Number field 28.28.1455848000512373226044338588471370773272037506103515625.2

• Label: 28.28.145...625.2
• Degree: $28$
• Signature: $[28, 0]$
• Discriminant: $1.456\times 10^{54}$
• Root discriminant: \(85.98\)
• Ramified primes: $5,29$
• Class number: $4$ (GRH)
• Class group: [4] (GRH)
• Galois group: $C_{28}$ (as 28T1)

Normalized defining polynomial

x^28 - x^27 - 57*x^26 + 57*x^25 + 1364*x^24 - 1364*x^23 - 17950*x^22 + 18037*x^21 + 142913*x^20 - 145523*x^19 - 713109*x^18 + 743298*x^17 + 2232740*x^16 - 2405812*x^15 - 4269553*x^14 + 4796744*x^13 + 4718011*x^12 - 5558257*x^11 - 2806909*x^10 + 3434904*x^9 + 899378*x^8 - 1037302*x^7 - 179219*x^6 + 128266*x^5 + 22273*x^4 - 2466*x^3 - 463*x^2 - x + 1

Invariants

Degree:		$28$
Signature:		$[28, 0]$
Discriminant:		\(1455848000512373226044338588471370773272037506103515625\) \(\medspace = 5^{21}\cdot 29^{27}\)
Root discriminant:		\(85.98\)
Galois root discriminant:		$5^{3/4}29^{27/28}\approx 85.97991297859014$
Ramified primes:		\(5\), \(29\)
Discriminant root field:		\(\Q(\sqrt{145}) \)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:		$28$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:		\(145=5\cdot 29\)
Dirichlet character group:		$\lbrace$$\chi_{145}(64,·)$, $\chi_{145}(1,·)$, $\chi_{145}(3,·)$, $\chi_{145}(4,·)$, $\chi_{145}(133,·)$, $\chi_{145}(129,·)$, $\chi_{145}(136,·)$, $\chi_{145}(9,·)$, $\chi_{145}(111,·)$, $\chi_{145}(12,·)$, $\chi_{145}(141,·)$, $\chi_{145}(142,·)$, $\chi_{145}(144,·)$, $\chi_{145}(81,·)$, $\chi_{145}(98,·)$, $\chi_{145}(27,·)$, $\chi_{145}(97,·)$, $\chi_{145}(34,·)$, $\chi_{145}(36,·)$, $\chi_{145}(37,·)$, $\chi_{145}(16,·)$, $\chi_{145}(43,·)$, $\chi_{145}(108,·)$, $\chi_{145}(109,·)$, $\chi_{145}(47,·)$, $\chi_{145}(48,·)$, $\chi_{145}(118,·)$, $\chi_{145}(102,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $\frac{1}{157}a^{25}+\frac{70}{157}a^{24}+\frac{36}{157}a^{23}+\frac{11}{157}a^{22}+\frac{54}{157}a^{21}-\frac{15}{157}a^{20}+\frac{29}{157}a^{19}-\frac{37}{157}a^{18}+\frac{65}{157}a^{17}-\frac{74}{157}a^{16}-\frac{72}{157}a^{15}+\frac{13}{157}a^{14}+\frac{35}{157}a^{13}-\frac{61}{157}a^{12}+\frac{14}{157}a^{11}-\frac{45}{157}a^{10}-\frac{35}{157}a^{9}-\frac{75}{157}a^{8}+\frac{11}{157}a^{7}+\frac{21}{157}a^{6}-\frac{13}{157}a^{5}-\frac{78}{157}a^{4}-\frac{59}{157}a^{3}-\frac{38}{157}a^{2}+\frac{60}{157}a-\frac{61}{157}$, $\frac{1}{1183937}a^{26}+\frac{2075}{1183937}a^{25}+\frac{430208}{1183937}a^{24}-\frac{281687}{1183937}a^{23}-\frac{13687}{1183937}a^{22}+\frac{503267}{1183937}a^{21}-\frac{31930}{1183937}a^{20}-\frac{546185}{1183937}a^{19}-\frac{311818}{1183937}a^{18}+\frac{9361}{1183937}a^{17}-\frac{147814}{1183937}a^{16}+\frac{547709}{1183937}a^{15}-\frac{300617}{1183937}a^{14}+\frac{490560}{1183937}a^{13}+\frac{82437}{1183937}a^{12}+\frac{55029}{1183937}a^{11}+\frac{246034}{1183937}a^{10}+\frac{295874}{1183937}a^{9}-\frac{104049}{1183937}a^{8}+\frac{248627}{1183937}a^{7}+\frac{217304}{1183937}a^{6}+\frac{210770}{1183937}a^{5}+\frac{453496}{1183937}a^{4}-\frac{155071}{1183937}a^{3}-\frac{85236}{1183937}a^{2}+\frac{549320}{1183937}a+\frac{259519}{1183937}$, $\frac{1}{15\!\cdots\!69}a^{27}-\frac{19\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!69}a^{26}-\frac{29\!\cdots\!82}{15\!\cdots\!69}a^{25}+\frac{74\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!69}a^{24}-\frac{61\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!69}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!69}a^{22}+\frac{68\!\cdots\!32}{15\!\cdots\!69}a^{21}-\frac{42\!\cdots\!69}{15\!\cdots\!69}a^{20}-\frac{28\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!69}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!14}{15\!\cdots\!69}a^{18}+\frac{71\!\cdots\!15}{15\!\cdots\!69}a^{17}-\frac{23\!\cdots\!62}{15\!\cdots\!69}a^{16}+\frac{68\!\cdots\!17}{15\!\cdots\!69}a^{15}+\frac{46\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!69}a^{14}+\frac{44\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!69}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!02}{15\!\cdots\!69}a^{12}+\frac{53\!\cdots\!00}{15\!\cdots\!69}a^{11}-\frac{73\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!69}a^{10}-\frac{74\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!69}a^{9}+\frac{64\!\cdots\!94}{15\!\cdots\!69}a^{8}+\frac{34\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!69}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!69}a^{6}-\frac{40\!\cdots\!77}{15\!\cdots\!69}a^{5}+\frac{49\!\cdots\!36}{15\!\cdots\!69}a^{4}-\frac{82\!\cdots\!38}{15\!\cdots\!69}a^{3}-\frac{23\!\cdots\!86}{15\!\cdots\!69}a^{2}+\frac{50\!\cdots\!02}{15\!\cdots\!69}a+\frac{57\!\cdots\!02}{15\!\cdots\!69}$

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

$C_{4}$, which has order $4$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$27$
Torsion generator:		\( -1 \)  (order $2$)
Fundamental units:		$\frac{30\!\cdots\!65}{25\!\cdots\!91}a^{27}-\frac{29\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!91}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!91}a^{25}+\frac{16\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!91}a^{24}+\frac{42\!\cdots\!15}{25\!\cdots\!91}a^{23}-\frac{40\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!91}a^{22}-\frac{35\!\cdots\!80}{16\!\cdots\!63}a^{21}+\frac{53\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!91}a^{20}+\frac{43\!\cdots\!85}{25\!\cdots\!91}a^{19}-\frac{42\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!91}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!05}{25\!\cdots\!91}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!91}a^{16}+\frac{67\!\cdots\!25}{25\!\cdots\!91}a^{15}-\frac{70\!\cdots\!15}{25\!\cdots\!91}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!05}{25\!\cdots\!91}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!91}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!91}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!91}a^{10}-\frac{74\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!91}a^{9}+\frac{99\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!91}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!91}a^{7}-\frac{29\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!91}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!01}{25\!\cdots\!91}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!91}a^{4}+\frac{31\!\cdots\!25}{25\!\cdots\!91}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!91}a^{2}-\frac{67\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!91}a+\frac{39\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!91}$, $\frac{30\!\cdots\!68}{25\!\cdots\!91}a^{27}-\frac{31\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!91}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!15}{25\!\cdots\!91}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!37}{25\!\cdots\!91}a^{24}+\frac{41\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!91}a^{23}-\frac{43\!\cdots\!35}{25\!\cdots\!91}a^{22}-\frac{54\!\cdots\!06}{25\!\cdots\!91}a^{21}+\frac{56\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!91}a^{20}+\frac{43\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!91}a^{19}-\frac{45\!\cdots\!06}{25\!\cdots\!91}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!27}{25\!\cdots\!91}a^{17}+\frac{23\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!91}a^{16}+\frac{65\!\cdots\!65}{25\!\cdots\!91}a^{15}-\frac{75\!\cdots\!91}{25\!\cdots\!91}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!66}{25\!\cdots\!91}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!18}{25\!\cdots\!91}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!16}{25\!\cdots\!91}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!91}a^{10}-\frac{63\!\cdots\!13}{25\!\cdots\!91}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!77}{25\!\cdots\!91}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!39}{25\!\cdots\!91}a^{7}-\frac{32\!\cdots\!97}{25\!\cdots\!91}a^{6}-\frac{53\!\cdots\!73}{25\!\cdots\!91}a^{5}+\frac{41\!\cdots\!25}{25\!\cdots\!91}a^{4}-\frac{40\!\cdots\!43}{25\!\cdots\!91}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!91}a^{2}-\frac{62\!\cdots\!18}{25\!\cdots\!91}a+\frac{10\!\cdots\!58}{25\!\cdots\!91}$, $\frac{79\!\cdots\!58}{25\!\cdots\!91}a^{27}-\frac{87\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!91}a^{26}-\frac{45\!\cdots\!66}{25\!\cdots\!91}a^{25}+\frac{49\!\cdots\!62}{25\!\cdots\!91}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!91}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!91}a^{22}-\frac{14\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!91}a^{21}+\frac{15\!\cdots\!68}{25\!\cdots\!91}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!91}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!41}{25\!\cdots\!91}a^{18}-\frac{55\!\cdots\!27}{25\!\cdots\!91}a^{17}+\frac{64\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!91}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!28}{25\!\cdots\!91}a^{15}-\frac{20\!\cdots\!21}{25\!\cdots\!91}a^{14}-\frac{32\!\cdots\!66}{25\!\cdots\!91}a^{13}+\frac{41\!\cdots\!23}{25\!\cdots\!91}a^{12}+\frac{34\!\cdots\!71}{25\!\cdots\!91}a^{11}-\frac{47\!\cdots\!85}{25\!\cdots\!91}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!23}{25\!\cdots\!91}a^{9}+\frac{29\!\cdots\!47}{25\!\cdots\!91}a^{8}+\frac{50\!\cdots\!09}{25\!\cdots\!91}a^{7}-\frac{88\!\cdots\!07}{25\!\cdots\!91}a^{6}-\frac{81\!\cdots\!93}{25\!\cdots\!91}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!25}{25\!\cdots\!91}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!32}{25\!\cdots\!91}a^{3}-\frac{27\!\cdots\!06}{25\!\cdots\!91}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!83}{25\!\cdots\!91}a+\frac{10\!\cdots\!82}{25\!\cdots\!91}$, $\frac{27\!\cdots\!85}{25\!\cdots\!91}a^{27}-\frac{35\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!91}a^{26}-\frac{15\!\cdots\!78}{25\!\cdots\!91}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!10}{16\!\cdots\!63}a^{24}+\frac{38\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!91}a^{23}-\frac{48\!\cdots\!55}{25\!\cdots\!91}a^{22}-\frac{49\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!91}a^{21}+\frac{64\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!91}a^{20}+\frac{39\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!91}a^{19}-\frac{51\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!91}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!91}a^{17}+\frac{26\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!91}a^{16}+\frac{60\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!91}a^{15}-\frac{84\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!91}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!65}{25\!\cdots\!91}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!91}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!91}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!62}{25\!\cdots\!91}a^{10}-\frac{61\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!91}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!91}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!35}{25\!\cdots\!91}a^{7}-\frac{35\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!91}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!91}a^{5}+\frac{45\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!91}a^{4}+\frac{37\!\cdots\!55}{25\!\cdots\!91}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!91}a^{2}-\frac{40\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!91}a-\frac{44\!\cdots\!27}{25\!\cdots\!91}$, $\frac{27\!\cdots\!88}{25\!\cdots\!91}a^{27}-\frac{37\!\cdots\!65}{25\!\cdots\!91}a^{26}-\frac{15\!\cdots\!63}{25\!\cdots\!91}a^{25}+\frac{21\!\cdots\!97}{25\!\cdots\!91}a^{24}+\frac{37\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!91}a^{23}-\frac{51\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!91}a^{22}-\frac{49\!\cdots\!36}{25\!\cdots\!91}a^{21}+\frac{67\!\cdots\!85}{25\!\cdots\!91}a^{20}+\frac{39\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!91}a^{19}-\frac{54\!\cdots\!51}{25\!\cdots\!91}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!17}{25\!\cdots\!91}a^{17}+\frac{27\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!91}a^{16}+\frac{58\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!91}a^{15}-\frac{89\!\cdots\!21}{25\!\cdots\!91}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!26}{25\!\cdots\!91}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!68}{25\!\cdots\!91}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!11}{25\!\cdots\!91}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!12}{25\!\cdots\!91}a^{10}-\frac{49\!\cdots\!43}{25\!\cdots\!91}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!27}{25\!\cdots\!91}a^{8}+\frac{76\!\cdots\!44}{25\!\cdots\!91}a^{7}-\frac{38\!\cdots\!42}{25\!\cdots\!91}a^{6}-\frac{54\!\cdots\!32}{25\!\cdots\!91}a^{5}+\frac{50\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!91}a^{4}+\frac{59\!\cdots\!87}{25\!\cdots\!91}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!91}a^{2}+\frac{20\!\cdots\!92}{25\!\cdots\!91}a+\frac{82\!\cdots\!82}{25\!\cdots\!91}$, $\frac{29\!\cdots\!55}{25\!\cdots\!91}a^{27}-\frac{29\!\cdots\!25}{25\!\cdots\!91}a^{26}-\frac{16\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!91}a^{25}+\frac{16\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!91}a^{24}+\frac{39\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!91}a^{23}-\frac{40\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!91}a^{22}-\frac{52\!\cdots\!85}{25\!\cdots\!91}a^{21}+\frac{52\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!91}a^{20}+\frac{41\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!91}a^{19}-\frac{42\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!91}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!91}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!91}a^{16}+\frac{63\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!91}a^{15}-\frac{70\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!91}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!35}{25\!\cdots\!91}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!05}{25\!\cdots\!91}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!35}{25\!\cdots\!91}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!91}a^{10}-\frac{68\!\cdots\!05}{25\!\cdots\!91}a^{9}+\frac{98\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!91}a^{8}+\frac{17\!\cdots\!15}{25\!\cdots\!91}a^{7}-\frac{29\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!91}a^{6}-\frac{22\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!91}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!91}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!91}a^{3}-\frac{98\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!91}a^{2}+\frac{57\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!91}a+\frac{40\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!91}$, $\frac{14\!\cdots\!27}{25\!\cdots\!91}a^{27}-\frac{29\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!91}a^{26}-\frac{83\!\cdots\!74}{25\!\cdots\!91}a^{25}+\frac{16\!\cdots\!44}{25\!\cdots\!91}a^{24}+\frac{19\!\cdots\!01}{25\!\cdots\!91}a^{23}-\frac{39\!\cdots\!12}{25\!\cdots\!91}a^{22}-\frac{25\!\cdots\!65}{25\!\cdots\!91}a^{21}+\frac{52\!\cdots\!93}{25\!\cdots\!91}a^{20}+\frac{19\!\cdots\!74}{25\!\cdots\!91}a^{19}-\frac{41\!\cdots\!41}{25\!\cdots\!91}a^{18}-\frac{95\!\cdots\!46}{25\!\cdots\!91}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!18}{25\!\cdots\!91}a^{16}+\frac{27\!\cdots\!08}{25\!\cdots\!91}a^{15}-\frac{66\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!91}a^{14}-\frac{45\!\cdots\!89}{25\!\cdots\!91}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!83}{25\!\cdots\!91}a^{12}+\frac{35\!\cdots\!04}{25\!\cdots\!91}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!06}{25\!\cdots\!91}a^{10}-\frac{20\!\cdots\!92}{25\!\cdots\!91}a^{9}+\frac{87\!\cdots\!61}{25\!\cdots\!91}a^{8}-\frac{93\!\cdots\!15}{25\!\cdots\!91}a^{7}-\frac{25\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!91}a^{6}+\frac{31\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!91}a^{5}+\frac{28\!\cdots\!43}{25\!\cdots\!91}a^{4}-\frac{20\!\cdots\!38}{25\!\cdots\!91}a^{3}-\frac{31\!\cdots\!11}{25\!\cdots\!91}a^{2}+\frac{50\!\cdots\!36}{25\!\cdots\!91}a-\frac{26\!\cdots\!85}{25\!\cdots\!91}$, $\frac{33\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!69}a^{27}-\frac{32\!\cdots\!54}{15\!\cdots\!69}a^{26}-\frac{18\!\cdots\!12}{15\!\cdots\!69}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!69}a^{24}+\frac{45\!\cdots\!73}{15\!\cdots\!69}a^{23}-\frac{44\!\cdots\!56}{15\!\cdots\!69}a^{22}-\frac{59\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!69}a^{21}+\frac{59\!\cdots\!75}{15\!\cdots\!69}a^{20}+\frac{47\!\cdots\!02}{15\!\cdots\!69}a^{19}-\frac{47\!\cdots\!50}{15\!\cdots\!69}a^{18}-\frac{23\!\cdots\!22}{15\!\cdots\!69}a^{17}+\frac{24\!\cdots\!49}{15\!\cdots\!69}a^{16}+\frac{73\!\cdots\!40}{15\!\cdots\!69}a^{15}-\frac{79\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!69}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!97}{15\!\cdots\!69}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!46}{15\!\cdots\!69}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!69}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!69}a^{10}-\frac{91\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!69}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!70}{15\!\cdots\!69}a^{8}+\frac{28\!\cdots\!20}{15\!\cdots\!69}a^{7}-\frac{34\!\cdots\!54}{15\!\cdots\!69}a^{6}-\frac{55\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!69}a^{5}+\frac{43\!\cdots\!05}{15\!\cdots\!69}a^{4}+\frac{66\!\cdots\!42}{15\!\cdots\!69}a^{3}-\frac{99\!\cdots\!17}{15\!\cdots\!69}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!75}{15\!\cdots\!69}a+\frac{13\!\cdots\!15}{15\!\cdots\!69}$, $\frac{60\!\cdots\!46}{15\!\cdots\!69}a^{27}-\frac{68\!\cdots\!94}{15\!\cdots\!69}a^{26}-\frac{34\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!69}a^{25}+\frac{39\!\cdots\!67}{15\!\cdots\!69}a^{24}+\frac{81\!\cdots\!82}{15\!\cdots\!69}a^{23}-\frac{93\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!69}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!70}{15\!\cdots\!69}a^{21}+\frac{12\!\cdots\!22}{15\!\cdots\!69}a^{20}+\frac{84\!\cdots\!93}{15\!\cdots\!69}a^{19}-\frac{99\!\cdots\!23}{15\!\cdots\!69}a^{18}-\frac{41\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!69}a^{17}+\frac{50\!\cdots\!61}{15\!\cdots\!69}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!69}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!40}{15\!\cdots\!69}a^{14}-\frac{24\!\cdots\!42}{15\!\cdots\!69}a^{13}+\frac{32\!\cdots\!05}{15\!\cdots\!69}a^{12}+\frac{25\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!69}a^{11}-\frac{37\!\cdots\!46}{15\!\cdots\!69}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!78}{15\!\cdots\!69}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!12}{15\!\cdots\!69}a^{8}+\frac{30\!\cdots\!36}{15\!\cdots\!69}a^{7}-\frac{68\!\cdots\!82}{15\!\cdots\!69}a^{6}-\frac{40\!\cdots\!84}{15\!\cdots\!69}a^{5}+\frac{54\!\cdots\!81}{96\!\cdots\!17}a^{4}+\frac{54\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!69}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!50}{15\!\cdots\!69}a^{2}-\frac{95\!\cdots\!44}{15\!\cdots\!69}a+\frac{57\!\cdots\!22}{15\!\cdots\!69}$, $\frac{25\!\cdots\!54}{15\!\cdots\!69}a^{27}-\frac{27\!\cdots\!23}{15\!\cdots\!69}a^{26}-\frac{14\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!69}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!44}{15\!\cdots\!69}a^{24}+\frac{35\!\cdots\!39}{15\!\cdots\!69}a^{23}-\frac{37\!\cdots\!58}{15\!\cdots\!69}a^{22}-\frac{46\!\cdots\!80}{15\!\cdots\!69}a^{21}+\frac{48\!\cdots\!19}{15\!\cdots\!69}a^{20}+\frac{36\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!69}a^{19}-\frac{39\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!69}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!69}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!77}{15\!\cdots\!69}a^{16}+\frac{56\!\cdots\!08}{15\!\cdots\!69}a^{15}-\frac{64\!\cdots\!50}{15\!\cdots\!69}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!69}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!98}{15\!\cdots\!69}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!80}{15\!\cdots\!69}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!56}{15\!\cdots\!69}a^{10}-\frac{61\!\cdots\!56}{15\!\cdots\!69}a^{9}+\frac{89\!\cdots\!20}{15\!\cdots\!69}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!00}{15\!\cdots\!69}a^{7}-\frac{26\!\cdots\!30}{15\!\cdots\!69}a^{6}-\frac{27\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!69}a^{5}+\frac{31\!\cdots\!80}{15\!\cdots\!69}a^{4}+\frac{34\!\cdots\!86}{15\!\cdots\!69}a^{3}-\frac{50\!\cdots\!14}{15\!\cdots\!69}a^{2}-\frac{67\!\cdots\!99}{15\!\cdots\!69}a-\frac{22\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!69}$, $\frac{25\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!69}a^{27}-\frac{27\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!69}a^{26}-\frac{14\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!69}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!69}a^{24}+\frac{34\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!69}a^{23}-\frac{37\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!69}a^{22}-\frac{45\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!69}a^{21}+\frac{50\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!69}a^{20}+\frac{35\!\cdots\!77}{15\!\cdots\!69}a^{19}-\frac{40\!\cdots\!55}{15\!\cdots\!69}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!12}{15\!\cdots\!69}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!32}{15\!\cdots\!69}a^{16}+\frac{53\!\cdots\!08}{15\!\cdots\!69}a^{15}-\frac{65\!\cdots\!67}{15\!\cdots\!69}a^{14}-\frac{97\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!69}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!54}{15\!\cdots\!69}a^{12}+\frac{97\!\cdots\!84}{15\!\cdots\!69}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!69}a^{10}-\frac{45\!\cdots\!90}{15\!\cdots\!69}a^{9}+\frac{88\!\cdots\!74}{15\!\cdots\!69}a^{8}+\frac{65\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!69}a^{7}-\frac{25\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!69}a^{6}+\frac{40\!\cdots\!18}{15\!\cdots\!69}a^{5}+\frac{30\!\cdots\!62}{15\!\cdots\!69}a^{4}-\frac{49\!\cdots\!73}{15\!\cdots\!69}a^{3}-\frac{79\!\cdots\!66}{15\!\cdots\!69}a^{2}-\frac{75\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!69}a+\frac{29\!\cdots\!74}{15\!\cdots\!69}$, $\frac{30\!\cdots\!24}{15\!\cdots\!69}a^{27}-\frac{31\!\cdots\!64}{15\!\cdots\!69}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!06}{15\!\cdots\!69}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!42}{15\!\cdots\!69}a^{24}+\frac{41\!\cdots\!52}{15\!\cdots\!69}a^{23}-\frac{27\!\cdots\!94}{96\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{54\!\cdots\!20}{15\!\cdots\!69}a^{21}+\frac{56\!\cdots\!16}{15\!\cdots\!69}a^{20}+\frac{42\!\cdots\!78}{15\!\cdots\!69}a^{19}-\frac{45\!\cdots\!74}{15\!\cdots\!69}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!42}{15\!\cdots\!69}a^{17}+\frac{23\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!69}a^{16}+\frac{64\!\cdots\!18}{15\!\cdots\!69}a^{15}-\frac{74\!\cdots\!08}{15\!\cdots\!69}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!08}{15\!\cdots\!69}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!14}{15\!\cdots\!69}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!14}{15\!\cdots\!69}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!52}{15\!\cdots\!69}a^{10}-\frac{58\!\cdots\!00}{15\!\cdots\!69}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!96}{15\!\cdots\!69}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!69}a^{7}-\frac{29\!\cdots\!12}{15\!\cdots\!69}a^{6}-\frac{74\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!69}a^{5}+\frac{34\!\cdots\!18}{15\!\cdots\!69}a^{4}-\frac{39\!\cdots\!90}{15\!\cdots\!69}a^{3}-\frac{91\!\cdots\!44}{15\!\cdots\!69}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!00}{15\!\cdots\!69}a+\frac{35\!\cdots\!72}{15\!\cdots\!69}$, $\frac{50\!\cdots\!28}{15\!\cdots\!69}a^{27}-\frac{58\!\cdots\!58}{15\!\cdots\!69}a^{26}-\frac{28\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!69}a^{25}+\frac{33\!\cdots\!56}{15\!\cdots\!69}a^{24}+\frac{67\!\cdots\!12}{15\!\cdots\!69}a^{23}-\frac{80\!\cdots\!34}{15\!\cdots\!69}a^{22}-\frac{88\!\cdots\!24}{15\!\cdots\!69}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!76}{15\!\cdots\!69}a^{20}+\frac{70\!\cdots\!98}{15\!\cdots\!69}a^{19}-\frac{85\!\cdots\!92}{15\!\cdots\!69}a^{18}-\frac{34\!\cdots\!52}{15\!\cdots\!69}a^{17}+\frac{43\!\cdots\!00}{15\!\cdots\!69}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!46}{15\!\cdots\!69}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!32}{15\!\cdots\!69}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!08}{15\!\cdots\!69}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!78}{15\!\cdots\!69}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!22}{15\!\cdots\!69}a^{11}-\frac{31\!\cdots\!90}{15\!\cdots\!69}a^{10}-\frac{93\!\cdots\!08}{15\!\cdots\!69}a^{9}+\frac{19\!\cdots\!67}{15\!\cdots\!69}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!62}{15\!\cdots\!69}a^{7}-\frac{56\!\cdots\!24}{15\!\cdots\!69}a^{6}-\frac{67\!\cdots\!32}{15\!\cdots\!69}a^{5}+\frac{70\!\cdots\!46}{15\!\cdots\!69}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!90}{15\!\cdots\!69}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!30}{15\!\cdots\!69}a^{2}-\frac{24\!\cdots\!82}{15\!\cdots\!69}a+\frac{71\!\cdots\!84}{15\!\cdots\!69}$, 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$\frac{17\!\cdots\!32}{15\!\cdots\!69}a^{27}-\frac{22\!\cdots\!49}{15\!\cdots\!69}a^{26}-\frac{98\!\cdots\!24}{15\!\cdots\!69}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!08}{15\!\cdots\!69}a^{24}+\frac{23\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!69}a^{23}-\frac{30\!\cdots\!96}{15\!\cdots\!69}a^{22}-\frac{30\!\cdots\!26}{15\!\cdots\!69}a^{21}+\frac{39\!\cdots\!74}{15\!\cdots\!69}a^{20}+\frac{24\!\cdots\!85}{15\!\cdots\!69}a^{19}-\frac{31\!\cdots\!36}{15\!\cdots\!69}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!69}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!54}{15\!\cdots\!69}a^{16}+\frac{36\!\cdots\!12}{15\!\cdots\!69}a^{15}-\frac{52\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!69}a^{14}-\frac{68\!\cdots\!82}{15\!\cdots\!69}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!97}{15\!\cdots\!69}a^{12}+\frac{70\!\cdots\!12}{15\!\cdots\!69}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!38}{15\!\cdots\!69}a^{10}-\frac{36\!\cdots\!72}{15\!\cdots\!69}a^{9}+\frac{72\!\cdots\!54}{15\!\cdots\!69}a^{8}+\frac{85\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!69}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!34}{15\!\cdots\!69}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!67}{15\!\cdots\!69}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!67}{15\!\cdots\!69}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!42}{15\!\cdots\!69}a^{3}-\frac{40\!\cdots\!36}{15\!\cdots\!69}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!22}{15\!\cdots\!69}a-\frac{69\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!69}$, 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$\frac{19\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!69}a^{27}-\frac{24\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!69}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!94}{15\!\cdots\!69}a^{25}+\frac{13\!\cdots\!10}{15\!\cdots\!69}a^{24}+\frac{26\!\cdots\!90}{15\!\cdots\!69}a^{23}-\frac{32\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!69}a^{22}-\frac{34\!\cdots\!30}{15\!\cdots\!69}a^{21}+\frac{43\!\cdots\!18}{15\!\cdots\!69}a^{20}+\frac{27\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!69}a^{19}-\frac{34\!\cdots\!48}{15\!\cdots\!69}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!40}{15\!\cdots\!69}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!36}{15\!\cdots\!69}a^{16}+\frac{40\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!69}a^{15}-\frac{56\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!69}a^{14}-\frac{73\!\cdots\!08}{15\!\cdots\!69}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!69}a^{12}+\frac{72\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!69}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!65}{15\!\cdots\!69}a^{10}-\frac{32\!\cdots\!72}{15\!\cdots\!69}a^{9}+\frac{78\!\cdots\!77}{15\!\cdots\!69}a^{8}+\frac{39\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!69}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!10}{15\!\cdots\!69}a^{6}+\frac{45\!\cdots\!64}{15\!\cdots\!69}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!69}a^{4}-\frac{24\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!69}a^{3}-\frac{82\!\cdots\!61}{15\!\cdots\!69}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!85}{15\!\cdots\!69}a+\frac{60\!\cdots\!12}{15\!\cdots\!69}$, $\frac{30\!\cdots\!22}{15\!\cdots\!69}a^{27}-\frac{33\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!69}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!05}{15\!\cdots\!69}a^{25}+\frac{19\!\cdots\!60}{15\!\cdots\!69}a^{24}+\frac{41\!\cdots\!49}{15\!\cdots\!69}a^{23}-\frac{46\!\cdots\!04}{15\!\cdots\!69}a^{22}-\frac{54\!\cdots\!36}{15\!\cdots\!69}a^{21}+\frac{61\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!69}a^{20}+\frac{43\!\cdots\!56}{15\!\cdots\!69}a^{19}-\frac{49\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!69}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!16}{15\!\cdots\!69}a^{17}+\frac{24\!\cdots\!02}{15\!\cdots\!69}a^{16}+\frac{65\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!69}a^{15}-\frac{80\!\cdots\!50}{15\!\cdots\!69}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!42}{15\!\cdots\!69}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!02}{15\!\cdots\!69}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!69}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!93}{15\!\cdots\!69}a^{10}-\frac{58\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!69}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!69}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!69}a^{7}-\frac{32\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!69}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!69}a^{5}+\frac{38\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!69}a^{4}+\frac{77\!\cdots\!02}{15\!\cdots\!69}a^{3}-\frac{99\!\cdots\!38}{15\!\cdots\!69}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!66}{15\!\cdots\!69}a+\frac{23\!\cdots\!12}{96\!\cdots\!17}$, $\frac{50\!\cdots\!56}{15\!\cdots\!69}a^{27}-\frac{58\!\cdots\!39}{15\!\cdots\!69}a^{26}-\frac{28\!\cdots\!75}{15\!\cdots\!69}a^{25}+\frac{33\!\cdots\!40}{15\!\cdots\!69}a^{24}+\frac{67\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!69}a^{23}-\frac{79\!\cdots\!22}{15\!\cdots\!69}a^{22}-\frac{88\!\cdots\!73}{15\!\cdots\!69}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!69}a^{20}+\frac{70\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!69}a^{19}-\frac{84\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!69}a^{18}-\frac{34\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!69}a^{17}+\frac{42\!\cdots\!76}{15\!\cdots\!69}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!69}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!69}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!54}{15\!\cdots\!69}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!34}{15\!\cdots\!69}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!69}a^{11}-\frac{31\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!69}a^{10}-\frac{96\!\cdots\!48}{15\!\cdots\!69}a^{9}+\frac{19\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!69}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!65}{15\!\cdots\!69}a^{7}-\frac{57\!\cdots\!12}{15\!\cdots\!69}a^{6}-\frac{96\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!69}a^{5}+\frac{72\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!69}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!16}{15\!\cdots\!69}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!69}a^{2}-\frac{62\!\cdots\!23}{15\!\cdots\!69}a+\frac{40\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!69}$, $\frac{21\!\cdots\!00}{15\!\cdots\!69}a^{27}+\frac{24\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!69}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!77}{15\!\cdots\!69}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!69}a^{24}+\frac{29\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!69}a^{23}+\frac{34\!\cdots\!26}{15\!\cdots\!69}a^{22}-\frac{39\!\cdots\!40}{15\!\cdots\!69}a^{21}-\frac{44\!\cdots\!14}{15\!\cdots\!69}a^{20}+\frac{31\!\cdots\!62}{15\!\cdots\!69}a^{19}+\frac{35\!\cdots\!26}{15\!\cdots\!69}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!69}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!19}{15\!\cdots\!69}a^{16}+\frac{50\!\cdots\!84}{15\!\cdots\!69}a^{15}+\frac{54\!\cdots\!66}{15\!\cdots\!69}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!08}{15\!\cdots\!69}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!84}{15\!\cdots\!69}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!66}{15\!\cdots\!69}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!77}{15\!\cdots\!69}a^{10}-\frac{85\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!69}a^{9}-\frac{87\!\cdots\!16}{15\!\cdots\!69}a^{8}+\frac{29\!\cdots\!78}{15\!\cdots\!69}a^{7}+\frac{33\!\cdots\!85}{15\!\cdots\!69}a^{6}-\frac{33\!\cdots\!08}{15\!\cdots\!69}a^{5}-\frac{58\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!69}a^{4}-\frac{24\!\cdots\!58}{15\!\cdots\!69}a^{3}+\frac{29\!\cdots\!38}{15\!\cdots\!69}a^{2}+\frac{34\!\cdots\!15}{15\!\cdots\!69}a-\frac{62\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!69}$, $\frac{13\!\cdots\!36}{15\!\cdots\!69}a^{27}-\frac{10\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!69}a^{26}-\frac{79\!\cdots\!04}{15\!\cdots\!69}a^{25}+\frac{60\!\cdots\!69}{15\!\cdots\!69}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!69}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!69}a^{22}-\frac{24\!\cdots\!26}{15\!\cdots\!69}a^{21}+\frac{19\!\cdots\!85}{15\!\cdots\!69}a^{20}+\frac{19\!\cdots\!48}{15\!\cdots\!69}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!69}a^{18}-\frac{97\!\cdots\!22}{15\!\cdots\!69}a^{17}+\frac{79\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!69}a^{16}+\frac{30\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!69}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!69}a^{14}-\frac{57\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!69}a^{13}+\frac{51\!\cdots\!28}{15\!\cdots\!69}a^{12}+\frac{62\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!69}a^{11}-\frac{59\!\cdots\!54}{15\!\cdots\!69}a^{10}-\frac{35\!\cdots\!93}{15\!\cdots\!69}a^{9}+\frac{36\!\cdots\!86}{15\!\cdots\!69}a^{8}+\frac{97\!\cdots\!84}{15\!\cdots\!69}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!16}{15\!\cdots\!69}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!69}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!06}{15\!\cdots\!69}a^{4}+\frac{99\!\cdots\!30}{15\!\cdots\!69}a^{3}-\frac{28\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!69}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!69}a+\frac{86\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!69}$, $\frac{97\!\cdots\!47}{25\!\cdots\!91}a^{27}-\frac{76\!\cdots\!65}{25\!\cdots\!91}a^{26}-\frac{56\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!91}a^{25}+\frac{43\!\cdots\!34}{25\!\cdots\!91}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!36}{25\!\cdots\!91}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!22}{25\!\cdots\!91}a^{22}-\frac{18\!\cdots\!89}{25\!\cdots\!91}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!97}{25\!\cdots\!91}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!93}{25\!\cdots\!91}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!83}{25\!\cdots\!91}a^{18}-\frac{74\!\cdots\!42}{25\!\cdots\!91}a^{17}+\frac{58\!\cdots\!33}{25\!\cdots\!91}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!61}{25\!\cdots\!91}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!51}{25\!\cdots\!91}a^{14}-\frac{49\!\cdots\!61}{25\!\cdots\!91}a^{13}+\frac{39\!\cdots\!92}{25\!\cdots\!91}a^{12}+\frac{61\!\cdots\!62}{25\!\cdots\!91}a^{11}-\frac{46\!\cdots\!67}{25\!\cdots\!91}a^{10}-\frac{45\!\cdots\!83}{25\!\cdots\!91}a^{9}+\frac{30\!\cdots\!32}{25\!\cdots\!91}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!87}{25\!\cdots\!91}a^{7}-\frac{98\!\cdots\!08}{25\!\cdots\!91}a^{6}-\frac{49\!\cdots\!22}{25\!\cdots\!91}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!26}{25\!\cdots\!91}a^{4}+\frac{59\!\cdots\!38}{25\!\cdots\!91}a^{3}-\frac{71\!\cdots\!48}{25\!\cdots\!91}a^{2}-\frac{92\!\cdots\!07}{25\!\cdots\!91}a-\frac{38\!\cdots\!92}{25\!\cdots\!91}$, $\frac{75\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!69}a^{27}-\frac{79\!\cdots\!62}{15\!\cdots\!69}a^{26}-\frac{43\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!69}a^{25}+\frac{45\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!69}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!69}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!69}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!24}{15\!\cdots\!69}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!16}{15\!\cdots\!69}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!69}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!69}a^{18}-\frac{52\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!69}a^{17}+\frac{58\!\cdots\!91}{15\!\cdots\!69}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!28}{15\!\cdots\!69}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!15}{15\!\cdots\!69}a^{14}-\frac{30\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!69}a^{13}+\frac{37\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!69}a^{12}+\frac{31\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!69}a^{11}-\frac{43\!\cdots\!76}{15\!\cdots\!69}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!69}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!66}{15\!\cdots\!69}a^{8}+\frac{35\!\cdots\!26}{15\!\cdots\!69}a^{7}-\frac{76\!\cdots\!22}{15\!\cdots\!69}a^{6}-\frac{35\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!69}a^{5}+\frac{93\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!69}a^{4}+\frac{35\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!69}a^{3}-\frac{24\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!69}a^{2}-\frac{34\!\cdots\!36}{15\!\cdots\!69}a+\frac{10\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!69}$, $\frac{28\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!69}a^{27}-\frac{19\!\cdots\!60}{15\!\cdots\!69}a^{26}-\frac{16\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!69}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!26}{15\!\cdots\!69}a^{24}+\frac{39\!\cdots\!56}{15\!\cdots\!69}a^{23}-\frac{27\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!69}a^{22}-\frac{52\!\cdots\!20}{15\!\cdots\!69}a^{21}+\frac{35\!\cdots\!28}{15\!\cdots\!69}a^{20}+\frac{41\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!69}a^{19}-\frac{29\!\cdots\!76}{15\!\cdots\!69}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!58}{15\!\cdots\!69}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!69}a^{16}+\frac{67\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!69}a^{15}-\frac{49\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!69}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!39}{15\!\cdots\!69}a^{13}+\frac{99\!\cdots\!80}{15\!\cdots\!69}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!69}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!02}{15\!\cdots\!69}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!65}{15\!\cdots\!69}a^{9}+\frac{72\!\cdots\!64}{15\!\cdots\!69}a^{8}+\frac{36\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!69}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!69}a^{6}-\frac{77\!\cdots\!80}{15\!\cdots\!69}a^{5}+\frac{24\!\cdots\!12}{15\!\cdots\!69}a^{4}+\frac{84\!\cdots\!80}{15\!\cdots\!69}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!94}{15\!\cdots\!69}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!12}{15\!\cdots\!69}a-\frac{86\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!69}$, $\frac{66\!\cdots\!92}{15\!\cdots\!69}a^{27}-\frac{67\!\cdots\!94}{15\!\cdots\!69}a^{26}-\frac{38\!\cdots\!05}{15\!\cdots\!69}a^{25}+\frac{38\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!69}a^{24}+\frac{90\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!69}a^{23}-\frac{91\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!69}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!30}{15\!\cdots\!69}a^{21}+\frac{12\!\cdots\!08}{15\!\cdots\!69}a^{20}+\frac{94\!\cdots\!02}{15\!\cdots\!69}a^{19}-\frac{97\!\cdots\!56}{15\!\cdots\!69}a^{18}-\frac{46\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!69}a^{17}+\frac{49\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!69}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!69}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!69}a^{14}-\frac{26\!\cdots\!84}{15\!\cdots\!69}a^{13}+\frac{31\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!69}a^{12}+\frac{28\!\cdots\!61}{15\!\cdots\!69}a^{11}-\frac{36\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!69}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!78}{15\!\cdots\!69}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!69}a^{8}+\frac{37\!\cdots\!19}{15\!\cdots\!69}a^{7}-\frac{65\!\cdots\!40}{15\!\cdots\!69}a^{6}-\frac{47\!\cdots\!06}{15\!\cdots\!69}a^{5}+\frac{80\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!69}a^{4}+\frac{48\!\cdots\!34}{15\!\cdots\!69}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!67}{15\!\cdots\!69}a^{2}-\frac{59\!\cdots\!32}{15\!\cdots\!69}a+\frac{65\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!69}$, $\frac{44\!\cdots\!02}{25\!\cdots\!91}a^{27}-\frac{43\!\cdots\!52}{25\!\cdots\!91}a^{26}-\frac{25\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!91}a^{25}+\frac{24\!\cdots\!16}{25\!\cdots\!91}a^{24}+\frac{60\!\cdots\!94}{25\!\cdots\!91}a^{23}-\frac{59\!\cdots\!59}{25\!\cdots\!91}a^{22}-\frac{79\!\cdots\!07}{25\!\cdots\!91}a^{21}+\frac{78\!\cdots\!41}{25\!\cdots\!91}a^{20}+\frac{62\!\cdots\!77}{25\!\cdots\!91}a^{19}-\frac{63\!\cdots\!08}{25\!\cdots\!91}a^{18}-\frac{31\!\cdots\!57}{25\!\cdots\!91}a^{17}+\frac{32\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!91}a^{16}+\frac{96\!\cdots\!31}{25\!\cdots\!91}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!92}{25\!\cdots\!91}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!05}{25\!\cdots\!91}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!82}{25\!\cdots\!91}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!91}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!78}{25\!\cdots\!91}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!67}{25\!\cdots\!91}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!91}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!85}{25\!\cdots\!91}a^{7}-\frac{42\!\cdots\!05}{25\!\cdots\!91}a^{6}-\frac{37\!\cdots\!22}{25\!\cdots\!91}a^{5}+\frac{50\!\cdots\!99}{25\!\cdots\!91}a^{4}+\frac{41\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!91}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!24}{25\!\cdots\!91}a^{2}-\frac{80\!\cdots\!43}{25\!\cdots\!91}a+\frac{34\!\cdots\!14}{25\!\cdots\!91}$, $\frac{99\!\cdots\!76}{15\!\cdots\!69}a^{27}-\frac{10\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!69}a^{26}-\frac{56\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!69}a^{25}+\frac{61\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!69}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!82}{15\!\cdots\!69}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!69}a^{22}-\frac{17\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!69}a^{21}+\frac{19\!\cdots\!32}{15\!\cdots\!69}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!36}{15\!\cdots\!69}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!39}{15\!\cdots\!69}a^{18}-\frac{68\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!69}a^{17}+\frac{80\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!69}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!90}{15\!\cdots\!69}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!69}a^{14}-\frac{38\!\cdots\!94}{15\!\cdots\!69}a^{13}+\frac{51\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!69}a^{12}+\frac{39\!\cdots\!30}{15\!\cdots\!69}a^{11}-\frac{58\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!69}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!38}{15\!\cdots\!69}a^{9}+\frac{35\!\cdots\!92}{15\!\cdots\!69}a^{8}+\frac{39\!\cdots\!62}{15\!\cdots\!69}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!69}a^{6}-\frac{26\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!69}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!10}{15\!\cdots\!69}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!69}a^{3}-\frac{40\!\cdots\!08}{15\!\cdots\!69}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!60}{15\!\cdots\!69}a+\frac{27\!\cdots\!76}{15\!\cdots\!69}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 238735871646007500 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{28}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 238735871646007500 \cdot 4}{2\cdot\sqrt{1455848000512373226044338588471370773272037506103515625}}\cr\approx \mathstrut & 0.106225684092579 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_{28}$ (as 28T1):

A cyclic group of order 28

The 28 conjugacy class representatives for $C_{28}$

Character table for $C_{28}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{145}) \), 4.4.3048625.2, 7.7.594823321.1, 14.14.801611618199890796015625.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	${\href{/padicField/2.14.0.1}{14} }^{2}$	${\href{/padicField/3.7.0.1}{7} }^{4}$	R	$28$	$28$	$28$	${\href{/padicField/17.2.0.1}{2} }^{14}$	$28$	$28$	R	$28$	${\href{/padicField/37.7.0.1}{7} }^{4}$	${\href{/padicField/41.4.0.1}{4} }^{7}$	${\href{/padicField/43.7.0.1}{7} }^{4}$	${\href{/padicField/47.7.0.1}{7} }^{4}$	$28$	${\href{/padicField/59.2.0.1}{2} }^{14}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(5\)		Deg $28$	$4$	$7$	$21$
\(29\)		Deg $28$	$28$	$1$	$27$