Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 99*x^25 - 48*x^24 + 3753*x^23 + 3249*x^22 - 69339*x^21 - 74286*x^20 + 682488*x^19 + 723114*x^18 - 3915387*x^17 - 3437613*x^16 + 14011512*x^15 + 8318637*x^14 - 32171256*x^13 - 8873247*x^12 + 46716687*x^11 - 1132533*x^10 - 40329039*x^9 + 11719143*x^8 + 17687556*x^7 - 9949521*x^6 - 1946151*x^5 + 2657682*x^4 - 673626*x^3 + 45486*x^2 + 3249*x - 361)
gp: K = bnfinit(y^27 - 99*y^25 - 48*y^24 + 3753*y^23 + 3249*y^22 - 69339*y^21 - 74286*y^20 + 682488*y^19 + 723114*y^18 - 3915387*y^17 - 3437613*y^16 + 14011512*y^15 + 8318637*y^14 - 32171256*y^13 - 8873247*y^12 + 46716687*y^11 - 1132533*y^10 - 40329039*y^9 + 11719143*y^8 + 17687556*y^7 - 9949521*y^6 - 1946151*y^5 + 2657682*y^4 - 673626*y^3 + 45486*y^2 + 3249*y - 361, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^27 - 99*x^25 - 48*x^24 + 3753*x^23 + 3249*x^22 - 69339*x^21 - 74286*x^20 + 682488*x^19 + 723114*x^18 - 3915387*x^17 - 3437613*x^16 + 14011512*x^15 + 8318637*x^14 - 32171256*x^13 - 8873247*x^12 + 46716687*x^11 - 1132533*x^10 - 40329039*x^9 + 11719143*x^8 + 17687556*x^7 - 9949521*x^6 - 1946151*x^5 + 2657682*x^4 - 673626*x^3 + 45486*x^2 + 3249*x - 361);
oscar: Qx, x = polynomial_ring(QQ); K, a = number_field(x^27 - 99*x^25 - 48*x^24 + 3753*x^23 + 3249*x^22 - 69339*x^21 - 74286*x^20 + 682488*x^19 + 723114*x^18 - 3915387*x^17 - 3437613*x^16 + 14011512*x^15 + 8318637*x^14 - 32171256*x^13 - 8873247*x^12 + 46716687*x^11 - 1132533*x^10 - 40329039*x^9 + 11719143*x^8 + 17687556*x^7 - 9949521*x^6 - 1946151*x^5 + 2657682*x^4 - 673626*x^3 + 45486*x^2 + 3249*x - 361)
\( x^{27} - 99 x^{25} - 48 x^{24} + 3753 x^{23} + 3249 x^{22} - 69339 x^{21} - 74286 x^{20} + 682488 x^{19} + \cdots - 361 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $27$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[27, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(990416614869441993916643712375733691872563640727361\)
\(\medspace = 3^{64}\cdot 19^{16}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(77.40\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $3^{202/81}19^{8/9}\approx 212.09372094764964$ | ||
| Ramified primes: |
\(3\), \(19\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $9$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $\frac{1}{19}a^{18}-\frac{4}{19}a^{16}+\frac{9}{19}a^{15}-\frac{9}{19}a^{14}-\frac{8}{19}a^{12}+\frac{4}{19}a^{11}+\frac{8}{19}a^{10}-\frac{7}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{19}-\frac{4}{19}a^{17}+\frac{9}{19}a^{16}-\frac{9}{19}a^{15}-\frac{8}{19}a^{13}+\frac{4}{19}a^{12}+\frac{8}{19}a^{11}-\frac{7}{19}a^{10}$, $\frac{1}{19}a^{20}+\frac{9}{19}a^{17}-\frac{6}{19}a^{16}-\frac{2}{19}a^{15}-\frac{6}{19}a^{14}+\frac{4}{19}a^{13}-\frac{5}{19}a^{12}+\frac{9}{19}a^{11}-\frac{6}{19}a^{10}-\frac{9}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{21}-\frac{6}{19}a^{17}-\frac{4}{19}a^{16}+\frac{8}{19}a^{15}+\frac{9}{19}a^{14}-\frac{5}{19}a^{13}+\frac{5}{19}a^{12}-\frac{4}{19}a^{11}-\frac{5}{19}a^{10}+\frac{6}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{22}-\frac{4}{19}a^{17}+\frac{3}{19}a^{16}+\frac{6}{19}a^{15}-\frac{2}{19}a^{14}+\frac{5}{19}a^{13}+\frac{5}{19}a^{12}-\frac{3}{19}a^{10}-\frac{4}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{23}+\frac{3}{19}a^{17}+\frac{9}{19}a^{16}-\frac{4}{19}a^{15}+\frac{7}{19}a^{14}+\frac{5}{19}a^{13}+\frac{6}{19}a^{12}-\frac{6}{19}a^{11}+\frac{9}{19}a^{10}-\frac{9}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{24}+\frac{9}{19}a^{17}+\frac{8}{19}a^{16}-\frac{1}{19}a^{15}-\frac{6}{19}a^{14}+\frac{6}{19}a^{13}-\frac{1}{19}a^{12}-\frac{3}{19}a^{11}+\frac{5}{19}a^{10}+\frac{2}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{25}+\frac{8}{19}a^{17}-\frac{3}{19}a^{16}+\frac{8}{19}a^{15}-\frac{8}{19}a^{14}-\frac{1}{19}a^{13}-\frac{7}{19}a^{12}+\frac{7}{19}a^{11}+\frac{6}{19}a^{10}+\frac{6}{19}a^{9}$, $\frac{1}{72\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!96}{72\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{22\!\cdots\!24}{72\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!74}{72\!\cdots\!79}a^{23}+\frac{18\!\cdots\!64}{72\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{99\!\cdots\!44}{72\!\cdots\!79}a^{21}-\frac{50\!\cdots\!08}{72\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!89}{72\!\cdots\!79}a^{19}+\frac{94\!\cdots\!37}{72\!\cdots\!79}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!99}{72\!\cdots\!79}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!03}{72\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{27\!\cdots\!34}{72\!\cdots\!79}a^{15}+\frac{21\!\cdots\!91}{72\!\cdots\!79}a^{14}-\frac{32\!\cdots\!07}{72\!\cdots\!79}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!00}{72\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{18\!\cdots\!25}{72\!\cdots\!79}a^{11}+\frac{39\!\cdots\!09}{72\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{96\!\cdots\!15}{72\!\cdots\!79}a^{9}-\frac{45\!\cdots\!92}{37\!\cdots\!41}a^{8}+\frac{17\!\cdots\!22}{37\!\cdots\!41}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!25}{37\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{73\!\cdots\!64}{37\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!39}{37\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{35\!\cdots\!66}{37\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!17}{37\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!91}{37\!\cdots\!41}a-\frac{22\!\cdots\!79}{37\!\cdots\!41}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $26$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{13\!\cdots\!10}{20\!\cdots\!07}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!07}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!04}{20\!\cdots\!07}a^{24}+\frac{17\!\cdots\!53}{20\!\cdots\!07}a^{23}-\frac{47\!\cdots\!18}{20\!\cdots\!07}a^{22}-\frac{82\!\cdots\!05}{20\!\cdots\!07}a^{21}+\frac{84\!\cdots\!78}{20\!\cdots\!07}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!07}a^{19}-\frac{75\!\cdots\!71}{20\!\cdots\!07}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!76}{20\!\cdots\!07}a^{17}+\frac{38\!\cdots\!17}{20\!\cdots\!07}a^{16}+\frac{77\!\cdots\!74}{20\!\cdots\!07}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!69}{20\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{21\!\cdots\!45}{20\!\cdots\!07}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!85}{20\!\cdots\!07}a^{12}+\frac{33\!\cdots\!12}{20\!\cdots\!07}a^{11}-\frac{34\!\cdots\!96}{20\!\cdots\!07}a^{10}-\frac{28\!\cdots\!63}{20\!\cdots\!07}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!09}{10\!\cdots\!53}a^{8}+\frac{57\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!53}a^{7}-\frac{79\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!53}a^{6}+\frac{21\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!54}{10\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{45\!\cdots\!65}{10\!\cdots\!53}a^{3}+\frac{26\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!53}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!53}a-\frac{18\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!53}$, $\frac{23\!\cdots\!47}{20\!\cdots\!07}a^{26}+\frac{17\!\cdots\!47}{20\!\cdots\!07}a^{25}-\frac{23\!\cdots\!58}{20\!\cdots\!07}a^{24}-\frac{28\!\cdots\!79}{20\!\cdots\!07}a^{23}+\frac{87\!\cdots\!39}{20\!\cdots\!07}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!18}{20\!\cdots\!07}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!07}a^{20}-\frac{28\!\cdots\!98}{20\!\cdots\!07}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!56}{20\!\cdots\!07}a^{18}+\frac{27\!\cdots\!25}{20\!\cdots\!07}a^{17}-\frac{73\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!07}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!02}{20\!\cdots\!07}a^{15}+\frac{23\!\cdots\!07}{20\!\cdots\!07}a^{14}+\frac{36\!\cdots\!07}{20\!\cdots\!07}a^{13}-\frac{49\!\cdots\!42}{20\!\cdots\!07}a^{12}-\frac{55\!\cdots\!31}{20\!\cdots\!07}a^{11}+\frac{69\!\cdots\!65}{20\!\cdots\!07}a^{10}+\frac{45\!\cdots\!05}{20\!\cdots\!07}a^{9}-\frac{32\!\cdots\!31}{10\!\cdots\!53}a^{8}-\frac{76\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!53}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!53}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!53}a^{5}-\frac{30\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!53}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!53}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!85}{10\!\cdots\!53}a^{2}-\frac{43\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!53}a+\frac{83\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!53}$, $\frac{40\!\cdots\!61}{59\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{31\!\cdots\!93}{59\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{39\!\cdots\!31}{59\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{50\!\cdots\!65}{59\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{77\!\cdots\!68}{31\!\cdots\!63}a^{22}-\frac{24\!\cdots\!28}{59\!\cdots\!97}a^{21}+\frac{26\!\cdots\!30}{59\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{26\!\cdots\!46}{31\!\cdots\!63}a^{19}-\frac{23\!\cdots\!90}{59\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{47\!\cdots\!25}{59\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!78}{59\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!50}{59\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{38\!\cdots\!64}{59\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{63\!\cdots\!77}{59\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{80\!\cdots\!98}{59\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{97\!\cdots\!33}{59\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!02}{59\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{81\!\cdots\!51}{59\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{51\!\cdots\!45}{31\!\cdots\!63}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!02}{31\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{25\!\cdots\!35}{31\!\cdots\!63}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!25}{31\!\cdots\!63}a^{5}+\frac{50\!\cdots\!16}{31\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{17\!\cdots\!20}{31\!\cdots\!63}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!05}{31\!\cdots\!63}a^{2}+\frac{78\!\cdots\!30}{31\!\cdots\!63}a-\frac{11\!\cdots\!13}{31\!\cdots\!63}$, $\frac{70\!\cdots\!55}{59\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{21\!\cdots\!69}{31\!\cdots\!63}a^{25}+\frac{69\!\cdots\!66}{59\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{73\!\cdots\!34}{59\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{25\!\cdots\!12}{59\!\cdots\!97}a^{22}-\frac{37\!\cdots\!42}{59\!\cdots\!97}a^{21}+\frac{46\!\cdots\!14}{59\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{78\!\cdots\!85}{59\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{43\!\cdots\!93}{59\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{74\!\cdots\!05}{59\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!08}{59\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{36\!\cdots\!50}{59\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{75\!\cdots\!26}{59\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{51\!\cdots\!31}{31\!\cdots\!63}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!95}{59\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!52}{59\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!75}{59\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!32}{59\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!62}{31\!\cdots\!63}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!54}{31\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{51\!\cdots\!68}{31\!\cdots\!63}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!37}{31\!\cdots\!63}a^{5}+\frac{94\!\cdots\!93}{31\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{46\!\cdots\!05}{31\!\cdots\!63}a^{3}+\frac{60\!\cdots\!12}{31\!\cdots\!63}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!40}{31\!\cdots\!63}a-\frac{44\!\cdots\!77}{31\!\cdots\!63}$, $\frac{16\!\cdots\!99}{59\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{68\!\cdots\!71}{59\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{16\!\cdots\!89}{59\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{14\!\cdots\!96}{59\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{60\!\cdots\!07}{59\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{78\!\cdots\!78}{59\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!52}{59\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!33}{59\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!62}{59\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!99}{59\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{55\!\cdots\!83}{59\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{77\!\cdots\!65}{59\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!68}{31\!\cdots\!63}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!76}{59\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{42\!\cdots\!09}{59\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{29\!\cdots\!66}{59\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{60\!\cdots\!17}{59\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{19\!\cdots\!57}{59\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{27\!\cdots\!83}{31\!\cdots\!63}a^{8}+\frac{89\!\cdots\!85}{31\!\cdots\!63}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!98}{31\!\cdots\!63}a^{6}-\frac{36\!\cdots\!01}{31\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!83}{31\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!80}{31\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!56}{31\!\cdots\!63}a^{2}-\frac{24\!\cdots\!17}{31\!\cdots\!63}a+\frac{14\!\cdots\!85}{31\!\cdots\!63}$, $\frac{11\!\cdots\!45}{59\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{89\!\cdots\!61}{59\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!83}{59\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!14}{59\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{43\!\cdots\!06}{59\!\cdots\!97}a^{22}-\frac{71\!\cdots\!93}{59\!\cdots\!97}a^{21}+\frac{77\!\cdots\!25}{59\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!67}{59\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{70\!\cdots\!61}{59\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!04}{59\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{36\!\cdots\!27}{59\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{67\!\cdots\!31}{59\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!68}{59\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{96\!\cdots\!63}{31\!\cdots\!63}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!07}{59\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{28\!\cdots\!14}{59\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{33\!\cdots\!97}{59\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{23\!\cdots\!51}{59\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!58}{31\!\cdots\!63}a^{8}+\frac{41\!\cdots\!58}{31\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{76\!\cdots\!26}{31\!\cdots\!63}a^{6}+\frac{58\!\cdots\!98}{31\!\cdots\!63}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!90}{31\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{53\!\cdots\!01}{31\!\cdots\!63}a^{3}+\frac{48\!\cdots\!99}{31\!\cdots\!63}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!22}{31\!\cdots\!63}a-\frac{35\!\cdots\!57}{31\!\cdots\!63}$, $\frac{88\!\cdots\!56}{72\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{76\!\cdots\!87}{72\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{86\!\cdots\!11}{72\!\cdots\!79}a^{24}-\frac{11\!\cdots\!93}{72\!\cdots\!79}a^{23}+\frac{32\!\cdots\!58}{72\!\cdots\!79}a^{22}+\frac{56\!\cdots\!07}{72\!\cdots\!79}a^{21}-\frac{56\!\cdots\!85}{72\!\cdots\!79}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!42}{72\!\cdots\!79}a^{19}+\frac{50\!\cdots\!69}{72\!\cdots\!79}a^{18}+\frac{57\!\cdots\!09}{37\!\cdots\!41}a^{17}-\frac{25\!\cdots\!30}{72\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{53\!\cdots\!11}{72\!\cdots\!79}a^{15}+\frac{79\!\cdots\!51}{72\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!09}{72\!\cdots\!79}a^{13}-\frac{16\!\cdots\!86}{72\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!29}{72\!\cdots\!79}a^{11}+\frac{22\!\cdots\!04}{72\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!87}{37\!\cdots\!41}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!83}{37\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{41\!\cdots\!16}{37\!\cdots\!41}a^{7}+\frac{51\!\cdots\!68}{37\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{99\!\cdots\!66}{37\!\cdots\!41}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!36}{37\!\cdots\!41}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!23}{37\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!33}{37\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!49}{37\!\cdots\!41}a+\frac{11\!\cdots\!55}{37\!\cdots\!41}$, $\frac{10\!\cdots\!91}{72\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{52\!\cdots\!13}{72\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!41}{72\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{46\!\cdots\!59}{72\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{40\!\cdots\!71}{72\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{33\!\cdots\!95}{72\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{39\!\cdots\!84}{37\!\cdots\!41}a^{20}+\frac{77\!\cdots\!73}{72\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{75\!\cdots\!11}{72\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{76\!\cdots\!11}{72\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{43\!\cdots\!20}{72\!\cdots\!79}a^{16}+\frac{36\!\cdots\!83}{72\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!75}{72\!\cdots\!79}a^{14}-\frac{89\!\cdots\!05}{72\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{36\!\cdots\!47}{72\!\cdots\!79}a^{12}+\frac{99\!\cdots\!57}{72\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{53\!\cdots\!48}{72\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{23\!\cdots\!55}{37\!\cdots\!41}a^{9}+\frac{24\!\cdots\!34}{37\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{62\!\cdots\!80}{37\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!14}{37\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{55\!\cdots\!47}{37\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!69}{37\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!20}{37\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{27\!\cdots\!79}{37\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{80\!\cdots\!35}{37\!\cdots\!41}a-\frac{21\!\cdots\!22}{37\!\cdots\!41}$, $\frac{57\!\cdots\!94}{72\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!28}{72\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{56\!\cdots\!45}{72\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{45\!\cdots\!89}{72\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{21\!\cdots\!36}{72\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{25\!\cdots\!12}{72\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{38\!\cdots\!41}{72\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{54\!\cdots\!71}{72\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{37\!\cdots\!85}{72\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{52\!\cdots\!45}{72\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!36}{72\!\cdots\!79}a^{16}+\frac{25\!\cdots\!87}{72\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{71\!\cdots\!92}{72\!\cdots\!79}a^{14}-\frac{67\!\cdots\!14}{72\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!62}{72\!\cdots\!79}a^{12}+\frac{94\!\cdots\!97}{72\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!19}{72\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{55\!\cdots\!75}{72\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!67}{37\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{68\!\cdots\!76}{37\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{50\!\cdots\!48}{37\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!18}{37\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{85\!\cdots\!11}{37\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{55\!\cdots\!80}{37\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{83\!\cdots\!36}{37\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!87}{37\!\cdots\!41}a-\frac{61\!\cdots\!63}{37\!\cdots\!41}$, $\frac{17\!\cdots\!95}{72\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!71}{72\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!81}{72\!\cdots\!79}a^{24}-\frac{20\!\cdots\!61}{72\!\cdots\!79}a^{23}+\frac{63\!\cdots\!70}{72\!\cdots\!79}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!51}{72\!\cdots\!79}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!22}{72\!\cdots\!79}a^{20}-\frac{21\!\cdots\!96}{72\!\cdots\!79}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!64}{72\!\cdots\!79}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!81}{72\!\cdots\!79}a^{17}-\frac{53\!\cdots\!77}{72\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{98\!\cdots\!78}{72\!\cdots\!79}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!12}{72\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{26\!\cdots\!18}{72\!\cdots\!79}a^{13}-\frac{36\!\cdots\!91}{72\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{40\!\cdots\!03}{72\!\cdots\!79}a^{11}+\frac{50\!\cdots\!47}{72\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{33\!\cdots\!77}{72\!\cdots\!79}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!96}{37\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{55\!\cdots\!80}{37\!\cdots\!41}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!27}{37\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!16}{37\!\cdots\!41}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!09}{37\!\cdots\!41}a^{4}+\frac{84\!\cdots\!51}{37\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{85\!\cdots\!43}{37\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{31\!\cdots\!28}{37\!\cdots\!41}a+\frac{63\!\cdots\!98}{37\!\cdots\!41}$, $\frac{33\!\cdots\!91}{37\!\cdots\!41}a^{26}+\frac{42\!\cdots\!51}{72\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{33\!\cdots\!58}{37\!\cdots\!41}a^{24}-\frac{72\!\cdots\!76}{72\!\cdots\!79}a^{23}+\frac{23\!\cdots\!22}{72\!\cdots\!79}a^{22}+\frac{36\!\cdots\!46}{72\!\cdots\!79}a^{21}-\frac{41\!\cdots\!82}{72\!\cdots\!79}a^{20}-\frac{74\!\cdots\!28}{72\!\cdots\!79}a^{19}+\frac{38\!\cdots\!64}{72\!\cdots\!79}a^{18}+\frac{71\!\cdots\!81}{72\!\cdots\!79}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!88}{72\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{34\!\cdots\!56}{72\!\cdots\!79}a^{15}+\frac{65\!\cdots\!15}{72\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{94\!\cdots\!63}{72\!\cdots\!79}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!82}{72\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!30}{72\!\cdots\!79}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!81}{72\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!09}{72\!\cdots\!79}a^{9}-\frac{90\!\cdots\!58}{37\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!55}{37\!\cdots\!41}a^{7}+\frac{44\!\cdots\!82}{37\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{57\!\cdots\!82}{37\!\cdots\!41}a^{5}-\frac{84\!\cdots\!05}{37\!\cdots\!41}a^{4}+\frac{34\!\cdots\!88}{37\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{38\!\cdots\!14}{37\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!28}{37\!\cdots\!41}a+\frac{28\!\cdots\!85}{37\!\cdots\!41}$, $\frac{88\!\cdots\!87}{72\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{80\!\cdots\!05}{72\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{95\!\cdots\!86}{72\!\cdots\!79}a^{24}-\frac{39\!\cdots\!51}{37\!\cdots\!41}a^{23}-\frac{44\!\cdots\!22}{72\!\cdots\!79}a^{22}+\frac{26\!\cdots\!65}{72\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!88}{72\!\cdots\!79}a^{20}-\frac{43\!\cdots\!22}{72\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{17\!\cdots\!11}{72\!\cdots\!79}a^{18}+\frac{37\!\cdots\!88}{72\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!72}{72\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!31}{72\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{62\!\cdots\!71}{72\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{57\!\cdots\!78}{72\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!91}{72\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!72}{72\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{25\!\cdots\!78}{72\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!64}{72\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!89}{37\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{85\!\cdots\!83}{37\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{52\!\cdots\!53}{37\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{45\!\cdots\!58}{37\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{54\!\cdots\!36}{37\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!88}{37\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{20\!\cdots\!60}{37\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!84}{37\!\cdots\!41}a-\frac{17\!\cdots\!36}{37\!\cdots\!41}$, $\frac{16\!\cdots\!24}{72\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{15\!\cdots\!12}{72\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!04}{72\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{22\!\cdots\!74}{72\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{58\!\cdots\!83}{72\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!02}{72\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!86}{72\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!48}{37\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{47\!\cdots\!32}{37\!\cdots\!41}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!34}{72\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{44\!\cdots\!53}{72\!\cdots\!79}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!84}{72\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{72\!\cdots\!37}{37\!\cdots\!41}a^{14}-\frac{27\!\cdots\!82}{72\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!10}{72\!\cdots\!79}a^{12}+\frac{44\!\cdots\!41}{72\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{37\!\cdots\!79}{72\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{40\!\cdots\!38}{72\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!32}{37\!\cdots\!41}a^{8}+\frac{97\!\cdots\!76}{37\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{90\!\cdots\!46}{37\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!26}{37\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!04}{37\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{29\!\cdots\!83}{37\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{46\!\cdots\!40}{37\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{48\!\cdots\!44}{37\!\cdots\!41}a+\frac{30\!\cdots\!05}{37\!\cdots\!41}$, $\frac{10\!\cdots\!38}{72\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{61\!\cdots\!55}{72\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{99\!\cdots\!80}{72\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!45}{72\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{37\!\cdots\!87}{72\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{55\!\cdots\!92}{72\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{66\!\cdots\!22}{72\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!58}{72\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{61\!\cdots\!92}{72\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!78}{72\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{32\!\cdots\!61}{72\!\cdots\!79}a^{16}+\frac{53\!\cdots\!51}{72\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!74}{72\!\cdots\!79}a^{14}-\frac{75\!\cdots\!48}{37\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!37}{72\!\cdots\!79}a^{12}+\frac{21\!\cdots\!74}{72\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{32\!\cdots\!40}{72\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!63}{72\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!84}{37\!\cdots\!41}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!76}{37\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{73\!\cdots\!98}{37\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!50}{37\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!08}{37\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{63\!\cdots\!01}{37\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{81\!\cdots\!78}{37\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!98}{37\!\cdots\!41}a-\frac{60\!\cdots\!62}{37\!\cdots\!41}$, $\frac{12\!\cdots\!93}{72\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{14\!\cdots\!74}{72\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!54}{72\!\cdots\!79}a^{24}-\frac{20\!\cdots\!51}{72\!\cdots\!79}a^{23}+\frac{43\!\cdots\!56}{72\!\cdots\!79}a^{22}+\frac{92\!\cdots\!07}{72\!\cdots\!79}a^{21}-\frac{75\!\cdots\!68}{72\!\cdots\!79}a^{20}-\frac{18\!\cdots\!08}{72\!\cdots\!79}a^{19}+\frac{64\!\cdots\!61}{72\!\cdots\!79}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!47}{72\!\cdots\!79}a^{17}-\frac{30\!\cdots\!96}{72\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{84\!\cdots\!64}{72\!\cdots\!79}a^{15}+\frac{85\!\cdots\!10}{72\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!75}{72\!\cdots\!79}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!89}{72\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{38\!\cdots\!01}{72\!\cdots\!79}a^{11}+\frac{20\!\cdots\!39}{72\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{36\!\cdots\!53}{72\!\cdots\!79}a^{9}-\frac{96\!\cdots\!50}{37\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!77}{37\!\cdots\!41}a^{7}+\frac{51\!\cdots\!33}{37\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!43}{37\!\cdots\!41}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!40}{37\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{65\!\cdots\!53}{37\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{77\!\cdots\!89}{37\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!31}{37\!\cdots\!41}a-\frac{60\!\cdots\!32}{37\!\cdots\!41}$, $\frac{11\!\cdots\!13}{72\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{27\!\cdots\!15}{72\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!04}{72\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{83\!\cdots\!85}{72\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{43\!\cdots\!42}{72\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{48\!\cdots\!97}{72\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{80\!\cdots\!09}{72\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!61}{72\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{77\!\cdots\!50}{72\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!40}{72\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{43\!\cdots\!83}{72\!\cdots\!79}a^{16}+\frac{51\!\cdots\!68}{72\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!17}{72\!\cdots\!79}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!36}{72\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{34\!\cdots\!92}{72\!\cdots\!79}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!67}{72\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{50\!\cdots\!98}{72\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!75}{72\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{23\!\cdots\!22}{37\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!15}{37\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!90}{37\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!05}{37\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!31}{37\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!82}{37\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!02}{37\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{76\!\cdots\!66}{37\!\cdots\!41}a-\frac{95\!\cdots\!26}{37\!\cdots\!41}$, $\frac{25\!\cdots\!99}{72\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{44\!\cdots\!73}{72\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{25\!\cdots\!09}{72\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{56\!\cdots\!29}{72\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{90\!\cdots\!44}{72\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{24\!\cdots\!96}{72\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!81}{72\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{47\!\cdots\!47}{72\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!90}{72\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{43\!\cdots\!35}{72\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{44\!\cdots\!54}{72\!\cdots\!79}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!11}{72\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{87\!\cdots\!68}{72\!\cdots\!79}a^{14}-\frac{58\!\cdots\!86}{72\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{89\!\cdots\!37}{72\!\cdots\!79}a^{12}+\frac{96\!\cdots\!02}{72\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{54\!\cdots\!79}{72\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{98\!\cdots\!50}{72\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!46}{37\!\cdots\!41}a^{8}+\frac{31\!\cdots\!99}{37\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{29\!\cdots\!52}{37\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!41}{37\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{17\!\cdots\!17}{37\!\cdots\!41}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!33}{37\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{36\!\cdots\!27}{37\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{43\!\cdots\!39}{37\!\cdots\!41}a+\frac{24\!\cdots\!40}{37\!\cdots\!41}$, $\frac{57\!\cdots\!03}{42\!\cdots\!87}a^{26}-\frac{40\!\cdots\!24}{42\!\cdots\!87}a^{25}+\frac{56\!\cdots\!97}{42\!\cdots\!87}a^{24}+\frac{67\!\cdots\!94}{42\!\cdots\!87}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!55}{22\!\cdots\!73}a^{22}-\frac{33\!\cdots\!84}{42\!\cdots\!87}a^{21}+\frac{37\!\cdots\!88}{42\!\cdots\!87}a^{20}+\frac{68\!\cdots\!87}{42\!\cdots\!87}a^{19}-\frac{34\!\cdots\!96}{42\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{65\!\cdots\!36}{42\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!97}{42\!\cdots\!87}a^{16}+\frac{31\!\cdots\!32}{42\!\cdots\!87}a^{15}-\frac{57\!\cdots\!77}{42\!\cdots\!87}a^{14}-\frac{86\!\cdots\!46}{42\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!04}{42\!\cdots\!87}a^{12}+\frac{70\!\cdots\!82}{22\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!84}{42\!\cdots\!87}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!84}{42\!\cdots\!87}a^{9}+\frac{78\!\cdots\!22}{22\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!52}{22\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{38\!\cdots\!62}{22\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{37\!\cdots\!32}{22\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{75\!\cdots\!73}{22\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{27\!\cdots\!66}{22\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{26\!\cdots\!02}{22\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!03}{22\!\cdots\!73}a-\frac{19\!\cdots\!28}{22\!\cdots\!73}$, $\frac{67\!\cdots\!59}{72\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{28\!\cdots\!51}{37\!\cdots\!41}a^{25}+\frac{66\!\cdots\!84}{72\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{86\!\cdots\!22}{72\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{24\!\cdots\!10}{72\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{41\!\cdots\!02}{72\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{43\!\cdots\!52}{72\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{85\!\cdots\!76}{72\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{39\!\cdots\!68}{72\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{80\!\cdots\!99}{72\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!73}{72\!\cdots\!79}a^{16}+\frac{39\!\cdots\!70}{72\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{63\!\cdots\!43}{72\!\cdots\!79}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!58}{72\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!49}{72\!\cdots\!79}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!12}{72\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!43}{72\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!71}{72\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{84\!\cdots\!72}{37\!\cdots\!41}a^{8}+\frac{25\!\cdots\!40}{37\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{41\!\cdots\!68}{37\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!74}{37\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{84\!\cdots\!43}{37\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{27\!\cdots\!46}{37\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{22\!\cdots\!19}{37\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!93}{37\!\cdots\!41}a-\frac{16\!\cdots\!83}{37\!\cdots\!41}$, $\frac{21\!\cdots\!67}{72\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{15\!\cdots\!26}{72\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{21\!\cdots\!12}{72\!\cdots\!79}a^{24}-\frac{26\!\cdots\!32}{72\!\cdots\!79}a^{23}+\frac{80\!\cdots\!65}{72\!\cdots\!79}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!42}{72\!\cdots\!79}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!74}{72\!\cdots\!79}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!34}{72\!\cdots\!79}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!51}{72\!\cdots\!79}a^{18}+\frac{25\!\cdots\!32}{72\!\cdots\!79}a^{17}-\frac{35\!\cdots\!47}{37\!\cdots\!41}a^{16}-\frac{65\!\cdots\!38}{37\!\cdots\!41}a^{15}+\frac{21\!\cdots\!35}{72\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{34\!\cdots\!04}{72\!\cdots\!79}a^{13}-\frac{45\!\cdots\!64}{72\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{53\!\cdots\!25}{72\!\cdots\!79}a^{11}+\frac{63\!\cdots\!33}{72\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{45\!\cdots\!28}{72\!\cdots\!79}a^{9}-\frac{29\!\cdots\!42}{37\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{83\!\cdots\!04}{37\!\cdots\!41}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!87}{37\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{77\!\cdots\!25}{37\!\cdots\!41}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!74}{37\!\cdots\!41}a^{4}+\frac{94\!\cdots\!38}{37\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{79\!\cdots\!08}{37\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{26\!\cdots\!77}{37\!\cdots\!41}a+\frac{43\!\cdots\!79}{37\!\cdots\!41}$, $\frac{33\!\cdots\!06}{72\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{27\!\cdots\!40}{72\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{32\!\cdots\!53}{72\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{43\!\cdots\!16}{72\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{12\!\cdots\!62}{72\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{21\!\cdots\!64}{72\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!29}{72\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{22\!\cdots\!10}{37\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{19\!\cdots\!09}{72\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{40\!\cdots\!82}{72\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{98\!\cdots\!16}{72\!\cdots\!79}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!61}{72\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!57}{72\!\cdots\!79}a^{14}-\frac{54\!\cdots\!93}{72\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{63\!\cdots\!12}{72\!\cdots\!79}a^{12}+\frac{85\!\cdots\!46}{72\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{87\!\cdots\!99}{72\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{73\!\cdots\!28}{72\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{40\!\cdots\!73}{37\!\cdots\!41}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!30}{37\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!58}{37\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{95\!\cdots\!81}{37\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{41\!\cdots\!52}{37\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!79}{37\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{60\!\cdots\!07}{37\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{66\!\cdots\!20}{37\!\cdots\!41}a-\frac{50\!\cdots\!40}{37\!\cdots\!41}$, $\frac{14\!\cdots\!77}{72\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{65\!\cdots\!48}{72\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!95}{72\!\cdots\!79}a^{24}-\frac{13\!\cdots\!61}{72\!\cdots\!79}a^{23}+\frac{51\!\cdots\!98}{72\!\cdots\!79}a^{22}+\frac{69\!\cdots\!07}{72\!\cdots\!79}a^{21}-\frac{93\!\cdots\!34}{72\!\cdots\!79}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!55}{72\!\cdots\!79}a^{19}+\frac{87\!\cdots\!64}{72\!\cdots\!79}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!95}{72\!\cdots\!79}a^{17}-\frac{47\!\cdots\!23}{72\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{68\!\cdots\!37}{72\!\cdots\!79}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!12}{72\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!28}{72\!\cdots\!79}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!52}{37\!\cdots\!41}a^{12}-\frac{26\!\cdots\!29}{72\!\cdots\!79}a^{11}+\frac{50\!\cdots\!60}{72\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!06}{72\!\cdots\!79}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!16}{37\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{40\!\cdots\!21}{37\!\cdots\!41}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!00}{37\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!53}{37\!\cdots\!41}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!32}{37\!\cdots\!41}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!03}{37\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!68}{37\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!07}{37\!\cdots\!41}a+\frac{12\!\cdots\!21}{37\!\cdots\!41}$, $\frac{68\!\cdots\!45}{37\!\cdots\!41}a^{26}-\frac{97\!\cdots\!41}{72\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!52}{72\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!32}{72\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{47\!\cdots\!74}{72\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{77\!\cdots\!79}{72\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{83\!\cdots\!03}{72\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!14}{72\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{76\!\cdots\!97}{72\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!37}{72\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{39\!\cdots\!78}{72\!\cdots\!79}a^{16}+\frac{73\!\cdots\!89}{72\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!10}{72\!\cdots\!79}a^{14}-\frac{20\!\cdots\!78}{72\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{26\!\cdots\!20}{72\!\cdots\!79}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!36}{37\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{36\!\cdots\!23}{72\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!06}{72\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!17}{37\!\cdots\!41}a^{8}+\frac{46\!\cdots\!75}{37\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{83\!\cdots\!22}{37\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{53\!\cdots\!13}{37\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!83}{37\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{56\!\cdots\!06}{37\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{49\!\cdots\!57}{37\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!70}{37\!\cdots\!41}a-\frac{35\!\cdots\!15}{37\!\cdots\!41}$, $\frac{48\!\cdots\!92}{72\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{28\!\cdots\!23}{72\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{47\!\cdots\!63}{72\!\cdots\!79}a^{24}-\frac{51\!\cdots\!43}{72\!\cdots\!79}a^{23}+\frac{17\!\cdots\!52}{72\!\cdots\!79}a^{22}+\frac{26\!\cdots\!35}{72\!\cdots\!79}a^{21}-\frac{32\!\cdots\!70}{72\!\cdots\!79}a^{20}-\frac{54\!\cdots\!24}{72\!\cdots\!79}a^{19}+\frac{29\!\cdots\!87}{72\!\cdots\!79}a^{18}+\frac{52\!\cdots\!68}{72\!\cdots\!79}a^{17}-\frac{15\!\cdots\!65}{72\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{25\!\cdots\!92}{72\!\cdots\!79}a^{15}+\frac{52\!\cdots\!24}{72\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{69\!\cdots\!61}{72\!\cdots\!79}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!11}{72\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!96}{72\!\cdots\!79}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!51}{72\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{43\!\cdots\!10}{37\!\cdots\!41}a^{9}-\frac{76\!\cdots\!08}{37\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!64}{37\!\cdots\!41}a^{7}+\frac{37\!\cdots\!58}{37\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{55\!\cdots\!31}{37\!\cdots\!41}a^{5}-\frac{72\!\cdots\!03}{37\!\cdots\!41}a^{4}+\frac{29\!\cdots\!19}{37\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{26\!\cdots\!05}{37\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!50}{37\!\cdots\!41}a+\frac{19\!\cdots\!71}{37\!\cdots\!41}$, $\frac{15\!\cdots\!84}{72\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!86}{72\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!10}{72\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{19\!\cdots\!33}{72\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{58\!\cdots\!74}{72\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{97\!\cdots\!44}{72\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!91}{72\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{19\!\cdots\!53}{72\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{92\!\cdots\!48}{72\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!75}{72\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{47\!\cdots\!43}{72\!\cdots\!79}a^{16}+\frac{91\!\cdots\!52}{72\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!72}{72\!\cdots\!79}a^{14}-\frac{25\!\cdots\!66}{72\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{31\!\cdots\!85}{72\!\cdots\!79}a^{12}+\frac{38\!\cdots\!71}{72\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{43\!\cdots\!22}{72\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{32\!\cdots\!82}{72\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{20\!\cdots\!96}{37\!\cdots\!41}a^{8}+\frac{60\!\cdots\!82}{37\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!80}{37\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{49\!\cdots\!46}{37\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!77}{37\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{65\!\cdots\!15}{37\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{53\!\cdots\!45}{37\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{29\!\cdots\!15}{37\!\cdots\!41}a-\frac{39\!\cdots\!07}{37\!\cdots\!41}$, $\frac{61\!\cdots\!29}{72\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{41\!\cdots\!53}{72\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{60\!\cdots\!72}{72\!\cdots\!79}a^{24}-\frac{70\!\cdots\!40}{72\!\cdots\!79}a^{23}+\frac{22\!\cdots\!12}{72\!\cdots\!79}a^{22}+\frac{35\!\cdots\!45}{72\!\cdots\!79}a^{21}-\frac{40\!\cdots\!21}{72\!\cdots\!79}a^{20}-\frac{72\!\cdots\!58}{72\!\cdots\!79}a^{19}+\frac{37\!\cdots\!21}{72\!\cdots\!79}a^{18}+\frac{68\!\cdots\!99}{72\!\cdots\!79}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!10}{72\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{33\!\cdots\!03}{72\!\cdots\!79}a^{15}+\frac{62\!\cdots\!70}{72\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{91\!\cdots\!72}{72\!\cdots\!79}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!93}{72\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!32}{72\!\cdots\!79}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!94}{72\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!15}{72\!\cdots\!79}a^{9}-\frac{87\!\cdots\!81}{37\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!77}{37\!\cdots\!41}a^{7}+\frac{42\!\cdots\!54}{37\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{57\!\cdots\!44}{37\!\cdots\!41}a^{5}-\frac{80\!\cdots\!42}{37\!\cdots\!41}a^{4}+\frac{33\!\cdots\!09}{37\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{38\!\cdots\!42}{37\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{60\!\cdots\!57}{37\!\cdots\!41}a+\frac{25\!\cdots\!78}{37\!\cdots\!41}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 190873621455186500 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 190873621455186500 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{990416614869441993916643712375733691872563640727361}}\cr\approx \mathstrut & 0.407021023546680 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 99*x^25 - 48*x^24 + 3753*x^23 + 3249*x^22 - 69339*x^21 - 74286*x^20 + 682488*x^19 + 723114*x^18 - 3915387*x^17 - 3437613*x^16 + 14011512*x^15 + 8318637*x^14 - 32171256*x^13 - 8873247*x^12 + 46716687*x^11 - 1132533*x^10 - 40329039*x^9 + 11719143*x^8 + 17687556*x^7 - 9949521*x^6 - 1946151*x^5 + 2657682*x^4 - 673626*x^3 + 45486*x^2 + 3249*x - 361)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^27 - 99*x^25 - 48*x^24 + 3753*x^23 + 3249*x^22 - 69339*x^21 - 74286*x^20 + 682488*x^19 + 723114*x^18 - 3915387*x^17 - 3437613*x^16 + 14011512*x^15 + 8318637*x^14 - 32171256*x^13 - 8873247*x^12 + 46716687*x^11 - 1132533*x^10 - 40329039*x^9 + 11719143*x^8 + 17687556*x^7 - 9949521*x^6 - 1946151*x^5 + 2657682*x^4 - 673626*x^3 + 45486*x^2 + 3249*x - 361, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^27 - 99*x^25 - 48*x^24 + 3753*x^23 + 3249*x^22 - 69339*x^21 - 74286*x^20 + 682488*x^19 + 723114*x^18 - 3915387*x^17 - 3437613*x^16 + 14011512*x^15 + 8318637*x^14 - 32171256*x^13 - 8873247*x^12 + 46716687*x^11 - 1132533*x^10 - 40329039*x^9 + 11719143*x^8 + 17687556*x^7 - 9949521*x^6 - 1946151*x^5 + 2657682*x^4 - 673626*x^3 + 45486*x^2 + 3249*x - 361);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 99*x^25 - 48*x^24 + 3753*x^23 + 3249*x^22 - 69339*x^21 - 74286*x^20 + 682488*x^19 + 723114*x^18 - 3915387*x^17 - 3437613*x^16 + 14011512*x^15 + 8318637*x^14 - 32171256*x^13 - 8873247*x^12 + 46716687*x^11 - 1132533*x^10 - 40329039*x^9 + 11719143*x^8 + 17687556*x^7 - 9949521*x^6 - 1946151*x^5 + 2657682*x^4 - 673626*x^3 + 45486*x^2 + 3249*x - 361);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$C_9^2.C_3$ (as 27T112):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A solvable group of order 243 |
| The 35 conjugacy class representatives for $C_9^2.C_3$ |
| Character table for $C_9^2.C_3$ |
Intermediate fields
| \(\Q(\zeta_{9})^+\), 9.9.5609891727441.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 27 siblings: | data not computed |
| Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | ${\href{/padicField/2.9.0.1}{9} }^{3}$ | R | ${\href{/padicField/5.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/7.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/11.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/13.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/17.1.0.1}{1} }^{9}$ | R | ${\href{/padicField/23.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/29.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/31.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/37.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/41.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/43.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/47.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/53.3.0.1}{3} }^{3}$ | ${\href{/padicField/59.9.0.1}{9} }^{3}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(3\)
| Deg $27$ | $27$ | $1$ | $64$ | |||
|
\(19\)
| 19.9.0.1 | $x^{9} + 11 x^{3} + 14 x^{2} + 16 x + 17$ | $1$ | $9$ | $0$ | $C_9$ | $[\ ]^{9}$ |
| 19.9.8.9 | $x^{9} + 171$ | $9$ | $1$ | $8$ | $C_9$ | $[\ ]_{9}$ | |
| 19.9.8.2 | $x^{9} + 57$ | $9$ | $1$ | $8$ | $C_9$ | $[\ ]_{9}$ |