Properties

Label 28.28.140...125.1
Degree $28$
Signature $[28, 0]$
Discriminant $1.408\times 10^{57}$
Root discriminant \(109.91\)
Ramified primes $5,43$
Class number $1$ (GRH)
Class group trivial (GRH)
Galois group $C_{28}$ (as 28T1)

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Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^28 - x^27 - 81*x^26 + 98*x^25 + 2666*x^24 - 3722*x^23 - 46935*x^22 + 73335*x^21 + 486583*x^20 - 833426*x^19 - 3079355*x^18 + 5705690*x^17 + 11981008*x^16 - 23840492*x^15 - 28489796*x^14 + 60403709*x^13 + 41941965*x^12 - 91572889*x^11 - 41957881*x^10 + 83155937*x^9 + 31487031*x^8 - 43876845*x^7 - 17209192*x^6 + 11875118*x^5 + 5608146*x^4 - 990770*x^3 - 732425*x^2 - 84867*x - 2789)
 
gp: K = bnfinit(y^28 - y^27 - 81*y^26 + 98*y^25 + 2666*y^24 - 3722*y^23 - 46935*y^22 + 73335*y^21 + 486583*y^20 - 833426*y^19 - 3079355*y^18 + 5705690*y^17 + 11981008*y^16 - 23840492*y^15 - 28489796*y^14 + 60403709*y^13 + 41941965*y^12 - 91572889*y^11 - 41957881*y^10 + 83155937*y^9 + 31487031*y^8 - 43876845*y^7 - 17209192*y^6 + 11875118*y^5 + 5608146*y^4 - 990770*y^3 - 732425*y^2 - 84867*y - 2789, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^28 - x^27 - 81*x^26 + 98*x^25 + 2666*x^24 - 3722*x^23 - 46935*x^22 + 73335*x^21 + 486583*x^20 - 833426*x^19 - 3079355*x^18 + 5705690*x^17 + 11981008*x^16 - 23840492*x^15 - 28489796*x^14 + 60403709*x^13 + 41941965*x^12 - 91572889*x^11 - 41957881*x^10 + 83155937*x^9 + 31487031*x^8 - 43876845*x^7 - 17209192*x^6 + 11875118*x^5 + 5608146*x^4 - 990770*x^3 - 732425*x^2 - 84867*x - 2789);
 
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^28 - x^27 - 81*x^26 + 98*x^25 + 2666*x^24 - 3722*x^23 - 46935*x^22 + 73335*x^21 + 486583*x^20 - 833426*x^19 - 3079355*x^18 + 5705690*x^17 + 11981008*x^16 - 23840492*x^15 - 28489796*x^14 + 60403709*x^13 + 41941965*x^12 - 91572889*x^11 - 41957881*x^10 + 83155937*x^9 + 31487031*x^8 - 43876845*x^7 - 17209192*x^6 + 11875118*x^5 + 5608146*x^4 - 990770*x^3 - 732425*x^2 - 84867*x - 2789)
 

\( x^{28} - x^{27} - 81 x^{26} + 98 x^{25} + 2666 x^{24} - 3722 x^{23} - 46935 x^{22} + 73335 x^{21} + 486583 x^{20} - 833426 x^{19} - 3079355 x^{18} + 5705690 x^{17} + \cdots - 2789 \) Copy content Toggle raw display

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 
oscar: defining_polynomial(K)
 

Invariants

Degree:  $28$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
oscar: degree(K)
 
Signature:  $[28, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
oscar: signature(K)
 
Discriminant:   \(1407829094312471215113334241722636006626629352569580078125\) \(\medspace = 5^{21}\cdot 43^{26}\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
 
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
 
Root discriminant:  \(109.91\)
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
 
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
 
Galois root discriminant:  $5^{3/4}43^{13/14}\approx 109.90555421034314$
Ramified primes:   \(5\), \(43\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
 
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
 
Discriminant root field:  \(\Q(\sqrt{5}) \)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:  $28$
sage: K.automorphisms()
 
magma: Automorphisms(K);
 
oscar: automorphisms(K)
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(215=5\cdot 43\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{215}(128,·)$, $\chi_{215}(1,·)$, $\chi_{215}(2,·)$, $\chi_{215}(4,·)$, $\chi_{215}(118,·)$, $\chi_{215}(8,·)$, $\chi_{215}(137,·)$, $\chi_{215}(11,·)$, $\chi_{215}(64,·)$, $\chi_{215}(16,·)$, $\chi_{215}(82,·)$, $\chi_{215}(84,·)$, $\chi_{215}(21,·)$, $\chi_{215}(22,·)$, $\chi_{215}(88,·)$, $\chi_{215}(27,·)$, $\chi_{215}(32,·)$, $\chi_{215}(164,·)$, $\chi_{215}(113,·)$, $\chi_{215}(168,·)$, $\chi_{215}(41,·)$, $\chi_{215}(42,·)$, $\chi_{215}(44,·)$, $\chi_{215}(176,·)$, $\chi_{215}(108,·)$, $\chi_{215}(54,·)$, $\chi_{215}(121,·)$, $\chi_{215}(59,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $\frac{1}{4909}a^{26}-\frac{2068}{4909}a^{25}+\frac{847}{4909}a^{24}+\frac{415}{4909}a^{23}+\frac{168}{4909}a^{22}-\frac{176}{4909}a^{21}-\frac{1028}{4909}a^{20}+\frac{527}{4909}a^{19}+\frac{751}{4909}a^{18}-\frac{1815}{4909}a^{17}-\frac{529}{4909}a^{16}-\frac{2277}{4909}a^{15}-\frac{500}{4909}a^{14}-\frac{614}{4909}a^{13}-\frac{318}{4909}a^{12}-\frac{2214}{4909}a^{11}+\frac{1854}{4909}a^{10}+\frac{922}{4909}a^{9}-\frac{419}{4909}a^{8}+\frac{1944}{4909}a^{7}+\frac{2039}{4909}a^{6}+\frac{1875}{4909}a^{5}-\frac{1526}{4909}a^{4}-\frac{527}{4909}a^{3}+\frac{497}{4909}a^{2}+\frac{1376}{4909}a+\frac{685}{4909}$, $\frac{1}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{17\!\cdots\!92}{21\!\cdots\!09}a^{26}+\frac{53\!\cdots\!28}{21\!\cdots\!09}a^{25}-\frac{30\!\cdots\!29}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{97\!\cdots\!28}{21\!\cdots\!09}a^{23}+\frac{22\!\cdots\!18}{21\!\cdots\!09}a^{22}+\frac{43\!\cdots\!62}{21\!\cdots\!09}a^{21}-\frac{41\!\cdots\!71}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{34\!\cdots\!03}{21\!\cdots\!09}a^{19}+\frac{78\!\cdots\!60}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{85\!\cdots\!39}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{66\!\cdots\!48}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{45\!\cdots\!41}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{90\!\cdots\!81}{21\!\cdots\!09}a^{14}+\frac{55\!\cdots\!01}{21\!\cdots\!09}a^{13}-\frac{19\!\cdots\!39}{21\!\cdots\!09}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!34}{21\!\cdots\!09}a^{11}+\frac{74\!\cdots\!43}{21\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{31\!\cdots\!63}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{24\!\cdots\!07}{21\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{73\!\cdots\!50}{21\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{53\!\cdots\!48}{21\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{87\!\cdots\!68}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{24\!\cdots\!04}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{38\!\cdots\!86}{21\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{94\!\cdots\!66}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!65}{21\!\cdots\!09}a-\frac{11\!\cdots\!56}{75\!\cdots\!81}$ Copy content Toggle raw display

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 
oscar: basis(OK)
 

Monogenic:  Not computed
Index:  $1$
Inessential primes:  None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 
oscar: class_group(K)
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
 
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
 
Rank:  $27$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
oscar: rank(UK)
 
Torsion generator:   \( -1 \)  (order $2$) Copy content Toggle raw display
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
oscar: torsion_units_generator(OK)
 
Fundamental units:   $\frac{10\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!99}a^{27}-\frac{16\!\cdots\!82}{10\!\cdots\!99}a^{26}-\frac{86\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!99}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!71}{10\!\cdots\!99}a^{24}+\frac{27\!\cdots\!54}{10\!\cdots\!99}a^{23}-\frac{55\!\cdots\!88}{10\!\cdots\!99}a^{22}-\frac{47\!\cdots\!83}{10\!\cdots\!99}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!99}a^{20}+\frac{46\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!99}a^{18}-\frac{27\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!99}a^{17}+\frac{75\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!99}a^{16}+\frac{88\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!99}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{72\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{61\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!78}{10\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{94\!\cdots\!11}{10\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{84\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!99}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!24}{10\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{41\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{34\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!98}{10\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!34}{10\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!99}a-\frac{20\!\cdots\!61}{37\!\cdots\!91}$, $\frac{11\!\cdots\!90}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{19\!\cdots\!89}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{93\!\cdots\!23}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{30\!\cdots\!68}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{62\!\cdots\!66}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{51\!\cdots\!04}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!66}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{49\!\cdots\!64}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!81}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{28\!\cdots\!32}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{84\!\cdots\!14}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{87\!\cdots\!66}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{33\!\cdots\!39}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!13}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{79\!\cdots\!85}{21\!\cdots\!09}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!81}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!64}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{20\!\cdots\!85}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{88\!\cdots\!30}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{20\!\cdots\!87}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{41\!\cdots\!90}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{78\!\cdots\!96}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!51}{21\!\cdots\!09}a^{4}-\frac{85\!\cdots\!66}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!98}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{55\!\cdots\!34}{21\!\cdots\!09}a+\frac{36\!\cdots\!83}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{59\!\cdots\!85}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{91\!\cdots\!02}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{48\!\cdots\!92}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{83\!\cdots\!86}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!69}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{30\!\cdots\!93}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{26\!\cdots\!93}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{57\!\cdots\!65}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{26\!\cdots\!44}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{63\!\cdots\!82}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!36}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{42\!\cdots\!50}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{49\!\cdots\!50}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!06}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{81\!\cdots\!21}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{40\!\cdots\!34}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{38\!\cdots\!04}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{56\!\cdots\!08}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{47\!\cdots\!76}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{47\!\cdots\!52}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{60\!\cdots\!29}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!93}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!63}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{61\!\cdots\!14}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!68}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{66\!\cdots\!49}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{89\!\cdots\!42}{21\!\cdots\!09}a-\frac{10\!\cdots\!61}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{14\!\cdots\!90}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{23\!\cdots\!08}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!54}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{21\!\cdots\!89}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{38\!\cdots\!26}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{78\!\cdots\!72}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{65\!\cdots\!42}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!75}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{63\!\cdots\!91}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!08}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{36\!\cdots\!44}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!10}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{42\!\cdots\!04}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!99}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!16}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!11}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!77}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!49}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!93}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!76}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{56\!\cdots\!27}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{79\!\cdots\!53}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!01}{21\!\cdots\!09}a^{4}-\frac{42\!\cdots\!48}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!21}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!98}{21\!\cdots\!09}a-\frac{90\!\cdots\!29}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{80\!\cdots\!70}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{11\!\cdots\!22}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{64\!\cdots\!42}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!05}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{21\!\cdots\!99}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{39\!\cdots\!08}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{36\!\cdots\!12}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{74\!\cdots\!41}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{35\!\cdots\!57}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{82\!\cdots\!38}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!91}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{54\!\cdots\!87}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{70\!\cdots\!65}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{22\!\cdots\!57}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!69}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{53\!\cdots\!30}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{90\!\cdots\!92}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{74\!\cdots\!46}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{93\!\cdots\!05}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{62\!\cdots\!20}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{35\!\cdots\!06}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{30\!\cdots\!65}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{40\!\cdots\!36}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{80\!\cdots\!63}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{66\!\cdots\!22}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{85\!\cdots\!74}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!82}{21\!\cdots\!09}a-\frac{25\!\cdots\!88}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{29\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{45\!\cdots\!71}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{23\!\cdots\!09}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{41\!\cdots\!40}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{75\!\cdots\!22}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!79}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!86}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{28\!\cdots\!05}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!16}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{31\!\cdots\!19}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{72\!\cdots\!08}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!21}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!07}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{82\!\cdots\!41}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{38\!\cdots\!12}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!15}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!41}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{27\!\cdots\!88}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{29\!\cdots\!40}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!10}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{34\!\cdots\!53}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!20}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!58}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!19}{21\!\cdots\!09}a^{4}-\frac{77\!\cdots\!39}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{31\!\cdots\!12}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{36\!\cdots\!91}{21\!\cdots\!09}a-\frac{35\!\cdots\!09}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{12\!\cdots\!10}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{18\!\cdots\!81}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{96\!\cdots\!08}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{16\!\cdots\!40}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{31\!\cdots\!67}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{61\!\cdots\!19}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{53\!\cdots\!91}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{52\!\cdots\!51}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!89}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{30\!\cdots\!38}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{85\!\cdots\!51}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{99\!\cdots\!34}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{34\!\cdots\!01}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!87}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{82\!\cdots\!15}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{73\!\cdots\!01}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!64}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!40}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{96\!\cdots\!50}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!83}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{47\!\cdots\!20}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{43\!\cdots\!41}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!59}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{56\!\cdots\!26}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!82}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!41}{21\!\cdots\!09}a-\frac{14\!\cdots\!17}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{38\!\cdots\!25}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{58\!\cdots\!40}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{30\!\cdots\!10}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{53\!\cdots\!25}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{99\!\cdots\!55}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{19\!\cdots\!85}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{17\!\cdots\!40}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{37\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!90}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{40\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{97\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{27\!\cdots\!90}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!30}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!90}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{53\!\cdots\!30}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{26\!\cdots\!25}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{36\!\cdots\!10}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{28\!\cdots\!75}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{30\!\cdots\!20}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{37\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!21}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{40\!\cdots\!10}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{82\!\cdots\!50}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{43\!\cdots\!55}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{57\!\cdots\!20}{21\!\cdots\!09}a-\frac{69\!\cdots\!72}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{36\!\cdots\!50}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{56\!\cdots\!70}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{29\!\cdots\!36}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{52\!\cdots\!50}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{93\!\cdots\!40}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{18\!\cdots\!80}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!95}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{35\!\cdots\!05}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{39\!\cdots\!55}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{89\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{25\!\cdots\!70}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{29\!\cdots\!55}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!20}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{45\!\cdots\!90}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!25}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!70}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{34\!\cdots\!75}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{40\!\cdots\!50}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!25}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{45\!\cdots\!60}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!75}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!95}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!05}{21\!\cdots\!09}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!30}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{39\!\cdots\!15}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{47\!\cdots\!20}{21\!\cdots\!09}a-\frac{48\!\cdots\!18}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{33\!\cdots\!70}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{51\!\cdots\!43}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{26\!\cdots\!90}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{47\!\cdots\!01}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{86\!\cdots\!81}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{17\!\cdots\!27}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{14\!\cdots\!44}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{32\!\cdots\!65}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!05}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{35\!\cdots\!36}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{84\!\cdots\!29}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{23\!\cdots\!11}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{27\!\cdots\!54}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{94\!\cdots\!17}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{45\!\cdots\!78}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!24}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!60}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{31\!\cdots\!62}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{29\!\cdots\!41}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!82}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{35\!\cdots\!67}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!68}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!83}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{34\!\cdots\!63}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{46\!\cdots\!44}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{37\!\cdots\!76}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{47\!\cdots\!63}{21\!\cdots\!09}a-\frac{56\!\cdots\!49}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{21\!\cdots\!61}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{26\!\cdots\!57}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!00}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{25\!\cdots\!31}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{56\!\cdots\!34}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{93\!\cdots\!29}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{97\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{18\!\cdots\!02}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{98\!\cdots\!48}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!54}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{60\!\cdots\!72}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!59}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!55}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{55\!\cdots\!89}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{45\!\cdots\!58}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!07}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{53\!\cdots\!85}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!24}{21\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{37\!\cdots\!16}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!89}{21\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!37}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{91\!\cdots\!24}{21\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!18}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!46}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{61\!\cdots\!26}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{26\!\cdots\!90}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{94\!\cdots\!62}{21\!\cdots\!09}a-\frac{19\!\cdots\!63}{75\!\cdots\!81}$, 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$\frac{56\!\cdots\!10}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{87\!\cdots\!77}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{45\!\cdots\!44}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{80\!\cdots\!36}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!19}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{29\!\cdots\!43}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{25\!\cdots\!93}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{55\!\cdots\!15}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{24\!\cdots\!69}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{60\!\cdots\!32}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!86}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{40\!\cdots\!85}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{46\!\cdots\!85}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!06}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{75\!\cdots\!06}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{38\!\cdots\!84}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{31\!\cdots\!99}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{53\!\cdots\!97}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{50\!\cdots\!76}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{44\!\cdots\!87}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{60\!\cdots\!54}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!93}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!55}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{57\!\cdots\!89}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!13}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{62\!\cdots\!24}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{85\!\cdots\!02}{21\!\cdots\!09}a-\frac{10\!\cdots\!85}{75\!\cdots\!81}$, 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$\frac{27\!\cdots\!87}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{30\!\cdots\!16}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{21\!\cdots\!80}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{29\!\cdots\!48}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{71\!\cdots\!91}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!96}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!33}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!47}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!23}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!28}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{80\!\cdots\!99}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!84}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{30\!\cdots\!93}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{69\!\cdots\!39}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{69\!\cdots\!18}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!73}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{92\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!11}{21\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{79\!\cdots\!28}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{24\!\cdots\!62}{21\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{51\!\cdots\!38}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!66}{21\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{27\!\cdots\!84}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{37\!\cdots\!63}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{92\!\cdots\!23}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{40\!\cdots\!62}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!22}{21\!\cdots\!09}a-\frac{25\!\cdots\!98}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{43\!\cdots\!33}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{65\!\cdots\!23}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{34\!\cdots\!53}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{60\!\cdots\!94}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!39}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{21\!\cdots\!87}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{19\!\cdots\!49}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{41\!\cdots\!89}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{19\!\cdots\!69}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{45\!\cdots\!99}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!37}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!36}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{36\!\cdots\!50}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!22}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{61\!\cdots\!51}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{29\!\cdots\!07}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{33\!\cdots\!68}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{41\!\cdots\!06}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{26\!\cdots\!02}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{34\!\cdots\!20}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{36\!\cdots\!94}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!17}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{99\!\cdots\!72}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{44\!\cdots\!21}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!97}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{48\!\cdots\!61}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{75\!\cdots\!41}{21\!\cdots\!09}a-\frac{10\!\cdots\!89}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{10\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!99}a^{27}-\frac{16\!\cdots\!82}{10\!\cdots\!99}a^{26}-\frac{86\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!99}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!71}{10\!\cdots\!99}a^{24}+\frac{27\!\cdots\!54}{10\!\cdots\!99}a^{23}-\frac{55\!\cdots\!88}{10\!\cdots\!99}a^{22}-\frac{47\!\cdots\!83}{10\!\cdots\!99}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!99}a^{20}+\frac{46\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!99}a^{18}-\frac{27\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!99}a^{17}+\frac{75\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!99}a^{16}+\frac{88\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!99}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{72\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{61\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!78}{10\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{94\!\cdots\!11}{10\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{84\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!99}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!24}{10\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{41\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{34\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!98}{10\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!34}{10\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!41}{10\!\cdots\!99}a-\frac{20\!\cdots\!70}{37\!\cdots\!91}$, $\frac{35\!\cdots\!86}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{54\!\cdots\!83}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{28\!\cdots\!51}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{49\!\cdots\!30}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{93\!\cdots\!39}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{18\!\cdots\!38}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!79}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{34\!\cdots\!62}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!13}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{37\!\cdots\!59}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{90\!\cdots\!30}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{25\!\cdots\!51}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{30\!\cdots\!38}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!19}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{50\!\cdots\!56}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!36}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{25\!\cdots\!88}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{34\!\cdots\!82}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{25\!\cdots\!03}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!73}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{34\!\cdots\!75}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!10}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!40}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{37\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{89\!\cdots\!63}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{40\!\cdots\!71}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{55\!\cdots\!63}{21\!\cdots\!09}a-\frac{69\!\cdots\!58}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{27\!\cdots\!15}{21\!\cdots\!09}a^{27}+\frac{11\!\cdots\!51}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{24\!\cdots\!01}{21\!\cdots\!09}a^{25}-\frac{90\!\cdots\!98}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{90\!\cdots\!44}{21\!\cdots\!09}a^{23}+\frac{27\!\cdots\!16}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{19\!\cdots\!15}{21\!\cdots\!09}a^{21}-\frac{44\!\cdots\!55}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{25\!\cdots\!71}{21\!\cdots\!09}a^{19}+\frac{41\!\cdots\!66}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!66}{21\!\cdots\!09}a^{17}-\frac{22\!\cdots\!69}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!54}{21\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{64\!\cdots\!91}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{41\!\cdots\!30}{21\!\cdots\!09}a^{13}-\frac{78\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{89\!\cdots\!03}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{34\!\cdots\!11}{21\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!06}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!51}{21\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{86\!\cdots\!40}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!00}{21\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{37\!\cdots\!78}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{26\!\cdots\!31}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{87\!\cdots\!10}{21\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{59\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{84\!\cdots\!21}{21\!\cdots\!09}a-\frac{22\!\cdots\!44}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{10\!\cdots\!54}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{15\!\cdots\!54}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{83\!\cdots\!41}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!32}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{26\!\cdots\!48}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{52\!\cdots\!25}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{45\!\cdots\!10}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{99\!\cdots\!67}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{45\!\cdots\!49}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!71}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{26\!\cdots\!54}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{72\!\cdots\!48}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{85\!\cdots\!85}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{29\!\cdots\!16}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!99}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{69\!\cdots\!47}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{65\!\cdots\!98}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{97\!\cdots\!31}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{83\!\cdots\!20}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{81\!\cdots\!48}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!29}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{39\!\cdots\!98}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!91}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!24}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!86}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!55}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!03}{21\!\cdots\!09}a-\frac{19\!\cdots\!74}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{37\!\cdots\!74}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{57\!\cdots\!00}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{29\!\cdots\!13}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{52\!\cdots\!94}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{96\!\cdots\!51}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{18\!\cdots\!26}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!39}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{36\!\cdots\!15}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!51}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{39\!\cdots\!94}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{92\!\cdots\!62}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{26\!\cdots\!18}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{30\!\cdots\!65}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!73}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{49\!\cdots\!27}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!50}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{34\!\cdots\!58}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{32\!\cdots\!76}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!78}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{37\!\cdots\!82}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!41}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!13}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{33\!\cdots\!89}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{40\!\cdots\!89}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{34\!\cdots\!08}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{45\!\cdots\!32}{21\!\cdots\!09}a-\frac{57\!\cdots\!02}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{85\!\cdots\!60}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{13\!\cdots\!78}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{68\!\cdots\!73}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!19}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{22\!\cdots\!71}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{43\!\cdots\!96}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{37\!\cdots\!93}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{82\!\cdots\!59}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{37\!\cdots\!85}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{90\!\cdots\!73}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!60}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{60\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{70\!\cdots\!65}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!46}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!16}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{57\!\cdots\!79}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{52\!\cdots\!75}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{80\!\cdots\!71}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{69\!\cdots\!46}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{66\!\cdots\!33}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{85\!\cdots\!11}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{32\!\cdots\!99}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{25\!\cdots\!28}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{86\!\cdots\!96}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!13}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{93\!\cdots\!64}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!25}{21\!\cdots\!09}a-\frac{17\!\cdots\!33}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{52\!\cdots\!54}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{79\!\cdots\!26}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{42\!\cdots\!70}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{73\!\cdots\!57}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!56}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{26\!\cdots\!81}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{23\!\cdots\!40}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{50\!\cdots\!27}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{22\!\cdots\!11}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{55\!\cdots\!18}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!84}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{36\!\cdots\!36}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{43\!\cdots\!48}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{72\!\cdots\!69}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{35\!\cdots\!87}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{35\!\cdots\!09}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{49\!\cdots\!77}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{39\!\cdots\!91}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{41\!\cdots\!92}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{50\!\cdots\!09}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!63}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!68}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{53\!\cdots\!22}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!76}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{58\!\cdots\!60}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{80\!\cdots\!38}{21\!\cdots\!09}a-\frac{10\!\cdots\!34}{75\!\cdots\!81}$, 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$\frac{41\!\cdots\!77}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{59\!\cdots\!92}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{33\!\cdots\!38}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{55\!\cdots\!99}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!83}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{20\!\cdots\!48}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{18\!\cdots\!54}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{38\!\cdots\!79}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!97}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{42\!\cdots\!37}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!34}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{28\!\cdots\!56}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{38\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!66}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{72\!\cdots\!30}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{28\!\cdots\!59}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{65\!\cdots\!85}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{41\!\cdots\!64}{21\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!15}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{36\!\cdots\!46}{21\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{49\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!34}{21\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!54}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{52\!\cdots\!31}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{83\!\cdots\!72}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{56\!\cdots\!67}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!58}{21\!\cdots\!09}a-\frac{31\!\cdots\!42}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{13\!\cdots\!89}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{20\!\cdots\!95}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!98}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{19\!\cdots\!49}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{35\!\cdots\!94}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{69\!\cdots\!61}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{60\!\cdots\!57}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!24}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{59\!\cdots\!99}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!57}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{34\!\cdots\!05}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{95\!\cdots\!15}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!00}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{38\!\cdots\!75}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!48}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{92\!\cdots\!04}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{95\!\cdots\!74}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!95}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{95\!\cdots\!09}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!86}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!92}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{52\!\cdots\!44}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{34\!\cdots\!60}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!32}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{54\!\cdots\!43}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!59}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{23\!\cdots\!26}{21\!\cdots\!09}a-\frac{32\!\cdots\!42}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{64\!\cdots\!18}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{99\!\cdots\!02}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{51\!\cdots\!64}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{90\!\cdots\!73}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{16\!\cdots\!38}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{32\!\cdots\!08}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{28\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{62\!\cdots\!66}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{28\!\cdots\!84}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{68\!\cdots\!69}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{45\!\cdots\!64}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{53\!\cdots\!52}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!36}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{87\!\cdots\!05}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{43\!\cdots\!55}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{40\!\cdots\!97}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{61\!\cdots\!42}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{51\!\cdots\!89}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{50\!\cdots\!26}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{63\!\cdots\!50}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!54}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!28}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{66\!\cdots\!96}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!60}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{71\!\cdots\!97}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!62}{21\!\cdots\!09}a-\frac{14\!\cdots\!73}{75\!\cdots\!81}$ Copy content Toggle raw display (assuming GRH)
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
 
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
 
Regulator:  \( 34667735947885390000 \) (assuming GRH)
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 
oscar: regulator(K)
 

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{28}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 34667735947885390000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{1407829094312471215113334241722636006626629352569580078125}}\cr\approx \mathstrut & 0.124011052917892 \end{aligned}\] (assuming GRH)

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
 
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^28 - x^27 - 81*x^26 + 98*x^25 + 2666*x^24 - 3722*x^23 - 46935*x^22 + 73335*x^21 + 486583*x^20 - 833426*x^19 - 3079355*x^18 + 5705690*x^17 + 11981008*x^16 - 23840492*x^15 - 28489796*x^14 + 60403709*x^13 + 41941965*x^12 - 91572889*x^11 - 41957881*x^10 + 83155937*x^9 + 31487031*x^8 - 43876845*x^7 - 17209192*x^6 + 11875118*x^5 + 5608146*x^4 - 990770*x^3 - 732425*x^2 - 84867*x - 2789)
 
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
 
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
 
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
 
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
 
K = bnfinit(x^28 - x^27 - 81*x^26 + 98*x^25 + 2666*x^24 - 3722*x^23 - 46935*x^22 + 73335*x^21 + 486583*x^20 - 833426*x^19 - 3079355*x^18 + 5705690*x^17 + 11981008*x^16 - 23840492*x^15 - 28489796*x^14 + 60403709*x^13 + 41941965*x^12 - 91572889*x^11 - 41957881*x^10 + 83155937*x^9 + 31487031*x^8 - 43876845*x^7 - 17209192*x^6 + 11875118*x^5 + 5608146*x^4 - 990770*x^3 - 732425*x^2 - 84867*x - 2789, 1);
 
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
 
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
 
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^28 - x^27 - 81*x^26 + 98*x^25 + 2666*x^24 - 3722*x^23 - 46935*x^22 + 73335*x^21 + 486583*x^20 - 833426*x^19 - 3079355*x^18 + 5705690*x^17 + 11981008*x^16 - 23840492*x^15 - 28489796*x^14 + 60403709*x^13 + 41941965*x^12 - 91572889*x^11 - 41957881*x^10 + 83155937*x^9 + 31487031*x^8 - 43876845*x^7 - 17209192*x^6 + 11875118*x^5 + 5608146*x^4 - 990770*x^3 - 732425*x^2 - 84867*x - 2789);
 
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
 
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
 
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
 
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
 
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
 
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
 
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^28 - x^27 - 81*x^26 + 98*x^25 + 2666*x^24 - 3722*x^23 - 46935*x^22 + 73335*x^21 + 486583*x^20 - 833426*x^19 - 3079355*x^18 + 5705690*x^17 + 11981008*x^16 - 23840492*x^15 - 28489796*x^14 + 60403709*x^13 + 41941965*x^12 - 91572889*x^11 - 41957881*x^10 + 83155937*x^9 + 31487031*x^8 - 43876845*x^7 - 17209192*x^6 + 11875118*x^5 + 5608146*x^4 - 990770*x^3 - 732425*x^2 - 84867*x - 2789);
 
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
 
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
 
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
 
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
 
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
 

Galois group

$C_{28}$ (as 28T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: G = GaloisGroup(K);
 
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
 
A cyclic group of order 28
The 28 conjugacy class representatives for $C_{28}$
Character table for $C_{28}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{5}) \), 4.4.231125.1, 7.7.6321363049.1, 14.14.3121846156036138781328125.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]
 
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
 
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
 
oscar: subfields(K)[2:end-1]
 

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $28$ $28$ R ${\href{/padicField/7.4.0.1}{4} }^{7}$ ${\href{/padicField/11.7.0.1}{7} }^{4}$ $28$ $28$ ${\href{/padicField/19.7.0.1}{7} }^{4}$ $28$ ${\href{/padicField/29.7.0.1}{7} }^{4}$ ${\href{/padicField/31.7.0.1}{7} }^{4}$ ${\href{/padicField/37.4.0.1}{4} }^{7}$ ${\href{/padicField/41.7.0.1}{7} }^{4}$ R $28$ $28$ ${\href{/padicField/59.14.0.1}{14} }^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
 
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
 
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
 
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
 
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
 
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
 
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
\(5\) Copy content Toggle raw display Deg $28$$4$$7$$21$
\(43\) Copy content Toggle raw display Deg $28$$14$$2$$26$