Normalized defining polynomial
\( x^{28} - x^{27} - 2 x^{26} + 19 x^{25} - 46 x^{24} + 211 x^{23} - 355 x^{22} - 1919 x^{21} + 4340 x^{20} - 11423 x^{19} + 37745 x^{18} + 30381 x^{17} + 11173 x^{16} - 143962 x^{15} + 524367 x^{14} + 1703017 x^{13} + 6677470 x^{12} + 12083171 x^{11} + 13404975 x^{10} + 8355430 x^{9} - 1920396 x^{8} - 31689615 x^{7} - 18305575 x^{6} - 5343000 x^{5} + 13080000 x^{4} + 6143750 x^{3} + 531250 x^{2} + 1093750 x + 390625 \)
Invariants
| Degree: | $28$ | magma: Degree(K);
sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
| |
| Signature: | $[0, 14]$ | magma: Signature(K);
sage: K.signature()
gp: K.sign
| |
| Discriminant: | \(6492539982200921241997440328846150231607161552711619049=3^{14}\cdot 71^{26}\) | magma: Discriminant(Integers(K));
sage: K.disc()
gp: K.disc
| |
| Root discriminant: | $90.70$ | magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
| |
| Ramified primes: | $3, 71$ | magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
| |
| This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
| Conductor: | \(213=3\cdot 71\) | ||
| Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{213}(1,·)$, $\chi_{213}(70,·)$, $\chi_{213}(193,·)$, $\chi_{213}(112,·)$, $\chi_{213}(143,·)$, $\chi_{213}(20,·)$, $\chi_{213}(23,·)$, $\chi_{213}(26,·)$, $\chi_{213}(91,·)$, $\chi_{213}(94,·)$, $\chi_{213}(101,·)$, $\chi_{213}(32,·)$, $\chi_{213}(97,·)$, $\chi_{213}(34,·)$, $\chi_{213}(37,·)$, $\chi_{213}(103,·)$, $\chi_{213}(41,·)$, $\chi_{213}(172,·)$, $\chi_{213}(110,·)$, $\chi_{213}(176,·)$, $\chi_{213}(179,·)$, $\chi_{213}(116,·)$, $\chi_{213}(181,·)$, $\chi_{213}(119,·)$, $\chi_{213}(212,·)$, $\chi_{213}(122,·)$, $\chi_{213}(187,·)$, $\chi_{213}(190,·)$$\rbrace$ | ||
| This is a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $\frac{1}{5} a^{9} + \frac{1}{5} a^{5} + \frac{1}{5} a$, $\frac{1}{5} a^{10} + \frac{1}{5} a^{6} + \frac{1}{5} a^{2}$, $\frac{1}{5} a^{11} + \frac{1}{5} a^{7} + \frac{1}{5} a^{3}$, $\frac{1}{5} a^{12} + \frac{1}{5} a^{8} + \frac{1}{5} a^{4}$, $\frac{1}{5} a^{13} - \frac{1}{5} a$, $\frac{1}{5} a^{14} - \frac{1}{5} a^{2}$, $\frac{1}{5} a^{15} - \frac{1}{5} a^{3}$, $\frac{1}{25} a^{16} - \frac{1}{25} a^{15} + \frac{1}{25} a^{13} + \frac{1}{25} a^{12} - \frac{2}{25} a^{11} + \frac{1}{25} a^{10} + \frac{1}{25} a^{9} - \frac{4}{25} a^{8} + \frac{8}{25} a^{7} - \frac{4}{25} a^{6} - \frac{4}{25} a^{5} + \frac{1}{5} a^{4} + \frac{4}{25} a^{3} - \frac{9}{25} a^{2} + \frac{1}{5} a$, $\frac{1}{25} a^{17} - \frac{1}{25} a^{15} + \frac{1}{25} a^{14} + \frac{2}{25} a^{13} - \frac{1}{25} a^{12} - \frac{1}{25} a^{11} + \frac{2}{25} a^{10} + \frac{2}{25} a^{9} + \frac{4}{25} a^{8} + \frac{4}{25} a^{7} - \frac{8}{25} a^{6} + \frac{6}{25} a^{5} + \frac{9}{25} a^{4} - \frac{1}{5} a^{3} - \frac{4}{25} a^{2} + \frac{2}{5} a$, $\frac{1}{25} a^{18} + \frac{2}{25} a^{14} - \frac{2}{25} a^{10} - \frac{3}{25} a^{6} - \frac{4}{25} a^{2}$, $\frac{1}{25} a^{19} + \frac{2}{25} a^{15} - \frac{2}{25} a^{11} - \frac{3}{25} a^{7} - \frac{4}{25} a^{3}$, $\frac{1}{25} a^{20} + \frac{2}{25} a^{15} - \frac{2}{25} a^{13} + \frac{1}{25} a^{12} - \frac{1}{25} a^{11} - \frac{2}{25} a^{10} - \frac{2}{25} a^{9} + \frac{2}{5} a^{8} + \frac{4}{25} a^{7} + \frac{8}{25} a^{6} + \frac{8}{25} a^{5} - \frac{9}{25} a^{4} + \frac{12}{25} a^{3} - \frac{7}{25} a^{2} - \frac{2}{5} a$, $\frac{1}{125} a^{21} + \frac{2}{125} a^{19} + \frac{1}{125} a^{18} - \frac{2}{125} a^{17} - \frac{2}{125} a^{16} - \frac{1}{25} a^{15} - \frac{2}{125} a^{14} + \frac{8}{125} a^{13} + \frac{7}{125} a^{12} - \frac{1}{125} a^{11} + \frac{8}{125} a^{10} + \frac{7}{125} a^{9} + \frac{47}{125} a^{8} + \frac{7}{125} a^{7} + \frac{32}{125} a^{6} - \frac{2}{5} a^{5} - \frac{16}{125} a^{4} + \frac{39}{125} a^{3} + \frac{1}{5} a^{2} - \frac{1}{5} a$, $\frac{1}{625} a^{22} - \frac{3}{625} a^{20} - \frac{9}{625} a^{19} - \frac{2}{625} a^{18} - \frac{7}{625} a^{17} - \frac{2}{125} a^{16} - \frac{22}{625} a^{15} + \frac{3}{625} a^{14} + \frac{2}{625} a^{13} + \frac{19}{625} a^{12} + \frac{48}{625} a^{11} - \frac{23}{625} a^{10} - \frac{58}{625} a^{9} - \frac{18}{625} a^{8} - \frac{18}{625} a^{7} - \frac{11}{125} a^{6} - \frac{291}{625} a^{5} + \frac{164}{625} a^{4} + \frac{52}{125} a^{3} + \frac{7}{25} a^{2} - \frac{2}{5} a$, $\frac{1}{625} a^{23} + \frac{2}{625} a^{21} - \frac{9}{625} a^{20} + \frac{8}{625} a^{19} - \frac{2}{625} a^{18} + \frac{1}{125} a^{17} - \frac{7}{625} a^{16} + \frac{53}{625} a^{15} + \frac{17}{625} a^{14} + \frac{9}{625} a^{13} - \frac{42}{625} a^{12} + \frac{22}{625} a^{11} + \frac{57}{625} a^{10} - \frac{33}{625} a^{9} + \frac{92}{625} a^{8} - \frac{44}{125} a^{7} + \frac{194}{625} a^{6} - \frac{161}{625} a^{5} - \frac{44}{125} a^{4} - \frac{56}{125} a^{3} + \frac{7}{25} a^{2} + \frac{2}{5} a$, $\frac{1}{625} a^{24} + \frac{1}{625} a^{21} - \frac{11}{625} a^{20} + \frac{11}{625} a^{19} - \frac{6}{625} a^{18} + \frac{12}{625} a^{17} + \frac{3}{625} a^{16} + \frac{61}{625} a^{15} - \frac{42}{625} a^{14} - \frac{41}{625} a^{13} - \frac{46}{625} a^{12} - \frac{24}{625} a^{11} - \frac{57}{625} a^{10} - \frac{47}{625} a^{9} - \frac{289}{625} a^{8} - \frac{6}{25} a^{7} - \frac{106}{625} a^{6} + \frac{262}{625} a^{5} + \frac{57}{625} a^{4} - \frac{21}{125} a^{3} - \frac{4}{25} a^{2} + \frac{2}{5} a$, $\frac{1}{53125} a^{25} + \frac{24}{53125} a^{24} - \frac{2}{53125} a^{23} + \frac{2}{3125} a^{22} + \frac{154}{53125} a^{21} - \frac{984}{53125} a^{20} - \frac{198}{10625} a^{19} + \frac{451}{53125} a^{18} - \frac{63}{10625} a^{17} + \frac{402}{53125} a^{16} - \frac{112}{10625} a^{15} - \frac{724}{53125} a^{14} - \frac{4047}{53125} a^{13} + \frac{244}{3125} a^{12} + \frac{1812}{53125} a^{11} - \frac{2103}{53125} a^{10} - \frac{9}{2125} a^{9} + \frac{8776}{53125} a^{8} + \frac{2786}{10625} a^{7} - \frac{539}{10625} a^{6} - \frac{1211}{53125} a^{5} - \frac{1231}{10625} a^{4} + \frac{196}{2125} a^{3} + \frac{27}{425} a^{2} - \frac{38}{85} a + \frac{3}{17}$, $\frac{1}{513252536146953125} a^{26} + \frac{920145488069}{513252536146953125} a^{25} + \frac{143998217659303}{513252536146953125} a^{24} - \frac{314011088558246}{513252536146953125} a^{23} + \frac{22263109602909}{513252536146953125} a^{22} + \frac{1807221654899116}{513252536146953125} a^{21} - \frac{79299722917776}{6038265131140625} a^{20} - \frac{1919219134798394}{513252536146953125} a^{19} - \frac{1918395179512723}{102650507229390625} a^{18} + \frac{5650831002915752}{513252536146953125} a^{17} + \frac{2042731228880927}{102650507229390625} a^{16} + \frac{12907622656736781}{513252536146953125} a^{15} + \frac{17198094413891718}{513252536146953125} a^{14} + \frac{14724281451014023}{513252536146953125} a^{13} + \frac{17646952374199777}{513252536146953125} a^{12} + \frac{18668453119473457}{513252536146953125} a^{11} - \frac{2167162564789193}{102650507229390625} a^{10} + \frac{23908786264441571}{513252536146953125} a^{9} - \frac{25777275018202236}{102650507229390625} a^{8} - \frac{5307226534443239}{102650507229390625} a^{7} - \frac{251445808817315921}{513252536146953125} a^{6} + \frac{36740283988171758}{102650507229390625} a^{5} + \frac{1391361492763496}{4106020289175625} a^{4} + \frac{85577349167409}{241530605245625} a^{3} - \frac{230796911346}{9661224209825} a^{2} - \frac{5148630081597}{164240811567025} a - \frac{15352417188604}{32848162313405}$, $\frac{1}{1116126234360833659125353255818803055860841471944598307044034177620043359375} a^{27} - \frac{706528202890044594270728320295119155519622165446070135056}{1116126234360833659125353255818803055860841471944598307044034177620043359375} a^{26} + \frac{1063846258764108733963109192542931444255308158261939377552944071065178}{1116126234360833659125353255818803055860841471944598307044034177620043359375} a^{25} - \frac{740615709949878925280052002186612327924061986786903335207114508304372371}{1116126234360833659125353255818803055860841471944598307044034177620043359375} a^{24} + \frac{68444866703994514498919846799066508818459188476580950840384539894179784}{1116126234360833659125353255818803055860841471944598307044034177620043359375} a^{23} + \frac{43523933835364212090214200015319314824719796068071127071187227940204698}{65654484374166685830903132695223709168284792467329312179060833977649609375} a^{22} - \frac{378764960896630063201274064437262914444736251854264420012096553146993692}{223225246872166731825070651163760611172168294388919661408806835524008671875} a^{21} - \frac{4420214806914961129405619022867858549519811539989644166767912138317632394}{1116126234360833659125353255818803055860841471944598307044034177620043359375} a^{20} - \frac{1844252997104552950454020549331605653346135852418683891563926840492707373}{223225246872166731825070651163760611172168294388919661408806835524008671875} a^{19} - \frac{134732929254764484702646941376288940775754927070611842459014865696976248}{1116126234360833659125353255818803055860841471944598307044034177620043359375} a^{18} + \frac{1564690009946605402801821467385284883235361720236830821665806887659824477}{223225246872166731825070651163760611172168294388919661408806835524008671875} a^{17} - \frac{22253510014828504736406972180486764040782466282675799975858662380681707219}{1116126234360833659125353255818803055860841471944598307044034177620043359375} a^{16} - \frac{60497404456400074901639686412909030955172152304620021612988692415878963282}{1116126234360833659125353255818803055860841471944598307044034177620043359375} a^{15} - \frac{6185775280277555960924533887484888165241517194528431816340439768530866006}{65654484374166685830903132695223709168284792467329312179060833977649609375} a^{14} + \frac{66085696419946132929099242374764797965133567194440565971692594528371300277}{1116126234360833659125353255818803055860841471944598307044034177620043359375} a^{13} + \frac{37150193847740041118789398125543398799288975358133925910865549931489347332}{1116126234360833659125353255818803055860841471944598307044034177620043359375} a^{12} + \frac{8508618552692036606424096719012152083194467933780922103554524915123056307}{223225246872166731825070651163760611172168294388919661408806835524008671875} a^{11} + \frac{62281369931713252269210818730800494576649814874977068821563529390534418446}{1116126234360833659125353255818803055860841471944598307044034177620043359375} a^{10} - \frac{20617002989533958137917675151950925430417215579942800176208163805569296586}{223225246872166731825070651163760611172168294388919661408806835524008671875} a^{9} + \frac{43446969167657134056729461646048520565446087785222998770943211804165847386}{223225246872166731825070651163760611172168294388919661408806835524008671875} a^{8} + \frac{499586922272789504235154394686411838698887299414001419146849439963304972329}{1116126234360833659125353255818803055860841471944598307044034177620043359375} a^{7} + \frac{94546317106876907536581643724411039101806169195115307909578885001917218933}{223225246872166731825070651163760611172168294388919661408806835524008671875} a^{6} - \frac{184441454842219937879337143898032321024982028504227773015098512383335306}{1785801974977333854600565209310084889377346355111357291270454684192069375} a^{5} + \frac{2084418533737376396112700230503197287570642049589680399301423987895222543}{8929009874886669273002826046550424446886731775556786456352273420960346875} a^{4} - \frac{167174502671282050260206880146029726651042454231132060239704053301379074}{357160394995466770920113041862016977875469271022271458254090936838413875} a^{3} + \frac{29800297699313705587925973059139355452062579193131699683115146293065873}{357160394995466770920113041862016977875469271022271458254090936838413875} a^{2} + \frac{3348807821060650883936455171975034740435632967276157169123131076177391}{71432078999093354184022608372403395575093854204454291650818187367682775} a + \frac{854584270300823722798146203455287349568302961283417023150547559427477}{2857283159963734167360904334896135823003754168178171666032727494707311}$
Class group and class number
$C_{2107}$, which has order $2107$ (assuming GRH)
Unit group
| Rank: | $13$ | magma: UnitRank(K);
sage: UK.rank()
gp: K.fu
| |
| Torsion generator: | \( -\frac{1643450312999979734244857752137236494648172243489931831979}{577631887077926936535240961247465185110584838307705921869296875} a^{27} + \frac{157675614773876927341003843063591821606625940601091134212}{33978346298701584502072997720439128535916755194570936580546875} a^{26} + \frac{2195401369655859356317801866509415809722499369633334925058}{577631887077926936535240961247465185110584838307705921869296875} a^{25} - \frac{1933075784916250580728019666598061266868762039034733015203}{33978346298701584502072997720439128535916755194570936580546875} a^{24} + \frac{95217450842766143035570104449603257192167319822845610279584}{577631887077926936535240961247465185110584838307705921869296875} a^{23} - \frac{396276055659564959581293947755023283220006453753988757119169}{577631887077926936535240961247465185110584838307705921869296875} a^{22} + \frac{162324751507184295699529237833945583043907008593910927366564}{115526377415585387307048192249493037022116967661541184373859375} a^{21} + \frac{2759756367112608571820930111014584468870939473856802241372801}{577631887077926936535240961247465185110584838307705921869296875} a^{20} - \frac{1805622465365430967593966247597290316927429318313891196440122}{115526377415585387307048192249493037022116967661541184373859375} a^{19} + \frac{23276702741050894286348960185660390321838157645558108581141092}{577631887077926936535240961247465185110584838307705921869296875} a^{18} - \frac{14976376461210207615379256268875930352426646996519776839412496}{115526377415585387307048192249493037022116967661541184373859375} a^{17} - \frac{8902451298834768307004678584667580047218117019501348566630674}{577631887077926936535240961247465185110584838307705921869296875} a^{16} + \frac{7154559520650392488678745463084003103358657753964706641386008}{577631887077926936535240961247465185110584838307705921869296875} a^{15} + \frac{259255352817952169907582577042074678697485191880945522099900898}{577631887077926936535240961247465185110584838307705921869296875} a^{14} - \frac{994636525532847488340292168270450795030298364940396935182476993}{577631887077926936535240961247465185110584838307705921869296875} a^{13} - \frac{2231568535567375274463683980658092028268318744751273803326438968}{577631887077926936535240961247465185110584838307705921869296875} a^{12} - \frac{1855888540571374196042611034089793553413007336759058818515982711}{115526377415585387307048192249493037022116967661541184373859375} a^{11} - \frac{12839515440933589119877218702717445741324590573061047137110966084}{577631887077926936535240961247465185110584838307705921869296875} a^{10} - \frac{365173646140875237080175129411009486152639079484894064328505226}{23105275483117077461409638449898607404423393532308236874771875} a^{9} + \frac{494401224402251530897552427062369833784800855737079434066300726}{115526377415585387307048192249493037022116967661541184373859375} a^{8} + \frac{17364783953062911492741199288073656952659264371855432945354215309}{577631887077926936535240961247465185110584838307705921869296875} a^{7} + \frac{11731284821370236237433406139974230033653746870259296669301306542}{115526377415585387307048192249493037022116967661541184373859375} a^{6} + \frac{269907191898435633584788825520258438821277509983543860731252108}{23105275483117077461409638449898607404423393532308236874771875} a^{5} - \frac{813316516905858825049678379120589132201279588201086637377647}{271826770389612676016583981763513028287334041556567492644375} a^{4} - \frac{50765022706315091868631760540676046399339383527997467412783537}{924211019324683098456385537995944296176935741292329474990875} a^{3} - \frac{1145967386295045754497622918911601318439190753706930595157207}{184842203864936619691277107599188859235387148258465894998175} a^{2} - \frac{122852920990880401513859494538952841573247086743348567168686}{36968440772987323938255421519837771847077429651693178999635} a - \frac{23954580147399541922606050657495977839917161208114747799704}{7393688154597464787651084303967554369415485930338635799927} \) (order $6$) | magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
| |
| Fundamental units: | Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH) | magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
| |
| Regulator: | \( 9808422387534.145 \) (assuming GRH) | magma: Regulator(K);
sage: K.regulator()
gp: K.reg
|
Galois group
$C_2\times C_{14}$ (as 28T2):
| An abelian group of order 28 |
| The 28 conjugacy class representatives for $C_2\times C_{14}$ |
| Character table for $C_2\times C_{14}$ is not computed |
Intermediate fields
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Frobenius cycle types
| $p$ | 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 | 59 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | ${\href{/LocalNumberField/2.14.0.1}{14} }^{2}$ | R | ${\href{/LocalNumberField/5.2.0.1}{2} }^{14}$ | ${\href{/LocalNumberField/7.14.0.1}{14} }^{2}$ | ${\href{/LocalNumberField/11.14.0.1}{14} }^{2}$ | ${\href{/LocalNumberField/13.14.0.1}{14} }^{2}$ | ${\href{/LocalNumberField/17.2.0.1}{2} }^{14}$ | ${\href{/LocalNumberField/19.7.0.1}{7} }^{4}$ | ${\href{/LocalNumberField/23.14.0.1}{14} }^{2}$ | ${\href{/LocalNumberField/29.14.0.1}{14} }^{2}$ | ${\href{/LocalNumberField/31.14.0.1}{14} }^{2}$ | ${\href{/LocalNumberField/37.7.0.1}{7} }^{4}$ | ${\href{/LocalNumberField/41.14.0.1}{14} }^{2}$ | ${\href{/LocalNumberField/43.7.0.1}{7} }^{4}$ | ${\href{/LocalNumberField/47.14.0.1}{14} }^{2}$ | ${\href{/LocalNumberField/53.14.0.1}{14} }^{2}$ | ${\href{/LocalNumberField/59.14.0.1}{14} }^{2}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $3$ | 3.14.7.2 | $x^{14} + 243 x^{4} - 729 x^{2} + 2187$ | $2$ | $7$ | $7$ | $C_{14}$ | $[\ ]_{2}^{7}$ |
| 3.14.7.2 | $x^{14} + 243 x^{4} - 729 x^{2} + 2187$ | $2$ | $7$ | $7$ | $C_{14}$ | $[\ ]_{2}^{7}$ | |
| 71 | Data not computed | ||||||