cdots\!17}a^{14}+\frac{79\!\cdots\!36}{59\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!10}{59\!\cdots\!17}a^{12}-\frac{35\!\cdots\!45}{59\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{47\!\cdots\!35}{59\!\cdots\!17}a^{10}+\frac{95\!\cdots\!37}{59\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{53\!\cdots\!83}{59\!\cdots\!17}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!21}{59\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!91}{59\!\cdots\!17}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!47}{59\!\cdots\!17}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!66}{59\!\cdots\!17}a^{4}-\frac{67\!\cdots\!66}{59\!\cdots\!17}a^{3}+\frac{21\!\cdots\!02}{59\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!54}{59\!\cdots\!17}a+\frac{15\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!63}$, 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$\frac{27\!\cdots\!08}{59\!\cdots\!17}a^{27}-\frac{12\!\cdots\!41}{59\!\cdots\!17}a^{26}-\frac{28\!\cdots\!61}{59\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!37}{59\!\cdots\!17}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!99}{59\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{66\!\cdots\!33}{59\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{24\!\cdots\!62}{59\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{16\!\cdots\!43}{59\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{25\!\cdots\!49}{59\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!92}{34\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!60}{59\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!86}{59\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{61\!\cdots\!48}{59\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!77}{59\!\cdots\!17}a^{14}+\frac{91\!\cdots\!79}{59\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{41\!\cdots\!49}{59\!\cdots\!17}a^{12}-\frac{46\!\cdots\!88}{59\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{86\!\cdots\!60}{59\!\cdots\!17}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!85}{59\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!47}{59\!\cdots\!17}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!53}{59\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{62\!\cdots\!83}{59\!\cdots\!17}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!63}{59\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!96}{59\!\cdots\!17}a^{4}-\frac{50\!\cdots\!34}{59\!\cdots\!17}a^{3}-\frac{33\!\cdots\!77}{59\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{76\!\cdots\!53}{59\!\cdots\!17}a+\frac{94\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!63}$, 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$\frac{29\!\cdots\!97}{59\!\cdots\!17}a^{27}-\frac{58\!\cdots\!40}{59\!\cdots\!17}a^{26}-\frac{32\!\cdots\!94}{59\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{70\!\cdots\!88}{59\!\cdots\!17}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!20}{59\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{33\!\cdots\!03}{59\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{38\!\cdots\!58}{59\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{85\!\cdots\!08}{59\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{58\!\cdots\!31}{59\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!37}{59\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{33\!\cdots\!49}{34\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!22}{59\!\cdots\!17}a^{16}+\frac{35\!\cdots\!65}{59\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{72\!\cdots\!98}{59\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!22}{59\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!57}{59\!\cdots\!17}a^{12}+\frac{41\!\cdots\!06}{59\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{64\!\cdots\!15}{59\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{77\!\cdots\!18}{59\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{91\!\cdots\!80}{59\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{97\!\cdots\!55}{59\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{75\!\cdots\!86}{59\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{78\!\cdots\!88}{59\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{32\!\cdots\!05}{59\!\cdots\!17}a^{4}+\frac{34\!\cdots\!70}{59\!\cdots\!17}a^{3}-\frac{51\!\cdots\!01}{59\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{61\!\cdots\!19}{59\!\cdots\!17}a-\frac{70\!\cdots\!04}{10\!\cdots\!63}$, $\frac{10\!\cdots\!73}{59\!\cdots\!17}a^{27}-\frac{19\!\cdots\!63}{59\!\cdots\!17}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!57}{59\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{23\!\cdots\!84}{59\!\cdots\!17}a^{24}+\frac{55\!\cdots\!64}{59\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!17}{59\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{14\!\cdots\!78}{59\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{17\!\cdots\!33}{34\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{21\!\cdots\!00}{59\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{45\!\cdots\!33}{59\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!45}{59\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{43\!\cdots\!14}{59\!\cdots\!17}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!34}{59\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{27\!\cdots\!83}{59\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{59\!\cdots\!90}{59\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{63\!\cdots\!70}{34\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!53}{59\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!07}{59\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{30\!\cdots\!31}{59\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{41\!\cdots\!33}{59\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{36\!\cdots\!62}{59\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{36\!\cdots\!24}{59\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{26\!\cdots\!44}{59\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!34}{59\!\cdots\!17}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!59}{59\!\cdots\!17}a^{3}-\frac{26\!\cdots\!22}{59\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!31}{59\!\cdots\!17}a-\frac{20\!\cdots\!54}{10\!\cdots\!63}$, $\frac{13\!\cdots\!77}{59\!\cdots\!17}a^{27}-\frac{28\!\cdots\!74}{59\!\cdots\!17}a^{26}-\frac{14\!\cdots\!92}{59\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{33\!\cdots\!46}{59\!\cdots\!17}a^{24}+\frac{68\!\cdots\!85}{59\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{16\!\cdots\!56}{59\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{17\!\cdots\!85}{59\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{41\!\cdots\!06}{59\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{26\!\cdots\!35}{59\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{62\!\cdots\!14}{59\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!48}{34\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{59\!\cdots\!53}{59\!\cdots\!17}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!63}{59\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{36\!\cdots\!96}{59\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{64\!\cdots\!16}{59\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!27}{59\!\cdots\!17}a^{12}+\frac{17\!\cdots\!76}{59\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{34\!\cdots\!61}{59\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{30\!\cdots\!11}{59\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{51\!\cdots\!48}{59\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{35\!\cdots\!76}{59\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{44\!\cdots\!74}{59\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{25\!\cdots\!32}{59\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!02}{59\!\cdots\!17}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!54}{59\!\cdots\!17}a^{3}-\frac{31\!\cdots\!28}{59\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!94}{59\!\cdots\!17}a-\frac{20\!\cdots\!46}{10\!\cdots\!63}$, $\frac{60\!\cdots\!41}{59\!\cdots\!17}a^{27}-\frac{16\!\cdots\!26}{59\!\cdots\!17}a^{26}-\frac{68\!\cdots\!37}{59\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{29\!\cdots\!86}{59\!\cdots\!17}a^{24}+\frac{32\!\cdots\!79}{59\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{16\!\cdots\!99}{59\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{83\!\cdots\!40}{59\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{46\!\cdots\!75}{59\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!63}{59\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{73\!\cdots\!66}{59\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!10}{59\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{72\!\cdots\!84}{59\!\cdots\!17}a^{16}+\frac{86\!\cdots\!81}{59\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{45\!\cdots\!97}{59\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{37\!\cdots\!32}{59\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!69}{59\!\cdots\!17}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!21}{59\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{44\!\cdots\!98}{59\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!11}{59\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{68\!\cdots\!27}{59\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!94}{59\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{34\!\cdots\!54}{34\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!72}{59\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{24\!\cdots\!16}{59\!\cdots\!17}a^{4}+\frac{52\!\cdots\!58}{59\!\cdots\!17}a^{3}-\frac{28\!\cdots\!14}{59\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{76\!\cdots\!03}{59\!\cdots\!17}a-\frac{90\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!63}$, $\frac{35\!\cdots\!34}{59\!\cdots\!17}a^{27}-\frac{13\!\cdots\!85}{59\!\cdots\!17}a^{26}-\frac{38\!\cdots\!77}{59\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!02}{59\!\cdots\!17}a^{24}+\frac{17\!\cdots\!65}{59\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{72\!\cdots\!62}{59\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{40\!\cdots\!00}{59\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{18\!\cdots\!94}{59\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{54\!\cdots\!73}{59\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!96}{59\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{44\!\cdots\!69}{59\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{24\!\cdots\!03}{59\!\cdots\!17}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!10}{59\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!66}{59\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{57\!\cdots\!42}{59\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{53\!\cdots\!34}{59\!\cdots\!17}a^{12}+\frac{60\!\cdots\!79}{59\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!74}{59\!\cdots\!17}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!41}{59\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!97}{59\!\cdots\!17}a^{8}-\frac{85\!\cdots\!78}{59\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!36}{59\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{49\!\cdots\!43}{59\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{48\!\cdots\!54}{59\!\cdots\!17}a^{4}+\frac{58\!\cdots\!91}{59\!\cdots\!17}a^{3}-\frac{78\!\cdots\!91}{59\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!84}{59\!\cdots\!17}a-\frac{95\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!63}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 9549725081294820000000 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{28}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 9549725081294820000000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{40485042622025269417087481839880287486644411644458770751953125}}\cr\approx \mathstrut & 0.201443589627507 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^28 - 3*x^27 - 111*x^26 + 355*x^25 + 5014*x^24 - 16873*x^23 - 121463*x^22 + 430221*x^21 + 1739875*x^20 - 6558612*x^19 - 15281943*x^18 + 62805921*x^17 + 82351466*x^16 - 386151006*x^15 - 261479693*x^14 + 1531368941*x^13 + 426084076*x^12 - 3886142713*x^11 - 137358612*x^10 + 6204587325*x^9 - 603585672*x^8 - 6078001902*x^7 + 902850052*x^6 + 3489342686*x^5 - 463454290*x^4 - 1069073901*x^3 + 59014540*x^2 + 137225481*x + 9342001)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^28 - 3*x^27 - 111*x^26 + 355*x^25 + 5014*x^24 - 16873*x^23 - 121463*x^22 + 430221*x^21 + 1739875*x^20 - 6558612*x^19 - 15281943*x^18 + 62805921*x^17 + 82351466*x^16 - 386151006*x^15 - 261479693*x^14 + 1531368941*x^13 + 426084076*x^12 - 3886142713*x^11 - 137358612*x^10 + 6204587325*x^9 - 603585672*x^8 - 6078001902*x^7 + 902850052*x^6 + 3489342686*x^5 - 463454290*x^4 - 1069073901*x^3 + 59014540*x^2 + 137225481*x + 9342001, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^28 - 3*x^27 - 111*x^26 + 355*x^25 + 5014*x^24 - 16873*x^23 - 121463*x^22 + 430221*x^21 + 1739875*x^20 - 6558612*x^19 - 15281943*x^18 + 62805921*x^17 + 82351466*x^16 - 386151006*x^15 - 261479693*x^14 + 1531368941*x^13 + 426084076*x^12 - 3886142713*x^11 - 137358612*x^10 + 6204587325*x^9 - 603585672*x^8 - 6078001902*x^7 + 902850052*x^6 + 3489342686*x^5 - 463454290*x^4 - 1069073901*x^3 + 59014540*x^2 + 137225481*x + 9342001);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^28 - 3*x^27 - 111*x^26 + 355*x^25 + 5014*x^24 - 16873*x^23 - 121463*x^22 + 430221*x^21 + 1739875*x^20 - 6558612*x^19 - 15281943*x^18 + 62805921*x^17 + 82351466*x^16 - 386151006*x^15 - 261479693*x^14 + 1531368941*x^13 + 426084076*x^12 - 3886142713*x^11 - 137358612*x^10 + 6204587325*x^9 - 603585672*x^8 - 6078001902*x^7 + 902850052*x^6 + 3489342686*x^5 - 463454290*x^4 - 1069073901*x^3 + 59014540*x^2 + 137225481*x + 9342001);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A cyclic group of order 28 |
| The 28 conjugacy class representatives for $C_{28}$ |
| Character table for $C_{28}$ |
Intermediate fields
| \(\Q(\sqrt{5}) \), 4.4.6125.1, 7.7.594823321.1, 14.14.27641779937927268828125.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | $28$ | $28$ | R | R | ${\href{/padicField/11.7.0.1}{7} }^{4}$ | $28$ | ${\href{/padicField/17.4.0.1}{4} }^{7}$ | ${\href{/padicField/19.7.0.1}{7} }^{4}$ | $28$ | R | ${\href{/padicField/31.14.0.1}{14} }^{2}$ | $28$ | ${\href{/padicField/41.2.0.1}{2} }^{14}$ | $28$ | $28$ | $28$ | ${\href{/padicField/59.1.0.1}{1} }^{28}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(5\)
| Deg $28$ | $4$ | $7$ | $21$ | |||
|
\(7\)
| Deg $28$ | $2$ | $14$ | $14$ | |||
|
\(29\)
| 29.14.12.1 | $x^{14} + 168 x^{13} + 12110 x^{12} + 485856 x^{11} + 11733204 x^{10} + 171095904 x^{9} + 1407877912 x^{8} + 5266970938 x^{7} + 2815760696 x^{6} + 684731964 x^{5} + 107750832 x^{4} + 339857336 x^{3} + 4765729696 x^{2} + 37989914704 x + 129797258121$ | $7$ | $2$ | $12$ | $C_{14}$ | $[\ ]_{7}^{2}$ |
| 29.14.12.1 | $x^{14} + 168 x^{13} + 12110 x^{12} + 485856 x^{11} + 11733204 x^{10} + 171095904 x^{9} + 1407877912 x^{8} + 5266970938 x^{7} + 2815760696 x^{6} + 684731964 x^{5} + 107750832 x^{4} + 339857336 x^{3} + 4765729696 x^{2} + 37989914704 x + 129797258121$ | $7$ | $2$ | $12$ | $C_{14}$ | $[\ ]_{7}^{2}$ |