Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 216*x^25 - 333*x^24 + 18954*x^23 + 52893*x^22 - 852030*x^21 - 3281148*x^20 + 20969388*x^19 + 104103432*x^18 - 285990831*x^17 - 1907406333*x^16 + 1938725496*x^15 + 21440798577*x^14 - 1499373828*x^13 - 151838594145*x^12 - 75166183575*x^11 + 679464549387*x^10 + 578776504776*x^9 - 1884091171959*x^8 - 2042571007674*x^7 + 3079526987592*x^6 + 3783386874411*x^5 - 2688697902708*x^4 - 3407929857954*x^3 + 1078232166144*x^2 + 1068270819867*x - 237554461961)
gp: K = bnfinit(y^27 - 216*y^25 - 333*y^24 + 18954*y^23 + 52893*y^22 - 852030*y^21 - 3281148*y^20 + 20969388*y^19 + 104103432*y^18 - 285990831*y^17 - 1907406333*y^16 + 1938725496*y^15 + 21440798577*y^14 - 1499373828*y^13 - 151838594145*y^12 - 75166183575*y^11 + 679464549387*y^10 + 578776504776*y^9 - 1884091171959*y^8 - 2042571007674*y^7 + 3079526987592*y^6 + 3783386874411*y^5 - 2688697902708*y^4 - 3407929857954*y^3 + 1078232166144*y^2 + 1068270819867*y - 237554461961, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^27 - 216*x^25 - 333*x^24 + 18954*x^23 + 52893*x^22 - 852030*x^21 - 3281148*x^20 + 20969388*x^19 + 104103432*x^18 - 285990831*x^17 - 1907406333*x^16 + 1938725496*x^15 + 21440798577*x^14 - 1499373828*x^13 - 151838594145*x^12 - 75166183575*x^11 + 679464549387*x^10 + 578776504776*x^9 - 1884091171959*x^8 - 2042571007674*x^7 + 3079526987592*x^6 + 3783386874411*x^5 - 2688697902708*x^4 - 3407929857954*x^3 + 1078232166144*x^2 + 1068270819867*x - 237554461961);
oscar: Qx, x = polynomial_ring(QQ); K, a = number_field(x^27 - 216*x^25 - 333*x^24 + 18954*x^23 + 52893*x^22 - 852030*x^21 - 3281148*x^20 + 20969388*x^19 + 104103432*x^18 - 285990831*x^17 - 1907406333*x^16 + 1938725496*x^15 + 21440798577*x^14 - 1499373828*x^13 - 151838594145*x^12 - 75166183575*x^11 + 679464549387*x^10 + 578776504776*x^9 - 1884091171959*x^8 - 2042571007674*x^7 + 3079526987592*x^6 + 3783386874411*x^5 - 2688697902708*x^4 - 3407929857954*x^3 + 1078232166144*x^2 + 1068270819867*x - 237554461961)
\( x^{27} - 216 x^{25} - 333 x^{24} + 18954 x^{23} + 52893 x^{22} - 852030 x^{21} - 3281148 x^{20} + \cdots - 237554461961 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $27$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[27, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(383707689246443888440321132287382098639043931374214514299529\)
\(\medspace = 3^{82}\cdot 19^{16}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(161.00\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | not computed | ||
| Ramified primes: |
\(3\), \(19\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $3$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $\frac{1}{19}a^{15}-\frac{7}{19}a^{13}+\frac{9}{19}a^{12}-\frac{8}{19}a^{11}-\frac{3}{19}a^{10}+\frac{6}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{16}-\frac{7}{19}a^{14}+\frac{9}{19}a^{13}-\frac{8}{19}a^{12}-\frac{3}{19}a^{11}+\frac{6}{19}a^{10}$, $\frac{1}{19}a^{17}+\frac{9}{19}a^{14}+\frac{3}{19}a^{12}+\frac{7}{19}a^{11}-\frac{2}{19}a^{10}+\frac{4}{19}a^{9}$, $\frac{1}{361}a^{18}-\frac{7}{361}a^{16}+\frac{9}{361}a^{15}+\frac{163}{361}a^{14}+\frac{35}{361}a^{13}-\frac{108}{361}a^{12}-\frac{7}{19}a^{11}-\frac{8}{19}a^{10}-\frac{3}{19}a^{9}-\frac{7}{19}a^{8}-\frac{1}{19}a^{7}-\frac{5}{19}a^{6}-\frac{3}{19}a^{5}-\frac{2}{19}a^{4}+\frac{1}{19}a^{3}$, $\frac{1}{361}a^{19}-\frac{7}{361}a^{17}+\frac{9}{361}a^{16}-\frac{8}{361}a^{15}+\frac{35}{361}a^{14}+\frac{6}{361}a^{13}+\frac{7}{19}a^{12}+\frac{7}{19}a^{11}+\frac{5}{19}a^{10}-\frac{4}{19}a^{9}-\frac{1}{19}a^{8}-\frac{5}{19}a^{7}-\frac{3}{19}a^{6}-\frac{2}{19}a^{5}+\frac{1}{19}a^{4}$, $\frac{1}{361}a^{20}+\frac{9}{361}a^{17}+\frac{3}{361}a^{15}+\frac{26}{361}a^{14}+\frac{112}{361}a^{13}-\frac{129}{361}a^{12}+\frac{6}{19}a^{11}-\frac{8}{19}a^{10}+\frac{5}{19}a^{9}+\frac{3}{19}a^{8}+\frac{9}{19}a^{7}+\frac{1}{19}a^{6}-\frac{1}{19}a^{5}+\frac{5}{19}a^{4}+\frac{7}{19}a^{3}$, $\frac{1}{6859}a^{21}-\frac{7}{6859}a^{19}+\frac{9}{6859}a^{18}+\frac{163}{6859}a^{17}+\frac{35}{6859}a^{16}-\frac{108}{6859}a^{15}-\frac{178}{361}a^{14}+\frac{163}{361}a^{13}-\frac{79}{361}a^{12}-\frac{26}{361}a^{11}+\frac{170}{361}a^{10}-\frac{5}{361}a^{9}+\frac{111}{361}a^{8}-\frac{116}{361}a^{7}-\frac{113}{361}a^{6}-\frac{2}{19}a^{5}-\frac{8}{19}a^{4}+\frac{8}{19}a^{3}$, $\frac{1}{6859}a^{22}-\frac{7}{6859}a^{20}+\frac{9}{6859}a^{19}-\frac{8}{6859}a^{18}+\frac{35}{6859}a^{17}+\frac{6}{6859}a^{16}+\frac{7}{361}a^{15}+\frac{178}{361}a^{14}+\frac{119}{361}a^{13}-\frac{175}{361}a^{12}+\frac{132}{361}a^{11}-\frac{138}{361}a^{10}+\frac{54}{361}a^{9}-\frac{2}{361}a^{8}+\frac{58}{361}a^{7}+\frac{5}{19}a^{6}+\frac{7}{19}a^{4}-\frac{9}{19}a^{3}$, $\frac{1}{6859}a^{23}+\frac{9}{6859}a^{20}+\frac{3}{6859}a^{18}+\frac{26}{6859}a^{17}+\frac{112}{6859}a^{16}-\frac{129}{6859}a^{15}+\frac{158}{361}a^{14}-\frac{65}{361}a^{13}-\frac{33}{361}a^{12}-\frac{130}{361}a^{11}-\frac{29}{361}a^{10}+\frac{134}{361}a^{9}-\frac{1}{361}a^{8}+\frac{176}{361}a^{7}-\frac{126}{361}a^{6}+\frac{2}{19}a^{5}+\frac{5}{19}a^{4}-\frac{6}{19}a^{3}$, $\frac{1}{130321}a^{24}-\frac{7}{130321}a^{22}+\frac{9}{130321}a^{21}+\frac{163}{130321}a^{20}+\frac{35}{130321}a^{19}-\frac{108}{130321}a^{18}-\frac{178}{6859}a^{17}+\frac{163}{6859}a^{16}-\frac{79}{6859}a^{15}-\frac{2914}{6859}a^{14}-\frac{1996}{6859}a^{13}-\frac{366}{6859}a^{12}+\frac{472}{6859}a^{11}-\frac{1199}{6859}a^{10}+\frac{2414}{6859}a^{9}+\frac{112}{361}a^{8}-\frac{84}{361}a^{7}+\frac{122}{361}a^{6}+\frac{6}{19}a^{5}-\frac{5}{19}a^{4}+\frac{2}{19}a^{3}$, $\frac{1}{130321}a^{25}-\frac{7}{130321}a^{23}+\frac{9}{130321}a^{22}-\frac{8}{130321}a^{21}+\frac{35}{130321}a^{20}+\frac{6}{130321}a^{19}+\frac{7}{6859}a^{18}+\frac{178}{6859}a^{17}+\frac{119}{6859}a^{16}-\frac{175}{6859}a^{15}-\frac{2395}{6859}a^{14}+\frac{584}{6859}a^{13}+\frac{2942}{6859}a^{12}+\frac{2164}{6859}a^{11}+\frac{780}{6859}a^{10}-\frac{166}{361}a^{9}+\frac{102}{361}a^{7}-\frac{28}{361}a^{6}-\frac{4}{19}a^{5}+\frac{5}{19}a^{4}-\frac{1}{19}a^{3}$, $\frac{1}{92\!\cdots\!17}a^{26}+\frac{33\!\cdots\!07}{92\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!94}{48\!\cdots\!43}a^{24}-\frac{15\!\cdots\!77}{92\!\cdots\!17}a^{23}+\frac{57\!\cdots\!77}{92\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!49}{48\!\cdots\!43}a^{21}+\frac{58\!\cdots\!79}{92\!\cdots\!17}a^{20}-\frac{39\!\cdots\!32}{92\!\cdots\!17}a^{19}+\frac{44\!\cdots\!66}{92\!\cdots\!17}a^{18}+\frac{87\!\cdots\!15}{48\!\cdots\!43}a^{17}+\frac{64\!\cdots\!75}{48\!\cdots\!43}a^{16}-\frac{94\!\cdots\!18}{48\!\cdots\!43}a^{15}+\frac{20\!\cdots\!91}{48\!\cdots\!43}a^{14}+\frac{70\!\cdots\!27}{25\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!31}{48\!\cdots\!43}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!73}{48\!\cdots\!43}a^{11}+\frac{60\!\cdots\!84}{48\!\cdots\!43}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!17}{48\!\cdots\!43}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!02}{25\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!96}{25\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{86\!\cdots\!37}{25\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{37\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!63}a^{5}+\frac{42\!\cdots\!72}{13\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{62\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!69}{71\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!42}{71\!\cdots\!77}a-\frac{43\!\cdots\!11}{71\!\cdots\!77}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $26$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{14\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!33}a^{26}+\frac{23\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!33}a^{25}+\frac{31\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!33}a^{24}-\frac{99\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!33}a^{23}-\frac{27\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!33}a^{22}-\frac{33\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!33}a^{21}+\frac{68\!\cdots\!14}{61\!\cdots\!07}a^{20}+\frac{27\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!33}a^{19}-\frac{35\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!33}a^{18}-\frac{51\!\cdots\!20}{61\!\cdots\!07}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!00}{61\!\cdots\!07}a^{16}+\frac{99\!\cdots\!31}{61\!\cdots\!07}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!63}{61\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!35}{61\!\cdots\!07}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!43}{61\!\cdots\!07}a^{12}+\frac{86\!\cdots\!30}{61\!\cdots\!07}a^{11}-\frac{79\!\cdots\!38}{61\!\cdots\!07}a^{10}-\frac{40\!\cdots\!95}{61\!\cdots\!07}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!60}{32\!\cdots\!53}a^{8}+\frac{61\!\cdots\!82}{32\!\cdots\!53}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!76}{32\!\cdots\!53}a^{6}-\frac{55\!\cdots\!61}{17\!\cdots\!87}a^{5}+\frac{58\!\cdots\!17}{17\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{49\!\cdots\!87}{17\!\cdots\!87}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!68}{89\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{87\!\cdots\!60}{89\!\cdots\!73}a+\frac{17\!\cdots\!93}{89\!\cdots\!73}$, $\frac{78\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!33}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!33}a^{25}+\frac{16\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!33}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!33}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!33}a^{22}-\frac{18\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!33}a^{21}+\frac{36\!\cdots\!61}{61\!\cdots\!07}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!33}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!33}a^{18}-\frac{27\!\cdots\!68}{61\!\cdots\!07}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!73}{61\!\cdots\!07}a^{16}+\frac{53\!\cdots\!29}{61\!\cdots\!07}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!98}{61\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{62\!\cdots\!35}{61\!\cdots\!07}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!88}{61\!\cdots\!07}a^{12}+\frac{46\!\cdots\!86}{61\!\cdots\!07}a^{11}-\frac{41\!\cdots\!96}{61\!\cdots\!07}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!52}{61\!\cdots\!07}a^{9}+\frac{51\!\cdots\!48}{32\!\cdots\!53}a^{8}+\frac{32\!\cdots\!38}{32\!\cdots\!53}a^{7}-\frac{69\!\cdots\!92}{32\!\cdots\!53}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!41}{17\!\cdots\!87}a^{5}+\frac{28\!\cdots\!84}{17\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!41}{17\!\cdots\!87}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!86}{89\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{46\!\cdots\!40}{89\!\cdots\!73}a+\frac{89\!\cdots\!07}{89\!\cdots\!73}$, $\frac{74\!\cdots\!03}{92\!\cdots\!17}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!21}{92\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!34}{92\!\cdots\!17}a^{24}-\frac{49\!\cdots\!50}{92\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!77}{92\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!48}{92\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{65\!\cdots\!48}{92\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!34}{92\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{17\!\cdots\!19}{92\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{25\!\cdots\!88}{48\!\cdots\!43}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!51}{48\!\cdots\!43}a^{16}+\frac{49\!\cdots\!81}{48\!\cdots\!43}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!45}{48\!\cdots\!43}a^{14}-\frac{58\!\cdots\!18}{48\!\cdots\!43}a^{13}+\frac{98\!\cdots\!84}{48\!\cdots\!43}a^{12}+\frac{43\!\cdots\!07}{48\!\cdots\!43}a^{11}-\frac{39\!\cdots\!81}{48\!\cdots\!43}a^{10}-\frac{20\!\cdots\!70}{48\!\cdots\!43}a^{9}+\frac{49\!\cdots\!87}{25\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{30\!\cdots\!31}{25\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{67\!\cdots\!49}{25\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!44}{71\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{28\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{24\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!78}{71\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{42\!\cdots\!20}{71\!\cdots\!77}a+\frac{83\!\cdots\!53}{71\!\cdots\!77}$, $\frac{74\!\cdots\!03}{92\!\cdots\!17}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!21}{92\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!34}{92\!\cdots\!17}a^{24}-\frac{49\!\cdots\!50}{92\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!77}{92\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!48}{92\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{65\!\cdots\!48}{92\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!34}{92\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{17\!\cdots\!19}{92\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{25\!\cdots\!88}{48\!\cdots\!43}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!51}{48\!\cdots\!43}a^{16}+\frac{49\!\cdots\!81}{48\!\cdots\!43}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!45}{48\!\cdots\!43}a^{14}-\frac{58\!\cdots\!18}{48\!\cdots\!43}a^{13}+\frac{98\!\cdots\!84}{48\!\cdots\!43}a^{12}+\frac{43\!\cdots\!07}{48\!\cdots\!43}a^{11}-\frac{39\!\cdots\!81}{48\!\cdots\!43}a^{10}-\frac{20\!\cdots\!70}{48\!\cdots\!43}a^{9}+\frac{49\!\cdots\!87}{25\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{30\!\cdots\!31}{25\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{67\!\cdots\!49}{25\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!44}{71\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{28\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{24\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!78}{71\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{42\!\cdots\!20}{71\!\cdots\!77}a+\frac{83\!\cdots\!30}{71\!\cdots\!77}$, $\frac{18\!\cdots\!03}{92\!\cdots\!17}a^{26}+\frac{29\!\cdots\!16}{92\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{39\!\cdots\!65}{92\!\cdots\!17}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!67}{92\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{35\!\cdots\!31}{92\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{42\!\cdots\!72}{92\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{16\!\cdots\!88}{92\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{34\!\cdots\!64}{92\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{44\!\cdots\!50}{92\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{64\!\cdots\!04}{48\!\cdots\!43}a^{17}+\frac{38\!\cdots\!74}{48\!\cdots\!43}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!21}{48\!\cdots\!43}a^{15}-\frac{38\!\cdots\!90}{48\!\cdots\!43}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!58}{48\!\cdots\!43}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!22}{48\!\cdots\!43}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!96}{48\!\cdots\!43}a^{11}-\frac{99\!\cdots\!46}{48\!\cdots\!43}a^{10}-\frac{50\!\cdots\!91}{48\!\cdots\!43}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!61}{25\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{76\!\cdots\!68}{25\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!79}{25\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{68\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!63}a^{5}+\frac{72\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{61\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{28\!\cdots\!44}{71\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!47}{71\!\cdots\!77}a+\frac{21\!\cdots\!60}{71\!\cdots\!77}$, $\frac{16\!\cdots\!36}{92\!\cdots\!17}a^{26}+\frac{26\!\cdots\!60}{92\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{35\!\cdots\!14}{92\!\cdots\!17}a^{24}-\frac{48\!\cdots\!19}{92\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{31\!\cdots\!22}{92\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{38\!\cdots\!77}{92\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!26}{92\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{31\!\cdots\!84}{92\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{39\!\cdots\!39}{92\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{58\!\cdots\!99}{48\!\cdots\!43}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!35}{25\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!17}{48\!\cdots\!43}a^{15}-\frac{34\!\cdots\!80}{48\!\cdots\!43}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!12}{48\!\cdots\!43}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!38}{48\!\cdots\!43}a^{12}+\frac{51\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{88\!\cdots\!02}{48\!\cdots\!43}a^{10}-\frac{45\!\cdots\!34}{48\!\cdots\!43}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{69\!\cdots\!17}{25\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{61\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!63}a^{5}+\frac{61\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{54\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{24\!\cdots\!75}{71\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{97\!\cdots\!57}{71\!\cdots\!77}a+\frac{19\!\cdots\!69}{71\!\cdots\!77}$, $\frac{61\!\cdots\!84}{92\!\cdots\!17}a^{26}-\frac{94\!\cdots\!94}{92\!\cdots\!17}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!49}{92\!\cdots\!17}a^{24}-\frac{25\!\cdots\!15}{92\!\cdots\!17}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!28}{92\!\cdots\!17}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!67}{92\!\cdots\!17}a^{21}-\frac{54\!\cdots\!38}{92\!\cdots\!17}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!50}{92\!\cdots\!17}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!53}{92\!\cdots\!17}a^{18}+\frac{21\!\cdots\!26}{48\!\cdots\!43}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!56}{48\!\cdots\!43}a^{16}-\frac{42\!\cdots\!64}{48\!\cdots\!43}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!23}{48\!\cdots\!43}a^{14}+\frac{49\!\cdots\!59}{48\!\cdots\!43}a^{13}-\frac{80\!\cdots\!33}{48\!\cdots\!43}a^{12}-\frac{36\!\cdots\!62}{48\!\cdots\!43}a^{11}+\frac{31\!\cdots\!20}{48\!\cdots\!43}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!16}{48\!\cdots\!43}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!63}a^{8}-\frac{25\!\cdots\!34}{25\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{52\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{20\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!63}a^{3}+\frac{86\!\cdots\!48}{71\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{36\!\cdots\!26}{71\!\cdots\!77}a-\frac{70\!\cdots\!92}{71\!\cdots\!77}$, $\frac{87\!\cdots\!92}{92\!\cdots\!17}a^{26}-\frac{14\!\cdots\!29}{92\!\cdots\!17}a^{25}-\frac{18\!\cdots\!16}{92\!\cdots\!17}a^{24}+\frac{79\!\cdots\!09}{92\!\cdots\!17}a^{23}+\frac{16\!\cdots\!59}{92\!\cdots\!17}a^{22}+\frac{19\!\cdots\!14}{92\!\cdots\!17}a^{21}-\frac{77\!\cdots\!47}{92\!\cdots\!17}a^{20}-\frac{85\!\cdots\!54}{48\!\cdots\!43}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!12}{92\!\cdots\!17}a^{18}+\frac{30\!\cdots\!01}{48\!\cdots\!43}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!63}{48\!\cdots\!43}a^{16}-\frac{58\!\cdots\!04}{48\!\cdots\!43}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!54}{48\!\cdots\!43}a^{14}+\frac{69\!\cdots\!36}{48\!\cdots\!43}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!65}{48\!\cdots\!43}a^{12}-\frac{51\!\cdots\!41}{48\!\cdots\!43}a^{11}+\frac{47\!\cdots\!45}{48\!\cdots\!43}a^{10}+\frac{23\!\cdots\!39}{48\!\cdots\!43}a^{9}-\frac{60\!\cdots\!84}{25\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{36\!\cdots\!94}{25\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{83\!\cdots\!21}{25\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{35\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{28\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!63}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!49}{71\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{51\!\cdots\!63}{71\!\cdots\!77}a-\frac{99\!\cdots\!84}{71\!\cdots\!77}$, $\frac{69\!\cdots\!93}{92\!\cdots\!17}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!36}{92\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!54}{92\!\cdots\!17}a^{24}-\frac{34\!\cdots\!41}{92\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!37}{92\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!55}{92\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{62\!\cdots\!94}{92\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!17}{92\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!73}{92\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{24\!\cdots\!75}{48\!\cdots\!43}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!40}{48\!\cdots\!43}a^{16}+\frac{47\!\cdots\!11}{48\!\cdots\!43}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!54}{48\!\cdots\!43}a^{14}-\frac{55\!\cdots\!43}{48\!\cdots\!43}a^{13}+\frac{93\!\cdots\!32}{48\!\cdots\!43}a^{12}+\frac{40\!\cdots\!74}{48\!\cdots\!43}a^{11}-\frac{37\!\cdots\!91}{48\!\cdots\!43}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!39}{48\!\cdots\!43}a^{9}+\frac{46\!\cdots\!85}{25\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{28\!\cdots\!21}{25\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{64\!\cdots\!11}{25\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{25\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!63}a^{5}+\frac{26\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!29}{71\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{40\!\cdots\!35}{71\!\cdots\!77}a+\frac{79\!\cdots\!33}{71\!\cdots\!77}$, $\frac{33\!\cdots\!20}{92\!\cdots\!17}a^{26}+\frac{53\!\cdots\!52}{92\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{71\!\cdots\!60}{92\!\cdots\!17}a^{24}-\frac{35\!\cdots\!59}{92\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{63\!\cdots\!11}{92\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{74\!\cdots\!51}{92\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{29\!\cdots\!69}{92\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{61\!\cdots\!33}{92\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{80\!\cdots\!74}{92\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{60\!\cdots\!68}{25\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{68\!\cdots\!18}{48\!\cdots\!43}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!97}{48\!\cdots\!43}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!63}a^{14}-\frac{26\!\cdots\!13}{48\!\cdots\!43}a^{13}+\frac{45\!\cdots\!12}{48\!\cdots\!43}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!46}{48\!\cdots\!43}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!51}{48\!\cdots\!43}a^{10}-\frac{90\!\cdots\!85}{48\!\cdots\!43}a^{9}+\frac{23\!\cdots\!81}{25\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!42}{25\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{32\!\cdots\!59}{25\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!63}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{51\!\cdots\!18}{71\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!55}{71\!\cdots\!77}a+\frac{37\!\cdots\!22}{71\!\cdots\!77}$, $\frac{81\!\cdots\!39}{92\!\cdots\!17}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!77}{92\!\cdots\!17}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!64}{92\!\cdots\!17}a^{24}+\frac{47\!\cdots\!26}{48\!\cdots\!43}a^{23}+\frac{15\!\cdots\!14}{92\!\cdots\!17}a^{22}+\frac{96\!\cdots\!08}{48\!\cdots\!43}a^{21}-\frac{72\!\cdots\!58}{92\!\cdots\!17}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!94}{92\!\cdots\!17}a^{19}+\frac{19\!\cdots\!96}{92\!\cdots\!17}a^{18}+\frac{28\!\cdots\!55}{48\!\cdots\!43}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!91}{48\!\cdots\!43}a^{16}-\frac{54\!\cdots\!83}{48\!\cdots\!43}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!69}{48\!\cdots\!43}a^{14}+\frac{64\!\cdots\!38}{48\!\cdots\!43}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!97}{48\!\cdots\!43}a^{12}-\frac{47\!\cdots\!41}{48\!\cdots\!43}a^{11}+\frac{44\!\cdots\!74}{48\!\cdots\!43}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!58}{48\!\cdots\!43}a^{9}-\frac{56\!\cdots\!92}{25\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{33\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{79\!\cdots\!71}{25\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{30\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{33\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{26\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!63}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!24}{71\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{47\!\cdots\!47}{71\!\cdots\!77}a-\frac{92\!\cdots\!09}{71\!\cdots\!77}$, $\frac{29\!\cdots\!45}{92\!\cdots\!17}a^{26}-\frac{45\!\cdots\!77}{92\!\cdots\!17}a^{25}-\frac{62\!\cdots\!01}{92\!\cdots\!17}a^{24}-\frac{14\!\cdots\!43}{92\!\cdots\!17}a^{23}+\frac{55\!\cdots\!50}{92\!\cdots\!17}a^{22}+\frac{69\!\cdots\!98}{92\!\cdots\!17}a^{21}-\frac{26\!\cdots\!36}{92\!\cdots\!17}a^{20}-\frac{56\!\cdots\!97}{92\!\cdots\!17}a^{19}+\frac{70\!\cdots\!07}{92\!\cdots\!17}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!62}{48\!\cdots\!43}a^{17}-\frac{60\!\cdots\!57}{48\!\cdots\!43}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!61}{48\!\cdots\!43}a^{15}+\frac{60\!\cdots\!26}{48\!\cdots\!43}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!38}{48\!\cdots\!43}a^{13}-\frac{38\!\cdots\!53}{48\!\cdots\!43}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!48}{48\!\cdots\!43}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!07}{48\!\cdots\!43}a^{10}+\frac{81\!\cdots\!21}{48\!\cdots\!43}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!97}{25\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!59}{25\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{24\!\cdots\!04}{25\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{58\!\cdots\!67}{71\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{99\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{99\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!63}a^{3}+\frac{41\!\cdots\!01}{71\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!16}{71\!\cdots\!77}a-\frac{34\!\cdots\!37}{71\!\cdots\!77}$, $\frac{43\!\cdots\!03}{92\!\cdots\!17}a^{26}+\frac{74\!\cdots\!77}{92\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{92\!\cdots\!40}{92\!\cdots\!17}a^{24}-\frac{14\!\cdots\!47}{92\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{43\!\cdots\!35}{48\!\cdots\!43}a^{22}-\frac{88\!\cdots\!88}{92\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{38\!\cdots\!02}{92\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{76\!\cdots\!51}{92\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!58}{92\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!90}{48\!\cdots\!43}a^{17}+\frac{91\!\cdots\!35}{48\!\cdots\!43}a^{16}+\frac{28\!\cdots\!52}{48\!\cdots\!43}a^{15}-\frac{95\!\cdots\!89}{48\!\cdots\!43}a^{14}-\frac{33\!\cdots\!96}{48\!\cdots\!43}a^{13}+\frac{62\!\cdots\!03}{48\!\cdots\!43}a^{12}+\frac{25\!\cdots\!71}{48\!\cdots\!43}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!06}{48\!\cdots\!43}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!92}{48\!\cdots\!43}a^{9}+\frac{35\!\cdots\!18}{25\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!06}{25\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{52\!\cdots\!14}{25\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{87\!\cdots\!92}{71\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{23\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{80\!\cdots\!08}{71\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{26\!\cdots\!51}{71\!\cdots\!77}a+\frac{52\!\cdots\!97}{71\!\cdots\!77}$, 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|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 1869498757230685000000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{383707689246443888440321132287382098639043931374214514299529}}\cr\approx \mathstrut & 0.202537207086242 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 216*x^25 - 333*x^24 + 18954*x^23 + 52893*x^22 - 852030*x^21 - 3281148*x^20 + 20969388*x^19 + 104103432*x^18 - 285990831*x^17 - 1907406333*x^16 + 1938725496*x^15 + 21440798577*x^14 - 1499373828*x^13 - 151838594145*x^12 - 75166183575*x^11 + 679464549387*x^10 + 578776504776*x^9 - 1884091171959*x^8 - 2042571007674*x^7 + 3079526987592*x^6 + 3783386874411*x^5 - 2688697902708*x^4 - 3407929857954*x^3 + 1078232166144*x^2 + 1068270819867*x - 237554461961)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^27 - 216*x^25 - 333*x^24 + 18954*x^23 + 52893*x^22 - 852030*x^21 - 3281148*x^20 + 20969388*x^19 + 104103432*x^18 - 285990831*x^17 - 1907406333*x^16 + 1938725496*x^15 + 21440798577*x^14 - 1499373828*x^13 - 151838594145*x^12 - 75166183575*x^11 + 679464549387*x^10 + 578776504776*x^9 - 1884091171959*x^8 - 2042571007674*x^7 + 3079526987592*x^6 + 3783386874411*x^5 - 2688697902708*x^4 - 3407929857954*x^3 + 1078232166144*x^2 + 1068270819867*x - 237554461961, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^27 - 216*x^25 - 333*x^24 + 18954*x^23 + 52893*x^22 - 852030*x^21 - 3281148*x^20 + 20969388*x^19 + 104103432*x^18 - 285990831*x^17 - 1907406333*x^16 + 1938725496*x^15 + 21440798577*x^14 - 1499373828*x^13 - 151838594145*x^12 - 75166183575*x^11 + 679464549387*x^10 + 578776504776*x^9 - 1884091171959*x^8 - 2042571007674*x^7 + 3079526987592*x^6 + 3783386874411*x^5 - 2688697902708*x^4 - 3407929857954*x^3 + 1078232166144*x^2 + 1068270819867*x - 237554461961);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 216*x^25 - 333*x^24 + 18954*x^23 + 52893*x^22 - 852030*x^21 - 3281148*x^20 + 20969388*x^19 + 104103432*x^18 - 285990831*x^17 - 1907406333*x^16 + 1938725496*x^15 + 21440798577*x^14 - 1499373828*x^13 - 151838594145*x^12 - 75166183575*x^11 + 679464549387*x^10 + 578776504776*x^9 - 1884091171959*x^8 - 2042571007674*x^7 + 3079526987592*x^6 + 3783386874411*x^5 - 2688697902708*x^4 - 3407929857954*x^3 + 1078232166144*x^2 + 1068270819867*x - 237554461961);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$C_3^7.C_3\wr C_3$ (as 27T1459):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A solvable group of order 177147 |
| The 251 conjugacy class representatives for $C_3^7.C_3\wr C_3$ |
| Character table for $C_3^7.C_3\wr C_3$ |
Intermediate fields
| \(\Q(\zeta_{9})^+\), 9.9.139858796529.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 27 siblings: | data not computed |
| Minimal sibling: | 27.27.8156031539646242110766745600690995639746738537518609.3 |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | $27$ | R | $27$ | ${\href{/padicField/7.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/11.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{6}$ | $27$ | ${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/17.3.0.1}{3} }^{3}$ | R | $27$ | $27$ | ${\href{/padicField/31.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{6}$ | ${\href{/padicField/37.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{3}$ | $27$ | $27$ | $27$ | ${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/53.3.0.1}{3} }^{3}$ | $27$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(3\)
| Deg $27$ | $27$ | $1$ | $82$ | |||
|
\(19\)
| 19.3.0.1 | $x^{3} + 4 x + 17$ | $1$ | $3$ | $0$ | $C_3$ | $[\ ]^{3}$ |
| 19.3.0.1 | $x^{3} + 4 x + 17$ | $1$ | $3$ | $0$ | $C_3$ | $[\ ]^{3}$ | |
| 19.3.2.1 | $x^{3} + 76$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ | |
| 19.9.8.2 | $x^{9} + 57$ | $9$ | $1$ | $8$ | $C_9$ | $[\ ]_{9}$ | |
| 19.9.6.1 | $x^{9} + 1444 x^{3} - 116603$ | $3$ | $3$ | $6$ | $C_9$ | $[\ ]_{3}^{3}$ |