Number field 27.27.4737131966005480104201495460338050600482023844126105114809.8

• Label: 27.27.473...809.8
• Degree: $27$
• Signature: $[27, 0]$
• Discriminant: $4.737\times 10^{57}$
• Root discriminant: \(136.81\)
• Ramified primes: $3,19$
• Class number: $1$ (GRH)
• Class group: trivial (GRH)
• Galois group: $C_9\wr C_3$ (as 27T434)

Normalized defining polynomial

x^27 - 198*x^25 - 261*x^24 + 15957*x^23 + 39798*x^22 - 653067*x^21 - 2354373*x^20 + 13795839*x^19 + 68282040*x^18 - 128625003*x^17 - 1020022524*x^16 + 17217990*x^15 + 7566935193*x^14 + 7502170482*x^13 - 24774464097*x^12 - 43165902780*x^11 + 20935131912*x^10 + 75968172036*x^9 + 25647134895*x^8 - 29829689559*x^7 - 24029279100*x^6 - 5321891241*x^5 + 84272562*x^4 + 163197270*x^3 + 17369154*x^2 + 467856*x - 1083

Invariants

Degree:		$27$
Signature:		$[27, 0]$
Discriminant:		\(4737131966005480104201495460338050600482023844126105114809\) \(\medspace = 3^{78}\cdot 19^{16}\)
Root discriminant:		\(136.81\)
Galois root discriminant:		not computed
Ramified primes:		\(3\), \(19\)
Discriminant root field:		\(\Q\)
$\card{ \Aut(K/\Q) }$:		$9$
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $\frac{1}{19}a^{18}-\frac{8}{19}a^{16}+\frac{5}{19}a^{15}-\frac{3}{19}a^{14}-\frac{7}{19}a^{13}+\frac{1}{19}a^{12}-\frac{7}{19}a^{11}-\frac{4}{19}a^{10}-\frac{8}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{19}-\frac{8}{19}a^{17}+\frac{5}{19}a^{16}-\frac{3}{19}a^{15}-\frac{7}{19}a^{14}+\frac{1}{19}a^{13}-\frac{7}{19}a^{12}-\frac{4}{19}a^{11}-\frac{8}{19}a^{10}$, $\frac{1}{19}a^{20}+\frac{5}{19}a^{17}+\frac{9}{19}a^{16}-\frac{5}{19}a^{15}-\frac{4}{19}a^{14}-\frac{6}{19}a^{13}+\frac{4}{19}a^{12}-\frac{7}{19}a^{11}+\frac{6}{19}a^{10}-\frac{7}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{21}+\frac{9}{19}a^{17}-\frac{3}{19}a^{16}+\frac{9}{19}a^{15}+\frac{9}{19}a^{14}+\frac{1}{19}a^{13}+\frac{7}{19}a^{12}+\frac{3}{19}a^{11}-\frac{6}{19}a^{10}+\frac{2}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{22}-\frac{3}{19}a^{17}+\frac{5}{19}a^{16}+\frac{2}{19}a^{15}+\frac{9}{19}a^{14}-\frac{6}{19}a^{13}-\frac{6}{19}a^{12}-\frac{4}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{23}+\frac{5}{19}a^{17}-\frac{3}{19}a^{16}+\frac{5}{19}a^{15}+\frac{4}{19}a^{14}-\frac{8}{19}a^{13}+\frac{3}{19}a^{12}-\frac{2}{19}a^{11}+\frac{3}{19}a^{10}-\frac{5}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{24}-\frac{3}{19}a^{17}+\frac{7}{19}a^{16}-\frac{2}{19}a^{15}+\frac{7}{19}a^{14}-\frac{7}{19}a^{12}-\frac{4}{19}a^{10}+\frac{2}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{25}+\frac{7}{19}a^{17}-\frac{7}{19}a^{16}+\frac{3}{19}a^{15}-\frac{9}{19}a^{14}-\frac{9}{19}a^{13}+\frac{3}{19}a^{12}-\frac{6}{19}a^{11}+\frac{9}{19}a^{10}-\frac{5}{19}a^{9}$, $\frac{1}{75\!\cdots\!53}a^{26}+\frac{89\!\cdots\!32}{75\!\cdots\!53}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!89}{75\!\cdots\!53}a^{24}+\frac{24\!\cdots\!32}{44\!\cdots\!09}a^{23}+\frac{21\!\cdots\!25}{75\!\cdots\!53}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!75}{75\!\cdots\!53}a^{21}+\frac{39\!\cdots\!34}{75\!\cdots\!53}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!17}{75\!\cdots\!53}a^{19}+\frac{82\!\cdots\!46}{75\!\cdots\!53}a^{18}-\frac{34\!\cdots\!18}{75\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!31}{75\!\cdots\!53}a^{16}-\frac{59\!\cdots\!45}{44\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{35\!\cdots\!25}{75\!\cdots\!53}a^{14}+\frac{67\!\cdots\!68}{75\!\cdots\!53}a^{13}-\frac{85\!\cdots\!85}{75\!\cdots\!53}a^{12}+\frac{36\!\cdots\!58}{75\!\cdots\!53}a^{11}-\frac{25\!\cdots\!48}{75\!\cdots\!53}a^{10}+\frac{34\!\cdots\!61}{75\!\cdots\!53}a^{9}+\frac{19\!\cdots\!58}{39\!\cdots\!87}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!38}{39\!\cdots\!87}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!77}{38\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!56}{39\!\cdots\!87}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!90}{39\!\cdots\!87}a^{4}-\frac{51\!\cdots\!96}{39\!\cdots\!87}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!34}{39\!\cdots\!87}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!26}{39\!\cdots\!87}a+\frac{55\!\cdots\!83}{39\!\cdots\!87}$

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$26$
Torsion generator:		\( -1 \)  (order $2$)
Fundamental units:		$\frac{33\!\cdots\!07}{41\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{20\!\cdots\!81}{41\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{65\!\cdots\!49}{41\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!55}{41\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{52\!\cdots\!60}{41\!\cdots\!97}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!67}{41\!\cdots\!97}a^{21}+\frac{20\!\cdots\!48}{41\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{91\!\cdots\!39}{41\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{40\!\cdots\!50}{41\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{25\!\cdots\!15}{41\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!98}{22\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{36\!\cdots\!85}{41\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{21\!\cdots\!99}{41\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{24\!\cdots\!76}{41\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{41\!\cdots\!60}{41\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{62\!\cdots\!92}{41\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!22}{41\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{36\!\cdots\!66}{41\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!04}{22\!\cdots\!63}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!50}{22\!\cdots\!63}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!07}{22\!\cdots\!63}a^{6}+\frac{82\!\cdots\!30}{22\!\cdots\!63}a^{5}+\frac{42\!\cdots\!11}{22\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{51\!\cdots\!78}{22\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!59}{22\!\cdots\!63}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!30}{22\!\cdots\!63}a-\frac{29\!\cdots\!30}{22\!\cdots\!63}$, $\frac{43\!\cdots\!21}{41\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{61\!\cdots\!29}{41\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{86\!\cdots\!98}{41\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!26}{41\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{69\!\cdots\!58}{41\!\cdots\!97}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!49}{41\!\cdots\!97}a^{21}+\frac{28\!\cdots\!34}{41\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{98\!\cdots\!59}{41\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{61\!\cdots\!04}{41\!\cdots\!97}a^{18}-\frac{28\!\cdots\!21}{41\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{31\!\cdots\!08}{22\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{43\!\cdots\!19}{41\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{67\!\cdots\!91}{41\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{32\!\cdots\!29}{41\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{27\!\cdots\!20}{41\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!00}{41\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!64}{41\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!53}{41\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!40}{22\!\cdots\!63}a^{8}-\frac{36\!\cdots\!50}{22\!\cdots\!63}a^{7}+\frac{70\!\cdots\!62}{22\!\cdots\!63}a^{6}+\frac{44\!\cdots\!41}{22\!\cdots\!63}a^{5}+\frac{71\!\cdots\!50}{22\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{64\!\cdots\!29}{22\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{24\!\cdots\!70}{22\!\cdots\!63}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!83}{22\!\cdots\!63}a-\frac{37\!\cdots\!07}{22\!\cdots\!63}$, $\frac{54\!\cdots\!06}{90\!\cdots\!07}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!96}{90\!\cdots\!07}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!34}{90\!\cdots\!07}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!56}{90\!\cdots\!07}a^{23}-\frac{87\!\cdots\!96}{90\!\cdots\!07}a^{22}-\frac{19\!\cdots\!60}{90\!\cdots\!07}a^{21}+\frac{36\!\cdots\!57}{90\!\cdots\!07}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!88}{90\!\cdots\!07}a^{19}-\frac{78\!\cdots\!39}{90\!\cdots\!07}a^{18}-\frac{35\!\cdots\!02}{90\!\cdots\!07}a^{17}+\frac{78\!\cdots\!55}{90\!\cdots\!07}a^{16}+\frac{54\!\cdots\!78}{90\!\cdots\!07}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!77}{90\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{41\!\cdots\!58}{90\!\cdots\!07}a^{13}-\frac{31\!\cdots\!01}{90\!\cdots\!07}a^{12}+\frac{75\!\cdots\!76}{47\!\cdots\!53}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!88}{47\!\cdots\!53}a^{10}-\frac{85\!\cdots\!29}{47\!\cdots\!53}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!02}{47\!\cdots\!53}a^{8}-\frac{27\!\cdots\!30}{47\!\cdots\!53}a^{7}+\frac{92\!\cdots\!22}{46\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{48\!\cdots\!87}{47\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{32\!\cdots\!94}{47\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!06}{47\!\cdots\!53}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!41}{47\!\cdots\!53}a^{2}+\frac{62\!\cdots\!30}{47\!\cdots\!53}a-\frac{12\!\cdots\!20}{47\!\cdots\!53}$, $\frac{56\!\cdots\!97}{90\!\cdots\!07}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!88}{90\!\cdots\!07}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!56}{90\!\cdots\!07}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!78}{90\!\cdots\!07}a^{23}-\frac{90\!\cdots\!20}{90\!\cdots\!07}a^{22}-\frac{20\!\cdots\!05}{90\!\cdots\!07}a^{21}+\frac{37\!\cdots\!97}{90\!\cdots\!07}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!62}{90\!\cdots\!07}a^{19}-\frac{80\!\cdots\!61}{90\!\cdots\!07}a^{18}-\frac{36\!\cdots\!68}{90\!\cdots\!07}a^{17}+\frac{79\!\cdots\!95}{90\!\cdots\!07}a^{16}+\frac{29\!\cdots\!98}{47\!\cdots\!53}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!76}{90\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{42\!\cdots\!29}{90\!\cdots\!07}a^{13}-\frac{34\!\cdots\!55}{90\!\cdots\!07}a^{12}+\frac{76\!\cdots\!51}{47\!\cdots\!53}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!67}{47\!\cdots\!53}a^{10}-\frac{83\!\cdots\!20}{47\!\cdots\!53}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!44}{47\!\cdots\!53}a^{8}-\frac{36\!\cdots\!27}{47\!\cdots\!53}a^{7}+\frac{92\!\cdots\!80}{46\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{53\!\cdots\!04}{47\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{57\!\cdots\!78}{47\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!57}{47\!\cdots\!53}a^{3}-\frac{23\!\cdots\!88}{47\!\cdots\!53}a^{2}-\frac{72\!\cdots\!69}{47\!\cdots\!53}a+\frac{47\!\cdots\!16}{47\!\cdots\!53}$, $\frac{10\!\cdots\!25}{90\!\cdots\!07}a^{26}-\frac{54\!\cdots\!07}{90\!\cdots\!07}a^{25}-\frac{21\!\cdots\!90}{90\!\cdots\!07}a^{24}-\frac{90\!\cdots\!85}{47\!\cdots\!53}a^{23}+\frac{17\!\cdots\!96}{90\!\cdots\!07}a^{22}+\frac{33\!\cdots\!48}{90\!\cdots\!07}a^{21}-\frac{71\!\cdots\!48}{90\!\cdots\!07}a^{20}-\frac{21\!\cdots\!54}{90\!\cdots\!07}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!50}{90\!\cdots\!07}a^{18}+\frac{64\!\cdots\!00}{90\!\cdots\!07}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!76}{90\!\cdots\!07}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!23}{90\!\cdots\!07}a^{15}+\frac{53\!\cdots\!84}{90\!\cdots\!07}a^{14}+\frac{78\!\cdots\!25}{90\!\cdots\!07}a^{13}+\frac{40\!\cdots\!96}{90\!\cdots\!07}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!55}{47\!\cdots\!53}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!55}{47\!\cdots\!53}a^{10}+\frac{20\!\cdots\!98}{47\!\cdots\!53}a^{9}+\frac{32\!\cdots\!19}{47\!\cdots\!53}a^{8}-\frac{27\!\cdots\!28}{47\!\cdots\!53}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!92}{46\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{52\!\cdots\!49}{47\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!08}{47\!\cdots\!53}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!90}{47\!\cdots\!53}a^{3}+\frac{87\!\cdots\!73}{47\!\cdots\!53}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!10}{47\!\cdots\!53}a-\frac{48\!\cdots\!70}{47\!\cdots\!53}$, $\frac{10\!\cdots\!25}{90\!\cdots\!07}a^{26}+\frac{54\!\cdots\!07}{90\!\cdots\!07}a^{25}+\frac{21\!\cdots\!90}{90\!\cdots\!07}a^{24}+\frac{90\!\cdots\!85}{47\!\cdots\!53}a^{23}-\frac{17\!\cdots\!96}{90\!\cdots\!07}a^{22}-\frac{33\!\cdots\!48}{90\!\cdots\!07}a^{21}+\frac{71\!\cdots\!48}{90\!\cdots\!07}a^{20}+\frac{21\!\cdots\!54}{90\!\cdots\!07}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!50}{90\!\cdots\!07}a^{18}-\frac{64\!\cdots\!00}{90\!\cdots\!07}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!76}{90\!\cdots\!07}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!23}{90\!\cdots\!07}a^{15}-\frac{53\!\cdots\!84}{90\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{78\!\cdots\!25}{90\!\cdots\!07}a^{13}-\frac{40\!\cdots\!96}{90\!\cdots\!07}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!55}{47\!\cdots\!53}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!55}{47\!\cdots\!53}a^{10}-\frac{20\!\cdots\!98}{47\!\cdots\!53}a^{9}-\frac{32\!\cdots\!19}{47\!\cdots\!53}a^{8}+\frac{27\!\cdots\!28}{47\!\cdots\!53}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!92}{46\!\cdots\!67}a^{6}+\frac{52\!\cdots\!49}{47\!\cdots\!53}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!08}{47\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!90}{47\!\cdots\!53}a^{3}-\frac{87\!\cdots\!73}{47\!\cdots\!53}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!10}{47\!\cdots\!53}a+\frac{73\!\cdots\!17}{47\!\cdots\!53}$, $\frac{47\!\cdots\!76}{90\!\cdots\!07}a^{26}-\frac{58\!\cdots\!90}{90\!\cdots\!07}a^{25}-\frac{93\!\cdots\!44}{90\!\cdots\!07}a^{24}-\frac{11\!\cdots\!63}{90\!\cdots\!07}a^{23}+\frac{75\!\cdots\!71}{90\!\cdots\!07}a^{22}+\frac{17\!\cdots\!88}{90\!\cdots\!07}a^{21}-\frac{31\!\cdots\!39}{90\!\cdots\!07}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!71}{90\!\cdots\!07}a^{19}+\frac{66\!\cdots\!80}{90\!\cdots\!07}a^{18}+\frac{31\!\cdots\!43}{90\!\cdots\!07}a^{17}-\frac{64\!\cdots\!78}{90\!\cdots\!07}a^{16}-\frac{47\!\cdots\!18}{90\!\cdots\!07}a^{15}+\frac{66\!\cdots\!34}{90\!\cdots\!07}a^{14}+\frac{35\!\cdots\!29}{90\!\cdots\!07}a^{13}+\frac{31\!\cdots\!61}{90\!\cdots\!07}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!99}{90\!\cdots\!07}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!03}{90\!\cdots\!07}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!27}{90\!\cdots\!07}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!26}{47\!\cdots\!53}a^{8}+\frac{42\!\cdots\!25}{47\!\cdots\!53}a^{7}-\frac{76\!\cdots\!69}{46\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{50\!\cdots\!07}{47\!\cdots\!53}a^{5}-\frac{77\!\cdots\!28}{47\!\cdots\!53}a^{4}+\frac{80\!\cdots\!57}{47\!\cdots\!53}a^{3}+\frac{26\!\cdots\!58}{47\!\cdots\!53}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!35}{47\!\cdots\!53}a+\frac{39\!\cdots\!37}{47\!\cdots\!53}$, $\frac{47\!\cdots\!63}{90\!\cdots\!07}a^{26}-\frac{88\!\cdots\!78}{90\!\cdots\!07}a^{25}-\frac{94\!\cdots\!37}{90\!\cdots\!07}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!77}{90\!\cdots\!07}a^{23}+\frac{76\!\cdots\!82}{90\!\cdots\!07}a^{22}+\frac{92\!\cdots\!77}{47\!\cdots\!53}a^{21}-\frac{31\!\cdots\!31}{90\!\cdots\!07}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!42}{90\!\cdots\!07}a^{19}+\frac{67\!\cdots\!87}{90\!\cdots\!07}a^{18}+\frac{31\!\cdots\!82}{90\!\cdots\!07}a^{17}-\frac{67\!\cdots\!05}{90\!\cdots\!07}a^{16}-\frac{47\!\cdots\!08}{90\!\cdots\!07}a^{15}+\frac{96\!\cdots\!86}{90\!\cdots\!07}a^{14}+\frac{35\!\cdots\!86}{90\!\cdots\!07}a^{13}+\frac{29\!\cdots\!95}{90\!\cdots\!07}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!21}{90\!\cdots\!07}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!71}{90\!\cdots\!07}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!91}{90\!\cdots\!07}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!28}{47\!\cdots\!53}a^{8}+\frac{31\!\cdots\!27}{47\!\cdots\!53}a^{7}-\frac{78\!\cdots\!85}{46\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{45\!\cdots\!63}{47\!\cdots\!53}a^{5}-\frac{51\!\cdots\!69}{47\!\cdots\!53}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!40}{47\!\cdots\!53}a^{3}+\frac{20\!\cdots\!47}{47\!\cdots\!53}a^{2}+\frac{75\!\cdots\!26}{47\!\cdots\!53}a-\frac{16\!\cdots\!09}{47\!\cdots\!53}$, $\frac{64\!\cdots\!49}{75\!\cdots\!53}a^{26}+\frac{54\!\cdots\!64}{75\!\cdots\!53}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!29}{75\!\cdots\!53}a^{24}+\frac{92\!\cdots\!44}{44\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{54\!\cdots\!95}{39\!\cdots\!87}a^{22}-\frac{24\!\cdots\!48}{75\!\cdots\!53}a^{21}+\frac{42\!\cdots\!58}{75\!\cdots\!53}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!68}{75\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{47\!\cdots\!65}{39\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{43\!\cdots\!98}{75\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{86\!\cdots\!87}{75\!\cdots\!53}a^{16}+\frac{38\!\cdots\!93}{44\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{64\!\cdots\!85}{75\!\cdots\!53}a^{14}-\frac{48\!\cdots\!74}{75\!\cdots\!53}a^{13}-\frac{44\!\cdots\!31}{75\!\cdots\!53}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!92}{75\!\cdots\!53}a^{11}+\frac{26\!\cdots\!82}{75\!\cdots\!53}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!86}{75\!\cdots\!53}a^{9}-\frac{24\!\cdots\!17}{39\!\cdots\!87}a^{8}-\frac{67\!\cdots\!90}{39\!\cdots\!87}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!03}{38\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{72\!\cdots\!12}{39\!\cdots\!87}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!89}{39\!\cdots\!87}a^{4}-\frac{87\!\cdots\!58}{39\!\cdots\!87}a^{3}-\frac{46\!\cdots\!22}{39\!\cdots\!87}a^{2}-\frac{33\!\cdots\!02}{39\!\cdots\!87}a-\frac{16\!\cdots\!14}{39\!\cdots\!87}$, $\frac{23\!\cdots\!70}{75\!\cdots\!53}a^{26}+\frac{47\!\cdots\!90}{75\!\cdots\!53}a^{25}+\frac{47\!\cdots\!93}{75\!\cdots\!53}a^{24}+\frac{31\!\cdots\!61}{44\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{38\!\cdots\!00}{75\!\cdots\!53}a^{22}-\frac{87\!\cdots\!57}{75\!\cdots\!53}a^{21}+\frac{15\!\cdots\!79}{75\!\cdots\!53}a^{20}+\frac{27\!\cdots\!51}{39\!\cdots\!87}a^{19}-\frac{34\!\cdots\!78}{75\!\cdots\!53}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!82}{75\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{33\!\cdots\!87}{75\!\cdots\!53}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!97}{44\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{26\!\cdots\!12}{39\!\cdots\!87}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!55}{75\!\cdots\!53}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!93}{75\!\cdots\!53}a^{12}+\frac{61\!\cdots\!43}{75\!\cdots\!53}a^{11}+\frac{90\!\cdots\!63}{75\!\cdots\!53}a^{10}-\frac{67\!\cdots\!15}{75\!\cdots\!53}a^{9}-\frac{88\!\cdots\!34}{39\!\cdots\!87}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!26}{39\!\cdots\!87}a^{7}+\frac{38\!\cdots\!94}{38\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!07}{39\!\cdots\!87}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!11}{39\!\cdots\!87}a^{4}-\frac{39\!\cdots\!89}{39\!\cdots\!87}a^{3}-\frac{55\!\cdots\!72}{39\!\cdots\!87}a^{2}-\frac{80\!\cdots\!87}{39\!\cdots\!87}a-\frac{13\!\cdots\!36}{39\!\cdots\!87}$, $\frac{44\!\cdots\!08}{75\!\cdots\!53}a^{26}-\frac{37\!\cdots\!16}{75\!\cdots\!53}a^{25}+\frac{87\!\cdots\!19}{75\!\cdots\!53}a^{24}+\frac{72\!\cdots\!99}{44\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{69\!\cdots\!77}{75\!\cdots\!53}a^{22}-\frac{18\!\cdots\!53}{75\!\cdots\!53}a^{21}+\frac{27\!\cdots\!75}{75\!\cdots\!53}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!06}{75\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{56\!\cdots\!55}{75\!\cdots\!53}a^{18}-\frac{29\!\cdots\!35}{75\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{46\!\cdots\!00}{75\!\cdots\!53}a^{16}+\frac{25\!\cdots\!82}{44\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!60}{75\!\cdots\!53}a^{14}-\frac{28\!\cdots\!58}{75\!\cdots\!53}a^{13}-\frac{38\!\cdots\!95}{75\!\cdots\!53}a^{12}+\frac{36\!\cdots\!06}{39\!\cdots\!87}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!96}{75\!\cdots\!53}a^{10}+\frac{59\!\cdots\!12}{75\!\cdots\!53}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!42}{39\!\cdots\!87}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!99}{39\!\cdots\!87}a^{7}-\frac{75\!\cdots\!67}{38\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{79\!\cdots\!69}{39\!\cdots\!87}a^{5}+\frac{83\!\cdots\!31}{39\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!23}{39\!\cdots\!87}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!84}{39\!\cdots\!87}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!08}{39\!\cdots\!87}a-\frac{31\!\cdots\!68}{39\!\cdots\!87}$, $\frac{18\!\cdots\!87}{75\!\cdots\!53}a^{26}+\frac{91\!\cdots\!42}{75\!\cdots\!53}a^{25}+\frac{19\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!87}a^{24}+\frac{27\!\cdots\!18}{44\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{29\!\cdots\!69}{75\!\cdots\!53}a^{22}-\frac{73\!\cdots\!89}{75\!\cdots\!53}a^{21}+\frac{12\!\cdots\!28}{75\!\cdots\!53}a^{20}+\frac{43\!\cdots\!80}{75\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!44}{75\!\cdots\!53}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!82}{75\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{24\!\cdots\!22}{75\!\cdots\!53}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!51}{44\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!07}{75\!\cdots\!53}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!60}{75\!\cdots\!53}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!77}{75\!\cdots\!53}a^{12}+\frac{47\!\cdots\!81}{75\!\cdots\!53}a^{11}+\frac{78\!\cdots\!04}{75\!\cdots\!53}a^{10}-\frac{43\!\cdots\!68}{75\!\cdots\!53}a^{9}-\frac{73\!\cdots\!53}{39\!\cdots\!87}a^{8}-\frac{21\!\cdots\!83}{39\!\cdots\!87}a^{7}+\frac{29\!\cdots\!72}{38\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!96}{39\!\cdots\!87}a^{5}+\frac{41\!\cdots\!59}{39\!\cdots\!87}a^{4}-\frac{27\!\cdots\!20}{39\!\cdots\!87}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!13}{39\!\cdots\!87}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!20}{39\!\cdots\!87}a+\frac{13\!\cdots\!31}{39\!\cdots\!87}$, $\frac{13\!\cdots\!66}{75\!\cdots\!53}a^{26}-\frac{67\!\cdots\!25}{75\!\cdots\!53}a^{25}+\frac{26\!\cdots\!55}{75\!\cdots\!53}a^{24}+\frac{21\!\cdots\!88}{44\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{21\!\cdots\!93}{75\!\cdots\!53}a^{22}-\frac{53\!\cdots\!26}{75\!\cdots\!53}a^{21}+\frac{85\!\cdots\!14}{75\!\cdots\!53}a^{20}+\frac{31\!\cdots\!14}{75\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!89}{75\!\cdots\!53}a^{18}-\frac{90\!\cdots\!01}{75\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!52}{75\!\cdots\!53}a^{16}+\frac{79\!\cdots\!07}{44\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{46\!\cdots\!07}{75\!\cdots\!53}a^{14}-\frac{99\!\cdots\!93}{75\!\cdots\!53}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!42}{75\!\cdots\!53}a^{12}+\frac{32\!\cdots\!99}{75\!\cdots\!53}a^{11}+\frac{58\!\cdots\!83}{75\!\cdots\!53}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!15}{75\!\cdots\!53}a^{9}-\frac{53\!\cdots\!85}{39\!\cdots\!87}a^{8}-\frac{20\!\cdots\!17}{39\!\cdots\!87}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!26}{38\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!38}{39\!\cdots\!87}a^{5}+\frac{45\!\cdots\!22}{39\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{70\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!87}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!93}{39\!\cdots\!87}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!39}{39\!\cdots\!87}a-\frac{47\!\cdots\!64}{39\!\cdots\!87}$, $\frac{73\!\cdots\!09}{75\!\cdots\!53}a^{26}+\frac{45\!\cdots\!27}{75\!\cdots\!53}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!82}{75\!\cdots\!53}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!32}{44\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!03}{75\!\cdots\!53}a^{22}-\frac{28\!\cdots\!57}{75\!\cdots\!53}a^{21}+\frac{25\!\cdots\!74}{39\!\cdots\!87}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!80}{75\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!86}{75\!\cdots\!53}a^{18}-\frac{49\!\cdots\!51}{75\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{97\!\cdots\!56}{75\!\cdots\!53}a^{16}+\frac{43\!\cdots\!39}{44\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{60\!\cdots\!99}{75\!\cdots\!53}a^{14}-\frac{55\!\cdots\!78}{75\!\cdots\!53}a^{13}-\frac{51\!\cdots\!93}{75\!\cdots\!53}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!53}{75\!\cdots\!53}a^{11}+\frac{30\!\cdots\!84}{75\!\cdots\!53}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!87}{75\!\cdots\!53}a^{9}-\frac{28\!\cdots\!13}{39\!\cdots\!87}a^{8}-\frac{78\!\cdots\!33}{39\!\cdots\!87}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!27}{38\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{84\!\cdots\!74}{39\!\cdots\!87}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!32}{39\!\cdots\!87}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!20}{39\!\cdots\!87}a^{3}-\frac{48\!\cdots\!87}{39\!\cdots\!87}a^{2}-\frac{28\!\cdots\!45}{39\!\cdots\!87}a-\frac{46\!\cdots\!05}{39\!\cdots\!87}$, $\frac{14\!\cdots\!50}{39\!\cdots\!87}a^{26}+\frac{59\!\cdots\!76}{39\!\cdots\!87}a^{25}+\frac{53\!\cdots\!02}{75\!\cdots\!53}a^{24}+\frac{39\!\cdots\!07}{44\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{42\!\cdots\!03}{75\!\cdots\!53}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!56}{75\!\cdots\!53}a^{21}+\frac{17\!\cdots\!70}{75\!\cdots\!53}a^{20}+\frac{62\!\cdots\!80}{75\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{37\!\cdots\!44}{75\!\cdots\!53}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!88}{75\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{35\!\cdots\!30}{75\!\cdots\!53}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!87}{44\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!32}{75\!\cdots\!53}a^{14}-\frac{20\!\cdots\!48}{75\!\cdots\!53}a^{13}-\frac{19\!\cdots\!52}{75\!\cdots\!53}a^{12}+\frac{67\!\cdots\!18}{75\!\cdots\!53}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!12}{75\!\cdots\!53}a^{10}-\frac{61\!\cdots\!10}{75\!\cdots\!53}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!42}{39\!\cdots\!87}a^{8}-\frac{31\!\cdots\!74}{39\!\cdots\!87}a^{7}+\frac{42\!\cdots\!21}{38\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!70}{39\!\cdots\!87}a^{5}+\frac{59\!\cdots\!18}{39\!\cdots\!87}a^{4}-\frac{43\!\cdots\!93}{39\!\cdots\!87}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!28}{39\!\cdots\!87}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!90}{39\!\cdots\!87}a-\frac{22\!\cdots\!86}{39\!\cdots\!87}$, $\frac{89\!\cdots\!11}{75\!\cdots\!53}a^{26}+\frac{17\!\cdots\!18}{75\!\cdots\!53}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!17}{75\!\cdots\!53}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!40}{44\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!98}{75\!\cdots\!53}a^{22}-\frac{32\!\cdots\!23}{75\!\cdots\!53}a^{21}+\frac{59\!\cdots\!42}{75\!\cdots\!53}a^{20}+\frac{19\!\cdots\!11}{75\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!06}{75\!\cdots\!53}a^{18}-\frac{58\!\cdots\!57}{75\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!83}{75\!\cdots\!53}a^{16}+\frac{52\!\cdots\!36}{44\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!59}{75\!\cdots\!53}a^{14}-\frac{35\!\cdots\!46}{39\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{54\!\cdots\!54}{75\!\cdots\!53}a^{12}+\frac{23\!\cdots\!09}{75\!\cdots\!53}a^{11}+\frac{34\!\cdots\!28}{75\!\cdots\!53}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!04}{75\!\cdots\!53}a^{9}-\frac{33\!\cdots\!81}{39\!\cdots\!87}a^{8}-\frac{56\!\cdots\!36}{39\!\cdots\!87}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!48}{38\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{84\!\cdots\!19}{39\!\cdots\!87}a^{5}+\frac{84\!\cdots\!73}{39\!\cdots\!87}a^{4}-\frac{23\!\cdots\!84}{39\!\cdots\!87}a^{3}-\frac{36\!\cdots\!45}{39\!\cdots\!87}a^{2}-\frac{50\!\cdots\!34}{39\!\cdots\!87}a+\frac{33\!\cdots\!88}{39\!\cdots\!87}$, $\frac{17\!\cdots\!53}{75\!\cdots\!53}a^{26}+\frac{21\!\cdots\!48}{75\!\cdots\!53}a^{25}+\frac{35\!\cdots\!07}{75\!\cdots\!53}a^{24}+\frac{24\!\cdots\!06}{44\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{28\!\cdots\!56}{75\!\cdots\!53}a^{22}-\frac{67\!\cdots\!39}{75\!\cdots\!53}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!23}{75\!\cdots\!53}a^{20}+\frac{40\!\cdots\!63}{75\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{25\!\cdots\!95}{75\!\cdots\!53}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!45}{75\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{24\!\cdots\!99}{75\!\cdots\!53}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!90}{44\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!97}{75\!\cdots\!53}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!87}{75\!\cdots\!53}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!70}{75\!\cdots\!53}a^{12}+\frac{45\!\cdots\!07}{75\!\cdots\!53}a^{11}+\frac{37\!\cdots\!83}{39\!\cdots\!87}a^{10}-\frac{45\!\cdots\!81}{75\!\cdots\!53}a^{9}-\frac{68\!\cdots\!73}{39\!\cdots\!87}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!19}{39\!\cdots\!87}a^{7}+\frac{28\!\cdots\!90}{38\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!27}{39\!\cdots\!87}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!13}{39\!\cdots\!87}a^{4}-\frac{34\!\cdots\!55}{39\!\cdots\!87}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!35}{39\!\cdots\!87}a^{2}-\frac{57\!\cdots\!48}{39\!\cdots\!87}a-\frac{83\!\cdots\!65}{39\!\cdots\!87}$, $\frac{76\!\cdots\!08}{75\!\cdots\!53}a^{26}+\frac{71\!\cdots\!52}{75\!\cdots\!53}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!94}{75\!\cdots\!53}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!70}{44\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{12\!\cdots\!01}{75\!\cdots\!53}a^{22}-\frac{29\!\cdots\!47}{75\!\cdots\!53}a^{21}+\frac{50\!\cdots\!52}{75\!\cdots\!53}a^{20}+\frac{17\!\cdots\!40}{75\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!28}{75\!\cdots\!53}a^{18}-\frac{51\!\cdots\!32}{75\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!75}{75\!\cdots\!53}a^{16}+\frac{45\!\cdots\!72}{44\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{84\!\cdots\!09}{75\!\cdots\!53}a^{14}-\frac{58\!\cdots\!96}{75\!\cdots\!53}a^{13}-\frac{52\!\cdots\!56}{75\!\cdots\!53}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!63}{75\!\cdots\!53}a^{11}+\frac{31\!\cdots\!83}{75\!\cdots\!53}a^{10}-\frac{99\!\cdots\!68}{39\!\cdots\!87}a^{9}-\frac{29\!\cdots\!81}{39\!\cdots\!87}a^{8}-\frac{76\!\cdots\!83}{39\!\cdots\!87}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!44}{38\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{85\!\cdots\!58}{39\!\cdots\!87}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!36}{39\!\cdots\!87}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!91}{39\!\cdots\!87}a^{3}-\frac{54\!\cdots\!14}{39\!\cdots\!87}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!56}{39\!\cdots\!87}a+\frac{12\!\cdots\!70}{39\!\cdots\!87}$, $\frac{10\!\cdots\!30}{44\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{87\!\cdots\!34}{44\!\cdots\!09}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!50}{23\!\cdots\!11}a^{24}-\frac{24\!\cdots\!55}{44\!\cdots\!09}a^{23}+\frac{16\!\cdots\!61}{44\!\cdots\!09}a^{22}+\frac{38\!\cdots\!73}{44\!\cdots\!09}a^{21}-\frac{65\!\cdots\!00}{44\!\cdots\!09}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!36}{44\!\cdots\!09}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!45}{44\!\cdots\!09}a^{18}+\frac{67\!\cdots\!88}{44\!\cdots\!09}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!69}{44\!\cdots\!09}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!46}{44\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!22}{44\!\cdots\!09}a^{14}+\frac{75\!\cdots\!39}{44\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{68\!\cdots\!18}{44\!\cdots\!09}a^{12}-\frac{25\!\cdots\!67}{44\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{41\!\cdots\!71}{44\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{24\!\cdots\!55}{44\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{38\!\cdots\!74}{23\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!77}{23\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!92}{22\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!11}{23\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!93}{23\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{66\!\cdots\!14}{23\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{42\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!11}a+\frac{74\!\cdots\!27}{23\!\cdots\!11}$, $\frac{21\!\cdots\!79}{75\!\cdots\!53}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!56}{75\!\cdots\!53}a^{25}+\frac{41\!\cdots\!66}{75\!\cdots\!53}a^{24}+\frac{30\!\cdots\!87}{44\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{33\!\cdots\!06}{75\!\cdots\!53}a^{22}-\frac{81\!\cdots\!41}{75\!\cdots\!53}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!63}{75\!\cdots\!53}a^{20}+\frac{48\!\cdots\!86}{75\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{29\!\cdots\!45}{75\!\cdots\!53}a^{18}-\frac{74\!\cdots\!08}{39\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{28\!\cdots\!07}{75\!\cdots\!53}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!72}{44\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!19}{75\!\cdots\!53}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!05}{75\!\cdots\!53}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!92}{75\!\cdots\!53}a^{12}+\frac{53\!\cdots\!85}{75\!\cdots\!53}a^{11}+\frac{87\!\cdots\!84}{75\!\cdots\!53}a^{10}-\frac{26\!\cdots\!18}{39\!\cdots\!87}a^{9}-\frac{83\!\cdots\!26}{39\!\cdots\!87}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!62}{39\!\cdots\!87}a^{7}+\frac{34\!\cdots\!09}{38\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{24\!\cdots\!20}{39\!\cdots\!87}a^{5}+\frac{38\!\cdots\!75}{39\!\cdots\!87}a^{4}-\frac{44\!\cdots\!64}{39\!\cdots\!87}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!29}{39\!\cdots\!87}a^{2}-\frac{58\!\cdots\!32}{39\!\cdots\!87}a+\frac{12\!\cdots\!64}{39\!\cdots\!87}$, $\frac{22\!\cdots\!03}{75\!\cdots\!53}a^{26}+\frac{15\!\cdots\!78}{75\!\cdots\!53}a^{25}+\frac{44\!\cdots\!01}{75\!\cdots\!53}a^{24}+\frac{33\!\cdots\!58}{44\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{36\!\cdots\!94}{75\!\cdots\!53}a^{22}-\frac{87\!\cdots\!52}{75\!\cdots\!53}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!17}{75\!\cdots\!53}a^{20}+\frac{52\!\cdots\!66}{75\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{31\!\cdots\!41}{75\!\cdots\!53}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!52}{75\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!08}{75\!\cdots\!53}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!60}{44\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!60}{39\!\cdots\!87}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!15}{75\!\cdots\!53}a^{13}-\frac{83\!\cdots\!85}{39\!\cdots\!87}a^{12}+\frac{57\!\cdots\!42}{75\!\cdots\!53}a^{11}+\frac{93\!\cdots\!89}{75\!\cdots\!53}a^{10}-\frac{53\!\cdots\!96}{75\!\cdots\!53}a^{9}-\frac{88\!\cdots\!49}{39\!\cdots\!87}a^{8}-\frac{24\!\cdots\!05}{39\!\cdots\!87}a^{7}+\frac{35\!\cdots\!99}{38\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{26\!\cdots\!87}{39\!\cdots\!87}a^{5}+\frac{47\!\cdots\!42}{39\!\cdots\!87}a^{4}-\frac{35\!\cdots\!11}{39\!\cdots\!87}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!98}{39\!\cdots\!87}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!25}{39\!\cdots\!87}a+\frac{24\!\cdots\!84}{39\!\cdots\!87}$, $\frac{98\!\cdots\!55}{75\!\cdots\!53}a^{26}-\frac{85\!\cdots\!22}{39\!\cdots\!87}a^{25}-\frac{19\!\cdots\!84}{75\!\cdots\!53}a^{24}-\frac{13\!\cdots\!80}{44\!\cdots\!09}a^{23}+\frac{15\!\cdots\!92}{75\!\cdots\!53}a^{22}+\frac{36\!\cdots\!32}{75\!\cdots\!53}a^{21}-\frac{64\!\cdots\!80}{75\!\cdots\!53}a^{20}-\frac{22\!\cdots\!92}{75\!\cdots\!53}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!39}{75\!\cdots\!53}a^{18}+\frac{64\!\cdots\!58}{75\!\cdots\!53}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!06}{75\!\cdots\!53}a^{16}-\frac{57\!\cdots\!09}{44\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!76}{75\!\cdots\!53}a^{14}+\frac{73\!\cdots\!67}{75\!\cdots\!53}a^{13}+\frac{61\!\cdots\!75}{75\!\cdots\!53}a^{12}-\frac{25\!\cdots\!21}{75\!\cdots\!53}a^{11}-\frac{38\!\cdots\!31}{75\!\cdots\!53}a^{10}+\frac{25\!\cdots\!29}{75\!\cdots\!53}a^{9}+\frac{36\!\cdots\!09}{39\!\cdots\!87}a^{8}+\frac{81\!\cdots\!95}{39\!\cdots\!87}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!16}{38\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!36}{39\!\cdots\!87}a^{5}-\frac{17\!\cdots\!55}{39\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!02}{39\!\cdots\!87}a^{3}+\frac{53\!\cdots\!76}{39\!\cdots\!87}a^{2}+\frac{42\!\cdots\!40}{39\!\cdots\!87}a+\frac{10\!\cdots\!50}{39\!\cdots\!87}$, $\frac{12\!\cdots\!28}{75\!\cdots\!53}a^{26}+\frac{15\!\cdots\!33}{75\!\cdots\!53}a^{25}+\frac{24\!\cdots\!00}{75\!\cdots\!53}a^{24}+\frac{16\!\cdots\!39}{44\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{19\!\cdots\!55}{75\!\cdots\!53}a^{22}-\frac{45\!\cdots\!51}{75\!\cdots\!53}a^{21}+\frac{79\!\cdots\!46}{75\!\cdots\!53}a^{20}+\frac{27\!\cdots\!66}{75\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{17\!\cdots\!46}{75\!\cdots\!53}a^{18}-\frac{42\!\cdots\!73}{39\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!84}{75\!\cdots\!53}a^{16}+\frac{71\!\cdots\!70}{44\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!96}{75\!\cdots\!53}a^{14}-\frac{91\!\cdots\!16}{75\!\cdots\!53}a^{13}-\frac{41\!\cdots\!08}{39\!\cdots\!87}a^{12}+\frac{31\!\cdots\!65}{75\!\cdots\!53}a^{11}+\frac{48\!\cdots\!76}{75\!\cdots\!53}a^{10}-\frac{31\!\cdots\!63}{75\!\cdots\!53}a^{9}-\frac{46\!\cdots\!96}{39\!\cdots\!87}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!47}{39\!\cdots\!87}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!18}{38\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!35}{39\!\cdots\!87}a^{5}+\frac{18\!\cdots\!59}{39\!\cdots\!87}a^{4}-\frac{27\!\cdots\!71}{39\!\cdots\!87}a^{3}-\frac{69\!\cdots\!75}{39\!\cdots\!87}a^{2}-\frac{25\!\cdots\!40}{39\!\cdots\!87}a-\frac{34\!\cdots\!63}{39\!\cdots\!87}$, $\frac{31\!\cdots\!39}{75\!\cdots\!53}a^{26}+\frac{26\!\cdots\!77}{75\!\cdots\!53}a^{25}-\frac{61\!\cdots\!92}{75\!\cdots\!53}a^{24}-\frac{48\!\cdots\!10}{44\!\cdots\!09}a^{23}+\frac{49\!\cdots\!99}{75\!\cdots\!53}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!48}{75\!\cdots\!53}a^{21}-\frac{20\!\cdots\!09}{75\!\cdots\!53}a^{20}-\frac{73\!\cdots\!98}{75\!\cdots\!53}a^{19}+\frac{42\!\cdots\!76}{75\!\cdots\!53}a^{18}+\frac{21\!\cdots\!65}{75\!\cdots\!53}a^{17}-\frac{39\!\cdots\!26}{75\!\cdots\!53}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!07}{44\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{36\!\cdots\!64}{75\!\cdots\!53}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!17}{75\!\cdots\!53}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!93}{75\!\cdots\!53}a^{12}-\frac{77\!\cdots\!93}{75\!\cdots\!53}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!60}{75\!\cdots\!53}a^{10}+\frac{65\!\cdots\!50}{75\!\cdots\!53}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!96}{39\!\cdots\!87}a^{8}+\frac{41\!\cdots\!16}{39\!\cdots\!87}a^{7}-\frac{49\!\cdots\!83}{38\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{39\!\cdots\!16}{39\!\cdots\!87}a^{5}-\frac{79\!\cdots\!49}{39\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{47\!\cdots\!63}{39\!\cdots\!87}a^{3}+\frac{26\!\cdots\!81}{39\!\cdots\!87}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!57}{39\!\cdots\!87}a-\frac{26\!\cdots\!97}{39\!\cdots\!87}$, $\frac{16\!\cdots\!33}{44\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{82\!\cdots\!86}{44\!\cdots\!09}a^{25}-\frac{33\!\cdots\!98}{44\!\cdots\!09}a^{24}-\frac{42\!\cdots\!35}{44\!\cdots\!09}a^{23}+\frac{27\!\cdots\!89}{44\!\cdots\!09}a^{22}+\frac{66\!\cdots\!49}{44\!\cdots\!09}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!69}{44\!\cdots\!09}a^{20}-\frac{39\!\cdots\!41}{44\!\cdots\!09}a^{19}+\frac{23\!\cdots\!76}{44\!\cdots\!09}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!53}{44\!\cdots\!09}a^{17}-\frac{22\!\cdots\!59}{44\!\cdots\!09}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!59}{44\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!06}{44\!\cdots\!09}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!51}{44\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!57}{44\!\cdots\!09}a^{12}-\frac{42\!\cdots\!85}{44\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{70\!\cdots\!34}{44\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{38\!\cdots\!05}{44\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{66\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{26\!\cdots\!01}{22\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{19\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{40\!\cdots\!60}{23\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{49\!\cdots\!45}{23\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{84\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{54\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!11}a-\frac{16\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!11}$, $\frac{90\!\cdots\!19}{75\!\cdots\!53}a^{26}-\frac{15\!\cdots\!17}{75\!\cdots\!53}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!40}{75\!\cdots\!53}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!61}{44\!\cdots\!09}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!74}{75\!\cdots\!53}a^{22}+\frac{33\!\cdots\!19}{75\!\cdots\!53}a^{21}-\frac{59\!\cdots\!96}{75\!\cdots\!53}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!44}{75\!\cdots\!53}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!60}{75\!\cdots\!53}a^{18}+\frac{59\!\cdots\!59}{75\!\cdots\!53}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!77}{75\!\cdots\!53}a^{16}-\frac{53\!\cdots\!37}{44\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!35}{75\!\cdots\!53}a^{14}+\frac{68\!\cdots\!71}{75\!\cdots\!53}a^{13}+\frac{56\!\cdots\!79}{75\!\cdots\!53}a^{12}-\frac{23\!\cdots\!16}{75\!\cdots\!53}a^{11}-\frac{35\!\cdots\!03}{75\!\cdots\!53}a^{10}+\frac{25\!\cdots\!82}{75\!\cdots\!53}a^{9}+\frac{33\!\cdots\!53}{39\!\cdots\!87}a^{8}+\frac{63\!\cdots\!89}{39\!\cdots\!87}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!59}{38\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{88\!\cdots\!84}{39\!\cdots\!87}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!68}{39\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!16}{39\!\cdots\!87}a^{3}+\frac{40\!\cdots\!20}{39\!\cdots\!87}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!28}{39\!\cdots\!87}a-\frac{34\!\cdots\!25}{39\!\cdots\!87}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 361319951347960800000 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 361319951347960800000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{4737131966005480104201495460338050600482023844126105114809}}\cr\approx \mathstrut & 0.352301172572379 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_9\wr C_3$ (as 27T434):

A solvable group of order 2187

The 267 conjugacy class representatives for $C_9\wr C_3$

Character table for $C_9\wr C_3$

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{9})^+\), 9.9.50489025546969.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Sibling fields

Degree 27 siblings:	data not computed
Minimal sibling:	27.27.278924508041662122046672329971307261712894173849.3

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	$27$	R	$27$	${\href{/padicField/7.3.0.1}{3} }^{9}$	${\href{/padicField/11.9.0.1}{9} }^{3}$	$27$	${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/padicField/17.3.0.1}{3} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/17.1.0.1}{1} }^{9}$	R	$27$	$27$	${\href{/padicField/31.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/37.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{3}$	$27$	$27$	$27$	${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/padicField/53.3.0.1}{3} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/53.1.0.1}{1} }^{9}$	$27$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(3\)		Deg $27$	$27$	$1$	$78$
\(19\)	19.9.0.1	$x^{9} + 11 x^{3} + 14 x^{2} + 16 x + 17$	$1$	$9$	$0$	$C_9$	$[\ ]^{9}$
	19.9.8.2	$x^{9} + 57$	$9$	$1$	$8$	$C_9$	$[\ ]_{9}$
	19.9.8.6	$x^{9} + 133$	$9$	$1$	$8$	$C_9$	$[\ ]_{9}$