Number field 27.27.4737131966005480104201495460338050600482023844126105114809.4

• Label: 27.27.473...809.4
• Degree: $27$
• Signature: $[27, 0]$
• Discriminant: $4.737\times 10^{57}$
• Root discriminant: \(136.81\)
• Ramified primes: $3,19$
• Class number: $1$ (GRH)
• Class group: trivial (GRH)
• Galois group: $C_9\wr C_3$ (as 27T434)

Normalized defining polynomial

x^27 - 198*x^25 - 234*x^24 + 15957*x^23 + 34857*x^22 - 664605*x^21 - 2060424*x^20 + 14909967*x^19 + 61408524*x^18 - 164914623*x^17 - 969682860*x^16 + 509316831*x^15 + 7881823827*x^14 + 4987250568*x^13 - 30694701609*x^12 - 45067675860*x^11 + 41145793425*x^10 + 121189746357*x^9 + 34092403551*x^8 - 95018229873*x^7 - 74437098228*x^6 + 10022089581*x^5 + 25924612491*x^4 + 5241208824*x^3 - 2001751137*x^2 - 781144074*x - 68912373

Invariants

Degree:		$27$
Signature:		$[27, 0]$
Discriminant:		\(4737131966005480104201495460338050600482023844126105114809\) \(\medspace = 3^{78}\cdot 19^{16}\)
Root discriminant:		\(136.81\)
Galois root discriminant:		not computed
Ramified primes:		\(3\), \(19\)
Discriminant root field:		\(\Q\)
$\card{ \Aut(K/\Q) }$:		$9$
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $\frac{1}{19}a^{18}-\frac{8}{19}a^{16}-\frac{6}{19}a^{15}-\frac{3}{19}a^{14}-\frac{8}{19}a^{13}-\frac{4}{19}a^{12}-\frac{7}{19}a^{11}+\frac{2}{19}a^{10}-\frac{8}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{19}-\frac{8}{19}a^{17}-\frac{6}{19}a^{16}-\frac{3}{19}a^{15}-\frac{8}{19}a^{14}-\frac{4}{19}a^{13}-\frac{7}{19}a^{12}+\frac{2}{19}a^{11}-\frac{8}{19}a^{10}$, $\frac{1}{19}a^{20}-\frac{6}{19}a^{17}+\frac{9}{19}a^{16}+\frac{1}{19}a^{15}-\frac{9}{19}a^{14}+\frac{5}{19}a^{13}+\frac{8}{19}a^{12}-\frac{7}{19}a^{11}-\frac{3}{19}a^{10}-\frac{7}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{21}+\frac{9}{19}a^{17}-\frac{9}{19}a^{16}-\frac{7}{19}a^{15}+\frac{6}{19}a^{14}-\frac{2}{19}a^{13}+\frac{7}{19}a^{12}-\frac{7}{19}a^{11}+\frac{5}{19}a^{10}+\frac{9}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{22}-\frac{9}{19}a^{17}+\frac{8}{19}a^{16}+\frac{3}{19}a^{15}+\frac{6}{19}a^{14}+\frac{3}{19}a^{13}-\frac{9}{19}a^{12}-\frac{8}{19}a^{11}-\frac{9}{19}a^{10}-\frac{4}{19}a^{9}$, $\frac{1}{361}a^{23}-\frac{8}{361}a^{21}-\frac{6}{361}a^{20}-\frac{3}{361}a^{19}-\frac{8}{361}a^{18}-\frac{137}{361}a^{17}+\frac{107}{361}a^{16}-\frac{36}{361}a^{15}-\frac{141}{361}a^{14}+\frac{7}{19}a^{13}+\frac{8}{19}a^{12}+\frac{9}{19}a^{11}+\frac{5}{19}a^{10}+\frac{9}{19}a^{9}-\frac{5}{19}a^{8}-\frac{7}{19}a^{7}+\frac{2}{19}a^{6}-\frac{8}{19}a^{5}$, $\frac{1}{361}a^{24}-\frac{8}{361}a^{22}-\frac{6}{361}a^{21}-\frac{3}{361}a^{20}-\frac{8}{361}a^{19}-\frac{4}{361}a^{18}+\frac{107}{361}a^{17}-\frac{17}{361}a^{16}+\frac{144}{361}a^{15}+\frac{5}{19}a^{14}+\frac{9}{19}a^{13}-\frac{6}{19}a^{11}+\frac{4}{19}a^{10}-\frac{4}{19}a^{9}-\frac{7}{19}a^{8}+\frac{2}{19}a^{7}-\frac{8}{19}a^{6}$, $\frac{1}{6137}a^{25}+\frac{7}{6137}a^{24}-\frac{4}{6137}a^{23}+\frac{90}{6137}a^{22}-\frac{58}{6137}a^{21}+\frac{156}{6137}a^{20}-\frac{15}{6137}a^{19}+\frac{5}{361}a^{18}+\frac{526}{6137}a^{17}-\frac{1960}{6137}a^{16}+\frac{1092}{6137}a^{15}+\frac{2818}{6137}a^{14}+\frac{26}{323}a^{13}+\frac{9}{19}a^{12}+\frac{3}{19}a^{11}-\frac{8}{17}a^{10}+\frac{37}{323}a^{9}+\frac{104}{323}a^{8}+\frac{111}{323}a^{7}+\frac{47}{323}a^{6}+\frac{82}{323}a^{5}-\frac{7}{17}a^{4}-\frac{2}{17}a^{3}+\frac{1}{17}a^{2}-\frac{5}{17}a$, $\frac{1}{10\!\cdots\!87}a^{26}+\frac{55\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!87}a^{25}+\frac{93\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!87}a^{24}+\frac{93\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!87}a^{23}+\frac{19\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!87}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!87}a^{21}-\frac{50\!\cdots\!68}{37\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!87}a^{19}+\frac{23\!\cdots\!82}{10\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{23\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!87}a^{17}-\frac{54\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!87}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!88}{10\!\cdots\!87}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!77}{57\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!91}{57\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{48\!\cdots\!57}{33\!\cdots\!69}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!85}{57\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{38\!\cdots\!48}{57\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{78\!\cdots\!40}{33\!\cdots\!69}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!35}{57\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!20}{57\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!21}{57\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!55}{30\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{42\!\cdots\!35}{30\!\cdots\!67}a^{4}-\frac{25\!\cdots\!29}{30\!\cdots\!67}a^{3}-\frac{82\!\cdots\!01}{17\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!50}{30\!\cdots\!67}a-\frac{79\!\cdots\!10}{17\!\cdots\!51}$

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$26$
Torsion generator:		\( -1 \)  (order $2$)
Fundamental units:		$\frac{47\!\cdots\!47}{71\!\cdots\!93}a^{26}-\frac{46\!\cdots\!40}{71\!\cdots\!93}a^{25}-\frac{94\!\cdots\!79}{71\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{19\!\cdots\!42}{71\!\cdots\!93}a^{23}+\frac{76\!\cdots\!00}{71\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{91\!\cdots\!93}{71\!\cdots\!93}a^{21}-\frac{32\!\cdots\!41}{71\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{66\!\cdots\!39}{71\!\cdots\!93}a^{19}+\frac{77\!\cdots\!67}{71\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{21\!\cdots\!05}{71\!\cdots\!93}a^{17}-\frac{99\!\cdots\!37}{71\!\cdots\!93}a^{16}-\frac{36\!\cdots\!28}{71\!\cdots\!93}a^{15}+\frac{31\!\cdots\!49}{37\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{31\!\cdots\!37}{71\!\cdots\!93}a^{13}-\frac{71\!\cdots\!28}{71\!\cdots\!93}a^{12}-\frac{73\!\cdots\!44}{37\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{41\!\cdots\!13}{37\!\cdots\!47}a^{10}+\frac{27\!\cdots\!29}{71\!\cdots\!93}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!77}{37\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{73\!\cdots\!71}{37\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!77}{37\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{25\!\cdots\!67}{37\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{49\!\cdots\!67}{37\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!11}{37\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{32\!\cdots\!20}{37\!\cdots\!47}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!08}{37\!\cdots\!47}a-\frac{17\!\cdots\!90}{37\!\cdots\!47}$, $\frac{69\!\cdots\!10}{71\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{69\!\cdots\!89}{71\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{13\!\cdots\!12}{71\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{26\!\cdots\!53}{71\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!63}{71\!\cdots\!93}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!40}{71\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{47\!\cdots\!43}{71\!\cdots\!93}a^{20}+\frac{96\!\cdots\!36}{71\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!17}{71\!\cdots\!93}a^{18}-\frac{31\!\cdots\!20}{71\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!44}{71\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{53\!\cdots\!73}{71\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{46\!\cdots\!23}{37\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{46\!\cdots\!06}{71\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!51}{71\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!61}{37\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{59\!\cdots\!52}{37\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{40\!\cdots\!47}{71\!\cdots\!93}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!04}{37\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!00}{37\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{24\!\cdots\!44}{37\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{34\!\cdots\!82}{37\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{71\!\cdots\!17}{37\!\cdots\!47}a^{4}-\frac{23\!\cdots\!30}{37\!\cdots\!47}a^{3}+\frac{47\!\cdots\!09}{37\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{26\!\cdots\!72}{37\!\cdots\!47}a+\frac{25\!\cdots\!04}{37\!\cdots\!47}$, $\frac{18\!\cdots\!66}{43\!\cdots\!37}a^{26}-\frac{19\!\cdots\!27}{43\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{37\!\cdots\!30}{43\!\cdots\!37}a^{24}-\frac{48\!\cdots\!91}{43\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{30\!\cdots\!72}{43\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{33\!\cdots\!12}{43\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{44\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!33}a^{20}-\frac{25\!\cdots\!05}{43\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{30\!\cdots\!48}{43\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{83\!\cdots\!48}{43\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{39\!\cdots\!43}{43\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!42}{43\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!11}{22\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{64\!\cdots\!37}{22\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{28\!\cdots\!25}{22\!\cdots\!23}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!43}{22\!\cdots\!23}a^{10}+\frac{33\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{60\!\cdots\!39}{22\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{30\!\cdots\!21}{22\!\cdots\!23}a^{7}-\frac{61\!\cdots\!65}{22\!\cdots\!23}a^{6}-\frac{42\!\cdots\!03}{12\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{97\!\cdots\!73}{12\!\cdots\!17}a^{4}+\frac{31\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!17}a^{3}-\frac{38\!\cdots\!34}{70\!\cdots\!01}a^{2}-\frac{35\!\cdots\!36}{12\!\cdots\!17}a-\frac{19\!\cdots\!30}{70\!\cdots\!01}$, $\frac{80\!\cdots\!65}{43\!\cdots\!37}a^{26}+\frac{91\!\cdots\!81}{43\!\cdots\!37}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!73}{43\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{73\!\cdots\!62}{43\!\cdots\!37}a^{23}-\frac{12\!\cdots\!48}{43\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!63}{43\!\cdots\!37}a^{21}+\frac{19\!\cdots\!17}{15\!\cdots\!33}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!50}{43\!\cdots\!37}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!82}{43\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{34\!\cdots\!59}{43\!\cdots\!37}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!49}{43\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{58\!\cdots\!59}{43\!\cdots\!37}a^{15}-\frac{57\!\cdots\!10}{22\!\cdots\!23}a^{14}-\frac{26\!\cdots\!60}{22\!\cdots\!23}a^{13}+\frac{59\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!19}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!70}{22\!\cdots\!23}a^{11}+\frac{52\!\cdots\!54}{22\!\cdots\!23}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!59}{22\!\cdots\!23}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!77}{22\!\cdots\!23}a^{7}+\frac{24\!\cdots\!57}{22\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!22}{12\!\cdots\!17}a^{5}-\frac{40\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!17}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!23}{12\!\cdots\!17}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!84}{70\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!54}{12\!\cdots\!17}a+\frac{83\!\cdots\!04}{70\!\cdots\!01}$, $\frac{13\!\cdots\!79}{43\!\cdots\!37}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!18}{43\!\cdots\!37}a^{25}+\frac{26\!\cdots\!92}{43\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{58\!\cdots\!58}{43\!\cdots\!37}a^{23}-\frac{21\!\cdots\!49}{43\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{25\!\cdots\!98}{43\!\cdots\!37}a^{21}+\frac{31\!\cdots\!05}{15\!\cdots\!33}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!45}{43\!\cdots\!37}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!06}{43\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{60\!\cdots\!42}{43\!\cdots\!37}a^{17}+\frac{27\!\cdots\!86}{43\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!74}{43\!\cdots\!37}a^{15}-\frac{87\!\cdots\!90}{22\!\cdots\!23}a^{14}-\frac{46\!\cdots\!92}{22\!\cdots\!23}a^{13}+\frac{60\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!19}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!25}{22\!\cdots\!23}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!09}{22\!\cdots\!23}a^{10}-\frac{23\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{46\!\cdots\!00}{22\!\cdots\!23}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!67}{22\!\cdots\!23}a^{7}+\frac{46\!\cdots\!53}{22\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{37\!\cdots\!86}{12\!\cdots\!17}a^{5}-\frac{73\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!17}a^{4}-\frac{25\!\cdots\!46}{12\!\cdots\!17}a^{3}+\frac{28\!\cdots\!12}{70\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{27\!\cdots\!92}{12\!\cdots\!17}a+\frac{15\!\cdots\!94}{70\!\cdots\!01}$, $\frac{66\!\cdots\!98}{43\!\cdots\!37}a^{26}+\frac{78\!\cdots\!40}{43\!\cdots\!37}a^{25}+\frac{13\!\cdots\!76}{43\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{29\!\cdots\!63}{43\!\cdots\!37}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!81}{43\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!40}{43\!\cdots\!37}a^{21}+\frac{15\!\cdots\!55}{15\!\cdots\!33}a^{20}+\frac{84\!\cdots\!77}{43\!\cdots\!37}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!32}{43\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{28\!\cdots\!24}{43\!\cdots\!37}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!86}{43\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{48\!\cdots\!54}{43\!\cdots\!37}a^{15}-\frac{48\!\cdots\!44}{22\!\cdots\!23}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!01}{22\!\cdots\!23}a^{13}+\frac{51\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!19}a^{12}+\frac{99\!\cdots\!17}{22\!\cdots\!23}a^{11}+\frac{42\!\cdots\!03}{22\!\cdots\!23}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{19\!\cdots\!16}{22\!\cdots\!23}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!16}{22\!\cdots\!23}a^{7}+\frac{20\!\cdots\!54}{22\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{81\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!17}a^{5}-\frac{32\!\cdots\!21}{12\!\cdots\!17}a^{4}-\frac{91\!\cdots\!14}{12\!\cdots\!17}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!97}{70\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!50}{12\!\cdots\!17}a+\frac{69\!\cdots\!44}{70\!\cdots\!01}$, $\frac{83\!\cdots\!57}{43\!\cdots\!37}a^{26}-\frac{88\!\cdots\!43}{43\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{16\!\cdots\!74}{43\!\cdots\!37}a^{24}-\frac{20\!\cdots\!18}{43\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!64}{43\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!48}{43\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{19\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!33}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!23}{43\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!20}{43\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{36\!\cdots\!42}{43\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!55}{43\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{61\!\cdots\!64}{43\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{57\!\cdots\!95}{22\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{28\!\cdots\!18}{22\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{49\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!83}{22\!\cdots\!23}a^{11}-\frac{63\!\cdots\!61}{22\!\cdots\!23}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!29}{22\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!62}{22\!\cdots\!23}a^{7}-\frac{27\!\cdots\!62}{22\!\cdots\!23}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!90}{12\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{42\!\cdots\!15}{12\!\cdots\!17}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!36}{12\!\cdots\!17}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!75}{70\!\cdots\!01}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!94}{12\!\cdots\!17}a-\frac{87\!\cdots\!13}{70\!\cdots\!01}$, $\frac{83\!\cdots\!57}{43\!\cdots\!37}a^{26}-\frac{88\!\cdots\!43}{43\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{16\!\cdots\!74}{43\!\cdots\!37}a^{24}-\frac{20\!\cdots\!18}{43\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!64}{43\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!48}{43\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{19\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!33}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!23}{43\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!20}{43\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{36\!\cdots\!42}{43\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!55}{43\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{61\!\cdots\!64}{43\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{57\!\cdots\!95}{22\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{28\!\cdots\!18}{22\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{49\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!83}{22\!\cdots\!23}a^{11}-\frac{63\!\cdots\!61}{22\!\cdots\!23}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!29}{22\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!62}{22\!\cdots\!23}a^{7}-\frac{27\!\cdots\!62}{22\!\cdots\!23}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!90}{12\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{42\!\cdots\!15}{12\!\cdots\!17}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!36}{12\!\cdots\!17}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!75}{70\!\cdots\!01}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!94}{12\!\cdots\!17}a-\frac{87\!\cdots\!12}{70\!\cdots\!01}$, $\frac{85\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!87}a^{26}-\frac{94\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!87}a^{25}-\frac{16\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!87}a^{24}-\frac{15\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!87}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!87}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!87}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!26}{19\!\cdots\!57}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!31}{10\!\cdots\!87}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!85}{10\!\cdots\!87}a^{18}+\frac{37\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!87}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!85}{10\!\cdots\!87}a^{16}-\frac{33\!\cdots\!76}{57\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!87}a^{14}+\frac{28\!\cdots\!03}{57\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{53\!\cdots\!86}{33\!\cdots\!69}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!13}{57\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{63\!\cdots\!27}{57\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!30}{33\!\cdots\!69}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!22}{57\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!10}{57\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!22}{30\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{39\!\cdots\!35}{57\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{42\!\cdots\!50}{30\!\cdots\!67}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!44}{30\!\cdots\!67}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!78}{17\!\cdots\!51}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!16}{30\!\cdots\!67}a-\frac{10\!\cdots\!36}{17\!\cdots\!51}$, $\frac{97\!\cdots\!46}{64\!\cdots\!11}a^{26}-\frac{87\!\cdots\!80}{64\!\cdots\!11}a^{25}-\frac{19\!\cdots\!70}{64\!\cdots\!11}a^{24}-\frac{55\!\cdots\!47}{64\!\cdots\!11}a^{23}+\frac{15\!\cdots\!44}{64\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{19\!\cdots\!29}{64\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{39\!\cdots\!26}{37\!\cdots\!83}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!91}{64\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!09}{64\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{45\!\cdots\!13}{64\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!40}{64\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{76\!\cdots\!43}{64\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!12}{64\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{34\!\cdots\!25}{33\!\cdots\!69}a^{13}-\frac{30\!\cdots\!39}{19\!\cdots\!57}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!09}{33\!\cdots\!69}a^{11}-\frac{50\!\cdots\!35}{17\!\cdots\!51}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!40}{19\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{35\!\cdots\!89}{33\!\cdots\!69}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!88}{33\!\cdots\!69}a^{7}-\frac{35\!\cdots\!36}{33\!\cdots\!69}a^{6}-\frac{75\!\cdots\!54}{33\!\cdots\!69}a^{5}+\frac{53\!\cdots\!95}{17\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!52}{17\!\cdots\!51}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{23\!\cdots\!84}{17\!\cdots\!51}a-\frac{14\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!03}$, $\frac{29\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!87}a^{26}+\frac{32\!\cdots\!26}{10\!\cdots\!87}a^{25}+\frac{58\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!87}a^{24}+\frac{59\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!87}a^{23}-\frac{47\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!87}a^{22}-\frac{51\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!87}a^{21}+\frac{69\!\cdots\!25}{37\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{38\!\cdots\!86}{10\!\cdots\!87}a^{19}-\frac{48\!\cdots\!36}{10\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{62\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!87}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!87}a^{15}-\frac{38\!\cdots\!25}{10\!\cdots\!87}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!71}{57\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!07}{33\!\cdots\!69}a^{12}+\frac{44\!\cdots\!74}{57\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{21\!\cdots\!16}{57\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{51\!\cdots\!41}{33\!\cdots\!69}a^{9}-\frac{93\!\cdots\!20}{57\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{48\!\cdots\!27}{57\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{95\!\cdots\!60}{57\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!40}{57\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!03}{30\!\cdots\!67}a^{4}-\frac{48\!\cdots\!02}{30\!\cdots\!67}a^{3}+\frac{59\!\cdots\!42}{17\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{54\!\cdots\!05}{30\!\cdots\!67}a+\frac{30\!\cdots\!54}{17\!\cdots\!51}$, $\frac{66\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!87}a^{26}+\frac{57\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!87}a^{25}+\frac{13\!\cdots\!97}{10\!\cdots\!87}a^{24}+\frac{40\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!87}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!87}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!86}{10\!\cdots\!87}a^{21}+\frac{15\!\cdots\!74}{37\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{96\!\cdots\!74}{10\!\cdots\!87}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!58}{10\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{31\!\cdots\!84}{10\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!69}{10\!\cdots\!87}a^{16}+\frac{51\!\cdots\!05}{10\!\cdots\!87}a^{15}-\frac{77\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!87}a^{14}-\frac{23\!\cdots\!42}{57\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!08}{33\!\cdots\!69}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!80}{57\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{69\!\cdots\!30}{57\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!97}{33\!\cdots\!69}a^{9}-\frac{25\!\cdots\!73}{57\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{71\!\cdots\!18}{57\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{24\!\cdots\!95}{57\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{66\!\cdots\!19}{57\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{34\!\cdots\!95}{30\!\cdots\!67}a^{4}-\frac{17\!\cdots\!84}{30\!\cdots\!67}a^{3}+\frac{72\!\cdots\!20}{17\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!05}{30\!\cdots\!67}a+\frac{14\!\cdots\!66}{17\!\cdots\!51}$, $\frac{20\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!87}a^{26}+\frac{21\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!87}a^{25}+\frac{39\!\cdots\!14}{10\!\cdots\!87}a^{24}+\frac{46\!\cdots\!84}{10\!\cdots\!87}a^{23}-\frac{32\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!87}a^{22}-\frac{36\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!87}a^{21}+\frac{48\!\cdots\!88}{37\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{26\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!87}a^{19}-\frac{33\!\cdots\!14}{10\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{89\!\cdots\!45}{10\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{43\!\cdots\!58}{10\!\cdots\!87}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!87}a^{15}-\frac{26\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!87}a^{14}-\frac{69\!\cdots\!82}{57\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!41}{33\!\cdots\!69}a^{12}+\frac{30\!\cdots\!19}{57\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!61}{57\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{35\!\cdots\!14}{33\!\cdots\!69}a^{9}-\frac{64\!\cdots\!65}{57\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{31\!\cdots\!86}{57\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{66\!\cdots\!27}{57\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{93\!\cdots\!18}{57\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!79}{30\!\cdots\!67}a^{4}-\frac{35\!\cdots\!39}{30\!\cdots\!67}a^{3}+\frac{38\!\cdots\!45}{17\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{39\!\cdots\!12}{30\!\cdots\!67}a+\frac{23\!\cdots\!27}{17\!\cdots\!51}$, $\frac{12\!\cdots\!26}{10\!\cdots\!87}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!87}a^{25}+\frac{24\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!87}a^{24}+\frac{29\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!87}a^{23}-\frac{20\!\cdots\!55}{10\!\cdots\!87}a^{22}-\frac{22\!\cdots\!85}{10\!\cdots\!87}a^{21}+\frac{29\!\cdots\!73}{37\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!87}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{55\!\cdots\!78}{10\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{26\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!87}a^{16}+\frac{93\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!87}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!87}a^{14}-\frac{42\!\cdots\!18}{57\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{74\!\cdots\!14}{33\!\cdots\!69}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!48}{57\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{96\!\cdots\!43}{57\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!07}{33\!\cdots\!69}a^{9}-\frac{40\!\cdots\!73}{57\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!73}{57\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{41\!\cdots\!25}{57\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{54\!\cdots\!64}{57\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{64\!\cdots\!70}{30\!\cdots\!67}a^{4}-\frac{21\!\cdots\!99}{30\!\cdots\!67}a^{3}+\frac{24\!\cdots\!25}{17\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!33}{30\!\cdots\!67}a+\frac{13\!\cdots\!65}{17\!\cdots\!51}$, $\frac{56\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!87}a^{26}-\frac{36\!\cdots\!87}{10\!\cdots\!87}a^{25}-\frac{58\!\cdots\!33}{57\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{60\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!87}a^{23}+\frac{90\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!87}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!87}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!11}{37\!\cdots\!83}a^{20}-\frac{91\!\cdots\!48}{10\!\cdots\!87}a^{19}+\frac{89\!\cdots\!71}{10\!\cdots\!87}a^{18}+\frac{28\!\cdots\!48}{10\!\cdots\!87}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!87}a^{16}-\frac{47\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!87}a^{15}+\frac{57\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!87}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!15}{57\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!33}{33\!\cdots\!69}a^{12}-\frac{89\!\cdots\!48}{57\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{78\!\cdots\!54}{57\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{93\!\cdots\!31}{33\!\cdots\!69}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!11}{57\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{30\!\cdots\!34}{57\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!39}{57\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{91\!\cdots\!88}{57\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{31\!\cdots\!02}{30\!\cdots\!67}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!06}{30\!\cdots\!67}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!62}{17\!\cdots\!51}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!04}{30\!\cdots\!67}a-\frac{18\!\cdots\!59}{17\!\cdots\!51}$, $\frac{86\!\cdots\!38}{10\!\cdots\!87}a^{26}+\frac{96\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!87}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!87}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!87}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!87}a^{22}-\frac{14\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!87}a^{21}+\frac{20\!\cdots\!69}{37\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!86}{10\!\cdots\!87}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!41}{10\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{37\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!87}a^{16}+\frac{63\!\cdots\!48}{10\!\cdots\!87}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!87}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!82}{57\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{58\!\cdots\!09}{33\!\cdots\!69}a^{12}+\frac{67\!\cdots\!25}{30\!\cdots\!67}a^{11}+\frac{32\!\cdots\!68}{30\!\cdots\!67}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!84}{33\!\cdots\!69}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!42}{57\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!80}{57\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{27\!\cdots\!57}{57\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!40}{57\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{43\!\cdots\!57}{30\!\cdots\!67}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!92}{30\!\cdots\!67}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!33}{17\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!50}{30\!\cdots\!67}a+\frac{85\!\cdots\!34}{17\!\cdots\!51}$, $\frac{14\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!87}a^{26}+\frac{15\!\cdots\!47}{10\!\cdots\!87}a^{25}+\frac{27\!\cdots\!54}{10\!\cdots\!87}a^{24}+\frac{20\!\cdots\!54}{10\!\cdots\!87}a^{23}-\frac{22\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!87}a^{22}-\frac{24\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!87}a^{21}+\frac{33\!\cdots\!80}{37\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!87}a^{19}-\frac{23\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{61\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!87}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!87}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!87}a^{14}-\frac{47\!\cdots\!20}{57\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{94\!\cdots\!64}{33\!\cdots\!69}a^{12}+\frac{21\!\cdots\!60}{57\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!00}{57\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!91}{33\!\cdots\!69}a^{9}-\frac{43\!\cdots\!13}{57\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!16}{57\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{44\!\cdots\!30}{57\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{53\!\cdots\!95}{57\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{70\!\cdots\!44}{30\!\cdots\!67}a^{4}-\frac{22\!\cdots\!07}{30\!\cdots\!67}a^{3}+\frac{28\!\cdots\!69}{17\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{25\!\cdots\!53}{30\!\cdots\!67}a+\frac{14\!\cdots\!60}{17\!\cdots\!51}$, $\frac{24\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!87}a^{26}-\frac{26\!\cdots\!80}{10\!\cdots\!87}a^{25}-\frac{47\!\cdots\!65}{10\!\cdots\!87}a^{24}-\frac{50\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!87}a^{23}+\frac{38\!\cdots\!55}{10\!\cdots\!87}a^{22}+\frac{22\!\cdots\!13}{57\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{57\!\cdots\!48}{37\!\cdots\!83}a^{20}-\frac{32\!\cdots\!07}{10\!\cdots\!87}a^{19}+\frac{39\!\cdots\!66}{10\!\cdots\!87}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!65}{10\!\cdots\!87}a^{17}-\frac{51\!\cdots\!54}{10\!\cdots\!87}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!54}{10\!\cdots\!87}a^{15}+\frac{31\!\cdots\!58}{10\!\cdots\!87}a^{14}+\frac{82\!\cdots\!71}{57\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!48}{33\!\cdots\!69}a^{12}-\frac{36\!\cdots\!18}{57\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!87}{57\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{42\!\cdots\!48}{33\!\cdots\!69}a^{9}+\frac{76\!\cdots\!08}{57\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{39\!\cdots\!06}{57\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{78\!\cdots\!13}{57\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{98\!\cdots\!22}{57\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!10}{30\!\cdots\!67}a^{4}+\frac{40\!\cdots\!88}{30\!\cdots\!67}a^{3}-\frac{48\!\cdots\!43}{17\!\cdots\!51}a^{2}-\frac{44\!\cdots\!94}{30\!\cdots\!67}a-\frac{25\!\cdots\!97}{17\!\cdots\!51}$, $\frac{35\!\cdots\!05}{10\!\cdots\!87}a^{26}+\frac{33\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!87}a^{25}+\frac{69\!\cdots\!54}{10\!\cdots\!87}a^{24}+\frac{16\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!87}a^{23}-\frac{56\!\cdots\!14}{10\!\cdots\!87}a^{22}-\frac{69\!\cdots\!04}{10\!\cdots\!87}a^{21}+\frac{83\!\cdots\!77}{37\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{49\!\cdots\!78}{10\!\cdots\!87}a^{19}-\frac{56\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{72\!\cdots\!37}{10\!\cdots\!87}a^{16}+\frac{27\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!87}a^{15}-\frac{42\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!87}a^{14}-\frac{64\!\cdots\!54}{30\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!14}{33\!\cdots\!69}a^{12}+\frac{53\!\cdots\!99}{57\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{33\!\cdots\!20}{57\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{60\!\cdots\!95}{33\!\cdots\!69}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!26}{57\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{44\!\cdots\!70}{57\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!59}{57\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{27\!\cdots\!30}{57\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!83}{30\!\cdots\!67}a^{4}-\frac{82\!\cdots\!03}{30\!\cdots\!67}a^{3}+\frac{50\!\cdots\!16}{17\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{87\!\cdots\!55}{30\!\cdots\!67}a+\frac{63\!\cdots\!90}{17\!\cdots\!51}$, $\frac{16\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!87}a^{26}-\frac{18\!\cdots\!11}{10\!\cdots\!87}a^{25}-\frac{33\!\cdots\!31}{10\!\cdots\!87}a^{24}-\frac{33\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!87}a^{23}+\frac{27\!\cdots\!37}{10\!\cdots\!87}a^{22}+\frac{29\!\cdots\!92}{10\!\cdots\!87}a^{21}-\frac{40\!\cdots\!67}{37\!\cdots\!83}a^{20}-\frac{22\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!87}a^{19}+\frac{27\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!87}a^{18}+\frac{38\!\cdots\!47}{57\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{35\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!87}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!87}a^{15}+\frac{22\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!87}a^{14}+\frac{57\!\cdots\!51}{57\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!66}{33\!\cdots\!69}a^{12}-\frac{25\!\cdots\!73}{57\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!77}{57\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{29\!\cdots\!58}{33\!\cdots\!69}a^{9}+\frac{53\!\cdots\!37}{57\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{27\!\cdots\!23}{57\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{54\!\cdots\!42}{57\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{67\!\cdots\!49}{57\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{86\!\cdots\!25}{30\!\cdots\!67}a^{4}+\frac{27\!\cdots\!16}{30\!\cdots\!67}a^{3}-\frac{34\!\cdots\!74}{17\!\cdots\!51}a^{2}-\frac{30\!\cdots\!67}{30\!\cdots\!67}a-\frac{17\!\cdots\!46}{17\!\cdots\!51}$, $\frac{15\!\cdots\!05}{10\!\cdots\!87}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!78}{10\!\cdots\!87}a^{25}-\frac{30\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!87}a^{24}-\frac{15\!\cdots\!09}{10\!\cdots\!87}a^{23}+\frac{24\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!87}a^{22}+\frac{36\!\cdots\!69}{10\!\cdots\!87}a^{21}-\frac{36\!\cdots\!60}{37\!\cdots\!83}a^{20}-\frac{24\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!87}a^{19}+\frac{24\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!87}a^{18}+\frac{77\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!87}a^{17}-\frac{30\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!87}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!63}{10\!\cdots\!87}a^{15}+\frac{86\!\cdots\!83}{57\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{30\!\cdots\!76}{30\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{96\!\cdots\!36}{33\!\cdots\!69}a^{12}-\frac{24\!\cdots\!60}{57\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!45}{57\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{26\!\cdots\!45}{33\!\cdots\!69}a^{9}+\frac{67\!\cdots\!19}{57\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!10}{57\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{65\!\cdots\!75}{57\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{98\!\cdots\!78}{30\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{98\!\cdots\!28}{30\!\cdots\!67}a^{4}+\frac{47\!\cdots\!48}{30\!\cdots\!67}a^{3}-\frac{36\!\cdots\!47}{17\!\cdots\!51}a^{2}-\frac{46\!\cdots\!66}{30\!\cdots\!67}a-\frac{27\!\cdots\!40}{17\!\cdots\!51}$, $\frac{12\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!87}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!97}{10\!\cdots\!87}a^{25}-\frac{25\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!87}a^{24}-\frac{57\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!87}a^{23}+\frac{20\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!87}a^{22}+\frac{25\!\cdots\!04}{10\!\cdots\!87}a^{21}-\frac{30\!\cdots\!45}{37\!\cdots\!83}a^{20}-\frac{18\!\cdots\!88}{10\!\cdots\!87}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!34}{57\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{58\!\cdots\!36}{10\!\cdots\!87}a^{17}-\frac{26\!\cdots\!65}{10\!\cdots\!87}a^{16}-\frac{98\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!87}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!87}a^{14}+\frac{44\!\cdots\!42}{57\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{50\!\cdots\!56}{33\!\cdots\!69}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!03}{57\!\cdots\!73}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!45}{57\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!95}{33\!\cdots\!69}a^{9}+\frac{45\!\cdots\!09}{57\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!88}{57\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{45\!\cdots\!65}{57\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{93\!\cdots\!63}{57\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{67\!\cdots\!10}{30\!\cdots\!67}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!23}{30\!\cdots\!67}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!10}{17\!\cdots\!51}a^{2}-\frac{30\!\cdots\!68}{30\!\cdots\!67}a-\frac{20\!\cdots\!71}{17\!\cdots\!51}$, $\frac{99\!\cdots\!94}{64\!\cdots\!11}a^{26}+\frac{91\!\cdots\!42}{64\!\cdots\!11}a^{25}+\frac{19\!\cdots\!59}{64\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{52\!\cdots\!32}{64\!\cdots\!11}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!45}{64\!\cdots\!11}a^{22}-\frac{20\!\cdots\!35}{64\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{39\!\cdots\!25}{37\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!19}{64\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!39}{64\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{46\!\cdots\!18}{64\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!63}{64\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{77\!\cdots\!36}{64\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{64\!\cdots\!20}{33\!\cdots\!69}a^{14}-\frac{35\!\cdots\!98}{33\!\cdots\!69}a^{13}+\frac{37\!\cdots\!76}{19\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!06}{33\!\cdots\!69}a^{11}+\frac{93\!\cdots\!80}{33\!\cdots\!69}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!19}{19\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{35\!\cdots\!23}{33\!\cdots\!69}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!28}{33\!\cdots\!69}a^{7}+\frac{35\!\cdots\!86}{33\!\cdots\!69}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!85}{17\!\cdots\!51}a^{5}-\frac{55\!\cdots\!35}{17\!\cdots\!51}a^{4}-\frac{20\!\cdots\!12}{17\!\cdots\!51}a^{3}+\frac{20\!\cdots\!69}{10\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{21\!\cdots\!89}{17\!\cdots\!51}a+\frac{13\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!03}$, $\frac{13\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!87}a^{26}+\frac{15\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!87}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!04}{57\!\cdots\!73}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!87}a^{23}-\frac{21\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!87}a^{22}-\frac{23\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!87}a^{21}+\frac{32\!\cdots\!38}{37\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{17\!\cdots\!47}{10\!\cdots\!87}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{58\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{29\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!87}a^{16}+\frac{99\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!87}a^{15}-\frac{50\!\cdots\!03}{30\!\cdots\!67}a^{14}-\frac{45\!\cdots\!99}{57\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{94\!\cdots\!04}{33\!\cdots\!69}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!86}{30\!\cdots\!67}a^{11}+\frac{94\!\cdots\!70}{57\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{23\!\cdots\!99}{33\!\cdots\!69}a^{9}-\frac{41\!\cdots\!18}{57\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!95}{57\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{43\!\cdots\!53}{57\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!03}{30\!\cdots\!67}a^{5}-\frac{69\!\cdots\!98}{30\!\cdots\!67}a^{4}-\frac{20\!\cdots\!90}{30\!\cdots\!67}a^{3}+\frac{29\!\cdots\!93}{17\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!44}{30\!\cdots\!67}a+\frac{11\!\cdots\!84}{17\!\cdots\!51}$, $\frac{79\!\cdots\!89}{64\!\cdots\!11}a^{26}-\frac{85\!\cdots\!06}{64\!\cdots\!11}a^{25}-\frac{15\!\cdots\!63}{64\!\cdots\!11}a^{24}-\frac{18\!\cdots\!21}{64\!\cdots\!11}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!46}{64\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!44}{64\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{32\!\cdots\!16}{37\!\cdots\!83}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!95}{64\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!04}{64\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{35\!\cdots\!38}{64\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!23}{64\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{59\!\cdots\!33}{64\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{54\!\cdots\!77}{33\!\cdots\!69}a^{14}+\frac{27\!\cdots\!21}{33\!\cdots\!69}a^{13}-\frac{47\!\cdots\!11}{19\!\cdots\!57}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!91}{33\!\cdots\!69}a^{11}-\frac{60\!\cdots\!76}{33\!\cdots\!69}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!54}{19\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!33}{33\!\cdots\!69}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!93}{33\!\cdots\!69}a^{7}-\frac{26\!\cdots\!72}{33\!\cdots\!69}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!26}{17\!\cdots\!51}a^{5}+\frac{40\!\cdots\!84}{17\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!19}{17\!\cdots\!51}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!09}{10\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!44}{17\!\cdots\!51}a-\frac{85\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!03}$, $\frac{28\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!87}a^{26}+\frac{30\!\cdots\!87}{10\!\cdots\!87}a^{25}+\frac{56\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!87}a^{24}+\frac{70\!\cdots\!87}{10\!\cdots\!87}a^{23}-\frac{45\!\cdots\!47}{10\!\cdots\!87}a^{22}-\frac{51\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!87}a^{21}+\frac{67\!\cdots\!01}{37\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{38\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!87}a^{19}-\frac{46\!\cdots\!07}{10\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{60\!\cdots\!92}{10\!\cdots\!87}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!87}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!05}{57\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{97\!\cdots\!07}{57\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!42}{33\!\cdots\!69}a^{12}+\frac{43\!\cdots\!70}{57\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{22\!\cdots\!95}{57\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{50\!\cdots\!17}{33\!\cdots\!69}a^{9}-\frac{91\!\cdots\!19}{57\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{46\!\cdots\!21}{57\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{94\!\cdots\!86}{57\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{64\!\cdots\!99}{30\!\cdots\!67}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!76}{30\!\cdots\!67}a^{4}-\frac{48\!\cdots\!04}{30\!\cdots\!67}a^{3}+\frac{58\!\cdots\!95}{17\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{53\!\cdots\!54}{30\!\cdots\!67}a+\frac{30\!\cdots\!64}{17\!\cdots\!51}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 389272223027587500000 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 389272223027587500000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{4737131966005480104201495460338050600482023844126105114809}}\cr\approx \mathstrut & 0.379555737541892 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_9\wr C_3$ (as 27T434):

A solvable group of order 2187

The 267 conjugacy class representatives for $C_9\wr C_3$

Character table for $C_9\wr C_3$

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{9})^+\), 9.9.50489025546969.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Sibling fields

Degree 27 siblings:	data not computed
Minimal sibling:	27.27.278924508041662122046672329971307261712894173849.3

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	$27$	R	$27$	${\href{/padicField/7.3.0.1}{3} }^{9}$	${\href{/padicField/11.9.0.1}{9} }^{3}$	$27$	${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/padicField/17.3.0.1}{3} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/17.1.0.1}{1} }^{9}$	R	$27$	$27$	${\href{/padicField/31.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/37.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{3}$	$27$	$27$	$27$	${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/padicField/53.3.0.1}{3} }^{6}$	$27$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(3\)		Deg $27$	$27$	$1$	$78$
\(19\)	19.9.0.1	$x^{9} + 11 x^{3} + 14 x^{2} + 16 x + 17$	$1$	$9$	$0$	$C_9$	$[\ ]^{9}$
	19.9.8.2	$x^{9} + 57$	$9$	$1$	$8$	$C_9$	$[\ ]_{9}$
	19.9.8.8	$x^{9} + 19$	$9$	$1$	$8$	$C_9$	$[\ ]_{9}$