Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 117*x^25 - 144*x^24 + 5454*x^23 + 12321*x^22 - 127080*x^21 - 415908*x^20 + 1499193*x^19 + 7118643*x^18 - 6881679*x^17 - 66517326*x^16 - 25844319*x^15 + 338054688*x^14 + 452971134*x^13 - 806211819*x^12 - 2101675842*x^11 + 72795897*x^10 + 4152980271*x^9 + 3389225814*x^8 - 2166315039*x^7 - 4727639052*x^6 - 2245523607*x^5 + 227410506*x^4 + 469499994*x^3 + 82966464*x^2 - 18766224*x - 4931621)
gp: K = bnfinit(y^27 - 117*y^25 - 144*y^24 + 5454*y^23 + 12321*y^22 - 127080*y^21 - 415908*y^20 + 1499193*y^19 + 7118643*y^18 - 6881679*y^17 - 66517326*y^16 - 25844319*y^15 + 338054688*y^14 + 452971134*y^13 - 806211819*y^12 - 2101675842*y^11 + 72795897*y^10 + 4152980271*y^9 + 3389225814*y^8 - 2166315039*y^7 - 4727639052*y^6 - 2245523607*y^5 + 227410506*y^4 + 469499994*y^3 + 82966464*y^2 - 18766224*y - 4931621, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^27 - 117*x^25 - 144*x^24 + 5454*x^23 + 12321*x^22 - 127080*x^21 - 415908*x^20 + 1499193*x^19 + 7118643*x^18 - 6881679*x^17 - 66517326*x^16 - 25844319*x^15 + 338054688*x^14 + 452971134*x^13 - 806211819*x^12 - 2101675842*x^11 + 72795897*x^10 + 4152980271*x^9 + 3389225814*x^8 - 2166315039*x^7 - 4727639052*x^6 - 2245523607*x^5 + 227410506*x^4 + 469499994*x^3 + 82966464*x^2 - 18766224*x - 4931621);
oscar: Qx, x = polynomial_ring(QQ); K, a = number_field(x^27 - 117*x^25 - 144*x^24 + 5454*x^23 + 12321*x^22 - 127080*x^21 - 415908*x^20 + 1499193*x^19 + 7118643*x^18 - 6881679*x^17 - 66517326*x^16 - 25844319*x^15 + 338054688*x^14 + 452971134*x^13 - 806211819*x^12 - 2101675842*x^11 + 72795897*x^10 + 4152980271*x^9 + 3389225814*x^8 - 2166315039*x^7 - 4727639052*x^6 - 2245523607*x^5 + 227410506*x^4 + 469499994*x^3 + 82966464*x^2 - 18766224*x - 4931621)
\( x^{27} - 117 x^{25} - 144 x^{24} + 5454 x^{23} + 12321 x^{22} - 127080 x^{21} - 415908 x^{20} + \cdots - 4931621 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $27$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[27, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(4038857868055272156360487190465637072631786847797281\)
\(\medspace = 3^{76}\cdot 19^{12}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(81.53\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | not computed | ||
| Ramified primes: |
\(3\), \(19\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $3$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $\frac{1}{3}a^{14}-\frac{1}{3}a^{13}+\frac{1}{3}a^{12}+\frac{1}{3}a^{11}-\frac{1}{3}a^{10}+\frac{1}{3}a^{9}+\frac{1}{3}a^{5}-\frac{1}{3}a^{4}+\frac{1}{3}a^{3}+\frac{1}{3}a^{2}-\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{3}a^{15}-\frac{1}{3}a^{12}+\frac{1}{3}a^{9}+\frac{1}{3}a^{6}-\frac{1}{3}a^{3}+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{3}a^{16}-\frac{1}{3}a^{13}+\frac{1}{3}a^{10}+\frac{1}{3}a^{7}-\frac{1}{3}a^{4}+\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{3}a^{17}-\frac{1}{3}a^{13}+\frac{1}{3}a^{12}-\frac{1}{3}a^{11}-\frac{1}{3}a^{10}+\frac{1}{3}a^{9}+\frac{1}{3}a^{8}-\frac{1}{3}a^{4}+\frac{1}{3}a^{3}-\frac{1}{3}a^{2}-\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{3}a^{18}-\frac{1}{3}a^{9}+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{3}a^{19}-\frac{1}{3}a^{10}+\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{57}a^{20}+\frac{3}{19}a^{19}+\frac{2}{57}a^{18}+\frac{7}{57}a^{17}+\frac{7}{57}a^{16}-\frac{4}{57}a^{15}-\frac{2}{19}a^{14}-\frac{14}{57}a^{13}+\frac{5}{57}a^{12}-\frac{23}{57}a^{11}+\frac{3}{19}a^{10}+\frac{7}{57}a^{9}+\frac{1}{3}a^{8}+\frac{1}{3}a^{7}-\frac{1}{3}a^{6}+\frac{1}{3}a^{4}-\frac{1}{3}a^{3}-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{57}a^{21}-\frac{1}{19}a^{19}+\frac{8}{57}a^{18}+\frac{1}{57}a^{17}+\frac{3}{19}a^{16}-\frac{8}{57}a^{15}+\frac{2}{57}a^{14}-\frac{7}{19}a^{13}-\frac{11}{57}a^{12}+\frac{7}{57}a^{11}+\frac{7}{19}a^{10}-\frac{25}{57}a^{9}+\frac{1}{3}a^{8}+\frac{1}{3}a^{6}-\frac{1}{3}a^{5}+\frac{1}{3}a^{2}$, $\frac{1}{57}a^{22}-\frac{1}{19}a^{19}+\frac{7}{57}a^{18}-\frac{8}{57}a^{17}-\frac{2}{19}a^{16}+\frac{3}{19}a^{15}-\frac{1}{57}a^{14}+\frac{23}{57}a^{13}+\frac{1}{19}a^{12}+\frac{28}{57}a^{11}+\frac{7}{19}a^{10}+\frac{2}{57}a^{9}+\frac{1}{3}a^{8}-\frac{1}{3}a^{5}+\frac{1}{3}a^{4}+\frac{1}{3}a^{2}+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{57}a^{23}-\frac{4}{57}a^{19}-\frac{2}{57}a^{18}-\frac{4}{57}a^{17}-\frac{8}{57}a^{16}+\frac{2}{19}a^{15}+\frac{5}{57}a^{14}+\frac{6}{19}a^{13}+\frac{5}{57}a^{12}+\frac{28}{57}a^{11}-\frac{3}{19}a^{10}-\frac{17}{57}a^{9}-\frac{1}{3}a^{8}+\frac{1}{3}a^{7}+\frac{1}{3}a^{5}-\frac{1}{3}a^{3}+\frac{1}{3}a^{2}+\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{1083}a^{24}-\frac{1}{361}a^{22}+\frac{8}{1083}a^{21}+\frac{1}{1083}a^{20}-\frac{10}{1083}a^{19}+\frac{125}{1083}a^{18}+\frac{7}{361}a^{17}+\frac{17}{1083}a^{16}+\frac{46}{1083}a^{15}+\frac{121}{1083}a^{14}+\frac{45}{361}a^{13}-\frac{135}{361}a^{12}+\frac{5}{19}a^{11}+\frac{23}{57}a^{10}-\frac{26}{57}a^{9}+\frac{8}{19}a^{8}-\frac{25}{57}a^{7}+\frac{3}{19}a^{6}+\frac{22}{57}a^{5}+\frac{2}{19}a^{4}-\frac{20}{57}a^{3}-\frac{1}{3}a^{2}-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{1083}a^{25}-\frac{1}{361}a^{23}+\frac{8}{1083}a^{22}+\frac{1}{1083}a^{21}+\frac{3}{361}a^{20}-\frac{65}{1083}a^{19}+\frac{59}{1083}a^{18}+\frac{50}{361}a^{17}+\frac{179}{1083}a^{16}+\frac{15}{361}a^{15}+\frac{7}{361}a^{14}+\frac{412}{1083}a^{13}+\frac{20}{57}a^{12}+\frac{2}{57}a^{10}-\frac{26}{57}a^{9}-\frac{2}{19}a^{8}+\frac{28}{57}a^{7}+\frac{1}{19}a^{6}+\frac{2}{19}a^{5}-\frac{1}{57}a^{4}+\frac{1}{3}a^{3}+\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{19\!\cdots\!49}a^{26}+\frac{65\!\cdots\!60}{66\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{68\!\cdots\!25}{19\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{15\!\cdots\!99}{19\!\cdots\!49}a^{23}-\frac{39\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!71}a^{22}+\frac{43\!\cdots\!06}{66\!\cdots\!83}a^{21}+\frac{17\!\cdots\!77}{19\!\cdots\!49}a^{20}+\frac{70\!\cdots\!10}{66\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{53\!\cdots\!21}{66\!\cdots\!83}a^{18}+\frac{84\!\cdots\!89}{19\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{87\!\cdots\!55}{19\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{30\!\cdots\!18}{19\!\cdots\!49}a^{15}+\frac{27\!\cdots\!12}{19\!\cdots\!49}a^{14}+\frac{64\!\cdots\!34}{19\!\cdots\!49}a^{13}-\frac{41\!\cdots\!23}{19\!\cdots\!49}a^{12}+\frac{93\!\cdots\!20}{34\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{38\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!71}a^{10}-\frac{47\!\cdots\!64}{34\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{30\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!71}a^{8}+\frac{27\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!71}a^{7}+\frac{84\!\cdots\!68}{34\!\cdots\!57}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!70}{34\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{33\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!71}a^{4}-\frac{42\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!71}a^{3}+\frac{26\!\cdots\!84}{54\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{34\!\cdots\!82}{54\!\cdots\!09}a-\frac{68\!\cdots\!30}{18\!\cdots\!03}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $26$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{12\!\cdots\!58}{20\!\cdots\!57}a^{26}+\frac{19\!\cdots\!31}{20\!\cdots\!57}a^{25}+\frac{41\!\cdots\!08}{60\!\cdots\!71}a^{24}-\frac{50\!\cdots\!27}{20\!\cdots\!57}a^{23}-\frac{65\!\cdots\!06}{20\!\cdots\!57}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!26}{60\!\cdots\!71}a^{21}+\frac{16\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{24\!\cdots\!97}{20\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!35}{20\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{50\!\cdots\!60}{20\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!08}{20\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!41}{60\!\cdots\!71}a^{15}-\frac{55\!\cdots\!36}{20\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{31\!\cdots\!49}{20\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{94\!\cdots\!25}{60\!\cdots\!71}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!97}{20\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{87\!\cdots\!53}{20\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!71}{20\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{39\!\cdots\!47}{10\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{39\!\cdots\!88}{31\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{87\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!03}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!03}a^{4}-\frac{48\!\cdots\!28}{31\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{36\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{61\!\cdots\!46}{10\!\cdots\!03}a+\frac{19\!\cdots\!66}{10\!\cdots\!03}$, $\frac{36\!\cdots\!56}{20\!\cdots\!57}a^{26}+\frac{59\!\cdots\!61}{20\!\cdots\!57}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!78}{60\!\cdots\!71}a^{24}-\frac{15\!\cdots\!83}{20\!\cdots\!57}a^{23}-\frac{19\!\cdots\!74}{20\!\cdots\!57}a^{22}-\frac{39\!\cdots\!99}{60\!\cdots\!71}a^{21}+\frac{48\!\cdots\!70}{20\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{73\!\cdots\!22}{20\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{66\!\cdots\!41}{20\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!41}{20\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{49\!\cdots\!88}{20\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{48\!\cdots\!89}{60\!\cdots\!71}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!12}{20\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{95\!\cdots\!33}{20\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{28\!\cdots\!59}{60\!\cdots\!71}a^{12}+\frac{30\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{26\!\cdots\!79}{20\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{45\!\cdots\!77}{20\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{40\!\cdots\!68}{10\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!54}{31\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{26\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!03}a^{5}+\frac{32\!\cdots\!21}{10\!\cdots\!03}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!77}{31\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!88}{10\!\cdots\!03}a+\frac{58\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!03}$, $\frac{86\!\cdots\!18}{66\!\cdots\!83}a^{26}+\frac{14\!\cdots\!41}{66\!\cdots\!83}a^{25}+\frac{29\!\cdots\!72}{19\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{35\!\cdots\!58}{66\!\cdots\!83}a^{23}-\frac{46\!\cdots\!84}{66\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{93\!\cdots\!69}{19\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{60\!\cdots\!13}{34\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{17\!\cdots\!10}{66\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!79}{66\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{35\!\cdots\!68}{66\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!90}{66\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!98}{19\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{39\!\cdots\!66}{66\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!10}{66\!\cdots\!83}a^{13}-\frac{68\!\cdots\!47}{19\!\cdots\!49}a^{12}+\frac{38\!\cdots\!51}{34\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{33\!\cdots\!04}{34\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{56\!\cdots\!06}{34\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{96\!\cdots\!16}{34\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{27\!\cdots\!80}{34\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{28\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!71}a^{6}+\frac{62\!\cdots\!58}{34\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{75\!\cdots\!50}{34\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{34\!\cdots\!41}{10\!\cdots\!71}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!23}{18\!\cdots\!03}a+\frac{72\!\cdots\!11}{18\!\cdots\!03}$, $\frac{54\!\cdots\!03}{66\!\cdots\!83}a^{26}+\frac{88\!\cdots\!53}{66\!\cdots\!83}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!71}{19\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{22\!\cdots\!49}{66\!\cdots\!83}a^{23}-\frac{29\!\cdots\!87}{66\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{19\!\cdots\!53}{66\!\cdots\!83}a^{21}+\frac{38\!\cdots\!63}{34\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!61}{66\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{29\!\cdots\!01}{19\!\cdots\!49}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!49}{66\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{74\!\cdots\!63}{66\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{72\!\cdots\!29}{19\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!63}{66\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!54}{66\!\cdots\!83}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!72}{66\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!14}{34\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{20\!\cdots\!55}{34\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!78}{10\!\cdots\!71}a^{9}-\frac{61\!\cdots\!82}{34\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{17\!\cdots\!44}{34\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!36}{10\!\cdots\!71}a^{6}+\frac{39\!\cdots\!26}{34\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{46\!\cdots\!04}{34\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{73\!\cdots\!42}{34\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{86\!\cdots\!60}{18\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!46}{18\!\cdots\!03}a+\frac{13\!\cdots\!32}{54\!\cdots\!09}$, $\frac{68\!\cdots\!49}{66\!\cdots\!83}a^{26}+\frac{34\!\cdots\!90}{19\!\cdots\!49}a^{25}+\frac{23\!\cdots\!95}{19\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{31\!\cdots\!09}{66\!\cdots\!83}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!36}{19\!\cdots\!49}a^{22}-\frac{68\!\cdots\!96}{19\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{47\!\cdots\!58}{34\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{39\!\cdots\!87}{19\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{37\!\cdots\!49}{19\!\cdots\!49}a^{18}-\frac{27\!\cdots\!99}{66\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{27\!\cdots\!48}{19\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{89\!\cdots\!48}{19\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{32\!\cdots\!00}{66\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{53\!\cdots\!81}{19\!\cdots\!49}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!61}{66\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{30\!\cdots\!89}{34\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{75\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!71}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!71}a^{9}-\frac{74\!\cdots\!56}{34\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{85\!\cdots\!98}{10\!\cdots\!71}a^{7}+\frac{72\!\cdots\!38}{34\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{48\!\cdots\!30}{34\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!46}{10\!\cdots\!71}a^{4}-\frac{26\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!71}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!07}{18\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{53\!\cdots\!83}{54\!\cdots\!09}a+\frac{55\!\cdots\!34}{18\!\cdots\!03}$, $\frac{16\!\cdots\!01}{66\!\cdots\!83}a^{26}+\frac{77\!\cdots\!59}{19\!\cdots\!49}a^{25}+\frac{54\!\cdots\!50}{19\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{66\!\cdots\!14}{66\!\cdots\!83}a^{23}-\frac{25\!\cdots\!96}{19\!\cdots\!49}a^{22}-\frac{17\!\cdots\!40}{19\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!88}{34\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{96\!\cdots\!06}{19\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{29\!\cdots\!63}{66\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{66\!\cdots\!05}{66\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{65\!\cdots\!27}{19\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!49}{19\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{73\!\cdots\!53}{66\!\cdots\!83}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!17}{19\!\cdots\!49}a^{13}-\frac{42\!\cdots\!50}{66\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{71\!\cdots\!95}{34\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!71}a^{10}-\frac{31\!\cdots\!82}{10\!\cdots\!71}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!71}{34\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!71}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!10}{34\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!32}{34\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{42\!\cdots\!24}{10\!\cdots\!71}a^{4}-\frac{64\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!71}a^{3}-\frac{25\!\cdots\!36}{18\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!15}{54\!\cdots\!09}a+\frac{40\!\cdots\!11}{54\!\cdots\!09}$, $\frac{72\!\cdots\!10}{66\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{35\!\cdots\!08}{19\!\cdots\!49}a^{25}-\frac{82\!\cdots\!02}{66\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{29\!\cdots\!37}{66\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!93}{19\!\cdots\!49}a^{22}+\frac{26\!\cdots\!06}{66\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{50\!\cdots\!65}{34\!\cdots\!57}a^{20}-\frac{43\!\cdots\!58}{19\!\cdots\!49}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!95}{66\!\cdots\!83}a^{18}+\frac{30\!\cdots\!29}{66\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{29\!\cdots\!75}{19\!\cdots\!49}a^{16}-\frac{96\!\cdots\!10}{19\!\cdots\!49}a^{15}+\frac{33\!\cdots\!65}{66\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{57\!\cdots\!00}{19\!\cdots\!49}a^{13}+\frac{57\!\cdots\!88}{19\!\cdots\!49}a^{12}-\frac{32\!\cdots\!05}{34\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{82\!\cdots\!63}{10\!\cdots\!71}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!47}{10\!\cdots\!71}a^{9}+\frac{81\!\cdots\!66}{34\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{68\!\cdots\!19}{10\!\cdots\!71}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!04}{10\!\cdots\!71}a^{6}-\frac{52\!\cdots\!41}{34\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!31}{10\!\cdots\!71}a^{4}+\frac{29\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!71}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!24}{18\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{58\!\cdots\!09}{54\!\cdots\!09}a-\frac{18\!\cdots\!68}{54\!\cdots\!09}$, $\frac{12\!\cdots\!17}{66\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{61\!\cdots\!08}{19\!\cdots\!49}a^{25}-\frac{43\!\cdots\!87}{19\!\cdots\!49}a^{24}+\frac{52\!\cdots\!31}{66\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{20\!\cdots\!28}{19\!\cdots\!49}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!08}{19\!\cdots\!49}a^{21}-\frac{88\!\cdots\!09}{34\!\cdots\!57}a^{20}-\frac{75\!\cdots\!76}{19\!\cdots\!49}a^{19}+\frac{69\!\cdots\!19}{19\!\cdots\!49}a^{18}+\frac{52\!\cdots\!91}{66\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{51\!\cdots\!02}{19\!\cdots\!49}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!93}{19\!\cdots\!49}a^{15}+\frac{58\!\cdots\!00}{66\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{99\!\cdots\!34}{19\!\cdots\!49}a^{13}+\frac{98\!\cdots\!43}{19\!\cdots\!49}a^{12}-\frac{56\!\cdots\!85}{34\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!71}a^{10}+\frac{83\!\cdots\!28}{34\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!18}{34\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!71}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!25}{34\!\cdots\!57}a^{6}-\frac{91\!\cdots\!40}{34\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{32\!\cdots\!21}{10\!\cdots\!71}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!82}{34\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!30}{18\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!48}{54\!\cdots\!09}a-\frac{31\!\cdots\!06}{54\!\cdots\!09}$, $\frac{23\!\cdots\!62}{66\!\cdots\!83}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!99}{19\!\cdots\!49}a^{25}+\frac{80\!\cdots\!45}{19\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{97\!\cdots\!99}{66\!\cdots\!83}a^{23}-\frac{12\!\cdots\!12}{66\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{25\!\cdots\!37}{19\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{94\!\cdots\!21}{19\!\cdots\!49}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!72}{19\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!59}{19\!\cdots\!49}a^{18}-\frac{29\!\cdots\!21}{19\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{96\!\cdots\!04}{19\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{31\!\cdots\!97}{19\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{32\!\cdots\!83}{19\!\cdots\!49}a^{14}-\frac{62\!\cdots\!22}{66\!\cdots\!83}a^{13}-\frac{61\!\cdots\!79}{66\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!59}{34\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{27\!\cdots\!78}{10\!\cdots\!71}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!46}{54\!\cdots\!09}a^{9}-\frac{79\!\cdots\!05}{10\!\cdots\!71}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!71}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!74}{34\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{51\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!71}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!40}{34\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{94\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!71}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!79}{54\!\cdots\!09}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!18}{54\!\cdots\!09}a+\frac{19\!\cdots\!34}{18\!\cdots\!03}$, $\frac{59\!\cdots\!20}{19\!\cdots\!49}a^{26}+\frac{96\!\cdots\!99}{19\!\cdots\!49}a^{25}+\frac{68\!\cdots\!82}{19\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{24\!\cdots\!59}{19\!\cdots\!49}a^{23}-\frac{32\!\cdots\!59}{19\!\cdots\!49}a^{22}-\frac{71\!\cdots\!44}{66\!\cdots\!83}a^{21}+\frac{26\!\cdots\!35}{66\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{39\!\cdots\!71}{66\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!28}{19\!\cdots\!49}a^{18}-\frac{24\!\cdots\!93}{19\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{81\!\cdots\!19}{19\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{88\!\cdots\!39}{66\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{27\!\cdots\!87}{19\!\cdots\!49}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!47}{19\!\cdots\!49}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!25}{19\!\cdots\!49}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!68}{10\!\cdots\!71}a^{11}+\frac{75\!\cdots\!03}{34\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{68\!\cdots\!36}{18\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{22\!\cdots\!27}{34\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!71}a^{7}+\frac{64\!\cdots\!11}{10\!\cdots\!71}a^{6}+\frac{75\!\cdots\!46}{18\!\cdots\!03}a^{5}+\frac{52\!\cdots\!83}{10\!\cdots\!71}a^{4}-\frac{79\!\cdots\!47}{10\!\cdots\!71}a^{3}-\frac{94\!\cdots\!96}{54\!\cdots\!09}a^{2}+\frac{53\!\cdots\!44}{18\!\cdots\!03}a+\frac{50\!\cdots\!28}{54\!\cdots\!09}$, $\frac{31\!\cdots\!07}{66\!\cdots\!83}a^{26}+\frac{15\!\cdots\!76}{19\!\cdots\!49}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!77}{19\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{38\!\cdots\!31}{19\!\cdots\!49}a^{23}-\frac{50\!\cdots\!14}{19\!\cdots\!49}a^{22}-\frac{17\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!71}a^{21}+\frac{41\!\cdots\!59}{66\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!70}{19\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{56\!\cdots\!76}{66\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{39\!\cdots\!98}{19\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{42\!\cdots\!57}{66\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!90}{66\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{43\!\cdots\!28}{19\!\cdots\!49}a^{14}-\frac{24\!\cdots\!96}{19\!\cdots\!49}a^{13}-\frac{44\!\cdots\!91}{34\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{41\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!71}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!12}{34\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{61\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!71}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!71}a^{8}+\frac{28\!\cdots\!36}{10\!\cdots\!71}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!38}{10\!\cdots\!71}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!45}{34\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{28\!\cdots\!48}{34\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{66\!\cdots\!68}{54\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!73}{54\!\cdots\!09}a^{2}+\frac{25\!\cdots\!69}{54\!\cdots\!09}a+\frac{79\!\cdots\!29}{54\!\cdots\!09}$, $\frac{28\!\cdots\!52}{19\!\cdots\!49}a^{26}+\frac{45\!\cdots\!98}{19\!\cdots\!49}a^{25}+\frac{32\!\cdots\!47}{19\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!16}{19\!\cdots\!49}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!28}{19\!\cdots\!49}a^{22}-\frac{35\!\cdots\!99}{66\!\cdots\!83}a^{21}+\frac{19\!\cdots\!66}{10\!\cdots\!71}a^{20}+\frac{57\!\cdots\!31}{19\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{51\!\cdots\!05}{19\!\cdots\!49}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!57}{19\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!49}{66\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{42\!\cdots\!45}{66\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{22\!\cdots\!05}{34\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{75\!\cdots\!10}{19\!\cdots\!49}a^{13}-\frac{45\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!71}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!71}a^{11}+\frac{36\!\cdots\!89}{34\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{62\!\cdots\!09}{34\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!71}{34\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{69\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!71}a^{7}+\frac{31\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!71}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!06}{10\!\cdots\!71}a^{5}+\frac{97\!\cdots\!20}{34\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{20\!\cdots\!51}{54\!\cdots\!09}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!37}{18\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{77\!\cdots\!89}{54\!\cdots\!09}a+\frac{24\!\cdots\!31}{54\!\cdots\!09}$, $\frac{26\!\cdots\!50}{66\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!53}{19\!\cdots\!49}a^{25}-\frac{92\!\cdots\!08}{19\!\cdots\!49}a^{24}+\frac{33\!\cdots\!44}{19\!\cdots\!49}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!58}{66\!\cdots\!83}a^{22}+\frac{28\!\cdots\!76}{19\!\cdots\!49}a^{21}-\frac{35\!\cdots\!50}{66\!\cdots\!83}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!41}{19\!\cdots\!49}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!33}{19\!\cdots\!49}a^{18}+\frac{33\!\cdots\!39}{19\!\cdots\!49}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!29}{19\!\cdots\!49}a^{16}-\frac{35\!\cdots\!76}{19\!\cdots\!49}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!78}{66\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{70\!\cdots\!62}{66\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{70\!\cdots\!98}{66\!\cdots\!83}a^{12}-\frac{35\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!71}a^{11}-\frac{30\!\cdots\!98}{10\!\cdots\!71}a^{10}+\frac{52\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!71}a^{9}+\frac{90\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!71}a^{8}-\frac{25\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!71}a^{7}-\frac{29\!\cdots\!77}{34\!\cdots\!57}a^{6}-\frac{58\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!71}a^{5}-\frac{23\!\cdots\!68}{34\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!71}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!53}{54\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!23}{54\!\cdots\!09}a-\frac{22\!\cdots\!61}{18\!\cdots\!03}$, $\frac{26\!\cdots\!41}{66\!\cdots\!83}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!65}{19\!\cdots\!49}a^{25}+\frac{30\!\cdots\!18}{66\!\cdots\!83}a^{24}-\frac{33\!\cdots\!09}{19\!\cdots\!49}a^{23}-\frac{43\!\cdots\!05}{19\!\cdots\!49}a^{22}-\frac{29\!\cdots\!03}{19\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!55}{19\!\cdots\!49}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!00}{19\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!05}{19\!\cdots\!49}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!14}{66\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!36}{19\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!65}{66\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{37\!\cdots\!62}{19\!\cdots\!49}a^{14}-\frac{21\!\cdots\!36}{19\!\cdots\!49}a^{13}-\frac{72\!\cdots\!00}{66\!\cdots\!83}a^{12}+\frac{36\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!71}a^{11}+\frac{30\!\cdots\!47}{10\!\cdots\!71}a^{10}-\frac{53\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!71}a^{9}-\frac{30\!\cdots\!83}{34\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{82\!\cdots\!74}{34\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{29\!\cdots\!61}{34\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!93}{34\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{74\!\cdots\!80}{10\!\cdots\!71}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!71}a^{3}-\frac{42\!\cdots\!69}{18\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{72\!\cdots\!44}{18\!\cdots\!03}a+\frac{22\!\cdots\!03}{18\!\cdots\!03}$, $\frac{84\!\cdots\!97}{66\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{41\!\cdots\!99}{19\!\cdots\!49}a^{25}-\frac{28\!\cdots\!85}{19\!\cdots\!49}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!68}{19\!\cdots\!49}a^{23}+\frac{23\!\cdots\!78}{34\!\cdots\!57}a^{22}+\frac{29\!\cdots\!06}{66\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{33\!\cdots\!99}{19\!\cdots\!49}a^{20}-\frac{50\!\cdots\!54}{19\!\cdots\!49}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!55}{66\!\cdots\!83}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!70}{19\!\cdots\!49}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!56}{66\!\cdots\!83}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!57}{19\!\cdots\!49}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!18}{19\!\cdots\!49}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!98}{66\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{64\!\cdots\!14}{19\!\cdots\!49}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!66}{10\!\cdots\!71}a^{11}-\frac{31\!\cdots\!08}{34\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!84}{10\!\cdots\!71}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!71}a^{8}-\frac{84\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!71}a^{7}-\frac{27\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!71}a^{6}-\frac{60\!\cdots\!26}{34\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{70\!\cdots\!65}{34\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{33\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!71}a^{3}+\frac{39\!\cdots\!03}{54\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{67\!\cdots\!05}{54\!\cdots\!09}a-\frac{21\!\cdots\!74}{54\!\cdots\!09}$, $\frac{52\!\cdots\!56}{19\!\cdots\!49}a^{26}-\frac{84\!\cdots\!19}{19\!\cdots\!49}a^{25}-\frac{59\!\cdots\!09}{19\!\cdots\!49}a^{24}+\frac{21\!\cdots\!52}{19\!\cdots\!49}a^{23}+\frac{28\!\cdots\!94}{19\!\cdots\!49}a^{22}+\frac{33\!\cdots\!72}{34\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{69\!\cdots\!41}{19\!\cdots\!49}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!26}{19\!\cdots\!49}a^{19}+\frac{31\!\cdots\!10}{66\!\cdots\!83}a^{18}+\frac{21\!\cdots\!77}{19\!\cdots\!49}a^{17}-\frac{37\!\cdots\!84}{10\!\cdots\!71}a^{16}-\frac{77\!\cdots\!35}{66\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{24\!\cdots\!41}{19\!\cdots\!49}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!85}{19\!\cdots\!49}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!88}{19\!\cdots\!49}a^{12}-\frac{78\!\cdots\!47}{34\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!36}{54\!\cdots\!09}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!49}{34\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{58\!\cdots\!06}{10\!\cdots\!71}a^{8}-\frac{52\!\cdots\!17}{34\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{57\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!71}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!78}{34\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!06}{34\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{70\!\cdots\!34}{10\!\cdots\!71}a^{3}+\frac{83\!\cdots\!26}{54\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!58}{54\!\cdots\!09}a-\frac{14\!\cdots\!72}{18\!\cdots\!03}$, $\frac{14\!\cdots\!86}{19\!\cdots\!49}a^{26}+\frac{22\!\cdots\!14}{19\!\cdots\!49}a^{25}+\frac{16\!\cdots\!38}{19\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{58\!\cdots\!73}{19\!\cdots\!49}a^{23}-\frac{25\!\cdots\!92}{66\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{50\!\cdots\!79}{19\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{18\!\cdots\!91}{19\!\cdots\!49}a^{20}+\frac{28\!\cdots\!64}{19\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{85\!\cdots\!48}{66\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{58\!\cdots\!57}{19\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{19\!\cdots\!83}{19\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{62\!\cdots\!77}{19\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{65\!\cdots\!87}{19\!\cdots\!49}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!70}{66\!\cdots\!83}a^{13}-\frac{36\!\cdots\!81}{19\!\cdots\!49}a^{12}+\frac{62\!\cdots\!09}{10\!\cdots\!71}a^{11}+\frac{53\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!71}a^{10}-\frac{30\!\cdots\!86}{34\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{52\!\cdots\!15}{34\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{45\!\cdots\!93}{10\!\cdots\!71}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!63}{10\!\cdots\!71}a^{6}+\frac{33\!\cdots\!16}{34\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{41\!\cdots\!47}{34\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!71}a^{3}-\frac{74\!\cdots\!72}{18\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{37\!\cdots\!37}{54\!\cdots\!09}a+\frac{39\!\cdots\!36}{18\!\cdots\!03}$, $\frac{56\!\cdots\!95}{19\!\cdots\!49}a^{26}+\frac{30\!\cdots\!13}{66\!\cdots\!83}a^{25}+\frac{64\!\cdots\!45}{19\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{23\!\cdots\!31}{19\!\cdots\!49}a^{23}-\frac{30\!\cdots\!91}{19\!\cdots\!49}a^{22}-\frac{20\!\cdots\!74}{19\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{74\!\cdots\!48}{19\!\cdots\!49}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!67}{19\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!67}{34\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{23\!\cdots\!83}{19\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{76\!\cdots\!42}{19\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{25\!\cdots\!17}{19\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{45\!\cdots\!74}{34\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!94}{19\!\cdots\!49}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!26}{19\!\cdots\!49}a^{12}+\frac{25\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!71}a^{11}+\frac{71\!\cdots\!24}{34\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{37\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!71}a^{9}-\frac{63\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!71}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!71}a^{7}+\frac{61\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!71}a^{6}+\frac{40\!\cdots\!19}{10\!\cdots\!71}a^{5}+\frac{49\!\cdots\!65}{10\!\cdots\!71}a^{4}-\frac{25\!\cdots\!55}{34\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{29\!\cdots\!05}{18\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!97}{54\!\cdots\!09}a+\frac{47\!\cdots\!43}{54\!\cdots\!09}$, $\frac{25\!\cdots\!56}{66\!\cdots\!83}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!68}{19\!\cdots\!49}a^{25}+\frac{29\!\cdots\!74}{66\!\cdots\!83}a^{24}-\frac{16\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!71}a^{23}-\frac{21\!\cdots\!88}{10\!\cdots\!71}a^{22}-\frac{91\!\cdots\!33}{66\!\cdots\!83}a^{21}+\frac{34\!\cdots\!64}{66\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!28}{19\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{46\!\cdots\!75}{66\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{31\!\cdots\!70}{19\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!89}{19\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!71}a^{15}-\frac{35\!\cdots\!25}{19\!\cdots\!49}a^{14}-\frac{67\!\cdots\!93}{66\!\cdots\!83}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!17}{19\!\cdots\!49}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!07}{34\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{97\!\cdots\!39}{34\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!33}{34\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{86\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!71}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!71}a^{7}+\frac{83\!\cdots\!68}{10\!\cdots\!71}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!13}{34\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{67\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!71}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!56}{10\!\cdots\!71}a^{3}-\frac{40\!\cdots\!07}{18\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{20\!\cdots\!75}{54\!\cdots\!09}a+\frac{21\!\cdots\!28}{18\!\cdots\!03}$, $\frac{17\!\cdots\!16}{19\!\cdots\!49}a^{26}-\frac{27\!\cdots\!06}{19\!\cdots\!49}a^{25}-\frac{19\!\cdots\!10}{19\!\cdots\!49}a^{24}+\frac{35\!\cdots\!06}{10\!\cdots\!71}a^{23}+\frac{30\!\cdots\!70}{66\!\cdots\!83}a^{22}+\frac{62\!\cdots\!35}{19\!\cdots\!49}a^{21}-\frac{75\!\cdots\!43}{66\!\cdots\!83}a^{20}-\frac{34\!\cdots\!37}{19\!\cdots\!49}a^{19}+\frac{31\!\cdots\!55}{19\!\cdots\!49}a^{18}+\frac{23\!\cdots\!91}{66\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{23\!\cdots\!61}{19\!\cdots\!49}a^{16}-\frac{76\!\cdots\!07}{19\!\cdots\!49}a^{15}+\frac{26\!\cdots\!55}{66\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!07}{66\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{49\!\cdots\!50}{19\!\cdots\!49}a^{12}-\frac{76\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!71}a^{11}-\frac{66\!\cdots\!86}{10\!\cdots\!71}a^{10}+\frac{37\!\cdots\!10}{34\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{19\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!71}a^{8}-\frac{47\!\cdots\!06}{10\!\cdots\!71}a^{7}-\frac{62\!\cdots\!51}{34\!\cdots\!57}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!66}{10\!\cdots\!71}a^{5}-\frac{54\!\cdots\!38}{34\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{76\!\cdots\!00}{34\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{27\!\cdots\!45}{54\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{46\!\cdots\!12}{54\!\cdots\!09}a-\frac{14\!\cdots\!18}{54\!\cdots\!09}$, $\frac{30\!\cdots\!31}{10\!\cdots\!71}a^{26}+\frac{95\!\cdots\!44}{19\!\cdots\!49}a^{25}+\frac{22\!\cdots\!10}{66\!\cdots\!83}a^{24}-\frac{24\!\cdots\!95}{19\!\cdots\!49}a^{23}-\frac{31\!\cdots\!12}{19\!\cdots\!49}a^{22}-\frac{21\!\cdots\!16}{19\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{78\!\cdots\!15}{19\!\cdots\!49}a^{20}+\frac{39\!\cdots\!43}{66\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{35\!\cdots\!70}{66\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{81\!\cdots\!51}{66\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{80\!\cdots\!56}{19\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!16}{19\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{27\!\cdots\!21}{19\!\cdots\!49}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!70}{19\!\cdots\!49}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!97}{19\!\cdots\!49}a^{12}+\frac{87\!\cdots\!94}{34\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{74\!\cdots\!42}{34\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{38\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!71}a^{9}-\frac{65\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!71}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!74}{10\!\cdots\!71}a^{7}+\frac{63\!\cdots\!24}{10\!\cdots\!71}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!34}{34\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{51\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!71}a^{4}-\frac{26\!\cdots\!95}{34\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{93\!\cdots\!18}{54\!\cdots\!09}a^{2}+\frac{52\!\cdots\!52}{18\!\cdots\!03}a+\frac{49\!\cdots\!79}{54\!\cdots\!09}$, $\frac{14\!\cdots\!26}{66\!\cdots\!83}a^{26}+\frac{70\!\cdots\!96}{19\!\cdots\!49}a^{25}+\frac{49\!\cdots\!72}{19\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{60\!\cdots\!23}{66\!\cdots\!83}a^{23}-\frac{23\!\cdots\!98}{19\!\cdots\!49}a^{22}-\frac{52\!\cdots\!73}{66\!\cdots\!83}a^{21}+\frac{58\!\cdots\!13}{19\!\cdots\!49}a^{20}+\frac{29\!\cdots\!86}{66\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!68}{66\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!36}{19\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{19\!\cdots\!34}{66\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{64\!\cdots\!32}{66\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!71}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!55}{19\!\cdots\!49}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!69}{19\!\cdots\!49}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!71}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!93}{10\!\cdots\!71}a^{10}-\frac{50\!\cdots\!05}{18\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{48\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!71}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!71}a^{7}+\frac{47\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!71}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!35}{54\!\cdots\!09}a^{5}+\frac{38\!\cdots\!87}{10\!\cdots\!71}a^{4}-\frac{58\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!71}a^{3}-\frac{69\!\cdots\!79}{54\!\cdots\!09}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!20}{54\!\cdots\!09}a+\frac{12\!\cdots\!74}{18\!\cdots\!03}$, $\frac{50\!\cdots\!91}{66\!\cdots\!83}a^{26}+\frac{24\!\cdots\!30}{19\!\cdots\!49}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!62}{19\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{62\!\cdots\!60}{19\!\cdots\!49}a^{23}-\frac{27\!\cdots\!06}{66\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{53\!\cdots\!41}{19\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{20\!\cdots\!46}{19\!\cdots\!49}a^{20}+\frac{30\!\cdots\!27}{19\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!74}{19\!\cdots\!49}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!04}{66\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!24}{19\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!82}{66\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{69\!\cdots\!72}{19\!\cdots\!49}a^{14}-\frac{69\!\cdots\!04}{34\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{39\!\cdots\!46}{19\!\cdots\!49}a^{12}+\frac{67\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!71}a^{11}+\frac{57\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!71}a^{10}-\frac{99\!\cdots\!65}{10\!\cdots\!71}a^{9}-\frac{29\!\cdots\!31}{18\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{48\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!71}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!88}{10\!\cdots\!71}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!88}{10\!\cdots\!71}a^{5}+\frac{43\!\cdots\!31}{34\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{67\!\cdots\!50}{34\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{23\!\cdots\!19}{54\!\cdots\!09}a^{2}+\frac{40\!\cdots\!98}{54\!\cdots\!09}a+\frac{42\!\cdots\!21}{18\!\cdots\!03}$, $\frac{11\!\cdots\!68}{19\!\cdots\!49}a^{26}-\frac{32\!\cdots\!56}{34\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!73}{19\!\cdots\!49}a^{24}+\frac{45\!\cdots\!99}{19\!\cdots\!49}a^{23}+\frac{61\!\cdots\!13}{19\!\cdots\!49}a^{22}+\frac{42\!\cdots\!52}{19\!\cdots\!49}a^{21}-\frac{80\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!71}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!76}{19\!\cdots\!49}a^{19}+\frac{69\!\cdots\!57}{66\!\cdots\!83}a^{18}+\frac{48\!\cdots\!82}{19\!\cdots\!49}a^{17}-\frac{15\!\cdots\!04}{19\!\cdots\!49}a^{16}-\frac{51\!\cdots\!55}{19\!\cdots\!49}a^{15}+\frac{52\!\cdots\!56}{19\!\cdots\!49}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!77}{66\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{32\!\cdots\!09}{19\!\cdots\!49}a^{12}-\frac{51\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!71}a^{11}-\frac{44\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!71}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!30}{18\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!71}a^{8}-\frac{31\!\cdots\!06}{10\!\cdots\!71}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!71}a^{6}-\frac{83\!\cdots\!46}{10\!\cdots\!71}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!71}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!71}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!99}{54\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!23}{18\!\cdots\!03}a-\frac{32\!\cdots\!69}{18\!\cdots\!03}$, $\frac{33\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!71}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!01}{19\!\cdots\!49}a^{25}+\frac{73\!\cdots\!93}{19\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{85\!\cdots\!72}{66\!\cdots\!83}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!78}{66\!\cdots\!83}a^{22}-\frac{23\!\cdots\!66}{19\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{85\!\cdots\!23}{19\!\cdots\!49}a^{20}+\frac{43\!\cdots\!88}{66\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!59}{19\!\cdots\!49}a^{18}-\frac{89\!\cdots\!66}{66\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{87\!\cdots\!58}{19\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{28\!\cdots\!56}{19\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{29\!\cdots\!85}{19\!\cdots\!49}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!40}{19\!\cdots\!49}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!28}{19\!\cdots\!49}a^{12}+\frac{28\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!71}a^{11}+\frac{82\!\cdots\!24}{34\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{73\!\cdots\!28}{18\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{72\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!71}a^{8}+\frac{62\!\cdots\!70}{34\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{69\!\cdots\!12}{10\!\cdots\!71}a^{6}+\frac{46\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!71}a^{5}+\frac{59\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!71}a^{4}-\frac{28\!\cdots\!89}{34\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!04}{54\!\cdots\!09}a^{2}+\frac{57\!\cdots\!84}{18\!\cdots\!03}a+\frac{54\!\cdots\!00}{54\!\cdots\!09}$, $\frac{59\!\cdots\!37}{19\!\cdots\!49}a^{26}+\frac{94\!\cdots\!17}{19\!\cdots\!49}a^{25}+\frac{22\!\cdots\!05}{66\!\cdots\!83}a^{24}-\frac{22\!\cdots\!36}{19\!\cdots\!49}a^{23}-\frac{32\!\cdots\!67}{19\!\cdots\!49}a^{22}-\frac{22\!\cdots\!86}{19\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{79\!\cdots\!89}{19\!\cdots\!49}a^{20}+\frac{40\!\cdots\!97}{66\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!65}{19\!\cdots\!49}a^{18}-\frac{25\!\cdots\!05}{19\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{27\!\cdots\!82}{66\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!71}a^{15}-\frac{27\!\cdots\!61}{19\!\cdots\!49}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!79}{19\!\cdots\!49}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!01}{19\!\cdots\!49}a^{12}+\frac{89\!\cdots\!54}{34\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!14}{54\!\cdots\!09}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!49}{34\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{67\!\cdots\!84}{10\!\cdots\!71}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!71}a^{7}+\frac{65\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!71}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!38}{34\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{61\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!71}a^{4}-\frac{81\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!71}a^{3}-\frac{96\!\cdots\!83}{54\!\cdots\!09}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!90}{54\!\cdots\!09}a+\frac{51\!\cdots\!07}{54\!\cdots\!09}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 274519020102255230 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 274519020102255230 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{4038857868055272156360487190465637072631786847797281}}\cr\approx \mathstrut & 0.289883196919395 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 117*x^25 - 144*x^24 + 5454*x^23 + 12321*x^22 - 127080*x^21 - 415908*x^20 + 1499193*x^19 + 7118643*x^18 - 6881679*x^17 - 66517326*x^16 - 25844319*x^15 + 338054688*x^14 + 452971134*x^13 - 806211819*x^12 - 2101675842*x^11 + 72795897*x^10 + 4152980271*x^9 + 3389225814*x^8 - 2166315039*x^7 - 4727639052*x^6 - 2245523607*x^5 + 227410506*x^4 + 469499994*x^3 + 82966464*x^2 - 18766224*x - 4931621)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^27 - 117*x^25 - 144*x^24 + 5454*x^23 + 12321*x^22 - 127080*x^21 - 415908*x^20 + 1499193*x^19 + 7118643*x^18 - 6881679*x^17 - 66517326*x^16 - 25844319*x^15 + 338054688*x^14 + 452971134*x^13 - 806211819*x^12 - 2101675842*x^11 + 72795897*x^10 + 4152980271*x^9 + 3389225814*x^8 - 2166315039*x^7 - 4727639052*x^6 - 2245523607*x^5 + 227410506*x^4 + 469499994*x^3 + 82966464*x^2 - 18766224*x - 4931621, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^27 - 117*x^25 - 144*x^24 + 5454*x^23 + 12321*x^22 - 127080*x^21 - 415908*x^20 + 1499193*x^19 + 7118643*x^18 - 6881679*x^17 - 66517326*x^16 - 25844319*x^15 + 338054688*x^14 + 452971134*x^13 - 806211819*x^12 - 2101675842*x^11 + 72795897*x^10 + 4152980271*x^9 + 3389225814*x^8 - 2166315039*x^7 - 4727639052*x^6 - 2245523607*x^5 + 227410506*x^4 + 469499994*x^3 + 82966464*x^2 - 18766224*x - 4931621);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 117*x^25 - 144*x^24 + 5454*x^23 + 12321*x^22 - 127080*x^21 - 415908*x^20 + 1499193*x^19 + 7118643*x^18 - 6881679*x^17 - 66517326*x^16 - 25844319*x^15 + 338054688*x^14 + 452971134*x^13 - 806211819*x^12 - 2101675842*x^11 + 72795897*x^10 + 4152980271*x^9 + 3389225814*x^8 - 2166315039*x^7 - 4727639052*x^6 - 2245523607*x^5 + 227410506*x^4 + 469499994*x^3 + 82966464*x^2 - 18766224*x - 4931621);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$C_3^4.C_3\wr C_3$ (as 27T692):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A solvable group of order 6561 |
| The 81 conjugacy class representatives for $C_3^4.C_3\wr C_3$ |
| Character table for $C_3^4.C_3\wr C_3$ |
Intermediate fields
| \(\Q(\zeta_{9})^+\), 9.9.139858796529.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 27 siblings: | data not computed |
| Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | $27$ | R | $27$ | ${\href{/padicField/7.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/7.3.0.1}{3} }^{3}$ | ${\href{/padicField/11.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{3}$ | $27$ | ${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }^{3}$ | R | $27$ | $27$ | ${\href{/padicField/31.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{3}$ | ${\href{/padicField/37.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }^{3}$ | $27$ | $27$ | $27$ | ${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }^{3}$ | $27$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(3\)
| Deg $27$ | $27$ | $1$ | $76$ | |||
|
\(19\)
| $\Q_{19}$ | $x + 17$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ |
| $\Q_{19}$ | $x + 17$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| $\Q_{19}$ | $x + 17$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| 19.3.2.1 | $x^{3} + 76$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ | |
| 19.3.2.1 | $x^{3} + 76$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ | |
| 19.9.0.1 | $x^{9} + 11 x^{3} + 14 x^{2} + 16 x + 17$ | $1$ | $9$ | $0$ | $C_9$ | $[\ ]^{9}$ | |
| 19.9.8.2 | $x^{9} + 57$ | $9$ | $1$ | $8$ | $C_9$ | $[\ ]_{9}$ |