Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 117*x^25 - 81*x^24 + 5373*x^23 + 5553*x^22 - 127944*x^21 - 140346*x^20 + 1791414*x^19 + 1736451*x^18 - 15762681*x^17 - 11394765*x^16 + 89620614*x^15 + 38266209*x^14 - 328348899*x^13 - 47589471*x^12 + 755784945*x^11 - 57893247*x^10 - 1056691137*x^9 + 231787251*x^8 + 875182446*x^7 - 263973042*x^6 - 408194613*x^5 + 141503697*x^4 + 94435434*x^3 - 35371863*x^2 - 7654644*x + 2956229)
gp: K = bnfinit(y^27 - 117*y^25 - 81*y^24 + 5373*y^23 + 5553*y^22 - 127944*y^21 - 140346*y^20 + 1791414*y^19 + 1736451*y^18 - 15762681*y^17 - 11394765*y^16 + 89620614*y^15 + 38266209*y^14 - 328348899*y^13 - 47589471*y^12 + 755784945*y^11 - 57893247*y^10 - 1056691137*y^9 + 231787251*y^8 + 875182446*y^7 - 263973042*y^6 - 408194613*y^5 + 141503697*y^4 + 94435434*y^3 - 35371863*y^2 - 7654644*y + 2956229, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^27 - 117*x^25 - 81*x^24 + 5373*x^23 + 5553*x^22 - 127944*x^21 - 140346*x^20 + 1791414*x^19 + 1736451*x^18 - 15762681*x^17 - 11394765*x^16 + 89620614*x^15 + 38266209*x^14 - 328348899*x^13 - 47589471*x^12 + 755784945*x^11 - 57893247*x^10 - 1056691137*x^9 + 231787251*x^8 + 875182446*x^7 - 263973042*x^6 - 408194613*x^5 + 141503697*x^4 + 94435434*x^3 - 35371863*x^2 - 7654644*x + 2956229);
oscar: Qx, x = polynomial_ring(QQ); K, a = number_field(x^27 - 117*x^25 - 81*x^24 + 5373*x^23 + 5553*x^22 - 127944*x^21 - 140346*x^20 + 1791414*x^19 + 1736451*x^18 - 15762681*x^17 - 11394765*x^16 + 89620614*x^15 + 38266209*x^14 - 328348899*x^13 - 47589471*x^12 + 755784945*x^11 - 57893247*x^10 - 1056691137*x^9 + 231787251*x^8 + 875182446*x^7 - 263973042*x^6 - 408194613*x^5 + 141503697*x^4 + 94435434*x^3 - 35371863*x^2 - 7654644*x + 2956229)
\( x^{27} - 117 x^{25} - 81 x^{24} + 5373 x^{23} + 5553 x^{22} - 127944 x^{21} - 140346 x^{20} + \cdots + 2956229 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $27$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[27, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(36349720812497449407244384714190733653686081630175529\)
\(\medspace = 3^{78}\cdot 19^{12}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(88.45\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | not computed | ||
| Ramified primes: |
\(3\), \(19\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $3$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $\frac{1}{19}a^{21}-\frac{3}{19}a^{19}-\frac{5}{19}a^{18}-\frac{4}{19}a^{17}+\frac{5}{19}a^{16}+\frac{2}{19}a^{15}+\frac{7}{19}a^{14}-\frac{1}{19}a^{13}+\frac{3}{19}a^{12}+\frac{4}{19}a^{11}-\frac{9}{19}a^{10}+\frac{8}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{22}-\frac{3}{19}a^{20}-\frac{5}{19}a^{19}-\frac{4}{19}a^{18}+\frac{5}{19}a^{17}+\frac{2}{19}a^{16}+\frac{7}{19}a^{15}-\frac{1}{19}a^{14}+\frac{3}{19}a^{13}+\frac{4}{19}a^{12}-\frac{9}{19}a^{11}+\frac{8}{19}a^{10}$, $\frac{1}{19}a^{23}-\frac{5}{19}a^{20}+\frac{6}{19}a^{19}+\frac{9}{19}a^{18}+\frac{9}{19}a^{17}+\frac{3}{19}a^{16}+\frac{5}{19}a^{15}+\frac{5}{19}a^{14}+\frac{1}{19}a^{13}+\frac{1}{19}a^{11}-\frac{8}{19}a^{10}+\frac{5}{19}a^{9}$, $\frac{1}{2527}a^{24}+\frac{3}{133}a^{23}-\frac{60}{2527}a^{22}+\frac{2}{361}a^{21}-\frac{1220}{2527}a^{20}-\frac{1173}{2527}a^{19}+\frac{1104}{2527}a^{18}+\frac{20}{361}a^{17}-\frac{191}{2527}a^{16}-\frac{890}{2527}a^{15}+\frac{555}{2527}a^{14}-\frac{389}{2527}a^{13}+\frac{1072}{2527}a^{12}+\frac{64}{133}a^{11}-\frac{2}{133}a^{10}-\frac{17}{133}a^{9}+\frac{2}{133}a^{8}+\frac{17}{133}a^{7}-\frac{43}{133}a^{6}-\frac{39}{133}a^{5}+\frac{3}{19}a^{4}-\frac{62}{133}a^{3}+\frac{3}{7}a^{2}+\frac{1}{7}a+\frac{1}{7}$, $\frac{1}{2527}a^{25}+\frac{16}{2527}a^{23}-\frac{24}{2527}a^{22}-\frac{23}{2527}a^{21}-\frac{1059}{2527}a^{20}+\frac{667}{2527}a^{19}-\frac{1209}{2527}a^{18}-\frac{989}{2527}a^{17}+\frac{288}{2527}a^{16}-\frac{319}{2527}a^{15}-\frac{503}{2527}a^{14}-\frac{961}{2527}a^{13}+\frac{26}{133}a^{12}+\frac{46}{133}a^{11}+\frac{20}{133}a^{10}+\frac{26}{133}a^{9}+\frac{36}{133}a^{8}+\frac{52}{133}a^{7}+\frac{18}{133}a^{6}-\frac{17}{133}a^{5}-\frac{62}{133}a^{4}-\frac{2}{7}a^{2}-\frac{1}{7}$, $\frac{1}{25\!\cdots\!63}a^{26}+\frac{23\!\cdots\!56}{25\!\cdots\!63}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!78}{25\!\cdots\!63}a^{24}-\frac{67\!\cdots\!24}{25\!\cdots\!63}a^{23}+\frac{25\!\cdots\!43}{25\!\cdots\!63}a^{22}-\frac{48\!\cdots\!54}{37\!\cdots\!09}a^{21}-\frac{41\!\cdots\!17}{25\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!92}{25\!\cdots\!63}a^{19}+\frac{83\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!63}a^{18}+\frac{26\!\cdots\!68}{25\!\cdots\!63}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!38}{25\!\cdots\!63}a^{16}-\frac{66\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!63}a^{15}+\frac{48\!\cdots\!85}{25\!\cdots\!63}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!83}{25\!\cdots\!63}a^{13}-\frac{55\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!63}a^{12}+\frac{57\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{60\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!74}{71\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{69\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{64\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!77}a^{6}+\frac{89\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{58\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{52\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!69}a^{2}-\frac{23\!\cdots\!91}{71\!\cdots\!83}a-\frac{15\!\cdots\!84}{71\!\cdots\!83}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $26$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{14\!\cdots\!34}{38\!\cdots\!57}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!30}{38\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{16\!\cdots\!54}{38\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{21\!\cdots\!32}{38\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{77\!\cdots\!49}{38\!\cdots\!57}a^{22}+\frac{16\!\cdots\!67}{38\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!48}{38\!\cdots\!57}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!48}{20\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{26\!\cdots\!07}{38\!\cdots\!57}a^{18}+\frac{36\!\cdots\!92}{38\!\cdots\!57}a^{17}-\frac{23\!\cdots\!60}{38\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!06}{38\!\cdots\!57}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!71}{38\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{25\!\cdots\!72}{20\!\cdots\!03}a^{13}-\frac{43\!\cdots\!52}{38\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{27\!\cdots\!93}{38\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{84\!\cdots\!31}{38\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{74\!\cdots\!04}{38\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{45\!\cdots\!85}{20\!\cdots\!03}a^{8}+\frac{51\!\cdots\!64}{20\!\cdots\!03}a^{7}+\frac{21\!\cdots\!01}{20\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{47\!\cdots\!67}{29\!\cdots\!29}a^{5}-\frac{17\!\cdots\!83}{20\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{97\!\cdots\!84}{20\!\cdots\!03}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!42}{20\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{89\!\cdots\!55}{20\!\cdots\!03}a+\frac{20\!\cdots\!69}{20\!\cdots\!03}$, $\frac{41\!\cdots\!93}{38\!\cdots\!57}a^{26}-\frac{34\!\cdots\!26}{38\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{48\!\cdots\!47}{38\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{61\!\cdots\!32}{38\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{22\!\cdots\!51}{38\!\cdots\!57}a^{22}+\frac{47\!\cdots\!49}{38\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{76\!\cdots\!67}{55\!\cdots\!51}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!72}{29\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{75\!\cdots\!07}{38\!\cdots\!57}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!45}{38\!\cdots\!57}a^{17}-\frac{65\!\cdots\!48}{38\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{66\!\cdots\!90}{38\!\cdots\!57}a^{15}+\frac{36\!\cdots\!09}{38\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{72\!\cdots\!62}{20\!\cdots\!03}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!87}{38\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{79\!\cdots\!36}{38\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{24\!\cdots\!71}{38\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!64}{38\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!74}{29\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!45}{29\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{85\!\cdots\!71}{29\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{95\!\cdots\!93}{20\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{47\!\cdots\!08}{20\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{39\!\cdots\!87}{29\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{39\!\cdots\!04}{20\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{25\!\cdots\!47}{20\!\cdots\!03}a+\frac{58\!\cdots\!41}{20\!\cdots\!03}$, $\frac{69\!\cdots\!48}{25\!\cdots\!63}a^{26}+\frac{20\!\cdots\!17}{25\!\cdots\!63}a^{25}+\frac{81\!\cdots\!28}{25\!\cdots\!63}a^{24}-\frac{18\!\cdots\!71}{25\!\cdots\!63}a^{23}-\frac{55\!\cdots\!13}{37\!\cdots\!09}a^{22}+\frac{71\!\cdots\!21}{25\!\cdots\!63}a^{21}+\frac{99\!\cdots\!86}{25\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!08}{25\!\cdots\!63}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!63}a^{18}+\frac{23\!\cdots\!38}{25\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{72\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{21\!\cdots\!05}{25\!\cdots\!63}a^{15}-\frac{77\!\cdots\!18}{25\!\cdots\!63}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!98}{25\!\cdots\!63}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!41}{25\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{26\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{58\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!77}a^{8}-\frac{68\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{38\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!77}a^{6}+\frac{41\!\cdots\!14}{13\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{96\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{20\!\cdots\!60}{71\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{55\!\cdots\!99}{71\!\cdots\!83}a-\frac{20\!\cdots\!41}{71\!\cdots\!83}$, $\frac{12\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!63}a^{26}+\frac{25\!\cdots\!26}{25\!\cdots\!63}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!39}{25\!\cdots\!63}a^{24}+\frac{69\!\cdots\!01}{25\!\cdots\!63}a^{23}-\frac{65\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!63}a^{22}-\frac{53\!\cdots\!87}{25\!\cdots\!63}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!70}{37\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!95}{37\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!56}{25\!\cdots\!63}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!92}{25\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{93\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!77}a^{16}+\frac{76\!\cdots\!49}{25\!\cdots\!63}a^{15}-\frac{96\!\cdots\!05}{25\!\cdots\!63}a^{14}-\frac{94\!\cdots\!36}{25\!\cdots\!63}a^{13}+\frac{32\!\cdots\!63}{25\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{37\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{33\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{49\!\cdots\!99}{19\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{35\!\cdots\!83}{19\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!59}{19\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{24\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{73\!\cdots\!66}{19\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{33\!\cdots\!66}{71\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{25\!\cdots\!04}{71\!\cdots\!83}a-\frac{58\!\cdots\!69}{71\!\cdots\!83}$, $\frac{29\!\cdots\!86}{25\!\cdots\!63}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!41}{25\!\cdots\!63}a^{25}+\frac{47\!\cdots\!44}{37\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{24\!\cdots\!28}{37\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!16}{25\!\cdots\!63}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!44}{37\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{25\!\cdots\!24}{25\!\cdots\!63}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!31}{25\!\cdots\!63}a^{19}-\frac{33\!\cdots\!80}{37\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{23\!\cdots\!48}{25\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{57\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!77}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!36}{37\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!66}{37\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!01}{37\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{29\!\cdots\!33}{37\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!69}a^{11}-\frac{85\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{38\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{60\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{42\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{40\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{69\!\cdots\!55}{71\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!35}{71\!\cdots\!83}a+\frac{65\!\cdots\!15}{71\!\cdots\!83}$, $\frac{53\!\cdots\!64}{25\!\cdots\!63}a^{26}+\frac{16\!\cdots\!46}{25\!\cdots\!63}a^{25}+\frac{62\!\cdots\!14}{25\!\cdots\!63}a^{24}-\frac{14\!\cdots\!93}{25\!\cdots\!63}a^{23}-\frac{30\!\cdots\!36}{25\!\cdots\!63}a^{22}+\frac{55\!\cdots\!79}{25\!\cdots\!63}a^{21}+\frac{79\!\cdots\!06}{25\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!83}{25\!\cdots\!63}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!29}{25\!\cdots\!63}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{86\!\cdots\!71}{19\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!89}{25\!\cdots\!63}a^{15}-\frac{67\!\cdots\!28}{25\!\cdots\!63}a^{14}+\frac{91\!\cdots\!24}{25\!\cdots\!63}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!86}{25\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{18\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{35\!\cdots\!97}{19\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{56\!\cdots\!66}{19\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{24\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!77}a^{8}-\frac{46\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!77}a^{6}+\frac{28\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{75\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{78\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{57\!\cdots\!90}{71\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{36\!\cdots\!18}{71\!\cdots\!83}a-\frac{77\!\cdots\!41}{71\!\cdots\!83}$, $\frac{81\!\cdots\!47}{25\!\cdots\!63}a^{26}-\frac{66\!\cdots\!88}{25\!\cdots\!63}a^{25}-\frac{95\!\cdots\!51}{25\!\cdots\!63}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!25}{25\!\cdots\!63}a^{23}+\frac{44\!\cdots\!11}{25\!\cdots\!63}a^{22}+\frac{11\!\cdots\!51}{25\!\cdots\!63}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!47}{37\!\cdots\!09}a^{20}-\frac{51\!\cdots\!79}{37\!\cdots\!09}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!63}a^{18}+\frac{37\!\cdots\!17}{25\!\cdots\!63}a^{17}-\frac{73\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{65\!\cdots\!97}{25\!\cdots\!63}a^{15}+\frac{78\!\cdots\!62}{25\!\cdots\!63}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!99}{25\!\cdots\!63}a^{13}-\frac{27\!\cdots\!93}{25\!\cdots\!63}a^{12}+\frac{56\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{31\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{88\!\cdots\!63}{71\!\cdots\!83}a^{9}-\frac{53\!\cdots\!88}{19\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{32\!\cdots\!17}{19\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{34\!\cdots\!57}{19\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{74\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{62\!\cdots\!69}{19\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{42\!\cdots\!23}{71\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!48}{71\!\cdots\!83}a-\frac{93\!\cdots\!34}{71\!\cdots\!83}$, $\frac{42\!\cdots\!67}{25\!\cdots\!63}a^{26}-\frac{57\!\cdots\!44}{37\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{44\!\cdots\!34}{25\!\cdots\!63}a^{24}+\frac{49\!\cdots\!92}{25\!\cdots\!63}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!02}{25\!\cdots\!63}a^{22}-\frac{22\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!63}a^{21}+\frac{91\!\cdots\!43}{25\!\cdots\!63}a^{20}+\frac{49\!\cdots\!94}{25\!\cdots\!63}a^{19}+\frac{28\!\cdots\!85}{25\!\cdots\!63}a^{18}-\frac{62\!\cdots\!11}{25\!\cdots\!63}a^{17}-\frac{31\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!77}a^{16}+\frac{47\!\cdots\!84}{25\!\cdots\!63}a^{15}+\frac{49\!\cdots\!91}{25\!\cdots\!63}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!98}{25\!\cdots\!63}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!84}{25\!\cdots\!63}a^{12}+\frac{35\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!59}{71\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{64\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!77}a^{9}-\frac{29\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{65\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!36}{13\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{36\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{69\!\cdots\!04}{19\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{93\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{98\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!69}a^{2}-\frac{43\!\cdots\!10}{71\!\cdots\!83}a+\frac{56\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!69}$, $\frac{82\!\cdots\!18}{25\!\cdots\!63}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!84}{25\!\cdots\!63}a^{25}+\frac{13\!\cdots\!60}{37\!\cdots\!09}a^{24}-\frac{53\!\cdots\!61}{25\!\cdots\!63}a^{23}-\frac{44\!\cdots\!88}{25\!\cdots\!63}a^{22}+\frac{94\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!63}a^{21}+\frac{15\!\cdots\!67}{37\!\cdots\!09}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!38}{25\!\cdots\!63}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!16}{25\!\cdots\!63}a^{18}+\frac{40\!\cdots\!74}{25\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!68}{25\!\cdots\!63}a^{16}-\frac{33\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{74\!\cdots\!28}{25\!\cdots\!63}a^{14}+\frac{54\!\cdots\!98}{25\!\cdots\!63}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{32\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!77}a^{8}-\frac{57\!\cdots\!75}{19\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{67\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!77}a^{6}+\frac{36\!\cdots\!63}{19\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{73\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{96\!\cdots\!62}{71\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{35\!\cdots\!61}{71\!\cdots\!83}a-\frac{11\!\cdots\!39}{71\!\cdots\!83}$, $\frac{30\!\cdots\!19}{25\!\cdots\!63}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!96}{25\!\cdots\!63}a^{25}-\frac{34\!\cdots\!25}{25\!\cdots\!63}a^{24}-\frac{14\!\cdots\!73}{25\!\cdots\!63}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!92}{25\!\cdots\!63}a^{22}+\frac{36\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!77}a^{21}-\frac{28\!\cdots\!55}{25\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!42}{25\!\cdots\!63}a^{19}+\frac{30\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!63}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!97}{25\!\cdots\!63}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!35}{25\!\cdots\!63}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!29}{25\!\cdots\!63}a^{15}+\frac{38\!\cdots\!14}{13\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{75\!\cdots\!42}{25\!\cdots\!63}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!63}{25\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{27\!\cdots\!14}{13\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!77}a^{9}-\frac{29\!\cdots\!26}{71\!\cdots\!83}a^{8}-\frac{23\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{68\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!77}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!18}{19\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{43\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{51\!\cdots\!75}{19\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{96\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!69}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!01}{71\!\cdots\!83}a-\frac{61\!\cdots\!91}{71\!\cdots\!83}$, $\frac{40\!\cdots\!52}{37\!\cdots\!09}a^{26}-\frac{86\!\cdots\!43}{25\!\cdots\!63}a^{25}+\frac{32\!\cdots\!17}{25\!\cdots\!63}a^{24}+\frac{32\!\cdots\!91}{25\!\cdots\!63}a^{23}-\frac{20\!\cdots\!27}{37\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{19\!\cdots\!25}{25\!\cdots\!63}a^{21}+\frac{17\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!77}a^{20}+\frac{47\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!63}a^{19}-\frac{33\!\cdots\!84}{19\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{57\!\cdots\!64}{25\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{37\!\cdots\!27}{25\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{37\!\cdots\!13}{25\!\cdots\!63}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!63}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!44}{25\!\cdots\!63}a^{13}+\frac{65\!\cdots\!21}{25\!\cdots\!63}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{67\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{93\!\cdots\!34}{71\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{73\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!77}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!52}{71\!\cdots\!83}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!51}{19\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{94\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{41\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!54}{71\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!74}{71\!\cdots\!83}a-\frac{43\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!69}$, $\frac{22\!\cdots\!07}{25\!\cdots\!63}a^{26}+\frac{35\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!63}a^{25}+\frac{26\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!63}a^{24}-\frac{32\!\cdots\!90}{37\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{12\!\cdots\!27}{25\!\cdots\!63}a^{22}+\frac{58\!\cdots\!48}{25\!\cdots\!63}a^{21}+\frac{44\!\cdots\!77}{37\!\cdots\!09}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!59}{25\!\cdots\!63}a^{19}-\frac{44\!\cdots\!28}{25\!\cdots\!63}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!41}{25\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{57\!\cdots\!76}{37\!\cdots\!09}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!48}{25\!\cdots\!63}a^{15}-\frac{22\!\cdots\!36}{25\!\cdots\!63}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!89}{25\!\cdots\!63}a^{13}+\frac{76\!\cdots\!72}{25\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{42\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{78\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!09}{19\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{76\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!77}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!78}{19\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{29\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!77}a^{6}+\frac{77\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{22\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{31\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!69}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!83}{71\!\cdots\!83}a-\frac{27\!\cdots\!99}{71\!\cdots\!83}$, $\frac{17\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{20\!\cdots\!17}{25\!\cdots\!63}a^{25}+\frac{55\!\cdots\!43}{37\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{37\!\cdots\!39}{25\!\cdots\!63}a^{23}-\frac{17\!\cdots\!39}{25\!\cdots\!63}a^{22}-\frac{76\!\cdots\!27}{25\!\cdots\!63}a^{21}+\frac{42\!\cdots\!92}{25\!\cdots\!63}a^{20}+\frac{20\!\cdots\!89}{25\!\cdots\!63}a^{19}-\frac{58\!\cdots\!46}{25\!\cdots\!63}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!83}{25\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{50\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{34\!\cdots\!44}{25\!\cdots\!63}a^{15}-\frac{27\!\cdots\!04}{25\!\cdots\!63}a^{14}+\frac{64\!\cdots\!22}{25\!\cdots\!63}a^{13}+\frac{92\!\cdots\!11}{25\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{25\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{93\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{74\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!93}{19\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{98\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{41\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!77}a^{6}+\frac{63\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!52}{13\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!85}{71\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{86\!\cdots\!37}{71\!\cdots\!83}a-\frac{21\!\cdots\!30}{71\!\cdots\!83}$, $\frac{36\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!63}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!90}{37\!\cdots\!09}a^{24}-\frac{63\!\cdots\!06}{25\!\cdots\!63}a^{23}-\frac{37\!\cdots\!61}{25\!\cdots\!63}a^{22}+\frac{16\!\cdots\!65}{25\!\cdots\!63}a^{21}+\frac{91\!\cdots\!86}{25\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{32\!\cdots\!38}{25\!\cdots\!63}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!93}{25\!\cdots\!63}a^{18}+\frac{58\!\cdots\!61}{25\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!74}{25\!\cdots\!63}a^{16}-\frac{39\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{65\!\cdots\!19}{25\!\cdots\!63}a^{14}+\frac{56\!\cdots\!42}{25\!\cdots\!63}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!98}{25\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{31\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!36}{19\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{38\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{59\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!77}a^{6}+\frac{24\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{23\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{69\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{87\!\cdots\!72}{71\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{33\!\cdots\!66}{71\!\cdots\!83}a-\frac{10\!\cdots\!43}{71\!\cdots\!83}$, $\frac{66\!\cdots\!07}{25\!\cdots\!63}a^{26}-\frac{61\!\cdots\!13}{25\!\cdots\!63}a^{25}-\frac{77\!\cdots\!72}{25\!\cdots\!63}a^{24}+\frac{24\!\cdots\!97}{37\!\cdots\!09}a^{23}+\frac{35\!\cdots\!41}{25\!\cdots\!63}a^{22}+\frac{43\!\cdots\!77}{25\!\cdots\!63}a^{21}-\frac{86\!\cdots\!81}{25\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!63}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!37}{25\!\cdots\!63}a^{18}+\frac{60\!\cdots\!97}{25\!\cdots\!63}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!28}{25\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!87}{25\!\cdots\!63}a^{15}+\frac{59\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!63}a^{14}-\frac{27\!\cdots\!82}{25\!\cdots\!63}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!39}{25\!\cdots\!63}a^{12}+\frac{77\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!75}{71\!\cdots\!83}a^{10}-\frac{20\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!77}a^{9}-\frac{30\!\cdots\!18}{19\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!94}{71\!\cdots\!83}a^{7}+\frac{93\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!88}{13\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{61\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{52\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{50\!\cdots\!98}{71\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{25\!\cdots\!28}{71\!\cdots\!83}a+\frac{68\!\cdots\!84}{71\!\cdots\!83}$, $\frac{23\!\cdots\!55}{25\!\cdots\!63}a^{26}+\frac{20\!\cdots\!35}{25\!\cdots\!63}a^{25}+\frac{40\!\cdots\!35}{37\!\cdots\!09}a^{24}-\frac{21\!\cdots\!29}{25\!\cdots\!63}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!52}{25\!\cdots\!63}a^{22}+\frac{91\!\cdots\!84}{25\!\cdots\!63}a^{21}+\frac{44\!\cdots\!02}{25\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!07}{25\!\cdots\!63}a^{19}-\frac{76\!\cdots\!03}{25\!\cdots\!63}a^{18}+\frac{27\!\cdots\!27}{25\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{78\!\cdots\!27}{25\!\cdots\!63}a^{16}-\frac{23\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!63}a^{15}-\frac{47\!\cdots\!55}{25\!\cdots\!63}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!19}{25\!\cdots\!63}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!93}{25\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{23\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!36}{13\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{49\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!77}a^{8}-\frac{56\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!77}a^{6}+\frac{34\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{60\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{96\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!49}{71\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{46\!\cdots\!34}{71\!\cdots\!83}a-\frac{19\!\cdots\!05}{10\!\cdots\!69}$, $\frac{46\!\cdots\!35}{25\!\cdots\!63}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!28}{37\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{53\!\cdots\!61}{25\!\cdots\!63}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!63}a^{23}-\frac{23\!\cdots\!35}{25\!\cdots\!63}a^{22}-\frac{72\!\cdots\!35}{25\!\cdots\!63}a^{21}+\frac{70\!\cdots\!60}{37\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!63}a^{19}-\frac{59\!\cdots\!21}{25\!\cdots\!63}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!46}{25\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{23\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!77}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!41}{19\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!88}{37\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!67}{37\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{99\!\cdots\!84}{37\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!86}{19\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{80\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!59}{19\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{52\!\cdots\!84}{71\!\cdots\!83}a^{5}+\frac{72\!\cdots\!04}{19\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{66\!\cdots\!82}{71\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!69}a+\frac{56\!\cdots\!23}{71\!\cdots\!83}$, $\frac{93\!\cdots\!46}{25\!\cdots\!63}a^{26}+\frac{41\!\cdots\!33}{37\!\cdots\!09}a^{25}-\frac{92\!\cdots\!32}{25\!\cdots\!63}a^{24}-\frac{34\!\cdots\!72}{25\!\cdots\!63}a^{23}+\frac{73\!\cdots\!38}{25\!\cdots\!63}a^{22}+\frac{15\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!63}a^{21}+\frac{12\!\cdots\!25}{25\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{35\!\cdots\!02}{25\!\cdots\!63}a^{19}-\frac{59\!\cdots\!75}{37\!\cdots\!09}a^{18}+\frac{46\!\cdots\!61}{25\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{55\!\cdots\!12}{25\!\cdots\!63}a^{16}-\frac{37\!\cdots\!36}{25\!\cdots\!63}a^{15}-\frac{38\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!63}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!48}{25\!\cdots\!63}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!11}{25\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{33\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!40}{19\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{66\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{93\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!77}a^{8}-\frac{74\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{33\!\cdots\!88}{13\!\cdots\!77}a^{6}+\frac{44\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!16}{19\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!23}{71\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{59\!\cdots\!46}{71\!\cdots\!83}a-\frac{17\!\cdots\!15}{71\!\cdots\!83}$, $\frac{19\!\cdots\!65}{25\!\cdots\!63}a^{26}-\frac{32\!\cdots\!91}{37\!\cdots\!09}a^{25}-\frac{22\!\cdots\!98}{25\!\cdots\!63}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!63}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!13}{25\!\cdots\!63}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!39}{25\!\cdots\!63}a^{21}-\frac{25\!\cdots\!15}{25\!\cdots\!63}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!16}{25\!\cdots\!63}a^{19}+\frac{35\!\cdots\!86}{25\!\cdots\!63}a^{18}-\frac{64\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!63}a^{17}-\frac{31\!\cdots\!08}{25\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!39}{25\!\cdots\!63}a^{15}+\frac{91\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!77}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!72}{25\!\cdots\!63}a^{13}-\frac{58\!\cdots\!52}{25\!\cdots\!63}a^{12}+\frac{28\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{58\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{70\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!77}a^{9}-\frac{54\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{88\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{56\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{63\!\cdots\!71}{19\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{28\!\cdots\!14}{10\!\cdots\!69}a^{2}-\frac{77\!\cdots\!83}{71\!\cdots\!83}a+\frac{32\!\cdots\!56}{10\!\cdots\!69}$, $\frac{19\!\cdots\!46}{37\!\cdots\!09}a^{26}+\frac{26\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!63}a^{25}+\frac{22\!\cdots\!18}{37\!\cdots\!09}a^{24}-\frac{20\!\cdots\!48}{25\!\cdots\!63}a^{23}-\frac{73\!\cdots\!37}{25\!\cdots\!63}a^{22}+\frac{68\!\cdots\!48}{25\!\cdots\!63}a^{21}+\frac{95\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!63}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!36}{13\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{24\!\cdots\!33}{25\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{23\!\cdots\!52}{25\!\cdots\!63}a^{16}-\frac{26\!\cdots\!07}{25\!\cdots\!63}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!26}{25\!\cdots\!63}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!38}{25\!\cdots\!63}a^{13}+\frac{42\!\cdots\!37}{25\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{38\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{38\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{87\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!77}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{44\!\cdots\!11}{71\!\cdots\!83}a^{6}+\frac{69\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!14}{13\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{29\!\cdots\!49}{19\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{38\!\cdots\!23}{71\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!69}a-\frac{38\!\cdots\!69}{71\!\cdots\!83}$, $\frac{23\!\cdots\!17}{25\!\cdots\!63}a^{26}+\frac{14\!\cdots\!13}{37\!\cdots\!09}a^{25}-\frac{26\!\cdots\!09}{25\!\cdots\!63}a^{24}-\frac{30\!\cdots\!32}{25\!\cdots\!63}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!16}{25\!\cdots\!63}a^{22}+\frac{17\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!63}a^{21}-\frac{27\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{42\!\cdots\!98}{25\!\cdots\!63}a^{19}+\frac{36\!\cdots\!65}{25\!\cdots\!63}a^{18}+\frac{50\!\cdots\!58}{25\!\cdots\!63}a^{17}-\frac{29\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!63}a^{16}-\frac{32\!\cdots\!08}{25\!\cdots\!63}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!16}{25\!\cdots\!63}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!01}{25\!\cdots\!63}a^{13}-\frac{52\!\cdots\!08}{25\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{94\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{55\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{19\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!77}a^{9}-\frac{90\!\cdots\!58}{19\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{38\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!40}{19\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!78}{19\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{44\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{50\!\cdots\!36}{71\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{28\!\cdots\!08}{71\!\cdots\!83}a+\frac{18\!\cdots\!01}{71\!\cdots\!83}$, $\frac{65\!\cdots\!38}{25\!\cdots\!63}a^{26}-\frac{25\!\cdots\!99}{25\!\cdots\!63}a^{25}-\frac{75\!\cdots\!98}{25\!\cdots\!63}a^{24}-\frac{22\!\cdots\!14}{25\!\cdots\!63}a^{23}+\frac{26\!\cdots\!57}{19\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{22\!\cdots\!97}{25\!\cdots\!63}a^{21}-\frac{82\!\cdots\!11}{25\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{56\!\cdots\!85}{25\!\cdots\!63}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!03}{25\!\cdots\!63}a^{18}+\frac{46\!\cdots\!79}{19\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!51}{37\!\cdots\!09}a^{16}-\frac{27\!\cdots\!65}{25\!\cdots\!63}a^{15}+\frac{53\!\cdots\!25}{25\!\cdots\!63}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!85}{25\!\cdots\!63}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!63}a^{12}+\frac{29\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!87}{19\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{29\!\cdots\!28}{19\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{97\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{49\!\cdots\!53}{71\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!25}{71\!\cdots\!83}a+\frac{21\!\cdots\!05}{71\!\cdots\!83}$, $\frac{91\!\cdots\!21}{25\!\cdots\!63}a^{26}+\frac{16\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!63}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!25}{25\!\cdots\!63}a^{24}-\frac{11\!\cdots\!96}{25\!\cdots\!63}a^{23}-\frac{49\!\cdots\!19}{25\!\cdots\!63}a^{22}+\frac{37\!\cdots\!13}{25\!\cdots\!63}a^{21}+\frac{17\!\cdots\!91}{37\!\cdots\!09}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!64}{37\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{17\!\cdots\!84}{25\!\cdots\!63}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!31}{25\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!63}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!64}{25\!\cdots\!63}a^{15}-\frac{91\!\cdots\!93}{25\!\cdots\!63}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!32}{25\!\cdots\!63}a^{13}+\frac{30\!\cdots\!64}{25\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{30\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{51\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{40\!\cdots\!35}{19\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{90\!\cdots\!24}{19\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!93}{19\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{39\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{32\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!44}{19\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!79}{71\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{55\!\cdots\!08}{71\!\cdots\!83}a-\frac{13\!\cdots\!13}{71\!\cdots\!83}$, $\frac{11\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!63}a^{26}-\frac{69\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!63}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!32}{25\!\cdots\!63}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!82}{25\!\cdots\!63}a^{23}+\frac{60\!\cdots\!42}{25\!\cdots\!63}a^{22}+\frac{25\!\cdots\!49}{25\!\cdots\!63}a^{21}-\frac{20\!\cdots\!69}{37\!\cdots\!09}a^{20}-\frac{66\!\cdots\!36}{25\!\cdots\!63}a^{19}+\frac{19\!\cdots\!02}{25\!\cdots\!63}a^{18}+\frac{89\!\cdots\!80}{37\!\cdots\!09}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!63}a^{16}-\frac{90\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!63}a^{15}+\frac{94\!\cdots\!35}{25\!\cdots\!63}a^{14}-\frac{23\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!63}a^{13}-\frac{31\!\cdots\!37}{25\!\cdots\!63}a^{12}+\frac{48\!\cdots\!30}{71\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{24\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!69}a^{10}-\frac{26\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!77}a^{9}-\frac{32\!\cdots\!14}{13\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{51\!\cdots\!95}{19\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{23\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{61\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{70\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{63\!\cdots\!95}{71\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{34\!\cdots\!21}{71\!\cdots\!83}a+\frac{12\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!69}$, $\frac{67\!\cdots\!87}{37\!\cdots\!09}a^{26}+\frac{41\!\cdots\!33}{37\!\cdots\!09}a^{25}+\frac{78\!\cdots\!33}{37\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{66\!\cdots\!00}{37\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{36\!\cdots\!66}{37\!\cdots\!09}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!79}{37\!\cdots\!09}a^{21}+\frac{86\!\cdots\!82}{37\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{42\!\cdots\!47}{37\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!18}{37\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{43\!\cdots\!67}{37\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!61}{37\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!71}{37\!\cdots\!09}a^{15}-\frac{59\!\cdots\!01}{37\!\cdots\!09}a^{14}+\frac{84\!\cdots\!91}{37\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!27}{37\!\cdots\!09}a^{12}-\frac{42\!\cdots\!71}{19\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!86}{19\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!84}{19\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{24\!\cdots\!61}{19\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!03}{19\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!67}{19\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!45}{19\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!03}{19\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{34\!\cdots\!16}{19\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{79\!\cdots\!74}{10\!\cdots\!69}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!69}a-\frac{13\!\cdots\!70}{10\!\cdots\!69}$, $\frac{33\!\cdots\!73}{25\!\cdots\!63}a^{26}-\frac{46\!\cdots\!67}{25\!\cdots\!63}a^{25}+\frac{36\!\cdots\!68}{25\!\cdots\!63}a^{24}+\frac{55\!\cdots\!17}{25\!\cdots\!63}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!92}{25\!\cdots\!63}a^{22}-\frac{25\!\cdots\!83}{25\!\cdots\!63}a^{21}+\frac{61\!\cdots\!97}{37\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{83\!\cdots\!86}{37\!\cdots\!09}a^{19}+\frac{31\!\cdots\!64}{25\!\cdots\!63}a^{18}-\frac{76\!\cdots\!37}{25\!\cdots\!63}a^{17}-\frac{58\!\cdots\!29}{25\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{61\!\cdots\!42}{25\!\cdots\!63}a^{15}+\frac{44\!\cdots\!89}{25\!\cdots\!63}a^{14}-\frac{31\!\cdots\!39}{25\!\cdots\!63}a^{13}-\frac{16\!\cdots\!24}{25\!\cdots\!63}a^{12}+\frac{52\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!77}a^{9}-\frac{67\!\cdots\!98}{19\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!59}{19\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!74}{19\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{66\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!22}{19\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{26\!\cdots\!20}{71\!\cdots\!83}a^{2}-\frac{85\!\cdots\!73}{71\!\cdots\!83}a+\frac{26\!\cdots\!89}{71\!\cdots\!83}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 767808676666832900 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 767808676666832900 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{36349720812497449407244384714190733653686081630175529}}\cr\approx \mathstrut & 0.270260367547240 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 117*x^25 - 81*x^24 + 5373*x^23 + 5553*x^22 - 127944*x^21 - 140346*x^20 + 1791414*x^19 + 1736451*x^18 - 15762681*x^17 - 11394765*x^16 + 89620614*x^15 + 38266209*x^14 - 328348899*x^13 - 47589471*x^12 + 755784945*x^11 - 57893247*x^10 - 1056691137*x^9 + 231787251*x^8 + 875182446*x^7 - 263973042*x^6 - 408194613*x^5 + 141503697*x^4 + 94435434*x^3 - 35371863*x^2 - 7654644*x + 2956229)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^27 - 117*x^25 - 81*x^24 + 5373*x^23 + 5553*x^22 - 127944*x^21 - 140346*x^20 + 1791414*x^19 + 1736451*x^18 - 15762681*x^17 - 11394765*x^16 + 89620614*x^15 + 38266209*x^14 - 328348899*x^13 - 47589471*x^12 + 755784945*x^11 - 57893247*x^10 - 1056691137*x^9 + 231787251*x^8 + 875182446*x^7 - 263973042*x^6 - 408194613*x^5 + 141503697*x^4 + 94435434*x^3 - 35371863*x^2 - 7654644*x + 2956229, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^27 - 117*x^25 - 81*x^24 + 5373*x^23 + 5553*x^22 - 127944*x^21 - 140346*x^20 + 1791414*x^19 + 1736451*x^18 - 15762681*x^17 - 11394765*x^16 + 89620614*x^15 + 38266209*x^14 - 328348899*x^13 - 47589471*x^12 + 755784945*x^11 - 57893247*x^10 - 1056691137*x^9 + 231787251*x^8 + 875182446*x^7 - 263973042*x^6 - 408194613*x^5 + 141503697*x^4 + 94435434*x^3 - 35371863*x^2 - 7654644*x + 2956229);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 117*x^25 - 81*x^24 + 5373*x^23 + 5553*x^22 - 127944*x^21 - 140346*x^20 + 1791414*x^19 + 1736451*x^18 - 15762681*x^17 - 11394765*x^16 + 89620614*x^15 + 38266209*x^14 - 328348899*x^13 - 47589471*x^12 + 755784945*x^11 - 57893247*x^10 - 1056691137*x^9 + 231787251*x^8 + 875182446*x^7 - 263973042*x^6 - 408194613*x^5 + 141503697*x^4 + 94435434*x^3 - 35371863*x^2 - 7654644*x + 2956229);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$C_3^4.C_3\wr C_3$ (as 27T692):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A solvable group of order 6561 |
| The 81 conjugacy class representatives for $C_3^4.C_3\wr C_3$ |
| Character table for $C_3^4.C_3\wr C_3$ |
Intermediate fields
| \(\Q(\zeta_{9})^+\), 9.9.139858796529.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 27 siblings: | data not computed |
| Minimal sibling: | 27.27.36349720812497449407244384714190733653686081630175529.1 |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | $27$ | R | $27$ | ${\href{/padicField/7.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/7.3.0.1}{3} }^{3}$ | ${\href{/padicField/11.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{3}$ | $27$ | ${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }^{3}$ | R | $27$ | $27$ | ${\href{/padicField/31.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{3}$ | ${\href{/padicField/37.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }^{3}$ | $27$ | $27$ | $27$ | ${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }^{3}$ | $27$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(3\)
| Deg $27$ | $27$ | $1$ | $78$ | |||
|
\(19\)
| 19.3.0.1 | $x^{3} + 4 x + 17$ | $1$ | $3$ | $0$ | $C_3$ | $[\ ]^{3}$ |
| 19.3.2.3 | $x^{3} + 38$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ | |
| 19.3.2.2 | $x^{3} + 19$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ | |
| 19.9.0.1 | $x^{9} + 11 x^{3} + 14 x^{2} + 16 x + 17$ | $1$ | $9$ | $0$ | $C_9$ | $[\ ]^{9}$ | |
| 19.9.8.2 | $x^{9} + 57$ | $9$ | $1$ | $8$ | $C_9$ | $[\ ]_{9}$ |