Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 18*x^23 - 18*x^22 - 18*x^21 + 18*x^20 + 135*x^19 + 219*x^18 - 162*x^17 + 324*x^16 - 153*x^15 - 81*x^14 - 675*x^13 - 630*x^12 - 540*x^11 - 513*x^10 - 405*x^9 + 27*x^8 + 243*x^7 + 387*x^6 + 162*x^5 - 81*x^4 - 135*x^3 + 27*x - 3)
gp: K = bnfinit(y^27 - 18*y^23 - 18*y^22 - 18*y^21 + 18*y^20 + 135*y^19 + 219*y^18 - 162*y^17 + 324*y^16 - 153*y^15 - 81*y^14 - 675*y^13 - 630*y^12 - 540*y^11 - 513*y^10 - 405*y^9 + 27*y^8 + 243*y^7 + 387*y^6 + 162*y^5 - 81*y^4 - 135*y^3 + 27*y - 3, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^27 - 18*x^23 - 18*x^22 - 18*x^21 + 18*x^20 + 135*x^19 + 219*x^18 - 162*x^17 + 324*x^16 - 153*x^15 - 81*x^14 - 675*x^13 - 630*x^12 - 540*x^11 - 513*x^10 - 405*x^9 + 27*x^8 + 243*x^7 + 387*x^6 + 162*x^5 - 81*x^4 - 135*x^3 + 27*x - 3);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 18*x^23 - 18*x^22 - 18*x^21 + 18*x^20 + 135*x^19 + 219*x^18 - 162*x^17 + 324*x^16 - 153*x^15 - 81*x^14 - 675*x^13 - 630*x^12 - 540*x^11 - 513*x^10 - 405*x^9 + 27*x^8 + 243*x^7 + 387*x^6 + 162*x^5 - 81*x^4 - 135*x^3 + 27*x - 3)
\( x^{27} - 18 x^{23} - 18 x^{22} - 18 x^{21} + 18 x^{20} + 135 x^{19} + 219 x^{18} - 162 x^{17} + 324 x^{16} + \cdots - 3 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $27$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[9, 9]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(-67585198634817523235520443624317923\)
\(\medspace = -\,3^{73}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(19.50\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $3^{49/18}\approx 19.898946404249138$ | ||
| Ramified primes: |
\(3\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{-3}) \) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $9$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $\frac{1}{20\!\cdots\!19}a^{26}-\frac{72\!\cdots\!87}{20\!\cdots\!19}a^{25}-\frac{91\!\cdots\!28}{20\!\cdots\!19}a^{24}-\frac{29\!\cdots\!91}{20\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{64\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{41\!\cdots\!14}{20\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{32\!\cdots\!46}{20\!\cdots\!19}a^{20}+\frac{69\!\cdots\!62}{20\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{66\!\cdots\!89}{20\!\cdots\!19}a^{18}-\frac{39\!\cdots\!77}{20\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{23\!\cdots\!20}{20\!\cdots\!19}a^{16}-\frac{66\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{41\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{61\!\cdots\!99}{20\!\cdots\!19}a^{13}+\frac{56\!\cdots\!42}{20\!\cdots\!19}a^{12}+\frac{95\!\cdots\!74}{20\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!07}{20\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{44\!\cdots\!35}{20\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!04}{20\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{28\!\cdots\!75}{20\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{25\!\cdots\!90}{20\!\cdots\!19}a^{6}+\frac{41\!\cdots\!08}{20\!\cdots\!19}a^{5}-\frac{93\!\cdots\!18}{20\!\cdots\!19}a^{4}-\frac{37\!\cdots\!35}{20\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{87\!\cdots\!48}{20\!\cdots\!19}a^{2}+\frac{34\!\cdots\!06}{20\!\cdots\!19}a-\frac{52\!\cdots\!72}{20\!\cdots\!19}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $17$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{12\!\cdots\!09}{20\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{16\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!19}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!12}{20\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{72\!\cdots\!89}{20\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{22\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!19}a^{22}-\frac{53\!\cdots\!16}{20\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{73\!\cdots\!53}{20\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{39\!\cdots\!18}{20\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{16\!\cdots\!69}{20\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{50\!\cdots\!13}{20\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!95}{20\!\cdots\!19}a^{16}+\frac{47\!\cdots\!10}{20\!\cdots\!19}a^{15}+\frac{39\!\cdots\!09}{20\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{35\!\cdots\!71}{20\!\cdots\!19}a^{13}-\frac{93\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!78}{20\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{25\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{27\!\cdots\!72}{20\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{27\!\cdots\!24}{20\!\cdots\!19}a^{8}-\frac{20\!\cdots\!32}{20\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{94\!\cdots\!16}{20\!\cdots\!19}a^{6}+\frac{89\!\cdots\!18}{20\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{65\!\cdots\!75}{20\!\cdots\!19}a^{4}+\frac{48\!\cdots\!22}{20\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{94\!\cdots\!62}{20\!\cdots\!19}a^{2}-\frac{57\!\cdots\!96}{20\!\cdots\!19}a-\frac{80\!\cdots\!37}{20\!\cdots\!19}$, $\frac{18\!\cdots\!16}{20\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{15\!\cdots\!63}{20\!\cdots\!19}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!48}{20\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{78\!\cdots\!62}{20\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{33\!\cdots\!67}{20\!\cdots\!19}a^{22}-\frac{62\!\cdots\!24}{20\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{88\!\cdots\!46}{20\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{34\!\cdots\!24}{20\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{23\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{62\!\cdots\!76}{20\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{23\!\cdots\!07}{20\!\cdots\!19}a^{16}+\frac{76\!\cdots\!71}{20\!\cdots\!19}a^{15}+\frac{23\!\cdots\!11}{20\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{95\!\cdots\!82}{20\!\cdots\!19}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!38}{20\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{23\!\cdots\!67}{20\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{30\!\cdots\!56}{20\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{32\!\cdots\!09}{20\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{32\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!19}a^{8}-\frac{23\!\cdots\!91}{20\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!19}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!27}{20\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{73\!\cdots\!63}{20\!\cdots\!19}a^{4}+\frac{52\!\cdots\!83}{20\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{87\!\cdots\!38}{20\!\cdots\!19}a^{2}-\frac{50\!\cdots\!05}{20\!\cdots\!19}a-\frac{18\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!19}$, $\frac{10\!\cdots\!62}{20\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{17\!\cdots\!50}{20\!\cdots\!19}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!20}{20\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{92\!\cdots\!07}{20\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{17\!\cdots\!67}{20\!\cdots\!19}a^{22}-\frac{48\!\cdots\!03}{20\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{77\!\cdots\!03}{20\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{58\!\cdots\!93}{20\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!28}{20\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{44\!\cdots\!22}{20\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{42\!\cdots\!95}{20\!\cdots\!19}a^{16}+\frac{51\!\cdots\!27}{20\!\cdots\!19}a^{15}+\frac{44\!\cdots\!57}{20\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!06}{20\!\cdots\!19}a^{13}-\frac{75\!\cdots\!93}{20\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{18\!\cdots\!50}{20\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{27\!\cdots\!56}{20\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{31\!\cdots\!40}{20\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{32\!\cdots\!02}{20\!\cdots\!19}a^{8}-\frac{27\!\cdots\!89}{20\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!06}{20\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{36\!\cdots\!44}{20\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{46\!\cdots\!45}{20\!\cdots\!19}a^{4}+\frac{56\!\cdots\!81}{20\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{23\!\cdots\!58}{20\!\cdots\!19}a^{2}-\frac{29\!\cdots\!55}{20\!\cdots\!19}a-\frac{39\!\cdots\!13}{20\!\cdots\!19}$, $\frac{99\!\cdots\!82}{20\!\cdots\!19}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!11}{20\!\cdots\!19}a^{25}-\frac{98\!\cdots\!53}{20\!\cdots\!19}a^{24}-\frac{42\!\cdots\!79}{20\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{17\!\cdots\!41}{20\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{23\!\cdots\!44}{20\!\cdots\!19}a^{21}+\frac{42\!\cdots\!27}{20\!\cdots\!19}a^{20}+\frac{47\!\cdots\!73}{20\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!71}{20\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{73\!\cdots\!33}{20\!\cdots\!19}a^{17}-\frac{43\!\cdots\!14}{20\!\cdots\!19}a^{16}+\frac{43\!\cdots\!03}{20\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{59\!\cdots\!00}{20\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!91}{20\!\cdots\!19}a^{13}-\frac{74\!\cdots\!10}{20\!\cdots\!19}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!47}{20\!\cdots\!19}a^{11}+\frac{21\!\cdots\!22}{20\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{48\!\cdots\!77}{20\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{45\!\cdots\!43}{20\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{85\!\cdots\!21}{20\!\cdots\!19}a^{7}+\frac{53\!\cdots\!44}{20\!\cdots\!19}a^{6}+\frac{34\!\cdots\!22}{20\!\cdots\!19}a^{5}-\frac{24\!\cdots\!45}{20\!\cdots\!19}a^{4}-\frac{34\!\cdots\!42}{20\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!01}{20\!\cdots\!19}a^{2}+\frac{90\!\cdots\!43}{20\!\cdots\!19}a+\frac{18\!\cdots\!74}{20\!\cdots\!19}$, $\frac{44\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{14\!\cdots\!25}{20\!\cdots\!19}a^{25}+\frac{77\!\cdots\!71}{20\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{17\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{79\!\cdots\!43}{20\!\cdots\!19}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!33}{20\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!41}{20\!\cdots\!19}a^{20}+\frac{37\!\cdots\!65}{20\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{60\!\cdots\!90}{20\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!12}{20\!\cdots\!19}a^{17}-\frac{30\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!19}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!43}{20\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{28\!\cdots\!03}{20\!\cdots\!19}a^{14}-\frac{32\!\cdots\!35}{20\!\cdots\!19}a^{13}-\frac{32\!\cdots\!40}{20\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{37\!\cdots\!52}{20\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{39\!\cdots\!78}{20\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{36\!\cdots\!02}{20\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{32\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!19}a^{8}-\frac{99\!\cdots\!64}{20\!\cdots\!19}a^{7}+\frac{62\!\cdots\!20}{20\!\cdots\!19}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!83}{20\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!19}a^{4}+\frac{27\!\cdots\!44}{20\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{47\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!19}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!45}{20\!\cdots\!19}a+\frac{14\!\cdots\!06}{20\!\cdots\!19}$, $\frac{10\!\cdots\!25}{20\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{50\!\cdots\!69}{20\!\cdots\!19}a^{25}+\frac{21\!\cdots\!73}{20\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!63}{20\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{19\!\cdots\!06}{20\!\cdots\!19}a^{22}-\frac{28\!\cdots\!16}{20\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{32\!\cdots\!61}{20\!\cdots\!19}a^{20}+\frac{38\!\cdots\!82}{20\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{30\!\cdots\!56}{20\!\cdots\!19}a^{17}-\frac{31\!\cdots\!07}{20\!\cdots\!19}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!36}{20\!\cdots\!19}a^{15}+\frac{37\!\cdots\!83}{20\!\cdots\!19}a^{14}-\frac{96\!\cdots\!74}{20\!\cdots\!19}a^{13}-\frac{75\!\cdots\!05}{20\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!29}{20\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!95}{20\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{93\!\cdots\!53}{20\!\cdots\!19}a^{8}-\frac{41\!\cdots\!31}{20\!\cdots\!19}a^{7}+\frac{51\!\cdots\!98}{20\!\cdots\!19}a^{6}+\frac{41\!\cdots\!16}{20\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!19}a^{4}+\frac{77\!\cdots\!00}{20\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!53}{20\!\cdots\!19}a^{2}-\frac{41\!\cdots\!16}{20\!\cdots\!19}a+\frac{10\!\cdots\!70}{20\!\cdots\!19}$, $\frac{53\!\cdots\!57}{20\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{31\!\cdots\!08}{20\!\cdots\!19}a^{25}+\frac{16\!\cdots\!60}{20\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{87\!\cdots\!37}{20\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{94\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!19}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!29}{20\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!35}{20\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{75\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{71\!\cdots\!74}{20\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!91}{20\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{62\!\cdots\!21}{20\!\cdots\!19}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!93}{20\!\cdots\!19}a^{15}+\frac{21\!\cdots\!73}{20\!\cdots\!19}a^{14}-\frac{37\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!19}a^{13}-\frac{38\!\cdots\!95}{20\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{55\!\cdots\!62}{20\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{60\!\cdots\!90}{20\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{61\!\cdots\!23}{20\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{56\!\cdots\!46}{20\!\cdots\!19}a^{8}-\frac{29\!\cdots\!38}{20\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{27\!\cdots\!06}{20\!\cdots\!19}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!99}{20\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!90}{20\!\cdots\!19}a^{4}+\frac{69\!\cdots\!10}{20\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{38\!\cdots\!84}{20\!\cdots\!19}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!53}{20\!\cdots\!19}a+\frac{14\!\cdots\!58}{20\!\cdots\!19}$, $\frac{46\!\cdots\!14}{20\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{14\!\cdots\!18}{20\!\cdots\!19}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!12}{20\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{54\!\cdots\!10}{20\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{82\!\cdots\!61}{20\!\cdots\!19}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!84}{20\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!17}{20\!\cdots\!19}a^{20}+\frac{26\!\cdots\!55}{20\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{61\!\cdots\!52}{20\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!78}{20\!\cdots\!19}a^{17}-\frac{27\!\cdots\!18}{20\!\cdots\!19}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!17}{20\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!95}{20\!\cdots\!19}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!50}{20\!\cdots\!19}a^{13}-\frac{32\!\cdots\!81}{20\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{40\!\cdots\!16}{20\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{41\!\cdots\!19}{20\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{42\!\cdots\!52}{20\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{37\!\cdots\!60}{20\!\cdots\!19}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!06}{20\!\cdots\!19}a^{7}+\frac{33\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!19}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!33}{20\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!52}{20\!\cdots\!19}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!81}{20\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{41\!\cdots\!14}{20\!\cdots\!19}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!25}{20\!\cdots\!19}a+\frac{40\!\cdots\!48}{20\!\cdots\!19}$, $\frac{19\!\cdots\!73}{20\!\cdots\!19}a^{26}-\frac{33\!\cdots\!28}{20\!\cdots\!19}a^{25}+\frac{74\!\cdots\!70}{20\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{46\!\cdots\!23}{20\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{27\!\cdots\!96}{20\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{57\!\cdots\!74}{20\!\cdots\!19}a^{21}+\frac{43\!\cdots\!45}{20\!\cdots\!19}a^{20}+\frac{41\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!19}a^{19}-\frac{68\!\cdots\!24}{20\!\cdots\!19}a^{18}-\frac{42\!\cdots\!62}{20\!\cdots\!19}a^{17}-\frac{68\!\cdots\!01}{20\!\cdots\!19}a^{16}+\frac{81\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!36}{20\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{92\!\cdots\!28}{20\!\cdots\!19}a^{13}+\frac{30\!\cdots\!16}{20\!\cdots\!19}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!65}{20\!\cdots\!19}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!79}{20\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!70}{20\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!46}{20\!\cdots\!19}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!74}{20\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!91}{20\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!03}{20\!\cdots\!19}a^{5}-\frac{25\!\cdots\!25}{20\!\cdots\!19}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!11}{20\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!96}{20\!\cdots\!19}a^{2}+\frac{53\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!19}a+\frac{80\!\cdots\!87}{20\!\cdots\!19}$, $\frac{99\!\cdots\!93}{20\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{54\!\cdots\!14}{20\!\cdots\!19}a^{25}+\frac{34\!\cdots\!74}{20\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!02}{20\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{17\!\cdots\!39}{20\!\cdots\!19}a^{22}-\frac{27\!\cdots\!46}{20\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{33\!\cdots\!04}{20\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!41}{20\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!89}{20\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{29\!\cdots\!74}{20\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{24\!\cdots\!07}{20\!\cdots\!19}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!53}{20\!\cdots\!19}a^{15}+\frac{75\!\cdots\!32}{20\!\cdots\!19}a^{14}-\frac{45\!\cdots\!52}{20\!\cdots\!19}a^{13}-\frac{73\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!14}{20\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!02}{20\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!97}{20\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!67}{20\!\cdots\!19}a^{8}-\frac{52\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{34\!\cdots\!21}{20\!\cdots\!19}a^{6}+\frac{38\!\cdots\!07}{20\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{37\!\cdots\!57}{20\!\cdots\!19}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!51}{20\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{71\!\cdots\!28}{20\!\cdots\!19}a^{2}-\frac{43\!\cdots\!53}{20\!\cdots\!19}a+\frac{31\!\cdots\!97}{20\!\cdots\!19}$, $\frac{68\!\cdots\!91}{20\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{43\!\cdots\!75}{20\!\cdots\!19}a^{25}+\frac{25\!\cdots\!52}{20\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!77}{20\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{12\!\cdots\!95}{20\!\cdots\!19}a^{22}-\frac{20\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{24\!\cdots\!00}{20\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{91\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!76}{20\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!19}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!52}{20\!\cdots\!19}a^{15}+\frac{36\!\cdots\!57}{20\!\cdots\!19}a^{14}-\frac{38\!\cdots\!60}{20\!\cdots\!19}a^{13}-\frac{48\!\cdots\!61}{20\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{74\!\cdots\!75}{20\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{82\!\cdots\!55}{20\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{84\!\cdots\!74}{20\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{78\!\cdots\!49}{20\!\cdots\!19}a^{8}-\frac{44\!\cdots\!46}{20\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{91\!\cdots\!73}{20\!\cdots\!19}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!84}{20\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!05}{20\!\cdots\!19}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!11}{20\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{37\!\cdots\!24}{20\!\cdots\!19}a^{2}-\frac{26\!\cdots\!85}{20\!\cdots\!19}a+\frac{11\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!19}$, $\frac{99\!\cdots\!97}{20\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{61\!\cdots\!36}{20\!\cdots\!19}a^{25}+\frac{33\!\cdots\!24}{20\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{19\!\cdots\!72}{20\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{17\!\cdots\!68}{20\!\cdots\!19}a^{22}-\frac{28\!\cdots\!79}{20\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{35\!\cdots\!90}{20\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{27\!\cdots\!17}{20\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!70}{20\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{30\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!01}{20\!\cdots\!19}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!64}{20\!\cdots\!19}a^{15}+\frac{49\!\cdots\!13}{20\!\cdots\!19}a^{14}-\frac{65\!\cdots\!78}{20\!\cdots\!19}a^{13}-\frac{70\!\cdots\!17}{20\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!00}{20\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!43}{20\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!26}{20\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!61}{20\!\cdots\!19}a^{8}-\frac{61\!\cdots\!10}{20\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{94\!\cdots\!01}{20\!\cdots\!19}a^{6}+\frac{34\!\cdots\!19}{20\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{37\!\cdots\!85}{20\!\cdots\!19}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!75}{20\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{65\!\cdots\!61}{20\!\cdots\!19}a^{2}-\frac{44\!\cdots\!59}{20\!\cdots\!19}a+\frac{35\!\cdots\!95}{20\!\cdots\!19}$, $\frac{80\!\cdots\!23}{20\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{43\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!19}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!83}{20\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!42}{20\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!01}{20\!\cdots\!19}a^{22}-\frac{22\!\cdots\!12}{20\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{25\!\cdots\!71}{20\!\cdots\!19}a^{20}+\frac{17\!\cdots\!99}{20\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{23\!\cdots\!93}{20\!\cdots\!19}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!25}{20\!\cdots\!19}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!98}{20\!\cdots\!19}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!79}{20\!\cdots\!19}a^{14}-\frac{79\!\cdots\!20}{20\!\cdots\!19}a^{13}-\frac{57\!\cdots\!37}{20\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{81\!\cdots\!27}{20\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{83\!\cdots\!89}{20\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{83\!\cdots\!81}{20\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{73\!\cdots\!35}{20\!\cdots\!19}a^{8}-\frac{34\!\cdots\!03}{20\!\cdots\!19}a^{7}+\frac{33\!\cdots\!14}{20\!\cdots\!19}a^{6}+\frac{33\!\cdots\!03}{20\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!61}{20\!\cdots\!19}a^{4}+\frac{75\!\cdots\!95}{20\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{74\!\cdots\!76}{20\!\cdots\!19}a^{2}-\frac{35\!\cdots\!51}{20\!\cdots\!19}a+\frac{82\!\cdots\!08}{20\!\cdots\!19}$, $\frac{20\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{18\!\cdots\!31}{20\!\cdots\!19}a^{25}+\frac{19\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!19}a^{24}-\frac{15\!\cdots\!73}{20\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{36\!\cdots\!52}{20\!\cdots\!19}a^{22}-\frac{40\!\cdots\!09}{20\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{43\!\cdots\!98}{20\!\cdots\!19}a^{20}+\frac{32\!\cdots\!65}{20\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{28\!\cdots\!41}{20\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{48\!\cdots\!75}{20\!\cdots\!19}a^{17}-\frac{26\!\cdots\!21}{20\!\cdots\!19}a^{16}+\frac{65\!\cdots\!88}{20\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{32\!\cdots\!46}{20\!\cdots\!19}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!96}{20\!\cdots\!19}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!33}{20\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!44}{20\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!95}{20\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!49}{20\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{83\!\cdots\!55}{20\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!19}a^{7}+\frac{67\!\cdots\!60}{20\!\cdots\!19}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!73}{20\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{61\!\cdots\!00}{20\!\cdots\!19}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!29}{20\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{25\!\cdots\!71}{20\!\cdots\!19}a^{2}-\frac{57\!\cdots\!35}{20\!\cdots\!19}a+\frac{22\!\cdots\!99}{20\!\cdots\!19}$, $\frac{66\!\cdots\!43}{20\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{24\!\cdots\!21}{20\!\cdots\!19}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!24}{20\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{59\!\cdots\!21}{20\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!28}{20\!\cdots\!19}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!50}{20\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{19\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!19}a^{20}+\frac{38\!\cdots\!05}{20\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{89\!\cdots\!65}{20\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!64}{20\!\cdots\!19}a^{17}-\frac{34\!\cdots\!70}{20\!\cdots\!19}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!24}{20\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{29\!\cdots\!99}{20\!\cdots\!19}a^{14}-\frac{41\!\cdots\!62}{20\!\cdots\!19}a^{13}-\frac{47\!\cdots\!21}{20\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{59\!\cdots\!16}{20\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{62\!\cdots\!88}{20\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{60\!\cdots\!18}{20\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{54\!\cdots\!46}{20\!\cdots\!19}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!09}{20\!\cdots\!19}a^{7}+\frac{37\!\cdots\!99}{20\!\cdots\!19}a^{6}+\frac{25\!\cdots\!25}{20\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!60}{20\!\cdots\!19}a^{4}+\frac{38\!\cdots\!90}{20\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{61\!\cdots\!26}{20\!\cdots\!19}a^{2}-\frac{23\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!19}a+\frac{54\!\cdots\!03}{20\!\cdots\!19}$, $\frac{10\!\cdots\!85}{20\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{41\!\cdots\!12}{20\!\cdots\!19}a^{25}+\frac{24\!\cdots\!61}{20\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!82}{20\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{19\!\cdots\!98}{20\!\cdots\!19}a^{22}-\frac{27\!\cdots\!13}{20\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{31\!\cdots\!54}{20\!\cdots\!19}a^{20}+\frac{60\!\cdots\!96}{20\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!56}{20\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{29\!\cdots\!31}{20\!\cdots\!19}a^{17}-\frac{53\!\cdots\!77}{20\!\cdots\!19}a^{16}+\frac{35\!\cdots\!00}{20\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{40\!\cdots\!64}{20\!\cdots\!19}a^{14}-\frac{74\!\cdots\!82}{20\!\cdots\!19}a^{13}-\frac{78\!\cdots\!36}{20\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{99\!\cdots\!44}{20\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!51}{20\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!53}{20\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{89\!\cdots\!07}{20\!\cdots\!19}a^{8}-\frac{38\!\cdots\!03}{20\!\cdots\!19}a^{7}+\frac{67\!\cdots\!00}{20\!\cdots\!19}a^{6}+\frac{42\!\cdots\!07}{20\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{34\!\cdots\!65}{20\!\cdots\!19}a^{4}+\frac{70\!\cdots\!49}{20\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!14}{20\!\cdots\!19}a^{2}-\frac{35\!\cdots\!40}{20\!\cdots\!19}a+\frac{91\!\cdots\!60}{20\!\cdots\!19}$, $\frac{40\!\cdots\!51}{20\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{17\!\cdots\!54}{20\!\cdots\!19}a^{25}+\frac{56\!\cdots\!03}{20\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{35\!\cdots\!17}{20\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{72\!\cdots\!54}{20\!\cdots\!19}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!06}{20\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!32}{20\!\cdots\!19}a^{20}+\frac{24\!\cdots\!21}{20\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{55\!\cdots\!60}{20\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!89}{20\!\cdots\!19}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!47}{20\!\cdots\!19}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!81}{20\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{33\!\cdots\!55}{20\!\cdots\!19}a^{14}-\frac{40\!\cdots\!03}{20\!\cdots\!19}a^{13}-\frac{28\!\cdots\!91}{20\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{37\!\cdots\!93}{20\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{36\!\cdots\!98}{20\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{36\!\cdots\!38}{20\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{32\!\cdots\!22}{20\!\cdots\!19}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!72}{20\!\cdots\!19}a^{7}+\frac{36\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!19}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!04}{20\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!19}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!98}{20\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{46\!\cdots\!55}{20\!\cdots\!19}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!61}{20\!\cdots\!19}a+\frac{79\!\cdots\!07}{20\!\cdots\!19}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 13605448.556703938 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{9}\cdot(2\pi)^{9}\cdot 13605448.556703938 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{67585198634817523235520443624317923}}\cr\approx \mathstrut & 0.204477651195874 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 18*x^23 - 18*x^22 - 18*x^21 + 18*x^20 + 135*x^19 + 219*x^18 - 162*x^17 + 324*x^16 - 153*x^15 - 81*x^14 - 675*x^13 - 630*x^12 - 540*x^11 - 513*x^10 - 405*x^9 + 27*x^8 + 243*x^7 + 387*x^6 + 162*x^5 - 81*x^4 - 135*x^3 + 27*x - 3)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^27 - 18*x^23 - 18*x^22 - 18*x^21 + 18*x^20 + 135*x^19 + 219*x^18 - 162*x^17 + 324*x^16 - 153*x^15 - 81*x^14 - 675*x^13 - 630*x^12 - 540*x^11 - 513*x^10 - 405*x^9 + 27*x^8 + 243*x^7 + 387*x^6 + 162*x^5 - 81*x^4 - 135*x^3 + 27*x - 3, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^27 - 18*x^23 - 18*x^22 - 18*x^21 + 18*x^20 + 135*x^19 + 219*x^18 - 162*x^17 + 324*x^16 - 153*x^15 - 81*x^14 - 675*x^13 - 630*x^12 - 540*x^11 - 513*x^10 - 405*x^9 + 27*x^8 + 243*x^7 + 387*x^6 + 162*x^5 - 81*x^4 - 135*x^3 + 27*x - 3);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 18*x^23 - 18*x^22 - 18*x^21 + 18*x^20 + 135*x^19 + 219*x^18 - 162*x^17 + 324*x^16 - 153*x^15 - 81*x^14 - 675*x^13 - 630*x^12 - 540*x^11 - 513*x^10 - 405*x^9 + 27*x^8 + 243*x^7 + 387*x^6 + 162*x^5 - 81*x^4 - 135*x^3 + 27*x - 3);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$S_3\times C_9$ (as 27T12):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A solvable group of order 54 |
| The 27 conjugacy class representatives for $S_3\times C_9$ |
| Character table for $S_3\times C_9$ |
Intermediate fields
| \(\Q(\zeta_{9})^+\), 3.1.243.1, \(\Q(\zeta_{27})^+\), 9.3.1162261467.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 18 sibling: | data not computed |
| Minimal sibling: | 18.0.2954312706550833698643.2 |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | $18{,}\,{\href{/padicField/2.9.0.1}{9} }$ | R | $18{,}\,{\href{/padicField/5.9.0.1}{9} }$ | ${\href{/padicField/7.9.0.1}{9} }^{3}$ | $18{,}\,{\href{/padicField/11.9.0.1}{9} }$ | ${\href{/padicField/13.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/17.6.0.1}{6} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/17.3.0.1}{3} }^{3}$ | ${\href{/padicField/19.3.0.1}{3} }^{9}$ | $18{,}\,{\href{/padicField/23.9.0.1}{9} }$ | $18{,}\,{\href{/padicField/29.9.0.1}{9} }$ | ${\href{/padicField/31.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{9}$ | $18{,}\,{\href{/padicField/41.9.0.1}{9} }$ | ${\href{/padicField/43.9.0.1}{9} }^{3}$ | $18{,}\,{\href{/padicField/47.9.0.1}{9} }$ | ${\href{/padicField/53.2.0.1}{2} }^{9}{,}\,{\href{/padicField/53.1.0.1}{1} }^{9}$ | $18{,}\,{\href{/padicField/59.9.0.1}{9} }$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(3\)
| Deg $27$ | $27$ | $1$ | $73$ |
Artin representations
| Label | Dimension | Conductor | Artin stem field | $G$ | Ind | $\chi(c)$ | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| * | 1.1.1t1.a.a | $1$ | $1$ | \(\Q\) | $C_1$ | $1$ | $1$ |
| 1.3.2t1.a.a | $1$ | $ 3 $ | \(\Q(\sqrt{-3}) \) | $C_2$ (as 2T1) | $1$ | $-1$ | |
| 1.9.6t1.a.a | $1$ | $ 3^{2}$ | \(\Q(\zeta_{9})\) | $C_6$ (as 6T1) | $0$ | $-1$ | |
| * | 1.9.3t1.a.a | $1$ | $ 3^{2}$ | \(\Q(\zeta_{9})^+\) | $C_3$ (as 3T1) | $0$ | $1$ |
| 1.9.6t1.a.b | $1$ | $ 3^{2}$ | \(\Q(\zeta_{9})\) | $C_6$ (as 6T1) | $0$ | $-1$ | |
| * | 1.9.3t1.a.b | $1$ | $ 3^{2}$ | \(\Q(\zeta_{9})^+\) | $C_3$ (as 3T1) | $0$ | $1$ |
| 1.27.18t1.a.a | $1$ | $ 3^{3}$ | \(\Q(\zeta_{27})\) | $C_{18}$ (as 18T1) | $0$ | $-1$ | |
| 1.27.18t1.a.b | $1$ | $ 3^{3}$ | \(\Q(\zeta_{27})\) | $C_{18}$ (as 18T1) | $0$ | $-1$ | |
| * | 1.27.9t1.a.a | $1$ | $ 3^{3}$ | \(\Q(\zeta_{27})^+\) | $C_9$ (as 9T1) | $0$ | $1$ |
| 1.27.18t1.a.c | $1$ | $ 3^{3}$ | \(\Q(\zeta_{27})\) | $C_{18}$ (as 18T1) | $0$ | $-1$ | |
| * | 1.27.9t1.a.b | $1$ | $ 3^{3}$ | \(\Q(\zeta_{27})^+\) | $C_9$ (as 9T1) | $0$ | $1$ |
| 1.27.18t1.a.d | $1$ | $ 3^{3}$ | \(\Q(\zeta_{27})\) | $C_{18}$ (as 18T1) | $0$ | $-1$ | |
| 1.27.18t1.a.e | $1$ | $ 3^{3}$ | \(\Q(\zeta_{27})\) | $C_{18}$ (as 18T1) | $0$ | $-1$ | |
| * | 1.27.9t1.a.c | $1$ | $ 3^{3}$ | \(\Q(\zeta_{27})^+\) | $C_9$ (as 9T1) | $0$ | $1$ |
| 1.27.18t1.a.f | $1$ | $ 3^{3}$ | \(\Q(\zeta_{27})\) | $C_{18}$ (as 18T1) | $0$ | $-1$ | |
| * | 1.27.9t1.a.d | $1$ | $ 3^{3}$ | \(\Q(\zeta_{27})^+\) | $C_9$ (as 9T1) | $0$ | $1$ |
| * | 1.27.9t1.a.e | $1$ | $ 3^{3}$ | \(\Q(\zeta_{27})^+\) | $C_9$ (as 9T1) | $0$ | $1$ |
| * | 1.27.9t1.a.f | $1$ | $ 3^{3}$ | \(\Q(\zeta_{27})^+\) | $C_9$ (as 9T1) | $0$ | $1$ |
| * | 2.243.3t2.b.a | $2$ | $ 3^{5}$ | 3.1.243.1 | $S_3$ (as 3T2) | $1$ | $0$ |
| * | 2.243.6t5.b.a | $2$ | $ 3^{5}$ | 6.0.177147.1 | $S_3\times C_3$ (as 6T5) | $0$ | $0$ |
| * | 2.243.6t5.b.b | $2$ | $ 3^{5}$ | 6.0.177147.1 | $S_3\times C_3$ (as 6T5) | $0$ | $0$ |
| * | 2.729.18t16.b.a | $2$ | $ 3^{6}$ | 27.9.67585198634817523235520443624317923.1 | $S_3\times C_9$ (as 27T12) | $0$ | $0$ |
| * | 2.729.18t16.b.b | $2$ | $ 3^{6}$ | 27.9.67585198634817523235520443624317923.1 | $S_3\times C_9$ (as 27T12) | $0$ | $0$ |
| * | 2.729.18t16.b.c | $2$ | $ 3^{6}$ | 27.9.67585198634817523235520443624317923.1 | $S_3\times C_9$ (as 27T12) | $0$ | $0$ |
| * | 2.729.18t16.b.d | $2$ | $ 3^{6}$ | 27.9.67585198634817523235520443624317923.1 | $S_3\times C_9$ (as 27T12) | $0$ | $0$ |
| * | 2.729.18t16.b.e | $2$ | $ 3^{6}$ | 27.9.67585198634817523235520443624317923.1 | $S_3\times C_9$ (as 27T12) | $0$ | $0$ |
| * | 2.729.18t16.b.f | $2$ | $ 3^{6}$ | 27.9.67585198634817523235520443624317923.1 | $S_3\times C_9$ (as 27T12) | $0$ | $0$ |
Data is given for all irreducible
representations of the Galois group for the Galois closure
of this field. Those marked with * are summands in the
permutation representation coming from this field. Representations
which appear with multiplicity greater than one are indicated
by exponents on the *.