Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 198*x^25 - 198*x^24 + 15957*x^23 + 28566*x^22 - 671706*x^21 - 1614870*x^20 + 15931323*x^19 + 45904695*x^18 - 218499525*x^17 - 714238614*x^16 + 1768536378*x^15 + 6406124436*x^14 - 8491221657*x^13 - 33616662570*x^12 + 24197393817*x^11 + 100415043225*x^10 - 43624161405*x^9 - 155806925652*x^8 + 61105024917*x^7 + 96957229824*x^6 - 58997665035*x^5 - 2068254918*x^4 + 5643925623*x^3 - 181762056*x^2 - 163515672*x - 4287597)
gp: K = bnfinit(y^27 - 198*y^25 - 198*y^24 + 15957*y^23 + 28566*y^22 - 671706*y^21 - 1614870*y^20 + 15931323*y^19 + 45904695*y^18 - 218499525*y^17 - 714238614*y^16 + 1768536378*y^15 + 6406124436*y^14 - 8491221657*y^13 - 33616662570*y^12 + 24197393817*y^11 + 100415043225*y^10 - 43624161405*y^9 - 155806925652*y^8 + 61105024917*y^7 + 96957229824*y^6 - 58997665035*y^5 - 2068254918*y^4 + 5643925623*y^3 - 181762056*y^2 - 163515672*y - 4287597, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^27 - 198*x^25 - 198*x^24 + 15957*x^23 + 28566*x^22 - 671706*x^21 - 1614870*x^20 + 15931323*x^19 + 45904695*x^18 - 218499525*x^17 - 714238614*x^16 + 1768536378*x^15 + 6406124436*x^14 - 8491221657*x^13 - 33616662570*x^12 + 24197393817*x^11 + 100415043225*x^10 - 43624161405*x^9 - 155806925652*x^8 + 61105024917*x^7 + 96957229824*x^6 - 58997665035*x^5 - 2068254918*x^4 + 5643925623*x^3 - 181762056*x^2 - 163515672*x - 4287597);
oscar: Qx, x = polynomial_ring(QQ); K, a = number_field(x^27 - 198*x^25 - 198*x^24 + 15957*x^23 + 28566*x^22 - 671706*x^21 - 1614870*x^20 + 15931323*x^19 + 45904695*x^18 - 218499525*x^17 - 714238614*x^16 + 1768536378*x^15 + 6406124436*x^14 - 8491221657*x^13 - 33616662570*x^12 + 24197393817*x^11 + 100415043225*x^10 - 43624161405*x^9 - 155806925652*x^8 + 61105024917*x^7 + 96957229824*x^6 - 58997665035*x^5 - 2068254918*x^4 + 5643925623*x^3 - 181762056*x^2 - 163515672*x - 4287597)
\( x^{27} - 198 x^{25} - 198 x^{24} + 15957 x^{23} + 28566 x^{22} - 671706 x^{21} - 1614870 x^{20} + \cdots - 4287597 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $27$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[27, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(4737131966005480104201495460338050600482023844126105114809\)
\(\medspace = 3^{78}\cdot 19^{16}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(136.81\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | not computed | ||
| Ramified primes: |
\(3\), \(19\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $9$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $\frac{1}{19}a^{18}-\frac{8}{19}a^{16}-\frac{8}{19}a^{15}-\frac{3}{19}a^{14}+\frac{9}{19}a^{13}+\frac{1}{19}a^{12}-\frac{3}{19}a^{11}-\frac{6}{19}a^{10}-\frac{8}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{19}-\frac{8}{19}a^{17}-\frac{8}{19}a^{16}-\frac{3}{19}a^{15}+\frac{9}{19}a^{14}+\frac{1}{19}a^{13}-\frac{3}{19}a^{12}-\frac{6}{19}a^{11}-\frac{8}{19}a^{10}$, $\frac{1}{19}a^{20}-\frac{8}{19}a^{17}+\frac{9}{19}a^{16}+\frac{2}{19}a^{15}-\frac{4}{19}a^{14}-\frac{7}{19}a^{13}+\frac{2}{19}a^{12}+\frac{6}{19}a^{11}+\frac{9}{19}a^{10}-\frac{7}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{21}+\frac{9}{19}a^{17}-\frac{5}{19}a^{16}+\frac{8}{19}a^{15}+\frac{7}{19}a^{14}-\frac{2}{19}a^{13}-\frac{5}{19}a^{12}+\frac{4}{19}a^{11}+\frac{2}{19}a^{10}-\frac{7}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{22}-\frac{5}{19}a^{17}+\frac{4}{19}a^{16}+\frac{3}{19}a^{15}+\frac{6}{19}a^{14}+\frac{9}{19}a^{13}-\frac{5}{19}a^{12}-\frac{9}{19}a^{11}+\frac{9}{19}a^{10}-\frac{4}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{23}+\frac{4}{19}a^{17}+\frac{1}{19}a^{16}+\frac{4}{19}a^{15}-\frac{6}{19}a^{14}+\frac{2}{19}a^{13}-\frac{4}{19}a^{12}-\frac{6}{19}a^{11}+\frac{4}{19}a^{10}-\frac{2}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{24}+\frac{1}{19}a^{17}-\frac{2}{19}a^{16}+\frac{7}{19}a^{15}-\frac{5}{19}a^{14}-\frac{2}{19}a^{13}+\frac{9}{19}a^{12}-\frac{3}{19}a^{11}+\frac{3}{19}a^{10}-\frac{6}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{25}-\frac{2}{19}a^{17}-\frac{4}{19}a^{16}+\frac{3}{19}a^{15}+\frac{1}{19}a^{14}-\frac{4}{19}a^{12}+\frac{6}{19}a^{11}+\frac{8}{19}a^{9}$, $\frac{1}{82\!\cdots\!87}a^{26}+\frac{62\!\cdots\!10}{82\!\cdots\!87}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!92}{82\!\cdots\!87}a^{24}+\frac{37\!\cdots\!37}{82\!\cdots\!87}a^{23}-\frac{20\!\cdots\!71}{82\!\cdots\!87}a^{22}-\frac{14\!\cdots\!18}{82\!\cdots\!87}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!38}{82\!\cdots\!87}a^{20}-\frac{38\!\cdots\!66}{82\!\cdots\!87}a^{19}+\frac{95\!\cdots\!95}{43\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{28\!\cdots\!05}{82\!\cdots\!87}a^{17}-\frac{30\!\cdots\!72}{82\!\cdots\!87}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!28}{82\!\cdots\!87}a^{15}+\frac{36\!\cdots\!82}{82\!\cdots\!87}a^{14}+\frac{31\!\cdots\!34}{82\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!43}{82\!\cdots\!87}a^{12}+\frac{91\!\cdots\!09}{82\!\cdots\!87}a^{11}-\frac{33\!\cdots\!31}{82\!\cdots\!87}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!92}{82\!\cdots\!87}a^{9}-\frac{65\!\cdots\!10}{43\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{46\!\cdots\!63}{43\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!71}{43\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!63}{43\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!64}{43\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!60}{43\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{70\!\cdots\!67}{43\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!57}{43\!\cdots\!73}a+\frac{86\!\cdots\!66}{43\!\cdots\!73}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $26$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{13\!\cdots\!13}{12\!\cdots\!53}a^{26}-\frac{39\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!53}a^{25}+\frac{26\!\cdots\!37}{12\!\cdots\!53}a^{24}+\frac{34\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!53}a^{23}-\frac{21\!\cdots\!22}{12\!\cdots\!53}a^{22}-\frac{45\!\cdots\!39}{12\!\cdots\!53}a^{21}+\frac{46\!\cdots\!00}{66\!\cdots\!87}a^{20}+\frac{24\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!53}{66\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{68\!\cdots\!52}{12\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{27\!\cdots\!18}{12\!\cdots\!53}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!24}{12\!\cdots\!53}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!55}{66\!\cdots\!87}a^{14}-\frac{91\!\cdots\!05}{12\!\cdots\!53}a^{13}+\frac{79\!\cdots\!51}{12\!\cdots\!53}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!28}{66\!\cdots\!87}a^{11}-\frac{76\!\cdots\!31}{66\!\cdots\!87}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!94}{12\!\cdots\!53}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!04}{66\!\cdots\!87}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!31}{66\!\cdots\!87}a^{7}+\frac{90\!\cdots\!03}{66\!\cdots\!87}a^{6}-\frac{63\!\cdots\!97}{66\!\cdots\!87}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!71}{66\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{68\!\cdots\!97}{66\!\cdots\!87}a^{3}-\frac{94\!\cdots\!36}{66\!\cdots\!87}a^{2}-\frac{29\!\cdots\!61}{66\!\cdots\!87}a-\frac{84\!\cdots\!79}{66\!\cdots\!87}$, $\frac{13\!\cdots\!13}{12\!\cdots\!53}a^{26}-\frac{39\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!53}a^{25}+\frac{26\!\cdots\!37}{12\!\cdots\!53}a^{24}+\frac{34\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!53}a^{23}-\frac{21\!\cdots\!22}{12\!\cdots\!53}a^{22}-\frac{45\!\cdots\!39}{12\!\cdots\!53}a^{21}+\frac{46\!\cdots\!00}{66\!\cdots\!87}a^{20}+\frac{24\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!53}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!53}{66\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{68\!\cdots\!52}{12\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{27\!\cdots\!18}{12\!\cdots\!53}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!24}{12\!\cdots\!53}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!55}{66\!\cdots\!87}a^{14}-\frac{91\!\cdots\!05}{12\!\cdots\!53}a^{13}+\frac{79\!\cdots\!51}{12\!\cdots\!53}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!28}{66\!\cdots\!87}a^{11}-\frac{76\!\cdots\!31}{66\!\cdots\!87}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!94}{12\!\cdots\!53}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!04}{66\!\cdots\!87}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!31}{66\!\cdots\!87}a^{7}+\frac{90\!\cdots\!03}{66\!\cdots\!87}a^{6}-\frac{63\!\cdots\!97}{66\!\cdots\!87}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!71}{66\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{68\!\cdots\!97}{66\!\cdots\!87}a^{3}-\frac{94\!\cdots\!36}{66\!\cdots\!87}a^{2}-\frac{29\!\cdots\!61}{66\!\cdots\!87}a-\frac{91\!\cdots\!66}{66\!\cdots\!87}$, $\frac{31\!\cdots\!07}{43\!\cdots\!73}a^{26}-\frac{21\!\cdots\!25}{82\!\cdots\!87}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!21}{82\!\cdots\!87}a^{24}+\frac{16\!\cdots\!12}{82\!\cdots\!87}a^{23}-\frac{94\!\cdots\!31}{82\!\cdots\!87}a^{22}-\frac{20\!\cdots\!44}{82\!\cdots\!87}a^{21}+\frac{39\!\cdots\!41}{82\!\cdots\!87}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!23}{82\!\cdots\!87}a^{19}-\frac{47\!\cdots\!11}{43\!\cdots\!73}a^{18}-\frac{30\!\cdots\!24}{82\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!41}{82\!\cdots\!87}a^{16}+\frac{46\!\cdots\!77}{82\!\cdots\!87}a^{15}-\frac{87\!\cdots\!93}{82\!\cdots\!87}a^{14}-\frac{41\!\cdots\!42}{82\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{34\!\cdots\!17}{82\!\cdots\!87}a^{12}+\frac{21\!\cdots\!59}{82\!\cdots\!87}a^{11}-\frac{60\!\cdots\!44}{82\!\cdots\!87}a^{10}-\frac{61\!\cdots\!57}{82\!\cdots\!87}a^{9}+\frac{67\!\cdots\!63}{43\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{48\!\cdots\!23}{43\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{70\!\cdots\!50}{43\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!22}{43\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{59\!\cdots\!93}{43\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{32\!\cdots\!89}{43\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{43\!\cdots\!64}{43\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!26}{43\!\cdots\!73}a-\frac{38\!\cdots\!86}{43\!\cdots\!73}$, $\frac{28\!\cdots\!48}{82\!\cdots\!87}a^{26}+\frac{71\!\cdots\!80}{43\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{29\!\cdots\!12}{43\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{82\!\cdots\!70}{82\!\cdots\!87}a^{23}+\frac{44\!\cdots\!75}{82\!\cdots\!87}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!79}{82\!\cdots\!87}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!99}{82\!\cdots\!87}a^{20}-\frac{54\!\cdots\!23}{82\!\cdots\!87}a^{19}+\frac{42\!\cdots\!68}{82\!\cdots\!87}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!58}{82\!\cdots\!87}a^{17}-\frac{54\!\cdots\!07}{82\!\cdots\!87}a^{16}-\frac{22\!\cdots\!39}{82\!\cdots\!87}a^{15}+\frac{39\!\cdots\!90}{82\!\cdots\!87}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!16}{82\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!76}{82\!\cdots\!87}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!38}{82\!\cdots\!87}a^{11}+\frac{20\!\cdots\!03}{82\!\cdots\!87}a^{10}+\frac{29\!\cdots\!32}{82\!\cdots\!87}a^{9}+\frac{75\!\cdots\!52}{43\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{23\!\cdots\!52}{43\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!76}{43\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!91}{43\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{24\!\cdots\!67}{43\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!11}{43\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!11}{43\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{56\!\cdots\!31}{43\!\cdots\!73}a+\frac{14\!\cdots\!45}{43\!\cdots\!73}$, $\frac{21\!\cdots\!30}{82\!\cdots\!87}a^{26}+\frac{92\!\cdots\!31}{82\!\cdots\!87}a^{25}-\frac{42\!\cdots\!59}{82\!\cdots\!87}a^{24}-\frac{61\!\cdots\!04}{82\!\cdots\!87}a^{23}+\frac{34\!\cdots\!30}{82\!\cdots\!87}a^{22}+\frac{76\!\cdots\!86}{82\!\cdots\!87}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!21}{82\!\cdots\!87}a^{20}-\frac{40\!\cdots\!25}{82\!\cdots\!87}a^{19}+\frac{32\!\cdots\!17}{82\!\cdots\!87}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!40}{82\!\cdots\!87}a^{17}-\frac{42\!\cdots\!27}{82\!\cdots\!87}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!68}{82\!\cdots\!87}a^{15}+\frac{30\!\cdots\!51}{82\!\cdots\!87}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!75}{82\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!16}{82\!\cdots\!87}a^{12}-\frac{77\!\cdots\!91}{82\!\cdots\!87}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!82}{82\!\cdots\!87}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!43}{82\!\cdots\!87}a^{9}+\frac{66\!\cdots\!28}{43\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!58}{43\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{54\!\cdots\!00}{43\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!59}{43\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{21\!\cdots\!29}{43\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!25}{43\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!91}{43\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{49\!\cdots\!99}{43\!\cdots\!73}a+\frac{12\!\cdots\!89}{43\!\cdots\!73}$, $\frac{12\!\cdots\!02}{82\!\cdots\!87}a^{26}-\frac{54\!\cdots\!45}{82\!\cdots\!87}a^{25}+\frac{24\!\cdots\!25}{82\!\cdots\!87}a^{24}+\frac{35\!\cdots\!88}{82\!\cdots\!87}a^{23}-\frac{19\!\cdots\!03}{82\!\cdots\!87}a^{22}-\frac{44\!\cdots\!65}{82\!\cdots\!87}a^{21}+\frac{81\!\cdots\!56}{82\!\cdots\!87}a^{20}+\frac{23\!\cdots\!75}{82\!\cdots\!87}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!65}{82\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{65\!\cdots\!03}{82\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{24\!\cdots\!05}{82\!\cdots\!87}a^{16}+\frac{99\!\cdots\!90}{82\!\cdots\!87}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!23}{82\!\cdots\!87}a^{14}-\frac{87\!\cdots\!54}{82\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{66\!\cdots\!26}{82\!\cdots\!87}a^{12}+\frac{44\!\cdots\!01}{82\!\cdots\!87}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!59}{82\!\cdots\!87}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!03}{82\!\cdots\!87}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!77}{43\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!43}{43\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{49\!\cdots\!77}{43\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{60\!\cdots\!54}{43\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!17}{43\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{63\!\cdots\!66}{43\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{83\!\cdots\!89}{43\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{25\!\cdots\!96}{43\!\cdots\!73}a-\frac{63\!\cdots\!25}{43\!\cdots\!73}$, $\frac{11\!\cdots\!75}{82\!\cdots\!87}a^{26}+\frac{51\!\cdots\!48}{82\!\cdots\!87}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!58}{43\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{33\!\cdots\!79}{82\!\cdots\!87}a^{23}+\frac{18\!\cdots\!65}{82\!\cdots\!87}a^{22}+\frac{41\!\cdots\!84}{82\!\cdots\!87}a^{21}-\frac{75\!\cdots\!56}{82\!\cdots\!87}a^{20}-\frac{22\!\cdots\!36}{82\!\cdots\!87}a^{19}+\frac{17\!\cdots\!12}{82\!\cdots\!87}a^{18}+\frac{60\!\cdots\!95}{82\!\cdots\!87}a^{17}-\frac{22\!\cdots\!83}{82\!\cdots\!87}a^{16}-\frac{92\!\cdots\!94}{82\!\cdots\!87}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!68}{82\!\cdots\!87}a^{14}+\frac{81\!\cdots\!59}{82\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{61\!\cdots\!97}{82\!\cdots\!87}a^{12}-\frac{41\!\cdots\!73}{82\!\cdots\!87}a^{11}+\frac{93\!\cdots\!28}{82\!\cdots\!87}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!77}{82\!\cdots\!87}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!93}{43\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{93\!\cdots\!94}{43\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{48\!\cdots\!40}{43\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{56\!\cdots\!91}{43\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!08}{43\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{59\!\cdots\!03}{43\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{77\!\cdots\!45}{43\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!77}{43\!\cdots\!73}a+\frac{58\!\cdots\!84}{43\!\cdots\!73}$, $\frac{15\!\cdots\!97}{82\!\cdots\!87}a^{26}+\frac{71\!\cdots\!06}{82\!\cdots\!87}a^{25}-\frac{30\!\cdots\!38}{82\!\cdots\!87}a^{24}-\frac{44\!\cdots\!92}{82\!\cdots\!87}a^{23}+\frac{24\!\cdots\!99}{82\!\cdots\!87}a^{22}+\frac{55\!\cdots\!42}{82\!\cdots\!87}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!80}{82\!\cdots\!87}a^{20}-\frac{29\!\cdots\!02}{82\!\cdots\!87}a^{19}+\frac{23\!\cdots\!08}{82\!\cdots\!87}a^{18}+\frac{82\!\cdots\!16}{82\!\cdots\!87}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!94}{43\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!91}{82\!\cdots\!87}a^{15}+\frac{22\!\cdots\!58}{82\!\cdots\!87}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!33}{82\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{84\!\cdots\!99}{82\!\cdots\!87}a^{12}-\frac{56\!\cdots\!32}{82\!\cdots\!87}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!38}{82\!\cdots\!87}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!86}{82\!\cdots\!87}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!91}{43\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!35}{43\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{47\!\cdots\!50}{43\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{79\!\cdots\!37}{43\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!36}{43\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{84\!\cdots\!36}{43\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!27}{43\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{35\!\cdots\!73}{43\!\cdots\!73}a+\frac{88\!\cdots\!03}{43\!\cdots\!73}$, $\frac{22\!\cdots\!63}{82\!\cdots\!87}a^{26}+\frac{91\!\cdots\!00}{82\!\cdots\!87}a^{25}-\frac{43\!\cdots\!86}{82\!\cdots\!87}a^{24}-\frac{61\!\cdots\!30}{82\!\cdots\!87}a^{23}+\frac{35\!\cdots\!52}{82\!\cdots\!87}a^{22}+\frac{77\!\cdots\!23}{82\!\cdots\!87}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!25}{82\!\cdots\!87}a^{20}-\frac{41\!\cdots\!18}{82\!\cdots\!87}a^{19}+\frac{17\!\cdots\!40}{43\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!57}{82\!\cdots\!87}a^{17}-\frac{43\!\cdots\!43}{82\!\cdots\!87}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!54}{82\!\cdots\!87}a^{15}+\frac{31\!\cdots\!54}{82\!\cdots\!87}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!90}{82\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!46}{82\!\cdots\!87}a^{12}-\frac{79\!\cdots\!87}{82\!\cdots\!87}a^{11}+\frac{20\!\cdots\!84}{82\!\cdots\!87}a^{10}+\frac{23\!\cdots\!27}{82\!\cdots\!87}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!62}{43\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{18\!\cdots\!66}{43\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{33\!\cdots\!64}{43\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!63}{43\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{23\!\cdots\!84}{43\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!88}{43\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!84}{43\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{49\!\cdots\!35}{43\!\cdots\!73}a+\frac{11\!\cdots\!15}{43\!\cdots\!73}$, $\frac{70\!\cdots\!97}{82\!\cdots\!87}a^{26}+\frac{31\!\cdots\!53}{82\!\cdots\!87}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!09}{82\!\cdots\!87}a^{24}-\frac{20\!\cdots\!91}{82\!\cdots\!87}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!69}{82\!\cdots\!87}a^{22}+\frac{25\!\cdots\!26}{82\!\cdots\!87}a^{21}-\frac{46\!\cdots\!73}{82\!\cdots\!87}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!18}{82\!\cdots\!87}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!93}{82\!\cdots\!87}a^{18}+\frac{37\!\cdots\!04}{82\!\cdots\!87}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!74}{82\!\cdots\!87}a^{16}-\frac{56\!\cdots\!78}{82\!\cdots\!87}a^{15}+\frac{52\!\cdots\!43}{43\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{49\!\cdots\!95}{82\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{37\!\cdots\!92}{82\!\cdots\!87}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!53}{43\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{57\!\cdots\!85}{82\!\cdots\!87}a^{10}+\frac{73\!\cdots\!75}{82\!\cdots\!87}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!40}{43\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{57\!\cdots\!99}{43\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{30\!\cdots\!50}{43\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{34\!\cdots\!59}{43\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{63\!\cdots\!50}{43\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{36\!\cdots\!93}{43\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{46\!\cdots\!14}{43\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!37}{43\!\cdots\!73}a+\frac{36\!\cdots\!10}{43\!\cdots\!73}$, $\frac{89\!\cdots\!98}{90\!\cdots\!71}a^{26}-\frac{35\!\cdots\!22}{90\!\cdots\!71}a^{25}+\frac{93\!\cdots\!49}{47\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{24\!\cdots\!01}{90\!\cdots\!71}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!61}{90\!\cdots\!71}a^{22}-\frac{31\!\cdots\!16}{90\!\cdots\!71}a^{21}+\frac{59\!\cdots\!41}{90\!\cdots\!71}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!26}{90\!\cdots\!71}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!28}{90\!\cdots\!71}a^{18}-\frac{46\!\cdots\!70}{90\!\cdots\!71}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!04}{90\!\cdots\!71}a^{16}+\frac{71\!\cdots\!99}{90\!\cdots\!71}a^{15}-\frac{68\!\cdots\!36}{47\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{62\!\cdots\!85}{90\!\cdots\!71}a^{13}+\frac{51\!\cdots\!15}{90\!\cdots\!71}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!58}{47\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{47\!\cdots\!19}{47\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{93\!\cdots\!59}{90\!\cdots\!71}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!36}{47\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{74\!\cdots\!62}{47\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{42\!\cdots\!02}{47\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{45\!\cdots\!03}{47\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{98\!\cdots\!07}{47\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{48\!\cdots\!14}{47\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{74\!\cdots\!46}{47\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!07}{47\!\cdots\!09}a-\frac{49\!\cdots\!07}{47\!\cdots\!09}$, $\frac{18\!\cdots\!89}{90\!\cdots\!71}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!29}{90\!\cdots\!71}a^{25}+\frac{37\!\cdots\!92}{90\!\cdots\!71}a^{24}+\frac{71\!\cdots\!50}{90\!\cdots\!71}a^{23}-\frac{30\!\cdots\!00}{90\!\cdots\!71}a^{22}-\frac{43\!\cdots\!32}{47\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{12\!\cdots\!91}{90\!\cdots\!71}a^{20}+\frac{42\!\cdots\!78}{90\!\cdots\!71}a^{19}-\frac{28\!\cdots\!59}{90\!\cdots\!71}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!90}{90\!\cdots\!71}a^{17}+\frac{35\!\cdots\!51}{90\!\cdots\!71}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!46}{90\!\cdots\!71}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!49}{47\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!94}{90\!\cdots\!71}a^{13}+\frac{73\!\cdots\!36}{90\!\cdots\!71}a^{12}+\frac{40\!\cdots\!99}{47\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!06}{47\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!59}{90\!\cdots\!71}a^{9}-\frac{19\!\cdots\!32}{47\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!67}{47\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{24\!\cdots\!69}{47\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!71}{47\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{17\!\cdots\!61}{47\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!72}{47\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!42}{47\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{44\!\cdots\!81}{47\!\cdots\!09}a-\frac{11\!\cdots\!13}{47\!\cdots\!09}$, $\frac{86\!\cdots\!66}{90\!\cdots\!71}a^{26}+\frac{46\!\cdots\!10}{90\!\cdots\!71}a^{25}+\frac{88\!\cdots\!53}{47\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{80\!\cdots\!68}{90\!\cdots\!71}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!60}{90\!\cdots\!71}a^{22}-\frac{17\!\cdots\!97}{90\!\cdots\!71}a^{21}+\frac{56\!\cdots\!46}{90\!\cdots\!71}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!48}{90\!\cdots\!71}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!65}{90\!\cdots\!71}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!60}{47\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!18}{90\!\cdots\!71}a^{16}+\frac{49\!\cdots\!44}{90\!\cdots\!71}a^{15}-\frac{79\!\cdots\!84}{47\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!05}{47\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{37\!\cdots\!79}{47\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!01}{47\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!34}{47\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{32\!\cdots\!14}{47\!\cdots\!09}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!04}{47\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{44\!\cdots\!39}{47\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!64}{47\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{23\!\cdots\!11}{47\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{71\!\cdots\!40}{47\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{24\!\cdots\!30}{47\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{51\!\cdots\!96}{47\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!58}{47\!\cdots\!09}a-\frac{26\!\cdots\!98}{47\!\cdots\!09}$, $\frac{52\!\cdots\!82}{90\!\cdots\!71}a^{26}-\frac{16\!\cdots\!23}{90\!\cdots\!71}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!01}{90\!\cdots\!71}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!19}{90\!\cdots\!71}a^{23}-\frac{82\!\cdots\!26}{90\!\cdots\!71}a^{22}-\frac{17\!\cdots\!00}{90\!\cdots\!71}a^{21}+\frac{34\!\cdots\!91}{90\!\cdots\!71}a^{20}+\frac{95\!\cdots\!39}{90\!\cdots\!71}a^{19}-\frac{79\!\cdots\!92}{90\!\cdots\!71}a^{18}-\frac{26\!\cdots\!39}{90\!\cdots\!71}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!74}{90\!\cdots\!71}a^{16}+\frac{40\!\cdots\!84}{90\!\cdots\!71}a^{15}-\frac{40\!\cdots\!77}{47\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{35\!\cdots\!30}{90\!\cdots\!71}a^{13}+\frac{30\!\cdots\!41}{90\!\cdots\!71}a^{12}+\frac{95\!\cdots\!11}{47\!\cdots\!09}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!75}{47\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{52\!\cdots\!31}{90\!\cdots\!71}a^{9}+\frac{80\!\cdots\!85}{47\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{41\!\cdots\!00}{47\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{39\!\cdots\!80}{47\!\cdots\!09}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!29}{47\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{51\!\cdots\!02}{47\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!21}{47\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{38\!\cdots\!68}{47\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!76}{47\!\cdots\!09}a-\frac{27\!\cdots\!60}{47\!\cdots\!09}$, $\frac{12\!\cdots\!78}{82\!\cdots\!87}a^{26}+\frac{98\!\cdots\!13}{82\!\cdots\!87}a^{25}-\frac{23\!\cdots\!54}{82\!\cdots\!87}a^{24}-\frac{43\!\cdots\!78}{82\!\cdots\!87}a^{23}+\frac{19\!\cdots\!93}{82\!\cdots\!87}a^{22}+\frac{49\!\cdots\!14}{82\!\cdots\!87}a^{21}-\frac{79\!\cdots\!31}{82\!\cdots\!87}a^{20}-\frac{25\!\cdots\!50}{82\!\cdots\!87}a^{19}+\frac{18\!\cdots\!43}{82\!\cdots\!87}a^{18}+\frac{70\!\cdots\!05}{82\!\cdots\!87}a^{17}-\frac{22\!\cdots\!54}{82\!\cdots\!87}a^{16}-\frac{56\!\cdots\!03}{43\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!06}{82\!\cdots\!87}a^{14}+\frac{94\!\cdots\!55}{82\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{54\!\cdots\!50}{82\!\cdots\!87}a^{12}-\frac{48\!\cdots\!65}{82\!\cdots\!87}a^{11}+\frac{49\!\cdots\!58}{82\!\cdots\!87}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!93}{82\!\cdots\!87}a^{9}+\frac{75\!\cdots\!19}{43\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!11}{43\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{88\!\cdots\!87}{43\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{72\!\cdots\!45}{43\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!14}{43\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{76\!\cdots\!60}{43\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!59}{43\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{31\!\cdots\!77}{43\!\cdots\!73}a+\frac{75\!\cdots\!69}{43\!\cdots\!73}$, $\frac{73\!\cdots\!88}{82\!\cdots\!87}a^{26}-\frac{22\!\cdots\!91}{82\!\cdots\!87}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!06}{82\!\cdots\!87}a^{24}+\frac{44\!\cdots\!68}{82\!\cdots\!87}a^{23}-\frac{74\!\cdots\!28}{43\!\cdots\!73}a^{22}-\frac{36\!\cdots\!90}{82\!\cdots\!87}a^{21}+\frac{41\!\cdots\!67}{82\!\cdots\!87}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!04}{82\!\cdots\!87}a^{19}+\frac{52\!\cdots\!32}{82\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{39\!\cdots\!30}{82\!\cdots\!87}a^{17}-\frac{27\!\cdots\!56}{82\!\cdots\!87}a^{16}+\frac{57\!\cdots\!54}{82\!\cdots\!87}a^{15}+\frac{58\!\cdots\!74}{82\!\cdots\!87}a^{14}-\frac{50\!\cdots\!94}{82\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{56\!\cdots\!37}{82\!\cdots\!87}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!26}{82\!\cdots\!87}a^{11}+\frac{27\!\cdots\!31}{82\!\cdots\!87}a^{10}-\frac{84\!\cdots\!10}{82\!\cdots\!87}a^{9}-\frac{35\!\cdots\!17}{43\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{76\!\cdots\!62}{43\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{31\!\cdots\!50}{43\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{58\!\cdots\!89}{43\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{72\!\cdots\!07}{43\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{60\!\cdots\!86}{43\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{65\!\cdots\!21}{43\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!91}{43\!\cdots\!73}a-\frac{55\!\cdots\!10}{43\!\cdots\!73}$, $\frac{12\!\cdots\!96}{43\!\cdots\!73}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!13}{82\!\cdots\!87}a^{25}-\frac{47\!\cdots\!76}{82\!\cdots\!87}a^{24}-\frac{67\!\cdots\!07}{82\!\cdots\!87}a^{23}+\frac{37\!\cdots\!33}{82\!\cdots\!87}a^{22}+\frac{84\!\cdots\!18}{82\!\cdots\!87}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!98}{82\!\cdots\!87}a^{20}-\frac{45\!\cdots\!16}{82\!\cdots\!87}a^{19}+\frac{36\!\cdots\!12}{82\!\cdots\!87}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!94}{82\!\cdots\!87}a^{17}-\frac{46\!\cdots\!99}{82\!\cdots\!87}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!06}{82\!\cdots\!87}a^{15}+\frac{34\!\cdots\!25}{82\!\cdots\!87}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!23}{82\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!86}{82\!\cdots\!87}a^{12}-\frac{86\!\cdots\!55}{82\!\cdots\!87}a^{11}+\frac{21\!\cdots\!15}{82\!\cdots\!87}a^{10}+\frac{25\!\cdots\!39}{82\!\cdots\!87}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!32}{43\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{19\!\cdots\!78}{43\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{48\!\cdots\!00}{43\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!90}{43\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{24\!\cdots\!32}{43\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!61}{43\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!37}{43\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{53\!\cdots\!85}{43\!\cdots\!73}a+\frac{13\!\cdots\!95}{43\!\cdots\!73}$, $\frac{31\!\cdots\!94}{82\!\cdots\!87}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!89}{82\!\cdots\!87}a^{25}+\frac{62\!\cdots\!23}{82\!\cdots\!87}a^{24}+\frac{89\!\cdots\!14}{82\!\cdots\!87}a^{23}-\frac{49\!\cdots\!94}{82\!\cdots\!87}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!95}{82\!\cdots\!87}a^{21}+\frac{20\!\cdots\!33}{82\!\cdots\!87}a^{20}+\frac{59\!\cdots\!43}{82\!\cdots\!87}a^{19}-\frac{47\!\cdots\!87}{82\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!91}{82\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{32\!\cdots\!75}{43\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!45}{43\!\cdots\!73}a^{15}-\frac{45\!\cdots\!29}{82\!\cdots\!87}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!97}{82\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!99}{82\!\cdots\!87}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!89}{82\!\cdots\!87}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!09}{82\!\cdots\!87}a^{10}-\frac{33\!\cdots\!42}{82\!\cdots\!87}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!60}{43\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!61}{43\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{35\!\cdots\!10}{43\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!58}{43\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{34\!\cdots\!72}{43\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!93}{43\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{25\!\cdots\!96}{43\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{73\!\cdots\!72}{43\!\cdots\!73}a-\frac{18\!\cdots\!80}{43\!\cdots\!73}$, $\frac{14\!\cdots\!90}{82\!\cdots\!87}a^{26}+\frac{66\!\cdots\!73}{82\!\cdots\!87}a^{25}-\frac{29\!\cdots\!25}{82\!\cdots\!87}a^{24}-\frac{42\!\cdots\!88}{82\!\cdots\!87}a^{23}+\frac{23\!\cdots\!11}{82\!\cdots\!87}a^{22}+\frac{52\!\cdots\!72}{82\!\cdots\!87}a^{21}-\frac{96\!\cdots\!32}{82\!\cdots\!87}a^{20}-\frac{28\!\cdots\!07}{82\!\cdots\!87}a^{19}+\frac{22\!\cdots\!36}{82\!\cdots\!87}a^{18}+\frac{77\!\cdots\!08}{82\!\cdots\!87}a^{17}-\frac{28\!\cdots\!95}{82\!\cdots\!87}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!11}{82\!\cdots\!87}a^{15}+\frac{20\!\cdots\!49}{82\!\cdots\!87}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!65}{82\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{79\!\cdots\!25}{82\!\cdots\!87}a^{12}-\frac{53\!\cdots\!01}{82\!\cdots\!87}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!95}{82\!\cdots\!87}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!41}{82\!\cdots\!87}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!60}{43\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!32}{43\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{54\!\cdots\!16}{43\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{73\!\cdots\!32}{43\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!07}{43\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{76\!\cdots\!23}{43\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!37}{43\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{30\!\cdots\!82}{43\!\cdots\!73}a+\frac{76\!\cdots\!94}{43\!\cdots\!73}$, $\frac{33\!\cdots\!54}{43\!\cdots\!73}a^{26}+\frac{44\!\cdots\!59}{82\!\cdots\!87}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!76}{82\!\cdots\!87}a^{24}-\frac{21\!\cdots\!41}{82\!\cdots\!87}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!82}{82\!\cdots\!87}a^{22}+\frac{25\!\cdots\!67}{82\!\cdots\!87}a^{21}-\frac{42\!\cdots\!37}{82\!\cdots\!87}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!02}{82\!\cdots\!87}a^{19}+\frac{96\!\cdots\!09}{82\!\cdots\!87}a^{18}+\frac{36\!\cdots\!38}{82\!\cdots\!87}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!95}{82\!\cdots\!87}a^{16}-\frac{55\!\cdots\!73}{82\!\cdots\!87}a^{15}+\frac{88\!\cdots\!40}{82\!\cdots\!87}a^{14}+\frac{48\!\cdots\!20}{82\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{32\!\cdots\!21}{82\!\cdots\!87}a^{12}-\frac{25\!\cdots\!05}{82\!\cdots\!87}a^{11}+\frac{45\!\cdots\!51}{82\!\cdots\!87}a^{10}+\frac{39\!\cdots\!43}{43\!\cdots\!73}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!22}{43\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{59\!\cdots\!17}{43\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!34}{43\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{37\!\cdots\!89}{43\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{89\!\cdots\!69}{43\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{36\!\cdots\!35}{43\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{69\!\cdots\!75}{43\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!43}{43\!\cdots\!73}a-\frac{11\!\cdots\!46}{43\!\cdots\!73}$, $\frac{13\!\cdots\!43}{41\!\cdots\!13}a^{26}-\frac{43\!\cdots\!13}{41\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{26\!\cdots\!24}{41\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{35\!\cdots\!47}{41\!\cdots\!13}a^{23}-\frac{21\!\cdots\!08}{41\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{45\!\cdots\!95}{41\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{88\!\cdots\!12}{41\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{24\!\cdots\!10}{41\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!15}{41\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{68\!\cdots\!86}{41\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{26\!\cdots\!55}{41\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!12}{41\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!27}{41\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{92\!\cdots\!64}{41\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{79\!\cdots\!13}{41\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{47\!\cdots\!72}{41\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!66}{41\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{71\!\cdots\!17}{21\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!96}{21\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!81}{21\!\cdots\!27}a^{7}+\frac{45\!\cdots\!95}{21\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{65\!\cdots\!46}{21\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!01}{21\!\cdots\!27}a^{4}+\frac{69\!\cdots\!33}{21\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!27}a^{2}-\frac{29\!\cdots\!46}{21\!\cdots\!27}a-\frac{71\!\cdots\!11}{21\!\cdots\!27}$, $\frac{13\!\cdots\!61}{82\!\cdots\!87}a^{26}-\frac{57\!\cdots\!29}{82\!\cdots\!87}a^{25}+\frac{26\!\cdots\!99}{82\!\cdots\!87}a^{24}+\frac{37\!\cdots\!83}{82\!\cdots\!87}a^{23}-\frac{21\!\cdots\!42}{82\!\cdots\!87}a^{22}-\frac{47\!\cdots\!45}{82\!\cdots\!87}a^{21}+\frac{88\!\cdots\!86}{82\!\cdots\!87}a^{20}+\frac{25\!\cdots\!15}{82\!\cdots\!87}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!25}{82\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{70\!\cdots\!38}{82\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{26\!\cdots\!52}{82\!\cdots\!87}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!23}{82\!\cdots\!87}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!92}{82\!\cdots\!87}a^{14}-\frac{49\!\cdots\!90}{43\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{74\!\cdots\!37}{82\!\cdots\!87}a^{12}+\frac{48\!\cdots\!06}{82\!\cdots\!87}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!53}{82\!\cdots\!87}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!60}{82\!\cdots\!87}a^{9}+\frac{20\!\cdots\!65}{43\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!45}{43\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{24\!\cdots\!63}{43\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{68\!\cdots\!81}{43\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!82}{43\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{72\!\cdots\!88}{43\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!36}{43\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{30\!\cdots\!49}{43\!\cdots\!73}a-\frac{74\!\cdots\!57}{43\!\cdots\!73}$, $\frac{26\!\cdots\!84}{82\!\cdots\!87}a^{26}-\frac{91\!\cdots\!97}{82\!\cdots\!87}a^{25}+\frac{51\!\cdots\!18}{82\!\cdots\!87}a^{24}+\frac{70\!\cdots\!50}{82\!\cdots\!87}a^{23}-\frac{41\!\cdots\!92}{82\!\cdots\!87}a^{22}-\frac{89\!\cdots\!21}{82\!\cdots\!87}a^{21}+\frac{17\!\cdots\!81}{82\!\cdots\!87}a^{20}+\frac{48\!\cdots\!53}{82\!\cdots\!87}a^{19}-\frac{39\!\cdots\!25}{82\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!00}{82\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{51\!\cdots\!12}{82\!\cdots\!87}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!17}{43\!\cdots\!73}a^{15}-\frac{38\!\cdots\!34}{82\!\cdots\!87}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!09}{82\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!02}{82\!\cdots\!87}a^{12}+\frac{92\!\cdots\!86}{82\!\cdots\!87}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!81}{82\!\cdots\!87}a^{10}-\frac{26\!\cdots\!81}{82\!\cdots\!87}a^{9}+\frac{34\!\cdots\!20}{43\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!00}{43\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{22\!\cdots\!93}{43\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!15}{43\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{26\!\cdots\!62}{43\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!60}{43\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!31}{43\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{56\!\cdots\!53}{43\!\cdots\!73}a-\frac{13\!\cdots\!58}{43\!\cdots\!73}$, $\frac{42\!\cdots\!12}{82\!\cdots\!87}a^{26}-\frac{16\!\cdots\!34}{82\!\cdots\!87}a^{25}+\frac{83\!\cdots\!86}{82\!\cdots\!87}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!36}{82\!\cdots\!87}a^{23}-\frac{66\!\cdots\!51}{82\!\cdots\!87}a^{22}-\frac{14\!\cdots\!82}{82\!\cdots\!87}a^{21}+\frac{27\!\cdots\!80}{82\!\cdots\!87}a^{20}+\frac{78\!\cdots\!27}{82\!\cdots\!87}a^{19}-\frac{63\!\cdots\!20}{82\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!52}{82\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{83\!\cdots\!74}{82\!\cdots\!87}a^{16}+\frac{33\!\cdots\!03}{82\!\cdots\!87}a^{15}-\frac{61\!\cdots\!94}{82\!\cdots\!87}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!66}{82\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!78}{82\!\cdots\!87}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!51}{82\!\cdots\!87}a^{11}-\frac{41\!\cdots\!52}{82\!\cdots\!87}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!97}{43\!\cdots\!73}a^{9}+\frac{33\!\cdots\!42}{43\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{34\!\cdots\!87}{43\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{53\!\cdots\!50}{43\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!61}{43\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{43\!\cdots\!43}{43\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!24}{43\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{32\!\cdots\!32}{43\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{92\!\cdots\!09}{43\!\cdots\!73}a-\frac{22\!\cdots\!11}{43\!\cdots\!73}$, $\frac{31\!\cdots\!63}{82\!\cdots\!87}a^{26}+\frac{39\!\cdots\!28}{82\!\cdots\!87}a^{25}-\frac{62\!\cdots\!01}{82\!\cdots\!87}a^{24}-\frac{70\!\cdots\!34}{82\!\cdots\!87}a^{23}+\frac{49\!\cdots\!84}{82\!\cdots\!87}a^{22}+\frac{96\!\cdots\!00}{82\!\cdots\!87}a^{21}-\frac{20\!\cdots\!27}{82\!\cdots\!87}a^{20}-\frac{53\!\cdots\!82}{82\!\cdots\!87}a^{19}+\frac{48\!\cdots\!08}{82\!\cdots\!87}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!34}{82\!\cdots\!87}a^{17}-\frac{63\!\cdots\!14}{82\!\cdots\!87}a^{16}-\frac{22\!\cdots\!03}{82\!\cdots\!87}a^{15}+\frac{48\!\cdots\!29}{82\!\cdots\!87}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!33}{82\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!54}{82\!\cdots\!87}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!69}{82\!\cdots\!87}a^{11}+\frac{40\!\cdots\!18}{82\!\cdots\!87}a^{10}+\frac{29\!\cdots\!74}{82\!\cdots\!87}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!71}{43\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!00}{43\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{52\!\cdots\!82}{43\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!37}{43\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!33}{43\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!19}{43\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{21\!\cdots\!05}{43\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{67\!\cdots\!29}{43\!\cdots\!73}a+\frac{16\!\cdots\!04}{43\!\cdots\!73}$, $\frac{27\!\cdots\!78}{82\!\cdots\!87}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!62}{82\!\cdots\!87}a^{25}+\frac{54\!\cdots\!43}{82\!\cdots\!87}a^{24}+\frac{76\!\cdots\!87}{82\!\cdots\!87}a^{23}-\frac{43\!\cdots\!99}{82\!\cdots\!87}a^{22}-\frac{96\!\cdots\!39}{82\!\cdots\!87}a^{21}+\frac{18\!\cdots\!69}{82\!\cdots\!87}a^{20}+\frac{51\!\cdots\!45}{82\!\cdots\!87}a^{19}-\frac{42\!\cdots\!80}{82\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!54}{82\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{54\!\cdots\!72}{82\!\cdots\!87}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!36}{82\!\cdots\!87}a^{15}-\frac{40\!\cdots\!04}{82\!\cdots\!87}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!29}{82\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!65}{82\!\cdots\!87}a^{12}+\frac{52\!\cdots\!20}{43\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{27\!\cdots\!59}{82\!\cdots\!87}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!32}{43\!\cdots\!73}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!32}{43\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!45}{43\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{22\!\cdots\!91}{43\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!32}{43\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!32}{43\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!28}{43\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!31}{43\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{63\!\cdots\!48}{43\!\cdots\!73}a-\frac{15\!\cdots\!90}{43\!\cdots\!73}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 380921386531835540000 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 380921386531835540000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{4737131966005480104201495460338050600482023844126105114809}}\cr\approx \mathstrut & 0.371413343305321 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 198*x^25 - 198*x^24 + 15957*x^23 + 28566*x^22 - 671706*x^21 - 1614870*x^20 + 15931323*x^19 + 45904695*x^18 - 218499525*x^17 - 714238614*x^16 + 1768536378*x^15 + 6406124436*x^14 - 8491221657*x^13 - 33616662570*x^12 + 24197393817*x^11 + 100415043225*x^10 - 43624161405*x^9 - 155806925652*x^8 + 61105024917*x^7 + 96957229824*x^6 - 58997665035*x^5 - 2068254918*x^4 + 5643925623*x^3 - 181762056*x^2 - 163515672*x - 4287597)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^27 - 198*x^25 - 198*x^24 + 15957*x^23 + 28566*x^22 - 671706*x^21 - 1614870*x^20 + 15931323*x^19 + 45904695*x^18 - 218499525*x^17 - 714238614*x^16 + 1768536378*x^15 + 6406124436*x^14 - 8491221657*x^13 - 33616662570*x^12 + 24197393817*x^11 + 100415043225*x^10 - 43624161405*x^9 - 155806925652*x^8 + 61105024917*x^7 + 96957229824*x^6 - 58997665035*x^5 - 2068254918*x^4 + 5643925623*x^3 - 181762056*x^2 - 163515672*x - 4287597, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^27 - 198*x^25 - 198*x^24 + 15957*x^23 + 28566*x^22 - 671706*x^21 - 1614870*x^20 + 15931323*x^19 + 45904695*x^18 - 218499525*x^17 - 714238614*x^16 + 1768536378*x^15 + 6406124436*x^14 - 8491221657*x^13 - 33616662570*x^12 + 24197393817*x^11 + 100415043225*x^10 - 43624161405*x^9 - 155806925652*x^8 + 61105024917*x^7 + 96957229824*x^6 - 58997665035*x^5 - 2068254918*x^4 + 5643925623*x^3 - 181762056*x^2 - 163515672*x - 4287597);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 198*x^25 - 198*x^24 + 15957*x^23 + 28566*x^22 - 671706*x^21 - 1614870*x^20 + 15931323*x^19 + 45904695*x^18 - 218499525*x^17 - 714238614*x^16 + 1768536378*x^15 + 6406124436*x^14 - 8491221657*x^13 - 33616662570*x^12 + 24197393817*x^11 + 100415043225*x^10 - 43624161405*x^9 - 155806925652*x^8 + 61105024917*x^7 + 96957229824*x^6 - 58997665035*x^5 - 2068254918*x^4 + 5643925623*x^3 - 181762056*x^2 - 163515672*x - 4287597);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$C_9\wr C_3$ (as 27T434):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A solvable group of order 2187 |
| The 267 conjugacy class representatives for $C_9\wr C_3$ |
| Character table for $C_9\wr C_3$ |
Intermediate fields
| \(\Q(\zeta_{9})^+\), 9.9.50489025546969.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 27 siblings: | data not computed |
| Minimal sibling: | 27.27.278924508041662122046672329971307261712894173849.3 |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | $27$ | R | $27$ | ${\href{/padicField/7.3.0.1}{3} }^{9}$ | ${\href{/padicField/11.9.0.1}{9} }^{3}$ | $27$ | ${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/padicField/17.3.0.1}{3} }^{6}$ | R | $27$ | $27$ | ${\href{/padicField/31.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/37.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }^{9}$ | $27$ | $27$ | $27$ | ${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/padicField/53.3.0.1}{3} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/53.1.0.1}{1} }^{9}$ | $27$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(3\)
| Deg $27$ | $27$ | $1$ | $78$ | |||
|
\(19\)
| 19.9.0.1 | $x^{9} + 11 x^{3} + 14 x^{2} + 16 x + 17$ | $1$ | $9$ | $0$ | $C_9$ | $[\ ]^{9}$ |
| 19.9.8.2 | $x^{9} + 57$ | $9$ | $1$ | $8$ | $C_9$ | $[\ ]_{9}$ | |
| 19.9.8.3 | $x^{9} + 152$ | $9$ | $1$ | $8$ | $C_9$ | $[\ ]_{9}$ |