↑

Properties

Label 27.27.4934496944...7289.2
Degree $27$
Signature $[27, 0]$
Discriminant $3^{36}\cdot 163^{26}$
Root discriminant $584.00$
Ramified primes $3, 163$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{27}$ (as 27T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![47584712719603, 319734157042743, 872048463931521, 1154685729661558, 533351595404790, -492327500439375, -787809488325546, -280715203969491, 162818812310040, 164201192000225, 22733911982439, -24693521462100, -9943557891787, 888897228816, 1131991461396, 94661845923, -59437041438, -10239551442, 1590643487, 407434800, -21586905, -8327670, 135942, 90954, -326, -489, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 489*x^25 - 326*x^24 + 90954*x^23 + 135942*x^22 - 8327670*x^21 - 21586905*x^20 + 407434800*x^19 + 1590643487*x^18 - 10239551442*x^17 - 59437041438*x^16 + 94661845923*x^15 + 1131991461396*x^14 + 888897228816*x^13 - 9943557891787*x^12 - 24693521462100*x^11 + 22733911982439*x^10 + 164201192000225*x^9 + 162818812310040*x^8 - 280715203969491*x^7 - 787809488325546*x^6 - 492327500439375*x^5 + 533351595404790*x^4 + 1154685729661558*x^3 + 872048463931521*x^2 + 319734157042743*x + 47584712719603)
 
gp: K = bnfinit(x^27 - 489*x^25 - 326*x^24 + 90954*x^23 + 135942*x^22 - 8327670*x^21 - 21586905*x^20 + 407434800*x^19 + 1590643487*x^18 - 10239551442*x^17 - 59437041438*x^16 + 94661845923*x^15 + 1131991461396*x^14 + 888897228816*x^13 - 9943557891787*x^12 - 24693521462100*x^11 + 22733911982439*x^10 + 164201192000225*x^9 + 162818812310040*x^8 - 280715203969491*x^7 - 787809488325546*x^6 - 492327500439375*x^5 + 533351595404790*x^4 + 1154685729661558*x^3 + 872048463931521*x^2 + 319734157042743*x + 47584712719603, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{27} - 489 x^{25} - 326 x^{24} + 90954 x^{23} + 135942 x^{22} - 8327670 x^{21} - 21586905 x^{20} + 407434800 x^{19} + 1590643487 x^{18} - 10239551442 x^{17} - 59437041438 x^{16} + 94661845923 x^{15} + 1131991461396 x^{14} + 888897228816 x^{13} - 9943557891787 x^{12} - 24693521462100 x^{11} + 22733911982439 x^{10} + 164201192000225 x^{9} + 162818812310040 x^{8} - 280715203969491 x^{7} - 787809488325546 x^{6} - 492327500439375 x^{5} + 533351595404790 x^{4} + 1154685729661558 x^{3} + 872048463931521 x^{2} + 319734157042743 x + 47584712719603 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $27$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[27, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(493449694474834715367307491089920591429543598652017227708295844390723767289=3^{36}\cdot 163^{26}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $584.00$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 163$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(1467=3^{2}\cdot 163\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{1467}(1,·)$, $\chi_{1467}(1003,·)$, $\chi_{1467}(391,·)$, $\chi_{1467}(1036,·)$, $\chi_{1467}(115,·)$, $\chi_{1467}(1042,·)$, $\chi_{1467}(787,·)$, $\chi_{1467}(22,·)$, $\chi_{1467}(919,·)$, $\chi_{1467}(472,·)$, $\chi_{1467}(1177,·)$, $\chi_{1467}(1114,·)$, $\chi_{1467}(481,·)$, $\chi_{1467}(379,·)$, $\chi_{1467}(484,·)$, $\chi_{1467}(1381,·)$, $\chi_{1467}(1147,·)$, $\chi_{1467}(295,·)$, $\chi_{1467}(1063,·)$, $\chi_{1467}(622,·)$, $\chi_{1467}(1267,·)$, $\chi_{1467}(184,·)$, $\chi_{1467}(313,·)$, $\chi_{1467}(1018,·)$, $\chi_{1467}(955,·)$, $\chi_{1467}(61,·)$, $\chi_{1467}(1342,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $\frac{1}{757} a^{25} - \frac{189}{757} a^{24} - \frac{67}{757} a^{23} + \frac{295}{757} a^{22} - \frac{215}{757} a^{21} + \frac{283}{757} a^{20} - \frac{50}{757} a^{19} - \frac{172}{757} a^{18} + \frac{329}{757} a^{17} - \frac{311}{757} a^{16} + \frac{230}{757} a^{15} + \frac{192}{757} a^{14} - \frac{192}{757} a^{13} - \frac{338}{757} a^{12} + \frac{263}{757} a^{11} - \frac{130}{757} a^{10} - \frac{316}{757} a^{9} + \frac{285}{757} a^{8} - \frac{352}{757} a^{7} - \frac{188}{757} a^{6} + \frac{266}{757} a^{5} - \frac{276}{757} a^{4} + \frac{110}{757} a^{3} - \frac{83}{757} a^{2} - \frac{301}{757} a + \frac{318}{757}$, $\frac{1}{2838960500870291331002562641515730660087105971236535787005059729953565835848670003467610826155180907763875955452045665283299712331005606109193834000466155435663500020891797} a^{26} - \frac{910567444909093645786129854919702317891541541569403661595402340146839404887034354615101185994524422414281940633021834060634011062525869094231302802977257288116379453492}{2838960500870291331002562641515730660087105971236535787005059729953565835848670003467610826155180907763875955452045665283299712331005606109193834000466155435663500020891797} a^{25} + \frac{787563787877777352840964557779962099108541422780864186435286633427769220188747558871594577740628718868700312544647130166563122256670214691766106388021875497699963372574507}{2838960500870291331002562641515730660087105971236535787005059729953565835848670003467610826155180907763875955452045665283299712331005606109193834000466155435663500020891797} a^{24} + \frac{1393810381509339044975499105237216204874544052612624704996928823071515866835106680277792820576120157797116299980055001489097710940834448763273640814110636140766336384172188}{2838960500870291331002562641515730660087105971236535787005059729953565835848670003467610826155180907763875955452045665283299712331005606109193834000466155435663500020891797} a^{23} + \frac{422171357110802381191784219456445108731676406043037689132737330457187541493426768724693629694525239882490009276455158851991721254603726437272345691913644499020610461780459}{2838960500870291331002562641515730660087105971236535787005059729953565835848670003467610826155180907763875955452045665283299712331005606109193834000466155435663500020891797} a^{22} + \frac{1307384857533002400794180084595481604277583898036413813611091816056480650353788055029631672690611757305661609214412137539825466066219538154714854225636573519759870898188309}{2838960500870291331002562641515730660087105971236535787005059729953565835848670003467610826155180907763875955452045665283299712331005606109193834000466155435663500020891797} a^{21} + \frac{147656553441316671753151420398900157643886917002573951316132939485979361510410732249182716193739124557565797769984247906322722827450752779619631337231424362831558422179104}{2838960500870291331002562641515730660087105971236535787005059729953565835848670003467610826155180907763875955452045665283299712331005606109193834000466155435663500020891797} a^{20} - \frac{1295108822524237519831912742059271629530915950699597283137041427038009540189512079533614374135824251070044316842734127331291242047015063936548921257117041957587042434931307}{2838960500870291331002562641515730660087105971236535787005059729953565835848670003467610826155180907763875955452045665283299712331005606109193834000466155435663500020891797} a^{19} + \frac{1114135291142490209964880762903236079838858176740754793796392443824018700245059587344838659423872069821289817327303470844332416731772631274522423600654308594242358499770511}{2838960500870291331002562641515730660087105971236535787005059729953565835848670003467610826155180907763875955452045665283299712331005606109193834000466155435663500020891797} a^{18} - \frac{1149007219083658055518500565917597839286301505006664986052087201606516607366893163930760824429848869451812767978741434010010402359284105374574689528661856844809812498889184}{2838960500870291331002562641515730660087105971236535787005059729953565835848670003467610826155180907763875955452045665283299712331005606109193834000466155435663500020891797} a^{17} - \frac{571544635844182060133915193407509563486218842496452373793516549524541854683582644248154965935858389194357954889916543870582870444866338043852673682074328510979926992644278}{2838960500870291331002562641515730660087105971236535787005059729953565835848670003467610826155180907763875955452045665283299712331005606109193834000466155435663500020891797} a^{16} - \frac{1156807430923667109536854491385937898188921701650134593798740613628134544748417907815764775843864760765528078084220762540084662596688350701039592910046396706952284846993269}{2838960500870291331002562641515730660087105971236535787005059729953565835848670003467610826155180907763875955452045665283299712331005606109193834000466155435663500020891797} a^{15} + \frac{811552874290444007238272550811103677100162548113603909747087976665942602053639946683731793797926741799158360165446252723334582591831957480068207148690189081599631516191019}{2838960500870291331002562641515730660087105971236535787005059729953565835848670003467610826155180907763875955452045665283299712331005606109193834000466155435663500020891797} a^{14} - \frac{806384722829297575295338860909494107876625303438941500985472446364225469658822758087733826895597070373454111171121434578529331542229019485377870633166550267576542282927094}{2838960500870291331002562641515730660087105971236535787005059729953565835848670003467610826155180907763875955452045665283299712331005606109193834000466155435663500020891797} a^{13} + \frac{138666965714769879850825113286338366151531548119598256961887990306385637031898735051225414054433905980219891923191775120675026886076964442722831631887268931826995229598663}{2838960500870291331002562641515730660087105971236535787005059729953565835848670003467610826155180907763875955452045665283299712331005606109193834000466155435663500020891797} a^{12} + \frac{855499795277501827485735478099979931013615865675001506923004058734801899092748416146826195006526087256569732820488232794742367435860930962011878764886034591625670210279558}{2838960500870291331002562641515730660087105971236535787005059729953565835848670003467610826155180907763875955452045665283299712331005606109193834000466155435663500020891797} a^{11} - \frac{424376551211043146323855289132905558100031961696540242828580435111627658659239459665948469301286268803135543950518529726192473173941466809477850393227621123291869776727188}{2838960500870291331002562641515730660087105971236535787005059729953565835848670003467610826155180907763875955452045665283299712331005606109193834000466155435663500020891797} a^{10} + \frac{764815859440077276462091214238122254529909128885963369110534608517879126260134803705932102993025601655811787495968244086932322289209687252135108201358313556450753875697013}{2838960500870291331002562641515730660087105971236535787005059729953565835848670003467610826155180907763875955452045665283299712331005606109193834000466155435663500020891797} a^{9} - \frac{230959207145721885280751841649277526999888989110400378137071649286314547434081881067713771722689599961587384288464741891151266540302442130630239118553531500464987361535362}{2838960500870291331002562641515730660087105971236535787005059729953565835848670003467610826155180907763875955452045665283299712331005606109193834000466155435663500020891797} a^{8} + \frac{205735207091463494201218355048368655988917336958805187166114576072247066587681520123772614165468787533538061559402125537316761830629417305819153977835269427171458305443743}{2838960500870291331002562641515730660087105971236535787005059729953565835848670003467610826155180907763875955452045665283299712331005606109193834000466155435663500020891797} a^{7} + \frac{192002029195398724589805946724932154770675595695146149180523849953302693487852532031318977742410011904706236083713755251074371897230132626101515179019726864775782398803993}{2838960500870291331002562641515730660087105971236535787005059729953565835848670003467610826155180907763875955452045665283299712331005606109193834000466155435663500020891797} a^{6} + \frac{105524295187523327640553368424588209611873899706616982010299872908321648749499460580575489190991494463675006561835107301832341003550167607538632465207564675323933757480835}{2838960500870291331002562641515730660087105971236535787005059729953565835848670003467610826155180907763875955452045665283299712331005606109193834000466155435663500020891797} a^{5} + \frac{302723261859790666857180392964740970836435876168062228002944086207767738506508772476935456282350126828670289743036646951284765521529244372839671625189176504492568752198240}{2838960500870291331002562641515730660087105971236535787005059729953565835848670003467610826155180907763875955452045665283299712331005606109193834000466155435663500020891797} a^{4} - \frac{1402438175043195591426034641829328697896699850179995796491736566645374478755160129161020924491568814268298131455260704147309075921209201323518911890674635771087280589162033}{2838960500870291331002562641515730660087105971236535787005059729953565835848670003467610826155180907763875955452045665283299712331005606109193834000466155435663500020891797} a^{3} - \frac{76302953240716929458167428242943506027114797550323372649429200688362872529689729257548021092367564207129438885716362411713641182889971705686667088157252946787246207699218}{2838960500870291331002562641515730660087105971236535787005059729953565835848670003467610826155180907763875955452045665283299712331005606109193834000466155435663500020891797} a^{2} + \frac{72534119972005386297804672787749560214733742067897264347150357282185415123933202932083798615883867259445531023912031802744937664105038207909970731276609980604856429304066}{2838960500870291331002562641515730660087105971236535787005059729953565835848670003467610826155180907763875955452045665283299712331005606109193834000466155435663500020891797} a + \frac{529504979288250995812964260172862201868252610933549216935187893304131697547442751554381015322267957478918271586715154323766834794353219515614520037501550331701816000164330}{2838960500870291331002562641515730660087105971236535787005059729953565835848670003467610826155180907763875955452045665283299712331005606109193834000466155435663500020891797}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $26$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{27}$ (as 27T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 27
The 27 conjugacy class representatives for $C_{27}$
Character table for $C_{27}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.26569.1, 9.9.498311414318121121.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $27$ R ${\href{/LocalNumberField/5.9.0.1}{9} }^{3}$ $27$ $27$ ${\href{/LocalNumberField/13.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/17.9.0.1}{9} }^{3}$ $27$ ${\href{/LocalNumberField/23.3.0.1}{3} }^{9}$ $27$ ${\href{/LocalNumberField/31.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/37.9.0.1}{9} }^{3}$ $27$ $27$ $27$ ${\href{/LocalNumberField/53.3.0.1}{3} }^{9}$ ${\href{/LocalNumberField/59.3.0.1}{3} }^{9}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
163Data not computed