Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 9*x^26 - 54*x^25 + 780*x^24 - 432*x^23 - 21780*x^22 + 64575*x^21 + 217296*x^20 - 1247445*x^19 + 19374*x^18 + 9433674*x^17 - 12087774*x^16 - 30763836*x^15 + 71593578*x^14 + 34852194*x^13 - 180656406*x^12 + 25262640*x^11 + 232115463*x^10 - 89066520*x^9 - 156750336*x^8 + 67857723*x^7 + 53078022*x^6 - 19125909*x^5 - 7172685*x^4 + 2619018*x^3 + 247698*x^2 - 143370*x + 11607)
gp: K = bnfinit(y^27 - 9*y^26 - 54*y^25 + 780*y^24 - 432*y^23 - 21780*y^22 + 64575*y^21 + 217296*y^20 - 1247445*y^19 + 19374*y^18 + 9433674*y^17 - 12087774*y^16 - 30763836*y^15 + 71593578*y^14 + 34852194*y^13 - 180656406*y^12 + 25262640*y^11 + 232115463*y^10 - 89066520*y^9 - 156750336*y^8 + 67857723*y^7 + 53078022*y^6 - 19125909*y^5 - 7172685*y^4 + 2619018*y^3 + 247698*y^2 - 143370*y + 11607, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^27 - 9*x^26 - 54*x^25 + 780*x^24 - 432*x^23 - 21780*x^22 + 64575*x^21 + 217296*x^20 - 1247445*x^19 + 19374*x^18 + 9433674*x^17 - 12087774*x^16 - 30763836*x^15 + 71593578*x^14 + 34852194*x^13 - 180656406*x^12 + 25262640*x^11 + 232115463*x^10 - 89066520*x^9 - 156750336*x^8 + 67857723*x^7 + 53078022*x^6 - 19125909*x^5 - 7172685*x^4 + 2619018*x^3 + 247698*x^2 - 143370*x + 11607);
oscar: Qx, x = polynomial_ring(QQ); K, a = number_field(x^27 - 9*x^26 - 54*x^25 + 780*x^24 - 432*x^23 - 21780*x^22 + 64575*x^21 + 217296*x^20 - 1247445*x^19 + 19374*x^18 + 9433674*x^17 - 12087774*x^16 - 30763836*x^15 + 71593578*x^14 + 34852194*x^13 - 180656406*x^12 + 25262640*x^11 + 232115463*x^10 - 89066520*x^9 - 156750336*x^8 + 67857723*x^7 + 53078022*x^6 - 19125909*x^5 - 7172685*x^4 + 2619018*x^3 + 247698*x^2 - 143370*x + 11607)
\( x^{27} - 9 x^{26} - 54 x^{25} + 780 x^{24} - 432 x^{23} - 21780 x^{22} + 64575 x^{21} + 217296 x^{20} + \cdots + 11607 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $27$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[27, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(990416614869441993916643712375733691872563640727361\)
\(\medspace = 3^{64}\cdot 19^{16}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(77.40\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $3^{202/81}19^{8/9}\approx 212.09372094764964$ | ||
| Ramified primes: |
\(3\), \(19\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $9$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $\frac{1}{13\!\cdots\!07}a^{26}-\frac{42\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!07}a^{25}-\frac{67\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!07}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!52}{13\!\cdots\!07}a^{23}+\frac{32\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!07}a^{22}-\frac{50\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!07}a^{21}-\frac{64\!\cdots\!14}{13\!\cdots\!07}a^{20}-\frac{52\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!07}a^{19}+\frac{64\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!07}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!07}a^{17}-\frac{95\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!07}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!07}a^{15}+\frac{29\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{30\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!07}a^{13}-\frac{27\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!07}a^{12}-\frac{59\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!07}a^{11}+\frac{79\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!07}a^{10}+\frac{39\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!07}a^{9}+\frac{61\!\cdots\!14}{13\!\cdots\!07}a^{8}-\frac{55\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!07}a^{6}-\frac{34\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{99\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!07}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!07}a^{3}-\frac{24\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{42\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!07}a-\frac{15\!\cdots\!35}{36\!\cdots\!03}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $26$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{16\!\cdots\!13}{96\!\cdots\!99}a^{26}+\frac{15\!\cdots\!94}{96\!\cdots\!99}a^{25}+\frac{88\!\cdots\!76}{96\!\cdots\!99}a^{24}-\frac{13\!\cdots\!84}{96\!\cdots\!99}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!77}{96\!\cdots\!99}a^{22}+\frac{36\!\cdots\!59}{96\!\cdots\!99}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!11}{96\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{34\!\cdots\!70}{96\!\cdots\!99}a^{19}+\frac{22\!\cdots\!68}{96\!\cdots\!99}a^{18}-\frac{43\!\cdots\!05}{96\!\cdots\!99}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!13}{96\!\cdots\!99}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!65}{96\!\cdots\!99}a^{15}+\frac{49\!\cdots\!26}{96\!\cdots\!99}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!98}{96\!\cdots\!99}a^{13}-\frac{39\!\cdots\!27}{96\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{32\!\cdots\!04}{96\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{93\!\cdots\!75}{96\!\cdots\!99}a^{10}-\frac{39\!\cdots\!11}{96\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{21\!\cdots\!86}{96\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{25\!\cdots\!81}{96\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!53}{96\!\cdots\!99}a^{6}-\frac{86\!\cdots\!68}{96\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{42\!\cdots\!78}{96\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!84}{96\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{47\!\cdots\!28}{96\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{80\!\cdots\!26}{96\!\cdots\!99}a+\frac{18\!\cdots\!69}{96\!\cdots\!99}$, $\frac{17\!\cdots\!12}{96\!\cdots\!99}a^{26}+\frac{15\!\cdots\!45}{96\!\cdots\!99}a^{25}+\frac{98\!\cdots\!61}{96\!\cdots\!99}a^{24}-\frac{13\!\cdots\!97}{96\!\cdots\!99}a^{23}+\frac{51\!\cdots\!44}{96\!\cdots\!99}a^{22}+\frac{38\!\cdots\!71}{96\!\cdots\!99}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!48}{96\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{40\!\cdots\!46}{96\!\cdots\!99}a^{19}+\frac{21\!\cdots\!68}{96\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{35\!\cdots\!77}{96\!\cdots\!99}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!39}{96\!\cdots\!99}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!70}{96\!\cdots\!99}a^{15}+\frac{57\!\cdots\!10}{96\!\cdots\!99}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!17}{96\!\cdots\!99}a^{13}-\frac{82\!\cdots\!85}{96\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{30\!\cdots\!02}{96\!\cdots\!99}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!69}{96\!\cdots\!99}a^{10}-\frac{40\!\cdots\!04}{96\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{82\!\cdots\!33}{96\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{28\!\cdots\!85}{96\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{64\!\cdots\!66}{96\!\cdots\!99}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!49}{96\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!06}{96\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!56}{96\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!32}{96\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{69\!\cdots\!24}{96\!\cdots\!99}a+\frac{98\!\cdots\!00}{96\!\cdots\!99}$, $\frac{11\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!07}a^{26}+\frac{65\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!07}a^{25}+\frac{91\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!07}a^{24}-\frac{68\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!07}a^{23}-\frac{22\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!07}a^{22}+\frac{25\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!07}a^{21}+\frac{20\!\cdots\!36}{13\!\cdots\!07}a^{20}-\frac{46\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!07}a^{19}+\frac{68\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!07}a^{18}+\frac{42\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!07}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!07}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!07}a^{15}+\frac{79\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!07}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!88}{13\!\cdots\!07}a^{13}-\frac{28\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!07}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!07}a^{11}+\frac{55\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!07}a^{10}-\frac{46\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!07}a^{9}-\frac{56\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!07}a^{8}+\frac{59\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!07}a^{7}+\frac{28\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!07}a^{6}-\frac{33\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{61\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!07}a^{4}+\frac{73\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!07}a^{3}+\frac{84\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{55\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!07}a+\frac{17\!\cdots\!40}{36\!\cdots\!03}$, $\frac{19\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!07}a^{26}-\frac{16\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!07}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!07}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!07}a^{23}-\frac{33\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!07}a^{22}-\frac{42\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!07}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!07}a^{20}+\frac{45\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!07}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!07}a^{18}-\frac{75\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!07}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!07}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!07}a^{15}-\frac{66\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!07}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!07}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!07}a^{12}-\frac{32\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!07}a^{11}-\frac{62\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!07}a^{10}+\frac{46\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!07}a^{9}-\frac{32\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!07}a^{8}-\frac{35\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!07}a^{7}+\frac{41\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{92\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{22\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!07}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!07}a-\frac{45\!\cdots\!30}{36\!\cdots\!03}$, $\frac{37\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!07}a^{26}+\frac{33\!\cdots\!90}{13\!\cdots\!07}a^{25}+\frac{20\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!07}a^{24}-\frac{28\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!07}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!07}a^{22}+\frac{80\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!07}a^{21}-\frac{23\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!07}a^{20}-\frac{81\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!07}a^{19}+\frac{45\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!07}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!07}a^{17}-\frac{34\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!07}a^{16}+\frac{42\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!07}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{25\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!07}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!07}a^{12}+\frac{64\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!07}a^{11}-\frac{52\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!07}a^{10}-\frac{82\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!07}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!07}a^{8}+\frac{55\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!07}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!07}a^{5}+\frac{39\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!07}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!07}a^{3}-\frac{40\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{98\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!07}a+\frac{42\!\cdots\!27}{36\!\cdots\!03}$, $\frac{94\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!07}a^{26}+\frac{80\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!07}a^{25}+\frac{55\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!07}a^{24}-\frac{71\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!07}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!07}a^{22}+\frac{20\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!07}a^{21}-\frac{49\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!07}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!72}{13\!\cdots\!07}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!07}a^{18}+\frac{60\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!07}a^{17}-\frac{88\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!07}a^{16}+\frac{66\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!07}a^{15}+\frac{34\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{51\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!07}a^{13}-\frac{67\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!07}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!07}a^{11}+\frac{62\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!07}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!07}a^{9}-\frac{25\!\cdots\!52}{13\!\cdots\!07}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!07}a^{7}+\frac{80\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!07}a^{6}-\frac{73\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{49\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!07}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!07}a^{3}+\frac{70\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{60\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!07}a+\frac{15\!\cdots\!81}{36\!\cdots\!03}$, $\frac{19\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!07}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!07}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!07}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!07}a^{23}-\frac{77\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!07}a^{22}-\frac{42\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!07}a^{21}+\frac{12\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!07}a^{20}+\frac{42\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!07}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!07}a^{18}-\frac{40\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!07}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!07}a^{16}-\frac{22\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!07}a^{15}-\frac{59\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!07}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!07}a^{13}+\frac{68\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!07}a^{12}-\frac{33\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!07}a^{11}+\frac{38\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!07}a^{10}+\frac{42\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!07}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!07}a^{8}-\frac{27\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!07}a^{7}+\frac{98\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{85\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{96\!\cdots\!52}{13\!\cdots\!07}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{31\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!07}a-\frac{13\!\cdots\!09}{36\!\cdots\!03}$, $\frac{23\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!07}a^{26}-\frac{20\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!07}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!07}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!07}a^{23}-\frac{34\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!07}a^{22}-\frac{52\!\cdots\!36}{13\!\cdots\!07}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!07}a^{20}+\frac{57\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!07}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!90}{13\!\cdots\!07}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!07}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!07}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!07}a^{15}-\frac{83\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!07}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!07}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!07}a^{12}-\frac{39\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!07}a^{11}-\frac{92\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!07}a^{10}+\frac{56\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!07}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!07}a^{8}-\frac{43\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!07}a^{7}+\frac{33\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{43\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{25\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!07}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!07}a-\frac{44\!\cdots\!75}{36\!\cdots\!03}$, $\frac{11\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!07}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!72}{13\!\cdots\!07}a^{25}+\frac{61\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!07}a^{24}-\frac{92\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!07}a^{23}+\frac{67\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!07}a^{22}+\frac{25\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!07}a^{21}-\frac{80\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!07}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!07}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!07}a^{18}-\frac{32\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!07}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!07}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!14}{13\!\cdots\!07}a^{15}+\frac{31\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{88\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!07}a^{13}-\frac{21\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!07}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!07}a^{11}-\frac{71\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!07}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!07}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!07}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!14}{13\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{94\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!07}a^{6}-\frac{34\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!07}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!07}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!07}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{40\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!07}a+\frac{58\!\cdots\!58}{36\!\cdots\!03}$, $\frac{57\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!07}a^{26}+\frac{54\!\cdots\!90}{13\!\cdots\!07}a^{25}+\frac{28\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!07}a^{24}-\frac{46\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!07}a^{23}+\frac{48\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!07}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!07}a^{21}-\frac{43\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!07}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!07}a^{19}+\frac{77\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!07}a^{18}-\frac{39\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!07}a^{17}-\frac{52\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!07}a^{16}+\frac{96\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!07}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{48\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!07}a^{13}+\frac{28\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!07}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!07}a^{11}-\frac{66\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!07}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!07}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!07}a^{8}+\frac{46\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{66\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!07}a^{6}-\frac{32\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!07}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!07}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{26\!\cdots\!14}{13\!\cdots\!07}a-\frac{20\!\cdots\!18}{36\!\cdots\!03}$, $\frac{42\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!07}a^{26}+\frac{37\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!07}a^{25}+\frac{23\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!07}a^{24}-\frac{32\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!07}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!07}a^{22}+\frac{92\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!07}a^{21}-\frac{25\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!07}a^{20}-\frac{96\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!07}a^{19}+\frac{51\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!07}a^{18}+\frac{79\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!07}a^{17}-\frac{39\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!07}a^{16}+\frac{44\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!07}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{28\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!07}a^{13}-\frac{19\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!07}a^{12}+\frac{73\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!07}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!07}a^{10}-\frac{97\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!07}a^{9}+\frac{21\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!07}a^{8}+\frac{69\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!07}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!07}a^{5}+\frac{35\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!07}a^{4}+\frac{35\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!07}a^{3}-\frac{44\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!07}a+\frac{67\!\cdots\!28}{36\!\cdots\!03}$, $\frac{60\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!07}a^{26}+\frac{59\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!07}a^{25}+\frac{28\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!07}a^{24}-\frac{49\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!07}a^{23}+\frac{61\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!07}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!07}a^{21}-\frac{48\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!07}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!07}a^{19}+\frac{84\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!07}a^{18}-\frac{57\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!07}a^{17}-\frac{56\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!07}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!07}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{55\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!07}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!07}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!07}a^{11}-\frac{89\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!07}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!07}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!07}a^{8}+\frac{43\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{85\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!07}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{22\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!07}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!90}{13\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{26\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!07}a-\frac{12\!\cdots\!36}{36\!\cdots\!03}$, $\frac{27\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!07}a^{26}+\frac{24\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!07}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!07}a^{24}-\frac{21\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!07}a^{23}+\frac{75\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!07}a^{22}+\frac{60\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!07}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!36}{13\!\cdots\!07}a^{20}-\frac{63\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!07}a^{19}+\frac{33\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!07}a^{18}+\frac{65\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!07}a^{17}-\frac{26\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!07}a^{16}+\frac{28\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!07}a^{15}+\frac{92\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!07}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!07}a^{12}+\frac{47\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!07}a^{11}+\frac{32\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!07}a^{10}-\frac{65\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!07}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!07}a^{8}+\frac{47\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{97\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!07}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!07}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!07}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!07}a^{3}-\frac{30\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!07}a+\frac{53\!\cdots\!38}{36\!\cdots\!03}$, $\frac{59\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!07}a^{26}-\frac{52\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!07}a^{25}-\frac{33\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!07}a^{24}+\frac{45\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!07}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!07}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!07}a^{21}+\frac{35\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!07}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!07}a^{19}-\frac{71\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!07}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!07}a^{17}+\frac{56\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!07}a^{16}-\frac{59\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!07}a^{15}-\frac{20\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!07}a^{14}+\frac{38\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!07}a^{13}+\frac{30\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!07}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!07}a^{11}-\frac{94\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!07}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!07}a^{9}-\frac{21\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!07}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!07}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{39\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{45\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{60\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!07}a^{3}+\frac{66\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{32\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!07}a-\frac{12\!\cdots\!68}{36\!\cdots\!03}$, 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$\frac{92\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!07}a^{26}+\frac{78\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!07}a^{25}+\frac{53\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!07}a^{24}-\frac{69\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!07}a^{23}+\frac{59\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!07}a^{22}+\frac{20\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!07}a^{21}-\frac{50\!\cdots\!72}{13\!\cdots\!07}a^{20}-\frac{22\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!07}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!07}a^{18}+\frac{52\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!07}a^{17}-\frac{87\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!07}a^{16}+\frac{71\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!07}a^{15}+\frac{33\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{53\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!07}a^{13}-\frac{62\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!07}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!07}a^{11}+\frac{51\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!07}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!07}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!07}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{33\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!07}a^{6}-\frac{73\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{54\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!07}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!52}{13\!\cdots\!07}a^{3}-\frac{45\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{66\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!07}a+\frac{20\!\cdots\!52}{36\!\cdots\!03}$, $\frac{34\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!07}a^{26}-\frac{30\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!07}a^{25}-\frac{18\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!07}a^{24}+\frac{26\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!07}a^{23}-\frac{12\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!07}a^{22}-\frac{75\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!07}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!07}a^{20}+\frac{76\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!07}a^{19}-\frac{42\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!07}a^{18}-\frac{28\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!07}a^{17}+\frac{32\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!07}a^{16}-\frac{38\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!07}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!07}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!07}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!07}a^{12}-\frac{60\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!07}a^{11}+\frac{33\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!07}a^{10}+\frac{78\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!07}a^{9}-\frac{22\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!07}a^{8}-\frac{54\!\cdots\!36}{13\!\cdots\!07}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{39\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{27\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!07}a^{3}+\frac{45\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!07}a-\frac{59\!\cdots\!99}{36\!\cdots\!03}$, $\frac{40\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!07}a^{26}-\frac{36\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!07}a^{25}-\frac{21\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!07}a^{24}+\frac{31\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!07}a^{23}-\frac{23\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!07}a^{22}-\frac{87\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!07}a^{21}+\frac{27\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!07}a^{20}+\frac{81\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!07}a^{19}-\frac{51\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!07}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!07}a^{17}+\frac{37\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!07}a^{16}-\frac{55\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!07}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!07}a^{14}+\frac{30\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!07}a^{13}+\frac{75\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!07}a^{12}-\frac{70\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!07}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!07}a^{10}+\frac{82\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!07}a^{9}-\frac{47\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!07}a^{8}-\frac{46\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!07}a^{7}+\frac{30\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{66\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{67\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!07}a^{3}+\frac{50\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{33\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!07}a-\frac{54\!\cdots\!15}{36\!\cdots\!03}$, $\frac{71\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!07}a^{26}-\frac{64\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!07}a^{25}-\frac{38\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!07}a^{24}+\frac{55\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!07}a^{23}-\frac{32\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!07}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!07}a^{21}+\frac{46\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!07}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!07}a^{19}-\frac{88\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!07}a^{18}+\frac{48\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!07}a^{17}+\frac{66\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!07}a^{16}-\frac{87\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!07}a^{15}-\frac{20\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!07}a^{14}+\frac{50\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!07}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!07}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!07}a^{11}+\frac{22\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!07}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!07}a^{9}-\frac{62\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!07}a^{8}-\frac{93\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!07}a^{7}+\frac{41\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{27\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{84\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{26\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!07}a^{3}+\frac{70\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{51\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!07}a-\frac{34\!\cdots\!43}{36\!\cdots\!03}$, $\frac{43\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!07}a^{26}-\frac{34\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!07}a^{25}-\frac{26\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!07}a^{24}+\frac{31\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!07}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!07}a^{22}-\frac{96\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!07}a^{21}+\frac{19\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!07}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!07}a^{19}-\frac{46\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!07}a^{18}-\frac{50\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!07}a^{17}+\frac{42\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!07}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!07}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!07}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!07}a^{13}+\frac{46\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!07}a^{12}-\frac{75\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!07}a^{11}-\frac{59\!\cdots\!90}{13\!\cdots\!07}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!07}a^{9}+\frac{38\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!07}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{89\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{60\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!07}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{80\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!07}a-\frac{33\!\cdots\!40}{36\!\cdots\!03}$, $\frac{16\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!07}a^{26}-\frac{14\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!07}a^{25}-\frac{86\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!07}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!07}a^{23}-\frac{71\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!07}a^{22}-\frac{34\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!07}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!07}a^{20}+\frac{34\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!07}a^{19}-\frac{19\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!07}a^{18}+\frac{92\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!07}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!07}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!07}a^{15}-\frac{47\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!07}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!07}a^{13}+\frac{49\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!07}a^{12}-\frac{27\!\cdots\!36}{13\!\cdots\!07}a^{11}+\frac{47\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!07}a^{10}+\frac{34\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!07}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!07}a^{8}-\frac{21\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!07}a^{7}+\frac{94\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{67\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{74\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!07}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!07}a-\frac{13\!\cdots\!18}{36\!\cdots\!03}$, $\frac{22\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!07}a^{26}+\frac{21\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!07}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!07}a^{24}-\frac{18\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!07}a^{23}+\frac{19\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!07}a^{22}+\frac{47\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!07}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!07}a^{20}-\frac{39\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!07}a^{19}+\frac{30\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!07}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!07}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!07}a^{16}+\frac{38\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!07}a^{15}+\frac{49\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!07}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!07}a^{12}+\frac{41\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!07}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!07}a^{10}-\frac{41\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!07}a^{9}+\frac{44\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!07}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{27\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!07}a^{6}-\frac{93\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!07}a^{5}+\frac{61\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{95\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!07}a^{3}-\frac{40\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!07}a-\frac{20\!\cdots\!13}{36\!\cdots\!03}$, $\frac{18\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!07}a^{26}-\frac{15\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!07}a^{25}-\frac{99\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!07}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!07}a^{23}-\frac{59\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!07}a^{22}-\frac{39\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!07}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!07}a^{20}+\frac{40\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!07}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!07}a^{18}-\frac{24\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!07}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!07}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!07}a^{15}-\frac{57\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!07}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!07}a^{13}+\frac{77\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!07}a^{12}-\frac{30\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!07}a^{11}+\frac{45\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!07}a^{10}+\frac{40\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!07}a^{9}-\frac{99\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!07}a^{8}-\frac{28\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!07}a^{7}+\frac{74\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{97\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!07}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{59\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!07}a-\frac{22\!\cdots\!62}{36\!\cdots\!03}$, $\frac{17\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!07}a^{26}-\frac{15\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!07}a^{25}-\frac{93\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!07}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!07}a^{23}-\frac{68\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!07}a^{22}-\frac{37\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!07}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!07}a^{20}+\frac{37\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!07}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!07}a^{18}-\frac{41\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!07}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!07}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!07}a^{15}-\frac{52\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!07}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!07}a^{13}+\frac{62\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!07}a^{12}-\frac{29\!\cdots\!72}{13\!\cdots\!07}a^{11}+\frac{31\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!07}a^{10}+\frac{37\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!07}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!07}a^{8}-\frac{25\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!07}a^{7}+\frac{89\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{83\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!07}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{46\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!07}a-\frac{19\!\cdots\!99}{36\!\cdots\!03}$, $\frac{32\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!07}a^{26}+\frac{28\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!07}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!07}a^{24}-\frac{25\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!07}a^{23}+\frac{84\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!07}a^{22}+\frac{71\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!07}a^{21}-\frac{19\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!07}a^{20}-\frac{75\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!07}a^{19}+\frac{39\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!07}a^{18}+\frac{84\!\cdots\!36}{13\!\cdots\!07}a^{17}-\frac{30\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!07}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!07}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{21\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!07}a^{13}-\frac{16\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!07}a^{12}+\frac{55\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!07}a^{11}+\frac{46\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!07}a^{10}-\frac{76\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!07}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!07}a^{8}+\frac{55\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!07}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!07}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!07}a^{4}+\frac{30\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!07}a^{3}-\frac{31\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!07}a+\frac{57\!\cdots\!54}{36\!\cdots\!03}$, $\frac{83\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!07}a^{26}+\frac{76\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!07}a^{25}+\frac{43\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!07}a^{24}-\frac{66\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!07}a^{23}+\frac{47\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!07}a^{22}+\frac{18\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!07}a^{21}-\frac{57\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!07}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!07}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!07}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!07}a^{17}-\frac{78\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!07}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!07}a^{15}+\frac{23\!\cdots\!72}{13\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{62\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!07}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!07}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!07}a^{11}-\frac{43\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!07}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!07}a^{9}+\frac{93\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!07}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!07}a^{7}-\frac{60\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!07}a^{6}-\frac{30\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!07}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!07}a^{4}+\frac{33\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!07}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!07}a+\frac{83\!\cdots\!85}{36\!\cdots\!03}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 129312577589579410 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 129312577589579410 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{990416614869441993916643712375733691872563640727361}}\cr\approx \mathstrut & 0.275747572067350 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 9*x^26 - 54*x^25 + 780*x^24 - 432*x^23 - 21780*x^22 + 64575*x^21 + 217296*x^20 - 1247445*x^19 + 19374*x^18 + 9433674*x^17 - 12087774*x^16 - 30763836*x^15 + 71593578*x^14 + 34852194*x^13 - 180656406*x^12 + 25262640*x^11 + 232115463*x^10 - 89066520*x^9 - 156750336*x^8 + 67857723*x^7 + 53078022*x^6 - 19125909*x^5 - 7172685*x^4 + 2619018*x^3 + 247698*x^2 - 143370*x + 11607)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^27 - 9*x^26 - 54*x^25 + 780*x^24 - 432*x^23 - 21780*x^22 + 64575*x^21 + 217296*x^20 - 1247445*x^19 + 19374*x^18 + 9433674*x^17 - 12087774*x^16 - 30763836*x^15 + 71593578*x^14 + 34852194*x^13 - 180656406*x^12 + 25262640*x^11 + 232115463*x^10 - 89066520*x^9 - 156750336*x^8 + 67857723*x^7 + 53078022*x^6 - 19125909*x^5 - 7172685*x^4 + 2619018*x^3 + 247698*x^2 - 143370*x + 11607, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^27 - 9*x^26 - 54*x^25 + 780*x^24 - 432*x^23 - 21780*x^22 + 64575*x^21 + 217296*x^20 - 1247445*x^19 + 19374*x^18 + 9433674*x^17 - 12087774*x^16 - 30763836*x^15 + 71593578*x^14 + 34852194*x^13 - 180656406*x^12 + 25262640*x^11 + 232115463*x^10 - 89066520*x^9 - 156750336*x^8 + 67857723*x^7 + 53078022*x^6 - 19125909*x^5 - 7172685*x^4 + 2619018*x^3 + 247698*x^2 - 143370*x + 11607);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 9*x^26 - 54*x^25 + 780*x^24 - 432*x^23 - 21780*x^22 + 64575*x^21 + 217296*x^20 - 1247445*x^19 + 19374*x^18 + 9433674*x^17 - 12087774*x^16 - 30763836*x^15 + 71593578*x^14 + 34852194*x^13 - 180656406*x^12 + 25262640*x^11 + 232115463*x^10 - 89066520*x^9 - 156750336*x^8 + 67857723*x^7 + 53078022*x^6 - 19125909*x^5 - 7172685*x^4 + 2619018*x^3 + 247698*x^2 - 143370*x + 11607);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$C_9^2:C_3$ (as 27T108):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A solvable group of order 243 |
| The 35 conjugacy class representatives for $C_9^2:C_3$ |
| Character table for $C_9^2:C_3$ |
Intermediate fields
| \(\Q(\zeta_{9})^+\), 9.9.5609891727441.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 27 siblings: | data not computed |
| Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | ${\href{/padicField/2.9.0.1}{9} }^{3}$ | R | ${\href{/padicField/5.3.0.1}{3} }^{9}$ | ${\href{/padicField/7.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/11.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/13.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/17.3.0.1}{3} }^{3}$ | R | ${\href{/padicField/23.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/29.3.0.1}{3} }^{9}$ | ${\href{/padicField/31.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/37.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/41.3.0.1}{3} }^{9}$ | ${\href{/padicField/43.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/47.3.0.1}{3} }^{9}$ | ${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/53.1.0.1}{1} }^{9}$ | ${\href{/padicField/59.3.0.1}{3} }^{9}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(3\)
| Deg $27$ | $27$ | $1$ | $64$ | |||
|
\(19\)
| 19.9.8.4 | $x^{9} + 114$ | $9$ | $1$ | $8$ | $C_9$ | $[\ ]_{9}$ |
| 19.9.0.1 | $x^{9} + 11 x^{3} + 14 x^{2} + 16 x + 17$ | $1$ | $9$ | $0$ | $C_9$ | $[\ ]^{9}$ | |
| 19.9.8.2 | $x^{9} + 57$ | $9$ | $1$ | $8$ | $C_9$ | $[\ ]_{9}$ |