Normalized defining polynomial
\( x^{28} - x^{27} - 81 x^{26} + 98 x^{25} + 2666 x^{24} - 3722 x^{23} - 46935 x^{22} + 73335 x^{21} + 486583 x^{20} - 833426 x^{19} - 3079355 x^{18} + 5705690 x^{17} + \cdots - 2789 \)
Invariants
Degree: | $28$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[28, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(1407829094312471215113334241722636006626629352569580078125\) \(\medspace = 5^{21}\cdot 43^{26}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(109.91\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | $5^{3/4}43^{13/14}\approx 109.90555421034314$ | ||
Ramified primes: | \(5\), \(43\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{5}) \) | ||
$\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $28$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
Conductor: | \(215=5\cdot 43\) | ||
Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{215}(128,·)$, $\chi_{215}(1,·)$, $\chi_{215}(2,·)$, $\chi_{215}(4,·)$, $\chi_{215}(118,·)$, $\chi_{215}(8,·)$, $\chi_{215}(137,·)$, $\chi_{215}(11,·)$, $\chi_{215}(64,·)$, $\chi_{215}(16,·)$, $\chi_{215}(82,·)$, $\chi_{215}(84,·)$, $\chi_{215}(21,·)$, $\chi_{215}(22,·)$, $\chi_{215}(88,·)$, $\chi_{215}(27,·)$, $\chi_{215}(32,·)$, $\chi_{215}(164,·)$, $\chi_{215}(113,·)$, $\chi_{215}(168,·)$, $\chi_{215}(41,·)$, $\chi_{215}(42,·)$, $\chi_{215}(44,·)$, $\chi_{215}(176,·)$, $\chi_{215}(108,·)$, $\chi_{215}(54,·)$, $\chi_{215}(121,·)$, $\chi_{215}(59,·)$$\rbrace$ | ||
This is not a CM field. |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $\frac{1}{4909}a^{26}-\frac{2068}{4909}a^{25}+\frac{847}{4909}a^{24}+\frac{415}{4909}a^{23}+\frac{168}{4909}a^{22}-\frac{176}{4909}a^{21}-\frac{1028}{4909}a^{20}+\frac{527}{4909}a^{19}+\frac{751}{4909}a^{18}-\frac{1815}{4909}a^{17}-\frac{529}{4909}a^{16}-\frac{2277}{4909}a^{15}-\frac{500}{4909}a^{14}-\frac{614}{4909}a^{13}-\frac{318}{4909}a^{12}-\frac{2214}{4909}a^{11}+\frac{1854}{4909}a^{10}+\frac{922}{4909}a^{9}-\frac{419}{4909}a^{8}+\frac{1944}{4909}a^{7}+\frac{2039}{4909}a^{6}+\frac{1875}{4909}a^{5}-\frac{1526}{4909}a^{4}-\frac{527}{4909}a^{3}+\frac{497}{4909}a^{2}+\frac{1376}{4909}a+\frac{685}{4909}$, $\frac{1}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{17\!\cdots\!92}{21\!\cdots\!09}a^{26}+\frac{53\!\cdots\!28}{21\!\cdots\!09}a^{25}-\frac{30\!\cdots\!29}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{97\!\cdots\!28}{21\!\cdots\!09}a^{23}+\frac{22\!\cdots\!18}{21\!\cdots\!09}a^{22}+\frac{43\!\cdots\!62}{21\!\cdots\!09}a^{21}-\frac{41\!\cdots\!71}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{34\!\cdots\!03}{21\!\cdots\!09}a^{19}+\frac{78\!\cdots\!60}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{85\!\cdots\!39}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{66\!\cdots\!48}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{45\!\cdots\!41}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{90\!\cdots\!81}{21\!\cdots\!09}a^{14}+\frac{55\!\cdots\!01}{21\!\cdots\!09}a^{13}-\frac{19\!\cdots\!39}{21\!\cdots\!09}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!34}{21\!\cdots\!09}a^{11}+\frac{74\!\cdots\!43}{21\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{31\!\cdots\!63}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{24\!\cdots\!07}{21\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{73\!\cdots\!50}{21\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{53\!\cdots\!48}{21\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{87\!\cdots\!68}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{24\!\cdots\!04}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{38\!\cdots\!86}{21\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{94\!\cdots\!66}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!65}{21\!\cdots\!09}a-\frac{11\!\cdots\!56}{75\!\cdots\!81}$
Monogenic: | Not computed | |
Index: | $1$ | |
Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
Unit group
Rank: | $27$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
Torsion generator: | \( -1 \) (order $2$) | sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
Fundamental units: | $\frac{10\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!99}a^{27}-\frac{16\!\cdots\!82}{10\!\cdots\!99}a^{26}-\frac{86\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!99}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!71}{10\!\cdots\!99}a^{24}+\frac{27\!\cdots\!54}{10\!\cdots\!99}a^{23}-\frac{55\!\cdots\!88}{10\!\cdots\!99}a^{22}-\frac{47\!\cdots\!83}{10\!\cdots\!99}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!99}a^{20}+\frac{46\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!99}a^{18}-\frac{27\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!99}a^{17}+\frac{75\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!99}a^{16}+\frac{88\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!99}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{72\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{61\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!78}{10\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{94\!\cdots\!11}{10\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{84\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!99}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!24}{10\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{41\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{34\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!98}{10\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!34}{10\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!99}a-\frac{20\!\cdots\!61}{37\!\cdots\!91}$, $\frac{11\!\cdots\!90}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{19\!\cdots\!89}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{93\!\cdots\!23}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{30\!\cdots\!68}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{62\!\cdots\!66}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{51\!\cdots\!04}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!66}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{49\!\cdots\!64}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!81}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{28\!\cdots\!32}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{84\!\cdots\!14}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{87\!\cdots\!66}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{33\!\cdots\!39}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!13}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{79\!\cdots\!85}{21\!\cdots\!09}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!81}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!64}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{20\!\cdots\!85}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{88\!\cdots\!30}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{20\!\cdots\!87}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{41\!\cdots\!90}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{78\!\cdots\!96}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!51}{21\!\cdots\!09}a^{4}-\frac{85\!\cdots\!66}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!98}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{55\!\cdots\!34}{21\!\cdots\!09}a+\frac{36\!\cdots\!83}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{59\!\cdots\!85}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{91\!\cdots\!02}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{48\!\cdots\!92}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{83\!\cdots\!86}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!69}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{30\!\cdots\!93}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{26\!\cdots\!93}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{57\!\cdots\!65}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{26\!\cdots\!44}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{63\!\cdots\!82}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!36}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{42\!\cdots\!50}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{49\!\cdots\!50}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!06}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{81\!\cdots\!21}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{40\!\cdots\!34}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{38\!\cdots\!04}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{56\!\cdots\!08}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{47\!\cdots\!76}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{47\!\cdots\!52}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{60\!\cdots\!29}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!93}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!63}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{61\!\cdots\!14}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!68}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{66\!\cdots\!49}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{89\!\cdots\!42}{21\!\cdots\!09}a-\frac{10\!\cdots\!61}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{14\!\cdots\!90}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{23\!\cdots\!08}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!54}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{21\!\cdots\!89}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{38\!\cdots\!26}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{78\!\cdots\!72}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{65\!\cdots\!42}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!75}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{63\!\cdots\!91}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!08}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{36\!\cdots\!44}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!10}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{42\!\cdots\!04}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!99}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!16}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!11}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!77}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!49}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!93}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!76}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{56\!\cdots\!27}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{79\!\cdots\!53}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!01}{21\!\cdots\!09}a^{4}-\frac{42\!\cdots\!48}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!21}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!98}{21\!\cdots\!09}a-\frac{90\!\cdots\!29}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{80\!\cdots\!70}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{11\!\cdots\!22}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{64\!\cdots\!42}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!05}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{21\!\cdots\!99}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{39\!\cdots\!08}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{36\!\cdots\!12}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{74\!\cdots\!41}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{35\!\cdots\!57}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{82\!\cdots\!38}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!91}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{54\!\cdots\!87}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{70\!\cdots\!65}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{22\!\cdots\!57}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!69}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{53\!\cdots\!30}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{90\!\cdots\!92}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{74\!\cdots\!46}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{93\!\cdots\!05}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{62\!\cdots\!20}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{35\!\cdots\!06}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{30\!\cdots\!65}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{40\!\cdots\!36}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{80\!\cdots\!63}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{66\!\cdots\!22}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{85\!\cdots\!74}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!82}{21\!\cdots\!09}a-\frac{25\!\cdots\!88}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{29\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{45\!\cdots\!71}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{23\!\cdots\!09}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{41\!\cdots\!40}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{75\!\cdots\!22}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!79}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!86}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{28\!\cdots\!05}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!16}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{31\!\cdots\!19}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{72\!\cdots\!08}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!21}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!07}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{82\!\cdots\!41}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{38\!\cdots\!12}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!15}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!41}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{27\!\cdots\!88}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{29\!\cdots\!40}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!10}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{34\!\cdots\!53}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!20}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!58}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!19}{21\!\cdots\!09}a^{4}-\frac{77\!\cdots\!39}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{31\!\cdots\!12}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{36\!\cdots\!91}{21\!\cdots\!09}a-\frac{35\!\cdots\!09}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{12\!\cdots\!10}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{18\!\cdots\!81}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{96\!\cdots\!08}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{16\!\cdots\!40}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{31\!\cdots\!67}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{61\!\cdots\!19}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{53\!\cdots\!91}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{52\!\cdots\!51}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!89}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{30\!\cdots\!38}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{85\!\cdots\!51}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{99\!\cdots\!34}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{34\!\cdots\!01}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!87}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{82\!\cdots\!15}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{73\!\cdots\!01}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!64}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!40}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{96\!\cdots\!50}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!83}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{47\!\cdots\!20}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{43\!\cdots\!41}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!59}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{56\!\cdots\!26}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!82}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!41}{21\!\cdots\!09}a-\frac{14\!\cdots\!17}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{38\!\cdots\!25}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{58\!\cdots\!40}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{30\!\cdots\!10}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{53\!\cdots\!25}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{99\!\cdots\!55}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{19\!\cdots\!85}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{17\!\cdots\!40}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{37\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!90}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{40\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{97\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{27\!\cdots\!90}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!30}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!90}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{53\!\cdots\!30}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{26\!\cdots\!25}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{36\!\cdots\!10}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{28\!\cdots\!75}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{30\!\cdots\!20}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{37\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!21}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{40\!\cdots\!10}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{82\!\cdots\!50}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{43\!\cdots\!55}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{57\!\cdots\!20}{21\!\cdots\!09}a-\frac{69\!\cdots\!72}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{36\!\cdots\!50}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{56\!\cdots\!70}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{29\!\cdots\!36}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{52\!\cdots\!50}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{93\!\cdots\!40}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{18\!\cdots\!80}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!95}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{35\!\cdots\!05}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{39\!\cdots\!55}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{89\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{25\!\cdots\!70}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{29\!\cdots\!55}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!20}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{45\!\cdots\!90}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!25}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!70}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{34\!\cdots\!75}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{40\!\cdots\!50}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!25}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{45\!\cdots\!60}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!75}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!95}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!05}{21\!\cdots\!09}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!30}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{39\!\cdots\!15}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{47\!\cdots\!20}{21\!\cdots\!09}a-\frac{48\!\cdots\!18}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{33\!\cdots\!70}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{51\!\cdots\!43}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{26\!\cdots\!90}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{47\!\cdots\!01}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{86\!\cdots\!81}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{17\!\cdots\!27}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{14\!\cdots\!44}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{32\!\cdots\!65}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!05}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{35\!\cdots\!36}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{84\!\cdots\!29}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{23\!\cdots\!11}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{27\!\cdots\!54}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{94\!\cdots\!17}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{45\!\cdots\!78}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!24}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!60}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{31\!\cdots\!62}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{29\!\cdots\!41}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!82}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{35\!\cdots\!67}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!68}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!83}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{34\!\cdots\!63}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{46\!\cdots\!44}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{37\!\cdots\!76}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{47\!\cdots\!63}{21\!\cdots\!09}a-\frac{56\!\cdots\!49}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{21\!\cdots\!61}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{26\!\cdots\!57}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!00}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{25\!\cdots\!31}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{56\!\cdots\!34}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{93\!\cdots\!29}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{97\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{18\!\cdots\!02}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{98\!\cdots\!48}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!54}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{60\!\cdots\!72}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!59}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!55}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{55\!\cdots\!89}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{45\!\cdots\!58}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!07}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{53\!\cdots\!85}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!24}{21\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{37\!\cdots\!16}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!89}{21\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!37}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{91\!\cdots\!24}{21\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!18}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!46}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{61\!\cdots\!26}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{26\!\cdots\!90}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{94\!\cdots\!62}{21\!\cdots\!09}a-\frac{19\!\cdots\!63}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{97\!\cdots\!70}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{13\!\cdots\!73}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{77\!\cdots\!59}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!26}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{25\!\cdots\!46}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{47\!\cdots\!42}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{43\!\cdots\!49}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{89\!\cdots\!64}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{43\!\cdots\!90}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{99\!\cdots\!66}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{25\!\cdots\!59}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{66\!\cdots\!46}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{87\!\cdots\!54}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{26\!\cdots\!77}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!78}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{65\!\cdots\!24}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!40}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{93\!\cdots\!34}{21\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!84}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{79\!\cdots\!02}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!97}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{40\!\cdots\!58}{21\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{92\!\cdots\!54}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!53}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!84}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!96}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{26\!\cdots\!88}{21\!\cdots\!09}a-\frac{45\!\cdots\!15}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{56\!\cdots\!10}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{87\!\cdots\!77}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{45\!\cdots\!44}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{80\!\cdots\!36}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!19}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{29\!\cdots\!43}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{25\!\cdots\!93}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{55\!\cdots\!15}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{24\!\cdots\!69}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{60\!\cdots\!32}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!86}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{40\!\cdots\!85}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{46\!\cdots\!85}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!06}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{75\!\cdots\!06}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{38\!\cdots\!84}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{31\!\cdots\!99}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{53\!\cdots\!97}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{50\!\cdots\!76}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{44\!\cdots\!87}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{60\!\cdots\!54}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!93}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!55}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{57\!\cdots\!89}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!13}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{62\!\cdots\!24}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{85\!\cdots\!02}{21\!\cdots\!09}a-\frac{10\!\cdots\!85}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{15\!\cdots\!41}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{23\!\cdots\!19}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!10}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{21\!\cdots\!03}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{39\!\cdots\!86}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{77\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{67\!\cdots\!68}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!46}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{66\!\cdots\!51}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!21}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{38\!\cdots\!16}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!74}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!93}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{43\!\cdots\!17}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{20\!\cdots\!56}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!21}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{98\!\cdots\!97}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!83}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!92}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!26}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!01}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{59\!\cdots\!06}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{47\!\cdots\!18}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!29}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{32\!\cdots\!18}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!00}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!77}{21\!\cdots\!09}a-\frac{28\!\cdots\!95}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{27\!\cdots\!87}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{30\!\cdots\!16}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{21\!\cdots\!80}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{29\!\cdots\!48}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{71\!\cdots\!91}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!96}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!33}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!47}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!23}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!28}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{80\!\cdots\!99}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!84}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{30\!\cdots\!93}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{69\!\cdots\!39}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{69\!\cdots\!18}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!73}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{92\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!11}{21\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{79\!\cdots\!28}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{24\!\cdots\!62}{21\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{51\!\cdots\!38}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!66}{21\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{27\!\cdots\!84}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{37\!\cdots\!63}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{92\!\cdots\!23}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{40\!\cdots\!62}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!22}{21\!\cdots\!09}a-\frac{25\!\cdots\!98}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{43\!\cdots\!33}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{65\!\cdots\!23}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{34\!\cdots\!53}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{60\!\cdots\!94}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!39}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{21\!\cdots\!87}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{19\!\cdots\!49}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{41\!\cdots\!89}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{19\!\cdots\!69}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{45\!\cdots\!99}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!37}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!36}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{36\!\cdots\!50}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!22}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{61\!\cdots\!51}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{29\!\cdots\!07}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{33\!\cdots\!68}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{41\!\cdots\!06}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{26\!\cdots\!02}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{34\!\cdots\!20}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{36\!\cdots\!94}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!17}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{99\!\cdots\!72}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{44\!\cdots\!21}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!97}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{48\!\cdots\!61}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{75\!\cdots\!41}{21\!\cdots\!09}a-\frac{10\!\cdots\!89}{75\!\cdots\!81}$, 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$\frac{35\!\cdots\!86}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{54\!\cdots\!83}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{28\!\cdots\!51}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{49\!\cdots\!30}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{93\!\cdots\!39}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{18\!\cdots\!38}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!79}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{34\!\cdots\!62}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!13}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{37\!\cdots\!59}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{90\!\cdots\!30}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{25\!\cdots\!51}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{30\!\cdots\!38}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!19}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{50\!\cdots\!56}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!36}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{25\!\cdots\!88}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{34\!\cdots\!82}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{25\!\cdots\!03}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!73}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{34\!\cdots\!75}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!10}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!40}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{37\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{89\!\cdots\!63}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{40\!\cdots\!71}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{55\!\cdots\!63}{21\!\cdots\!09}a-\frac{69\!\cdots\!58}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{27\!\cdots\!15}{21\!\cdots\!09}a^{27}+\frac{11\!\cdots\!51}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{24\!\cdots\!01}{21\!\cdots\!09}a^{25}-\frac{90\!\cdots\!98}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{90\!\cdots\!44}{21\!\cdots\!09}a^{23}+\frac{27\!\cdots\!16}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{19\!\cdots\!15}{21\!\cdots\!09}a^{21}-\frac{44\!\cdots\!55}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{25\!\cdots\!71}{21\!\cdots\!09}a^{19}+\frac{41\!\cdots\!66}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!66}{21\!\cdots\!09}a^{17}-\frac{22\!\cdots\!69}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!54}{21\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{64\!\cdots\!91}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{41\!\cdots\!30}{21\!\cdots\!09}a^{13}-\frac{78\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{89\!\cdots\!03}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{34\!\cdots\!11}{21\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!06}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!51}{21\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{86\!\cdots\!40}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!00}{21\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{37\!\cdots\!78}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{26\!\cdots\!31}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{87\!\cdots\!10}{21\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{59\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{84\!\cdots\!21}{21\!\cdots\!09}a-\frac{22\!\cdots\!44}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{10\!\cdots\!54}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{15\!\cdots\!54}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{83\!\cdots\!41}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!32}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{26\!\cdots\!48}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{52\!\cdots\!25}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{45\!\cdots\!10}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{99\!\cdots\!67}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{45\!\cdots\!49}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!71}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{26\!\cdots\!54}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{72\!\cdots\!48}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{85\!\cdots\!85}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{29\!\cdots\!16}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!99}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{69\!\cdots\!47}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{65\!\cdots\!98}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{97\!\cdots\!31}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{83\!\cdots\!20}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{81\!\cdots\!48}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!29}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{39\!\cdots\!98}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!91}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!24}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!86}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!55}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!03}{21\!\cdots\!09}a-\frac{19\!\cdots\!74}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{37\!\cdots\!74}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{57\!\cdots\!00}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{29\!\cdots\!13}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{52\!\cdots\!94}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{96\!\cdots\!51}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{18\!\cdots\!26}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!39}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{36\!\cdots\!15}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!51}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{39\!\cdots\!94}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{92\!\cdots\!62}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{26\!\cdots\!18}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{30\!\cdots\!65}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!73}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{49\!\cdots\!27}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!50}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{34\!\cdots\!58}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{32\!\cdots\!76}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!78}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{37\!\cdots\!82}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!41}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!13}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{33\!\cdots\!89}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{40\!\cdots\!89}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{34\!\cdots\!08}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{45\!\cdots\!32}{21\!\cdots\!09}a-\frac{57\!\cdots\!02}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{85\!\cdots\!60}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{13\!\cdots\!78}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{68\!\cdots\!73}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!19}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{22\!\cdots\!71}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{43\!\cdots\!96}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{37\!\cdots\!93}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{82\!\cdots\!59}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{37\!\cdots\!85}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{90\!\cdots\!73}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!60}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{60\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{70\!\cdots\!65}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!46}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!16}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{57\!\cdots\!79}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{52\!\cdots\!75}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{80\!\cdots\!71}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{69\!\cdots\!46}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{66\!\cdots\!33}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{85\!\cdots\!11}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{32\!\cdots\!99}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{25\!\cdots\!28}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{86\!\cdots\!96}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!13}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{93\!\cdots\!64}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!25}{21\!\cdots\!09}a-\frac{17\!\cdots\!33}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{52\!\cdots\!54}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{79\!\cdots\!26}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{42\!\cdots\!70}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{73\!\cdots\!57}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!56}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{26\!\cdots\!81}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{23\!\cdots\!40}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{50\!\cdots\!27}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{22\!\cdots\!11}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{55\!\cdots\!18}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!84}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{36\!\cdots\!36}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{43\!\cdots\!48}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{72\!\cdots\!69}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{35\!\cdots\!87}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{35\!\cdots\!09}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{49\!\cdots\!77}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{39\!\cdots\!91}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{41\!\cdots\!92}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{50\!\cdots\!09}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!63}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!68}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{53\!\cdots\!22}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!76}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{58\!\cdots\!60}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{80\!\cdots\!38}{21\!\cdots\!09}a-\frac{10\!\cdots\!34}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{38\!\cdots\!06}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{58\!\cdots\!82}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{30\!\cdots\!01}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{53\!\cdots\!80}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{99\!\cdots\!07}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{19\!\cdots\!43}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!97}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{36\!\cdots\!47}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!79}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{40\!\cdots\!71}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{96\!\cdots\!64}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{26\!\cdots\!48}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{31\!\cdots\!84}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!96}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{52\!\cdots\!14}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!11}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{36\!\cdots\!36}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!32}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{30\!\cdots\!55}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{39\!\cdots\!46}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!90}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!70}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{39\!\cdots\!68}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{50\!\cdots\!47}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{42\!\cdots\!93}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{53\!\cdots\!22}{21\!\cdots\!09}a-\frac{62\!\cdots\!43}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{41\!\cdots\!77}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{59\!\cdots\!92}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{33\!\cdots\!38}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{55\!\cdots\!99}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!83}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{20\!\cdots\!48}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{18\!\cdots\!54}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{38\!\cdots\!79}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!97}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{42\!\cdots\!37}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!34}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{28\!\cdots\!56}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{38\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!66}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{72\!\cdots\!30}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{28\!\cdots\!59}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{65\!\cdots\!85}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{41\!\cdots\!64}{21\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!15}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{36\!\cdots\!46}{21\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{49\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!34}{21\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!54}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{52\!\cdots\!31}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{83\!\cdots\!72}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{56\!\cdots\!67}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!58}{21\!\cdots\!09}a-\frac{31\!\cdots\!42}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{13\!\cdots\!89}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{20\!\cdots\!95}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!98}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{19\!\cdots\!49}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{35\!\cdots\!94}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{69\!\cdots\!61}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{60\!\cdots\!57}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!24}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{59\!\cdots\!99}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!57}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{34\!\cdots\!05}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{95\!\cdots\!15}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!00}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{38\!\cdots\!75}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!48}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{92\!\cdots\!04}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{95\!\cdots\!74}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!95}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{95\!\cdots\!09}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!86}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!92}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{52\!\cdots\!44}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{34\!\cdots\!60}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!32}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{54\!\cdots\!43}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!59}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{23\!\cdots\!26}{21\!\cdots\!09}a-\frac{32\!\cdots\!42}{75\!\cdots\!81}$, $\frac{64\!\cdots\!18}{21\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{99\!\cdots\!02}{21\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{51\!\cdots\!64}{21\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{90\!\cdots\!73}{21\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{16\!\cdots\!38}{21\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{32\!\cdots\!08}{21\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{28\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{62\!\cdots\!66}{21\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{28\!\cdots\!84}{21\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{68\!\cdots\!69}{21\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{45\!\cdots\!64}{21\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{53\!\cdots\!52}{21\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!36}{21\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{87\!\cdots\!05}{21\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{43\!\cdots\!55}{21\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{40\!\cdots\!97}{21\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{61\!\cdots\!42}{21\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{51\!\cdots\!89}{21\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{50\!\cdots\!26}{21\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{63\!\cdots\!50}{21\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!54}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!28}{21\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{66\!\cdots\!96}{21\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!60}{21\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{71\!\cdots\!97}{21\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!62}{21\!\cdots\!09}a-\frac{14\!\cdots\!73}{75\!\cdots\!81}$ (assuming GRH) | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 34667735947885390000 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{28}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 34667735947885390000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{1407829094312471215113334241722636006626629352569580078125}}\cr\approx \mathstrut & 0.124011052917892 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
A cyclic group of order 28 |
The 28 conjugacy class representatives for $C_{28}$ |
Character table for $C_{28}$ is not computed |
Intermediate fields
\(\Q(\sqrt{5}) \), 4.4.231125.1, 7.7.6321363049.1, 14.14.3121846156036138781328125.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | $28$ | $28$ | R | ${\href{/padicField/7.4.0.1}{4} }^{7}$ | ${\href{/padicField/11.7.0.1}{7} }^{4}$ | $28$ | $28$ | ${\href{/padicField/19.7.0.1}{7} }^{4}$ | $28$ | ${\href{/padicField/29.7.0.1}{7} }^{4}$ | ${\href{/padicField/31.7.0.1}{7} }^{4}$ | ${\href{/padicField/37.4.0.1}{4} }^{7}$ | ${\href{/padicField/41.7.0.1}{7} }^{4}$ | R | $28$ | $28$ | ${\href{/padicField/59.14.0.1}{14} }^{2}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(5\) | Deg $28$ | $4$ | $7$ | $21$ | |||
\(43\) | Deg $28$ | $14$ | $2$ | $26$ |