Number field 27.27.6504389611606252637488188857147585077648657433962663281.1

• Label: 27.27.650...281.1
• Degree: $27$
• Signature: $[27, 0]$
• Discriminant: $6.504\times 10^{54}$
• Root discriminant: \(107.18\)
• Ramified primes: $3,37$
• Class number: $1$ (GRH)
• Class group: trivial (GRH)
• Galois group: $C_3\times C_9$ (as 27T2)

Normalized defining polynomial

x^27 - 3*x^26 - 72*x^25 + 194*x^24 + 2136*x^23 - 5166*x^22 - 34511*x^21 + 74439*x^20 + 337788*x^19 - 642199*x^18 - 2109834*x^17 + 3469977*x^16 + 8634362*x^15 - 11919870*x^14 - 23358597*x^13 + 25816709*x^12 + 41360031*x^11 - 34011447*x^10 - 46156293*x^9 + 25045044*x^8 + 29760855*x^7 - 8403372*x^6 - 9106128*x^5 + 587949*x^4 + 751973*x^3 + 31935*x^2 - 14445*x - 1153

Invariants

Degree:		$27$
Signature:		$[27, 0]$
Discriminant:		\(6504389611606252637488188857147585077648657433962663281\) \(\medspace = 3^{36}\cdot 37^{24}\)
Root discriminant:		\(107.18\)
Galois root discriminant:		$3^{4/3}37^{8/9}\approx 107.18123601368417$
Ramified primes:		\(3\), \(37\)
Discriminant root field:		\(\Q\)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:		$27$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:		\(333=3^{2}\cdot 37\)
Dirichlet character group:		$\lbrace$$\chi_{333}(256,·)$, $\chi_{333}(1,·)$, $\chi_{333}(322,·)$, $\chi_{333}(70,·)$, $\chi_{333}(7,·)$, $\chi_{333}(10,·)$, $\chi_{333}(268,·)$, $\chi_{333}(271,·)$, $\chi_{333}(16,·)$, $\chi_{333}(145,·)$, $\chi_{333}(211,·)$, $\chi_{333}(238,·)$, $\chi_{333}(100,·)$, $\chi_{333}(157,·)$, $\chi_{333}(223,·)$, $\chi_{333}(160,·)$, $\chi_{333}(34,·)$, $\chi_{333}(292,·)$, $\chi_{333}(229,·)$, $\chi_{333}(232,·)$, $\chi_{333}(46,·)$, $\chi_{333}(112,·)$, $\chi_{333}(49,·)$, $\chi_{333}(181,·)$, $\chi_{333}(118,·)$, $\chi_{333}(121,·)$, $\chi_{333}(127,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $\frac{1}{73}a^{23}-\frac{8}{73}a^{22}+\frac{31}{73}a^{21}+\frac{18}{73}a^{20}-\frac{27}{73}a^{19}+\frac{35}{73}a^{18}-\frac{11}{73}a^{17}+\frac{6}{73}a^{16}-\frac{13}{73}a^{15}+\frac{27}{73}a^{14}+\frac{15}{73}a^{13}-\frac{9}{73}a^{12}-\frac{1}{73}a^{11}-\frac{19}{73}a^{10}-\frac{13}{73}a^{9}+\frac{29}{73}a^{8}+\frac{5}{73}a^{7}-\frac{29}{73}a^{6}+\frac{3}{73}a^{5}+\frac{21}{73}a^{4}+\frac{9}{73}a^{3}+\frac{2}{73}a^{2}+\frac{32}{73}a-\frac{31}{73}$, $\frac{1}{17418311}a^{24}+\frac{111664}{17418311}a^{23}+\frac{5795207}{17418311}a^{22}+\frac{50508}{561881}a^{21}+\frac{8052279}{17418311}a^{20}-\frac{3473330}{17418311}a^{19}+\frac{997050}{17418311}a^{18}+\frac{7189025}{17418311}a^{17}-\frac{7527516}{17418311}a^{16}+\frac{8424242}{17418311}a^{15}+\frac{5409924}{17418311}a^{14}-\frac{146666}{561881}a^{13}-\frac{946576}{17418311}a^{12}+\frac{7798589}{17418311}a^{11}+\frac{7800817}{17418311}a^{10}+\frac{947292}{17418311}a^{9}-\frac{161140}{405077}a^{8}-\frac{2193696}{17418311}a^{7}-\frac{2390}{405077}a^{6}-\frac{6677270}{17418311}a^{5}-\frac{5952205}{17418311}a^{4}+\frac{1661393}{17418311}a^{3}-\frac{4259116}{17418311}a^{2}-\frac{6231376}{17418311}a-\frac{738932}{17418311}$, $\frac{1}{95922638677}a^{25}+\frac{1046}{95922638677}a^{24}-\frac{494166241}{95922638677}a^{23}-\frac{20290284908}{95922638677}a^{22}+\frac{14640047629}{95922638677}a^{21}+\frac{22840613031}{95922638677}a^{20}+\frac{15418779471}{95922638677}a^{19}+\frac{728656568}{3094278667}a^{18}+\frac{29900235617}{95922638677}a^{17}+\frac{3847836117}{95922638677}a^{16}-\frac{43249588302}{95922638677}a^{15}-\frac{40847411230}{95922638677}a^{14}+\frac{26977195760}{95922638677}a^{13}+\frac{199862693}{535880663}a^{12}+\frac{39674030435}{95922638677}a^{11}+\frac{33988115830}{95922638677}a^{10}-\frac{6689298570}{95922638677}a^{9}+\frac{37650161055}{95922638677}a^{8}-\frac{25907435453}{95922638677}a^{7}-\frac{27389196638}{95922638677}a^{6}+\frac{26669744802}{95922638677}a^{5}-\frac{38166840324}{95922638677}a^{4}+\frac{638926737}{1314008749}a^{3}+\frac{22883699575}{95922638677}a^{2}-\frac{759138237}{95922638677}a+\frac{9930641933}{95922638677}$, $\frac{1}{11\!\cdots\!29}a^{26}-\frac{30\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{16\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!29}a^{24}+\frac{36\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!29}a^{22}+\frac{53\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!29}a^{21}+\frac{45\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!29}a^{20}-\frac{84\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!29}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!29}a^{18}-\frac{53\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!29}a^{17}+\frac{19\!\cdots\!45}{11\!\cdots\!29}a^{16}-\frac{39\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{55\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{26\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{17\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{37\!\cdots\!46}{11\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{19\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{48\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!29}a^{7}-\frac{27\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!74}{63\!\cdots\!51}a^{5}-\frac{36\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{57\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{58\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{38\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!29}a+\frac{34\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!29}$

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$26$
Torsion generator:		\( -1 \)  (order $2$)
Fundamental units:		$\frac{28\!\cdots\!22}{85\!\cdots\!13}a^{26}-\frac{86\!\cdots\!56}{85\!\cdots\!13}a^{25}-\frac{20\!\cdots\!80}{85\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{56\!\cdots\!94}{85\!\cdots\!13}a^{23}+\frac{60\!\cdots\!64}{85\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!10}{85\!\cdots\!13}a^{21}-\frac{97\!\cdots\!51}{85\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{21\!\cdots\!80}{85\!\cdots\!13}a^{19}+\frac{94\!\cdots\!77}{85\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!55}{85\!\cdots\!13}a^{17}-\frac{58\!\cdots\!57}{85\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!86}{85\!\cdots\!13}a^{15}+\frac{23\!\cdots\!54}{85\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{37\!\cdots\!54}{85\!\cdots\!13}a^{13}-\frac{63\!\cdots\!61}{85\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{83\!\cdots\!82}{85\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!77}{85\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!61}{85\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{92\!\cdots\!28}{85\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{72\!\cdots\!65}{85\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{37\!\cdots\!09}{85\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!16}{85\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{56\!\cdots\!84}{85\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!28}{85\!\cdots\!13}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!45}{85\!\cdots\!13}a-\frac{18\!\cdots\!10}{85\!\cdots\!13}$, $\frac{28\!\cdots\!22}{85\!\cdots\!13}a^{26}-\frac{86\!\cdots\!56}{85\!\cdots\!13}a^{25}-\frac{20\!\cdots\!80}{85\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{56\!\cdots\!94}{85\!\cdots\!13}a^{23}+\frac{60\!\cdots\!64}{85\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!10}{85\!\cdots\!13}a^{21}-\frac{97\!\cdots\!51}{85\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{21\!\cdots\!80}{85\!\cdots\!13}a^{19}+\frac{94\!\cdots\!77}{85\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!55}{85\!\cdots\!13}a^{17}-\frac{58\!\cdots\!57}{85\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!86}{85\!\cdots\!13}a^{15}+\frac{23\!\cdots\!54}{85\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{37\!\cdots\!54}{85\!\cdots\!13}a^{13}-\frac{63\!\cdots\!61}{85\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{83\!\cdots\!82}{85\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!77}{85\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!61}{85\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{92\!\cdots\!28}{85\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{72\!\cdots\!65}{85\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{37\!\cdots\!09}{85\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!16}{85\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{56\!\cdots\!84}{85\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!28}{85\!\cdots\!13}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!45}{85\!\cdots\!13}a-\frac{18\!\cdots\!97}{85\!\cdots\!13}$, $\frac{60\!\cdots\!86}{85\!\cdots\!13}a^{26}-\frac{19\!\cdots\!67}{85\!\cdots\!13}a^{25}-\frac{43\!\cdots\!58}{85\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!51}{85\!\cdots\!13}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!02}{85\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{33\!\cdots\!19}{85\!\cdots\!13}a^{21}-\frac{20\!\cdots\!35}{85\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{48\!\cdots\!64}{85\!\cdots\!13}a^{19}+\frac{19\!\cdots\!92}{85\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{42\!\cdots\!67}{85\!\cdots\!13}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!61}{85\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!06}{85\!\cdots\!13}a^{15}+\frac{47\!\cdots\!13}{85\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{80\!\cdots\!97}{85\!\cdots\!13}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!74}{85\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{17\!\cdots\!75}{85\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{21\!\cdots\!01}{85\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!96}{85\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{22\!\cdots\!39}{85\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!10}{85\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!45}{85\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{76\!\cdots\!87}{85\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{39\!\cdots\!63}{85\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!51}{85\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{24\!\cdots\!84}{85\!\cdots\!13}a^{2}-\frac{25\!\cdots\!02}{85\!\cdots\!13}a-\frac{35\!\cdots\!50}{85\!\cdots\!13}$, $\frac{14\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!29}a^{26}-\frac{45\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{57\!\cdots\!24}{63\!\cdots\!51}a^{24}+\frac{95\!\cdots\!50}{36\!\cdots\!59}a^{23}+\frac{30\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!29}a^{22}-\frac{79\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{47\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!64}{11\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{46\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!29}a^{18}-\frac{99\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{28\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!29}a^{16}+\frac{54\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{29\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{41\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{50\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{57\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{54\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{45\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{77\!\cdots\!27}{26\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!29}a^{5}-\frac{30\!\cdots\!55}{36\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{57\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{62\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!29}a-\frac{85\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!29}$, $\frac{19\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!29}a^{26}-\frac{70\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!29}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!82}{36\!\cdots\!59}a^{23}+\frac{39\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!29}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{60\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!06}{11\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{55\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!29}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{32\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!29}a^{16}+\frac{86\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{30\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{65\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{50\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{88\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{52\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{68\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{73\!\cdots\!77}{26\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{27\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!29}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!21}{36\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{39\!\cdots\!06}{11\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{34\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!29}a-\frac{23\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!29}$, $\frac{45\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!29}a^{26}-\frac{14\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{32\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!29}a^{24}+\frac{30\!\cdots\!30}{36\!\cdots\!59}a^{23}+\frac{95\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!29}a^{22}-\frac{25\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{36\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!29}a^{18}-\frac{31\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{89\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!29}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{35\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{61\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{94\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!58}{26\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{59\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!29}a^{5}-\frac{99\!\cdots\!24}{36\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{86\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!29}a-\frac{32\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!29}$, $\frac{35\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!29}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{25\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!29}a^{24}+\frac{24\!\cdots\!17}{36\!\cdots\!59}a^{23}+\frac{73\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!29}a^{22}-\frac{20\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{29\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!29}a^{18}-\frac{25\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{67\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!29}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{26\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{48\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{70\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!46}{11\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!15}{26\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{47\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!29}a^{5}-\frac{71\!\cdots\!53}{36\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{69\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!29}a-\frac{16\!\cdots\!06}{11\!\cdots\!29}$, $\frac{98\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!29}a^{26}-\frac{32\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{70\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!29}a^{24}+\frac{67\!\cdots\!67}{36\!\cdots\!59}a^{23}+\frac{20\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!29}a^{22}-\frac{56\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{32\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{81\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{31\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!29}a^{18}-\frac{97\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!29}a^{16}+\frac{38\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{75\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{19\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{29\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{33\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{40\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{36\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{31\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{52\!\cdots\!47}{26\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!29}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!94}{36\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{38\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{43\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!29}a-\frac{57\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!29}$, $\frac{13\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!29}a^{26}-\frac{43\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{97\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!29}a^{24}+\frac{90\!\cdots\!30}{36\!\cdots\!59}a^{23}+\frac{28\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!29}a^{22}-\frac{75\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{46\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{44\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!29}a^{18}-\frac{95\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{27\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!29}a^{16}+\frac{52\!\cdots\!64}{11\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{29\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{40\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{50\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{56\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{54\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{44\!\cdots\!46}{11\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{78\!\cdots\!87}{26\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!29}a^{5}-\frac{30\!\cdots\!12}{36\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{58\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{60\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!29}a-\frac{88\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!29}$, $\frac{52\!\cdots\!46}{11\!\cdots\!29}a^{26}-\frac{16\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{37\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!29}a^{24}+\frac{34\!\cdots\!03}{36\!\cdots\!59}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!29}a^{22}-\frac{28\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{41\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{17\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!29}a^{18}-\frac{35\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!29}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{43\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{69\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{21\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{30\!\cdots\!93}{26\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{68\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!29}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!69}{36\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{22\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{25\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!29}a-\frac{36\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!29}$, $\frac{13\!\cdots\!09}{36\!\cdots\!59}a^{26}-\frac{44\!\cdots\!02}{36\!\cdots\!59}a^{25}-\frac{93\!\cdots\!50}{36\!\cdots\!59}a^{24}+\frac{29\!\cdots\!08}{36\!\cdots\!59}a^{23}+\frac{27\!\cdots\!95}{36\!\cdots\!59}a^{22}-\frac{77\!\cdots\!92}{36\!\cdots\!59}a^{21}-\frac{42\!\cdots\!36}{36\!\cdots\!59}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!33}{36\!\cdots\!59}a^{19}+\frac{40\!\cdots\!59}{36\!\cdots\!59}a^{18}-\frac{97\!\cdots\!00}{36\!\cdots\!59}a^{17}-\frac{24\!\cdots\!33}{36\!\cdots\!59}a^{16}+\frac{52\!\cdots\!98}{36\!\cdots\!59}a^{15}+\frac{95\!\cdots\!75}{36\!\cdots\!59}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!98}{36\!\cdots\!59}a^{13}-\frac{24\!\cdots\!86}{36\!\cdots\!59}a^{12}+\frac{39\!\cdots\!07}{36\!\cdots\!59}a^{11}+\frac{41\!\cdots\!40}{36\!\cdots\!59}a^{10}-\frac{51\!\cdots\!13}{36\!\cdots\!59}a^{9}-\frac{45\!\cdots\!16}{36\!\cdots\!59}a^{8}+\frac{39\!\cdots\!64}{36\!\cdots\!59}a^{7}+\frac{28\!\cdots\!40}{36\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!84}{36\!\cdots\!59}a^{5}-\frac{84\!\cdots\!32}{36\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!57}{36\!\cdots\!59}a^{3}+\frac{63\!\cdots\!98}{36\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{43\!\cdots\!14}{36\!\cdots\!59}a-\frac{11\!\cdots\!01}{36\!\cdots\!59}$, $\frac{84\!\cdots\!15}{36\!\cdots\!59}a^{26}-\frac{26\!\cdots\!93}{36\!\cdots\!59}a^{25}-\frac{60\!\cdots\!72}{36\!\cdots\!59}a^{24}+\frac{17\!\cdots\!15}{36\!\cdots\!59}a^{23}+\frac{17\!\cdots\!87}{36\!\cdots\!59}a^{22}-\frac{46\!\cdots\!42}{36\!\cdots\!59}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!55}{20\!\cdots\!21}a^{20}+\frac{67\!\cdots\!15}{36\!\cdots\!59}a^{19}+\frac{27\!\cdots\!93}{36\!\cdots\!59}a^{18}-\frac{58\!\cdots\!80}{36\!\cdots\!59}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!24}{36\!\cdots\!59}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!45}{36\!\cdots\!59}a^{15}+\frac{66\!\cdots\!30}{36\!\cdots\!59}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!99}{36\!\cdots\!59}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!46}{36\!\cdots\!59}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!51}{36\!\cdots\!59}a^{11}+\frac{29\!\cdots\!68}{36\!\cdots\!59}a^{10}-\frac{33\!\cdots\!12}{36\!\cdots\!59}a^{9}-\frac{31\!\cdots\!88}{36\!\cdots\!59}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!99}{36\!\cdots\!59}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!16}{36\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!56}{36\!\cdots\!59}a^{5}-\frac{54\!\cdots\!65}{36\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!19}{36\!\cdots\!59}a^{3}+\frac{31\!\cdots\!85}{36\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{37\!\cdots\!04}{36\!\cdots\!59}a-\frac{45\!\cdots\!67}{36\!\cdots\!59}$, $\frac{14\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!29}a^{26}-\frac{46\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!29}a^{24}+\frac{29\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{30\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!29}a^{22}-\frac{80\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{48\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{46\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!29}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{28\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!29}a^{16}+\frac{55\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{29\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{42\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{51\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{58\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{55\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{46\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!33}{50\!\cdots\!83}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!29}a^{5}-\frac{96\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{59\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{62\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!29}a-\frac{90\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!29}$, $\frac{99\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!29}a^{26}-\frac{32\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{70\!\cdots\!64}{11\!\cdots\!29}a^{24}+\frac{20\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{20\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!29}a^{22}-\frac{55\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{32\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{80\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{31\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!29}a^{18}-\frac{69\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!29}a^{16}+\frac{37\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{76\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{19\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{28\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{33\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{38\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{36\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{30\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{22\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!29}a^{5}-\frac{63\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{39\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{33\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!29}a-\frac{51\!\cdots\!64}{11\!\cdots\!29}$, $\frac{60\!\cdots\!42}{26\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{81\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{18\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!29}a^{24}+\frac{53\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{54\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!29}a^{22}-\frac{14\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{87\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{20\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{84\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!29}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{51\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!29}a^{16}+\frac{98\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{20\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{34\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{55\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{76\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{94\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{83\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{63\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{33\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!29}a^{5}-\frac{17\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{47\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!29}a-\frac{16\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!29}$, $\frac{13\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!29}a^{26}-\frac{43\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{97\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!29}a^{24}+\frac{27\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{28\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!29}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{45\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{44\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!29}a^{18}-\frac{94\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{27\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!29}a^{16}+\frac{51\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!16}{15\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{28\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{39\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{48\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!31}{36\!\cdots\!59}a^{9}-\frac{52\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{42\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{32\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!29}a^{5}-\frac{90\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{24\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{56\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{58\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!29}a-\frac{86\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!29}$, $\frac{42\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!29}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{30\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!29}a^{24}+\frac{84\!\cdots\!64}{11\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{91\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!29}a^{22}-\frac{22\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{32\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!29}a^{18}-\frac{28\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{89\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!29}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{36\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{54\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{96\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!64}{11\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{50\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!29}a^{5}-\frac{74\!\cdots\!21}{26\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{69\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{20\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!29}a-\frac{34\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!29}$, $\frac{16\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!29}a^{26}-\frac{52\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!29}a^{24}+\frac{34\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{35\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!29}a^{22}-\frac{92\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{57\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{55\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!29}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{34\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!29}a^{16}+\frac{63\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{36\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{49\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!60}{26\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{67\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{66\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{53\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{40\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!29}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{30\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{67\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{72\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!29}a-\frac{99\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!29}$, $\frac{30\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!29}a^{26}-\frac{94\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{21\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!29}a^{24}+\frac{61\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{87\!\cdots\!56}{15\!\cdots\!73}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{24\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{98\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!29}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{61\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!29}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{24\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!80}{36\!\cdots\!59}a^{13}-\frac{65\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{89\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{98\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{75\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{39\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!29}a^{5}-\frac{21\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{78\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!29}a-\frac{10\!\cdots\!35}{63\!\cdots\!51}$, $\frac{37\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!29}a^{26}-\frac{28\!\cdots\!38}{26\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{27\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!29}a^{24}+\frac{78\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{79\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!29}a^{22}-\frac{21\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{30\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!29}a^{18}-\frac{26\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{75\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!29}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{30\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{50\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!67}{15\!\cdots\!73}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{39\!\cdots\!92}{36\!\cdots\!59}a^{7}+\frac{89\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{48\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!29}a^{5}-\frac{25\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{70\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!29}a-\frac{22\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!29}$, $\frac{17\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!29}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!70}{26\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!29}a^{24}+\frac{36\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{35\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!29}a^{22}-\frac{98\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{55\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!64}{11\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{52\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!29}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{31\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!29}a^{16}+\frac{67\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{23\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{31\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{51\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{52\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{70\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{53\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{56\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{31\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{23\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!29}a^{5}-\frac{86\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{37\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{46\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!29}a-\frac{10\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!29}$, $\frac{17\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!29}a^{26}-\frac{53\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!29}a^{24}+\frac{34\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{36\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!29}a^{22}-\frac{93\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{58\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{56\!\cdots\!86}{11\!\cdots\!29}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!61}{36\!\cdots\!59}a^{16}+\frac{64\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{37\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{50\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{63\!\cdots\!46}{11\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{68\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{68\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{54\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{41\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{22\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!29}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{32\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{71\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{82\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!29}a-\frac{11\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!29}$, $\frac{38\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!29}a^{26}-\frac{39\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{31\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!29}a^{24}+\frac{26\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!29}a^{22}-\frac{77\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{20\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!46}{11\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{22\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!29}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!29}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{77\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{46\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{23\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{44\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{23\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{51\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{32\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!29}a^{5}-\frac{93\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{56\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{54\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!29}a-\frac{37\!\cdots\!26}{50\!\cdots\!83}$, $\frac{27\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!29}a^{26}-\frac{85\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{19\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!29}a^{24}+\frac{55\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{57\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!29}a^{22}-\frac{14\!\cdots\!06}{11\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{91\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{20\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{87\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!29}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{53\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!29}a^{16}+\frac{96\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{20\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{32\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{53\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{71\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{89\!\cdots\!06}{11\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{95\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{92\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{73\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{54\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{28\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!29}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{41\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{89\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!29}a-\frac{14\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!29}$, $\frac{19\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!29}a^{26}-\frac{60\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!45}{11\!\cdots\!29}a^{24}+\frac{38\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{42\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!29}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{67\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{65\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!29}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{40\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!29}a^{16}+\frac{70\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{24\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{41\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{54\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{69\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{74\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{72\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!16}{26\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{42\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!29}a^{5}-\frac{25\!\cdots\!21}{26\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{38\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{44\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{95\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!29}a-\frac{15\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!29}$, $\frac{16\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!29}a^{26}-\frac{53\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!29}a^{24}+\frac{34\!\cdots\!45}{11\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{35\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!29}a^{22}-\frac{93\!\cdots\!28}{11\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{56\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!32}{11\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{54\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!29}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{33\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!29}a^{16}+\frac{64\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{35\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{28\!\cdots\!41}{63\!\cdots\!51}a^{11}+\frac{61\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{69\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{66\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{54\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{41\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!45}{11\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{31\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{70\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{75\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!29}a-\frac{10\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!29}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 6779568523744629000 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 6779568523744629000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{6504389611606252637488188857147585077648657433962663281}}\cr\approx \mathstrut & 0.178393352920657 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_3\times C_9$ (as 27T2):

An abelian group of order 27

The 27 conjugacy class representatives for $C_3\times C_9$

Character table for $C_3\times C_9$

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{9})^+\), 3.3.1369.1, 3.3.110889.2, 3.3.110889.1, 9.9.1363532208525369.2, 9.9.3512479453921.1, 9.9.1866675593471230161.2, 9.9.1866675593471230161.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	${\href{/padicField/2.9.0.1}{9} }^{3}$	R	${\href{/padicField/5.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/7.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{9}$	${\href{/padicField/13.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/19.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/23.3.0.1}{3} }^{9}$	${\href{/padicField/29.3.0.1}{3} }^{9}$	${\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{9}$	R	${\href{/padicField/41.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/43.3.0.1}{3} }^{9}$	${\href{/padicField/47.3.0.1}{3} }^{9}$	${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/59.9.0.1}{9} }^{3}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(3\)		Deg $27$	$3$	$9$	$36$
\(37\)	37.9.8.1	$x^{9} + 37$	$9$	$1$	$8$	$C_9$	$[\ ]_{9}$
	37.9.8.1	$x^{9} + 37$	$9$	$1$	$8$	$C_9$	$[\ ]_{9}$
	37.9.8.1	$x^{9} + 37$	$9$	$1$	$8$	$C_9$	$[\ ]_{9}$