Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 216*x^25 - 117*x^24 + 18954*x^23 + 18252*x^22 - 880956*x^21 - 1129626*x^20 + 23786271*x^19 + 36121014*x^18 - 388008063*x^17 - 663083280*x^16 + 3881919906*x^15 + 7441348176*x^14 - 23461467102*x^13 - 52175347803*x^12 + 79089740955*x^11 + 224088111090*x^10 - 105212273862*x^9 - 546189714900*x^8 - 126600712695*x^7 + 613151491185*x^6 + 468570328389*x^5 - 106598016765*x^4 - 228661747884*x^3 - 76816019277*x^2 - 4211844399*x + 983011303)
gp: K = bnfinit(y^27 - 216*y^25 - 117*y^24 + 18954*y^23 + 18252*y^22 - 880956*y^21 - 1129626*y^20 + 23786271*y^19 + 36121014*y^18 - 388008063*y^17 - 663083280*y^16 + 3881919906*y^15 + 7441348176*y^14 - 23461467102*y^13 - 52175347803*y^12 + 79089740955*y^11 + 224088111090*y^10 - 105212273862*y^9 - 546189714900*y^8 - 126600712695*y^7 + 613151491185*y^6 + 468570328389*y^5 - 106598016765*y^4 - 228661747884*y^3 - 76816019277*y^2 - 4211844399*y + 983011303, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^27 - 216*x^25 - 117*x^24 + 18954*x^23 + 18252*x^22 - 880956*x^21 - 1129626*x^20 + 23786271*x^19 + 36121014*x^18 - 388008063*x^17 - 663083280*x^16 + 3881919906*x^15 + 7441348176*x^14 - 23461467102*x^13 - 52175347803*x^12 + 79089740955*x^11 + 224088111090*x^10 - 105212273862*x^9 - 546189714900*x^8 - 126600712695*x^7 + 613151491185*x^6 + 468570328389*x^5 - 106598016765*x^4 - 228661747884*x^3 - 76816019277*x^2 - 4211844399*x + 983011303);
oscar: Qx, x = polynomial_ring(QQ); K, a = number_field(x^27 - 216*x^25 - 117*x^24 + 18954*x^23 + 18252*x^22 - 880956*x^21 - 1129626*x^20 + 23786271*x^19 + 36121014*x^18 - 388008063*x^17 - 663083280*x^16 + 3881919906*x^15 + 7441348176*x^14 - 23461467102*x^13 - 52175347803*x^12 + 79089740955*x^11 + 224088111090*x^10 - 105212273862*x^9 - 546189714900*x^8 - 126600712695*x^7 + 613151491185*x^6 + 468570328389*x^5 - 106598016765*x^4 - 228661747884*x^3 - 76816019277*x^2 - 4211844399*x + 983011303)
\( x^{27} - 216 x^{25} - 117 x^{24} + 18954 x^{23} + 18252 x^{22} - 880956 x^{21} - 1129626 x^{20} + \cdots + 983011303 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $27$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[27, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(383707689246443888440321132287382098639043931374214514299529\)
\(\medspace = 3^{82}\cdot 19^{16}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(161.00\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | not computed | ||
| Ramified primes: |
\(3\), \(19\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $3$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $\frac{1}{19}a^{15}-\frac{7}{19}a^{13}-\frac{3}{19}a^{12}-\frac{8}{19}a^{11}-\frac{7}{19}a^{10}-\frac{2}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{16}-\frac{7}{19}a^{14}-\frac{3}{19}a^{13}-\frac{8}{19}a^{12}-\frac{7}{19}a^{11}-\frac{2}{19}a^{10}$, $\frac{1}{19}a^{17}-\frac{3}{19}a^{14}-\frac{9}{19}a^{12}-\frac{1}{19}a^{11}+\frac{8}{19}a^{10}+\frac{5}{19}a^{9}$, $\frac{1}{361}a^{18}-\frac{7}{361}a^{16}-\frac{3}{361}a^{15}+\frac{163}{361}a^{14}-\frac{140}{361}a^{13}+\frac{36}{361}a^{12}+\frac{5}{19}a^{11}-\frac{8}{19}a^{10}-\frac{8}{19}a^{9}+\frac{8}{19}a^{8}+\frac{4}{19}a^{7}-\frac{5}{19}a^{6}-\frac{3}{19}a^{5}+\frac{8}{19}a^{4}-\frac{6}{19}a^{3}$, $\frac{1}{361}a^{19}-\frac{7}{361}a^{17}-\frac{3}{361}a^{16}-\frac{8}{361}a^{15}-\frac{140}{361}a^{14}+\frac{150}{361}a^{13}-\frac{6}{19}a^{12}+\frac{7}{19}a^{11}-\frac{2}{19}a^{10}+\frac{7}{19}a^{9}+\frac{4}{19}a^{8}-\frac{5}{19}a^{7}-\frac{3}{19}a^{6}+\frac{8}{19}a^{5}-\frac{6}{19}a^{4}$, $\frac{1}{361}a^{20}-\frac{3}{361}a^{17}-\frac{9}{361}a^{15}+\frac{170}{361}a^{14}-\frac{163}{361}a^{13}-\frac{166}{361}a^{12}+\frac{5}{19}a^{11}+\frac{3}{19}a^{10}+\frac{8}{19}a^{9}-\frac{6}{19}a^{8}+\frac{6}{19}a^{7}-\frac{8}{19}a^{6}-\frac{8}{19}a^{5}-\frac{1}{19}a^{4}-\frac{4}{19}a^{3}$, $\frac{1}{6859}a^{21}-\frac{7}{6859}a^{19}-\frac{3}{6859}a^{18}+\frac{163}{6859}a^{17}-\frac{140}{6859}a^{16}+\frac{36}{6859}a^{15}-\frac{128}{361}a^{14}+\frac{144}{361}a^{13}-\frac{122}{361}a^{12}+\frac{141}{361}a^{11}+\frac{156}{361}a^{10}+\frac{166}{361}a^{9}-\frac{136}{361}a^{8}-\frac{68}{361}a^{7}-\frac{6}{361}a^{6}+\frac{6}{19}a^{5}-\frac{1}{19}a^{4}-\frac{2}{19}a^{3}$, $\frac{1}{6859}a^{22}-\frac{7}{6859}a^{20}-\frac{3}{6859}a^{19}-\frac{8}{6859}a^{18}-\frac{140}{6859}a^{17}+\frac{150}{6859}a^{16}-\frac{6}{361}a^{15}+\frac{159}{361}a^{14}-\frac{78}{361}a^{13}-\frac{12}{361}a^{12}+\frac{23}{361}a^{11}-\frac{100}{361}a^{10}-\frac{41}{361}a^{9}+\frac{8}{361}a^{8}+\frac{32}{361}a^{7}-\frac{6}{19}a^{6}+\frac{7}{19}a^{5}+\frac{2}{19}a^{4}-\frac{3}{19}a^{3}$, $\frac{1}{6859}a^{23}-\frac{3}{6859}a^{20}-\frac{9}{6859}a^{18}+\frac{170}{6859}a^{17}-\frac{163}{6859}a^{16}-\frac{166}{6859}a^{15}-\frac{52}{361}a^{14}-\frac{168}{361}a^{13}+\frac{27}{361}a^{12}-\frac{177}{361}a^{11}+\frac{120}{361}a^{10}+\frac{68}{361}a^{9}+\frac{163}{361}a^{8}+\frac{94}{361}a^{7}-\frac{118}{361}a^{6}+\frac{6}{19}a^{5}-\frac{2}{19}a^{4}-\frac{5}{19}a^{3}$, $\frac{1}{130321}a^{24}-\frac{7}{130321}a^{22}-\frac{3}{130321}a^{21}+\frac{163}{130321}a^{20}-\frac{140}{130321}a^{19}+\frac{36}{130321}a^{18}-\frac{128}{6859}a^{17}+\frac{144}{6859}a^{16}-\frac{122}{6859}a^{15}+\frac{1585}{6859}a^{14}-\frac{927}{6859}a^{13}+\frac{3415}{6859}a^{12}+\frac{947}{6859}a^{11}-\frac{790}{6859}a^{10}-\frac{1089}{6859}a^{9}+\frac{82}{361}a^{8}-\frac{58}{361}a^{7}-\frac{116}{361}a^{6}-\frac{7}{19}a^{5}+\frac{4}{19}a^{4}-\frac{6}{19}a^{3}$, $\frac{1}{130321}a^{25}-\frac{7}{130321}a^{23}-\frac{3}{130321}a^{22}-\frac{8}{130321}a^{21}-\frac{140}{130321}a^{20}+\frac{150}{130321}a^{19}-\frac{6}{6859}a^{18}+\frac{159}{6859}a^{17}-\frac{78}{6859}a^{16}-\frac{12}{6859}a^{15}-\frac{1782}{6859}a^{14}-\frac{3349}{6859}a^{13}-\frac{2207}{6859}a^{12}-\frac{1075}{6859}a^{11}+\frac{754}{6859}a^{10}+\frac{32}{361}a^{9}-\frac{107}{361}a^{8}+\frac{78}{361}a^{7}-\frac{22}{361}a^{6}+\frac{6}{19}a^{5}+\frac{4}{19}a^{4}+\frac{7}{19}a^{3}$, $\frac{1}{15\!\cdots\!11}a^{26}-\frac{87\!\cdots\!96}{15\!\cdots\!11}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!84}{15\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{72\!\cdots\!82}{15\!\cdots\!11}a^{23}+\frac{57\!\cdots\!76}{15\!\cdots\!11}a^{22}-\frac{26\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{63\!\cdots\!92}{15\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!82}{15\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{62\!\cdots\!09}{80\!\cdots\!69}a^{17}+\frac{32\!\cdots\!51}{42\!\cdots\!51}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!50}{80\!\cdots\!69}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!27}{80\!\cdots\!69}a^{14}+\frac{78\!\cdots\!96}{80\!\cdots\!69}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!68}{80\!\cdots\!69}a^{12}-\frac{34\!\cdots\!33}{80\!\cdots\!69}a^{11}+\frac{25\!\cdots\!69}{80\!\cdots\!69}a^{10}+\frac{35\!\cdots\!81}{80\!\cdots\!69}a^{9}+\frac{53\!\cdots\!95}{42\!\cdots\!51}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!66}{42\!\cdots\!51}a^{7}+\frac{55\!\cdots\!38}{42\!\cdots\!51}a^{6}+\frac{51\!\cdots\!91}{22\!\cdots\!29}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!59}{22\!\cdots\!29}a^{4}-\frac{57\!\cdots\!81}{22\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{50\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!91}a^{2}-\frac{25\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!91}a-\frac{10\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!91}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $26$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{29\!\cdots\!64}{38\!\cdots\!57}a^{26}+\frac{27\!\cdots\!07}{38\!\cdots\!57}a^{25}+\frac{64\!\cdots\!34}{38\!\cdots\!57}a^{24}-\frac{23\!\cdots\!27}{38\!\cdots\!57}a^{23}-\frac{56\!\cdots\!90}{38\!\cdots\!57}a^{22}-\frac{35\!\cdots\!96}{38\!\cdots\!57}a^{21}+\frac{26\!\cdots\!62}{38\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{51\!\cdots\!73}{20\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{70\!\cdots\!74}{38\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!00}{20\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{61\!\cdots\!37}{20\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{45\!\cdots\!71}{20\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{32\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{54\!\cdots\!50}{20\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{39\!\cdots\!90}{20\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{40\!\cdots\!69}{20\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!03}{20\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!37}a^{7}-\frac{69\!\cdots\!86}{56\!\cdots\!23}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!30}{56\!\cdots\!23}a^{5}-\frac{29\!\cdots\!67}{56\!\cdots\!23}a^{4}+\frac{63\!\cdots\!52}{56\!\cdots\!23}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!29}{29\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!83}{29\!\cdots\!17}a-\frac{20\!\cdots\!59}{29\!\cdots\!17}$, $\frac{29\!\cdots\!64}{38\!\cdots\!57}a^{26}+\frac{27\!\cdots\!07}{38\!\cdots\!57}a^{25}+\frac{64\!\cdots\!34}{38\!\cdots\!57}a^{24}-\frac{23\!\cdots\!27}{38\!\cdots\!57}a^{23}-\frac{56\!\cdots\!90}{38\!\cdots\!57}a^{22}-\frac{35\!\cdots\!96}{38\!\cdots\!57}a^{21}+\frac{26\!\cdots\!62}{38\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{51\!\cdots\!73}{20\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{70\!\cdots\!74}{38\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!00}{20\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{61\!\cdots\!37}{20\!\cdots\!03}a^{16}+\frac{45\!\cdots\!71}{20\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{32\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{54\!\cdots\!50}{20\!\cdots\!03}a^{13}+\frac{39\!\cdots\!90}{20\!\cdots\!03}a^{12}+\frac{40\!\cdots\!69}{20\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!03}{20\!\cdots\!03}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!37}a^{7}-\frac{69\!\cdots\!86}{56\!\cdots\!23}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!30}{56\!\cdots\!23}a^{5}-\frac{29\!\cdots\!67}{56\!\cdots\!23}a^{4}+\frac{63\!\cdots\!52}{56\!\cdots\!23}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!29}{29\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!83}{29\!\cdots\!17}a-\frac{17\!\cdots\!42}{29\!\cdots\!17}$, $\frac{21\!\cdots\!79}{14\!\cdots\!59}a^{26}-\frac{82\!\cdots\!92}{75\!\cdots\!61}a^{25}-\frac{44\!\cdots\!49}{14\!\cdots\!59}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!24}{14\!\cdots\!59}a^{23}+\frac{38\!\cdots\!75}{14\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{60\!\cdots\!44}{14\!\cdots\!59}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!80}{14\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{70\!\cdots\!32}{14\!\cdots\!59}a^{19}+\frac{45\!\cdots\!45}{14\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!78}{75\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{37\!\cdots\!39}{75\!\cdots\!61}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!09}{75\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{35\!\cdots\!21}{75\!\cdots\!61}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!74}{75\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{21\!\cdots\!07}{75\!\cdots\!61}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!02}{75\!\cdots\!61}a^{11}+\frac{83\!\cdots\!84}{75\!\cdots\!61}a^{10}+\frac{36\!\cdots\!44}{75\!\cdots\!61}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!59}{39\!\cdots\!19}a^{8}-\frac{21\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!90}{39\!\cdots\!19}a^{6}+\frac{28\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!01}a^{5}-\frac{62\!\cdots\!67}{20\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{25\!\cdots\!59}{20\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{98\!\cdots\!65}{10\!\cdots\!79}a^{2}+\frac{44\!\cdots\!31}{10\!\cdots\!79}a+\frac{54\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!79}$, $\frac{82\!\cdots\!03}{14\!\cdots\!59}a^{26}-\frac{46\!\cdots\!01}{14\!\cdots\!59}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!16}{14\!\cdots\!59}a^{24}+\frac{31\!\cdots\!18}{14\!\cdots\!59}a^{23}+\frac{15\!\cdots\!62}{14\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{64\!\cdots\!36}{14\!\cdots\!59}a^{21}-\frac{74\!\cdots\!17}{14\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{53\!\cdots\!53}{14\!\cdots\!59}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!73}{14\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!08}{75\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!36}{75\!\cdots\!61}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!35}{75\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!45}{75\!\cdots\!61}a^{14}+\frac{24\!\cdots\!29}{75\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!66}{75\!\cdots\!61}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!91}{75\!\cdots\!61}a^{11}+\frac{47\!\cdots\!07}{75\!\cdots\!61}a^{10}+\frac{81\!\cdots\!39}{75\!\cdots\!61}a^{9}-\frac{50\!\cdots\!29}{39\!\cdots\!19}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!10}{39\!\cdots\!19}a^{7}+\frac{31\!\cdots\!38}{39\!\cdots\!19}a^{6}+\frac{75\!\cdots\!16}{20\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!14}{10\!\cdots\!79}a^{4}-\frac{27\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{82\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!79}a^{2}-\frac{68\!\cdots\!13}{10\!\cdots\!79}a+\frac{11\!\cdots\!21}{10\!\cdots\!79}$, $\frac{52\!\cdots\!38}{14\!\cdots\!59}a^{26}-\frac{19\!\cdots\!80}{14\!\cdots\!59}a^{25}-\frac{23\!\cdots\!14}{14\!\cdots\!59}a^{24}+\frac{40\!\cdots\!90}{14\!\cdots\!59}a^{23}+\frac{56\!\cdots\!33}{14\!\cdots\!59}a^{22}-\frac{34\!\cdots\!33}{14\!\cdots\!59}a^{21}-\frac{58\!\cdots\!77}{14\!\cdots\!59}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!52}{14\!\cdots\!59}a^{19}+\frac{28\!\cdots\!84}{14\!\cdots\!59}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!45}{75\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{40\!\cdots\!42}{75\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!18}{39\!\cdots\!19}a^{15}+\frac{61\!\cdots\!05}{75\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!44}{75\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{53\!\cdots\!49}{75\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{99\!\cdots\!93}{75\!\cdots\!61}a^{11}+\frac{26\!\cdots\!90}{75\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!86}{75\!\cdots\!61}a^{9}-\frac{38\!\cdots\!20}{39\!\cdots\!19}a^{8}-\frac{40\!\cdots\!39}{39\!\cdots\!19}a^{7}+\frac{43\!\cdots\!01}{39\!\cdots\!19}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!35}{20\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!24}{20\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{34\!\cdots\!41}{20\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{33\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!79}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!79}a+\frac{57\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!79}$, $\frac{26\!\cdots\!01}{14\!\cdots\!59}a^{26}-\frac{71\!\cdots\!80}{14\!\cdots\!59}a^{25}-\frac{58\!\cdots\!23}{14\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{16\!\cdots\!69}{14\!\cdots\!59}a^{23}+\frac{51\!\cdots\!29}{14\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{36\!\cdots\!79}{14\!\cdots\!59}a^{21}-\frac{24\!\cdots\!72}{14\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{25\!\cdots\!31}{14\!\cdots\!59}a^{19}+\frac{67\!\cdots\!59}{14\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{45\!\cdots\!93}{75\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{60\!\cdots\!34}{75\!\cdots\!61}a^{16}-\frac{87\!\cdots\!27}{75\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{62\!\cdots\!62}{75\!\cdots\!61}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!30}{75\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{40\!\cdots\!79}{75\!\cdots\!61}a^{12}-\frac{76\!\cdots\!04}{75\!\cdots\!61}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!22}{75\!\cdots\!61}a^{10}+\frac{34\!\cdots\!67}{75\!\cdots\!61}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!13}{39\!\cdots\!19}a^{8}-\frac{46\!\cdots\!58}{39\!\cdots\!19}a^{7}+\frac{31\!\cdots\!78}{39\!\cdots\!19}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!92}{10\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!83}{20\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!22}{20\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{41\!\cdots\!31}{10\!\cdots\!79}a^{2}-\frac{51\!\cdots\!41}{10\!\cdots\!79}a+\frac{62\!\cdots\!13}{10\!\cdots\!79}$, $\frac{67\!\cdots\!24}{14\!\cdots\!59}a^{26}+\frac{91\!\cdots\!24}{14\!\cdots\!59}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!90}{14\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{11\!\cdots\!32}{14\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{12\!\cdots\!34}{14\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{50\!\cdots\!43}{14\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{56\!\cdots\!87}{14\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{64\!\cdots\!99}{14\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!11}{14\!\cdots\!59}a^{18}-\frac{56\!\cdots\!23}{75\!\cdots\!61}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!55}{75\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!60}{75\!\cdots\!61}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!42}{75\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!95}{39\!\cdots\!19}a^{13}+\frac{79\!\cdots\!37}{75\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{28\!\cdots\!50}{75\!\cdots\!61}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!46}{39\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!92}{75\!\cdots\!61}a^{9}+\frac{35\!\cdots\!81}{39\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!28}{39\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{38\!\cdots\!50}{39\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!85}{20\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{70\!\cdots\!36}{20\!\cdots\!01}a^{4}+\frac{72\!\cdots\!72}{20\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!79}a^{2}-\frac{24\!\cdots\!87}{10\!\cdots\!79}a+\frac{82\!\cdots\!07}{10\!\cdots\!79}$, $\frac{15\!\cdots\!48}{14\!\cdots\!59}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!37}{14\!\cdots\!59}a^{25}-\frac{33\!\cdots\!30}{14\!\cdots\!59}a^{24}+\frac{78\!\cdots\!04}{14\!\cdots\!59}a^{23}+\frac{29\!\cdots\!34}{14\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{55\!\cdots\!75}{14\!\cdots\!59}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!46}{14\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{68\!\cdots\!32}{14\!\cdots\!59}a^{19}+\frac{37\!\cdots\!42}{14\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!71}{75\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{32\!\cdots\!92}{75\!\cdots\!61}a^{16}-\frac{27\!\cdots\!13}{75\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{32\!\cdots\!31}{75\!\cdots\!61}a^{14}+\frac{32\!\cdots\!54}{75\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!16}{75\!\cdots\!61}a^{12}-\frac{23\!\cdots\!09}{75\!\cdots\!61}a^{11}+\frac{79\!\cdots\!64}{75\!\cdots\!61}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!72}{75\!\cdots\!61}a^{9}-\frac{86\!\cdots\!65}{39\!\cdots\!19}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!29}{39\!\cdots\!19}a^{7}+\frac{35\!\cdots\!54}{20\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{97\!\cdots\!50}{20\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{17\!\cdots\!45}{20\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{36\!\cdots\!05}{20\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{93\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!79}a^{2}-\frac{66\!\cdots\!31}{10\!\cdots\!79}a+\frac{14\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!79}$, $\frac{46\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!11}a^{26}-\frac{22\!\cdots\!19}{15\!\cdots\!11}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!24}{15\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{52\!\cdots\!85}{15\!\cdots\!11}a^{23}-\frac{95\!\cdots\!54}{15\!\cdots\!11}a^{22}-\frac{49\!\cdots\!80}{15\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{45\!\cdots\!36}{15\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{23\!\cdots\!64}{15\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!20}{15\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{35\!\cdots\!41}{80\!\cdots\!69}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!33}{80\!\cdots\!69}a^{16}+\frac{58\!\cdots\!25}{80\!\cdots\!69}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!07}{80\!\cdots\!69}a^{14}-\frac{61\!\cdots\!36}{80\!\cdots\!69}a^{13}+\frac{74\!\cdots\!20}{80\!\cdots\!69}a^{12}+\frac{39\!\cdots\!08}{80\!\cdots\!69}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!48}{80\!\cdots\!69}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!72}{80\!\cdots\!69}a^{9}+\frac{99\!\cdots\!80}{22\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!17}{22\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{26\!\cdots\!16}{42\!\cdots\!51}a^{6}-\frac{62\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!91}a^{5}-\frac{50\!\cdots\!42}{22\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{42\!\cdots\!78}{22\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!91}a^{2}+\frac{67\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!91}a-\frac{17\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!91}$, $\frac{56\!\cdots\!70}{15\!\cdots\!11}a^{26}-\frac{37\!\cdots\!73}{15\!\cdots\!11}a^{25}-\frac{64\!\cdots\!37}{80\!\cdots\!69}a^{24}+\frac{77\!\cdots\!16}{80\!\cdots\!69}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{31\!\cdots\!10}{15\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{50\!\cdots\!70}{15\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{30\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!10}{15\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{58\!\cdots\!08}{80\!\cdots\!69}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!70}{80\!\cdots\!69}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!91}{80\!\cdots\!69}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!97}{80\!\cdots\!69}a^{14}+\frac{71\!\cdots\!73}{42\!\cdots\!51}a^{13}-\frac{79\!\cdots\!33}{80\!\cdots\!69}a^{12}-\frac{99\!\cdots\!53}{80\!\cdots\!69}a^{11}+\frac{30\!\cdots\!22}{80\!\cdots\!69}a^{10}+\frac{44\!\cdots\!83}{80\!\cdots\!69}a^{9}-\frac{33\!\cdots\!73}{42\!\cdots\!51}a^{8}-\frac{61\!\cdots\!58}{42\!\cdots\!51}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!65}{42\!\cdots\!51}a^{6}+\frac{40\!\cdots\!28}{22\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{81\!\cdots\!68}{22\!\cdots\!29}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!94}{22\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{39\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!91}a^{2}-\frac{31\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!91}a+\frac{44\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!91}$, $\frac{26\!\cdots\!38}{15\!\cdots\!11}a^{26}+\frac{16\!\cdots\!18}{15\!\cdots\!11}a^{25}-\frac{57\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!11}a^{24}-\frac{65\!\cdots\!70}{15\!\cdots\!11}a^{23}+\frac{50\!\cdots\!05}{15\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{76\!\cdots\!72}{15\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{23\!\cdots\!67}{15\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{41\!\cdots\!34}{15\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{62\!\cdots\!66}{15\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{64\!\cdots\!32}{80\!\cdots\!69}a^{17}-\frac{53\!\cdots\!59}{80\!\cdots\!69}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!86}{80\!\cdots\!69}a^{15}+\frac{53\!\cdots\!40}{80\!\cdots\!69}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!07}{80\!\cdots\!69}a^{13}-\frac{32\!\cdots\!40}{80\!\cdots\!69}a^{12}-\frac{73\!\cdots\!24}{80\!\cdots\!69}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!62}{80\!\cdots\!69}a^{10}+\frac{29\!\cdots\!32}{80\!\cdots\!69}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!57}{42\!\cdots\!51}a^{8}-\frac{36\!\cdots\!20}{42\!\cdots\!51}a^{7}+\frac{40\!\cdots\!46}{42\!\cdots\!51}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!33}{22\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{72\!\cdots\!43}{22\!\cdots\!29}a^{4}-\frac{40\!\cdots\!40}{11\!\cdots\!91}a^{3}-\frac{24\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!91}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!91}a+\frac{36\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!91}$, $\frac{14\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!11}a^{26}+\frac{22\!\cdots\!17}{15\!\cdots\!11}a^{25}+\frac{30\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!11}a^{24}-\frac{31\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!11}a^{23}-\frac{26\!\cdots\!80}{15\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{15\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{12\!\cdots\!06}{15\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{34\!\cdots\!76}{15\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{32\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!13}{80\!\cdots\!69}a^{17}+\frac{27\!\cdots\!38}{80\!\cdots\!69}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!25}{80\!\cdots\!69}a^{15}-\frac{28\!\cdots\!47}{80\!\cdots\!69}a^{14}-\frac{32\!\cdots\!83}{42\!\cdots\!51}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!58}{80\!\cdots\!69}a^{12}+\frac{66\!\cdots\!00}{80\!\cdots\!69}a^{11}-\frac{66\!\cdots\!34}{80\!\cdots\!69}a^{10}-\frac{38\!\cdots\!44}{80\!\cdots\!69}a^{9}+\frac{74\!\cdots\!10}{42\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{61\!\cdots\!33}{42\!\cdots\!51}a^{7}-\frac{70\!\cdots\!06}{42\!\cdots\!51}a^{6}-\frac{45\!\cdots\!15}{22\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!68}{22\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!61}{22\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{40\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!91}a^{2}+\frac{40\!\cdots\!70}{11\!\cdots\!91}a-\frac{64\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!91}$, $\frac{14\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!11}a^{26}-\frac{89\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!11}a^{25}-\frac{31\!\cdots\!00}{15\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{26\!\cdots\!54}{15\!\cdots\!11}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!41}{80\!\cdots\!69}a^{22}+\frac{85\!\cdots\!70}{15\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{73\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{16\!\cdots\!99}{80\!\cdots\!69}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!02}{80\!\cdots\!69}a^{17}-\frac{27\!\cdots\!05}{80\!\cdots\!69}a^{16}-\frac{23\!\cdots\!06}{80\!\cdots\!69}a^{15}+\frac{26\!\cdots\!88}{80\!\cdots\!69}a^{14}+\frac{25\!\cdots\!12}{80\!\cdots\!69}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!70}{80\!\cdots\!69}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!93}{80\!\cdots\!69}a^{11}+\frac{57\!\cdots\!71}{80\!\cdots\!69}a^{10}+\frac{36\!\cdots\!73}{42\!\cdots\!51}a^{9}-\frac{59\!\cdots\!19}{42\!\cdots\!51}a^{8}-\frac{88\!\cdots\!21}{42\!\cdots\!51}a^{7}+\frac{45\!\cdots\!20}{42\!\cdots\!51}a^{6}+\frac{55\!\cdots\!21}{22\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{87\!\cdots\!06}{22\!\cdots\!29}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!16}{22\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{51\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!91}a^{2}-\frac{49\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!91}a+\frac{67\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!91}$, 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$\frac{20\!\cdots\!55}{15\!\cdots\!11}a^{26}+\frac{53\!\cdots\!54}{15\!\cdots\!11}a^{25}-\frac{44\!\cdots\!16}{15\!\cdots\!11}a^{24}-\frac{35\!\cdots\!06}{15\!\cdots\!11}a^{23}+\frac{20\!\cdots\!82}{80\!\cdots\!69}a^{22}+\frac{46\!\cdots\!74}{15\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!86}{15\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!44}{15\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{48\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{43\!\cdots\!97}{80\!\cdots\!69}a^{17}-\frac{41\!\cdots\!92}{80\!\cdots\!69}a^{16}-\frac{75\!\cdots\!67}{80\!\cdots\!69}a^{15}+\frac{40\!\cdots\!52}{80\!\cdots\!69}a^{14}+\frac{81\!\cdots\!37}{80\!\cdots\!69}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!69}{42\!\cdots\!51}a^{12}-\frac{54\!\cdots\!90}{80\!\cdots\!69}a^{11}+\frac{86\!\cdots\!08}{80\!\cdots\!69}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!59}{80\!\cdots\!69}a^{9}-\frac{72\!\cdots\!04}{42\!\cdots\!51}a^{8}-\frac{28\!\cdots\!78}{42\!\cdots\!51}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!05}{42\!\cdots\!51}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!88}{22\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{91\!\cdots\!58}{22\!\cdots\!29}a^{4}-\frac{47\!\cdots\!54}{22\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{25\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!91}a^{2}-\frac{54\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!91}a-\frac{65\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!91}$, 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|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 2798550781651066600000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{383707689246443888440321132287382098639043931374214514299529}}\cr\approx \mathstrut & 0.303188572344521 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 216*x^25 - 117*x^24 + 18954*x^23 + 18252*x^22 - 880956*x^21 - 1129626*x^20 + 23786271*x^19 + 36121014*x^18 - 388008063*x^17 - 663083280*x^16 + 3881919906*x^15 + 7441348176*x^14 - 23461467102*x^13 - 52175347803*x^12 + 79089740955*x^11 + 224088111090*x^10 - 105212273862*x^9 - 546189714900*x^8 - 126600712695*x^7 + 613151491185*x^6 + 468570328389*x^5 - 106598016765*x^4 - 228661747884*x^3 - 76816019277*x^2 - 4211844399*x + 983011303)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^27 - 216*x^25 - 117*x^24 + 18954*x^23 + 18252*x^22 - 880956*x^21 - 1129626*x^20 + 23786271*x^19 + 36121014*x^18 - 388008063*x^17 - 663083280*x^16 + 3881919906*x^15 + 7441348176*x^14 - 23461467102*x^13 - 52175347803*x^12 + 79089740955*x^11 + 224088111090*x^10 - 105212273862*x^9 - 546189714900*x^8 - 126600712695*x^7 + 613151491185*x^6 + 468570328389*x^5 - 106598016765*x^4 - 228661747884*x^3 - 76816019277*x^2 - 4211844399*x + 983011303, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^27 - 216*x^25 - 117*x^24 + 18954*x^23 + 18252*x^22 - 880956*x^21 - 1129626*x^20 + 23786271*x^19 + 36121014*x^18 - 388008063*x^17 - 663083280*x^16 + 3881919906*x^15 + 7441348176*x^14 - 23461467102*x^13 - 52175347803*x^12 + 79089740955*x^11 + 224088111090*x^10 - 105212273862*x^9 - 546189714900*x^8 - 126600712695*x^7 + 613151491185*x^6 + 468570328389*x^5 - 106598016765*x^4 - 228661747884*x^3 - 76816019277*x^2 - 4211844399*x + 983011303);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 216*x^25 - 117*x^24 + 18954*x^23 + 18252*x^22 - 880956*x^21 - 1129626*x^20 + 23786271*x^19 + 36121014*x^18 - 388008063*x^17 - 663083280*x^16 + 3881919906*x^15 + 7441348176*x^14 - 23461467102*x^13 - 52175347803*x^12 + 79089740955*x^11 + 224088111090*x^10 - 105212273862*x^9 - 546189714900*x^8 - 126600712695*x^7 + 613151491185*x^6 + 468570328389*x^5 - 106598016765*x^4 - 228661747884*x^3 - 76816019277*x^2 - 4211844399*x + 983011303);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$C_3^7.C_3\wr C_3$ (as 27T1459):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A solvable group of order 177147 |
| The 251 conjugacy class representatives for $C_3^7.C_3\wr C_3$ |
| Character table for $C_3^7.C_3\wr C_3$ |
Intermediate fields
| \(\Q(\zeta_{9})^+\), 9.9.139858796529.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 27 siblings: | data not computed |
| Minimal sibling: | 27.27.8156031539646242110766745600690995639746738537518609.3 |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | $27$ | R | $27$ | ${\href{/padicField/7.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/11.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{6}$ | $27$ | ${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/17.3.0.1}{3} }^{3}$ | R | $27$ | $27$ | ${\href{/padicField/31.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{6}$ | ${\href{/padicField/37.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }{,}\,{\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }^{6}$ | $27$ | $27$ | $27$ | ${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/53.3.0.1}{3} }^{3}$ | $27$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(3\)
| Deg $27$ | $27$ | $1$ | $82$ | |||
|
\(19\)
| $\Q_{19}$ | $x + 17$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ |
| $\Q_{19}$ | $x + 17$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| $\Q_{19}$ | $x + 17$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| 19.3.0.1 | $x^{3} + 4 x + 17$ | $1$ | $3$ | $0$ | $C_3$ | $[\ ]^{3}$ | |
| 19.3.2.2 | $x^{3} + 19$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ | |
| 19.9.8.2 | $x^{9} + 57$ | $9$ | $1$ | $8$ | $C_9$ | $[\ ]_{9}$ | |
| 19.9.6.3 | $x^{9} - 152 x^{6} + 5776 x^{3} + 1982251$ | $3$ | $3$ | $6$ | $C_9$ | $[\ ]_{3}^{3}$ |