Number field 27.27.8156031539646242110766745600690995639746738537518609.10

• Label: 27.27.815...609.10
• Degree: $27$
• Signature: $[27, 0]$
• Discriminant: $8.156\times 10^{51}$
• Root discriminant: \(83.68\)
• Ramified primes: $3,19$
• Class number: $1$ (GRH)
• Class group: trivial (GRH)
• Galois group: $C_3^7.C_3\wr C_3$ (as 27T1459)

Normalized defining polynomial

x^27 - 81*x^25 - 90*x^24 + 2511*x^23 + 4536*x^22 - 39600*x^21 - 92988*x^20 + 349893*x^19 + 1017738*x^18 - 1758591*x^17 - 6549093*x^16 + 4672692*x^15 + 25803846*x^14 - 4242348*x^13 - 63419616*x^12 - 8199792*x^11 + 98254890*x^10 + 25070082*x^9 - 96883128*x^8 - 24099201*x^7 + 60870528*x^6 + 8104374*x^5 - 22874670*x^4 + 1305585*x^3 + 3859812*x^2 - 1091664*x + 84113

Invariants

Degree:		$27$
Signature:		$[27, 0]$
Discriminant:		\(8156031539646242110766745600690995639746738537518609\) \(\medspace = 3^{82}\cdot 19^{10}\)
Root discriminant:		\(83.68\)
Galois root discriminant:		not computed
Ramified primes:		\(3\), \(19\)
Discriminant root field:		\(\Q\)
$\card{ \Aut(K/\Q) }$:		$3$
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $\frac{1}{19}a^{24}-\frac{5}{19}a^{22}+\frac{5}{19}a^{21}+\frac{3}{19}a^{20}-\frac{5}{19}a^{19}-\frac{4}{19}a^{18}-\frac{2}{19}a^{17}+\frac{8}{19}a^{16}+\frac{3}{19}a^{15}-\frac{8}{19}a^{14}-\frac{2}{19}a^{13}+\frac{3}{19}a^{12}+\frac{3}{19}a^{11}-\frac{9}{19}a^{10}+\frac{9}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{25}-\frac{5}{19}a^{23}+\frac{5}{19}a^{22}+\frac{3}{19}a^{21}-\frac{5}{19}a^{20}-\frac{4}{19}a^{19}-\frac{2}{19}a^{18}+\frac{8}{19}a^{17}+\frac{3}{19}a^{16}-\frac{8}{19}a^{15}-\frac{2}{19}a^{14}+\frac{3}{19}a^{13}+\frac{3}{19}a^{12}-\frac{9}{19}a^{11}+\frac{9}{19}a^{10}$, $\frac{1}{17\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{17\!\cdots\!00}{17\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{52\!\cdots\!14}{17\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{79\!\cdots\!64}{17\!\cdots\!79}a^{23}+\frac{30\!\cdots\!57}{17\!\cdots\!79}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!17}{90\!\cdots\!41}a^{21}-\frac{74\!\cdots\!20}{17\!\cdots\!79}a^{20}-\frac{24\!\cdots\!03}{17\!\cdots\!79}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!75}{17\!\cdots\!79}a^{18}+\frac{30\!\cdots\!82}{17\!\cdots\!79}a^{17}-\frac{61\!\cdots\!92}{17\!\cdots\!79}a^{16}+\frac{48\!\cdots\!31}{17\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!33}{90\!\cdots\!41}a^{14}-\frac{62\!\cdots\!70}{17\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{33\!\cdots\!74}{17\!\cdots\!79}a^{12}+\frac{31\!\cdots\!87}{17\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{72\!\cdots\!09}{17\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!35}{17\!\cdots\!79}a^{9}-\frac{55\!\cdots\!64}{90\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!40}{90\!\cdots\!41}a^{7}+\frac{75\!\cdots\!00}{90\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!69}{90\!\cdots\!41}a^{5}-\frac{41\!\cdots\!41}{90\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{35\!\cdots\!05}{90\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!90}{90\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!03}{90\!\cdots\!41}a-\frac{20\!\cdots\!91}{90\!\cdots\!41}$

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$26$
Torsion generator:		\( -1 \)  (order $2$)
Fundamental units:		$\frac{25\!\cdots\!67}{71\!\cdots\!31}a^{26}-\frac{16\!\cdots\!89}{71\!\cdots\!31}a^{25}+\frac{20\!\cdots\!04}{71\!\cdots\!31}a^{24}+\frac{36\!\cdots\!90}{71\!\cdots\!31}a^{23}-\frac{61\!\cdots\!12}{71\!\cdots\!31}a^{22}-\frac{81\!\cdots\!46}{37\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{89\!\cdots\!58}{71\!\cdots\!31}a^{20}+\frac{29\!\cdots\!09}{71\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{68\!\cdots\!82}{71\!\cdots\!31}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!74}{37\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{24\!\cdots\!75}{71\!\cdots\!31}a^{16}+\frac{94\!\cdots\!27}{37\!\cdots\!49}a^{15}+\frac{23\!\cdots\!22}{71\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{63\!\cdots\!34}{71\!\cdots\!31}a^{13}-\frac{31\!\cdots\!79}{71\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!47}{71\!\cdots\!31}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!47}{71\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!49}{71\!\cdots\!31}a^{9}-\frac{86\!\cdots\!06}{37\!\cdots\!49}a^{8}+\frac{60\!\cdots\!12}{37\!\cdots\!49}a^{7}+\frac{67\!\cdots\!79}{37\!\cdots\!49}a^{6}-\frac{26\!\cdots\!05}{37\!\cdots\!49}a^{5}-\frac{25\!\cdots\!74}{37\!\cdots\!49}a^{4}+\frac{85\!\cdots\!61}{37\!\cdots\!49}a^{3}+\frac{36\!\cdots\!68}{37\!\cdots\!49}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!44}{37\!\cdots\!49}a+\frac{13\!\cdots\!47}{37\!\cdots\!49}$, $\frac{25\!\cdots\!67}{71\!\cdots\!31}a^{26}+\frac{16\!\cdots\!89}{71\!\cdots\!31}a^{25}-\frac{20\!\cdots\!04}{71\!\cdots\!31}a^{24}-\frac{36\!\cdots\!90}{71\!\cdots\!31}a^{23}+\frac{61\!\cdots\!12}{71\!\cdots\!31}a^{22}+\frac{81\!\cdots\!46}{37\!\cdots\!49}a^{21}-\frac{89\!\cdots\!58}{71\!\cdots\!31}a^{20}-\frac{29\!\cdots\!09}{71\!\cdots\!31}a^{19}+\frac{68\!\cdots\!82}{71\!\cdots\!31}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!74}{37\!\cdots\!49}a^{17}-\frac{24\!\cdots\!75}{71\!\cdots\!31}a^{16}-\frac{94\!\cdots\!27}{37\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{23\!\cdots\!22}{71\!\cdots\!31}a^{14}+\frac{63\!\cdots\!34}{71\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{31\!\cdots\!79}{71\!\cdots\!31}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!47}{71\!\cdots\!31}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!47}{71\!\cdots\!31}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!49}{71\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{86\!\cdots\!06}{37\!\cdots\!49}a^{8}-\frac{60\!\cdots\!12}{37\!\cdots\!49}a^{7}-\frac{67\!\cdots\!79}{37\!\cdots\!49}a^{6}+\frac{26\!\cdots\!05}{37\!\cdots\!49}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!74}{37\!\cdots\!49}a^{4}-\frac{85\!\cdots\!61}{37\!\cdots\!49}a^{3}-\frac{36\!\cdots\!68}{37\!\cdots\!49}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!44}{37\!\cdots\!49}a-\frac{13\!\cdots\!96}{37\!\cdots\!49}$, $\frac{22\!\cdots\!51}{17\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{41\!\cdots\!10}{17\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!51}{17\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{53\!\cdots\!18}{17\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{52\!\cdots\!06}{17\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!82}{90\!\cdots\!41}a^{21}+\frac{70\!\cdots\!50}{17\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{36\!\cdots\!14}{17\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{41\!\cdots\!73}{17\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!79}{90\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!37}{17\!\cdots\!79}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!84}{90\!\cdots\!41}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!56}{17\!\cdots\!79}a^{14}-\frac{70\!\cdots\!03}{17\!\cdots\!79}a^{13}-\frac{78\!\cdots\!46}{17\!\cdots\!79}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!02}{17\!\cdots\!79}a^{11}+\frac{20\!\cdots\!15}{17\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!59}{17\!\cdots\!79}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!99}{90\!\cdots\!41}a^{8}+\frac{48\!\cdots\!88}{90\!\cdots\!41}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!89}{90\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!85}{90\!\cdots\!41}a^{5}-\frac{50\!\cdots\!91}{90\!\cdots\!41}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!27}{90\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{86\!\cdots\!13}{90\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{29\!\cdots\!24}{90\!\cdots\!41}a+\frac{24\!\cdots\!58}{90\!\cdots\!41}$, $\frac{27\!\cdots\!93}{17\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{54\!\cdots\!41}{17\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{21\!\cdots\!83}{17\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!50}{17\!\cdots\!79}a^{23}+\frac{69\!\cdots\!11}{17\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{61\!\cdots\!40}{90\!\cdots\!41}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!36}{17\!\cdots\!79}a^{20}-\frac{33\!\cdots\!02}{17\!\cdots\!79}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!11}{17\!\cdots\!79}a^{18}+\frac{37\!\cdots\!11}{90\!\cdots\!41}a^{17}-\frac{81\!\cdots\!09}{17\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{31\!\cdots\!21}{90\!\cdots\!41}a^{15}+\frac{35\!\cdots\!30}{17\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{28\!\cdots\!41}{17\!\cdots\!79}a^{13}-\frac{99\!\cdots\!73}{17\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{81\!\cdots\!14}{17\!\cdots\!79}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!59}{17\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!72}{17\!\cdots\!79}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!46}{90\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{68\!\cdots\!57}{90\!\cdots\!41}a^{7}+\frac{95\!\cdots\!28}{90\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{30\!\cdots\!68}{90\!\cdots\!41}a^{5}-\frac{45\!\cdots\!40}{90\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{80\!\cdots\!23}{90\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{95\!\cdots\!04}{90\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{25\!\cdots\!60}{90\!\cdots\!41}a+\frac{19\!\cdots\!49}{90\!\cdots\!41}$, $\frac{53\!\cdots\!75}{17\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{69\!\cdots\!42}{17\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{43\!\cdots\!22}{17\!\cdots\!79}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!72}{17\!\cdots\!79}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!73}{17\!\cdots\!79}a^{22}+\frac{21\!\cdots\!96}{90\!\cdots\!41}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!25}{17\!\cdots\!79}a^{20}-\frac{74\!\cdots\!81}{17\!\cdots\!79}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!48}{17\!\cdots\!79}a^{18}+\frac{39\!\cdots\!46}{90\!\cdots\!41}a^{17}-\frac{25\!\cdots\!44}{17\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{23\!\cdots\!43}{90\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!48}{17\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!47}{17\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!92}{17\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{30\!\cdots\!28}{17\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{35\!\cdots\!87}{17\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{36\!\cdots\!93}{17\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!22}{90\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!21}{90\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!83}{90\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{55\!\cdots\!22}{90\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{86\!\cdots\!36}{90\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{21\!\cdots\!05}{90\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!11}{90\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{50\!\cdots\!19}{90\!\cdots\!41}a-\frac{43\!\cdots\!10}{90\!\cdots\!41}$, $\frac{53\!\cdots\!75}{17\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{69\!\cdots\!42}{17\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{43\!\cdots\!22}{17\!\cdots\!79}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!72}{17\!\cdots\!79}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!73}{17\!\cdots\!79}a^{22}+\frac{21\!\cdots\!96}{90\!\cdots\!41}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!25}{17\!\cdots\!79}a^{20}-\frac{74\!\cdots\!81}{17\!\cdots\!79}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!48}{17\!\cdots\!79}a^{18}+\frac{39\!\cdots\!46}{90\!\cdots\!41}a^{17}-\frac{25\!\cdots\!44}{17\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{23\!\cdots\!43}{90\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!48}{17\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!47}{17\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!92}{17\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{30\!\cdots\!28}{17\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{35\!\cdots\!87}{17\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{36\!\cdots\!93}{17\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!22}{90\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!21}{90\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!83}{90\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{55\!\cdots\!22}{90\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{86\!\cdots\!36}{90\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{21\!\cdots\!05}{90\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!11}{90\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{50\!\cdots\!19}{90\!\cdots\!41}a-\frac{43\!\cdots\!51}{90\!\cdots\!41}$, $\frac{74\!\cdots\!97}{17\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{22\!\cdots\!39}{17\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{58\!\cdots\!92}{17\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!65}{17\!\cdots\!79}a^{23}+\frac{19\!\cdots\!07}{17\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!93}{90\!\cdots\!41}a^{21}-\frac{35\!\cdots\!01}{17\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!66}{17\!\cdots\!79}a^{19}+\frac{39\!\cdots\!35}{17\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{31\!\cdots\!20}{90\!\cdots\!41}a^{17}-\frac{28\!\cdots\!77}{17\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!62}{90\!\cdots\!41}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!56}{17\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{39\!\cdots\!47}{17\!\cdots\!79}a^{13}-\frac{40\!\cdots\!15}{17\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!75}{17\!\cdots\!79}a^{11}+\frac{81\!\cdots\!11}{17\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{34\!\cdots\!60}{17\!\cdots\!79}a^{9}-\frac{54\!\cdots\!45}{90\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{19\!\cdots\!04}{90\!\cdots\!41}a^{7}+\frac{43\!\cdots\!54}{90\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{86\!\cdots\!23}{90\!\cdots\!41}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!04}{90\!\cdots\!41}a^{4}+\frac{50\!\cdots\!16}{90\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{39\!\cdots\!42}{90\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!22}{90\!\cdots\!41}a+\frac{84\!\cdots\!08}{90\!\cdots\!41}$, $\frac{13\!\cdots\!55}{17\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{47\!\cdots\!37}{17\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!61}{17\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{86\!\cdots\!56}{17\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{33\!\cdots\!45}{17\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{26\!\cdots\!19}{90\!\cdots\!41}a^{21}+\frac{52\!\cdots\!79}{17\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!89}{17\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{46\!\cdots\!98}{17\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{60\!\cdots\!74}{90\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{23\!\cdots\!18}{17\!\cdots\!79}a^{16}+\frac{37\!\cdots\!01}{90\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{64\!\cdots\!05}{17\!\cdots\!79}a^{14}-\frac{26\!\cdots\!76}{17\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{75\!\cdots\!36}{17\!\cdots\!79}a^{12}+\frac{59\!\cdots\!18}{17\!\cdots\!79}a^{11}+\frac{22\!\cdots\!83}{17\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{78\!\cdots\!06}{17\!\cdots\!79}a^{9}-\frac{72\!\cdots\!99}{90\!\cdots\!41}a^{8}+\frac{31\!\cdots\!86}{90\!\cdots\!41}a^{7}+\frac{52\!\cdots\!55}{90\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!01}{90\!\cdots\!41}a^{5}-\frac{52\!\cdots\!89}{90\!\cdots\!41}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!46}{90\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{43\!\cdots\!84}{90\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{48\!\cdots\!70}{90\!\cdots\!41}a+\frac{88\!\cdots\!04}{90\!\cdots\!41}$, $\frac{19\!\cdots\!68}{17\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{35\!\cdots\!05}{17\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!22}{17\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{29\!\cdots\!59}{17\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{29\!\cdots\!53}{17\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{95\!\cdots\!21}{17\!\cdots\!79}a^{21}-\frac{43\!\cdots\!57}{17\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!88}{17\!\cdots\!79}a^{19}+\frac{19\!\cdots\!23}{17\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!87}{17\!\cdots\!79}a^{17}-\frac{24\!\cdots\!24}{17\!\cdots\!79}a^{16}+\frac{75\!\cdots\!90}{17\!\cdots\!79}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!33}{17\!\cdots\!79}a^{14}-\frac{23\!\cdots\!53}{17\!\cdots\!79}a^{13}-\frac{66\!\cdots\!12}{17\!\cdots\!79}a^{12}+\frac{38\!\cdots\!45}{17\!\cdots\!79}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!41}{17\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{28\!\cdots\!89}{17\!\cdots\!79}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!32}{90\!\cdots\!41}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!64}{90\!\cdots\!41}a^{7}+\frac{86\!\cdots\!44}{90\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!68}{90\!\cdots\!41}a^{5}-\frac{37\!\cdots\!47}{90\!\cdots\!41}a^{4}+\frac{48\!\cdots\!50}{90\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{69\!\cdots\!20}{90\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!83}{90\!\cdots\!41}a+\frac{18\!\cdots\!46}{90\!\cdots\!41}$, $\frac{48\!\cdots\!88}{17\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!59}{17\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{38\!\cdots\!08}{17\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{52\!\cdots\!21}{17\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!31}{17\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{24\!\cdots\!24}{17\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{17\!\cdots\!39}{17\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{47\!\cdots\!85}{17\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!42}{17\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{49\!\cdots\!92}{17\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{60\!\cdots\!24}{17\!\cdots\!79}a^{16}+\frac{29\!\cdots\!72}{17\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{92\!\cdots\!20}{17\!\cdots\!79}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!15}{17\!\cdots\!79}a^{13}-\frac{23\!\cdots\!49}{17\!\cdots\!79}a^{12}+\frac{23\!\cdots\!32}{17\!\cdots\!79}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!69}{17\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{28\!\cdots\!02}{17\!\cdots\!79}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!12}{90\!\cdots\!41}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!36}{90\!\cdots\!41}a^{7}+\frac{80\!\cdots\!59}{90\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{48\!\cdots\!28}{90\!\cdots\!41}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!02}{90\!\cdots\!41}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!49}{90\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{35\!\cdots\!91}{90\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!56}{90\!\cdots\!41}a+\frac{15\!\cdots\!16}{90\!\cdots\!41}$, $\frac{19\!\cdots\!08}{17\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{24\!\cdots\!91}{17\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!91}{17\!\cdots\!79}a^{24}-\frac{15\!\cdots\!43}{17\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{49\!\cdots\!34}{17\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{29\!\cdots\!43}{17\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{82\!\cdots\!60}{17\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{83\!\cdots\!76}{17\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{79\!\cdots\!78}{17\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!13}{17\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{47\!\cdots\!29}{17\!\cdots\!79}a^{16}+\frac{37\!\cdots\!45}{90\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!44}{17\!\cdots\!79}a^{14}-\frac{28\!\cdots\!02}{17\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{43\!\cdots\!19}{17\!\cdots\!79}a^{12}+\frac{70\!\cdots\!45}{17\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{70\!\cdots\!66}{17\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!51}{17\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{41\!\cdots\!65}{90\!\cdots\!41}a^{8}+\frac{46\!\cdots\!23}{90\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{33\!\cdots\!52}{90\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{19\!\cdots\!84}{90\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{17\!\cdots\!31}{90\!\cdots\!41}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!91}{90\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{39\!\cdots\!81}{90\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!29}{90\!\cdots\!41}a-\frac{87\!\cdots\!97}{90\!\cdots\!41}$, $\frac{52\!\cdots\!47}{17\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{69\!\cdots\!68}{17\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{41\!\cdots\!09}{17\!\cdots\!79}a^{24}-\frac{76\!\cdots\!10}{17\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!08}{17\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{65\!\cdots\!95}{17\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!83}{17\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{20\!\cdots\!50}{17\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!50}{17\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{25\!\cdots\!78}{17\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!72}{17\!\cdots\!79}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!90}{17\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{49\!\cdots\!06}{17\!\cdots\!79}a^{14}-\frac{73\!\cdots\!43}{17\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!26}{17\!\cdots\!79}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!63}{17\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!26}{17\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{27\!\cdots\!02}{17\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!62}{90\!\cdots\!41}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!85}{90\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{97\!\cdots\!49}{90\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{54\!\cdots\!67}{90\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{48\!\cdots\!20}{90\!\cdots\!41}a^{4}+\frac{51\!\cdots\!62}{90\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!49}{90\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{27\!\cdots\!90}{90\!\cdots\!41}a-\frac{19\!\cdots\!32}{90\!\cdots\!41}$, $\frac{35\!\cdots\!41}{17\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{22\!\cdots\!75}{90\!\cdots\!41}a^{25}+\frac{27\!\cdots\!33}{17\!\cdots\!79}a^{24}-\frac{32\!\cdots\!14}{17\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{87\!\cdots\!02}{17\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{49\!\cdots\!30}{17\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!26}{17\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!43}{17\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!64}{17\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!44}{17\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{85\!\cdots\!45}{17\!\cdots\!79}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!67}{17\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{32\!\cdots\!44}{17\!\cdots\!79}a^{14}-\frac{50\!\cdots\!68}{17\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{42\!\cdots\!19}{90\!\cdots\!41}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!17}{17\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!79}{17\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!28}{17\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{79\!\cdots\!17}{90\!\cdots\!41}a^{8}+\frac{86\!\cdots\!04}{90\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{64\!\cdots\!64}{90\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{37\!\cdots\!59}{90\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{33\!\cdots\!13}{90\!\cdots\!41}a^{4}+\frac{35\!\cdots\!85}{90\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{76\!\cdots\!74}{90\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!95}{90\!\cdots\!41}a-\frac{14\!\cdots\!91}{90\!\cdots\!41}$, $\frac{12\!\cdots\!50}{17\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{16\!\cdots\!47}{17\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!46}{17\!\cdots\!79}a^{24}-\frac{20\!\cdots\!08}{17\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{31\!\cdots\!72}{17\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!83}{17\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{52\!\cdots\!12}{17\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{47\!\cdots\!68}{17\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{51\!\cdots\!48}{17\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{61\!\cdots\!83}{17\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{31\!\cdots\!82}{17\!\cdots\!79}a^{16}+\frac{42\!\cdots\!45}{17\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!32}{17\!\cdots\!79}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!48}{17\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{30\!\cdots\!98}{17\!\cdots\!79}a^{12}+\frac{44\!\cdots\!94}{17\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{51\!\cdots\!84}{17\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{67\!\cdots\!85}{17\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{31\!\cdots\!47}{90\!\cdots\!41}a^{8}+\frac{30\!\cdots\!59}{90\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!12}{90\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!39}{90\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!62}{90\!\cdots\!41}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!77}{90\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{28\!\cdots\!00}{90\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{69\!\cdots\!32}{90\!\cdots\!41}a-\frac{50\!\cdots\!91}{90\!\cdots\!41}$, $\frac{34\!\cdots\!79}{17\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{34\!\cdots\!30}{17\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{27\!\cdots\!69}{17\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{59\!\cdots\!67}{17\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{82\!\cdots\!45}{17\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{24\!\cdots\!33}{17\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{61\!\cdots\!59}{90\!\cdots\!41}a^{20}+\frac{44\!\cdots\!87}{17\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{83\!\cdots\!98}{17\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{45\!\cdots\!00}{17\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!32}{17\!\cdots\!79}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!46}{17\!\cdots\!79}a^{15}+\frac{75\!\cdots\!61}{17\!\cdots\!79}a^{14}-\frac{91\!\cdots\!32}{17\!\cdots\!79}a^{13}-\frac{69\!\cdots\!74}{17\!\cdots\!79}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!34}{17\!\cdots\!79}a^{11}+\frac{20\!\cdots\!93}{17\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!58}{17\!\cdots\!79}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!63}{90\!\cdots\!41}a^{8}+\frac{74\!\cdots\!85}{90\!\cdots\!41}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!54}{90\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{32\!\cdots\!26}{90\!\cdots\!41}a^{5}-\frac{51\!\cdots\!28}{90\!\cdots\!41}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!74}{90\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{83\!\cdots\!32}{90\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{30\!\cdots\!48}{90\!\cdots\!41}a+\frac{25\!\cdots\!28}{90\!\cdots\!41}$, $\frac{92\!\cdots\!66}{17\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!11}{17\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{73\!\cdots\!77}{17\!\cdots\!79}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!32}{17\!\cdots\!79}a^{23}+\frac{23\!\cdots\!01}{17\!\cdots\!79}a^{22}+\frac{16\!\cdots\!69}{17\!\cdots\!79}a^{21}-\frac{37\!\cdots\!98}{17\!\cdots\!79}a^{20}-\frac{42\!\cdots\!18}{17\!\cdots\!79}a^{19}+\frac{36\!\cdots\!85}{17\!\cdots\!79}a^{18}+\frac{52\!\cdots\!75}{17\!\cdots\!79}a^{17}-\frac{21\!\cdots\!38}{17\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{35\!\cdots\!18}{17\!\cdots\!79}a^{15}+\frac{78\!\cdots\!39}{17\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!50}{17\!\cdots\!79}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!35}{17\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{34\!\cdots\!46}{17\!\cdots\!79}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!87}{90\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{49\!\cdots\!78}{17\!\cdots\!79}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!64}{90\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!48}{90\!\cdots\!41}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!75}{90\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{97\!\cdots\!63}{90\!\cdots\!41}a^{5}-\frac{68\!\cdots\!05}{90\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!32}{90\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!00}{90\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{38\!\cdots\!64}{90\!\cdots\!41}a+\frac{26\!\cdots\!00}{90\!\cdots\!41}$, $\frac{89\!\cdots\!91}{17\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{15\!\cdots\!41}{17\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{71\!\cdots\!98}{17\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{23\!\cdots\!64}{90\!\cdots\!41}a^{23}+\frac{22\!\cdots\!39}{17\!\cdots\!79}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!01}{17\!\cdots\!79}a^{21}-\frac{38\!\cdots\!01}{17\!\cdots\!79}a^{20}-\frac{19\!\cdots\!12}{17\!\cdots\!79}a^{19}+\frac{39\!\cdots\!10}{17\!\cdots\!79}a^{18}+\frac{30\!\cdots\!51}{17\!\cdots\!79}a^{17}-\frac{25\!\cdots\!24}{17\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!55}{90\!\cdots\!41}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!97}{17\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!49}{17\!\cdots\!79}a^{13}-\frac{28\!\cdots\!41}{17\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{27\!\cdots\!35}{17\!\cdots\!79}a^{11}+\frac{51\!\cdots\!91}{17\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{45\!\cdots\!36}{17\!\cdots\!79}a^{9}-\frac{32\!\cdots\!56}{90\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{21\!\cdots\!30}{90\!\cdots\!41}a^{7}+\frac{26\!\cdots\!58}{90\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{94\!\cdots\!71}{90\!\cdots\!41}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!73}{90\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{45\!\cdots\!90}{90\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{26\!\cdots\!77}{90\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{69\!\cdots\!45}{90\!\cdots\!41}a+\frac{52\!\cdots\!63}{90\!\cdots\!41}$, $\frac{21\!\cdots\!46}{17\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!02}{17\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{16\!\cdots\!18}{17\!\cdots\!79}a^{24}-\frac{53\!\cdots\!40}{17\!\cdots\!79}a^{23}+\frac{52\!\cdots\!18}{17\!\cdots\!79}a^{22}+\frac{52\!\cdots\!81}{17\!\cdots\!79}a^{21}-\frac{85\!\cdots\!06}{17\!\cdots\!79}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!58}{17\!\cdots\!79}a^{19}+\frac{79\!\cdots\!94}{17\!\cdots\!79}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!18}{17\!\cdots\!79}a^{17}-\frac{44\!\cdots\!64}{17\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{92\!\cdots\!44}{17\!\cdots\!79}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!57}{17\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{35\!\cdots\!99}{17\!\cdots\!79}a^{13}-\frac{30\!\cdots\!27}{17\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{84\!\cdots\!55}{17\!\cdots\!79}a^{11}+\frac{38\!\cdots\!32}{17\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!51}{17\!\cdots\!79}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!32}{90\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{51\!\cdots\!83}{90\!\cdots\!41}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!66}{90\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!40}{90\!\cdots\!41}a^{5}-\frac{89\!\cdots\!04}{90\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{36\!\cdots\!71}{90\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{24\!\cdots\!84}{90\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{41\!\cdots\!24}{90\!\cdots\!41}a+\frac{19\!\cdots\!57}{90\!\cdots\!41}$, $\frac{23\!\cdots\!43}{90\!\cdots\!41}a^{26}+\frac{69\!\cdots\!34}{17\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{35\!\cdots\!45}{17\!\cdots\!79}a^{24}-\frac{14\!\cdots\!24}{17\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!45}{17\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{32\!\cdots\!48}{17\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{19\!\cdots\!43}{17\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!74}{17\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!11}{17\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!77}{17\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!97}{17\!\cdots\!79}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!11}{17\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{46\!\cdots\!63}{17\!\cdots\!79}a^{14}-\frac{57\!\cdots\!40}{17\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{63\!\cdots\!35}{90\!\cdots\!41}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!80}{17\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!19}{17\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!11}{17\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!57}{90\!\cdots\!41}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!37}{90\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!01}{90\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{44\!\cdots\!14}{90\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{49\!\cdots\!49}{90\!\cdots\!41}a^{4}+\frac{30\!\cdots\!28}{90\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!01}{90\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{27\!\cdots\!53}{90\!\cdots\!41}a-\frac{20\!\cdots\!61}{90\!\cdots\!41}$, $\frac{74\!\cdots\!53}{17\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{74\!\cdots\!74}{17\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{60\!\cdots\!93}{17\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!48}{17\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{17\!\cdots\!08}{17\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{51\!\cdots\!89}{17\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{25\!\cdots\!30}{17\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{96\!\cdots\!49}{17\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!33}{17\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{96\!\cdots\!69}{17\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{48\!\cdots\!51}{17\!\cdots\!79}a^{16}+\frac{56\!\cdots\!89}{17\!\cdots\!79}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!89}{17\!\cdots\!79}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!62}{17\!\cdots\!79}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!81}{17\!\cdots\!79}a^{12}+\frac{40\!\cdots\!93}{17\!\cdots\!79}a^{11}+\frac{43\!\cdots\!15}{17\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{47\!\cdots\!06}{17\!\cdots\!79}a^{9}-\frac{33\!\cdots\!97}{90\!\cdots\!41}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!02}{90\!\cdots\!41}a^{7}+\frac{26\!\cdots\!23}{90\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{71\!\cdots\!27}{90\!\cdots\!41}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!65}{90\!\cdots\!41}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!32}{90\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!27}{90\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{61\!\cdots\!30}{90\!\cdots\!41}a+\frac{52\!\cdots\!79}{90\!\cdots\!41}$, $\frac{31\!\cdots\!09}{17\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{28\!\cdots\!77}{17\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{25\!\cdots\!37}{17\!\cdots\!79}a^{24}-\frac{26\!\cdots\!18}{17\!\cdots\!79}a^{23}+\frac{40\!\cdots\!99}{90\!\cdots\!41}a^{22}+\frac{70\!\cdots\!28}{90\!\cdots\!41}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!13}{17\!\cdots\!79}a^{20}-\frac{27\!\cdots\!55}{17\!\cdots\!79}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!65}{17\!\cdots\!79}a^{18}+\frac{28\!\cdots\!65}{17\!\cdots\!79}a^{17}-\frac{46\!\cdots\!55}{17\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!61}{17\!\cdots\!79}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!16}{17\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{64\!\cdots\!75}{17\!\cdots\!79}a^{13}-\frac{96\!\cdots\!44}{90\!\cdots\!41}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!29}{17\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{40\!\cdots\!94}{17\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!81}{17\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{41\!\cdots\!83}{90\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{72\!\cdots\!94}{90\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{32\!\cdots\!55}{90\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{31\!\cdots\!24}{90\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!60}{90\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{75\!\cdots\!23}{90\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{70\!\cdots\!80}{90\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{66\!\cdots\!37}{90\!\cdots\!41}a-\frac{68\!\cdots\!74}{90\!\cdots\!41}$, $\frac{95\!\cdots\!75}{17\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!30}{17\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{76\!\cdots\!61}{17\!\cdots\!79}a^{24}-\frac{14\!\cdots\!13}{17\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{23\!\cdots\!70}{17\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!22}{17\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{39\!\cdots\!01}{17\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{36\!\cdots\!16}{17\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{38\!\cdots\!06}{17\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{46\!\cdots\!87}{17\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{23\!\cdots\!80}{17\!\cdots\!79}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!39}{17\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{90\!\cdots\!65}{17\!\cdots\!79}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!46}{17\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!63}{17\!\cdots\!79}a^{12}+\frac{33\!\cdots\!32}{17\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{37\!\cdots\!37}{17\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{49\!\cdots\!18}{17\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!47}{90\!\cdots\!41}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!83}{90\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!25}{90\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{98\!\cdots\!56}{90\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{90\!\cdots\!89}{90\!\cdots\!41}a^{4}+\frac{88\!\cdots\!03}{90\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!97}{90\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{51\!\cdots\!30}{90\!\cdots\!41}a-\frac{38\!\cdots\!56}{90\!\cdots\!41}$, $\frac{35\!\cdots\!07}{17\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{46\!\cdots\!03}{17\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{28\!\cdots\!20}{17\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{47\!\cdots\!81}{17\!\cdots\!79}a^{23}+\frac{88\!\cdots\!48}{17\!\cdots\!79}a^{22}+\frac{45\!\cdots\!24}{17\!\cdots\!79}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!21}{17\!\cdots\!79}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!60}{17\!\cdots\!79}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!12}{17\!\cdots\!79}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!29}{17\!\cdots\!79}a^{17}-\frac{88\!\cdots\!85}{17\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!83}{17\!\cdots\!79}a^{15}+\frac{34\!\cdots\!59}{17\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{26\!\cdots\!07}{90\!\cdots\!41}a^{13}-\frac{85\!\cdots\!21}{17\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!73}{17\!\cdots\!79}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!42}{17\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{19\!\cdots\!20}{17\!\cdots\!79}a^{9}-\frac{88\!\cdots\!27}{90\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{89\!\cdots\!86}{90\!\cdots\!41}a^{7}+\frac{71\!\cdots\!73}{90\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{39\!\cdots\!33}{90\!\cdots\!41}a^{5}-\frac{36\!\cdots\!82}{90\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{36\!\cdots\!03}{90\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{83\!\cdots\!06}{90\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!31}{90\!\cdots\!41}a+\frac{15\!\cdots\!01}{90\!\cdots\!41}$, $\frac{12\!\cdots\!50}{17\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!80}{17\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!50}{17\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{22\!\cdots\!43}{17\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!38}{90\!\cdots\!41}a^{22}-\frac{89\!\cdots\!55}{17\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{42\!\cdots\!13}{17\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!36}{17\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{29\!\cdots\!24}{17\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!68}{17\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{73\!\cdots\!64}{17\!\cdots\!79}a^{16}+\frac{97\!\cdots\!06}{17\!\cdots\!79}a^{15}+\frac{30\!\cdots\!89}{17\!\cdots\!79}a^{14}-\frac{33\!\cdots\!62}{17\!\cdots\!79}a^{13}-\frac{26\!\cdots\!79}{17\!\cdots\!79}a^{12}+\frac{35\!\cdots\!08}{90\!\cdots\!41}a^{11}+\frac{78\!\cdots\!07}{17\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{78\!\cdots\!13}{17\!\cdots\!79}a^{9}-\frac{61\!\cdots\!39}{90\!\cdots\!41}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!88}{90\!\cdots\!41}a^{7}+\frac{48\!\cdots\!78}{90\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!68}{90\!\cdots\!41}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!24}{90\!\cdots\!41}a^{4}+\frac{45\!\cdots\!95}{90\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{32\!\cdots\!67}{90\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!46}{90\!\cdots\!41}a+\frac{10\!\cdots\!65}{90\!\cdots\!41}$, $\frac{41\!\cdots\!85}{17\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{48\!\cdots\!80}{17\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{32\!\cdots\!03}{17\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!33}{17\!\cdots\!79}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!19}{17\!\cdots\!79}a^{22}+\frac{65\!\cdots\!35}{17\!\cdots\!79}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!60}{17\!\cdots\!79}a^{20}-\frac{18\!\cdots\!66}{17\!\cdots\!79}a^{19}+\frac{16\!\cdots\!28}{17\!\cdots\!79}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!39}{90\!\cdots\!41}a^{17}-\frac{97\!\cdots\!75}{17\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!88}{17\!\cdots\!79}a^{15}+\frac{36\!\cdots\!57}{17\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{61\!\cdots\!68}{17\!\cdots\!79}a^{13}-\frac{87\!\cdots\!99}{17\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{79\!\cdots\!69}{90\!\cdots\!41}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!25}{17\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!00}{17\!\cdots\!79}a^{9}-\frac{82\!\cdots\!17}{90\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!91}{90\!\cdots\!41}a^{7}+\frac{66\!\cdots\!37}{90\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{44\!\cdots\!95}{90\!\cdots\!41}a^{5}-\frac{34\!\cdots\!37}{90\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{48\!\cdots\!39}{90\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{80\!\cdots\!38}{90\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!86}{90\!\cdots\!41}a+\frac{13\!\cdots\!51}{90\!\cdots\!41}$, $\frac{19\!\cdots\!88}{17\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{20\!\cdots\!11}{17\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{15\!\cdots\!40}{17\!\cdots\!79}a^{24}-\frac{16\!\cdots\!79}{17\!\cdots\!79}a^{23}+\frac{47\!\cdots\!97}{17\!\cdots\!79}a^{22}+\frac{82\!\cdots\!26}{17\!\cdots\!79}a^{21}-\frac{72\!\cdots\!73}{17\!\cdots\!79}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!72}{17\!\cdots\!79}a^{19}+\frac{61\!\cdots\!88}{17\!\cdots\!79}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!12}{17\!\cdots\!79}a^{17}-\frac{28\!\cdots\!65}{17\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!56}{17\!\cdots\!79}a^{15}+\frac{61\!\cdots\!23}{17\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!12}{90\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!11}{17\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{86\!\cdots\!34}{17\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!97}{17\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!10}{17\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!13}{90\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{42\!\cdots\!77}{90\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{22\!\cdots\!28}{90\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!89}{90\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{77\!\cdots\!53}{90\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{47\!\cdots\!54}{90\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{79\!\cdots\!02}{90\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{53\!\cdots\!52}{90\!\cdots\!41}a-\frac{53\!\cdots\!39}{90\!\cdots\!41}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 385388460717378800 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 385388460717378800 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{8156031539646242110766745600690995639746738537518609}}\cr\approx \mathstrut & 0.286377666429993 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_3^7.C_3\wr C_3$ (as 27T1459):

A solvable group of order 177147

The 251 conjugacy class representatives for $C_3^7.C_3\wr C_3$

Character table for $C_3^7.C_3\wr C_3$

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{9})^+\), 9.9.139858796529.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Sibling fields

Degree 27 siblings:	data not computed
Minimal sibling:	27.27.8156031539646242110766745600690995639746738537518609.3

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	$27$	R	$27$	${\href{/padicField/7.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/11.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{6}$	$27$	${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/17.3.0.1}{3} }^{3}$	R	$27$	$27$	${\href{/padicField/31.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{6}$	${\href{/padicField/37.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }^{3}$	$27$	$27$	$27$	${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/53.3.0.1}{3} }^{3}$	$27$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(3\)		Deg $27$	$27$	$1$	$82$
\(19\)	$\Q_{19}$	$x + 17$	$1$	$1$	$0$	Trivial	$[\ ]$
	$\Q_{19}$	$x + 17$	$1$	$1$	$0$	Trivial	$[\ ]$
	$\Q_{19}$	$x + 17$	$1$	$1$	$0$	Trivial	$[\ ]$
	19.3.0.1	$x^{3} + 4 x + 17$	$1$	$3$	$0$	$C_3$	$[\ ]^{3}$
	19.3.2.3	$x^{3} + 38$	$3$	$1$	$2$	$C_3$	$[\ ]_{3}$
	19.9.0.1	$x^{9} + 11 x^{3} + 14 x^{2} + 16 x + 17$	$1$	$9$	$0$	$C_9$	$[\ ]^{9}$
	19.9.8.2	$x^{9} + 57$	$9$	$1$	$8$	$C_9$	$[\ ]_{9}$