↑

Properties

Label 27.27.4310644515...3561.1
Degree $27$
Signature $[27, 0]$
Discriminant $811^{26}$
Root discriminant $632.82$
Ramified prime $811$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{27}$ (as 27T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-21768517978327, -1080339624346363, -1068842915605065, 3613695941313439, 1730205865206149, -3102106712635726, -1030181727594079, 1232012669973146, 315391810879847, -278381781984279, -56708916711397, 39482488248952, 6382397987484, -3699437470708, -462871071073, 234561491462, 21752982180, -10104781105, -652242171, 291724639, 11987778, -5461513, -125051, 62487, 631, -390, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - x^26 - 390*x^25 + 631*x^24 + 62487*x^23 - 125051*x^22 - 5461513*x^21 + 11987778*x^20 + 291724639*x^19 - 652242171*x^18 - 10104781105*x^17 + 21752982180*x^16 + 234561491462*x^15 - 462871071073*x^14 - 3699437470708*x^13 + 6382397987484*x^12 + 39482488248952*x^11 - 56708916711397*x^10 - 278381781984279*x^9 + 315391810879847*x^8 + 1232012669973146*x^7 - 1030181727594079*x^6 - 3102106712635726*x^5 + 1730205865206149*x^4 + 3613695941313439*x^3 - 1068842915605065*x^2 - 1080339624346363*x - 21768517978327)
 
gp: K = bnfinit(x^27 - x^26 - 390*x^25 + 631*x^24 + 62487*x^23 - 125051*x^22 - 5461513*x^21 + 11987778*x^20 + 291724639*x^19 - 652242171*x^18 - 10104781105*x^17 + 21752982180*x^16 + 234561491462*x^15 - 462871071073*x^14 - 3699437470708*x^13 + 6382397987484*x^12 + 39482488248952*x^11 - 56708916711397*x^10 - 278381781984279*x^9 + 315391810879847*x^8 + 1232012669973146*x^7 - 1030181727594079*x^6 - 3102106712635726*x^5 + 1730205865206149*x^4 + 3613695941313439*x^3 - 1068842915605065*x^2 - 1080339624346363*x - 21768517978327, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{27} - x^{26} - 390 x^{25} + 631 x^{24} + 62487 x^{23} - 125051 x^{22} - 5461513 x^{21} + 11987778 x^{20} + 291724639 x^{19} - 652242171 x^{18} - 10104781105 x^{17} + 21752982180 x^{16} + 234561491462 x^{15} - 462871071073 x^{14} - 3699437470708 x^{13} + 6382397987484 x^{12} + 39482488248952 x^{11} - 56708916711397 x^{10} - 278381781984279 x^{9} + 315391810879847 x^{8} + 1232012669973146 x^{7} - 1030181727594079 x^{6} - 3102106712635726 x^{5} + 1730205865206149 x^{4} + 3613695941313439 x^{3} - 1068842915605065 x^{2} - 1080339624346363 x - 21768517978327 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $27$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[27, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(4310644515294872927421140184636954783440245428743294849809208125862657353561=811^{26}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $632.82$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $811$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(811\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{811}(1,·)$, $\chi_{811}(130,·)$, $\chi_{811}(587,·)$, $\chi_{811}(69,·)$, $\chi_{811}(7,·)$, $\chi_{811}(137,·)$, $\chi_{811}(779,·)$, $\chi_{811}(76,·)$, $\chi_{811}(706,·)$, $\chi_{811}(483,·)$, $\chi_{811}(532,·)$, $\chi_{811}(213,·)$, $\chi_{811}(343,·)$, $\chi_{811}(796,·)$, $\chi_{811}(378,·)$, $\chi_{811}(480,·)$, $\chi_{811}(225,·)$, $\chi_{811}(482,·)$, $\chi_{811}(99,·)$, $\chi_{811}(680,·)$, $\chi_{811}(49,·)$, $\chi_{811}(116,·)$, $\chi_{811}(693,·)$, $\chi_{811}(54,·)$, $\chi_{811}(148,·)$, $\chi_{811}(705,·)$, $\chi_{811}(764,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $\frac{1}{131} a^{24} - \frac{4}{131} a^{23} + \frac{65}{131} a^{22} + \frac{54}{131} a^{21} + \frac{17}{131} a^{20} + \frac{43}{131} a^{19} - \frac{60}{131} a^{18} - \frac{10}{131} a^{17} + \frac{30}{131} a^{16} - \frac{2}{131} a^{15} - \frac{31}{131} a^{14} + \frac{46}{131} a^{13} + \frac{32}{131} a^{12} + \frac{18}{131} a^{11} + \frac{61}{131} a^{10} + \frac{42}{131} a^{9} - \frac{46}{131} a^{8} + \frac{27}{131} a^{7} + \frac{15}{131} a^{6} - \frac{59}{131} a^{5} - \frac{55}{131} a^{4} - \frac{2}{131} a^{3} + \frac{27}{131} a^{2} + \frac{41}{131} a + \frac{12}{131}$, $\frac{1}{131} a^{25} + \frac{49}{131} a^{23} + \frac{52}{131} a^{22} - \frac{29}{131} a^{21} - \frac{20}{131} a^{20} - \frac{19}{131} a^{19} + \frac{12}{131} a^{18} - \frac{10}{131} a^{17} - \frac{13}{131} a^{16} - \frac{39}{131} a^{15} + \frac{53}{131} a^{14} - \frac{46}{131} a^{13} + \frac{15}{131} a^{12} + \frac{2}{131} a^{11} + \frac{24}{131} a^{10} - \frac{9}{131} a^{9} - \frac{26}{131} a^{8} - \frac{8}{131} a^{7} + \frac{1}{131} a^{6} - \frac{29}{131} a^{5} + \frac{40}{131} a^{4} + \frac{19}{131} a^{3} + \frac{18}{131} a^{2} + \frac{45}{131} a + \frac{48}{131}$, $\frac{1}{5625729385025743049779159206557559368425495397429845168675553760105220886854868297306122643157761580728135868638014328474912444185588883276717379241674227580408281596680020780952545965601} a^{26} - \frac{15211311426095339546838162182382583643248833677739590866103560033460360207565587371186109698304572404798217477272920221307780109588214613944852040320444087427495222600677609515651770625}{5625729385025743049779159206557559368425495397429845168675553760105220886854868297306122643157761580728135868638014328474912444185588883276717379241674227580408281596680020780952545965601} a^{25} + \frac{7099430168700151239794351783009132575442152493560306824152132685109810323417904500543303910506675073606936650177335836907600056279582425030929873559325540746269128865199446019874905647}{5625729385025743049779159206557559368425495397429845168675553760105220886854868297306122643157761580728135868638014328474912444185588883276717379241674227580408281596680020780952545965601} a^{24} - \frac{191398744128551021298700653138266788590428695565510641353745797210132732921144496256262678270839282009929244460929168097753578435983387337557123629882972162340969055546385384378599599204}{5625729385025743049779159206557559368425495397429845168675553760105220886854868297306122643157761580728135868638014328474912444185588883276717379241674227580408281596680020780952545965601} a^{23} + \frac{1365090732241999860789367996736020485929499723559473121573511248062799389901247717135121356480562101291079641189003569139915302984175578303803979137564270821757115035681625516035505196271}{5625729385025743049779159206557559368425495397429845168675553760105220886854868297306122643157761580728135868638014328474912444185588883276717379241674227580408281596680020780952545965601} a^{22} - \frac{863037809961867990089928989172964146242525703495070252883634028343522202480890984163049249974096105618344930658992658273389636128140756221658778254841742700375888852072383242078550944697}{5625729385025743049779159206557559368425495397429845168675553760105220886854868297306122643157761580728135868638014328474912444185588883276717379241674227580408281596680020780952545965601} a^{21} + \frac{1709394720131643961435092513043096274497696369953870119984243457111333455729539212367000576333290771385816787382854966111896791239941326168754764085668156138614698731046375186305152505410}{5625729385025743049779159206557559368425495397429845168675553760105220886854868297306122643157761580728135868638014328474912444185588883276717379241674227580408281596680020780952545965601} a^{20} - \frac{1420772552853128689378481617032510942567979390785827542889349218979788929454574788320894707574248652234106490645987711833157182436204471100674863737612442862918362953108413013220041211803}{5625729385025743049779159206557559368425495397429845168675553760105220886854868297306122643157761580728135868638014328474912444185588883276717379241674227580408281596680020780952545965601} a^{19} - \frac{1600231102576354441460535478215279289155323055579868002135370873730425676120564595475438263429407788979465886194238435883746683216426666646950275087889723428666288839865203846006858860973}{5625729385025743049779159206557559368425495397429845168675553760105220886854868297306122643157761580728135868638014328474912444185588883276717379241674227580408281596680020780952545965601} a^{18} - \frac{2528729999964985137452981300316220776608350440989836530788521884627235142735565351644506778141187675506455443382581423488269357200114941024532036738530407818091224061344571604199508787580}{5625729385025743049779159206557559368425495397429845168675553760105220886854868297306122643157761580728135868638014328474912444185588883276717379241674227580408281596680020780952545965601} a^{17} - \frac{64641893079606033394757883438407248367297053470790006182256084046872154503281103005782927634549348562855970631437091648780640088709928662738108218444171517439197815221159451887302120366}{5625729385025743049779159206557559368425495397429845168675553760105220886854868297306122643157761580728135868638014328474912444185588883276717379241674227580408281596680020780952545965601} a^{16} - \frac{712071508780580190118739263653835858236271595920462743640508024325648398208067569926356505444873513029717879825293572572614421607736795151559846430798643118461250930751316442582963788926}{5625729385025743049779159206557559368425495397429845168675553760105220886854868297306122643157761580728135868638014328474912444185588883276717379241674227580408281596680020780952545965601} a^{15} - \frac{1549990235896296713390401855684273477986717735539462090629496311567974414218478215687389520309733231823788910027850857693501649608139897788328755011701716906650624014651427725804552164340}{5625729385025743049779159206557559368425495397429845168675553760105220886854868297306122643157761580728135868638014328474912444185588883276717379241674227580408281596680020780952545965601} a^{14} - \frac{2573980436875860266362466583597382837365574262778459938507838145678217859721859819137737997890939263538105601440621947811481019009134408563964256677806430518207319449445484684044706183808}{5625729385025743049779159206557559368425495397429845168675553760105220886854868297306122643157761580728135868638014328474912444185588883276717379241674227580408281596680020780952545965601} a^{13} + \frac{161727788583161941171056485912367288858232279649846455745887447315980344906962433097238187186024103167201317239142024870458779818641920261268476323481007947681851898136167118408159031443}{5625729385025743049779159206557559368425495397429845168675553760105220886854868297306122643157761580728135868638014328474912444185588883276717379241674227580408281596680020780952545965601} a^{12} - \frac{1063253315750370733174658894248567290158816901624593926619111462663870213663453629209394876947560556334969707741022844174722814256763471189220522925473752792887588267170888050332003759760}{5625729385025743049779159206557559368425495397429845168675553760105220886854868297306122643157761580728135868638014328474912444185588883276717379241674227580408281596680020780952545965601} a^{11} + \frac{178772873238552029642116146153935310682548202924656572751340030489865178660221236237706183537261982369616885374410537324267495445606299320696526320640484077086172579336265149548609664708}{5625729385025743049779159206557559368425495397429845168675553760105220886854868297306122643157761580728135868638014328474912444185588883276717379241674227580408281596680020780952545965601} a^{10} - \frac{303401341422799558090458992281449573269936444432492958003182802463424950179194987449614181710778560399912228503786622787700219796268594338887302823522025858727980458665535709086504928984}{5625729385025743049779159206557559368425495397429845168675553760105220886854868297306122643157761580728135868638014328474912444185588883276717379241674227580408281596680020780952545965601} a^{9} + \frac{214845869641638697651376840773655518848585756376216665151284542377789290648025449264943576128125983054410338054626487996818266263432597636563887225576201499129565161999301658303366813206}{5625729385025743049779159206557559368425495397429845168675553760105220886854868297306122643157761580728135868638014328474912444185588883276717379241674227580408281596680020780952545965601} a^{8} - \frac{1430641012467579177959680168618377963798993315966378871496291222671861473736498048903185120265210080676829192159913330660345668138811553159185788050816236711196359151398581839002839752377}{5625729385025743049779159206557559368425495397429845168675553760105220886854868297306122643157761580728135868638014328474912444185588883276717379241674227580408281596680020780952545965601} a^{7} + \frac{2021211367995755570957987489285755623620161039076902354650036910862937095921695816100399413044714532570601114148029947593770186500940365564282045226540468966097569958553504819684720451797}{5625729385025743049779159206557559368425495397429845168675553760105220886854868297306122643157761580728135868638014328474912444185588883276717379241674227580408281596680020780952545965601} a^{6} - \frac{848741983393115785892413080957467925440812330303892173721238053583407032706588518537312969706869142199176872342801001851419694798793994963680892033045943355530584016462853314504699642722}{5625729385025743049779159206557559368425495397429845168675553760105220886854868297306122643157761580728135868638014328474912444185588883276717379241674227580408281596680020780952545965601} a^{5} - \frac{1987837847546682455838718247747022855217470405524498698679233684036259641217299495249182779014134286858913861720323385567271548900862944982258588362315350292959267667402563546053265641686}{5625729385025743049779159206557559368425495397429845168675553760105220886854868297306122643157761580728135868638014328474912444185588883276717379241674227580408281596680020780952545965601} a^{4} - \frac{2563881231321082864283877628225114614899999737413220293979100289266276625883083524583331816823590513062361967400786217483286808057695667014069146927085631385900896196807878945217205504709}{5625729385025743049779159206557559368425495397429845168675553760105220886854868297306122643157761580728135868638014328474912444185588883276717379241674227580408281596680020780952545965601} a^{3} + \frac{2269648626412753950728331905018367590119708800827514830675235639971710676642712477256880142407865943109275015274151694339552146568960182073930781989288365633958035989326087276874645088451}{5625729385025743049779159206557559368425495397429845168675553760105220886854868297306122643157761580728135868638014328474912444185588883276717379241674227580408281596680020780952545965601} a^{2} - \frac{2000277617355127668430063222809746577188203721273839949877783407728592807798959574823522578884598509753675135782934225446571570283544955643377986911895695084852227067711172932682373297003}{5625729385025743049779159206557559368425495397429845168675553760105220886854868297306122643157761580728135868638014328474912444185588883276717379241674227580408281596680020780952545965601} a + \frac{1802832935500561862621135603362648080307211243857788832615236578403631920435418869969994286320198784116818295482470129387364622820454757342467829673377338876625918020579704183521935904505}{5625729385025743049779159206557559368425495397429845168675553760105220886854868297306122643157761580728135868638014328474912444185588883276717379241674227580408281596680020780952545965601}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $26$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{27}$ (as 27T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 27
The 27 conjugacy class representatives for $C_{27}$
Character table for $C_{27}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.657721.1, 9.9.187140089864757577373281.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.9.0.1}{9} }^{3}$ $27$ $27$ ${\href{/LocalNumberField/7.9.0.1}{9} }^{3}$ $27$ $27$ $27$ ${\href{/LocalNumberField/19.9.0.1}{9} }^{3}$ $27$ ${\href{/LocalNumberField/29.9.0.1}{9} }^{3}$ $27$ ${\href{/LocalNumberField/37.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/41.3.0.1}{3} }^{9}$ $27$ ${\href{/LocalNumberField/47.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/53.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/59.3.0.1}{3} }^{9}$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
811Data not computed