Number field 27.27.70567721948812723604880306782225092911730957083793489.1

• Label: 27.27.705...489.1
• Degree: $27$
• Signature: $[27, 0]$
• Discriminant: $7.057\times 10^{52}$
• Root discriminant: \(90.65\)
• Ramified primes: $7,37$
• Class number: $1$ (GRH)
• Class group: trivial (GRH)
• Galois group: $C_3\times C_9$ (as 27T2)

Normalized defining polynomial

x^27 - 6*x^26 - 53*x^25 + 366*x^24 + 982*x^23 - 8844*x^22 - 6757*x^21 + 112446*x^20 - 14683*x^19 - 834075*x^18 + 521672*x^17 + 3777786*x^16 - 3504440*x^15 - 10646520*x^14 + 12070299*x^13 + 18475792*x^12 - 24076806*x^11 - 18615256*x^10 + 28010042*x^9 + 9025037*x^8 - 17745073*x^7 - 453885*x^6 + 4979339*x^5 - 862152*x^4 - 251138*x^3 + 61524*x^2 - 1124*x - 223

Invariants

Degree:		$27$
Signature:		$[27, 0]$
Discriminant:		\(70567721948812723604880306782225092911730957083793489\) \(\medspace = 7^{18}\cdot 37^{24}\)
Root discriminant:		\(90.65\)
Galois root discriminant:		$7^{2/3}37^{8/9}\approx 90.64748964092182$
Ramified primes:		\(7\), \(37\)
Discriminant root field:		\(\Q\)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:		$27$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:		\(259=7\cdot 37\)
Dirichlet character group:		$\lbrace$$\chi_{259}(256,·)$, $\chi_{259}(1,·)$, $\chi_{259}(197,·)$, $\chi_{259}(71,·)$, $\chi_{259}(9,·)$, $\chi_{259}(144,·)$, $\chi_{259}(81,·)$, $\chi_{259}(211,·)$, $\chi_{259}(149,·)$, $\chi_{259}(86,·)$, $\chi_{259}(218,·)$, $\chi_{259}(155,·)$, $\chi_{259}(158,·)$, $\chi_{259}(16,·)$, $\chi_{259}(219,·)$, $\chi_{259}(100,·)$, $\chi_{259}(232,·)$, $\chi_{259}(107,·)$, $\chi_{259}(44,·)$, $\chi_{259}(46,·)$, $\chi_{259}(53,·)$, $\chi_{259}(137,·)$, $\chi_{259}(120,·)$, $\chi_{259}(121,·)$, $\chi_{259}(186,·)$, $\chi_{259}(123,·)$, $\chi_{259}(127,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $\frac{1}{43}a^{21}-\frac{19}{43}a^{20}+\frac{11}{43}a^{19}-\frac{9}{43}a^{18}-\frac{3}{43}a^{17}+\frac{2}{43}a^{16}-\frac{2}{43}a^{15}+\frac{17}{43}a^{13}+\frac{21}{43}a^{12}+\frac{12}{43}a^{11}-\frac{15}{43}a^{10}+\frac{21}{43}a^{9}+\frac{20}{43}a^{8}-\frac{11}{43}a^{7}-\frac{9}{43}a^{6}+\frac{3}{43}a^{5}+\frac{1}{43}a^{4}+\frac{14}{43}a^{3}+\frac{5}{43}a^{2}+\frac{20}{43}a-\frac{18}{43}$, $\frac{1}{43}a^{22}-\frac{6}{43}a^{20}-\frac{15}{43}a^{19}-\frac{2}{43}a^{18}-\frac{12}{43}a^{17}-\frac{7}{43}a^{16}+\frac{5}{43}a^{15}+\frac{17}{43}a^{14}-\frac{19}{43}a^{12}-\frac{2}{43}a^{11}-\frac{6}{43}a^{10}-\frac{11}{43}a^{9}-\frac{18}{43}a^{8}-\frac{3}{43}a^{7}+\frac{4}{43}a^{6}+\frac{15}{43}a^{5}-\frac{10}{43}a^{4}+\frac{13}{43}a^{3}-\frac{14}{43}a^{2}+\frac{18}{43}a+\frac{2}{43}$, $\frac{1}{43}a^{23}+\frac{21}{43}a^{19}+\frac{20}{43}a^{18}+\frac{18}{43}a^{17}+\frac{17}{43}a^{16}+\frac{5}{43}a^{15}-\frac{3}{43}a^{13}-\frac{5}{43}a^{12}-\frac{20}{43}a^{11}-\frac{15}{43}a^{10}-\frac{21}{43}a^{9}-\frac{12}{43}a^{8}-\frac{19}{43}a^{7}+\frac{4}{43}a^{6}+\frac{8}{43}a^{5}+\frac{19}{43}a^{4}-\frac{16}{43}a^{3}+\frac{5}{43}a^{2}-\frac{7}{43}a+\frac{21}{43}$, $\frac{1}{1333}a^{24}-\frac{10}{1333}a^{23}+\frac{15}{1333}a^{22}+\frac{15}{1333}a^{21}+\frac{119}{1333}a^{20}+\frac{266}{1333}a^{19}-\frac{562}{1333}a^{18}+\frac{429}{1333}a^{17}+\frac{20}{43}a^{16}+\frac{597}{1333}a^{15}-\frac{221}{1333}a^{14}+\frac{366}{1333}a^{13}+\frac{275}{1333}a^{12}-\frac{267}{1333}a^{11}-\frac{358}{1333}a^{10}-\frac{39}{1333}a^{9}-\frac{643}{1333}a^{8}+\frac{113}{1333}a^{7}-\frac{365}{1333}a^{6}-\frac{479}{1333}a^{5}-\frac{83}{1333}a^{4}+\frac{97}{1333}a^{3}-\frac{579}{1333}a^{2}-\frac{328}{1333}a-\frac{536}{1333}$, $\frac{1}{1734233}a^{25}+\frac{367}{1734233}a^{24}+\frac{11776}{1734233}a^{23}-\frac{1739}{1734233}a^{22}+\frac{8626}{1734233}a^{21}+\frac{684566}{1734233}a^{20}-\frac{455366}{1734233}a^{19}+\frac{648185}{1734233}a^{18}+\frac{663561}{1734233}a^{17}+\frac{262671}{1734233}a^{16}+\frac{490363}{1734233}a^{15}-\frac{731440}{1734233}a^{14}+\frac{328101}{1734233}a^{13}+\frac{253076}{1734233}a^{12}-\frac{28012}{1734233}a^{11}+\frac{10286}{55943}a^{10}+\frac{844966}{1734233}a^{9}-\frac{824788}{1734233}a^{8}+\frac{251207}{1734233}a^{7}+\frac{828496}{1734233}a^{6}-\frac{592222}{1734233}a^{5}+\frac{684751}{1734233}a^{4}-\frac{652799}{1734233}a^{3}+\frac{10355}{1734233}a^{2}-\frac{49296}{1734233}a+\frac{667106}{1734233}$, $\frac{1}{16\!\cdots\!57}a^{26}-\frac{29\!\cdots\!83}{16\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{24\!\cdots\!70}{16\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{95\!\cdots\!43}{16\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{26\!\cdots\!31}{16\!\cdots\!57}a^{22}+\frac{69\!\cdots\!02}{16\!\cdots\!57}a^{21}+\frac{54\!\cdots\!17}{16\!\cdots\!57}a^{20}-\frac{66\!\cdots\!16}{16\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{73\!\cdots\!39}{16\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{70\!\cdots\!37}{16\!\cdots\!57}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!61}{16\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{84\!\cdots\!38}{16\!\cdots\!57}a^{15}+\frac{47\!\cdots\!49}{16\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{23\!\cdots\!02}{16\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{55\!\cdots\!34}{16\!\cdots\!57}a^{12}-\frac{78\!\cdots\!89}{16\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{31\!\cdots\!21}{16\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{76\!\cdots\!57}{16\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{70\!\cdots\!14}{16\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{57\!\cdots\!10}{16\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!20}{52\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{91\!\cdots\!21}{16\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{80\!\cdots\!91}{16\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{75\!\cdots\!31}{16\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{66\!\cdots\!11}{16\!\cdots\!57}a^{2}-\frac{39\!\cdots\!60}{16\!\cdots\!57}a+\frac{68\!\cdots\!96}{72\!\cdots\!59}$

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$26$
Torsion generator:		\( -1 \)  (order $2$)
Fundamental units:		$\frac{92\!\cdots\!18}{52\!\cdots\!47}a^{26}-\frac{55\!\cdots\!17}{52\!\cdots\!47}a^{25}-\frac{48\!\cdots\!23}{52\!\cdots\!47}a^{24}+\frac{33\!\cdots\!61}{52\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{89\!\cdots\!69}{52\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{79\!\cdots\!72}{52\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{61\!\cdots\!34}{52\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{99\!\cdots\!07}{52\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!00}{12\!\cdots\!29}a^{18}-\frac{71\!\cdots\!19}{52\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{41\!\cdots\!98}{52\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{31\!\cdots\!28}{52\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{61\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{85\!\cdots\!59}{52\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{85\!\cdots\!71}{52\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!15}{52\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!08}{52\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!80}{52\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!32}{52\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{83\!\cdots\!67}{52\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{95\!\cdots\!14}{52\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!33}{52\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!52}{52\!\cdots\!47}a^{4}-\frac{44\!\cdots\!23}{52\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!27}{52\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{77\!\cdots\!85}{52\!\cdots\!47}a+\frac{14\!\cdots\!89}{54\!\cdots\!23}$, $\frac{92\!\cdots\!18}{52\!\cdots\!47}a^{26}-\frac{55\!\cdots\!17}{52\!\cdots\!47}a^{25}-\frac{48\!\cdots\!23}{52\!\cdots\!47}a^{24}+\frac{33\!\cdots\!61}{52\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{89\!\cdots\!69}{52\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{79\!\cdots\!72}{52\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{61\!\cdots\!34}{52\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{99\!\cdots\!07}{52\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!00}{12\!\cdots\!29}a^{18}-\frac{71\!\cdots\!19}{52\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{41\!\cdots\!98}{52\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{31\!\cdots\!28}{52\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{61\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{85\!\cdots\!59}{52\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{85\!\cdots\!71}{52\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!15}{52\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!08}{52\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!80}{52\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!32}{52\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{83\!\cdots\!67}{52\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{95\!\cdots\!14}{52\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!33}{52\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!52}{52\!\cdots\!47}a^{4}-\frac{44\!\cdots\!23}{52\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!27}{52\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{77\!\cdots\!85}{52\!\cdots\!47}a+\frac{19\!\cdots\!12}{54\!\cdots\!23}$, $\frac{32\!\cdots\!88}{52\!\cdots\!47}a^{26}-\frac{20\!\cdots\!17}{52\!\cdots\!47}a^{25}-\frac{15\!\cdots\!07}{52\!\cdots\!47}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!19}{52\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{24\!\cdots\!99}{52\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{27\!\cdots\!64}{52\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{65\!\cdots\!49}{52\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{31\!\cdots\!25}{52\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!59}{52\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!48}{52\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!90}{52\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{73\!\cdots\!78}{52\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!29}{52\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!83}{52\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!76}{52\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!83}{52\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{27\!\cdots\!47}{52\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!87}{52\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{79\!\cdots\!02}{52\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{66\!\cdots\!05}{52\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{97\!\cdots\!21}{52\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{33\!\cdots\!82}{52\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{65\!\cdots\!92}{52\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!05}{52\!\cdots\!47}a^{3}+\frac{61\!\cdots\!26}{52\!\cdots\!47}a^{2}-\frac{24\!\cdots\!00}{52\!\cdots\!47}a-\frac{55\!\cdots\!67}{23\!\cdots\!89}$, $\frac{31\!\cdots\!72}{16\!\cdots\!57}a^{26}-\frac{18\!\cdots\!28}{16\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!87}{16\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!90}{16\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{32\!\cdots\!46}{16\!\cdots\!57}a^{22}-\frac{26\!\cdots\!72}{16\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{25\!\cdots\!42}{16\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{33\!\cdots\!50}{16\!\cdots\!57}a^{19}+\frac{23\!\cdots\!92}{16\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{24\!\cdots\!37}{16\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{99\!\cdots\!67}{16\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!44}{16\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{73\!\cdots\!70}{16\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!78}{16\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!92}{16\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{50\!\cdots\!04}{16\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{46\!\cdots\!77}{16\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{51\!\cdots\!34}{16\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{49\!\cdots\!51}{16\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!52}{16\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{65\!\cdots\!98}{37\!\cdots\!99}a^{6}-\frac{41\!\cdots\!52}{16\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{71\!\cdots\!46}{16\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{25\!\cdots\!79}{37\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{39\!\cdots\!77}{16\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{85\!\cdots\!57}{16\!\cdots\!57}a+\frac{70\!\cdots\!79}{72\!\cdots\!59}$, $\frac{30\!\cdots\!60}{16\!\cdots\!57}a^{26}-\frac{32\!\cdots\!66}{16\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{78\!\cdots\!08}{16\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!34}{16\!\cdots\!57}a^{23}-\frac{20\!\cdots\!64}{16\!\cdots\!57}a^{22}-\frac{38\!\cdots\!54}{16\!\cdots\!57}a^{21}+\frac{22\!\cdots\!57}{37\!\cdots\!99}a^{20}+\frac{40\!\cdots\!10}{16\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!63}{16\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!55}{16\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!86}{16\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{39\!\cdots\!16}{16\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{50\!\cdots\!74}{16\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{89\!\cdots\!52}{16\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!31}{16\!\cdots\!57}a^{12}-\frac{61\!\cdots\!06}{16\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{22\!\cdots\!09}{16\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!01}{16\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!60}{16\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!80}{16\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!49}{16\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{61\!\cdots\!33}{16\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{28\!\cdots\!43}{16\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!28}{16\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!69}{16\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{49\!\cdots\!62}{16\!\cdots\!57}a-\frac{10\!\cdots\!21}{72\!\cdots\!59}$, $\frac{20\!\cdots\!56}{16\!\cdots\!57}a^{26}-\frac{15\!\cdots\!76}{16\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{89\!\cdots\!55}{16\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{90\!\cdots\!60}{16\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{89\!\cdots\!48}{16\!\cdots\!57}a^{22}-\frac{20\!\cdots\!44}{16\!\cdots\!57}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!35}{16\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{24\!\cdots\!70}{16\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{33\!\cdots\!69}{16\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!54}{16\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{31\!\cdots\!81}{16\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{63\!\cdots\!48}{16\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!06}{16\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!08}{16\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{46\!\cdots\!60}{16\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!82}{16\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{81\!\cdots\!47}{16\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{65\!\cdots\!72}{16\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{84\!\cdots\!90}{16\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{52\!\cdots\!78}{16\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{49\!\cdots\!93}{16\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{59\!\cdots\!84}{16\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!38}{16\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{17\!\cdots\!50}{16\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{68\!\cdots\!24}{16\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{82\!\cdots\!93}{16\!\cdots\!57}a+\frac{11\!\cdots\!28}{72\!\cdots\!59}$, $\frac{47\!\cdots\!48}{16\!\cdots\!57}a^{26}-\frac{28\!\cdots\!01}{16\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{24\!\cdots\!38}{16\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{17\!\cdots\!45}{16\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{43\!\cdots\!99}{16\!\cdots\!57}a^{22}-\frac{39\!\cdots\!82}{16\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{27\!\cdots\!35}{16\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{48\!\cdots\!15}{16\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{82\!\cdots\!79}{16\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{34\!\cdots\!55}{16\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!89}{16\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!14}{16\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!37}{16\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{36\!\cdots\!43}{16\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{37\!\cdots\!44}{16\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{58\!\cdots\!79}{16\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{60\!\cdots\!16}{16\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{53\!\cdots\!55}{16\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{53\!\cdots\!54}{16\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!55}{16\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!03}{16\!\cdots\!57}a^{6}-\frac{41\!\cdots\!62}{16\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{39\!\cdots\!60}{16\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{58\!\cdots\!10}{16\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{79\!\cdots\!41}{16\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{44\!\cdots\!24}{16\!\cdots\!57}a-\frac{19\!\cdots\!63}{72\!\cdots\!59}$, $\frac{15\!\cdots\!76}{16\!\cdots\!57}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!73}{16\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{74\!\cdots\!51}{16\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{59\!\cdots\!55}{16\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!53}{16\!\cdots\!57}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!10}{16\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{41\!\cdots\!51}{37\!\cdots\!99}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!65}{16\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!71}{16\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{98\!\cdots\!18}{16\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!22}{16\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{35\!\cdots\!70}{16\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{52\!\cdots\!67}{16\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{72\!\cdots\!65}{16\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!52}{16\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{74\!\cdots\!75}{16\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!39}{16\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!21}{16\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{48\!\cdots\!03}{16\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{93\!\cdots\!97}{16\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{44\!\cdots\!11}{16\!\cdots\!57}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!10}{16\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{32\!\cdots\!86}{16\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{51\!\cdots\!87}{16\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{32\!\cdots\!36}{16\!\cdots\!57}a^{2}-\frac{41\!\cdots\!33}{16\!\cdots\!57}a-\frac{19\!\cdots\!83}{72\!\cdots\!59}$, $\frac{47\!\cdots\!98}{16\!\cdots\!57}a^{26}-\frac{27\!\cdots\!52}{16\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{26\!\cdots\!88}{16\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{16\!\cdots\!61}{16\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{52\!\cdots\!54}{16\!\cdots\!57}a^{22}-\frac{93\!\cdots\!69}{37\!\cdots\!99}a^{21}-\frac{46\!\cdots\!04}{16\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{51\!\cdots\!37}{16\!\cdots\!57}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!60}{16\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{39\!\cdots\!99}{16\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!73}{16\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!18}{16\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!89}{16\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{53\!\cdots\!89}{16\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{38\!\cdots\!16}{16\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{98\!\cdots\!90}{16\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{78\!\cdots\!73}{16\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!25}{16\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{91\!\cdots\!52}{16\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{68\!\cdots\!17}{16\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{57\!\cdots\!04}{16\!\cdots\!57}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!36}{16\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!02}{16\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!27}{16\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{98\!\cdots\!47}{16\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{48\!\cdots\!35}{16\!\cdots\!57}a+\frac{19\!\cdots\!47}{72\!\cdots\!59}$, $\frac{30\!\cdots\!58}{16\!\cdots\!57}a^{26}-\frac{22\!\cdots\!14}{16\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!16}{16\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!89}{16\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!82}{16\!\cdots\!57}a^{22}-\frac{28\!\cdots\!47}{16\!\cdots\!57}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!34}{16\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{31\!\cdots\!55}{16\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{43\!\cdots\!98}{16\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!19}{16\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{38\!\cdots\!46}{16\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{60\!\cdots\!26}{16\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!57}{16\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{82\!\cdots\!89}{16\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{42\!\cdots\!11}{16\!\cdots\!57}a^{12}-\frac{29\!\cdots\!46}{16\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{57\!\cdots\!76}{16\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{23\!\cdots\!54}{16\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{39\!\cdots\!16}{16\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{27\!\cdots\!25}{16\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{84\!\cdots\!92}{16\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!33}{16\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!43}{16\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{84\!\cdots\!74}{16\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{21\!\cdots\!52}{16\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{30\!\cdots\!04}{16\!\cdots\!57}a-\frac{21\!\cdots\!02}{72\!\cdots\!59}$, $\frac{82\!\cdots\!60}{16\!\cdots\!57}a^{26}-\frac{52\!\cdots\!66}{16\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{41\!\cdots\!52}{16\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{31\!\cdots\!91}{16\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{67\!\cdots\!18}{16\!\cdots\!57}a^{22}-\frac{17\!\cdots\!69}{37\!\cdots\!99}a^{21}-\frac{27\!\cdots\!58}{16\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{89\!\cdots\!41}{16\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!95}{52\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{62\!\cdots\!74}{16\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{59\!\cdots\!44}{16\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!61}{16\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!23}{52\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{66\!\cdots\!23}{16\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{97\!\cdots\!86}{16\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!30}{16\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!10}{16\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{94\!\cdots\!16}{16\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!90}{16\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{45\!\cdots\!10}{16\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{92\!\cdots\!62}{16\!\cdots\!57}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!84}{37\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!08}{16\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{55\!\cdots\!08}{16\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!63}{16\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{97\!\cdots\!61}{16\!\cdots\!57}a+\frac{40\!\cdots\!45}{72\!\cdots\!59}$, $\frac{13\!\cdots\!10}{16\!\cdots\!57}a^{26}-\frac{96\!\cdots\!80}{16\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{60\!\cdots\!93}{16\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{57\!\cdots\!49}{16\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{70\!\cdots\!33}{16\!\cdots\!57}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!29}{16\!\cdots\!57}a^{21}+\frac{49\!\cdots\!52}{16\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!64}{16\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!50}{16\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!50}{16\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!81}{16\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{44\!\cdots\!58}{16\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{94\!\cdots\!47}{16\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!41}{16\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!60}{16\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!66}{16\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{50\!\cdots\!55}{16\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!29}{16\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{53\!\cdots\!85}{16\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{38\!\cdots\!92}{52\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{31\!\cdots\!78}{16\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{24\!\cdots\!26}{16\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{82\!\cdots\!43}{16\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!62}{16\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{43\!\cdots\!39}{16\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{92\!\cdots\!25}{16\!\cdots\!57}a-\frac{24\!\cdots\!89}{72\!\cdots\!59}$, $\frac{55\!\cdots\!11}{16\!\cdots\!57}a^{26}-\frac{81\!\cdots\!39}{37\!\cdots\!99}a^{25}-\frac{28\!\cdots\!16}{16\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{21\!\cdots\!14}{16\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{15\!\cdots\!32}{52\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{50\!\cdots\!53}{16\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{22\!\cdots\!79}{16\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{63\!\cdots\!31}{16\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{25\!\cdots\!71}{16\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{45\!\cdots\!98}{16\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{40\!\cdots\!41}{16\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!69}{16\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{23\!\cdots\!56}{16\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{55\!\cdots\!94}{16\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{77\!\cdots\!28}{16\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{30\!\cdots\!54}{52\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!30}{16\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{93\!\cdots\!14}{16\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!95}{16\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{48\!\cdots\!33}{16\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!45}{16\!\cdots\!57}a^{6}-\frac{75\!\cdots\!65}{16\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!10}{16\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{44\!\cdots\!31}{37\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!42}{16\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{34\!\cdots\!92}{37\!\cdots\!99}a+\frac{55\!\cdots\!39}{72\!\cdots\!59}$, $\frac{12\!\cdots\!25}{16\!\cdots\!57}a^{26}-\frac{99\!\cdots\!53}{16\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{55\!\cdots\!01}{16\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{58\!\cdots\!47}{16\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{49\!\cdots\!38}{16\!\cdots\!57}a^{22}-\frac{43\!\cdots\!33}{52\!\cdots\!47}a^{21}+\frac{89\!\cdots\!50}{16\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!99}{16\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!13}{16\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!17}{16\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!17}{16\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{90\!\cdots\!41}{37\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!13}{16\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{84\!\cdots\!92}{16\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{28\!\cdots\!42}{16\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{97\!\cdots\!11}{16\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{49\!\cdots\!92}{16\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{40\!\cdots\!36}{16\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{49\!\cdots\!96}{16\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!69}{16\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{27\!\cdots\!41}{16\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!21}{16\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{67\!\cdots\!32}{16\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{42\!\cdots\!16}{16\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{36\!\cdots\!80}{16\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!92}{16\!\cdots\!57}a+\frac{62\!\cdots\!06}{72\!\cdots\!59}$, $\frac{61\!\cdots\!14}{16\!\cdots\!57}a^{26}-\frac{38\!\cdots\!63}{16\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{31\!\cdots\!64}{16\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{23\!\cdots\!23}{16\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{55\!\cdots\!30}{16\!\cdots\!57}a^{22}-\frac{55\!\cdots\!38}{16\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{30\!\cdots\!49}{16\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{68\!\cdots\!69}{16\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!29}{16\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{50\!\cdots\!48}{16\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{38\!\cdots\!68}{16\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!39}{16\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{22\!\cdots\!86}{16\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{60\!\cdots\!41}{16\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{73\!\cdots\!81}{16\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!66}{16\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!63}{16\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!64}{37\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!32}{16\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{60\!\cdots\!73}{16\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{88\!\cdots\!30}{16\!\cdots\!57}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!19}{16\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{23\!\cdots\!42}{16\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{62\!\cdots\!34}{16\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!81}{16\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{86\!\cdots\!60}{16\!\cdots\!57}a+\frac{75\!\cdots\!12}{72\!\cdots\!59}$, $\frac{20\!\cdots\!90}{16\!\cdots\!57}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!66}{16\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!52}{16\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{82\!\cdots\!55}{16\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{15\!\cdots\!66}{16\!\cdots\!57}a^{22}-\frac{19\!\cdots\!42}{16\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{40\!\cdots\!69}{16\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{23\!\cdots\!87}{16\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!68}{16\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!77}{16\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!74}{16\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{71\!\cdots\!94}{16\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{97\!\cdots\!25}{16\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!64}{16\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{29\!\cdots\!87}{16\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{30\!\cdots\!17}{16\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{53\!\cdots\!79}{16\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{29\!\cdots\!05}{16\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{56\!\cdots\!21}{16\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!98}{16\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{32\!\cdots\!16}{16\!\cdots\!57}a^{6}-\frac{31\!\cdots\!55}{16\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{86\!\cdots\!41}{16\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{57\!\cdots\!77}{52\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{57\!\cdots\!67}{16\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{46\!\cdots\!73}{16\!\cdots\!57}a+\frac{15\!\cdots\!02}{72\!\cdots\!59}$, $\frac{50\!\cdots\!36}{16\!\cdots\!57}a^{26}-\frac{32\!\cdots\!80}{16\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{25\!\cdots\!92}{16\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{19\!\cdots\!05}{16\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{40\!\cdots\!86}{16\!\cdots\!57}a^{22}-\frac{45\!\cdots\!96}{16\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!40}{16\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{55\!\cdots\!28}{16\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{28\!\cdots\!13}{16\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{38\!\cdots\!35}{16\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{37\!\cdots\!83}{16\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!96}{16\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{20\!\cdots\!07}{16\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{40\!\cdots\!32}{16\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{60\!\cdots\!90}{16\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{62\!\cdots\!79}{16\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!12}{16\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{55\!\cdots\!67}{16\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!12}{16\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{25\!\cdots\!22}{16\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{54\!\cdots\!33}{16\!\cdots\!57}a^{6}-\frac{41\!\cdots\!42}{16\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!88}{16\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{43\!\cdots\!10}{16\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{76\!\cdots\!61}{16\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{41\!\cdots\!34}{16\!\cdots\!57}a+\frac{22\!\cdots\!20}{72\!\cdots\!59}$, $\frac{10\!\cdots\!55}{16\!\cdots\!57}a^{26}-\frac{57\!\cdots\!39}{16\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{55\!\cdots\!73}{16\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{34\!\cdots\!16}{16\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!80}{16\!\cdots\!57}a^{22}-\frac{84\!\cdots\!54}{16\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{99\!\cdots\!25}{16\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!66}{16\!\cdots\!57}a^{19}+\frac{25\!\cdots\!72}{16\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{82\!\cdots\!03}{16\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!59}{16\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{38\!\cdots\!75}{16\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{20\!\cdots\!40}{16\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!63}{16\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{77\!\cdots\!15}{16\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!31}{16\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!98}{16\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!99}{16\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!45}{16\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!66}{16\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!50}{16\!\cdots\!57}a^{6}-\frac{36\!\cdots\!26}{16\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{32\!\cdots\!37}{16\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{39\!\cdots\!71}{16\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!50}{16\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{93\!\cdots\!06}{16\!\cdots\!57}a+\frac{88\!\cdots\!85}{72\!\cdots\!59}$, $\frac{74\!\cdots\!36}{16\!\cdots\!57}a^{26}-\frac{92\!\cdots\!58}{16\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{93\!\cdots\!66}{16\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{50\!\cdots\!42}{16\!\cdots\!57}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!10}{16\!\cdots\!57}a^{22}-\frac{33\!\cdots\!61}{52\!\cdots\!47}a^{21}+\frac{35\!\cdots\!31}{16\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{97\!\cdots\!79}{16\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{49\!\cdots\!50}{16\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{38\!\cdots\!01}{16\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{36\!\cdots\!39}{16\!\cdots\!57}a^{16}-\frac{28\!\cdots\!84}{16\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!16}{16\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{78\!\cdots\!71}{16\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{38\!\cdots\!33}{16\!\cdots\!57}a^{12}-\frac{28\!\cdots\!55}{16\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{57\!\cdots\!66}{16\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{48\!\cdots\!93}{16\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{48\!\cdots\!05}{16\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{40\!\cdots\!97}{16\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!58}{16\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!74}{16\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{39\!\cdots\!85}{16\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!29}{16\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!01}{16\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{20\!\cdots\!34}{16\!\cdots\!57}a+\frac{49\!\cdots\!90}{72\!\cdots\!59}$, $\frac{95\!\cdots\!60}{16\!\cdots\!57}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!82}{16\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{46\!\cdots\!60}{16\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{68\!\cdots\!46}{16\!\cdots\!57}a^{23}-\frac{17\!\cdots\!31}{16\!\cdots\!57}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!95}{16\!\cdots\!57}a^{21}+\frac{55\!\cdots\!82}{16\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!78}{16\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{73\!\cdots\!36}{16\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{92\!\cdots\!25}{52\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{52\!\cdots\!62}{16\!\cdots\!57}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!12}{16\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{21\!\cdots\!17}{16\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!65}{16\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{51\!\cdots\!82}{16\!\cdots\!57}a^{12}-\frac{55\!\cdots\!28}{16\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{70\!\cdots\!28}{16\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{90\!\cdots\!05}{16\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{51\!\cdots\!19}{16\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{74\!\cdots\!22}{16\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!05}{16\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{27\!\cdots\!16}{16\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!57}{16\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{26\!\cdots\!03}{16\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!09}{16\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{69\!\cdots\!01}{16\!\cdots\!57}a+\frac{86\!\cdots\!45}{72\!\cdots\!59}$, $\frac{72\!\cdots\!48}{16\!\cdots\!57}a^{26}-\frac{42\!\cdots\!51}{16\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{38\!\cdots\!59}{16\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{26\!\cdots\!37}{16\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{23\!\cdots\!94}{52\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{62\!\cdots\!91}{16\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{52\!\cdots\!19}{16\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!45}{37\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{55\!\cdots\!72}{16\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{58\!\cdots\!50}{16\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{32\!\cdots\!46}{16\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!58}{16\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{22\!\cdots\!79}{16\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{74\!\cdots\!81}{16\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{77\!\cdots\!17}{16\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!73}{16\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!07}{16\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!85}{16\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!68}{16\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{71\!\cdots\!93}{16\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!05}{16\!\cdots\!57}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!61}{16\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{31\!\cdots\!54}{16\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{30\!\cdots\!21}{16\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!05}{16\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{24\!\cdots\!30}{16\!\cdots\!57}a+\frac{75\!\cdots\!58}{72\!\cdots\!59}$, $\frac{69\!\cdots\!87}{16\!\cdots\!57}a^{26}-\frac{65\!\cdots\!67}{16\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{16\!\cdots\!45}{16\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{34\!\cdots\!34}{16\!\cdots\!57}a^{23}-\frac{46\!\cdots\!98}{16\!\cdots\!57}a^{22}-\frac{61\!\cdots\!46}{16\!\cdots\!57}a^{21}+\frac{19\!\cdots\!56}{16\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{41\!\cdots\!11}{16\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!50}{16\!\cdots\!57}a^{18}+\frac{56\!\cdots\!40}{16\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!54}{16\!\cdots\!57}a^{16}-\frac{23\!\cdots\!22}{16\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{48\!\cdots\!54}{16\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!14}{16\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{35\!\cdots\!70}{16\!\cdots\!57}a^{12}-\frac{37\!\cdots\!69}{16\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!91}{16\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{54\!\cdots\!04}{16\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{43\!\cdots\!66}{16\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{38\!\cdots\!74}{16\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{42\!\cdots\!42}{16\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{21\!\cdots\!68}{37\!\cdots\!99}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!73}{16\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!68}{16\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!10}{16\!\cdots\!57}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!81}{16\!\cdots\!57}a-\frac{10\!\cdots\!74}{23\!\cdots\!89}$, $\frac{12\!\cdots\!06}{52\!\cdots\!47}a^{26}-\frac{31\!\cdots\!91}{16\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!17}{16\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{17\!\cdots\!06}{16\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{21\!\cdots\!46}{16\!\cdots\!57}a^{22}-\frac{36\!\cdots\!43}{16\!\cdots\!57}a^{21}+\frac{52\!\cdots\!45}{16\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{36\!\cdots\!87}{16\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{91\!\cdots\!10}{16\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!28}{16\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{69\!\cdots\!62}{16\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!34}{16\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{27\!\cdots\!49}{16\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!36}{16\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{55\!\cdots\!49}{16\!\cdots\!57}a^{12}-\frac{70\!\cdots\!98}{16\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{48\!\cdots\!96}{16\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!98}{16\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!01}{16\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!07}{16\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{44\!\cdots\!96}{16\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{79\!\cdots\!40}{37\!\cdots\!99}a^{5}-\frac{21\!\cdots\!60}{16\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!21}{16\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!00}{16\!\cdots\!57}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!35}{16\!\cdots\!57}a-\frac{41\!\cdots\!33}{72\!\cdots\!59}$, $\frac{26\!\cdots\!93}{16\!\cdots\!57}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!19}{16\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{15\!\cdots\!28}{16\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{84\!\cdots\!98}{16\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{33\!\cdots\!97}{16\!\cdots\!57}a^{22}-\frac{20\!\cdots\!87}{16\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{27\!\cdots\!90}{12\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{27\!\cdots\!78}{16\!\cdots\!57}a^{19}+\frac{19\!\cdots\!12}{16\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!60}{16\!\cdots\!57}a^{17}-\frac{37\!\cdots\!99}{16\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{98\!\cdots\!89}{16\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!39}{16\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!82}{16\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!01}{37\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{56\!\cdots\!73}{16\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!23}{16\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{65\!\cdots\!88}{16\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{21\!\cdots\!58}{16\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{42\!\cdots\!78}{16\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!75}{16\!\cdots\!57}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!29}{16\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!27}{16\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{37\!\cdots\!79}{16\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{26\!\cdots\!08}{16\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{39\!\cdots\!94}{16\!\cdots\!57}a+\frac{18\!\cdots\!83}{72\!\cdots\!59}$, $\frac{18\!\cdots\!07}{16\!\cdots\!57}a^{26}+\frac{95\!\cdots\!50}{16\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{80\!\cdots\!31}{16\!\cdots\!57}a^{24}-\frac{43\!\cdots\!16}{16\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{43\!\cdots\!60}{16\!\cdots\!57}a^{22}+\frac{53\!\cdots\!25}{16\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{95\!\cdots\!01}{16\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{51\!\cdots\!48}{37\!\cdots\!99}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!96}{16\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!08}{16\!\cdots\!57}a^{17}-\frac{69\!\cdots\!24}{16\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!59}{16\!\cdots\!57}a^{15}+\frac{25\!\cdots\!98}{16\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{47\!\cdots\!56}{16\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{51\!\cdots\!72}{16\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!37}{16\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{50\!\cdots\!91}{16\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!21}{16\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{86\!\cdots\!46}{16\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!30}{16\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{22\!\cdots\!70}{16\!\cdots\!57}a^{6}-\frac{41\!\cdots\!55}{16\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!67}{16\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!98}{16\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{82\!\cdots\!20}{16\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{42\!\cdots\!93}{16\!\cdots\!57}a+\frac{72\!\cdots\!59}{72\!\cdots\!59}$, $\frac{32\!\cdots\!40}{16\!\cdots\!57}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!76}{16\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{22\!\cdots\!54}{16\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!09}{16\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{64\!\cdots\!73}{16\!\cdots\!57}a^{22}-\frac{32\!\cdots\!58}{16\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{89\!\cdots\!65}{16\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{54\!\cdots\!89}{16\!\cdots\!57}a^{19}+\frac{59\!\cdots\!71}{16\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{53\!\cdots\!11}{16\!\cdots\!57}a^{17}-\frac{93\!\cdots\!43}{16\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!50}{16\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!66}{16\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!01}{16\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{85\!\cdots\!51}{16\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!00}{16\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{25\!\cdots\!00}{16\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{33\!\cdots\!84}{16\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{38\!\cdots\!66}{16\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!26}{16\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{29\!\cdots\!34}{16\!\cdots\!57}a^{6}-\frac{64\!\cdots\!22}{16\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{98\!\cdots\!87}{16\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{32\!\cdots\!59}{16\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!57}{52\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{36\!\cdots\!93}{16\!\cdots\!57}a+\frac{17\!\cdots\!57}{72\!\cdots\!59}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 710242126153974400 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 710242126153974400 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{70567721948812723604880306782225092911730957083793489}}\cr\approx \mathstrut & 0.179425128568671 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_3\times C_9$ (as 27T2):

An abelian group of order 27

The 27 conjugacy class representatives for $C_3\times C_9$

Character table for $C_3\times C_9$ is not computed

Intermediate fields

3.3.67081.2, 3.3.1369.1, 3.3.67081.1, \(\Q(\zeta_{7})^+\), 9.9.301855146292441.1, 9.9.413239695274351729.1, 9.9.3512479453921.1, 9.9.413239695274351729.2

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	${\href{/padicField/2.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/3.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/5.9.0.1}{9} }^{3}$	R	${\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{9}$	${\href{/padicField/13.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/19.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/23.3.0.1}{3} }^{9}$	${\href{/padicField/29.3.0.1}{3} }^{9}$	${\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{9}$	R	${\href{/padicField/41.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/43.1.0.1}{1} }^{27}$	${\href{/padicField/47.3.0.1}{3} }^{9}$	${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/59.9.0.1}{9} }^{3}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(7\)		Deg $27$	$3$	$9$	$18$
\(37\)		Deg $27$	$9$	$3$	$24$