Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^28 - 4*x^27 - 77*x^26 + 298*x^25 + 2444*x^24 - 9196*x^23 - 42045*x^22 + 154538*x^21 + 436038*x^20 - 1566292*x^19 - 2887069*x^18 + 10049582*x^17 + 12680015*x^16 - 41758048*x^15 - 38007063*x^14 + 112864436*x^13 + 79251721*x^12 - 195680358*x^11 - 115037594*x^10 + 209457056*x^9 + 112205318*x^8 - 127991098*x^7 - 66955254*x^6 + 37949294*x^5 + 20053613*x^4 - 3584684*x^3 - 1768008*x^2 + 148696*x + 31321)
gp: K = bnfinit(y^28 - 4*y^27 - 77*y^26 + 298*y^25 + 2444*y^24 - 9196*y^23 - 42045*y^22 + 154538*y^21 + 436038*y^20 - 1566292*y^19 - 2887069*y^18 + 10049582*y^17 + 12680015*y^16 - 41758048*y^15 - 38007063*y^14 + 112864436*y^13 + 79251721*y^12 - 195680358*y^11 - 115037594*y^10 + 209457056*y^9 + 112205318*y^8 - 127991098*y^7 - 66955254*y^6 + 37949294*y^5 + 20053613*y^4 - 3584684*y^3 - 1768008*y^2 + 148696*y + 31321, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^28 - 4*x^27 - 77*x^26 + 298*x^25 + 2444*x^24 - 9196*x^23 - 42045*x^22 + 154538*x^21 + 436038*x^20 - 1566292*x^19 - 2887069*x^18 + 10049582*x^17 + 12680015*x^16 - 41758048*x^15 - 38007063*x^14 + 112864436*x^13 + 79251721*x^12 - 195680358*x^11 - 115037594*x^10 + 209457056*x^9 + 112205318*x^8 - 127991098*x^7 - 66955254*x^6 + 37949294*x^5 + 20053613*x^4 - 3584684*x^3 - 1768008*x^2 + 148696*x + 31321);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^28 - 4*x^27 - 77*x^26 + 298*x^25 + 2444*x^24 - 9196*x^23 - 42045*x^22 + 154538*x^21 + 436038*x^20 - 1566292*x^19 - 2887069*x^18 + 10049582*x^17 + 12680015*x^16 - 41758048*x^15 - 38007063*x^14 + 112864436*x^13 + 79251721*x^12 - 195680358*x^11 - 115037594*x^10 + 209457056*x^9 + 112205318*x^8 - 127991098*x^7 - 66955254*x^6 + 37949294*x^5 + 20053613*x^4 - 3584684*x^3 - 1768008*x^2 + 148696*x + 31321)
\( x^{28} - 4 x^{27} - 77 x^{26} + 298 x^{25} + 2444 x^{24} - 9196 x^{23} - 42045 x^{22} + 154538 x^{21} + \cdots + 31321 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $28$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[28, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(16023667304285831340989917799610839168000000000000000000000\)
\(\medspace = 2^{28}\cdot 5^{21}\cdot 29^{24}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(119.88\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $2\cdot 5^{3/4}29^{6/7}\approx 119.87855437542395$ | ||
| Ramified primes: |
\(2\), \(5\), \(29\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{5}) \) | ||
| $\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $28$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
| Conductor: | \(580=2^{2}\cdot 5\cdot 29\) | ||
| Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{580}(1,·)$, $\chi_{580}(343,·)$, $\chi_{580}(107,·)$, $\chi_{580}(227,·)$, $\chi_{580}(81,·)$, $\chi_{580}(7,·)$, $\chi_{580}(523,·)$, $\chi_{580}(141,·)$, $\chi_{580}(401,·)$, $\chi_{580}(83,·)$, $\chi_{580}(407,·)$, $\chi_{580}(281,·)$, $\chi_{580}(103,·)$, $\chi_{580}(349,·)$, $\chi_{580}(223,·)$, $\chi_{580}(161,·)$, $\chi_{580}(547,·)$, $\chi_{580}(529,·)$, $\chi_{580}(169,·)$, $\chi_{580}(487,·)$, $\chi_{580}(429,·)$, $\chi_{580}(489,·)$, $\chi_{580}(49,·)$, $\chi_{580}(181,·)$, $\chi_{580}(567,·)$, $\chi_{580}(23,·)$, $\chi_{580}(123,·)$, $\chi_{580}(509,·)$$\rbrace$ | ||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $\frac{1}{41}a^{23}-\frac{15}{41}a^{22}-\frac{3}{41}a^{21}+\frac{11}{41}a^{20}+\frac{6}{41}a^{19}-\frac{6}{41}a^{18}+\frac{6}{41}a^{17}+\frac{11}{41}a^{16}-\frac{16}{41}a^{15}+\frac{2}{41}a^{14}-\frac{17}{41}a^{13}-\frac{14}{41}a^{12}+\frac{5}{41}a^{11}+\frac{12}{41}a^{10}+\frac{1}{41}a^{9}+\frac{16}{41}a^{8}-\frac{7}{41}a^{7}-\frac{7}{41}a^{6}-\frac{15}{41}a^{5}+\frac{6}{41}a^{4}-\frac{11}{41}a^{3}-\frac{5}{41}a^{2}+\frac{6}{41}a-\frac{8}{41}$, $\frac{1}{697}a^{24}+\frac{8}{697}a^{23}+\frac{21}{697}a^{22}+\frac{270}{697}a^{21}-\frac{151}{697}a^{20}-\frac{114}{697}a^{19}+\frac{114}{697}a^{18}+\frac{26}{697}a^{17}-\frac{337}{697}a^{16}-\frac{79}{697}a^{15}+\frac{193}{697}a^{14}-\frac{36}{697}a^{13}-\frac{71}{697}a^{12}-\frac{324}{697}a^{11}+\frac{318}{697}a^{10}-\frac{2}{697}a^{9}+\frac{197}{697}a^{8}+\frac{7}{41}a^{7}+\frac{234}{697}a^{6}+\frac{71}{697}a^{5}-\frac{283}{697}a^{4}+\frac{70}{697}a^{3}-\frac{150}{697}a^{2}+\frac{171}{697}a+\frac{103}{697}$, $\frac{1}{697}a^{25}+\frac{8}{697}a^{23}+\frac{2}{41}a^{22}+\frac{324}{697}a^{21}+\frac{261}{697}a^{20}-\frac{62}{697}a^{19}+\frac{202}{697}a^{18}-\frac{239}{697}a^{17}-\frac{307}{697}a^{16}+\frac{9}{697}a^{15}-\frac{84}{697}a^{14}+\frac{47}{697}a^{13}+\frac{227}{697}a^{12}-\frac{320}{697}a^{11}+\frac{157}{697}a^{10}+\frac{264}{697}a^{9}+\frac{56}{697}a^{8}+\frac{319}{697}a^{7}-\frac{67}{697}a^{6}-\frac{222}{697}a^{5}-\frac{148}{697}a^{4}+\frac{3}{17}a^{3}-\frac{278}{697}a^{2}-\frac{262}{697}a+\frac{162}{697}$, $\frac{1}{33\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{21\!\cdots\!64}{56\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{19\!\cdots\!59}{33\!\cdots\!77}a^{24}+\frac{36\!\cdots\!55}{33\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!19}{33\!\cdots\!77}a^{22}-\frac{52\!\cdots\!39}{19\!\cdots\!81}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!75}{81\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!97}{33\!\cdots\!77}a^{19}+\frac{45\!\cdots\!42}{33\!\cdots\!77}a^{18}-\frac{44\!\cdots\!40}{33\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{77\!\cdots\!36}{33\!\cdots\!77}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!43}{81\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!98}{33\!\cdots\!77}a^{14}-\frac{31\!\cdots\!04}{33\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!93}{33\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{50\!\cdots\!20}{19\!\cdots\!81}a^{11}-\frac{88\!\cdots\!61}{33\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{60\!\cdots\!15}{33\!\cdots\!77}a^{9}-\frac{71\!\cdots\!05}{33\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{37\!\cdots\!01}{33\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!12}{33\!\cdots\!77}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!02}{33\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!29}{81\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!70}{33\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!80}{33\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{42\!\cdots\!21}{33\!\cdots\!77}a+\frac{55\!\cdots\!88}{33\!\cdots\!77}$, $\frac{1}{10\!\cdots\!97}a^{27}-\frac{85\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{18\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{52\!\cdots\!11}{10\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{54\!\cdots\!93}{62\!\cdots\!41}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!69}{10\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{22\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{40\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{50\!\cdots\!80}{10\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{44\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{44\!\cdots\!88}{10\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!93}{62\!\cdots\!41}a^{14}+\frac{71\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{61\!\cdots\!82}{10\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{72\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!14}{10\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{68\!\cdots\!66}{10\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{68\!\cdots\!59}{62\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{48\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!87}{10\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{24\!\cdots\!38}{10\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{38\!\cdots\!14}{10\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!97}a-\frac{17\!\cdots\!56}{10\!\cdots\!97}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $27$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{35\!\cdots\!28}{80\!\cdots\!21}a^{27}-\frac{15\!\cdots\!98}{80\!\cdots\!21}a^{26}-\frac{27\!\cdots\!96}{80\!\cdots\!21}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!55}{80\!\cdots\!21}a^{24}+\frac{83\!\cdots\!96}{80\!\cdots\!21}a^{23}-\frac{35\!\cdots\!82}{80\!\cdots\!21}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!36}{80\!\cdots\!21}a^{21}+\frac{59\!\cdots\!98}{80\!\cdots\!21}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!84}{80\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{59\!\cdots\!67}{80\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{83\!\cdots\!98}{80\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{37\!\cdots\!45}{80\!\cdots\!21}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!60}{80\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!46}{80\!\cdots\!21}a^{14}-\frac{84\!\cdots\!20}{80\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{41\!\cdots\!62}{80\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!96}{80\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{70\!\cdots\!51}{80\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!34}{80\!\cdots\!21}a^{9}+\frac{73\!\cdots\!49}{80\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!04}{80\!\cdots\!21}a^{7}-\frac{43\!\cdots\!16}{80\!\cdots\!21}a^{6}-\frac{85\!\cdots\!38}{80\!\cdots\!21}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!46}{80\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{24\!\cdots\!22}{80\!\cdots\!21}a^{3}-\frac{98\!\cdots\!46}{80\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{84\!\cdots\!06}{80\!\cdots\!21}a+\frac{17\!\cdots\!95}{80\!\cdots\!21}$, $\frac{16\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!97}a^{27}-\frac{81\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!36}{10\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{60\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{35\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{18\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!97}a^{22}-\frac{31\!\cdots\!00}{62\!\cdots\!41}a^{21}+\frac{30\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{45\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{30\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!70}{10\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{44\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{73\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{27\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{35\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!53}{62\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!30}{17\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{46\!\cdots\!50}{17\!\cdots\!83}a^{8}-\frac{71\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!05}{10\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{28\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{34\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{32\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!65}{10\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{26\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!97}a+\frac{19\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!97}$, $\frac{45\!\cdots\!24}{10\!\cdots\!97}a^{27}-\frac{22\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{32\!\cdots\!48}{10\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{94\!\cdots\!80}{10\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{52\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!97}a^{22}-\frac{83\!\cdots\!64}{62\!\cdots\!41}a^{21}+\frac{87\!\cdots\!11}{10\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{87\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{48\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{55\!\cdots\!80}{10\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{60\!\cdots\!04}{10\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{22\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{35\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{59\!\cdots\!11}{10\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{18\!\cdots\!92}{10\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{59\!\cdots\!00}{62\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{64\!\cdots\!84}{17\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!16}{17\!\cdots\!83}a^{8}-\frac{41\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{69\!\cdots\!34}{10\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{23\!\cdots\!85}{10\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{55\!\cdots\!84}{10\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{32\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{45\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!97}a+\frac{78\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!97}$, $\frac{41\!\cdots\!32}{62\!\cdots\!41}a^{27}-\frac{19\!\cdots\!00}{62\!\cdots\!41}a^{26}-\frac{30\!\cdots\!76}{62\!\cdots\!41}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!72}{62\!\cdots\!41}a^{24}+\frac{88\!\cdots\!80}{62\!\cdots\!41}a^{23}-\frac{44\!\cdots\!80}{62\!\cdots\!41}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!04}{62\!\cdots\!41}a^{21}+\frac{74\!\cdots\!48}{62\!\cdots\!41}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!80}{62\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{73\!\cdots\!76}{62\!\cdots\!41}a^{18}-\frac{59\!\cdots\!68}{62\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{45\!\cdots\!75}{62\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!80}{62\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!36}{62\!\cdots\!41}a^{14}-\frac{72\!\cdots\!84}{62\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{46\!\cdots\!78}{62\!\cdots\!41}a^{12}-\frac{58\!\cdots\!56}{62\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{75\!\cdots\!92}{62\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{26\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!58}{10\!\cdots\!99}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!44}{62\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{41\!\cdots\!22}{62\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{79\!\cdots\!80}{62\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!15}{62\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!72}{62\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!16}{62\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!48}{62\!\cdots\!41}a+\frac{18\!\cdots\!17}{62\!\cdots\!41}$, $\frac{14\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!97}a^{27}-\frac{70\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{52\!\cdots\!55}{10\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{29\!\cdots\!80}{10\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!97}a^{22}-\frac{26\!\cdots\!50}{62\!\cdots\!41}a^{21}+\frac{26\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{37\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{25\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{30\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{62\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{49\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!70}{10\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{36\!\cdots\!70}{10\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!75}{62\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!60}{17\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{40\!\cdots\!35}{17\!\cdots\!83}a^{8}-\frac{67\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{25\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{32\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{26\!\cdots\!70}{10\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{23\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!97}a+\frac{78\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!97}$, $\frac{23\!\cdots\!84}{10\!\cdots\!97}a^{27}-\frac{11\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{85\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{50\!\cdots\!80}{10\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{26\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!97}a^{22}-\frac{45\!\cdots\!04}{62\!\cdots\!41}a^{21}+\frac{43\!\cdots\!46}{10\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{65\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{42\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{31\!\cdots\!86}{10\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{26\!\cdots\!45}{10\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{69\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!92}{10\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{26\!\cdots\!21}{10\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{45\!\cdots\!12}{10\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!45}{62\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!54}{17\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{68\!\cdots\!36}{17\!\cdots\!83}a^{8}-\frac{99\!\cdots\!48}{10\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{41\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{54\!\cdots\!65}{10\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{57\!\cdots\!74}{10\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{42\!\cdots\!37}{10\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{47\!\cdots\!56}{10\!\cdots\!97}a+\frac{30\!\cdots\!24}{10\!\cdots\!97}$, $\frac{75\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!97}a^{27}-\frac{36\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{55\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{27\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{16\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{83\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!97}a^{22}-\frac{14\!\cdots\!36}{62\!\cdots\!41}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{21\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!54}{10\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{86\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{27\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{34\!\cdots\!58}{10\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{88\!\cdots\!84}{10\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!68}{10\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{85\!\cdots\!63}{62\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{44\!\cdots\!66}{17\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{24\!\cdots\!49}{17\!\cdots\!83}a^{8}-\frac{27\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{80\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!70}{10\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{17\!\cdots\!66}{10\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!48}{10\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!97}a+\frac{42\!\cdots\!83}{10\!\cdots\!97}$, $\frac{89\!\cdots\!84}{62\!\cdots\!41}a^{27}-\frac{41\!\cdots\!79}{62\!\cdots\!41}a^{26}-\frac{66\!\cdots\!61}{62\!\cdots\!41}a^{25}+\frac{31\!\cdots\!89}{62\!\cdots\!41}a^{24}+\frac{19\!\cdots\!16}{62\!\cdots\!41}a^{23}-\frac{95\!\cdots\!31}{62\!\cdots\!41}a^{22}-\frac{31\!\cdots\!70}{62\!\cdots\!41}a^{21}+\frac{15\!\cdots\!47}{62\!\cdots\!41}a^{20}+\frac{28\!\cdots\!29}{62\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!41}{62\!\cdots\!41}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!41}{62\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{98\!\cdots\!90}{62\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{48\!\cdots\!62}{62\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{39\!\cdots\!86}{62\!\cdots\!41}a^{14}-\frac{81\!\cdots\!56}{62\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!33}{62\!\cdots\!41}a^{12}+\frac{45\!\cdots\!69}{62\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!88}{62\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{45\!\cdots\!21}{62\!\cdots\!41}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!85}{62\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{55\!\cdots\!62}{62\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{92\!\cdots\!71}{62\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{87\!\cdots\!46}{62\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!18}{62\!\cdots\!41}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!08}{62\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!38}{62\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!27}{62\!\cdots\!41}a+\frac{44\!\cdots\!48}{62\!\cdots\!41}$, $\frac{78\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!97}a^{27}-\frac{41\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{55\!\cdots\!24}{10\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{30\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{92\!\cdots\!12}{62\!\cdots\!41}a^{23}-\frac{93\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!97}a^{22}-\frac{22\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!97}a^{21}+\frac{15\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{17\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{59\!\cdots\!80}{10\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{93\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{30\!\cdots\!56}{10\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{36\!\cdots\!71}{10\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!36}{10\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{93\!\cdots\!85}{10\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{37\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!84}{10\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{64\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!46}{10\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{55\!\cdots\!68}{10\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{83\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!98}{10\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{23\!\cdots\!26}{10\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!55}{10\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!86}{10\!\cdots\!97}a+\frac{33\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!97}$, 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$\frac{98\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!97}a^{27}-\frac{39\!\cdots\!46}{10\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{76\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{29\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{24\!\cdots\!86}{10\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{91\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!97}a^{22}-\frac{42\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!97}a^{21}+\frac{15\!\cdots\!82}{10\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{44\!\cdots\!14}{10\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{93\!\cdots\!12}{62\!\cdots\!41}a^{18}-\frac{29\!\cdots\!54}{10\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!84}{10\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!36}{10\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{44\!\cdots\!74}{10\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{36\!\cdots\!48}{10\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{70\!\cdots\!46}{10\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{88\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{23\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{68\!\cdots\!84}{10\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!66}{10\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{45\!\cdots\!63}{10\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{54\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{41\!\cdots\!82}{10\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{43\!\cdots\!82}{10\!\cdots\!97}a+\frac{58\!\cdots\!36}{10\!\cdots\!97}$, 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$\frac{24\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!97}a^{27}-\frac{11\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{18\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{86\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{54\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{26\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!97}a^{22}-\frac{85\!\cdots\!68}{10\!\cdots\!97}a^{21}+\frac{44\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{76\!\cdots\!56}{10\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{43\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{40\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{27\!\cdots\!37}{10\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!08}{10\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!26}{10\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{94\!\cdots\!84}{62\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{28\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{42\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{45\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{40\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{45\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{43\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{25\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{70\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!34}{10\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{67\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!34}{10\!\cdots\!97}a+\frac{15\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!97}$, $\frac{31\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!97}a^{27}-\frac{12\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{24\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{96\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{78\!\cdots\!70}{10\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{30\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!97}a^{22}-\frac{79\!\cdots\!92}{62\!\cdots\!41}a^{21}+\frac{52\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{54\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{93\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{35\!\cdots\!70}{10\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{40\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!48}{10\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!58}{10\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{43\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{21\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{46\!\cdots\!75}{62\!\cdots\!41}a^{10}-\frac{26\!\cdots\!56}{10\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{90\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!82}{10\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{99\!\cdots\!89}{17\!\cdots\!83}a^{6}-\frac{79\!\cdots\!58}{10\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{18\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!70}{10\!\cdots\!97}a+\frac{37\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!97}$, $\frac{14\!\cdots\!40}{62\!\cdots\!41}a^{27}-\frac{69\!\cdots\!98}{62\!\cdots\!41}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!46}{62\!\cdots\!41}a^{25}+\frac{51\!\cdots\!32}{62\!\cdots\!41}a^{24}+\frac{31\!\cdots\!96}{62\!\cdots\!41}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!62}{62\!\cdots\!41}a^{22}-\frac{49\!\cdots\!50}{62\!\cdots\!41}a^{21}+\frac{26\!\cdots\!23}{62\!\cdots\!41}a^{20}+\frac{44\!\cdots\!64}{62\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!53}{62\!\cdots\!41}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!66}{62\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!40}{62\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{63\!\cdots\!40}{62\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{65\!\cdots\!42}{62\!\cdots\!41}a^{14}-\frac{67\!\cdots\!44}{62\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!40}{62\!\cdots\!41}a^{12}-\frac{96\!\cdots\!50}{62\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{27\!\cdots\!86}{62\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{36\!\cdots\!34}{62\!\cdots\!41}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!06}{62\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{38\!\cdots\!90}{62\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!33}{62\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!00}{62\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{43\!\cdots\!06}{62\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!40}{62\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{41\!\cdots\!12}{62\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{25\!\cdots\!53}{62\!\cdots\!41}a+\frac{67\!\cdots\!37}{62\!\cdots\!41}$, $\frac{54\!\cdots\!84}{10\!\cdots\!97}a^{27}-\frac{23\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{41\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!70}{10\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!58}{10\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{31\!\cdots\!48}{62\!\cdots\!41}a^{22}-\frac{21\!\cdots\!34}{10\!\cdots\!97}a^{21}+\frac{89\!\cdots\!07}{10\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{21\!\cdots\!87}{10\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{90\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{57\!\cdots\!55}{10\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{54\!\cdots\!66}{10\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{23\!\cdots\!48}{10\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{62\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!07}{10\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!41}{62\!\cdots\!41}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{28\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{61\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!68}{10\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{34\!\cdots\!46}{10\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{87\!\cdots\!11}{62\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!97}a+\frac{13\!\cdots\!28}{62\!\cdots\!41}$, $\frac{75\!\cdots\!14}{10\!\cdots\!97}a^{27}-\frac{40\!\cdots\!04}{10\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{31\!\cdots\!37}{62\!\cdots\!41}a^{25}+\frac{29\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!58}{10\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{91\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!97}a^{22}-\frac{20\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!97}a^{21}+\frac{25\!\cdots\!60}{17\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!47}{10\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!56}{10\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{41\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{91\!\cdots\!05}{10\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{77\!\cdots\!38}{62\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{35\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{90\!\cdots\!11}{10\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{48\!\cdots\!87}{10\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!13}{10\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{87\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!37}{10\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{49\!\cdots\!54}{62\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{77\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{42\!\cdots\!56}{10\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{38\!\cdots\!42}{17\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{94\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{31\!\cdots\!78}{10\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{60\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!97}a+\frac{93\!\cdots\!69}{10\!\cdots\!97}$, $\frac{22\!\cdots\!26}{10\!\cdots\!97}a^{27}-\frac{10\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{16\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{81\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{49\!\cdots\!82}{10\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!52}{62\!\cdots\!41}a^{22}-\frac{76\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!97}a^{21}+\frac{41\!\cdots\!47}{10\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{66\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{40\!\cdots\!09}{10\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{33\!\cdots\!26}{10\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{25\!\cdots\!55}{10\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{87\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{99\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{63\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!09}{10\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{23\!\cdots\!37}{10\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{40\!\cdots\!47}{10\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{38\!\cdots\!66}{62\!\cdots\!41}a^{9}+\frac{38\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{62\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{49\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{46\!\cdots\!19}{10\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!61}{62\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{66\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!97}a-\frac{17\!\cdots\!19}{62\!\cdots\!41}$, $\frac{15\!\cdots\!48}{10\!\cdots\!97}a^{27}-\frac{77\!\cdots\!86}{10\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{57\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{31\!\cdots\!12}{10\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{17\!\cdots\!24}{10\!\cdots\!97}a^{22}-\frac{26\!\cdots\!13}{62\!\cdots\!41}a^{21}+\frac{29\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{35\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{28\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!09}{10\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{55\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{69\!\cdots\!98}{10\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!06}{10\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{67\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!57}{62\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!65}{10\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!71}{10\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{53\!\cdots\!38}{10\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{95\!\cdots\!48}{10\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{37\!\cdots\!19}{10\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{57\!\cdots\!31}{10\!\cdots\!97}a+\frac{12\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!97}$, 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$\frac{19\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!97}a^{27}-\frac{94\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{14\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{70\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{25\!\cdots\!46}{62\!\cdots\!41}a^{23}-\frac{21\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!97}a^{22}-\frac{68\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!97}a^{21}+\frac{36\!\cdots\!83}{10\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{61\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{36\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{32\!\cdots\!37}{10\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{92\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{93\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{62\!\cdots\!34}{62\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!80}{10\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{41\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{55\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!61}{62\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{66\!\cdots\!80}{10\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{26\!\cdots\!31}{10\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{33\!\cdots\!45}{10\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{81\!\cdots\!47}{10\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{68\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{92\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!21}{17\!\cdots\!83}a+\frac{14\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!97}$, 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$\frac{67\!\cdots\!19}{10\!\cdots\!97}a^{27}-\frac{30\!\cdots\!19}{10\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{50\!\cdots\!86}{10\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{23\!\cdots\!71}{10\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!38}{10\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{71\!\cdots\!71}{10\!\cdots\!97}a^{22}-\frac{24\!\cdots\!66}{10\!\cdots\!97}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{23\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!83}{10\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!31}{10\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{44\!\cdots\!66}{62\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!63}{62\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{31\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{90\!\cdots\!07}{10\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{83\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{96\!\cdots\!74}{10\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{35\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!93}{10\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{54\!\cdots\!40}{62\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{88\!\cdots\!80}{10\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{28\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{28\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!97}a+\frac{46\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!97}$, $\frac{12\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!97}a^{27}-\frac{32\!\cdots\!95}{62\!\cdots\!41}a^{26}-\frac{89\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{41\!\cdots\!09}{10\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{45\!\cdots\!58}{17\!\cdots\!83}a^{23}-\frac{74\!\cdots\!70}{62\!\cdots\!41}a^{22}-\frac{42\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!97}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!85}{10\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{38\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{63\!\cdots\!70}{10\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{52\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{98\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!69}{10\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{22\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!45}{10\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!08}{10\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{20\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{78\!\cdots\!75}{62\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{39\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{23\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{43\!\cdots\!69}{10\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{38\!\cdots\!65}{10\!\cdots\!97}a+\frac{82\!\cdots\!83}{10\!\cdots\!97}$, $\frac{37\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!97}a^{27}-\frac{11\!\cdots\!68}{62\!\cdots\!41}a^{26}-\frac{27\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{78\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{26\!\cdots\!17}{62\!\cdots\!41}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!97}a^{21}+\frac{73\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{94\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{73\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{38\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{46\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{37\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!07}{10\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{57\!\cdots\!94}{17\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{47\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!69}{10\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{76\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{31\!\cdots\!92}{10\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{75\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{31\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!11}{62\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!05}{10\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!21}{10\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{38\!\cdots\!46}{10\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{88\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{48\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!97}a-\frac{53\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!97}$, $\frac{48\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!97}a^{27}-\frac{20\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{40\!\cdots\!92}{10\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{60\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!97}a^{22}-\frac{28\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!97}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{34\!\cdots\!45}{10\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{26\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!85}{10\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{59\!\cdots\!38}{10\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{43\!\cdots\!37}{10\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{94\!\cdots\!93}{10\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{43\!\cdots\!25}{10\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!46}{10\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{59\!\cdots\!83}{10\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{47\!\cdots\!46}{10\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{96\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{18\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{35\!\cdots\!69}{10\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{27\!\cdots\!14}{10\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{29\!\cdots\!97}{10\!\cdots\!97}a+\frac{13\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!97}$, $\frac{13\!\cdots\!55}{10\!\cdots\!97}a^{27}-\frac{56\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{42\!\cdots\!88}{10\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{31\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{12\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!97}a^{22}-\frac{53\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!99}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{53\!\cdots\!70}{10\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{37\!\cdots\!07}{17\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{33\!\cdots\!71}{10\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{58\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{36\!\cdots\!97}{10\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{65\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!17}{62\!\cdots\!41}a^{10}-\frac{80\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!12}{10\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{68\!\cdots\!93}{10\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{36\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{49\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{93\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{42\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{28\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!97}a+\frac{88\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!97}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 258467010943663670000 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{28}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 258467010943663670000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{16023667304285831340989917799610839168000000000000000000000}}\cr\approx \mathstrut & 0.274052673872821 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^28 - 4*x^27 - 77*x^26 + 298*x^25 + 2444*x^24 - 9196*x^23 - 42045*x^22 + 154538*x^21 + 436038*x^20 - 1566292*x^19 - 2887069*x^18 + 10049582*x^17 + 12680015*x^16 - 41758048*x^15 - 38007063*x^14 + 112864436*x^13 + 79251721*x^12 - 195680358*x^11 - 115037594*x^10 + 209457056*x^9 + 112205318*x^8 - 127991098*x^7 - 66955254*x^6 + 37949294*x^5 + 20053613*x^4 - 3584684*x^3 - 1768008*x^2 + 148696*x + 31321)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^28 - 4*x^27 - 77*x^26 + 298*x^25 + 2444*x^24 - 9196*x^23 - 42045*x^22 + 154538*x^21 + 436038*x^20 - 1566292*x^19 - 2887069*x^18 + 10049582*x^17 + 12680015*x^16 - 41758048*x^15 - 38007063*x^14 + 112864436*x^13 + 79251721*x^12 - 195680358*x^11 - 115037594*x^10 + 209457056*x^9 + 112205318*x^8 - 127991098*x^7 - 66955254*x^6 + 37949294*x^5 + 20053613*x^4 - 3584684*x^3 - 1768008*x^2 + 148696*x + 31321, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^28 - 4*x^27 - 77*x^26 + 298*x^25 + 2444*x^24 - 9196*x^23 - 42045*x^22 + 154538*x^21 + 436038*x^20 - 1566292*x^19 - 2887069*x^18 + 10049582*x^17 + 12680015*x^16 - 41758048*x^15 - 38007063*x^14 + 112864436*x^13 + 79251721*x^12 - 195680358*x^11 - 115037594*x^10 + 209457056*x^9 + 112205318*x^8 - 127991098*x^7 - 66955254*x^6 + 37949294*x^5 + 20053613*x^4 - 3584684*x^3 - 1768008*x^2 + 148696*x + 31321);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^28 - 4*x^27 - 77*x^26 + 298*x^25 + 2444*x^24 - 9196*x^23 - 42045*x^22 + 154538*x^21 + 436038*x^20 - 1566292*x^19 - 2887069*x^18 + 10049582*x^17 + 12680015*x^16 - 41758048*x^15 - 38007063*x^14 + 112864436*x^13 + 79251721*x^12 - 195680358*x^11 - 115037594*x^10 + 209457056*x^9 + 112205318*x^8 - 127991098*x^7 - 66955254*x^6 + 37949294*x^5 + 20053613*x^4 - 3584684*x^3 - 1768008*x^2 + 148696*x + 31321);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A cyclic group of order 28 |
| The 28 conjugacy class representatives for $C_{28}$ |
| Character table for $C_{28}$ |
Intermediate fields
| \(\Q(\sqrt{5}) \), \(\Q(\zeta_{20})^+\), 7.7.594823321.1, 14.14.27641779937927268828125.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | R | $28$ | R | $28$ | ${\href{/padicField/11.14.0.1}{14} }^{2}$ | $28$ | ${\href{/padicField/17.4.0.1}{4} }^{7}$ | ${\href{/padicField/19.7.0.1}{7} }^{4}$ | $28$ | R | ${\href{/padicField/31.14.0.1}{14} }^{2}$ | $28$ | ${\href{/padicField/41.1.0.1}{1} }^{28}$ | $28$ | $28$ | $28$ | ${\href{/padicField/59.1.0.1}{1} }^{28}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(2\)
| Deg $28$ | $2$ | $14$ | $28$ | |||
|
\(5\)
| Deg $28$ | $4$ | $7$ | $21$ | |||
|
\(29\)
| 29.14.12.1 | $x^{14} + 168 x^{13} + 12110 x^{12} + 485856 x^{11} + 11733204 x^{10} + 171095904 x^{9} + 1407877912 x^{8} + 5266970938 x^{7} + 2815760696 x^{6} + 684731964 x^{5} + 107750832 x^{4} + 339857336 x^{3} + 4765729696 x^{2} + 37989914704 x + 129797258121$ | $7$ | $2$ | $12$ | $C_{14}$ | $[\ ]_{7}^{2}$ |
| 29.14.12.1 | $x^{14} + 168 x^{13} + 12110 x^{12} + 485856 x^{11} + 11733204 x^{10} + 171095904 x^{9} + 1407877912 x^{8} + 5266970938 x^{7} + 2815760696 x^{6} + 684731964 x^{5} + 107750832 x^{4} + 339857336 x^{3} + 4765729696 x^{2} + 37989914704 x + 129797258121$ | $7$ | $2$ | $12$ | $C_{14}$ | $[\ ]_{7}^{2}$ |