Normalized defining polynomial
\( x^{28} - 4 x^{27} - 70 x^{26} + 272 x^{25} + 2007 x^{24} - 7620 x^{23} - 31106 x^{22} + 115948 x^{21} + \cdots - 23953 \)
Invariants
Degree: | $28$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[28, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(18917407352603402612306290142504402709970002327473311711232\) \(\medspace = 2^{77}\cdot 29^{24}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(120.59\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | $2^{11/4}29^{6/7}\approx 120.59144141897728$ | ||
Ramified primes: | \(2\), \(29\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{2}) \) | ||
$\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $28$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
Conductor: | \(464=2^{4}\cdot 29\) | ||
Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{464}(1,·)$, $\chi_{464}(197,·)$, $\chi_{464}(257,·)$, $\chi_{464}(393,·)$, $\chi_{464}(141,·)$, $\chi_{464}(45,·)$, $\chi_{464}(401,·)$, $\chi_{464}(297,·)$, $\chi_{464}(277,·)$, $\chi_{464}(25,·)$, $\chi_{464}(397,·)$, $\chi_{464}(281,·)$, $\chi_{464}(285,·)$, $\chi_{464}(161,·)$, $\chi_{464}(373,·)$, $\chi_{464}(165,·)$, $\chi_{464}(65,·)$, $\chi_{464}(81,·)$, $\chi_{464}(169,·)$, $\chi_{464}(429,·)$, $\chi_{464}(413,·)$, $\chi_{464}(49,·)$, $\chi_{464}(181,·)$, $\chi_{464}(349,·)$, $\chi_{464}(233,·)$, $\chi_{464}(313,·)$, $\chi_{464}(117,·)$, $\chi_{464}(53,·)$$\rbrace$ | ||
This is not a CM field. |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $\frac{1}{17}a^{15}+\frac{6}{17}a^{14}+\frac{8}{17}a^{13}-\frac{1}{17}a^{12}+\frac{8}{17}a^{11}+\frac{8}{17}a^{10}-\frac{6}{17}a^{9}-\frac{5}{17}a^{8}+\frac{2}{17}a^{7}-\frac{1}{17}a^{6}+\frac{6}{17}a^{5}-\frac{4}{17}a^{4}-\frac{5}{17}a^{3}-\frac{3}{17}a^{2}+\frac{3}{17}a$, $\frac{1}{17}a^{16}+\frac{6}{17}a^{14}+\frac{2}{17}a^{13}-\frac{3}{17}a^{12}-\frac{6}{17}a^{11}-\frac{3}{17}a^{10}-\frac{3}{17}a^{9}-\frac{2}{17}a^{8}+\frac{4}{17}a^{7}-\frac{5}{17}a^{6}-\frac{6}{17}a^{5}+\frac{2}{17}a^{4}-\frac{7}{17}a^{3}+\frac{4}{17}a^{2}-\frac{1}{17}a$, $\frac{1}{17}a^{17}-\frac{1}{17}a$, $\frac{1}{17}a^{18}-\frac{1}{17}a^{2}$, $\frac{1}{17}a^{19}-\frac{1}{17}a^{3}$, $\frac{1}{17}a^{20}-\frac{1}{17}a^{4}$, $\frac{1}{17}a^{21}-\frac{1}{17}a^{5}$, $\frac{1}{17}a^{22}-\frac{1}{17}a^{6}$, $\frac{1}{17}a^{23}-\frac{1}{17}a^{7}$, $\frac{1}{289}a^{24}-\frac{7}{289}a^{23}-\frac{6}{289}a^{22}+\frac{4}{289}a^{21}+\frac{6}{289}a^{20}+\frac{1}{289}a^{19}-\frac{6}{289}a^{18}-\frac{4}{289}a^{17}-\frac{3}{289}a^{16}+\frac{67}{289}a^{14}+\frac{96}{289}a^{13}+\frac{43}{289}a^{12}-\frac{33}{289}a^{11}-\frac{76}{289}a^{10}-\frac{76}{289}a^{9}+\frac{90}{289}a^{8}+\frac{80}{289}a^{7}+\frac{38}{289}a^{6}-\frac{37}{289}a^{5}-\frac{29}{289}a^{4}+\frac{122}{289}a^{3}+\frac{45}{289}a^{2}+\frac{75}{289}a-\frac{6}{17}$, $\frac{1}{289}a^{25}-\frac{4}{289}a^{23}-\frac{4}{289}a^{22}-\frac{8}{289}a^{20}+\frac{1}{289}a^{19}+\frac{5}{289}a^{18}+\frac{3}{289}a^{17}-\frac{4}{289}a^{16}-\frac{1}{289}a^{15}-\frac{30}{289}a^{14}-\frac{84}{289}a^{13}-\frac{4}{289}a^{12}-\frac{86}{289}a^{11}-\frac{47}{289}a^{10}-\frac{5}{17}a^{9}-\frac{140}{289}a^{8}-\frac{99}{289}a^{7}-\frac{111}{289}a^{6}+\frac{103}{289}a^{5}-\frac{13}{289}a^{4}-\frac{36}{289}a^{3}+\frac{33}{289}a^{2}-\frac{121}{289}a-\frac{8}{17}$, $\frac{1}{15\!\cdots\!81}a^{26}+\frac{61\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!81}a^{25}-\frac{23\!\cdots\!76}{15\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{23\!\cdots\!15}{15\!\cdots\!81}a^{23}-\frac{38\!\cdots\!93}{15\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!91}{15\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{27\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!81}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!78}{15\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{29\!\cdots\!84}{15\!\cdots\!81}a^{17}-\frac{21\!\cdots\!08}{15\!\cdots\!81}a^{16}-\frac{44\!\cdots\!90}{15\!\cdots\!81}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{71\!\cdots\!92}{15\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{47\!\cdots\!24}{15\!\cdots\!81}a^{12}+\frac{52\!\cdots\!58}{15\!\cdots\!81}a^{11}-\frac{63\!\cdots\!30}{15\!\cdots\!81}a^{10}+\frac{50\!\cdots\!12}{15\!\cdots\!81}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{44\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{55\!\cdots\!42}{15\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{22\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{49\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{41\!\cdots\!77}{15\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{65\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!81}a^{2}-\frac{62\!\cdots\!15}{15\!\cdots\!81}a-\frac{13\!\cdots\!28}{92\!\cdots\!93}$, $\frac{1}{57\!\cdots\!13}a^{27}-\frac{15\!\cdots\!92}{57\!\cdots\!13}a^{26}-\frac{52\!\cdots\!81}{57\!\cdots\!13}a^{25}-\frac{47\!\cdots\!47}{57\!\cdots\!13}a^{24}-\frac{82\!\cdots\!65}{33\!\cdots\!89}a^{23}+\frac{15\!\cdots\!02}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!20}{57\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!11}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{98\!\cdots\!91}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{19\!\cdots\!32}{57\!\cdots\!13}a^{18}+\frac{67\!\cdots\!54}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{57\!\cdots\!65}{57\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{97\!\cdots\!22}{33\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{25\!\cdots\!37}{57\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!15}{57\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{63\!\cdots\!19}{57\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!11}{57\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{69\!\cdots\!81}{57\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{94\!\cdots\!79}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!10}{57\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!03}{57\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{67\!\cdots\!57}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!23}{57\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!37}{57\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{80\!\cdots\!73}{57\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{54\!\cdots\!82}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!97}{57\!\cdots\!13}a-\frac{12\!\cdots\!66}{33\!\cdots\!89}$
Monogenic: | No | |
Index: | Not computed | |
Inessential primes: | $17$ |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
Unit group
Rank: | $27$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
Torsion generator: | \( -1 \) (order $2$) | sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
Fundamental units: | $\frac{20\!\cdots\!44}{26\!\cdots\!77}a^{27}-\frac{99\!\cdots\!06}{26\!\cdots\!77}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!72}{26\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{67\!\cdots\!10}{26\!\cdots\!77}a^{24}+\frac{20\!\cdots\!68}{15\!\cdots\!81}a^{23}-\frac{18\!\cdots\!24}{26\!\cdots\!77}a^{22}-\frac{46\!\cdots\!10}{26\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{27\!\cdots\!85}{26\!\cdots\!77}a^{20}+\frac{33\!\cdots\!20}{26\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!68}{26\!\cdots\!77}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!28}{26\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!73}{26\!\cdots\!77}a^{16}+\frac{61\!\cdots\!12}{15\!\cdots\!81}a^{15}-\frac{48\!\cdots\!98}{26\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{88\!\cdots\!34}{26\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!04}{26\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{36\!\cdots\!20}{26\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!82}{26\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{61\!\cdots\!84}{26\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!24}{26\!\cdots\!77}a^{8}-\frac{55\!\cdots\!80}{26\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{53\!\cdots\!30}{26\!\cdots\!77}a^{6}+\frac{27\!\cdots\!84}{26\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!19}{26\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{65\!\cdots\!36}{26\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{45\!\cdots\!83}{26\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{53\!\cdots\!54}{26\!\cdots\!77}a-\frac{32\!\cdots\!84}{15\!\cdots\!81}$, $\frac{15\!\cdots\!48}{33\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{78\!\cdots\!50}{33\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!72}{33\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{52\!\cdots\!46}{33\!\cdots\!89}a^{24}+\frac{26\!\cdots\!52}{33\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!38}{33\!\cdots\!89}a^{22}-\frac{35\!\cdots\!44}{33\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!33}{33\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{25\!\cdots\!88}{33\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{19\!\cdots\!20}{33\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{91\!\cdots\!44}{33\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!30}{33\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{56\!\cdots\!68}{33\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{37\!\cdots\!08}{33\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{76\!\cdots\!44}{33\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{48\!\cdots\!81}{19\!\cdots\!17}a^{12}-\frac{29\!\cdots\!00}{33\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!72}{33\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{48\!\cdots\!60}{33\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{91\!\cdots\!12}{33\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{43\!\cdots\!04}{33\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{40\!\cdots\!14}{33\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!16}{33\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{83\!\cdots\!76}{33\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{49\!\cdots\!68}{33\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{34\!\cdots\!14}{33\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{39\!\cdots\!01}{33\!\cdots\!89}a-\frac{23\!\cdots\!54}{19\!\cdots\!17}$, $\frac{28\!\cdots\!44}{57\!\cdots\!13}a^{27}-\frac{14\!\cdots\!04}{57\!\cdots\!13}a^{26}-\frac{18\!\cdots\!48}{57\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{96\!\cdots\!58}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{16\!\cdots\!12}{19\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{26\!\cdots\!28}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{65\!\cdots\!32}{57\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{39\!\cdots\!26}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{47\!\cdots\!84}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{35\!\cdots\!12}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!56}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{19\!\cdots\!62}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{69\!\cdots\!00}{33\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{68\!\cdots\!40}{57\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!40}{57\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!46}{57\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{53\!\cdots\!48}{57\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!52}{57\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{89\!\cdots\!96}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!13}{57\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{79\!\cdots\!36}{57\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{75\!\cdots\!68}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{38\!\cdots\!36}{57\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!76}{57\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{92\!\cdots\!36}{57\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{65\!\cdots\!76}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{74\!\cdots\!96}{57\!\cdots\!13}a-\frac{44\!\cdots\!60}{33\!\cdots\!89}$, $\frac{70\!\cdots\!64}{57\!\cdots\!13}a^{27}-\frac{34\!\cdots\!80}{57\!\cdots\!13}a^{26}-\frac{46\!\cdots\!24}{57\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{23\!\cdots\!78}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{70\!\cdots\!48}{33\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{64\!\cdots\!34}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!72}{57\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{96\!\cdots\!34}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!04}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{85\!\cdots\!50}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{41\!\cdots\!72}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{47\!\cdots\!70}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!32}{33\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!64}{57\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{33\!\cdots\!52}{57\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{36\!\cdots\!76}{57\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!60}{57\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{49\!\cdots\!56}{57\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!20}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{40\!\cdots\!26}{57\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{19\!\cdots\!52}{57\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!22}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{91\!\cdots\!08}{57\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{37\!\cdots\!63}{57\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{21\!\cdots\!84}{57\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!02}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!08}{57\!\cdots\!13}a-\frac{10\!\cdots\!96}{33\!\cdots\!89}$, $\frac{93\!\cdots\!04}{57\!\cdots\!13}a^{27}-\frac{46\!\cdots\!06}{57\!\cdots\!13}a^{26}-\frac{61\!\cdots\!68}{57\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{31\!\cdots\!10}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{93\!\cdots\!52}{33\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{86\!\cdots\!72}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{20\!\cdots\!48}{57\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{12\!\cdots\!01}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!44}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!24}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{52\!\cdots\!72}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{63\!\cdots\!03}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!76}{33\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{22\!\cdots\!38}{57\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{49\!\cdots\!00}{57\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{49\!\cdots\!96}{57\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{18\!\cdots\!20}{57\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{67\!\cdots\!58}{57\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!00}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{54\!\cdots\!20}{57\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{27\!\cdots\!28}{57\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!38}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!96}{57\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{50\!\cdots\!79}{57\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{31\!\cdots\!36}{57\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!02}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{25\!\cdots\!80}{57\!\cdots\!13}a-\frac{15\!\cdots\!41}{33\!\cdots\!89}$, $\frac{15\!\cdots\!48}{33\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{78\!\cdots\!50}{33\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!72}{33\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{52\!\cdots\!46}{33\!\cdots\!89}a^{24}+\frac{26\!\cdots\!52}{33\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!38}{33\!\cdots\!89}a^{22}-\frac{35\!\cdots\!44}{33\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!33}{33\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{25\!\cdots\!88}{33\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{19\!\cdots\!20}{33\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{91\!\cdots\!44}{33\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!30}{33\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{56\!\cdots\!68}{33\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{37\!\cdots\!08}{33\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{76\!\cdots\!44}{33\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{48\!\cdots\!81}{19\!\cdots\!17}a^{12}-\frac{29\!\cdots\!00}{33\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!72}{33\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{48\!\cdots\!60}{33\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{91\!\cdots\!12}{33\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{43\!\cdots\!04}{33\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{40\!\cdots\!14}{33\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!16}{33\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{83\!\cdots\!76}{33\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{49\!\cdots\!68}{33\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{34\!\cdots\!14}{33\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{39\!\cdots\!12}{33\!\cdots\!89}a-\frac{23\!\cdots\!37}{19\!\cdots\!17}$, $\frac{46\!\cdots\!08}{57\!\cdots\!13}a^{27}-\frac{23\!\cdots\!70}{57\!\cdots\!13}a^{26}-\frac{30\!\cdots\!24}{57\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!05}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{46\!\cdots\!16}{33\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{43\!\cdots\!36}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!12}{57\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{64\!\cdots\!47}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{76\!\cdots\!56}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{56\!\cdots\!40}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{27\!\cdots\!44}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{31\!\cdots\!75}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!72}{33\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!46}{57\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!24}{57\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!12}{57\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{85\!\cdots\!76}{57\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{33\!\cdots\!10}{57\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!36}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!55}{57\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!96}{57\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!34}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{61\!\cdots\!20}{57\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{24\!\cdots\!13}{57\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!08}{57\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!78}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!84}{57\!\cdots\!13}a-\frac{70\!\cdots\!20}{33\!\cdots\!89}$, $\frac{27\!\cdots\!20}{57\!\cdots\!13}a^{27}-\frac{13\!\cdots\!92}{57\!\cdots\!13}a^{26}-\frac{18\!\cdots\!80}{57\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{92\!\cdots\!88}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{16\!\cdots\!24}{19\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{25\!\cdots\!56}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{62\!\cdots\!72}{57\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{38\!\cdots\!94}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{44\!\cdots\!24}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{33\!\cdots\!44}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!52}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!45}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{52\!\cdots\!72}{33\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{65\!\cdots\!80}{57\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!08}{57\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!74}{57\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{52\!\cdots\!24}{57\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!44}{57\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{86\!\cdots\!32}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!80}{57\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{76\!\cdots\!64}{57\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{71\!\cdots\!20}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{36\!\cdots\!80}{57\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!92}{57\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{87\!\cdots\!80}{57\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{60\!\cdots\!56}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{70\!\cdots\!08}{57\!\cdots\!13}a-\frac{42\!\cdots\!50}{33\!\cdots\!89}$, $\frac{73\!\cdots\!66}{57\!\cdots\!13}a^{27}-\frac{36\!\cdots\!14}{57\!\cdots\!13}a^{26}-\frac{48\!\cdots\!22}{57\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{24\!\cdots\!80}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{73\!\cdots\!88}{33\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{67\!\cdots\!93}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!37}{57\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!64}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!16}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{89\!\cdots\!06}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{42\!\cdots\!33}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{49\!\cdots\!22}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!34}{33\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!57}{57\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{35\!\cdots\!80}{57\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{38\!\cdots\!89}{57\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!30}{57\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{52\!\cdots\!02}{57\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!80}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{42\!\cdots\!35}{57\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{20\!\cdots\!02}{57\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!12}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{96\!\cdots\!77}{57\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{39\!\cdots\!51}{57\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{23\!\cdots\!39}{57\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!93}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!60}{57\!\cdots\!13}a-\frac{11\!\cdots\!18}{33\!\cdots\!89}$, $\frac{21\!\cdots\!12}{57\!\cdots\!13}a^{27}-\frac{10\!\cdots\!74}{57\!\cdots\!13}a^{26}-\frac{14\!\cdots\!82}{57\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{71\!\cdots\!62}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{21\!\cdots\!72}{33\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{19\!\cdots\!28}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{48\!\cdots\!96}{57\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{29\!\cdots\!08}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{34\!\cdots\!16}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!02}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!02}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!85}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{48\!\cdots\!32}{33\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{50\!\cdots\!86}{57\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!24}{57\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!03}{57\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{39\!\cdots\!40}{57\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!52}{57\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{66\!\cdots\!00}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!69}{57\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{58\!\cdots\!60}{57\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{55\!\cdots\!15}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{28\!\cdots\!22}{57\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!15}{57\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{67\!\cdots\!56}{57\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{47\!\cdots\!96}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{54\!\cdots\!68}{57\!\cdots\!13}a-\frac{32\!\cdots\!62}{33\!\cdots\!89}$, $\frac{22\!\cdots\!00}{57\!\cdots\!13}a^{27}-\frac{11\!\cdots\!24}{57\!\cdots\!13}a^{26}-\frac{15\!\cdots\!16}{57\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{76\!\cdots\!98}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{23\!\cdots\!36}{33\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{21\!\cdots\!17}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{52\!\cdots\!54}{57\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{31\!\cdots\!41}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{37\!\cdots\!80}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!86}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!82}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!19}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{67\!\cdots\!20}{33\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{54\!\cdots\!11}{57\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!88}{57\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!30}{57\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{40\!\cdots\!36}{57\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!34}{57\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{68\!\cdots\!36}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!51}{57\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{61\!\cdots\!08}{57\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{60\!\cdots\!94}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{30\!\cdots\!26}{57\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!43}{57\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{72\!\cdots\!08}{57\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{53\!\cdots\!93}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{58\!\cdots\!02}{57\!\cdots\!13}a-\frac{34\!\cdots\!52}{33\!\cdots\!89}$, $\frac{11\!\cdots\!64}{57\!\cdots\!13}a^{27}-\frac{57\!\cdots\!04}{57\!\cdots\!13}a^{26}-\frac{76\!\cdots\!44}{57\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{38\!\cdots\!77}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!24}{33\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!35}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{26\!\cdots\!10}{57\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{15\!\cdots\!11}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{19\!\cdots\!44}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!73}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{71\!\cdots\!24}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{77\!\cdots\!11}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{37\!\cdots\!00}{33\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{27\!\cdots\!42}{57\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{48\!\cdots\!72}{57\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{60\!\cdots\!60}{57\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!76}{57\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{81\!\cdots\!62}{57\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{33\!\cdots\!58}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{66\!\cdots\!75}{57\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{29\!\cdots\!64}{57\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{29\!\cdots\!75}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!74}{57\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{61\!\cdots\!89}{57\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{33\!\cdots\!80}{57\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{27\!\cdots\!71}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{26\!\cdots\!76}{57\!\cdots\!13}a-\frac{15\!\cdots\!27}{33\!\cdots\!89}$, $\frac{73\!\cdots\!56}{57\!\cdots\!13}a^{27}-\frac{36\!\cdots\!82}{57\!\cdots\!13}a^{26}-\frac{47\!\cdots\!22}{57\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{24\!\cdots\!06}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{73\!\cdots\!77}{33\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{67\!\cdots\!21}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!69}{57\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!43}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!23}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{89\!\cdots\!16}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{42\!\cdots\!65}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{49\!\cdots\!81}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!78}{33\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!54}{57\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{35\!\cdots\!62}{57\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{38\!\cdots\!50}{57\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!90}{57\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{52\!\cdots\!57}{57\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!88}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{42\!\cdots\!30}{57\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{20\!\cdots\!99}{57\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!49}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{97\!\cdots\!34}{57\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{38\!\cdots\!39}{57\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{23\!\cdots\!55}{57\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!15}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!99}{57\!\cdots\!13}a-\frac{11\!\cdots\!02}{33\!\cdots\!89}$, $\frac{37\!\cdots\!58}{57\!\cdots\!13}a^{27}-\frac{18\!\cdots\!52}{57\!\cdots\!13}a^{26}-\frac{24\!\cdots\!01}{57\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!74}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{37\!\cdots\!74}{33\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{34\!\cdots\!92}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{85\!\cdots\!99}{57\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{51\!\cdots\!70}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{61\!\cdots\!28}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{45\!\cdots\!26}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!83}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{25\!\cdots\!47}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{59\!\cdots\!60}{19\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{88\!\cdots\!42}{57\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!19}{57\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!37}{57\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{67\!\cdots\!76}{57\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!66}{57\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!52}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{21\!\cdots\!44}{57\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!42}{57\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{98\!\cdots\!78}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{49\!\cdots\!22}{57\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!04}{57\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!66}{57\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{87\!\cdots\!61}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{95\!\cdots\!60}{57\!\cdots\!13}a-\frac{55\!\cdots\!15}{33\!\cdots\!89}$, $\frac{44\!\cdots\!34}{57\!\cdots\!13}a^{27}-\frac{21\!\cdots\!60}{57\!\cdots\!13}a^{26}-\frac{28\!\cdots\!74}{57\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!36}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{25\!\cdots\!06}{19\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{40\!\cdots\!92}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{99\!\cdots\!85}{57\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{60\!\cdots\!40}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{71\!\cdots\!56}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{53\!\cdots\!88}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{25\!\cdots\!70}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{29\!\cdots\!83}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{78\!\cdots\!64}{33\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!48}{57\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!47}{57\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!86}{57\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{83\!\cdots\!68}{57\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{31\!\cdots\!72}{57\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!20}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!16}{57\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!34}{57\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!16}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{58\!\cdots\!68}{57\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{23\!\cdots\!78}{57\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!66}{57\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{95\!\cdots\!27}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!37}{57\!\cdots\!13}a-\frac{65\!\cdots\!24}{33\!\cdots\!89}$, $\frac{62\!\cdots\!21}{57\!\cdots\!13}a^{27}-\frac{30\!\cdots\!04}{57\!\cdots\!13}a^{26}-\frac{41\!\cdots\!11}{57\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{20\!\cdots\!89}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{62\!\cdots\!31}{33\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{57\!\cdots\!73}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{14\!\cdots\!06}{57\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{85\!\cdots\!47}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!41}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{76\!\cdots\!80}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{37\!\cdots\!94}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{42\!\cdots\!11}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!27}{33\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!15}{57\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{27\!\cdots\!50}{57\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{32\!\cdots\!30}{57\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!88}{57\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{44\!\cdots\!31}{57\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!69}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{36\!\cdots\!83}{57\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!76}{57\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!01}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{81\!\cdots\!91}{57\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{33\!\cdots\!90}{57\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!88}{57\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!09}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!47}{57\!\cdots\!13}a-\frac{94\!\cdots\!41}{33\!\cdots\!89}$, $\frac{62\!\cdots\!34}{33\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{30\!\cdots\!62}{33\!\cdots\!89}a^{26}-\frac{40\!\cdots\!10}{33\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{20\!\cdots\!37}{33\!\cdots\!89}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!60}{33\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{57\!\cdots\!46}{33\!\cdots\!89}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!41}{33\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{50\!\cdots\!87}{19\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{98\!\cdots\!72}{33\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{75\!\cdots\!74}{33\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{34\!\cdots\!65}{33\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{41\!\cdots\!16}{33\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{48\!\cdots\!06}{11\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!98}{33\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{32\!\cdots\!30}{33\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{32\!\cdots\!44}{33\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{71\!\cdots\!26}{19\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{43\!\cdots\!34}{33\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{19\!\cdots\!16}{33\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{35\!\cdots\!94}{33\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!66}{33\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{93\!\cdots\!20}{19\!\cdots\!17}a^{6}+\frac{83\!\cdots\!91}{33\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{32\!\cdots\!12}{33\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!22}{33\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!91}{33\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!65}{33\!\cdots\!89}a-\frac{92\!\cdots\!16}{19\!\cdots\!17}$, $\frac{19\!\cdots\!60}{57\!\cdots\!13}a^{27}-\frac{98\!\cdots\!01}{57\!\cdots\!13}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!64}{57\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{66\!\cdots\!68}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{19\!\cdots\!36}{33\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{18\!\cdots\!59}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{44\!\cdots\!26}{57\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{27\!\cdots\!01}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{32\!\cdots\!12}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!75}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!40}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!21}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{45\!\cdots\!00}{33\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{46\!\cdots\!01}{57\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{94\!\cdots\!54}{57\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!23}{57\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{36\!\cdots\!24}{57\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!60}{57\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{61\!\cdots\!54}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!52}{57\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{54\!\cdots\!20}{57\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{51\!\cdots\!34}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{26\!\cdots\!38}{57\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!31}{57\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{62\!\cdots\!20}{57\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{44\!\cdots\!94}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{50\!\cdots\!48}{57\!\cdots\!13}a-\frac{29\!\cdots\!41}{33\!\cdots\!89}$, $\frac{41\!\cdots\!29}{57\!\cdots\!13}a^{27}-\frac{20\!\cdots\!55}{57\!\cdots\!13}a^{26}-\frac{27\!\cdots\!73}{57\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{13\!\cdots\!36}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{41\!\cdots\!31}{33\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{37\!\cdots\!02}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{93\!\cdots\!98}{57\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{56\!\cdots\!91}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{67\!\cdots\!17}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{49\!\cdots\!64}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{24\!\cdots\!27}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{27\!\cdots\!49}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!58}{33\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{96\!\cdots\!83}{57\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!65}{57\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!29}{57\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{73\!\cdots\!31}{57\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!89}{57\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!66}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{23\!\cdots\!66}{57\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!60}{57\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!36}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{52\!\cdots\!76}{57\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!38}{57\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!05}{57\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{93\!\cdots\!64}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!66}{57\!\cdots\!13}a-\frac{60\!\cdots\!38}{33\!\cdots\!89}$, $\frac{10\!\cdots\!42}{57\!\cdots\!13}a^{27}-\frac{52\!\cdots\!18}{57\!\cdots\!13}a^{26}-\frac{69\!\cdots\!44}{57\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{35\!\cdots\!34}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{61\!\cdots\!33}{19\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{97\!\cdots\!27}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{23\!\cdots\!48}{57\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!80}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{17\!\cdots\!42}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!71}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{61\!\cdots\!10}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{70\!\cdots\!59}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!89}{33\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!28}{57\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{50\!\cdots\!51}{57\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{55\!\cdots\!20}{57\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!10}{57\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{75\!\cdots\!64}{57\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{32\!\cdots\!73}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{60\!\cdots\!74}{57\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{28\!\cdots\!40}{57\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{27\!\cdots\!01}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!93}{57\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{55\!\cdots\!55}{57\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{33\!\cdots\!47}{57\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{23\!\cdots\!78}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{26\!\cdots\!41}{57\!\cdots\!13}a-\frac{15\!\cdots\!80}{33\!\cdots\!89}$, $\frac{56\!\cdots\!34}{57\!\cdots\!13}a^{27}-\frac{28\!\cdots\!54}{57\!\cdots\!13}a^{26}-\frac{37\!\cdots\!93}{57\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!39}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{56\!\cdots\!62}{33\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{52\!\cdots\!50}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!21}{57\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{77\!\cdots\!05}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{92\!\cdots\!94}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{68\!\cdots\!72}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{33\!\cdots\!15}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{38\!\cdots\!41}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!18}{33\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!36}{57\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{26\!\cdots\!54}{57\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{29\!\cdots\!89}{57\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!42}{57\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{40\!\cdots\!44}{57\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!29}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{32\!\cdots\!93}{57\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!36}{57\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!94}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{73\!\cdots\!50}{57\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!26}{57\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{17\!\cdots\!88}{57\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!57}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!81}{57\!\cdots\!13}a-\frac{84\!\cdots\!12}{33\!\cdots\!89}$, $\frac{37\!\cdots\!56}{57\!\cdots\!13}a^{27}-\frac{18\!\cdots\!36}{57\!\cdots\!13}a^{26}-\frac{24\!\cdots\!14}{57\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!13}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{37\!\cdots\!40}{33\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{34\!\cdots\!56}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{84\!\cdots\!26}{57\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{51\!\cdots\!30}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{61\!\cdots\!96}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{45\!\cdots\!53}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!06}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{25\!\cdots\!14}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{87\!\cdots\!44}{33\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{88\!\cdots\!92}{57\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!90}{57\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!15}{57\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{69\!\cdots\!56}{57\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!30}{57\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!76}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{21\!\cdots\!25}{57\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!84}{57\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{96\!\cdots\!44}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{49\!\cdots\!38}{57\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!71}{57\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!96}{57\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{83\!\cdots\!54}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{94\!\cdots\!52}{57\!\cdots\!13}a-\frac{56\!\cdots\!97}{33\!\cdots\!89}$, $\frac{19\!\cdots\!78}{57\!\cdots\!13}a^{27}-\frac{94\!\cdots\!69}{57\!\cdots\!13}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!34}{57\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{63\!\cdots\!60}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!88}{33\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{17\!\cdots\!05}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{42\!\cdots\!02}{57\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{26\!\cdots\!95}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{30\!\cdots\!82}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{23\!\cdots\!17}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!67}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!36}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{40\!\cdots\!20}{33\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{44\!\cdots\!58}{57\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{92\!\cdots\!21}{57\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{99\!\cdots\!18}{57\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{35\!\cdots\!35}{57\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!17}{57\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{58\!\cdots\!42}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!95}{57\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{52\!\cdots\!76}{57\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{48\!\cdots\!09}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{25\!\cdots\!03}{57\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!93}{57\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{59\!\cdots\!36}{57\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{41\!\cdots\!40}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{48\!\cdots\!37}{57\!\cdots\!13}a-\frac{28\!\cdots\!40}{33\!\cdots\!89}$, $\frac{55\!\cdots\!88}{57\!\cdots\!13}a^{27}-\frac{27\!\cdots\!10}{57\!\cdots\!13}a^{26}-\frac{36\!\cdots\!74}{57\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!89}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{55\!\cdots\!20}{33\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{50\!\cdots\!70}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!04}{57\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{75\!\cdots\!39}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{89\!\cdots\!28}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{67\!\cdots\!88}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{32\!\cdots\!30}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{37\!\cdots\!14}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!52}{33\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!16}{57\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{25\!\cdots\!88}{57\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{28\!\cdots\!47}{57\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!52}{57\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{39\!\cdots\!36}{57\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!61}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{32\!\cdots\!77}{57\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!56}{57\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!90}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{73\!\cdots\!44}{57\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!80}{57\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{17\!\cdots\!56}{57\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!51}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!86}{57\!\cdots\!13}a-\frac{84\!\cdots\!89}{33\!\cdots\!89}$, $\frac{52\!\cdots\!56}{57\!\cdots\!13}a^{27}-\frac{26\!\cdots\!84}{57\!\cdots\!13}a^{26}-\frac{34\!\cdots\!18}{57\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!70}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{52\!\cdots\!28}{33\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{48\!\cdots\!54}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!86}{57\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{72\!\cdots\!71}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{84\!\cdots\!80}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{64\!\cdots\!90}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{30\!\cdots\!86}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{35\!\cdots\!71}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!76}{33\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!68}{57\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{26\!\cdots\!04}{57\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!52}{57\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{99\!\cdots\!20}{57\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{37\!\cdots\!39}{57\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!10}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{30\!\cdots\!71}{57\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!28}{57\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!10}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{69\!\cdots\!54}{57\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!25}{57\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!00}{57\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!66}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!38}{57\!\cdots\!13}a-\frac{79\!\cdots\!10}{33\!\cdots\!89}$, $\frac{94\!\cdots\!60}{57\!\cdots\!13}a^{27}-\frac{46\!\cdots\!30}{57\!\cdots\!13}a^{26}-\frac{62\!\cdots\!48}{57\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{31\!\cdots\!85}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{95\!\cdots\!00}{33\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{86\!\cdots\!88}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{21\!\cdots\!44}{57\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{12\!\cdots\!21}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!80}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!34}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{58\!\cdots\!41}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{63\!\cdots\!95}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{31\!\cdots\!04}{33\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{22\!\cdots\!16}{57\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{38\!\cdots\!52}{57\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{48\!\cdots\!83}{57\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!84}{57\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{66\!\cdots\!64}{57\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{26\!\cdots\!28}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{54\!\cdots\!86}{57\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{23\!\cdots\!40}{57\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!76}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!16}{57\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{49\!\cdots\!77}{57\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{27\!\cdots\!12}{57\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!07}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!00}{57\!\cdots\!13}a-\frac{12\!\cdots\!18}{33\!\cdots\!89}$, $\frac{75\!\cdots\!08}{57\!\cdots\!13}a^{27}-\frac{36\!\cdots\!37}{57\!\cdots\!13}a^{26}-\frac{49\!\cdots\!85}{57\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{24\!\cdots\!11}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{76\!\cdots\!32}{33\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{68\!\cdots\!20}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{17\!\cdots\!21}{57\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!28}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!32}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{90\!\cdots\!27}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{52\!\cdots\!18}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{49\!\cdots\!83}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{43\!\cdots\!90}{33\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!68}{57\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!16}{57\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{38\!\cdots\!28}{57\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!40}{57\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{53\!\cdots\!74}{57\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!65}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{43\!\cdots\!57}{57\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!39}{57\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!17}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{81\!\cdots\!58}{57\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{40\!\cdots\!90}{57\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!12}{57\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!57}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!36}{57\!\cdots\!13}a-\frac{90\!\cdots\!05}{33\!\cdots\!89}$ (assuming GRH) | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 614883944308310100000 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{28}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 614883944308310100000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{18917407352603402612306290142504402709970002327473311711232}}\cr\approx \mathstrut & 0.600028982463256 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
A cyclic group of order 28 |
The 28 conjugacy class representatives for $C_{28}$ |
Character table for $C_{28}$ is not computed |
Intermediate fields
\(\Q(\sqrt{2}) \), \(\Q(\zeta_{16})^+\), 7.7.594823321.1, 14.14.742003380228915810271232.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | R | $28$ | $28$ | ${\href{/padicField/7.14.0.1}{14} }^{2}$ | $28$ | $28$ | ${\href{/padicField/17.1.0.1}{1} }^{28}$ | $28$ | ${\href{/padicField/23.14.0.1}{14} }^{2}$ | R | ${\href{/padicField/31.7.0.1}{7} }^{4}$ | $28$ | ${\href{/padicField/41.2.0.1}{2} }^{14}$ | $28$ | ${\href{/padicField/47.7.0.1}{7} }^{4}$ | $28$ | ${\href{/padicField/59.4.0.1}{4} }^{7}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(2\) | Deg $28$ | $4$ | $7$ | $77$ | |||
\(29\) | Deg $28$ | $7$ | $4$ | $24$ |