Number field 27.27.8156031539646242110766745600690995639746738537518609.9

• Label: 27.27.815...609.9
• Degree: $27$
• Signature: $[27, 0]$
• Discriminant: $8.156\times 10^{51}$
• Root discriminant: \(83.68\)
• Ramified primes: $3,19$
• Class number: $1$ (GRH)
• Class group: trivial (GRH)
• Galois group: $C_3^6.C_3^3:C_9$ (as 27T1470)

Normalized defining polynomial

x^27 - 81*x^25 - 18*x^24 + 2511*x^23 + 972*x^22 - 40626*x^21 - 18873*x^20 + 388746*x^19 + 177723*x^18 - 2354427*x^17 - 916272*x^16 + 9332928*x^15 + 2674134*x^14 - 24427818*x^13 - 4212630*x^12 + 41782311*x^11 + 2689146*x^10 - 45453738*x^9 + 1329696*x^8 + 29868912*x^7 - 3123144*x^6 - 10731447*x^5 + 1676997*x^4 + 1711539*x^3 - 292410*x^2 - 77976*x + 13357

Invariants

Degree:		$27$
Signature:		$[27, 0]$
Discriminant:		\(8156031539646242110766745600690995639746738537518609\) \(\medspace = 3^{82}\cdot 19^{10}\)
Root discriminant:		\(83.68\)
Galois root discriminant:		not computed
Ramified primes:		\(3\), \(19\)
Discriminant root field:		\(\Q\)
$\card{ \Aut(K/\Q) }$:		$3$
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $\frac{1}{19}a^{24}-\frac{5}{19}a^{22}+\frac{1}{19}a^{21}+\frac{3}{19}a^{20}+\frac{3}{19}a^{19}-\frac{4}{19}a^{18}-\frac{6}{19}a^{17}+\frac{6}{19}a^{16}-\frac{3}{19}a^{15}-\frac{4}{19}a^{14}+\frac{3}{19}a^{13}-\frac{5}{19}a^{12}-\frac{2}{19}a^{11}+\frac{7}{19}a^{10}-\frac{7}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{25}-\frac{5}{19}a^{23}+\frac{1}{19}a^{22}+\frac{3}{19}a^{21}+\frac{3}{19}a^{20}-\frac{4}{19}a^{19}-\frac{6}{19}a^{18}+\frac{6}{19}a^{17}-\frac{3}{19}a^{16}-\frac{4}{19}a^{15}+\frac{3}{19}a^{14}-\frac{5}{19}a^{13}-\frac{2}{19}a^{12}+\frac{7}{19}a^{11}-\frac{7}{19}a^{10}$, $\frac{1}{15\!\cdots\!87}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!87}a^{25}-\frac{31\!\cdots\!84}{15\!\cdots\!87}a^{24}+\frac{25\!\cdots\!10}{83\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{22\!\cdots\!16}{15\!\cdots\!87}a^{22}-\frac{25\!\cdots\!32}{15\!\cdots\!87}a^{21}+\frac{29\!\cdots\!50}{15\!\cdots\!87}a^{20}-\frac{49\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!87}a^{19}+\frac{89\!\cdots\!50}{15\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{67\!\cdots\!56}{15\!\cdots\!87}a^{17}-\frac{52\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!87}a^{16}-\frac{61\!\cdots\!16}{15\!\cdots\!87}a^{15}-\frac{71\!\cdots\!54}{15\!\cdots\!87}a^{14}+\frac{31\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{37\!\cdots\!52}{15\!\cdots\!87}a^{12}+\frac{63\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!87}a^{11}+\frac{38\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!87}a^{10}-\frac{70\!\cdots\!84}{15\!\cdots\!87}a^{9}+\frac{19\!\cdots\!41}{83\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!24}{83\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{27\!\cdots\!37}{83\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{70\!\cdots\!55}{83\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!27}{83\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{40\!\cdots\!95}{83\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{32\!\cdots\!11}{83\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{36\!\cdots\!02}{83\!\cdots\!73}a+\frac{41\!\cdots\!84}{83\!\cdots\!73}$

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$26$
Torsion generator:		\( -1 \)  (order $2$)
Fundamental units:		$\frac{89\!\cdots\!52}{44\!\cdots\!13}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!42}{44\!\cdots\!13}a^{25}-\frac{71\!\cdots\!87}{44\!\cdots\!13}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!78}{44\!\cdots\!13}a^{23}+\frac{21\!\cdots\!92}{44\!\cdots\!13}a^{22}+\frac{35\!\cdots\!22}{44\!\cdots\!13}a^{21}-\frac{33\!\cdots\!88}{44\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{57\!\cdots\!77}{44\!\cdots\!13}a^{19}+\frac{29\!\cdots\!42}{44\!\cdots\!13}a^{18}+\frac{51\!\cdots\!20}{44\!\cdots\!13}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!85}{44\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{27\!\cdots\!31}{44\!\cdots\!13}a^{15}+\frac{58\!\cdots\!51}{44\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{91\!\cdots\!77}{44\!\cdots\!13}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!93}{44\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{18\!\cdots\!40}{44\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{21\!\cdots\!31}{44\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{23\!\cdots\!68}{44\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!65}{23\!\cdots\!27}a^{8}-\frac{90\!\cdots\!58}{23\!\cdots\!27}a^{7}+\frac{71\!\cdots\!97}{23\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{33\!\cdots\!66}{23\!\cdots\!27}a^{5}-\frac{23\!\cdots\!70}{23\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{48\!\cdots\!18}{23\!\cdots\!27}a^{3}+\frac{34\!\cdots\!99}{23\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{20\!\cdots\!34}{23\!\cdots\!27}a-\frac{13\!\cdots\!94}{23\!\cdots\!27}$, $\frac{13\!\cdots\!59}{44\!\cdots\!13}a^{26}+\frac{99\!\cdots\!79}{44\!\cdots\!13}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!75}{44\!\cdots\!13}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!81}{44\!\cdots\!13}a^{23}+\frac{33\!\cdots\!30}{44\!\cdots\!13}a^{22}+\frac{37\!\cdots\!42}{44\!\cdots\!13}a^{21}-\frac{52\!\cdots\!15}{44\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{62\!\cdots\!11}{44\!\cdots\!13}a^{19}+\frac{48\!\cdots\!98}{44\!\cdots\!13}a^{18}+\frac{57\!\cdots\!26}{44\!\cdots\!13}a^{17}-\frac{27\!\cdots\!63}{44\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{31\!\cdots\!56}{44\!\cdots\!13}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!32}{44\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!37}{44\!\cdots\!13}a^{13}-\frac{25\!\cdots\!79}{44\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{21\!\cdots\!11}{44\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{41\!\cdots\!50}{44\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{27\!\cdots\!69}{44\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{21\!\cdots\!64}{23\!\cdots\!27}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!88}{23\!\cdots\!27}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!23}{23\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{41\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!27}a^{5}-\frac{42\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{65\!\cdots\!33}{23\!\cdots\!27}a^{3}+\frac{56\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{28\!\cdots\!99}{23\!\cdots\!27}a-\frac{18\!\cdots\!03}{23\!\cdots\!27}$, $\frac{20\!\cdots\!76}{68\!\cdots\!39}a^{26}-\frac{31\!\cdots\!86}{68\!\cdots\!39}a^{25}-\frac{16\!\cdots\!88}{68\!\cdots\!39}a^{24}+\frac{21\!\cdots\!62}{68\!\cdots\!39}a^{23}+\frac{49\!\cdots\!74}{68\!\cdots\!39}a^{22}-\frac{56\!\cdots\!72}{68\!\cdots\!39}a^{21}-\frac{79\!\cdots\!67}{68\!\cdots\!39}a^{20}+\frac{83\!\cdots\!03}{68\!\cdots\!39}a^{19}+\frac{74\!\cdots\!40}{68\!\cdots\!39}a^{18}-\frac{77\!\cdots\!36}{68\!\cdots\!39}a^{17}-\frac{43\!\cdots\!26}{68\!\cdots\!39}a^{16}+\frac{48\!\cdots\!73}{68\!\cdots\!39}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!71}{68\!\cdots\!39}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!28}{68\!\cdots\!39}a^{13}-\frac{36\!\cdots\!46}{68\!\cdots\!39}a^{12}+\frac{49\!\cdots\!64}{68\!\cdots\!39}a^{11}+\frac{48\!\cdots\!45}{68\!\cdots\!39}a^{10}-\frac{75\!\cdots\!08}{68\!\cdots\!39}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!13}{35\!\cdots\!81}a^{8}+\frac{35\!\cdots\!79}{35\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{39\!\cdots\!97}{35\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!97}{35\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!68}{35\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{31\!\cdots\!00}{35\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{57\!\cdots\!96}{35\!\cdots\!81}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!59}{35\!\cdots\!81}a+\frac{38\!\cdots\!20}{35\!\cdots\!81}$, $\frac{21\!\cdots\!32}{68\!\cdots\!39}a^{26}+\frac{34\!\cdots\!88}{68\!\cdots\!39}a^{25}-\frac{18\!\cdots\!28}{68\!\cdots\!39}a^{24}-\frac{27\!\cdots\!43}{68\!\cdots\!39}a^{23}+\frac{58\!\cdots\!60}{68\!\cdots\!39}a^{22}+\frac{84\!\cdots\!47}{68\!\cdots\!39}a^{21}-\frac{87\!\cdots\!18}{68\!\cdots\!39}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!73}{68\!\cdots\!39}a^{19}+\frac{74\!\cdots\!75}{68\!\cdots\!39}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!49}{68\!\cdots\!39}a^{17}-\frac{44\!\cdots\!64}{68\!\cdots\!39}a^{16}-\frac{69\!\cdots\!44}{68\!\cdots\!39}a^{15}+\frac{22\!\cdots\!45}{68\!\cdots\!39}a^{14}+\frac{25\!\cdots\!65}{68\!\cdots\!39}a^{13}-\frac{88\!\cdots\!72}{68\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{58\!\cdots\!77}{68\!\cdots\!39}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!41}{68\!\cdots\!39}a^{10}+\frac{82\!\cdots\!71}{68\!\cdots\!39}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!84}{35\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{35\!\cdots\!90}{35\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!13}{35\!\cdots\!81}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!24}{35\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{84\!\cdots\!55}{35\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{26\!\cdots\!69}{35\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!56}{35\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!85}{35\!\cdots\!81}a-\frac{61\!\cdots\!91}{35\!\cdots\!81}$, $\frac{22\!\cdots\!10}{68\!\cdots\!39}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!61}{68\!\cdots\!39}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!75}{68\!\cdots\!39}a^{24}-\frac{50\!\cdots\!40}{68\!\cdots\!39}a^{23}-\frac{54\!\cdots\!39}{68\!\cdots\!39}a^{22}+\frac{59\!\cdots\!08}{68\!\cdots\!39}a^{21}+\frac{85\!\cdots\!01}{68\!\cdots\!39}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!25}{68\!\cdots\!39}a^{19}-\frac{78\!\cdots\!81}{68\!\cdots\!39}a^{18}+\frac{29\!\cdots\!53}{68\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{44\!\cdots\!28}{68\!\cdots\!39}a^{16}-\frac{50\!\cdots\!74}{68\!\cdots\!39}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!59}{68\!\cdots\!39}a^{14}+\frac{35\!\cdots\!29}{68\!\cdots\!39}a^{13}+\frac{35\!\cdots\!53}{68\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!94}{68\!\cdots\!39}a^{11}-\frac{47\!\cdots\!04}{68\!\cdots\!39}a^{10}+\frac{23\!\cdots\!88}{68\!\cdots\!39}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!06}{35\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!75}{35\!\cdots\!81}a^{7}-\frac{50\!\cdots\!71}{35\!\cdots\!81}a^{6}+\frac{56\!\cdots\!73}{35\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{57\!\cdots\!59}{35\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!25}{35\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{36\!\cdots\!64}{35\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{58\!\cdots\!90}{35\!\cdots\!81}a-\frac{18\!\cdots\!94}{35\!\cdots\!81}$, $\frac{95\!\cdots\!06}{68\!\cdots\!39}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!11}{68\!\cdots\!39}a^{25}+\frac{77\!\cdots\!57}{68\!\cdots\!39}a^{24}-\frac{89\!\cdots\!37}{68\!\cdots\!39}a^{23}-\frac{24\!\cdots\!06}{68\!\cdots\!39}a^{22}+\frac{22\!\cdots\!98}{68\!\cdots\!39}a^{21}+\frac{39\!\cdots\!89}{68\!\cdots\!39}a^{20}-\frac{29\!\cdots\!29}{68\!\cdots\!39}a^{19}-\frac{39\!\cdots\!91}{68\!\cdots\!39}a^{18}+\frac{24\!\cdots\!61}{68\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{23\!\cdots\!25}{68\!\cdots\!39}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!58}{68\!\cdots\!39}a^{15}-\frac{92\!\cdots\!88}{68\!\cdots\!39}a^{14}+\frac{50\!\cdots\!49}{68\!\cdots\!39}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!14}{68\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!37}{68\!\cdots\!39}a^{11}-\frac{33\!\cdots\!74}{68\!\cdots\!39}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!76}{68\!\cdots\!39}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!23}{35\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{80\!\cdots\!05}{35\!\cdots\!81}a^{7}-\frac{63\!\cdots\!38}{35\!\cdots\!81}a^{6}+\frac{34\!\cdots\!35}{35\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{79\!\cdots\!64}{35\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{61\!\cdots\!58}{35\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!94}{35\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{48\!\cdots\!00}{35\!\cdots\!81}a-\frac{77\!\cdots\!24}{35\!\cdots\!81}$, $\frac{36\!\cdots\!65}{68\!\cdots\!39}a^{26}+\frac{75\!\cdots\!90}{68\!\cdots\!39}a^{25}-\frac{29\!\cdots\!78}{68\!\cdots\!39}a^{24}-\frac{66\!\cdots\!60}{68\!\cdots\!39}a^{23}+\frac{89\!\cdots\!09}{68\!\cdots\!39}a^{22}+\frac{21\!\cdots\!13}{68\!\cdots\!39}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!74}{68\!\cdots\!39}a^{20}-\frac{35\!\cdots\!15}{68\!\cdots\!39}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!62}{68\!\cdots\!39}a^{18}+\frac{31\!\cdots\!18}{68\!\cdots\!39}a^{17}-\frac{64\!\cdots\!03}{68\!\cdots\!39}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!02}{68\!\cdots\!39}a^{15}+\frac{23\!\cdots\!08}{68\!\cdots\!39}a^{14}+\frac{60\!\cdots\!25}{68\!\cdots\!39}a^{13}-\frac{55\!\cdots\!88}{68\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!50}{68\!\cdots\!39}a^{11}+\frac{90\!\cdots\!95}{68\!\cdots\!39}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!76}{68\!\cdots\!39}a^{9}-\frac{51\!\cdots\!98}{35\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{69\!\cdots\!51}{35\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{35\!\cdots\!15}{35\!\cdots\!81}a^{6}+\frac{29\!\cdots\!03}{35\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!48}{35\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{61\!\cdots\!45}{35\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{25\!\cdots\!20}{35\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{49\!\cdots\!98}{35\!\cdots\!81}a-\frac{11\!\cdots\!07}{35\!\cdots\!81}$, $\frac{22\!\cdots\!56}{68\!\cdots\!39}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!74}{68\!\cdots\!39}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!73}{68\!\cdots\!39}a^{24}-\frac{59\!\cdots\!56}{68\!\cdots\!39}a^{23}-\frac{53\!\cdots\!91}{68\!\cdots\!39}a^{22}+\frac{98\!\cdots\!01}{68\!\cdots\!39}a^{21}+\frac{83\!\cdots\!33}{68\!\cdots\!39}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!57}{68\!\cdots\!39}a^{19}-\frac{76\!\cdots\!79}{68\!\cdots\!39}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!39}{68\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{43\!\cdots\!38}{68\!\cdots\!39}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!38}{68\!\cdots\!39}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!34}{68\!\cdots\!39}a^{14}+\frac{63\!\cdots\!74}{68\!\cdots\!39}a^{13}+\frac{37\!\cdots\!78}{68\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!64}{68\!\cdots\!39}a^{11}-\frac{53\!\cdots\!23}{68\!\cdots\!39}a^{10}+\frac{34\!\cdots\!53}{68\!\cdots\!39}a^{9}+\frac{23\!\cdots\!85}{35\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!33}{35\!\cdots\!81}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!52}{35\!\cdots\!81}a^{6}+\frac{85\!\cdots\!09}{35\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!54}{35\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!52}{35\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!93}{35\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{82\!\cdots\!66}{35\!\cdots\!81}a-\frac{13\!\cdots\!19}{35\!\cdots\!81}$, $\frac{31\!\cdots\!38}{15\!\cdots\!87}a^{26}-\frac{64\!\cdots\!43}{83\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{25\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!87}a^{24}+\frac{92\!\cdots\!56}{15\!\cdots\!87}a^{23}+\frac{79\!\cdots\!04}{15\!\cdots\!87}a^{22}-\frac{26\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!87}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!50}{15\!\cdots\!87}a^{20}+\frac{40\!\cdots\!70}{15\!\cdots\!87}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!86}{15\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{36\!\cdots\!52}{15\!\cdots\!87}a^{17}-\frac{84\!\cdots\!90}{15\!\cdots\!87}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!87}a^{15}+\frac{33\!\cdots\!46}{15\!\cdots\!87}a^{14}-\frac{78\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{80\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!87}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!86}{15\!\cdots\!87}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!74}{15\!\cdots\!87}a^{10}-\frac{26\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!87}a^{9}-\frac{45\!\cdots\!98}{83\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!16}{83\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!64}{83\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{48\!\cdots\!61}{83\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!50}{83\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{84\!\cdots\!06}{83\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{84\!\cdots\!45}{83\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{41\!\cdots\!17}{83\!\cdots\!73}a+\frac{63\!\cdots\!37}{83\!\cdots\!73}$, $\frac{12\!\cdots\!49}{15\!\cdots\!87}a^{26}-\frac{63\!\cdots\!28}{15\!\cdots\!87}a^{25}-\frac{49\!\cdots\!98}{83\!\cdots\!73}a^{24}+\frac{48\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!87}a^{23}+\frac{29\!\cdots\!26}{15\!\cdots\!87}a^{22}-\frac{14\!\cdots\!69}{15\!\cdots\!87}a^{21}-\frac{48\!\cdots\!24}{15\!\cdots\!87}a^{20}+\frac{22\!\cdots\!64}{15\!\cdots\!87}a^{19}+\frac{49\!\cdots\!56}{15\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!87}a^{17}-\frac{31\!\cdots\!18}{15\!\cdots\!87}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!70}{15\!\cdots\!87}a^{15}+\frac{63\!\cdots\!94}{83\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{43\!\cdots\!75}{15\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{28\!\cdots\!20}{15\!\cdots\!87}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!10}{15\!\cdots\!87}a^{11}+\frac{36\!\cdots\!97}{15\!\cdots\!87}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!61}{15\!\cdots\!87}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!82}{83\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{62\!\cdots\!98}{83\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!90}{83\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{26\!\cdots\!47}{83\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{33\!\cdots\!84}{83\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{46\!\cdots\!46}{83\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{82\!\cdots\!01}{83\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!83}{83\!\cdots\!73}a+\frac{44\!\cdots\!31}{83\!\cdots\!73}$, $\frac{16\!\cdots\!28}{15\!\cdots\!87}a^{26}-\frac{15\!\cdots\!18}{15\!\cdots\!87}a^{25}-\frac{69\!\cdots\!79}{83\!\cdots\!73}a^{24}+\frac{90\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!87}a^{23}+\frac{40\!\cdots\!15}{15\!\cdots\!87}a^{22}-\frac{20\!\cdots\!77}{15\!\cdots\!87}a^{21}-\frac{63\!\cdots\!64}{15\!\cdots\!87}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!03}{83\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{59\!\cdots\!84}{15\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{27\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!87}a^{17}-\frac{34\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!87}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!26}{15\!\cdots\!87}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!70}{15\!\cdots\!87}a^{14}-\frac{81\!\cdots\!86}{15\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{28\!\cdots\!04}{15\!\cdots\!87}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!23}{15\!\cdots\!87}a^{11}+\frac{39\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!87}a^{10}-\frac{36\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!87}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!09}{83\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{17\!\cdots\!70}{83\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{51\!\cdots\!94}{83\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{78\!\cdots\!57}{83\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!09}{83\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!49}{83\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!71}{83\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{73\!\cdots\!12}{83\!\cdots\!73}a+\frac{85\!\cdots\!43}{83\!\cdots\!73}$, $\frac{15\!\cdots\!78}{15\!\cdots\!87}a^{26}-\frac{19\!\cdots\!55}{15\!\cdots\!87}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!23}{15\!\cdots\!87}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!77}{15\!\cdots\!87}a^{23}-\frac{36\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!87}a^{22}-\frac{61\!\cdots\!30}{15\!\cdots\!87}a^{21}+\frac{56\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!87}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!87}a^{19}-\frac{50\!\cdots\!64}{15\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{92\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{28\!\cdots\!23}{15\!\cdots\!87}a^{16}+\frac{50\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!87}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!44}{15\!\cdots\!87}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!67}{15\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!87}a^{12}+\frac{37\!\cdots\!60}{15\!\cdots\!87}a^{11}-\frac{37\!\cdots\!92}{15\!\cdots\!87}a^{10}-\frac{49\!\cdots\!30}{15\!\cdots\!87}a^{9}+\frac{19\!\cdots\!03}{83\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!06}{83\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!51}{83\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{87\!\cdots\!81}{83\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{34\!\cdots\!56}{83\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!03}{83\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{43\!\cdots\!26}{83\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{84\!\cdots\!64}{83\!\cdots\!73}a+\frac{17\!\cdots\!25}{83\!\cdots\!73}$, $\frac{21\!\cdots\!12}{15\!\cdots\!87}a^{26}+\frac{69\!\cdots\!73}{15\!\cdots\!87}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!14}{15\!\cdots\!87}a^{24}-\frac{51\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!87}a^{23}-\frac{56\!\cdots\!61}{15\!\cdots\!87}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!97}{15\!\cdots\!87}a^{21}+\frac{97\!\cdots\!72}{15\!\cdots\!87}a^{20}-\frac{21\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!87}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!76}{15\!\cdots\!87}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!02}{15\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{65\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!87}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!85}{15\!\cdots\!87}a^{15}-\frac{27\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!87}a^{14}+\frac{36\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{70\!\cdots\!10}{15\!\cdots\!87}a^{12}-\frac{84\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!87}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!38}{15\!\cdots\!87}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!87}a^{9}+\frac{55\!\cdots\!62}{83\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{50\!\cdots\!52}{83\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{28\!\cdots\!03}{83\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!90}{83\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{68\!\cdots\!95}{83\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{31\!\cdots\!62}{83\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{76\!\cdots\!61}{83\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!26}{83\!\cdots\!73}a+\frac{25\!\cdots\!34}{83\!\cdots\!73}$, $\frac{11\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!87}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!26}{15\!\cdots\!87}a^{25}-\frac{87\!\cdots\!69}{15\!\cdots\!87}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!92}{15\!\cdots\!87}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!82}{83\!\cdots\!73}a^{22}+\frac{41\!\cdots\!38}{15\!\cdots\!87}a^{21}-\frac{39\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!87}a^{20}-\frac{66\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!87}a^{19}+\frac{34\!\cdots\!77}{15\!\cdots\!87}a^{18}+\frac{58\!\cdots\!98}{15\!\cdots\!87}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!73}{15\!\cdots\!87}a^{16}-\frac{30\!\cdots\!05}{15\!\cdots\!87}a^{15}+\frac{66\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!87}a^{14}+\frac{98\!\cdots\!26}{15\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{81\!\cdots\!86}{83\!\cdots\!73}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!94}{15\!\cdots\!87}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!96}{15\!\cdots\!87}a^{10}+\frac{23\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!87}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!18}{83\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{88\!\cdots\!85}{83\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{74\!\cdots\!21}{83\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{31\!\cdots\!81}{83\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{25\!\cdots\!16}{83\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{44\!\cdots\!81}{83\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{41\!\cdots\!60}{83\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!90}{83\!\cdots\!73}a-\frac{19\!\cdots\!20}{83\!\cdots\!73}$, $\frac{14\!\cdots\!84}{15\!\cdots\!87}a^{26}+\frac{15\!\cdots\!19}{15\!\cdots\!87}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!87}a^{24}-\frac{52\!\cdots\!01}{83\!\cdots\!73}a^{23}-\frac{35\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!87}a^{22}+\frac{24\!\cdots\!23}{15\!\cdots\!87}a^{21}+\frac{29\!\cdots\!56}{83\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{33\!\cdots\!91}{15\!\cdots\!87}a^{19}-\frac{52\!\cdots\!70}{15\!\cdots\!87}a^{18}+\frac{31\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!46}{15\!\cdots\!87}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!56}{15\!\cdots\!87}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!87}a^{14}+\frac{84\!\cdots\!54}{15\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!87}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!66}{15\!\cdots\!87}a^{11}-\frac{35\!\cdots\!75}{15\!\cdots\!87}a^{10}+\frac{34\!\cdots\!44}{15\!\cdots\!87}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!38}{83\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!87}{83\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{51\!\cdots\!48}{83\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{71\!\cdots\!03}{83\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{42\!\cdots\!98}{83\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!43}{83\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{39\!\cdots\!52}{83\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{53\!\cdots\!80}{83\!\cdots\!73}a-\frac{12\!\cdots\!37}{83\!\cdots\!73}$, $\frac{14\!\cdots\!20}{15\!\cdots\!87}a^{26}-\frac{28\!\cdots\!90}{15\!\cdots\!87}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!87}a^{24}-\frac{23\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!87}a^{23}+\frac{34\!\cdots\!10}{15\!\cdots\!87}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!87}a^{21}-\frac{54\!\cdots\!16}{15\!\cdots\!87}a^{20}-\frac{25\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!87}a^{19}+\frac{50\!\cdots\!05}{15\!\cdots\!87}a^{18}+\frac{23\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!87}a^{17}-\frac{28\!\cdots\!74}{15\!\cdots\!87}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!36}{15\!\cdots\!87}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!54}{15\!\cdots\!87}a^{14}+\frac{33\!\cdots\!64}{15\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{24\!\cdots\!98}{15\!\cdots\!87}a^{12}-\frac{56\!\cdots\!72}{15\!\cdots\!87}a^{11}+\frac{35\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!87}a^{10}+\frac{54\!\cdots\!85}{15\!\cdots\!87}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!04}{83\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{18\!\cdots\!65}{83\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{70\!\cdots\!36}{83\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{84\!\cdots\!33}{83\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!96}{83\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{25\!\cdots\!04}{83\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!72}{83\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!42}{83\!\cdots\!73}a-\frac{34\!\cdots\!59}{83\!\cdots\!73}$, $\frac{38\!\cdots\!50}{15\!\cdots\!87}a^{26}-\frac{34\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!87}a^{25}+\frac{30\!\cdots\!34}{15\!\cdots\!87}a^{24}+\frac{34\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!87}a^{23}-\frac{92\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!87}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!87}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!68}{15\!\cdots\!87}a^{20}+\frac{19\!\cdots\!50}{15\!\cdots\!87}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!85}{15\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!40}{15\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{69\!\cdots\!60}{15\!\cdots\!87}a^{16}+\frac{93\!\cdots\!32}{15\!\cdots\!87}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!87}a^{14}-\frac{30\!\cdots\!32}{15\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{57\!\cdots\!22}{15\!\cdots\!87}a^{12}+\frac{62\!\cdots\!94}{15\!\cdots\!87}a^{11}-\frac{84\!\cdots\!84}{15\!\cdots\!87}a^{10}-\frac{79\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!87}a^{9}+\frac{40\!\cdots\!17}{83\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{31\!\cdots\!38}{83\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!58}{83\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!27}{83\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{53\!\cdots\!27}{83\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!41}{83\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{54\!\cdots\!41}{83\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{97\!\cdots\!09}{83\!\cdots\!73}a+\frac{19\!\cdots\!62}{83\!\cdots\!73}$, $\frac{64\!\cdots\!94}{15\!\cdots\!87}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!56}{15\!\cdots\!87}a^{25}+\frac{51\!\cdots\!98}{15\!\cdots\!87}a^{24}+\frac{52\!\cdots\!11}{83\!\cdots\!73}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!40}{15\!\cdots\!87}a^{22}-\frac{32\!\cdots\!99}{15\!\cdots\!87}a^{21}+\frac{22\!\cdots\!94}{15\!\cdots\!87}a^{20}+\frac{51\!\cdots\!70}{15\!\cdots\!87}a^{19}-\frac{19\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{45\!\cdots\!05}{15\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!70}{15\!\cdots\!87}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!87}a^{15}-\frac{37\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!87}a^{14}-\frac{79\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{89\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!87}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!42}{15\!\cdots\!87}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!60}{15\!\cdots\!87}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!87}a^{9}+\frac{79\!\cdots\!22}{83\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{84\!\cdots\!63}{83\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{51\!\cdots\!96}{83\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{33\!\cdots\!03}{83\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{17\!\cdots\!65}{83\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{54\!\cdots\!08}{83\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!74}{83\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!49}{83\!\cdots\!73}a+\frac{69\!\cdots\!26}{83\!\cdots\!73}$, $\frac{76\!\cdots\!94}{15\!\cdots\!87}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!87}a^{25}-\frac{61\!\cdots\!99}{15\!\cdots\!87}a^{24}-\frac{45\!\cdots\!93}{15\!\cdots\!87}a^{23}+\frac{19\!\cdots\!77}{15\!\cdots\!87}a^{22}+\frac{48\!\cdots\!74}{15\!\cdots\!87}a^{21}-\frac{31\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!87}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!87}a^{19}+\frac{29\!\cdots\!12}{15\!\cdots\!87}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!87}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!87}a^{16}-\frac{57\!\cdots\!97}{15\!\cdots\!87}a^{15}+\frac{70\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!87}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!30}{15\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!86}{15\!\cdots\!87}a^{12}-\frac{30\!\cdots\!19}{15\!\cdots\!87}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!05}{83\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{29\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!87}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!80}{83\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{67\!\cdots\!54}{83\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{93\!\cdots\!16}{83\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{90\!\cdots\!22}{83\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!37}{83\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!82}{83\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{32\!\cdots\!14}{83\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{32\!\cdots\!86}{83\!\cdots\!73}a-\frac{51\!\cdots\!53}{83\!\cdots\!73}$, $\frac{28\!\cdots\!36}{15\!\cdots\!87}a^{26}-\frac{29\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!87}a^{25}-\frac{22\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!87}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!05}{15\!\cdots\!87}a^{23}+\frac{68\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!87}a^{22}-\frac{45\!\cdots\!61}{15\!\cdots\!87}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!40}{15\!\cdots\!87}a^{20}+\frac{62\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!87}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{59\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!87}a^{17}-\frac{58\!\cdots\!46}{15\!\cdots\!87}a^{16}+\frac{38\!\cdots\!38}{15\!\cdots\!87}a^{15}+\frac{21\!\cdots\!48}{15\!\cdots\!87}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!65}{15\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{48\!\cdots\!52}{15\!\cdots\!87}a^{12}+\frac{43\!\cdots\!61}{15\!\cdots\!87}a^{11}+\frac{66\!\cdots\!12}{15\!\cdots\!87}a^{10}-\frac{68\!\cdots\!65}{15\!\cdots\!87}a^{9}-\frac{25\!\cdots\!35}{83\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{31\!\cdots\!58}{83\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{75\!\cdots\!40}{83\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!87}{83\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{40\!\cdots\!82}{83\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!11}{83\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{35\!\cdots\!66}{83\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!99}{83\!\cdots\!73}a+\frac{19\!\cdots\!29}{83\!\cdots\!73}$, $\frac{17\!\cdots\!24}{83\!\cdots\!73}a^{26}-\frac{26\!\cdots\!54}{15\!\cdots\!87}a^{25}+\frac{26\!\cdots\!64}{15\!\cdots\!87}a^{24}+\frac{26\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!87}a^{23}-\frac{80\!\cdots\!02}{15\!\cdots\!87}a^{22}-\frac{95\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!87}a^{21}+\frac{12\!\cdots\!67}{15\!\cdots\!87}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!22}{15\!\cdots\!87}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!05}{15\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{64\!\cdots\!00}{15\!\cdots\!87}a^{16}+\frac{81\!\cdots\!75}{15\!\cdots\!87}a^{15}-\frac{23\!\cdots\!62}{15\!\cdots\!87}a^{14}-\frac{27\!\cdots\!96}{15\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{55\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!87}a^{12}+\frac{57\!\cdots\!08}{15\!\cdots\!87}a^{11}-\frac{83\!\cdots\!28}{15\!\cdots\!87}a^{10}-\frac{74\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!87}a^{9}+\frac{40\!\cdots\!93}{83\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{29\!\cdots\!51}{83\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!44}{83\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!62}{83\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{62\!\cdots\!73}{83\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!75}{83\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{74\!\cdots\!44}{83\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!67}{83\!\cdots\!73}a+\frac{26\!\cdots\!17}{83\!\cdots\!73}$, $\frac{10\!\cdots\!34}{15\!\cdots\!87}a^{26}-\frac{23\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!87}a^{25}+\frac{80\!\cdots\!91}{15\!\cdots\!87}a^{24}+\frac{20\!\cdots\!92}{15\!\cdots\!87}a^{23}-\frac{23\!\cdots\!28}{15\!\cdots\!87}a^{22}-\frac{67\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!87}a^{21}+\frac{35\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!87}a^{20}+\frac{56\!\cdots\!20}{83\!\cdots\!73}a^{19}-\frac{30\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{98\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!87}a^{16}+\frac{54\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!87}a^{15}-\frac{53\!\cdots\!94}{15\!\cdots\!87}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!56}{15\!\cdots\!87}a^{12}+\frac{40\!\cdots\!84}{15\!\cdots\!87}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!14}{15\!\cdots\!87}a^{10}-\frac{55\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!87}a^{9}+\frac{93\!\cdots\!85}{83\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!53}{83\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{58\!\cdots\!89}{83\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{95\!\cdots\!14}{83\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!24}{83\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!65}{83\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{26\!\cdots\!21}{83\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{77\!\cdots\!67}{83\!\cdots\!73}a+\frac{99\!\cdots\!40}{83\!\cdots\!73}$, $\frac{12\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!87}a^{26}+\frac{24\!\cdots\!66}{15\!\cdots\!87}a^{25}+\frac{98\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!87}a^{24}-\frac{16\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!87}a^{23}-\frac{30\!\cdots\!23}{15\!\cdots\!87}a^{22}+\frac{45\!\cdots\!36}{15\!\cdots\!87}a^{21}+\frac{25\!\cdots\!93}{83\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{66\!\cdots\!78}{15\!\cdots\!87}a^{19}-\frac{46\!\cdots\!44}{15\!\cdots\!87}a^{18}+\frac{60\!\cdots\!96}{15\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{27\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!87}a^{16}-\frac{35\!\cdots\!34}{15\!\cdots\!87}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!38}{15\!\cdots\!87}a^{14}+\frac{71\!\cdots\!03}{83\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!92}{15\!\cdots\!87}a^{12}-\frac{32\!\cdots\!20}{15\!\cdots\!87}a^{11}-\frac{30\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!87}a^{10}+\frac{48\!\cdots\!62}{15\!\cdots\!87}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!73}{83\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{21\!\cdots\!57}{83\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!28}{83\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{91\!\cdots\!84}{83\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{85\!\cdots\!07}{83\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!73}{83\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{24\!\cdots\!65}{83\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{71\!\cdots\!72}{83\!\cdots\!73}a-\frac{13\!\cdots\!00}{83\!\cdots\!73}$, $\frac{39\!\cdots\!67}{15\!\cdots\!87}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!73}{15\!\cdots\!87}a^{25}-\frac{31\!\cdots\!58}{15\!\cdots\!87}a^{24}-\frac{93\!\cdots\!73}{15\!\cdots\!87}a^{23}+\frac{93\!\cdots\!26}{15\!\cdots\!87}a^{22}+\frac{29\!\cdots\!77}{15\!\cdots\!87}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!77}{15\!\cdots\!87}a^{20}-\frac{46\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!87}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!64}{15\!\cdots\!87}a^{18}+\frac{41\!\cdots\!32}{15\!\cdots\!87}a^{17}-\frac{63\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!87}a^{16}-\frac{22\!\cdots\!14}{15\!\cdots\!87}a^{15}+\frac{22\!\cdots\!08}{15\!\cdots\!87}a^{14}+\frac{78\!\cdots\!48}{15\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{30\!\cdots\!33}{83\!\cdots\!73}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!92}{15\!\cdots\!87}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!87}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!80}{15\!\cdots\!87}a^{9}-\frac{67\!\cdots\!96}{83\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{92\!\cdots\!87}{83\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{50\!\cdots\!17}{83\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{37\!\cdots\!62}{83\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!15}{83\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{63\!\cdots\!80}{83\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{34\!\cdots\!51}{83\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{35\!\cdots\!60}{83\!\cdots\!73}a-\frac{16\!\cdots\!68}{83\!\cdots\!73}$, $\frac{10\!\cdots\!12}{15\!\cdots\!87}a^{26}+\frac{40\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!87}a^{25}-\frac{83\!\cdots\!42}{15\!\cdots\!87}a^{24}-\frac{51\!\cdots\!02}{15\!\cdots\!87}a^{23}+\frac{25\!\cdots\!24}{15\!\cdots\!87}a^{22}+\frac{19\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!87}a^{21}-\frac{41\!\cdots\!18}{15\!\cdots\!87}a^{20}-\frac{18\!\cdots\!94}{83\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{39\!\cdots\!64}{15\!\cdots\!87}a^{18}+\frac{32\!\cdots\!22}{15\!\cdots\!87}a^{17}-\frac{23\!\cdots\!80}{15\!\cdots\!87}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!39}{15\!\cdots\!87}a^{15}+\frac{90\!\cdots\!23}{15\!\cdots\!87}a^{14}+\frac{55\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{23\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!87}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!87}a^{11}+\frac{37\!\cdots\!12}{15\!\cdots\!87}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!61}{15\!\cdots\!87}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!38}{83\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{24\!\cdots\!02}{83\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!40}{83\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{43\!\cdots\!97}{83\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{31\!\cdots\!62}{83\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{54\!\cdots\!58}{83\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!71}{83\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{36\!\cdots\!55}{83\!\cdots\!73}a+\frac{98\!\cdots\!44}{83\!\cdots\!73}$, $\frac{11\!\cdots\!30}{15\!\cdots\!87}a^{26}-\frac{69\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!87}a^{25}-\frac{89\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!87}a^{24}+\frac{36\!\cdots\!65}{15\!\cdots\!87}a^{23}+\frac{26\!\cdots\!48}{15\!\cdots\!87}a^{22}-\frac{69\!\cdots\!23}{15\!\cdots\!87}a^{21}-\frac{41\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!87}a^{20}+\frac{89\!\cdots\!30}{15\!\cdots\!87}a^{19}+\frac{38\!\cdots\!96}{15\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!87}a^{17}-\frac{21\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!87}a^{16}+\frac{85\!\cdots\!12}{15\!\cdots\!87}a^{15}+\frac{78\!\cdots\!54}{15\!\cdots\!87}a^{14}-\frac{43\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!73}{15\!\cdots\!87}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!80}{15\!\cdots\!87}a^{11}+\frac{24\!\cdots\!60}{15\!\cdots\!87}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!42}{15\!\cdots\!87}a^{9}-\frac{96\!\cdots\!47}{83\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!20}{83\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{31\!\cdots\!28}{83\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{49\!\cdots\!11}{83\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{17\!\cdots\!61}{83\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{84\!\cdots\!95}{83\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{95\!\cdots\!70}{83\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{27\!\cdots\!57}{83\!\cdots\!73}a+\frac{35\!\cdots\!87}{83\!\cdots\!73}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 320110532571514240 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 320110532571514240 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{8156031539646242110766745600690995639746738537518609}}\cr\approx \mathstrut & 0.237870400029231 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_3^6.C_3^3:C_9$ (as 27T1470):

A solvable group of order 177147

The 251 conjugacy class representatives for $C_3^6.C_3^3:C_9$

Character table for $C_3^6.C_3^3:C_9$

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{9})^+\), 9.9.139858796529.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Sibling fields

Degree 27 siblings:	data not computed
Minimal sibling:	27.27.8156031539646242110766745600690995639746738537518609.7

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	${\href{/padicField/2.9.0.1}{9} }^{3}$	R	$27$	${\href{/padicField/7.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/padicField/7.3.0.1}{3} }^{6}$	${\href{/padicField/11.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{6}$	${\href{/padicField/13.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }^{3}$	R	${\href{/padicField/23.9.0.1}{9} }^{3}$	$27$	${\href{/padicField/31.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{6}$	${\href{/padicField/37.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{5}{,}\,{\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }^{3}$	$27$	${\href{/padicField/43.9.0.1}{9} }^{3}$	$27$	${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/padicField/53.3.0.1}{3} }^{6}$	$27$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(3\)		Deg $27$	$27$	$1$	$82$
\(19\)	19.3.0.1	$x^{3} + 4 x + 17$	$1$	$3$	$0$	$C_3$	$[\ ]^{3}$
	19.3.0.1	$x^{3} + 4 x + 17$	$1$	$3$	$0$	$C_3$	$[\ ]^{3}$
	19.3.2.1	$x^{3} + 76$	$3$	$1$	$2$	$C_3$	$[\ ]_{3}$
	19.3.0.1	$x^{3} + 4 x + 17$	$1$	$3$	$0$	$C_3$	$[\ ]^{3}$
	19.3.0.1	$x^{3} + 4 x + 17$	$1$	$3$	$0$	$C_3$	$[\ ]^{3}$
	19.3.0.1	$x^{3} + 4 x + 17$	$1$	$3$	$0$	$C_3$	$[\ ]^{3}$
	19.9.8.2	$x^{9} + 57$	$9$	$1$	$8$	$C_9$	$[\ ]_{9}$