↑

Properties

Label 27.27.5659106580...209.10
Degree $27$
Signature $[27, 0]$
Discriminant $3^{66}\cdot 7^{18}\cdot 13^{18}$
Root discriminant $296.70$
Ramified primes $3, 7, 13$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_3\times C_9$ (as 27T2)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![1914328354712957, -3402078647206140, -15214678979277942, 6764432694563259, 17626794329742588, -4792095978290514, -8323967190730809, 1652493518068212, 2033775649158255, -328865159417878, -293449181012676, 41414716489527, 26968936001406, -3477186538812, -1647554386824, 200160570414, 68288477823, -7983926019, -1924262449, 219630546, 36210411, -4074096, -434322, 48483, 2994, -333, -9, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 9*x^26 - 333*x^25 + 2994*x^24 + 48483*x^23 - 434322*x^22 - 4074096*x^21 + 36210411*x^20 + 219630546*x^19 - 1924262449*x^18 - 7983926019*x^17 + 68288477823*x^16 + 200160570414*x^15 - 1647554386824*x^14 - 3477186538812*x^13 + 26968936001406*x^12 + 41414716489527*x^11 - 293449181012676*x^10 - 328865159417878*x^9 + 2033775649158255*x^8 + 1652493518068212*x^7 - 8323967190730809*x^6 - 4792095978290514*x^5 + 17626794329742588*x^4 + 6764432694563259*x^3 - 15214678979277942*x^2 - 3402078647206140*x + 1914328354712957)
 
gp: K = bnfinit(x^27 - 9*x^26 - 333*x^25 + 2994*x^24 + 48483*x^23 - 434322*x^22 - 4074096*x^21 + 36210411*x^20 + 219630546*x^19 - 1924262449*x^18 - 7983926019*x^17 + 68288477823*x^16 + 200160570414*x^15 - 1647554386824*x^14 - 3477186538812*x^13 + 26968936001406*x^12 + 41414716489527*x^11 - 293449181012676*x^10 - 328865159417878*x^9 + 2033775649158255*x^8 + 1652493518068212*x^7 - 8323967190730809*x^6 - 4792095978290514*x^5 + 17626794329742588*x^4 + 6764432694563259*x^3 - 15214678979277942*x^2 - 3402078647206140*x + 1914328354712957, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{27} - 9 x^{26} - 333 x^{25} + 2994 x^{24} + 48483 x^{23} - 434322 x^{22} - 4074096 x^{21} + 36210411 x^{20} + 219630546 x^{19} - 1924262449 x^{18} - 7983926019 x^{17} + 68288477823 x^{16} + 200160570414 x^{15} - 1647554386824 x^{14} - 3477186538812 x^{13} + 26968936001406 x^{12} + 41414716489527 x^{11} - 293449181012676 x^{10} - 328865159417878 x^{9} + 2033775649158255 x^{8} + 1652493518068212 x^{7} - 8323967190730809 x^{6} - 4792095978290514 x^{5} + 17626794329742588 x^{4} + 6764432694563259 x^{3} - 15214678979277942 x^{2} - 3402078647206140 x + 1914328354712957 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $27$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[27, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(5659106580522258442740055894009895600932750567734671570320232266209=3^{66}\cdot 7^{18}\cdot 13^{18}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $296.70$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 7, 13$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(2457=3^{3}\cdot 7\cdot 13\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{2457}(1,·)$, $\chi_{2457}(235,·)$, $\chi_{2457}(1348,·)$, $\chi_{2457}(1030,·)$, $\chi_{2457}(1933,·)$, $\chi_{2457}(529,·)$, $\chi_{2457}(1171,·)$, $\chi_{2457}(1849,·)$, $\chi_{2457}(2200,·)$, $\chi_{2457}(1114,·)$, $\chi_{2457}(1054,·)$, $\chi_{2457}(1381,·)$, $\chi_{2457}(352,·)$, $\chi_{2457}(2083,·)$, $\chi_{2457}(646,·)$, $\chi_{2457}(295,·)$, $\chi_{2457}(1639,·)$, $\chi_{2457}(2284,·)$, $\chi_{2457}(1264,·)$, $\chi_{2457}(562,·)$, $\chi_{2457}(211,·)$, $\chi_{2457}(820,·)$, $\chi_{2457}(2167,·)$, $\chi_{2457}(1990,·)$, $\chi_{2457}(1465,·)$, $\chi_{2457}(445,·)$, $\chi_{2457}(1873,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $\frac{1}{13} a^{9} - \frac{3}{13} a^{8} - \frac{3}{13} a^{7} + \frac{1}{13} a^{6} + \frac{5}{13} a^{4} - \frac{6}{13} a^{3} - \frac{4}{13} a^{2} - \frac{6}{13} a + \frac{1}{13}$, $\frac{1}{13} a^{10} + \frac{1}{13} a^{8} + \frac{5}{13} a^{7} + \frac{3}{13} a^{6} + \frac{5}{13} a^{5} - \frac{4}{13} a^{4} + \frac{4}{13} a^{3} - \frac{5}{13} a^{2} - \frac{4}{13} a + \frac{3}{13}$, $\frac{1}{13} a^{11} - \frac{5}{13} a^{8} + \frac{6}{13} a^{7} + \frac{4}{13} a^{6} - \frac{4}{13} a^{5} - \frac{1}{13} a^{4} + \frac{1}{13} a^{3} - \frac{4}{13} a - \frac{1}{13}$, $\frac{1}{13} a^{12} + \frac{4}{13} a^{8} + \frac{2}{13} a^{7} + \frac{1}{13} a^{6} - \frac{1}{13} a^{5} - \frac{4}{13} a^{3} + \frac{2}{13} a^{2} - \frac{5}{13} a + \frac{5}{13}$, $\frac{1}{13} a^{13} + \frac{1}{13} a^{8} - \frac{5}{13} a^{6} + \frac{2}{13} a^{4} - \frac{2}{13} a^{2} + \frac{3}{13} a - \frac{4}{13}$, $\frac{1}{13} a^{14} + \frac{3}{13} a^{8} - \frac{2}{13} a^{7} - \frac{1}{13} a^{6} + \frac{2}{13} a^{5} - \frac{5}{13} a^{4} + \frac{4}{13} a^{3} - \frac{6}{13} a^{2} + \frac{2}{13} a - \frac{1}{13}$, $\frac{1}{689} a^{15} - \frac{1}{53} a^{14} + \frac{5}{689} a^{13} - \frac{23}{689} a^{12} - \frac{2}{53} a^{11} - \frac{8}{689} a^{10} + \frac{17}{689} a^{9} + \frac{108}{689} a^{8} - \frac{298}{689} a^{7} + \frac{217}{689} a^{6} - \frac{48}{689} a^{5} + \frac{64}{689} a^{4} - \frac{69}{689} a^{3} - \frac{252}{689} a^{2} - \frac{222}{689} a - \frac{340}{689}$, $\frac{1}{689} a^{16} - \frac{5}{689} a^{14} - \frac{11}{689} a^{13} - \frac{7}{689} a^{12} + \frac{25}{689} a^{11} + \frac{19}{689} a^{10} + \frac{11}{689} a^{9} - \frac{60}{689} a^{8} - \frac{6}{13} a^{7} - \frac{142}{689} a^{6} - \frac{136}{689} a^{5} + \frac{233}{689} a^{4} + \frac{229}{689} a^{3} - \frac{4}{13} a^{2} + \frac{166}{689} a + \frac{297}{689}$, $\frac{1}{689} a^{17} - \frac{23}{689} a^{14} + \frac{18}{689} a^{13} + \frac{16}{689} a^{12} - \frac{5}{689} a^{11} + \frac{24}{689} a^{10} + \frac{25}{689} a^{9} + \frac{328}{689} a^{8} + \frac{64}{689} a^{7} + \frac{207}{689} a^{6} - \frac{166}{689} a^{5} - \frac{34}{689} a^{4} + \frac{238}{689} a^{3} - \frac{87}{689} a^{2} + \frac{194}{689} a + \frac{16}{53}$, $\frac{1}{8957} a^{18} - \frac{6}{8957} a^{17} + \frac{3}{8957} a^{16} - \frac{6}{8957} a^{15} + \frac{185}{8957} a^{14} + \frac{225}{8957} a^{13} - \frac{301}{8957} a^{12} + \frac{323}{8957} a^{11} + \frac{279}{8957} a^{10} + \frac{76}{8957} a^{9} + \frac{4363}{8957} a^{8} - \frac{69}{689} a^{7} + \frac{63}{169} a^{6} - \frac{1481}{8957} a^{5} - \frac{1163}{8957} a^{4} - \frac{835}{8957} a^{3} - \frac{388}{8957} a^{2} + \frac{3082}{8957} a - \frac{3275}{8957}$, $\frac{1}{8957} a^{19} + \frac{6}{8957} a^{17} - \frac{1}{8957} a^{16} + \frac{6}{8957} a^{15} + \frac{295}{8957} a^{14} - \frac{199}{8957} a^{13} - \frac{235}{8957} a^{12} - \frac{97}{8957} a^{11} + \frac{138}{8957} a^{10} - \frac{225}{8957} a^{9} + \frac{3428}{8957} a^{8} - \frac{3096}{8957} a^{7} + \frac{3642}{8957} a^{6} - \frac{342}{689} a^{5} - \frac{209}{689} a^{4} - \frac{3006}{8957} a^{3} - \frac{293}{689} a^{2} - \frac{2060}{8957} a + \frac{838}{8957}$, $\frac{1}{8957} a^{20} - \frac{4}{8957} a^{17} + \frac{1}{8957} a^{16} + \frac{6}{8957} a^{15} + \frac{303}{8957} a^{14} + \frac{79}{8957} a^{13} + \frac{201}{8957} a^{12} + \frac{280}{8957} a^{11} + \frac{12}{8957} a^{10} + \frac{60}{8957} a^{9} - \frac{3534}{8957} a^{8} + \frac{2095}{8957} a^{7} - \frac{2263}{8957} a^{6} + \frac{1671}{8957} a^{5} + \frac{1307}{8957} a^{4} + \frac{96}{8957} a^{3} + \frac{2192}{8957} a^{2} + \frac{331}{689} a + \frac{1190}{8957}$, $\frac{1}{8957} a^{21} + \frac{3}{8957} a^{17} + \frac{5}{8957} a^{16} + \frac{6}{8957} a^{15} - \frac{23}{689} a^{14} - \frac{342}{8957} a^{13} - \frac{339}{8957} a^{12} - \frac{321}{8957} a^{11} + \frac{292}{8957} a^{10} + \frac{215}{8957} a^{9} + \frac{3505}{8957} a^{8} - \frac{3446}{8957} a^{7} + \frac{220}{8957} a^{6} + \frac{1805}{8957} a^{5} - \frac{448}{8957} a^{4} - \frac{2526}{8957} a^{3} + \frac{1074}{8957} a^{2} + \frac{531}{8957} a - \frac{35}{8957}$, $\frac{1}{8957} a^{22} - \frac{3}{8957} a^{17} - \frac{3}{8957} a^{16} + \frac{5}{8957} a^{15} + \frac{9}{689} a^{14} - \frac{4}{689} a^{13} - \frac{211}{8957} a^{12} + \frac{285}{8957} a^{11} - \frac{89}{8957} a^{10} - \frac{90}{8957} a^{9} + \frac{1002}{8957} a^{8} + \frac{766}{8957} a^{7} - \frac{3207}{8957} a^{6} - \frac{1283}{8957} a^{5} + \frac{2237}{8957} a^{4} + \frac{1083}{8957} a^{3} + \frac{4230}{8957} a^{2} - \frac{3405}{8957} a + \frac{192}{8957}$, $\frac{1}{8957} a^{23} + \frac{5}{8957} a^{17} + \frac{1}{8957} a^{16} - \frac{5}{8957} a^{15} - \frac{56}{8957} a^{14} - \frac{134}{8957} a^{13} + \frac{214}{8957} a^{12} - \frac{316}{8957} a^{11} - \frac{111}{8957} a^{10} - \frac{31}{8957} a^{9} - \frac{3916}{8957} a^{8} - \frac{1491}{8957} a^{7} + \frac{3040}{8957} a^{6} + \frac{2994}{8957} a^{5} + \frac{4250}{8957} a^{4} + \frac{3155}{8957} a^{3} + \frac{2152}{8957} a^{2} + \frac{21}{689} a + \frac{211}{8957}$, $\frac{1}{8957} a^{24} + \frac{5}{8957} a^{17} + \frac{6}{8957} a^{16} - \frac{240}{8957} a^{14} - \frac{157}{8957} a^{13} - \frac{7}{8957} a^{12} - \frac{244}{8957} a^{11} + \frac{303}{8957} a^{10} - \frac{84}{8957} a^{9} + \frac{419}{8957} a^{8} + \frac{3625}{8957} a^{7} + \frac{92}{8957} a^{6} - \frac{526}{8957} a^{5} + \frac{80}{689} a^{4} + \frac{854}{8957} a^{3} + \frac{3435}{8957} a^{2} - \frac{1029}{8957} a + \frac{3648}{8957}$, $\frac{1}{8957} a^{25} - \frac{3}{8957} a^{17} - \frac{2}{8957} a^{16} - \frac{2}{8957} a^{15} - \frac{198}{8957} a^{14} - \frac{248}{8957} a^{13} - \frac{8}{689} a^{12} + \frac{1}{8957} a^{11} + \frac{302}{8957} a^{10} - \frac{1}{689} a^{9} - \frac{2408}{8957} a^{8} - \frac{4094}{8957} a^{7} - \frac{3363}{8957} a^{6} + \frac{411}{8957} a^{5} + \frac{176}{689} a^{4} + \frac{2800}{8957} a^{3} + \frac{1496}{8957} a^{2} - \frac{2714}{8957} a - \frac{4165}{8957}$, $\frac{1}{252413505172707278629026204764062478355708737401625382740325895741985132747429561163333831832869530262549986685528673110529110869686567175791797768139} a^{26} - \frac{4016018554020516769078254269267196278183428234851643536292590215589966062746422405736069830593572675870898964067439389868211474234912215670630643}{252413505172707278629026204764062478355708737401625382740325895741985132747429561163333831832869530262549986685528673110529110869686567175791797768139} a^{25} - \frac{7231254170705829265552629199942798842627660674220880840169687032307342598072025264490970158122483064373295035108839805006856372008762695086435217}{252413505172707278629026204764062478355708737401625382740325895741985132747429561163333831832869530262549986685528673110529110869686567175791797768139} a^{24} + \frac{7480042850399979432196254443919987978769544080560918113084245941829794533261989173025739018654621494140728824783130460496629292726072558101419064}{252413505172707278629026204764062478355708737401625382740325895741985132747429561163333831832869530262549986685528673110529110869686567175791797768139} a^{23} + \frac{8810778976888154047886188885512084275626788079134006281674296017256639632739900837824802375284022887325447254704446210877603914023997250891860742}{252413505172707278629026204764062478355708737401625382740325895741985132747429561163333831832869530262549986685528673110529110869686567175791797768139} a^{22} - \frac{6279950570483606477343294175410969928305492573501923035733940681399585837604461880750301930394763320599977535550391527798794214636145027793784082}{252413505172707278629026204764062478355708737401625382740325895741985132747429561163333831832869530262549986685528673110529110869686567175791797768139} a^{21} + \frac{3094352816939773927820990084080795063448542808943270790260601766651092314814110178721624680615951468714589068336792251162670957557953192172631952}{252413505172707278629026204764062478355708737401625382740325895741985132747429561163333831832869530262549986685528673110529110869686567175791797768139} a^{20} - \frac{1627157769578629589007539199930072473061094812400851855145238256782071192980829671448661775503848553569409305164949571026207267786039199116220313}{252413505172707278629026204764062478355708737401625382740325895741985132747429561163333831832869530262549986685528673110529110869686567175791797768139} a^{19} + \frac{10920319848508810072018478045098722013646866286197577051450664368178017073405645450390423604395565803586326427565037102988904420189717057589707599}{252413505172707278629026204764062478355708737401625382740325895741985132747429561163333831832869530262549986685528673110529110869686567175791797768139} a^{18} - \frac{6978208385110077615639322319699380891587112119075547215979516113178698689045010081617712830861975412020853043809165206657723409379981833248935979}{252413505172707278629026204764062478355708737401625382740325895741985132747429561163333831832869530262549986685528673110529110869686567175791797768139} a^{17} + \frac{107055396581828633127477912781561720668053883005484558835552992517550909412077254884771310131441901151776363675960714452546451334521350889523799264}{252413505172707278629026204764062478355708737401625382740325895741985132747429561163333831832869530262549986685528673110529110869686567175791797768139} a^{16} - \frac{143098725772191773955753039901559723332292737368269132853594369979514706634886656165411437405370496044664022187020440170221861150391988321183740008}{252413505172707278629026204764062478355708737401625382740325895741985132747429561163333831832869530262549986685528673110529110869686567175791797768139} a^{15} - \frac{7716404357034986605561359708403379407127065520600843617611737916308089926028565873297873890225946703203722762062436577992258543324587982189098957000}{252413505172707278629026204764062478355708737401625382740325895741985132747429561163333831832869530262549986685528673110529110869686567175791797768139} a^{14} - \frac{3376220976333874720613760593986001431922494799874493353225418499777202311777182868158621070729108489326168667848516225861880013127152571903354163306}{252413505172707278629026204764062478355708737401625382740325895741985132747429561163333831832869530262549986685528673110529110869686567175791797768139} a^{13} + \frac{6094458704920913165831004455229475121864605727370908075694908619643785851471194591634857132351602432701778304531835055124059752760625343370518146445}{252413505172707278629026204764062478355708737401625382740325895741985132747429561163333831832869530262549986685528673110529110869686567175791797768139} a^{12} + \frac{7429107932358809239198988272915589424430795076678602062724802294017309825786743039862782588323066200960992340092046745478535174215585090818194392879}{252413505172707278629026204764062478355708737401625382740325895741985132747429561163333831832869530262549986685528673110529110869686567175791797768139} a^{11} + \frac{1187771897108086452571062177857531713602821391065967770800357528238419849836238461394715069299205861509517932788507887990487394613492916650075807610}{252413505172707278629026204764062478355708737401625382740325895741985132747429561163333831832869530262549986685528673110529110869686567175791797768139} a^{10} - \frac{99233274451515787474297555390363694113068958908271290930525145261726109673696911395870737785025686404450136362759465009576956911157945865996420279}{4762518965522778842057098203095518459541674290596705334723130108339342127309991720062902487412632646463207295953371190764700205088425795769656561663} a^{9} - \frac{28632050796155018106084889663732186674471384894105652827973925623699435359224128353602339974784189832899911819963090262819302461703301488014075654524}{252413505172707278629026204764062478355708737401625382740325895741985132747429561163333831832869530262549986685528673110529110869686567175791797768139} a^{8} + \frac{4923390464262988063285935140974035812354193820626899749899957433555887640805203257534309270756960788859934028294721640753535131591057398755865166666}{19416423474823636817617400366466344488900672107817337133871222749383471749802273935641063987143810020196152821963744085425316220745120551983984443703} a^{7} - \frac{93888029785347076967117927474335770726829941443522262986105451775628093017467014023905934558375760208126815266086888717598660810833401108103177096341}{252413505172707278629026204764062478355708737401625382740325895741985132747429561163333831832869530262549986685528673110529110869686567175791797768139} a^{6} + \frac{114031050174524550351184099760560217996224119134860072147022344475606518173857064283300474281955477024881883405359815802240030152943945474317188428915}{252413505172707278629026204764062478355708737401625382740325895741985132747429561163333831832869530262549986685528673110529110869686567175791797768139} a^{5} - \frac{7396470428589033792622198757094378960535380876175457399924878577333083783496478173732070003658908095024348148773224763370308703162294021600050170927}{19416423474823636817617400366466344488900672107817337133871222749383471749802273935641063987143810020196152821963744085425316220745120551983984443703} a^{4} - \frac{76034112460643708132293858493147452545953090907974555360943541079304283807174715257892843512807407899767158180213454047693040939957076529279546151578}{252413505172707278629026204764062478355708737401625382740325895741985132747429561163333831832869530262549986685528673110529110869686567175791797768139} a^{3} + \frac{46566096918365307106701216295134901274086009739010858538937038733823734564763797055489098994884675508463264784878060080102357810444891209884879859144}{252413505172707278629026204764062478355708737401625382740325895741985132747429561163333831832869530262549986685528673110529110869686567175791797768139} a^{2} - \frac{35399759755651009911852550995141328828645246839565755046310023951909605116315794556415141767998233072984279961627718971562101978543925619521839006078}{252413505172707278629026204764062478355708737401625382740325895741985132747429561163333831832869530262549986685528673110529110869686567175791797768139} a + \frac{90090726917320544411931607450286677034791478675053736352700457847035953921467679687995817625150759690724291361252604929203852729234269163171956195112}{252413505172707278629026204764062478355708737401625382740325895741985132747429561163333831832869530262549986685528673110529110869686567175791797768139}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $26$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_3\times C_9$ (as 27T2):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
An abelian group of order 27
The 27 conjugacy class representatives for $C_3\times C_9$
Character table for $C_3\times C_9$ is not computed

Intermediate fields

3.3.3969.1, \(\Q(\zeta_{9})^+\), 3.3.3969.2, \(\Q(\zeta_{7})^+\), 9.9.62523502209.1, 9.9.17820338848416865911969.1, 9.9.17820338848416865911969.3, 9.9.151470380950257681.2

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.9.0.1}{9} }^{3}$ R ${\href{/LocalNumberField/5.9.0.1}{9} }^{3}$ R ${\href{/LocalNumberField/11.9.0.1}{9} }^{3}$ R ${\href{/LocalNumberField/17.3.0.1}{3} }^{9}$ ${\href{/LocalNumberField/19.3.0.1}{3} }^{9}$ ${\href{/LocalNumberField/23.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/29.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/31.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/37.3.0.1}{3} }^{9}$ ${\href{/LocalNumberField/41.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/43.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/47.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/53.3.0.1}{3} }^{9}$ ${\href{/LocalNumberField/59.9.0.1}{9} }^{3}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
7Data not computed
$13$13.9.6.2$x^{9} - 338 x^{3} + 13182$$3$$3$$6$$C_9$$[\ ]_{3}^{3}$
13.9.6.2$x^{9} - 338 x^{3} + 13182$$3$$3$$6$$C_9$$[\ ]_{3}^{3}$
13.9.6.2$x^{9} - 338 x^{3} + 13182$$3$$3$$6$$C_9$$[\ ]_{3}^{3}$