Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 216*x^25 - 351*x^24 + 18954*x^23 + 59913*x^22 - 831717*x^21 - 4007556*x^20 + 17484066*x^19 + 132803388*x^18 - 84624993*x^17 - 2255595849*x^16 - 3006320904*x^15 + 17933159025*x^14 + 53663373558*x^13 - 39156972282*x^12 - 344264498109*x^11 - 278000308116*x^10 + 859172869167*x^9 + 1710748857222*x^8 - 126820721979*x^7 - 2922899699187*x^6 - 2110999635981*x^5 + 1299946892481*x^4 + 2155024024596*x^3 + 402933114171*x^2 - 497532476466*x - 204171695243)
gp: K = bnfinit(y^27 - 216*y^25 - 351*y^24 + 18954*y^23 + 59913*y^22 - 831717*y^21 - 4007556*y^20 + 17484066*y^19 + 132803388*y^18 - 84624993*y^17 - 2255595849*y^16 - 3006320904*y^15 + 17933159025*y^14 + 53663373558*y^13 - 39156972282*y^12 - 344264498109*y^11 - 278000308116*y^10 + 859172869167*y^9 + 1710748857222*y^8 - 126820721979*y^7 - 2922899699187*y^6 - 2110999635981*y^5 + 1299946892481*y^4 + 2155024024596*y^3 + 402933114171*y^2 - 497532476466*y - 204171695243, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^27 - 216*x^25 - 351*x^24 + 18954*x^23 + 59913*x^22 - 831717*x^21 - 4007556*x^20 + 17484066*x^19 + 132803388*x^18 - 84624993*x^17 - 2255595849*x^16 - 3006320904*x^15 + 17933159025*x^14 + 53663373558*x^13 - 39156972282*x^12 - 344264498109*x^11 - 278000308116*x^10 + 859172869167*x^9 + 1710748857222*x^8 - 126820721979*x^7 - 2922899699187*x^6 - 2110999635981*x^5 + 1299946892481*x^4 + 2155024024596*x^3 + 402933114171*x^2 - 497532476466*x - 204171695243);
oscar: Qx, x = polynomial_ring(QQ); K, a = number_field(x^27 - 216*x^25 - 351*x^24 + 18954*x^23 + 59913*x^22 - 831717*x^21 - 4007556*x^20 + 17484066*x^19 + 132803388*x^18 - 84624993*x^17 - 2255595849*x^16 - 3006320904*x^15 + 17933159025*x^14 + 53663373558*x^13 - 39156972282*x^12 - 344264498109*x^11 - 278000308116*x^10 + 859172869167*x^9 + 1710748857222*x^8 - 126820721979*x^7 - 2922899699187*x^6 - 2110999635981*x^5 + 1299946892481*x^4 + 2155024024596*x^3 + 402933114171*x^2 - 497532476466*x - 204171695243)
\( x^{27} - 216 x^{25} - 351 x^{24} + 18954 x^{23} + 59913 x^{22} - 831717 x^{21} - 4007556 x^{20} + \cdots - 204171695243 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $27$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[27, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(383707689246443888440321132287382098639043931374214514299529\)
\(\medspace = 3^{82}\cdot 19^{16}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(161.00\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | not computed | ||
| Ramified primes: |
\(3\), \(19\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $3$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $\frac{1}{19}a^{15}-\frac{7}{19}a^{13}-\frac{9}{19}a^{12}-\frac{8}{19}a^{11}+\frac{6}{19}a^{10}+\frac{8}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{16}-\frac{7}{19}a^{14}-\frac{9}{19}a^{13}-\frac{8}{19}a^{12}+\frac{6}{19}a^{11}+\frac{8}{19}a^{10}$, $\frac{1}{19}a^{17}-\frac{9}{19}a^{14}+\frac{9}{19}a^{11}+\frac{4}{19}a^{10}-\frac{1}{19}a^{9}$, $\frac{1}{361}a^{18}-\frac{7}{361}a^{16}-\frac{9}{361}a^{15}+\frac{163}{361}a^{14}+\frac{44}{361}a^{13}-\frac{30}{361}a^{12}-\frac{7}{19}a^{11}-\frac{7}{19}a^{10}-\frac{5}{19}a^{8}+\frac{1}{19}a^{7}+\frac{5}{19}a^{6}-\frac{4}{19}a^{5}+\frac{6}{19}a^{4}-\frac{5}{19}a^{3}$, $\frac{1}{361}a^{19}-\frac{7}{361}a^{17}-\frac{9}{361}a^{16}-\frac{8}{361}a^{15}+\frac{44}{361}a^{14}+\frac{84}{361}a^{13}-\frac{2}{19}a^{12}+\frac{8}{19}a^{11}+\frac{3}{19}a^{10}-\frac{1}{19}a^{9}+\frac{1}{19}a^{8}+\frac{5}{19}a^{7}-\frac{4}{19}a^{6}+\frac{6}{19}a^{5}-\frac{5}{19}a^{4}$, $\frac{1}{361}a^{20}-\frac{9}{361}a^{17}+\frac{104}{361}a^{14}-\frac{15}{361}a^{13}+\frac{37}{361}a^{12}+\frac{2}{19}a^{11}-\frac{1}{19}a^{10}+\frac{9}{19}a^{9}+\frac{8}{19}a^{8}+\frac{3}{19}a^{7}+\frac{3}{19}a^{6}+\frac{5}{19}a^{5}+\frac{4}{19}a^{4}+\frac{3}{19}a^{3}$, $\frac{1}{6859}a^{21}-\frac{7}{6859}a^{19}-\frac{9}{6859}a^{18}+\frac{163}{6859}a^{17}+\frac{44}{6859}a^{16}-\frac{30}{6859}a^{15}-\frac{121}{361}a^{14}+\frac{50}{361}a^{13}-\frac{8}{19}a^{12}+\frac{90}{361}a^{11}-\frac{56}{361}a^{10}+\frac{157}{361}a^{9}+\frac{34}{361}a^{8}-\frac{165}{361}a^{7}-\frac{81}{361}a^{6}-\frac{1}{19}a^{5}+\frac{5}{19}a^{4}-\frac{9}{19}a^{3}$, $\frac{1}{6859}a^{22}-\frac{7}{6859}a^{20}-\frac{9}{6859}a^{19}-\frac{8}{6859}a^{18}+\frac{44}{6859}a^{17}+\frac{84}{6859}a^{16}-\frac{2}{361}a^{15}+\frac{65}{361}a^{14}+\frac{60}{361}a^{13}+\frac{113}{361}a^{12}+\frac{134}{361}a^{11}+\frac{43}{361}a^{10}-\frac{23}{361}a^{9}-\frac{32}{361}a^{8}+\frac{109}{361}a^{7}-\frac{8}{19}a^{6}+\frac{3}{19}a^{5}-\frac{6}{19}a^{4}+\frac{7}{19}a^{3}$, $\frac{1}{6859}a^{23}-\frac{9}{6859}a^{20}+\frac{104}{6859}a^{17}-\frac{15}{6859}a^{16}+\frac{37}{6859}a^{15}+\frac{78}{361}a^{14}-\frac{1}{361}a^{13}+\frac{28}{361}a^{12}-\frac{163}{361}a^{11}-\frac{130}{361}a^{10}+\frac{174}{361}a^{9}-\frac{52}{361}a^{8}+\frac{80}{361}a^{7}+\frac{79}{361}a^{6}+\frac{1}{19}a^{5}-\frac{5}{19}a^{4}+\frac{8}{19}a^{3}$, $\frac{1}{130321}a^{24}-\frac{7}{130321}a^{22}-\frac{9}{130321}a^{21}+\frac{163}{130321}a^{20}+\frac{44}{130321}a^{19}-\frac{30}{130321}a^{18}-\frac{121}{6859}a^{17}+\frac{50}{6859}a^{16}-\frac{8}{361}a^{15}-\frac{632}{6859}a^{14}-\frac{1500}{6859}a^{13}-\frac{1648}{6859}a^{12}-\frac{1049}{6859}a^{11}-\frac{1970}{6859}a^{10}+\frac{1724}{6859}a^{9}+\frac{37}{361}a^{8}+\frac{138}{361}a^{7}-\frac{9}{361}a^{6}+\frac{5}{19}a^{5}+\frac{5}{19}a^{4}+\frac{8}{19}a^{3}$, $\frac{1}{130321}a^{25}-\frac{7}{130321}a^{23}-\frac{9}{130321}a^{22}-\frac{8}{130321}a^{21}+\frac{44}{130321}a^{20}+\frac{84}{130321}a^{19}-\frac{2}{6859}a^{18}+\frac{65}{6859}a^{17}+\frac{60}{6859}a^{16}+\frac{113}{6859}a^{15}-\frac{3115}{6859}a^{14}+\frac{1487}{6859}a^{13}-\frac{745}{6859}a^{12}-\frac{1476}{6859}a^{11}-\frac{1335}{6859}a^{10}-\frac{141}{361}a^{9}-\frac{54}{361}a^{8}+\frac{146}{361}a^{7}+\frac{159}{361}a^{6}+\frac{7}{19}a^{5}+\frac{9}{19}a^{4}-\frac{5}{19}a^{3}$, $\frac{1}{84\!\cdots\!37}a^{26}-\frac{19\!\cdots\!55}{84\!\cdots\!37}a^{25}+\frac{21\!\cdots\!38}{84\!\cdots\!37}a^{24}-\frac{26\!\cdots\!14}{84\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{57\!\cdots\!51}{84\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{30\!\cdots\!98}{84\!\cdots\!37}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!18}{84\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{36\!\cdots\!35}{84\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{32\!\cdots\!27}{84\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{43\!\cdots\!17}{44\!\cdots\!23}a^{17}+\frac{43\!\cdots\!16}{44\!\cdots\!23}a^{16}+\frac{94\!\cdots\!70}{44\!\cdots\!23}a^{15}+\frac{29\!\cdots\!82}{44\!\cdots\!23}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!03}{44\!\cdots\!23}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!22}{44\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{87\!\cdots\!73}{44\!\cdots\!23}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!78}{44\!\cdots\!23}a^{10}+\frac{25\!\cdots\!47}{44\!\cdots\!23}a^{9}-\frac{95\!\cdots\!55}{23\!\cdots\!17}a^{8}-\frac{42\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{91\!\cdots\!99}{23\!\cdots\!17}a^{6}+\frac{61\!\cdots\!28}{12\!\cdots\!43}a^{5}-\frac{43\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!43}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!43}a^{3}+\frac{82\!\cdots\!25}{65\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!31}{65\!\cdots\!97}a-\frac{21\!\cdots\!21}{65\!\cdots\!97}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $26$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{22\!\cdots\!38}{52\!\cdots\!93}a^{26}-\frac{33\!\cdots\!51}{52\!\cdots\!93}a^{25}-\frac{47\!\cdots\!26}{52\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{35\!\cdots\!36}{27\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{42\!\cdots\!11}{52\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{70\!\cdots\!76}{52\!\cdots\!93}a^{21}-\frac{19\!\cdots\!67}{52\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{60\!\cdots\!47}{52\!\cdots\!93}a^{19}+\frac{48\!\cdots\!47}{52\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!50}{27\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{27\!\cdots\!69}{27\!\cdots\!47}a^{16}-\frac{22\!\cdots\!48}{27\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!74}{27\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!81}{27\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{31\!\cdots\!16}{27\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{92\!\cdots\!86}{27\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!53}{27\!\cdots\!47}a^{10}+\frac{71\!\cdots\!65}{27\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{47\!\cdots\!73}{14\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{34\!\cdots\!72}{14\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{59\!\cdots\!89}{14\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{48\!\cdots\!00}{76\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{31\!\cdots\!75}{76\!\cdots\!27}a^{4}+\frac{37\!\cdots\!68}{76\!\cdots\!27}a^{3}+\frac{74\!\cdots\!91}{40\!\cdots\!33}a^{2}-\frac{41\!\cdots\!01}{40\!\cdots\!33}a-\frac{23\!\cdots\!58}{40\!\cdots\!33}$, $\frac{38\!\cdots\!89}{52\!\cdots\!93}a^{26}-\frac{56\!\cdots\!03}{52\!\cdots\!93}a^{25}-\frac{82\!\cdots\!68}{52\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{78\!\cdots\!27}{27\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{73\!\cdots\!41}{52\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!65}{52\!\cdots\!93}a^{21}-\frac{33\!\cdots\!01}{52\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!04}{52\!\cdots\!93}a^{19}+\frac{82\!\cdots\!35}{52\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!55}{27\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{47\!\cdots\!33}{27\!\cdots\!47}a^{16}-\frac{38\!\cdots\!39}{27\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{41\!\cdots\!12}{27\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{37\!\cdots\!17}{27\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{54\!\cdots\!35}{27\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!80}{27\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{46\!\cdots\!19}{27\!\cdots\!47}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!91}{27\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{83\!\cdots\!03}{14\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{61\!\cdots\!39}{14\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!66}{14\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{84\!\cdots\!84}{76\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{50\!\cdots\!34}{76\!\cdots\!27}a^{4}+\frac{65\!\cdots\!46}{76\!\cdots\!27}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!95}{40\!\cdots\!33}a^{2}-\frac{72\!\cdots\!24}{40\!\cdots\!33}a-\frac{41\!\cdots\!52}{40\!\cdots\!33}$, $\frac{23\!\cdots\!56}{23\!\cdots\!43}a^{26}-\frac{34\!\cdots\!73}{23\!\cdots\!43}a^{25}-\frac{49\!\cdots\!04}{23\!\cdots\!43}a^{24}-\frac{78\!\cdots\!77}{23\!\cdots\!43}a^{23}+\frac{44\!\cdots\!95}{23\!\cdots\!43}a^{22}+\frac{74\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!43}a^{21}-\frac{20\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!43}a^{20}-\frac{63\!\cdots\!26}{23\!\cdots\!43}a^{19}+\frac{50\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!84}{12\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{28\!\cdots\!20}{12\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{23\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{21\!\cdots\!09}{12\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!63}{12\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{32\!\cdots\!98}{12\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{96\!\cdots\!18}{12\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{27\!\cdots\!13}{12\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{73\!\cdots\!74}{12\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{49\!\cdots\!78}{65\!\cdots\!63}a^{8}+\frac{36\!\cdots\!20}{65\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{62\!\cdots\!96}{65\!\cdots\!63}a^{6}-\frac{50\!\cdots\!62}{34\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{32\!\cdots\!47}{34\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{39\!\cdots\!63}{34\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{78\!\cdots\!73}{18\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{43\!\cdots\!69}{18\!\cdots\!83}a-\frac{24\!\cdots\!38}{18\!\cdots\!83}$, $\frac{16\!\cdots\!38}{23\!\cdots\!43}a^{26}-\frac{24\!\cdots\!72}{23\!\cdots\!43}a^{25}-\frac{35\!\cdots\!23}{23\!\cdots\!43}a^{24}-\frac{65\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!43}a^{23}+\frac{31\!\cdots\!88}{23\!\cdots\!43}a^{22}+\frac{53\!\cdots\!54}{23\!\cdots\!43}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!68}{23\!\cdots\!43}a^{20}-\frac{45\!\cdots\!17}{23\!\cdots\!43}a^{19}+\frac{35\!\cdots\!38}{23\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{89\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!52}{12\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!81}{12\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!94}{12\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!17}{12\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{69\!\cdots\!82}{12\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!52}{12\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{50\!\cdots\!30}{12\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{35\!\cdots\!92}{65\!\cdots\!63}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!06}{65\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{45\!\cdots\!84}{65\!\cdots\!63}a^{6}-\frac{36\!\cdots\!77}{34\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!42}{34\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!24}{34\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{56\!\cdots\!81}{18\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{31\!\cdots\!07}{18\!\cdots\!83}a-\frac{17\!\cdots\!84}{18\!\cdots\!83}$, $\frac{34\!\cdots\!18}{23\!\cdots\!43}a^{26}-\frac{51\!\cdots\!97}{23\!\cdots\!43}a^{25}-\frac{72\!\cdots\!41}{23\!\cdots\!43}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!43}a^{23}+\frac{64\!\cdots\!91}{23\!\cdots\!43}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!70}{23\!\cdots\!43}a^{21}-\frac{29\!\cdots\!04}{23\!\cdots\!43}a^{20}-\frac{91\!\cdots\!25}{23\!\cdots\!43}a^{19}+\frac{73\!\cdots\!13}{23\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{42\!\cdots\!44}{12\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{34\!\cdots\!06}{12\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{26\!\cdots\!70}{12\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{32\!\cdots\!67}{12\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{47\!\cdots\!56}{12\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{74\!\cdots\!61}{65\!\cdots\!63}a^{11}-\frac{40\!\cdots\!64}{12\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!28}{12\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{72\!\cdots\!10}{65\!\cdots\!63}a^{8}+\frac{52\!\cdots\!76}{65\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{91\!\cdots\!59}{65\!\cdots\!63}a^{6}-\frac{73\!\cdots\!23}{34\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{49\!\cdots\!39}{34\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{57\!\cdots\!11}{34\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!79}{18\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{63\!\cdots\!99}{18\!\cdots\!83}a-\frac{35\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!83}$, $\frac{15\!\cdots\!41}{23\!\cdots\!43}a^{26}-\frac{26\!\cdots\!03}{23\!\cdots\!43}a^{25}-\frac{33\!\cdots\!11}{23\!\cdots\!43}a^{24}+\frac{50\!\cdots\!67}{23\!\cdots\!43}a^{23}+\frac{30\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!43}a^{22}+\frac{23\!\cdots\!00}{12\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!43}a^{20}-\frac{40\!\cdots\!56}{23\!\cdots\!43}a^{19}+\frac{34\!\cdots\!03}{23\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{81\!\cdots\!01}{12\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!19}{12\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!99}{12\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{63\!\cdots\!20}{12\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!40}{12\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{66\!\cdots\!01}{12\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!22}{12\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{64\!\cdots\!18}{12\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{32\!\cdots\!19}{65\!\cdots\!63}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!89}{65\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{41\!\cdots\!46}{65\!\cdots\!63}a^{6}-\frac{31\!\cdots\!03}{34\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{33\!\cdots\!91}{34\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{24\!\cdots\!63}{34\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{45\!\cdots\!19}{18\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{27\!\cdots\!06}{18\!\cdots\!83}a-\frac{14\!\cdots\!93}{18\!\cdots\!83}$, $\frac{40\!\cdots\!18}{23\!\cdots\!43}a^{26}-\frac{60\!\cdots\!68}{23\!\cdots\!43}a^{25}-\frac{87\!\cdots\!38}{23\!\cdots\!43}a^{24}-\frac{13\!\cdots\!70}{23\!\cdots\!43}a^{23}+\frac{77\!\cdots\!18}{23\!\cdots\!43}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!48}{23\!\cdots\!43}a^{21}-\frac{35\!\cdots\!55}{23\!\cdots\!43}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!45}{23\!\cdots\!43}a^{19}+\frac{87\!\cdots\!54}{23\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{21\!\cdots\!18}{12\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{50\!\cdots\!77}{12\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{40\!\cdots\!39}{12\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{37\!\cdots\!79}{12\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{39\!\cdots\!30}{12\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{57\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!55}{12\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{48\!\cdots\!13}{12\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{87\!\cdots\!79}{65\!\cdots\!63}a^{8}+\frac{63\!\cdots\!10}{65\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!04}{65\!\cdots\!63}a^{6}-\frac{88\!\cdots\!00}{34\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{57\!\cdots\!56}{34\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{68\!\cdots\!67}{34\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!19}{18\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{75\!\cdots\!55}{18\!\cdots\!83}a-\frac{43\!\cdots\!84}{18\!\cdots\!83}$, $\frac{14\!\cdots\!18}{23\!\cdots\!43}a^{26}+\frac{19\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!43}a^{25}+\frac{30\!\cdots\!45}{23\!\cdots\!43}a^{24}+\frac{79\!\cdots\!03}{23\!\cdots\!43}a^{23}-\frac{27\!\cdots\!78}{23\!\cdots\!43}a^{22}-\frac{48\!\cdots\!88}{23\!\cdots\!43}a^{21}+\frac{12\!\cdots\!46}{23\!\cdots\!43}a^{20}+\frac{40\!\cdots\!41}{23\!\cdots\!43}a^{19}-\frac{30\!\cdots\!55}{23\!\cdots\!43}a^{18}-\frac{78\!\cdots\!72}{12\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!45}{12\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!46}{12\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{26\!\cdots\!22}{12\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!40}{12\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{21\!\cdots\!67}{12\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{58\!\cdots\!44}{12\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!91}{12\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{32\!\cdots\!90}{12\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{31\!\cdots\!71}{65\!\cdots\!63}a^{8}-\frac{25\!\cdots\!88}{65\!\cdots\!63}a^{7}+\frac{38\!\cdots\!04}{65\!\cdots\!63}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!71}{18\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{80\!\cdots\!16}{34\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{25\!\cdots\!05}{34\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{54\!\cdots\!18}{18\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{28\!\cdots\!44}{18\!\cdots\!83}a+\frac{16\!\cdots\!65}{18\!\cdots\!83}$, $\frac{44\!\cdots\!77}{84\!\cdots\!37}a^{26}-\frac{98\!\cdots\!44}{84\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{94\!\cdots\!50}{84\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{51\!\cdots\!57}{84\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{43\!\cdots\!22}{44\!\cdots\!23}a^{22}+\frac{82\!\cdots\!39}{84\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{38\!\cdots\!99}{84\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{92\!\cdots\!15}{84\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{98\!\cdots\!65}{84\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!01}{44\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{64\!\cdots\!13}{44\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{38\!\cdots\!79}{44\!\cdots\!23}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!80}{44\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{38\!\cdots\!85}{44\!\cdots\!23}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!17}a^{12}-\frac{18\!\cdots\!61}{44\!\cdots\!23}a^{11}-\frac{40\!\cdots\!78}{44\!\cdots\!23}a^{10}+\frac{26\!\cdots\!64}{44\!\cdots\!23}a^{9}+\frac{76\!\cdots\!86}{23\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{37\!\cdots\!36}{23\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!87}{23\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{65\!\cdots\!04}{12\!\cdots\!43}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!43}a^{4}+\frac{53\!\cdots\!21}{12\!\cdots\!43}a^{3}+\frac{82\!\cdots\!48}{65\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{61\!\cdots\!75}{65\!\cdots\!97}a-\frac{29\!\cdots\!52}{65\!\cdots\!97}$, $\frac{56\!\cdots\!78}{84\!\cdots\!37}a^{26}+\frac{86\!\cdots\!16}{84\!\cdots\!37}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!68}{84\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!99}{84\!\cdots\!37}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!12}{84\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{17\!\cdots\!78}{84\!\cdots\!37}a^{21}+\frac{49\!\cdots\!07}{84\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!02}{84\!\cdots\!37}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!56}{84\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{29\!\cdots\!80}{44\!\cdots\!23}a^{17}+\frac{70\!\cdots\!18}{44\!\cdots\!23}a^{16}+\frac{56\!\cdots\!98}{44\!\cdots\!23}a^{15}+\frac{38\!\cdots\!97}{44\!\cdots\!23}a^{14}-\frac{54\!\cdots\!93}{44\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{77\!\cdots\!52}{44\!\cdots\!23}a^{12}+\frac{23\!\cdots\!07}{44\!\cdots\!23}a^{11}+\frac{35\!\cdots\!55}{23\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!83}{44\!\cdots\!23}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!17}a^{8}-\frac{86\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!17}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!17}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!08}{12\!\cdots\!43}a^{5}-\frac{82\!\cdots\!75}{12\!\cdots\!43}a^{4}-\frac{94\!\cdots\!42}{12\!\cdots\!43}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!98}{65\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!79}{65\!\cdots\!97}a+\frac{58\!\cdots\!51}{65\!\cdots\!97}$, $\frac{74\!\cdots\!25}{84\!\cdots\!37}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!45}{84\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{15\!\cdots\!54}{84\!\cdots\!37}a^{24}-\frac{26\!\cdots\!03}{84\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!14}{84\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!73}{44\!\cdots\!23}a^{21}-\frac{65\!\cdots\!64}{84\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!61}{84\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!04}{84\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!55}{23\!\cdots\!17}a^{17}-\frac{91\!\cdots\!32}{44\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{74\!\cdots\!41}{44\!\cdots\!23}a^{15}-\frac{74\!\cdots\!32}{44\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{71\!\cdots\!57}{44\!\cdots\!23}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!87}{44\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{30\!\cdots\!28}{44\!\cdots\!23}a^{11}-\frac{89\!\cdots\!10}{44\!\cdots\!23}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!30}{44\!\cdots\!23}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!82}{23\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!51}{23\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!43}a^{5}+\frac{96\!\cdots\!04}{12\!\cdots\!43}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!42}{12\!\cdots\!43}a^{3}+\frac{25\!\cdots\!15}{65\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!10}{65\!\cdots\!97}a-\frac{79\!\cdots\!87}{65\!\cdots\!97}$, $\frac{80\!\cdots\!62}{84\!\cdots\!37}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!15}{84\!\cdots\!37}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!05}{84\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{22\!\cdots\!28}{84\!\cdots\!37}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!24}{84\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!43}{44\!\cdots\!23}a^{21}+\frac{37\!\cdots\!48}{44\!\cdots\!23}a^{20}+\frac{21\!\cdots\!38}{84\!\cdots\!37}a^{19}-\frac{17\!\cdots\!13}{84\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{42\!\cdots\!63}{44\!\cdots\!23}a^{17}+\frac{98\!\cdots\!57}{44\!\cdots\!23}a^{16}+\frac{80\!\cdots\!50}{44\!\cdots\!23}a^{15}+\frac{83\!\cdots\!81}{44\!\cdots\!23}a^{14}-\frac{76\!\cdots\!26}{44\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!96}{44\!\cdots\!23}a^{12}+\frac{32\!\cdots\!55}{44\!\cdots\!23}a^{11}+\frac{96\!\cdots\!08}{44\!\cdots\!23}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!66}{44\!\cdots\!23}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!41}{23\!\cdots\!17}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!17}a^{7}+\frac{21\!\cdots\!30}{23\!\cdots\!17}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!80}{12\!\cdots\!43}a^{5}-\frac{67\!\cdots\!38}{12\!\cdots\!43}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!18}{12\!\cdots\!43}a^{3}-\frac{28\!\cdots\!62}{65\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!09}{65\!\cdots\!97}a+\frac{89\!\cdots\!32}{65\!\cdots\!97}$, $\frac{23\!\cdots\!42}{84\!\cdots\!37}a^{26}-\frac{34\!\cdots\!28}{84\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{49\!\cdots\!63}{84\!\cdots\!37}a^{24}-\frac{86\!\cdots\!34}{84\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{44\!\cdots\!05}{84\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{74\!\cdots\!63}{84\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{20\!\cdots\!48}{84\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{63\!\cdots\!52}{84\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{26\!\cdots\!14}{44\!\cdots\!23}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!27}{44\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{28\!\cdots\!79}{44\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{23\!\cdots\!07}{44\!\cdots\!23}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!77}{44\!\cdots\!23}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!54}{44\!\cdots\!23}a^{13}+\frac{33\!\cdots\!79}{44\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{95\!\cdots\!58}{44\!\cdots\!23}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!68}{44\!\cdots\!23}a^{10}+\frac{35\!\cdots\!22}{23\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{49\!\cdots\!78}{23\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{37\!\cdots\!17}{23\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{62\!\cdots\!18}{23\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{51\!\cdots\!94}{12\!\cdots\!43}a^{5}+\frac{26\!\cdots\!80}{12\!\cdots\!43}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!44}{65\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{80\!\cdots\!30}{65\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{43\!\cdots\!68}{65\!\cdots\!97}a-\frac{25\!\cdots\!14}{65\!\cdots\!97}$, $\frac{60\!\cdots\!52}{84\!\cdots\!37}a^{26}-\frac{89\!\cdots\!75}{84\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!34}{84\!\cdots\!37}a^{24}-\frac{21\!\cdots\!01}{84\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!57}{84\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!89}{44\!\cdots\!23}a^{21}-\frac{53\!\cdots\!75}{84\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!48}{84\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!43}{84\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{32\!\cdots\!11}{44\!\cdots\!23}a^{17}-\frac{74\!\cdots\!68}{44\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{60\!\cdots\!03}{44\!\cdots\!23}a^{15}-\frac{35\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!17}a^{14}+\frac{57\!\cdots\!09}{44\!\cdots\!23}a^{13}+\frac{86\!\cdots\!69}{44\!\cdots\!23}a^{12}-\frac{24\!\cdots\!12}{44\!\cdots\!23}a^{11}-\frac{72\!\cdots\!37}{44\!\cdots\!23}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!55}{44\!\cdots\!23}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{97\!\cdots\!35}{23\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!90}{23\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{70\!\cdots\!75}{65\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{69\!\cdots\!37}{12\!\cdots\!43}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!42}{12\!\cdots\!43}a^{3}+\frac{20\!\cdots\!24}{65\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!21}{65\!\cdots\!97}a-\frac{65\!\cdots\!16}{65\!\cdots\!97}$, $\frac{29\!\cdots\!28}{84\!\cdots\!37}a^{26}+\frac{43\!\cdots\!28}{84\!\cdots\!37}a^{25}+\frac{62\!\cdots\!58}{84\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!06}{84\!\cdots\!37}a^{23}-\frac{55\!\cdots\!65}{84\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{92\!\cdots\!96}{84\!\cdots\!37}a^{21}+\frac{25\!\cdots\!16}{84\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{79\!\cdots\!86}{84\!\cdots\!37}a^{19}-\frac{33\!\cdots\!48}{44\!\cdots\!23}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!98}{44\!\cdots\!23}a^{17}+\frac{36\!\cdots\!40}{44\!\cdots\!23}a^{16}+\frac{29\!\cdots\!34}{44\!\cdots\!23}a^{15}+\frac{27\!\cdots\!94}{44\!\cdots\!23}a^{14}-\frac{28\!\cdots\!63}{44\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{41\!\cdots\!88}{44\!\cdots\!23}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!74}{44\!\cdots\!23}a^{11}+\frac{35\!\cdots\!26}{44\!\cdots\!23}a^{10}-\frac{48\!\cdots\!14}{23\!\cdots\!17}a^{9}-\frac{62\!\cdots\!56}{23\!\cdots\!17}a^{8}-\frac{24\!\cdots\!56}{12\!\cdots\!43}a^{7}+\frac{78\!\cdots\!19}{23\!\cdots\!17}a^{6}+\frac{63\!\cdots\!76}{12\!\cdots\!43}a^{5}-\frac{40\!\cdots\!99}{12\!\cdots\!43}a^{4}-\frac{49\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!43}a^{3}-\frac{97\!\cdots\!46}{65\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{54\!\cdots\!29}{65\!\cdots\!97}a+\frac{30\!\cdots\!21}{65\!\cdots\!97}$, 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|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 2522949704045501000000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{383707689246443888440321132287382098639043931374214514299529}}\cr\approx \mathstrut & 0.273330583772827 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 216*x^25 - 351*x^24 + 18954*x^23 + 59913*x^22 - 831717*x^21 - 4007556*x^20 + 17484066*x^19 + 132803388*x^18 - 84624993*x^17 - 2255595849*x^16 - 3006320904*x^15 + 17933159025*x^14 + 53663373558*x^13 - 39156972282*x^12 - 344264498109*x^11 - 278000308116*x^10 + 859172869167*x^9 + 1710748857222*x^8 - 126820721979*x^7 - 2922899699187*x^6 - 2110999635981*x^5 + 1299946892481*x^4 + 2155024024596*x^3 + 402933114171*x^2 - 497532476466*x - 204171695243)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^27 - 216*x^25 - 351*x^24 + 18954*x^23 + 59913*x^22 - 831717*x^21 - 4007556*x^20 + 17484066*x^19 + 132803388*x^18 - 84624993*x^17 - 2255595849*x^16 - 3006320904*x^15 + 17933159025*x^14 + 53663373558*x^13 - 39156972282*x^12 - 344264498109*x^11 - 278000308116*x^10 + 859172869167*x^9 + 1710748857222*x^8 - 126820721979*x^7 - 2922899699187*x^6 - 2110999635981*x^5 + 1299946892481*x^4 + 2155024024596*x^3 + 402933114171*x^2 - 497532476466*x - 204171695243, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^27 - 216*x^25 - 351*x^24 + 18954*x^23 + 59913*x^22 - 831717*x^21 - 4007556*x^20 + 17484066*x^19 + 132803388*x^18 - 84624993*x^17 - 2255595849*x^16 - 3006320904*x^15 + 17933159025*x^14 + 53663373558*x^13 - 39156972282*x^12 - 344264498109*x^11 - 278000308116*x^10 + 859172869167*x^9 + 1710748857222*x^8 - 126820721979*x^7 - 2922899699187*x^6 - 2110999635981*x^5 + 1299946892481*x^4 + 2155024024596*x^3 + 402933114171*x^2 - 497532476466*x - 204171695243);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 216*x^25 - 351*x^24 + 18954*x^23 + 59913*x^22 - 831717*x^21 - 4007556*x^20 + 17484066*x^19 + 132803388*x^18 - 84624993*x^17 - 2255595849*x^16 - 3006320904*x^15 + 17933159025*x^14 + 53663373558*x^13 - 39156972282*x^12 - 344264498109*x^11 - 278000308116*x^10 + 859172869167*x^9 + 1710748857222*x^8 - 126820721979*x^7 - 2922899699187*x^6 - 2110999635981*x^5 + 1299946892481*x^4 + 2155024024596*x^3 + 402933114171*x^2 - 497532476466*x - 204171695243);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$C_3^6.C_3^3:C_9$ (as 27T1470):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A solvable group of order 177147 |
| The 251 conjugacy class representatives for $C_3^6.C_3^3:C_9$ |
| Character table for $C_3^6.C_3^3:C_9$ |
Intermediate fields
| \(\Q(\zeta_{9})^+\), 9.9.139858796529.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 27 siblings: | data not computed |
| Minimal sibling: | 27.27.8156031539646242110766745600690995639746738537518609.7 |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | ${\href{/padicField/2.9.0.1}{9} }^{3}$ | R | $27$ | ${\href{/padicField/7.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/padicField/7.3.0.1}{3} }^{6}$ | ${\href{/padicField/11.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{6}$ | ${\href{/padicField/13.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }^{3}$ | R | ${\href{/padicField/23.9.0.1}{9} }^{3}$ | $27$ | ${\href{/padicField/31.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{6}$ | ${\href{/padicField/37.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{6}$ | $27$ | ${\href{/padicField/43.9.0.1}{9} }^{3}$ | $27$ | ${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/padicField/53.3.0.1}{3} }^{6}$ | $27$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(3\)
| Deg $27$ | $27$ | $1$ | $82$ | |||
|
\(19\)
| $\Q_{19}$ | $x + 17$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ |
| $\Q_{19}$ | $x + 17$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| $\Q_{19}$ | $x + 17$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| 19.3.0.1 | $x^{3} + 4 x + 17$ | $1$ | $3$ | $0$ | $C_3$ | $[\ ]^{3}$ | |
| 19.3.2.2 | $x^{3} + 19$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ | |
| 19.9.8.2 | $x^{9} + 57$ | $9$ | $1$ | $8$ | $C_9$ | $[\ ]_{9}$ | |
| 19.9.6.2 | $x^{9} + 981 x^{7} + 108 x^{6} + 316911 x^{5} + 20529 x^{4} + 34115982 x^{3} + 10990188 x^{2} + 130942880 x + 566550143$ | $3$ | $3$ | $6$ | $C_3^2$ | $[\ ]_{3}^{3}$ |