↑

Properties

Label 28.0.12840160734...3125.1
Degree $28$
Signature $[0, 14]$
Discriminant $5^{21}\cdot 71^{24}$
Root discriminant $129.13$
Ramified primes $5, 71$
Class number $617792$ (GRH)
Class group $[2, 2, 2, 2, 14, 2758]$ (GRH)
Galois group $C_{28}$ (as 28T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![352275361, 629981485, 1759162063, 3624030723, 8464009280, -251536057, 8126173929, -1313161326, 13300322412, 8180911099, 6547998985, 3489008888, 2193380028, 730923194, 337486035, 98555653, 35579743, 5926264, 2950835, 351618, 211772, 17824, 14247, 360, 743, -64, 31, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^28 - x^27 + 31*x^26 - 64*x^25 + 743*x^24 + 360*x^23 + 14247*x^22 + 17824*x^21 + 211772*x^20 + 351618*x^19 + 2950835*x^18 + 5926264*x^17 + 35579743*x^16 + 98555653*x^15 + 337486035*x^14 + 730923194*x^13 + 2193380028*x^12 + 3489008888*x^11 + 6547998985*x^10 + 8180911099*x^9 + 13300322412*x^8 - 1313161326*x^7 + 8126173929*x^6 - 251536057*x^5 + 8464009280*x^4 + 3624030723*x^3 + 1759162063*x^2 + 629981485*x + 352275361)
 
gp: K = bnfinit(x^28 - x^27 + 31*x^26 - 64*x^25 + 743*x^24 + 360*x^23 + 14247*x^22 + 17824*x^21 + 211772*x^20 + 351618*x^19 + 2950835*x^18 + 5926264*x^17 + 35579743*x^16 + 98555653*x^15 + 337486035*x^14 + 730923194*x^13 + 2193380028*x^12 + 3489008888*x^11 + 6547998985*x^10 + 8180911099*x^9 + 13300322412*x^8 - 1313161326*x^7 + 8126173929*x^6 - 251536057*x^5 + 8464009280*x^4 + 3624030723*x^3 + 1759162063*x^2 + 629981485*x + 352275361, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{28} - x^{27} + 31 x^{26} - 64 x^{25} + 743 x^{24} + 360 x^{23} + 14247 x^{22} + 17824 x^{21} + 211772 x^{20} + 351618 x^{19} + 2950835 x^{18} + 5926264 x^{17} + 35579743 x^{16} + 98555653 x^{15} + 337486035 x^{14} + 730923194 x^{13} + 2193380028 x^{12} + 3489008888 x^{11} + 6547998985 x^{10} + 8180911099 x^{9} + 13300322412 x^{8} - 1313161326 x^{7} + 8126173929 x^{6} - 251536057 x^{5} + 8464009280 x^{4} + 3624030723 x^{3} + 1759162063 x^{2} + 629981485 x + 352275361 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $28$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 14]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(128401607345812283715591125636314028226206818103790283203125=5^{21}\cdot 71^{24}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $129.13$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $5, 71$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(355=5\cdot 71\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{355}(1,·)$, $\chi_{355}(258,·)$, $\chi_{355}(261,·)$, $\chi_{355}(321,·)$, $\chi_{355}(72,·)$, $\chi_{355}(329,·)$, $\chi_{355}(332,·)$, $\chi_{355}(143,·)$, $\chi_{355}(214,·)$, $\chi_{355}(91,·)$, $\chi_{355}(101,·)$, $\chi_{355}(32,·)$, $\chi_{355}(48,·)$, $\chi_{355}(162,·)$, $\chi_{355}(243,·)$, $\chi_{355}(37,·)$, $\chi_{355}(103,·)$, $\chi_{355}(233,·)$, $\chi_{355}(172,·)$, $\chi_{355}(174,·)$, $\chi_{355}(304,·)$, $\chi_{355}(108,·)$, $\chi_{355}(179,·)$, $\chi_{355}(116,·)$, $\chi_{355}(119,·)$, $\chi_{355}(314,·)$, $\chi_{355}(187,·)$, $\chi_{355}(316,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $\frac{1}{5} a^{16} + \frac{1}{5} a^{12} + \frac{1}{5} a^{8} + \frac{1}{5} a^{4} + \frac{1}{5}$, $\frac{1}{5} a^{17} + \frac{1}{5} a^{13} + \frac{1}{5} a^{9} + \frac{1}{5} a^{5} + \frac{1}{5} a$, $\frac{1}{25} a^{18} + \frac{2}{25} a^{17} + \frac{2}{25} a^{16} - \frac{4}{25} a^{14} - \frac{8}{25} a^{13} - \frac{8}{25} a^{12} - \frac{9}{25} a^{10} + \frac{7}{25} a^{9} + \frac{7}{25} a^{8} + \frac{11}{25} a^{6} - \frac{3}{25} a^{5} - \frac{3}{25} a^{4} + \frac{6}{25} a^{2} + \frac{12}{25} a + \frac{12}{25}$, $\frac{1}{25} a^{19} - \frac{2}{25} a^{17} + \frac{1}{25} a^{16} - \frac{4}{25} a^{15} + \frac{8}{25} a^{13} - \frac{4}{25} a^{12} - \frac{9}{25} a^{11} - \frac{7}{25} a^{9} - \frac{9}{25} a^{8} + \frac{11}{25} a^{7} + \frac{3}{25} a^{5} + \frac{11}{25} a^{4} + \frac{6}{25} a^{3} - \frac{12}{25} a + \frac{6}{25}$, $\frac{1}{25} a^{20} - \frac{1}{25}$, $\frac{1}{25} a^{21} - \frac{1}{25} a$, $\frac{1}{25} a^{22} - \frac{1}{25} a^{2}$, $\frac{1}{25} a^{23} - \frac{1}{25} a^{3}$, $\frac{1}{2125} a^{24} + \frac{18}{2125} a^{23} + \frac{12}{2125} a^{22} + \frac{3}{425} a^{21} + \frac{37}{2125} a^{20} - \frac{22}{2125} a^{19} - \frac{1}{85} a^{18} + \frac{7}{125} a^{17} + \frac{168}{2125} a^{16} - \frac{287}{2125} a^{15} - \frac{26}{85} a^{14} + \frac{899}{2125} a^{13} + \frac{78}{2125} a^{12} - \frac{727}{2125} a^{11} + \frac{29}{85} a^{10} - \frac{596}{2125} a^{9} - \frac{62}{2125} a^{8} + \frac{158}{2125} a^{7} + \frac{9}{85} a^{6} - \frac{991}{2125} a^{5} + \frac{897}{2125} a^{4} + \frac{1}{5} a^{3} - \frac{987}{2125} a^{2} + \frac{324}{2125} a + \frac{271}{2125}$, $\frac{1}{244637373021229409514144291011859733074921876125} a^{25} - \frac{6112783478365128865461653825084696748597933}{244637373021229409514144291011859733074921876125} a^{24} + \frac{2405776568161655076130511660879589784598247554}{244637373021229409514144291011859733074921876125} a^{23} - \frac{2589160072512608942094361275632130687056185547}{244637373021229409514144291011859733074921876125} a^{22} - \frac{3503163898996054431920077060300036268725594648}{244637373021229409514144291011859733074921876125} a^{21} - \frac{744267022573477505471490448052884165985282749}{244637373021229409514144291011859733074921876125} a^{20} - \frac{3197816357482222750011370009460273844753284233}{244637373021229409514144291011859733074921876125} a^{19} + \frac{3391267491767354385087648266534751710979384719}{244637373021229409514144291011859733074921876125} a^{18} - \frac{17238597931711819794114162162945517827770353391}{244637373021229409514144291011859733074921876125} a^{17} - \frac{226762691029951580334488055665463266405866897}{48927474604245881902828858202371946614984375225} a^{16} + \frac{50932750260375455823067994953244400915655798682}{244637373021229409514144291011859733074921876125} a^{15} + \frac{15911357245815822295692816320996879197019436249}{244637373021229409514144291011859733074921876125} a^{14} + \frac{8011139261967611354607062157014716128639449314}{244637373021229409514144291011859733074921876125} a^{13} + \frac{15831992081734392791832761587873687281857644888}{48927474604245881902828858202371946614984375225} a^{12} + \frac{68071560518926181138834282644332421864432467522}{244637373021229409514144291011859733074921876125} a^{11} - \frac{1036997797175723047746540410986181946394071088}{14390433707131141736126134765403513710289522125} a^{10} - \frac{38932724371639622468650951969176764585160901006}{244637373021229409514144291011859733074921876125} a^{9} - \frac{18218727050626865230502990789403345943951633802}{48927474604245881902828858202371946614984375225} a^{8} - \frac{36503635093659858469313854299196656224599962713}{244637373021229409514144291011859733074921876125} a^{7} + \frac{16118912034658788281800222574446935654747102}{14390433707131141736126134765403513710289522125} a^{6} - \frac{13721128979251810242552342840002298209012101702}{244637373021229409514144291011859733074921876125} a^{5} + \frac{112241660980362718688485537025153081684990885023}{244637373021229409514144291011859733074921876125} a^{4} - \frac{18426526183017648941540196415675505504027683102}{244637373021229409514144291011859733074921876125} a^{3} - \frac{100175032824503144787966707139351039008893641064}{244637373021229409514144291011859733074921876125} a^{2} + \frac{17380007799354496268516810014100710046201216602}{244637373021229409514144291011859733074921876125} a + \frac{613824664274517567984801494298838269525083697}{1785674255629411748278425481838392212225707125}$, $\frac{1}{167576600519542145517188839343123917156321485145625} a^{26} + \frac{8}{9857447089384832089246402314301406891548322655625} a^{25} + \frac{16981347501355313064066159975285309179188878772}{167576600519542145517188839343123917156321485145625} a^{24} + \frac{1281321619274936829073683617780291544099692469714}{167576600519542145517188839343123917156321485145625} a^{23} - \frac{771881194234277437151698818521732268724026107216}{167576600519542145517188839343123917156321485145625} a^{22} - \frac{2730309931589012167254582148318354885599737983536}{167576600519542145517188839343123917156321485145625} a^{21} - \frac{3001000781082574788663134275182130481920105890419}{167576600519542145517188839343123917156321485145625} a^{20} - \frac{856145743536508518112389295537472623990035888873}{167576600519542145517188839343123917156321485145625} a^{19} - \frac{358669679402896217035635580949338502483362795464}{33515320103908429103437767868624783431264297029125} a^{18} - \frac{10745467123766348218776701800477510015021128991264}{167576600519542145517188839343123917156321485145625} a^{17} - \frac{16717606375055973109173528419520243373308265471403}{167576600519542145517188839343123917156321485145625} a^{16} + \frac{77230349711759006691838413639826749553934476501492}{167576600519542145517188839343123917156321485145625} a^{15} + \frac{586165452521642403379284039885815254130977705418}{1971489417876966417849280462860281378309664531125} a^{14} - \frac{72348241191194079750151774733310988147130124363194}{167576600519542145517188839343123917156321485145625} a^{13} - \frac{65037795912919830959459271500954599912206728437763}{167576600519542145517188839343123917156321485145625} a^{12} - \frac{2485896268003343022873197662124354954115776938454}{9857447089384832089246402314301406891548322655625} a^{11} - \frac{7457722778074774806846138498854340093242924467674}{33515320103908429103437767868624783431264297029125} a^{10} + \frac{37128794671533851807595723915029695443895128773901}{167576600519542145517188839343123917156321485145625} a^{9} + \frac{724321433197266018448063179633772696425910178356}{9857447089384832089246402314301406891548322655625} a^{8} + \frac{52601410497571968056777510240744045674184993081497}{167576600519542145517188839343123917156321485145625} a^{7} - \frac{13151155613706972506440798640725272184443345499871}{167576600519542145517188839343123917156321485145625} a^{6} - \frac{13484991388546466918110551404203166834418401671793}{33515320103908429103437767868624783431264297029125} a^{5} + \frac{7078770009789438601917881644823651950224448253564}{33515320103908429103437767868624783431264297029125} a^{4} - \frac{21834836766326317878400347270819951117399667244727}{167576600519542145517188839343123917156321485145625} a^{3} + \frac{79372368815812152155166986272864243284167602802521}{167576600519542145517188839343123917156321485145625} a^{2} - \frac{179930519879525405489170113325665194208734931204}{1223186865106147047570721455059298665374609380625} a - \frac{3386438807222676648322853179401075765448490321}{8928371278147058741392127409191961061128535625}$, $\frac{1}{22957994271177273935854870990007976650416043464950625} a^{27} - \frac{1}{22957994271177273935854870990007976650416043464950625} a^{26} + \frac{752}{918319770847090957434194839600319066016641738598025} a^{25} + \frac{117288310496788972187160619529978492574078379049}{918319770847090957434194839600319066016641738598025} a^{24} - \frac{115737955409307317765909773666735459298025137644654}{22957994271177273935854870990007976650416043464950625} a^{23} + \frac{34455076225479687775792129393122174140002621653271}{22957994271177273935854870990007976650416043464950625} a^{22} + \frac{9287571858612084474685704267137760237809077658549}{1350470251245721996226757117059292744142120203820625} a^{21} + \frac{12387993315758696874480005346732845147494079179093}{918319770847090957434194839600319066016641738598025} a^{20} + \frac{352517489848793004979689629324475704507335553580691}{22957994271177273935854870990007976650416043464950625} a^{19} + \frac{337678084106341362273066794491949162367414752164916}{22957994271177273935854870990007976650416043464950625} a^{18} - \frac{80289368179307607928006218822937807463754031635758}{918319770847090957434194839600319066016641738598025} a^{17} + \frac{146084636327644997810356602434325490237741531269843}{22957994271177273935854870990007976650416043464950625} a^{16} - \frac{1252964118518508112386068577568118081128588356466639}{22957994271177273935854870990007976650416043464950625} a^{15} + \frac{145069594962178284775519190722043084204168940578961}{22957994271177273935854870990007976650416043464950625} a^{14} + \frac{427070406901023712705004990355932963446076703772432}{918319770847090957434194839600319066016641738598025} a^{13} + \frac{8247878987194298857071915856101471992261111710749003}{22957994271177273935854870990007976650416043464950625} a^{12} - \frac{9972819203902827980813054836110781317495757073569194}{22957994271177273935854870990007976650416043464950625} a^{11} - \frac{6821434151201406178432516908233373967338721592844}{22957994271177273935854870990007976650416043464950625} a^{10} - \frac{224797801449717137034726936363073225092843190251428}{918319770847090957434194839600319066016641738598025} a^{9} - \frac{6814665441439931981088882198969461652400236855749512}{22957994271177273935854870990007976650416043464950625} a^{8} + \frac{373185716087042829486363155047477742033005675888257}{918319770847090957434194839600319066016641738598025} a^{7} - \frac{76409648153343463067064831769712639300094064167119}{1350470251245721996226757117059292744142120203820625} a^{6} - \frac{82484163264369164294517259291260279974669726191123}{183663954169418191486838967920063813203328347719605} a^{5} - \frac{7926320745784407954141589250108818138754084773667302}{22957994271177273935854870990007976650416043464950625} a^{4} - \frac{37452286921664729670738799108770737022801870983897}{918319770847090957434194839600319066016641738598025} a^{3} + \frac{84305236843385703105715794703206564788191321335}{268122560831267432827502142948998267450114376233} a^{2} - \frac{342164284069354618591987932326510994244892379682}{1223186865106147047570721455059298665374609380625} a + \frac{212163923254881336684836749155163391190511358}{525198310479238749493654553481880062419325625}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

$C_{2}\times C_{2}\times C_{2}\times C_{2}\times C_{14}\times C_{2758}$, which has order $617792$ (assuming GRH)

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $13$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( \frac{61683217279394625257925418413465867558477}{54018810049828879849070284682371709765684808152825} a^{27} - \frac{61606839159964520934535332311373404125419}{54018810049828879849070284682371709765684808152825} a^{26} + \frac{1918570038320218778052658508025844668211973}{54018810049828879849070284682371709765684808152825} a^{25} - \frac{3958117852489581071053352992919126996205454}{54018810049828879849070284682371709765684808152825} a^{24} + \frac{46026234802450703738840596388663938448009949}{54018810049828879849070284682371709765684808152825} a^{23} + \frac{21664411894449482071909643469644782426192814}{54018810049828879849070284682371709765684808152825} a^{22} + \frac{883837017018517444925358933536421068954600223}{54018810049828879849070284682371709765684808152825} a^{21} + \frac{1098711744559909436946731401619285314487036428}{54018810049828879849070284682371709765684808152825} a^{20} + \frac{13149079768261280874094534076641863227747555623}{54018810049828879849070284682371709765684808152825} a^{19} + \frac{21731483333452303677405036073228551143514531312}{54018810049828879849070284682371709765684808152825} a^{18} + \frac{183214071821223509248291806780095529341879052793}{54018810049828879849070284682371709765684808152825} a^{17} + \frac{366662395864220141225963953473212456217465719392}{54018810049828879849070284682371709765684808152825} a^{16} + \frac{2210746808774628049423339614114553389710700798383}{54018810049828879849070284682371709765684808152825} a^{15} + \frac{6100325092333221704186924797738632811060403403252}{54018810049828879849070284682371709765684808152825} a^{14} + \frac{21000538985625351330418961371379022537794959914703}{54018810049828879849070284682371709765684808152825} a^{13} + \frac{45499289520348579983358992120382599544297880359682}{54018810049828879849070284682371709765684808152825} a^{12} + \frac{136714463332068932164388098471322617445831310731718}{54018810049828879849070284682371709765684808152825} a^{11} + \frac{217503143885822948274432698880314094567177584552992}{54018810049828879849070284682371709765684808152825} a^{10} + \frac{412044916414836212232803115228408913849166372391438}{54018810049828879849070284682371709765684808152825} a^{9} + \frac{510568157305674818232252200297616632258156603416647}{54018810049828879849070284682371709765684808152825} a^{8} + \frac{830391758331734045464872155072194976488039554368826}{54018810049828879849070284682371709765684808152825} a^{7} - \frac{82203466664390326344475853080003485127684149533774}{54018810049828879849070284682371709765684808152825} a^{6} + \frac{20289843460841370306127716932177867828721936711719}{2160752401993155193962811387294868390627392326113} a^{5} - \frac{139599337999904612212153557850647177221134070789934}{54018810049828879849070284682371709765684808152825} a^{4} + \frac{528414921875664512668987592424320022913567105275764}{54018810049828879849070284682371709765684808152825} a^{3} + \frac{1651452663727924142866204874571931986777323274659}{394297883575393283569856092572056275661932906225} a^{2} + \frac{1170327487021997778835993887438296582024085263}{575617348285245669445045390616140548411580885} a + \frac{15296026691934797349729291196096783799375983}{21007932419169549979746182139275202496773025} \) (order $10$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  \( 18641852176931.93 \) (assuming GRH)
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{28}$ (as 28T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 28
The 28 conjugacy class representatives for $C_{28}$
Character table for $C_{28}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{5}) \), \(\Q(\zeta_{5})\), 7.7.128100283921.1, 14.14.1282006464112563369862578125.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $28$ $28$ R $28$ ${\href{/LocalNumberField/11.7.0.1}{7} }^{4}$ $28$ ${\href{/LocalNumberField/17.4.0.1}{4} }^{7}$ ${\href{/LocalNumberField/19.14.0.1}{14} }^{2}$ $28$ ${\href{/LocalNumberField/29.14.0.1}{14} }^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/31.7.0.1}{7} }^{4}$ $28$ ${\href{/LocalNumberField/41.7.0.1}{7} }^{4}$ $28$ $28$ $28$ ${\href{/LocalNumberField/59.14.0.1}{14} }^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
$5$5.4.3.2$x^{4} - 20$$4$$1$$3$$C_4$$[\ ]_{4}$
5.4.3.2$x^{4} - 20$$4$$1$$3$$C_4$$[\ ]_{4}$
5.4.3.2$x^{4} - 20$$4$$1$$3$$C_4$$[\ ]_{4}$
5.4.3.2$x^{4} - 20$$4$$1$$3$$C_4$$[\ ]_{4}$
5.4.3.2$x^{4} - 20$$4$$1$$3$$C_4$$[\ ]_{4}$
5.4.3.2$x^{4} - 20$$4$$1$$3$$C_4$$[\ ]_{4}$
5.4.3.2$x^{4} - 20$$4$$1$$3$$C_4$$[\ ]_{4}$
$71$71.7.6.1$x^{7} - 71$$7$$1$$6$$C_7$$[\ ]_{7}$
71.7.6.1$x^{7} - 71$$7$$1$$6$$C_7$$[\ ]_{7}$
71.7.6.1$x^{7} - 71$$7$$1$$6$$C_7$$[\ ]_{7}$
71.7.6.1$x^{7} - 71$$7$$1$$6$$C_7$$[\ ]_{7}$