Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 342*x^25 - 513*x^24 + 33345*x^23 + 97470*x^22 - 1260270*x^21 - 5221827*x^20 + 21068226*x^19 + 127768179*x^18 - 110794149*x^17 - 1625812596*x^16 - 1238190651*x^15 + 10625545845*x^14 + 21661040763*x^13 - 26176910337*x^12 - 123140488707*x^11 - 62085384675*x^10 + 266388984264*x^9 + 452485760760*x^8 + 50424782157*x^7 - 565685907975*x^6 - 671734642302*x^5 - 292929027750*x^4 + 19194328485*x^3 + 68592894498*x^2 + 24847653465*x + 2988651493)
gp: K = bnfinit(y^27 - 342*y^25 - 513*y^24 + 33345*y^23 + 97470*y^22 - 1260270*y^21 - 5221827*y^20 + 21068226*y^19 + 127768179*y^18 - 110794149*y^17 - 1625812596*y^16 - 1238190651*y^15 + 10625545845*y^14 + 21661040763*y^13 - 26176910337*y^12 - 123140488707*y^11 - 62085384675*y^10 + 266388984264*y^9 + 452485760760*y^8 + 50424782157*y^7 - 565685907975*y^6 - 671734642302*y^5 - 292929027750*y^4 + 19194328485*y^3 + 68592894498*y^2 + 24847653465*y + 2988651493, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^27 - 342*x^25 - 513*x^24 + 33345*x^23 + 97470*x^22 - 1260270*x^21 - 5221827*x^20 + 21068226*x^19 + 127768179*x^18 - 110794149*x^17 - 1625812596*x^16 - 1238190651*x^15 + 10625545845*x^14 + 21661040763*x^13 - 26176910337*x^12 - 123140488707*x^11 - 62085384675*x^10 + 266388984264*x^9 + 452485760760*x^8 + 50424782157*x^7 - 565685907975*x^6 - 671734642302*x^5 - 292929027750*x^4 + 19194328485*x^3 + 68592894498*x^2 + 24847653465*x + 2988651493);
oscar: Qx, x = polynomial_ring(QQ); K, a = number_field(x^27 - 342*x^25 - 513*x^24 + 33345*x^23 + 97470*x^22 - 1260270*x^21 - 5221827*x^20 + 21068226*x^19 + 127768179*x^18 - 110794149*x^17 - 1625812596*x^16 - 1238190651*x^15 + 10625545845*x^14 + 21661040763*x^13 - 26176910337*x^12 - 123140488707*x^11 - 62085384675*x^10 + 266388984264*x^9 + 452485760760*x^8 + 50424782157*x^7 - 565685907975*x^6 - 671734642302*x^5 - 292929027750*x^4 + 19194328485*x^3 + 68592894498*x^2 + 24847653465*x + 2988651493)
\( x^{27} - 342 x^{25} - 513 x^{24} + 33345 x^{23} + 97470 x^{22} - 1260270 x^{21} - 5221827 x^{20} + \cdots + 2988651493 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $27$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[27, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(33967771186402966366427549984621879030979398934601324527479889\)
\(\medspace = 3^{70}\cdot 19^{22}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(190.08\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $3^{220/81}19^{8/9}\approx 270.741453963268$ | ||
| Ramified primes: |
\(3\), \(19\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $9$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $\frac{1}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{10}$, $\frac{1}{19}a^{11}$, $\frac{1}{19}a^{12}$, $\frac{1}{19}a^{13}$, $\frac{1}{57}a^{14}-\frac{1}{57}a^{13}+\frac{1}{57}a^{12}+\frac{1}{57}a^{11}-\frac{1}{57}a^{10}+\frac{1}{57}a^{9}+\frac{1}{3}a^{5}-\frac{1}{3}a^{4}+\frac{1}{3}a^{3}+\frac{1}{3}a^{2}-\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{57}a^{15}-\frac{1}{57}a^{12}+\frac{1}{57}a^{9}+\frac{1}{3}a^{6}-\frac{1}{3}a^{3}+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{57}a^{16}-\frac{1}{57}a^{13}+\frac{1}{57}a^{10}+\frac{1}{3}a^{7}-\frac{1}{3}a^{4}+\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{57}a^{17}-\frac{1}{57}a^{13}+\frac{1}{57}a^{12}-\frac{1}{57}a^{11}-\frac{1}{57}a^{10}+\frac{1}{57}a^{9}+\frac{1}{3}a^{8}-\frac{1}{3}a^{4}+\frac{1}{3}a^{3}-\frac{1}{3}a^{2}-\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{1083}a^{18}-\frac{1}{57}a^{9}+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{1083}a^{19}-\frac{1}{57}a^{10}+\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{1083}a^{20}-\frac{1}{57}a^{11}+\frac{1}{3}a^{2}$, $\frac{1}{20577}a^{21}+\frac{7}{1083}a^{17}-\frac{1}{1083}a^{15}+\frac{2}{1083}a^{14}-\frac{8}{361}a^{13}+\frac{3}{361}a^{12}+\frac{1}{57}a^{11}-\frac{1}{57}a^{9}+\frac{4}{57}a^{8}+\frac{3}{19}a^{7}-\frac{28}{57}a^{6}+\frac{26}{57}a^{5}-\frac{7}{19}a^{4}-\frac{1}{57}a^{3}+\frac{1}{3}a^{2}-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{20577}a^{22}-\frac{1}{1083}a^{16}+\frac{2}{1083}a^{15}-\frac{5}{1083}a^{14}-\frac{10}{1083}a^{13}-\frac{1}{57}a^{12}+\frac{1}{57}a^{11}+\frac{1}{57}a^{10}+\frac{3}{19}a^{8}-\frac{28}{57}a^{7}+\frac{26}{57}a^{6}-\frac{2}{57}a^{5}-\frac{20}{57}a^{4}-\frac{1}{3}a^{3}+\frac{1}{3}a^{2}+\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{20577}a^{23}-\frac{1}{1083}a^{17}+\frac{2}{1083}a^{16}-\frac{5}{1083}a^{15}+\frac{3}{361}a^{14}+\frac{1}{57}a^{13}-\frac{1}{57}a^{12}-\frac{1}{57}a^{11}-\frac{1}{57}a^{10}+\frac{1}{57}a^{9}-\frac{28}{57}a^{8}+\frac{26}{57}a^{7}-\frac{2}{57}a^{6}-\frac{1}{57}a^{5}+\frac{1}{3}a^{4}-\frac{1}{3}a^{3}-\frac{1}{3}a^{2}-\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{390963}a^{24}+\frac{7}{20577}a^{20}-\frac{1}{20577}a^{18}-\frac{131}{20577}a^{17}-\frac{119}{20577}a^{16}+\frac{104}{20577}a^{15}-\frac{20}{1083}a^{13}+\frac{4}{1083}a^{12}+\frac{4}{1083}a^{11}+\frac{3}{361}a^{10}-\frac{28}{1083}a^{9}-\frac{50}{1083}a^{8}-\frac{458}{1083}a^{7}-\frac{533}{1083}a^{6}-\frac{4}{19}a^{5}-\frac{5}{57}a^{4}-\frac{5}{57}a^{3}$, $\frac{1}{6646371}a^{25}-\frac{5}{349809}a^{23}+\frac{7}{349809}a^{22}-\frac{7}{349809}a^{21}+\frac{4}{18411}a^{20}+\frac{94}{349809}a^{19}+\frac{26}{116603}a^{18}+\frac{280}{349809}a^{17}-\frac{434}{116603}a^{16}-\frac{23}{18411}a^{15}-\frac{109}{18411}a^{14}+\frac{71}{6137}a^{13}-\frac{65}{18411}a^{12}+\frac{427}{18411}a^{11}+\frac{86}{18411}a^{10}+\frac{25}{1083}a^{9}-\frac{5246}{18411}a^{8}-\frac{2623}{18411}a^{7}+\frac{211}{969}a^{6}-\frac{245}{969}a^{5}-\frac{478}{969}a^{4}-\frac{26}{57}a^{3}+\frac{5}{17}a^{2}-\frac{20}{51}a+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{42\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{36\!\cdots\!14}{42\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{42\!\cdots\!05}{42\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!90}{22\!\cdots\!41}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!16}{74\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{25\!\cdots\!84}{22\!\cdots\!41}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!30}{74\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!75}{22\!\cdots\!41}a^{19}+\frac{17\!\cdots\!90}{74\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{86\!\cdots\!69}{30\!\cdots\!17}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!72}{22\!\cdots\!41}a^{16}-\frac{43\!\cdots\!47}{74\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{66\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!39}a^{14}-\frac{21\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!39}a^{13}+\frac{91\!\cdots\!82}{39\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{74\!\cdots\!95}{39\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!39}a^{10}-\frac{48\!\cdots\!55}{39\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{31\!\cdots\!00}{39\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{47\!\cdots\!46}{11\!\cdots\!39}a^{7}+\frac{46\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!39}a^{6}-\frac{81\!\cdots\!85}{20\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{31\!\cdots\!03}{62\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{60\!\cdots\!61}{32\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{69\!\cdots\!19}{14\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{46\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!33}a-\frac{31\!\cdots\!43}{64\!\cdots\!49}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
$C_{3}$, which has order $3$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $26$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{35\!\cdots\!63}{26\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{49\!\cdots\!04}{26\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{35\!\cdots\!68}{78\!\cdots\!67}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!18}{26\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!35}{26\!\cdots\!89}a^{22}-\frac{53\!\cdots\!25}{78\!\cdots\!67}a^{21}+\frac{46\!\cdots\!01}{26\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!93}{26\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!71}{78\!\cdots\!67}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{44\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!31}a^{16}+\frac{71\!\cdots\!97}{41\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!88}{13\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!31}a^{13}-\frac{44\!\cdots\!84}{41\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{69\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!31}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{20\!\cdots\!71}{41\!\cdots\!93}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!77}{72\!\cdots\!49}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!51}{72\!\cdots\!49}a^{7}+\frac{47\!\cdots\!51}{21\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{33\!\cdots\!18}{72\!\cdots\!49}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!30}{72\!\cdots\!49}a^{4}+\frac{39\!\cdots\!27}{21\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{36\!\cdots\!84}{72\!\cdots\!49}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!43}{72\!\cdots\!49}a-\frac{63\!\cdots\!65}{21\!\cdots\!47}$, $\frac{13\!\cdots\!28}{26\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{28\!\cdots\!35}{26\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!49}{78\!\cdots\!67}a^{24}-\frac{25\!\cdots\!71}{26\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{46\!\cdots\!04}{26\!\cdots\!89}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!75}{78\!\cdots\!67}a^{21}+\frac{97\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!31}a^{20}+\frac{34\!\cdots\!57}{26\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!36}{78\!\cdots\!67}a^{18}-\frac{53\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!31}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!18}{41\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{82\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{63\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!31}a^{13}-\frac{69\!\cdots\!80}{41\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!31}a^{11}+\frac{35\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!75}{41\!\cdots\!93}a^{9}-\frac{64\!\cdots\!28}{72\!\cdots\!49}a^{8}-\frac{30\!\cdots\!55}{72\!\cdots\!49}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!78}{21\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{92\!\cdots\!17}{72\!\cdots\!49}a^{5}+\frac{47\!\cdots\!83}{72\!\cdots\!49}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!97}{21\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{96\!\cdots\!04}{72\!\cdots\!49}a^{2}-\frac{38\!\cdots\!74}{72\!\cdots\!49}a-\frac{14\!\cdots\!77}{21\!\cdots\!47}$, $\frac{26\!\cdots\!50}{66\!\cdots\!73}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!43}{19\!\cdots\!19}a^{25}+\frac{27\!\cdots\!93}{19\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{31\!\cdots\!30}{34\!\cdots\!67}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{69\!\cdots\!74}{34\!\cdots\!67}a^{21}+\frac{18\!\cdots\!05}{34\!\cdots\!67}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!69}{10\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!92}{10\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!51}{47\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!86}{10\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!13}{34\!\cdots\!67}a^{15}-\frac{23\!\cdots\!23}{96\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{21\!\cdots\!42}{55\!\cdots\!79}a^{13}-\frac{16\!\cdots\!27}{55\!\cdots\!79}a^{12}+\frac{27\!\cdots\!84}{18\!\cdots\!93}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!77}{55\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{28\!\cdots\!56}{18\!\cdots\!93}a^{9}-\frac{82\!\cdots\!71}{96\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{33\!\cdots\!38}{55\!\cdots\!79}a^{7}+\frac{36\!\cdots\!47}{55\!\cdots\!79}a^{6}+\frac{76\!\cdots\!34}{56\!\cdots\!91}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!52}{28\!\cdots\!41}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!72}{28\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{60\!\cdots\!56}{40\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{98\!\cdots\!24}{15\!\cdots\!39}a-\frac{76\!\cdots\!72}{89\!\cdots\!67}$, $\frac{11\!\cdots\!63}{66\!\cdots\!73}a^{26}+\frac{23\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!01}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!58}{19\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{32\!\cdots\!82}{34\!\cdots\!67}a^{23}-\frac{58\!\cdots\!66}{10\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{91\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{40\!\cdots\!16}{18\!\cdots\!93}a^{20}+\frac{60\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{45\!\cdots\!41}{10\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{74\!\cdots\!56}{47\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{41\!\cdots\!92}{10\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!14}{10\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!35}{18\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{91\!\cdots\!46}{55\!\cdots\!79}a^{13}-\frac{76\!\cdots\!16}{55\!\cdots\!79}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!59}{18\!\cdots\!93}a^{11}+\frac{67\!\cdots\!10}{55\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{33\!\cdots\!54}{55\!\cdots\!79}a^{9}-\frac{35\!\cdots\!22}{96\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!28}{55\!\cdots\!79}a^{7}+\frac{50\!\cdots\!04}{18\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{55\!\cdots\!05}{96\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!41}{28\!\cdots\!41}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!62}{96\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{44\!\cdots\!04}{69\!\cdots\!81}a^{2}-\frac{42\!\cdots\!92}{15\!\cdots\!39}a-\frac{11\!\cdots\!81}{29\!\cdots\!89}$, $\frac{83\!\cdots\!56}{66\!\cdots\!73}a^{26}+\frac{34\!\cdots\!60}{19\!\cdots\!19}a^{25}+\frac{84\!\cdots\!79}{19\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{17\!\cdots\!63}{34\!\cdots\!67}a^{23}-\frac{23\!\cdots\!20}{55\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{39\!\cdots\!26}{61\!\cdots\!53}a^{21}+\frac{58\!\cdots\!77}{34\!\cdots\!67}a^{20}+\frac{44\!\cdots\!54}{10\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{66\!\cdots\!84}{20\!\cdots\!51}a^{18}-\frac{55\!\cdots\!56}{47\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{31\!\cdots\!66}{10\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!82}{10\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!73}{18\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{68\!\cdots\!30}{55\!\cdots\!79}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!41}{18\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{85\!\cdots\!32}{18\!\cdots\!93}a^{11}+\frac{49\!\cdots\!66}{55\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!92}{55\!\cdots\!79}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!82}{96\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!86}{55\!\cdots\!79}a^{7}+\frac{37\!\cdots\!10}{18\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{41\!\cdots\!00}{96\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{73\!\cdots\!98}{28\!\cdots\!41}a^{4}+\frac{49\!\cdots\!55}{28\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{32\!\cdots\!30}{69\!\cdots\!81}a^{2}-\frac{31\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!39}a-\frac{24\!\cdots\!59}{89\!\cdots\!67}$, $\frac{56\!\cdots\!06}{66\!\cdots\!73}a^{26}+\frac{77\!\cdots\!39}{66\!\cdots\!73}a^{25}+\frac{57\!\cdots\!86}{19\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!33}{34\!\cdots\!67}a^{23}-\frac{99\!\cdots\!97}{34\!\cdots\!67}a^{22}-\frac{46\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{39\!\cdots\!72}{34\!\cdots\!67}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!95}{34\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!92}{10\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{37\!\cdots\!05}{47\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{70\!\cdots\!60}{34\!\cdots\!67}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{49\!\cdots\!08}{10\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{90\!\cdots\!88}{10\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{38\!\cdots\!96}{55\!\cdots\!79}a^{12}+\frac{58\!\cdots\!48}{18\!\cdots\!93}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!63}{18\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!24}{55\!\cdots\!79}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!11}{96\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{24\!\cdots\!16}{18\!\cdots\!93}a^{7}+\frac{76\!\cdots\!83}{55\!\cdots\!79}a^{6}+\frac{28\!\cdots\!22}{96\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!82}{96\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{34\!\cdots\!83}{28\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!78}{69\!\cdots\!81}a^{2}-\frac{71\!\cdots\!85}{50\!\cdots\!13}a-\frac{16\!\cdots\!87}{89\!\cdots\!67}$, $\frac{47\!\cdots\!78}{66\!\cdots\!73}a^{26}+\frac{19\!\cdots\!64}{19\!\cdots\!19}a^{25}+\frac{25\!\cdots\!41}{10\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{95\!\cdots\!43}{34\!\cdots\!67}a^{23}-\frac{24\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{37\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{33\!\cdots\!43}{34\!\cdots\!67}a^{20}+\frac{25\!\cdots\!36}{10\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{19\!\cdots\!74}{10\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{31\!\cdots\!74}{47\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{29\!\cdots\!20}{32\!\cdots\!87}a^{15}-\frac{73\!\cdots\!61}{18\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{38\!\cdots\!66}{55\!\cdots\!79}a^{13}-\frac{31\!\cdots\!49}{55\!\cdots\!79}a^{12}+\frac{48\!\cdots\!12}{18\!\cdots\!93}a^{11}+\frac{27\!\cdots\!42}{55\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{48\!\cdots\!47}{18\!\cdots\!93}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!96}{96\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{35\!\cdots\!42}{32\!\cdots\!87}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!78}{96\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!98}{96\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{41\!\cdots\!12}{28\!\cdots\!41}a^{4}+\frac{86\!\cdots\!01}{96\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!79}{69\!\cdots\!81}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!39}a-\frac{13\!\cdots\!79}{89\!\cdots\!67}$, $\frac{48\!\cdots\!95}{66\!\cdots\!73}a^{26}-\frac{20\!\cdots\!96}{19\!\cdots\!19}a^{25}-\frac{25\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!01}a^{24}-\frac{97\!\cdots\!16}{34\!\cdots\!67}a^{23}+\frac{25\!\cdots\!65}{10\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!35}{34\!\cdots\!67}a^{21}-\frac{33\!\cdots\!36}{34\!\cdots\!67}a^{20}-\frac{25\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{19\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{31\!\cdots\!08}{47\!\cdots\!79}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!93}{61\!\cdots\!53}a^{16}-\frac{51\!\cdots\!74}{55\!\cdots\!79}a^{15}+\frac{75\!\cdots\!74}{18\!\cdots\!93}a^{14}+\frac{39\!\cdots\!20}{55\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{31\!\cdots\!37}{55\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{49\!\cdots\!22}{18\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!30}{55\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!75}{55\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!26}{96\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{61\!\cdots\!01}{55\!\cdots\!79}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!44}{96\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{23\!\cdots\!42}{96\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{42\!\cdots\!50}{28\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{28\!\cdots\!82}{28\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!16}{69\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!30}{15\!\cdots\!39}a+\frac{46\!\cdots\!75}{29\!\cdots\!89}$, $\frac{14\!\cdots\!14}{14\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{63\!\cdots\!97}{42\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!54}{42\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!04}{74\!\cdots\!47}a^{23}-\frac{25\!\cdots\!91}{74\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!65}{22\!\cdots\!41}a^{21}+\frac{30\!\cdots\!52}{22\!\cdots\!41}a^{20}+\frac{74\!\cdots\!31}{22\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{58\!\cdots\!45}{22\!\cdots\!41}a^{18}-\frac{28\!\cdots\!96}{30\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{55\!\cdots\!56}{22\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{28\!\cdots\!20}{22\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{73\!\cdots\!45}{11\!\cdots\!39}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!39}a^{13}-\frac{29\!\cdots\!18}{39\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{23\!\cdots\!70}{62\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{82\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!39}a^{10}-\frac{46\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!39}a^{9}-\frac{25\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!39}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!39}a^{7}+\frac{64\!\cdots\!55}{39\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!46}{62\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!84}{62\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{74\!\cdots\!00}{62\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!30}{44\!\cdots\!63}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!33}a-\frac{40\!\cdots\!90}{19\!\cdots\!47}$, $\frac{36\!\cdots\!38}{14\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{14\!\cdots\!35}{42\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{37\!\cdots\!20}{42\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{92\!\cdots\!30}{74\!\cdots\!47}a^{23}-\frac{63\!\cdots\!59}{74\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{29\!\cdots\!02}{22\!\cdots\!41}a^{21}+\frac{76\!\cdots\!01}{22\!\cdots\!41}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!39}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!54}{22\!\cdots\!41}a^{18}-\frac{24\!\cdots\!83}{10\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!32}{22\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{74\!\cdots\!50}{22\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!39}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!39}a^{13}-\frac{82\!\cdots\!47}{39\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!84}{11\!\cdots\!39}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!89}{62\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!39}a^{9}-\frac{21\!\cdots\!46}{39\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{47\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!39}a^{7}+\frac{49\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!39}a^{6}+\frac{54\!\cdots\!80}{62\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{32\!\cdots\!40}{62\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!40}{62\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!27}{14\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{46\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!33}a-\frac{35\!\cdots\!85}{64\!\cdots\!49}$, $\frac{10\!\cdots\!01}{42\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{16\!\cdots\!14}{14\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{35\!\cdots\!37}{42\!\cdots\!79}a^{24}-\frac{19\!\cdots\!70}{74\!\cdots\!47}a^{23}-\frac{59\!\cdots\!57}{74\!\cdots\!47}a^{22}+\frac{30\!\cdots\!64}{22\!\cdots\!41}a^{21}+\frac{75\!\cdots\!02}{22\!\cdots\!41}a^{20}-\frac{51\!\cdots\!96}{22\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{17\!\cdots\!72}{22\!\cdots\!41}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!57}{30\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!05}{22\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!40}{22\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{96\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!39}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!39}a^{13}+\frac{45\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!39}a^{12}+\frac{87\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!39}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!39}a^{10}-\frac{33\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!39}a^{9}+\frac{88\!\cdots\!65}{39\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{63\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!39}a^{7}+\frac{40\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!39}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!85}{62\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{31\!\cdots\!71}{62\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{32\!\cdots\!75}{20\!\cdots\!27}a^{3}+\frac{26\!\cdots\!78}{44\!\cdots\!63}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!04}{32\!\cdots\!99}a+\frac{44\!\cdots\!13}{64\!\cdots\!49}$, $\frac{64\!\cdots\!96}{42\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{88\!\cdots\!80}{42\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{73\!\cdots\!14}{14\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{54\!\cdots\!42}{74\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{37\!\cdots\!12}{74\!\cdots\!47}a^{22}+\frac{17\!\cdots\!34}{22\!\cdots\!41}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!63}{74\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{67\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{29\!\cdots\!17}{74\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{25\!\cdots\!87}{18\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{26\!\cdots\!22}{74\!\cdots\!47}a^{16}-\frac{44\!\cdots\!08}{22\!\cdots\!41}a^{15}+\frac{96\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!39}a^{14}+\frac{58\!\cdots\!51}{39\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!71}{39\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{43\!\cdots\!47}{39\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!69}{39\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!27}{39\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{28\!\cdots\!14}{11\!\cdots\!39}a^{7}-\frac{29\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!39}a^{6}-\frac{32\!\cdots\!82}{62\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{64\!\cdots\!33}{20\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{43\!\cdots\!56}{20\!\cdots\!27}a^{3}+\frac{86\!\cdots\!72}{14\!\cdots\!21}a^{2}+\frac{82\!\cdots\!89}{32\!\cdots\!99}a+\frac{21\!\cdots\!93}{64\!\cdots\!49}$, $\frac{10\!\cdots\!77}{42\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{73\!\cdots\!52}{22\!\cdots\!41}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!26}{14\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{82\!\cdots\!66}{74\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{59\!\cdots\!59}{74\!\cdots\!47}a^{22}+\frac{27\!\cdots\!47}{22\!\cdots\!41}a^{21}-\frac{23\!\cdots\!61}{74\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{18\!\cdots\!95}{22\!\cdots\!41}a^{19}+\frac{45\!\cdots\!46}{74\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!25}{10\!\cdots\!39}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!17}{22\!\cdots\!41}a^{16}-\frac{69\!\cdots\!15}{22\!\cdots\!41}a^{15}+\frac{80\!\cdots\!81}{62\!\cdots\!81}a^{14}+\frac{92\!\cdots\!05}{39\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{76\!\cdots\!97}{39\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{55\!\cdots\!34}{62\!\cdots\!81}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!39}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!39}a^{9}+\frac{60\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!39}a^{8}+\frac{44\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!39}a^{7}-\frac{46\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!39}a^{6}-\frac{50\!\cdots\!67}{62\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!40}{20\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{20\!\cdots\!04}{62\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{40\!\cdots\!24}{44\!\cdots\!63}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!34}{32\!\cdots\!99}a+\frac{10\!\cdots\!80}{19\!\cdots\!47}$, $\frac{44\!\cdots\!58}{42\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{45\!\cdots\!53}{25\!\cdots\!87}a^{25}-\frac{50\!\cdots\!96}{14\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!72}{22\!\cdots\!41}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!11}{39\!\cdots\!13}a^{22}+\frac{92\!\cdots\!28}{22\!\cdots\!41}a^{21}-\frac{54\!\cdots\!09}{39\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{22\!\cdots\!58}{74\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!15}{74\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{26\!\cdots\!31}{30\!\cdots\!17}a^{17}-\frac{59\!\cdots\!90}{22\!\cdots\!41}a^{16}-\frac{27\!\cdots\!72}{22\!\cdots\!41}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!39}a^{14}+\frac{37\!\cdots\!17}{39\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!58}{39\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{23\!\cdots\!98}{62\!\cdots\!81}a^{11}-\frac{43\!\cdots\!63}{69\!\cdots\!67}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!78}{39\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{23\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!39}a^{8}+\frac{49\!\cdots\!16}{39\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!39}a^{6}-\frac{62\!\cdots\!31}{20\!\cdots\!27}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!57}{64\!\cdots\!49}a^{4}-\frac{73\!\cdots\!50}{62\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!06}{44\!\cdots\!63}a^{2}+\frac{28\!\cdots\!37}{19\!\cdots\!47}a+\frac{12\!\cdots\!41}{64\!\cdots\!49}$, $\frac{69\!\cdots\!84}{42\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{93\!\cdots\!71}{42\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{23\!\cdots\!25}{42\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{20\!\cdots\!21}{22\!\cdots\!41}a^{23}-\frac{12\!\cdots\!23}{22\!\cdots\!41}a^{22}-\frac{37\!\cdots\!57}{43\!\cdots\!91}a^{21}+\frac{48\!\cdots\!44}{22\!\cdots\!41}a^{20}+\frac{41\!\cdots\!26}{74\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!18}{43\!\cdots\!91}a^{18}-\frac{46\!\cdots\!38}{30\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{86\!\cdots\!26}{22\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!95}{74\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{99\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!39}a^{14}-\frac{63\!\cdots\!61}{39\!\cdots\!13}a^{13}-\frac{16\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!39}a^{12}+\frac{37\!\cdots\!62}{62\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{46\!\cdots\!81}{39\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{23\!\cdots\!08}{39\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{42\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!39}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!17}{39\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{31\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!39}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!53}{20\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!14}{62\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!59}{62\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{94\!\cdots\!62}{14\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{30\!\cdots\!04}{10\!\cdots\!33}a-\frac{23\!\cdots\!86}{64\!\cdots\!49}$, $\frac{76\!\cdots\!13}{14\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!86}{14\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{26\!\cdots\!99}{14\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{44\!\cdots\!93}{22\!\cdots\!41}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!03}{74\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{61\!\cdots\!68}{22\!\cdots\!41}a^{21}+\frac{16\!\cdots\!86}{22\!\cdots\!41}a^{20}+\frac{40\!\cdots\!75}{22\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{31\!\cdots\!63}{22\!\cdots\!41}a^{18}-\frac{26\!\cdots\!95}{53\!\cdots\!81}a^{17}+\frac{28\!\cdots\!41}{22\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!48}{22\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{36\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!39}a^{14}-\frac{62\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!39}a^{13}-\frac{50\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!39}a^{12}+\frac{79\!\cdots\!07}{39\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{45\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!39}a^{10}-\frac{23\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!39}a^{9}-\frac{45\!\cdots\!13}{39\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{97\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!39}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!39}a^{6}+\frac{37\!\cdots\!39}{20\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{67\!\cdots\!03}{62\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{44\!\cdots\!58}{62\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{90\!\cdots\!24}{44\!\cdots\!63}a^{2}-\frac{28\!\cdots\!53}{32\!\cdots\!99}a-\frac{74\!\cdots\!80}{64\!\cdots\!49}$, 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|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 14434686400004354000000 \cdot 3}{2\cdot\sqrt{33967771186402966366427549984621879030979398934601324527479889}}\cr\approx \mathstrut & 0.498626056362473 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 342*x^25 - 513*x^24 + 33345*x^23 + 97470*x^22 - 1260270*x^21 - 5221827*x^20 + 21068226*x^19 + 127768179*x^18 - 110794149*x^17 - 1625812596*x^16 - 1238190651*x^15 + 10625545845*x^14 + 21661040763*x^13 - 26176910337*x^12 - 123140488707*x^11 - 62085384675*x^10 + 266388984264*x^9 + 452485760760*x^8 + 50424782157*x^7 - 565685907975*x^6 - 671734642302*x^5 - 292929027750*x^4 + 19194328485*x^3 + 68592894498*x^2 + 24847653465*x + 2988651493)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^27 - 342*x^25 - 513*x^24 + 33345*x^23 + 97470*x^22 - 1260270*x^21 - 5221827*x^20 + 21068226*x^19 + 127768179*x^18 - 110794149*x^17 - 1625812596*x^16 - 1238190651*x^15 + 10625545845*x^14 + 21661040763*x^13 - 26176910337*x^12 - 123140488707*x^11 - 62085384675*x^10 + 266388984264*x^9 + 452485760760*x^8 + 50424782157*x^7 - 565685907975*x^6 - 671734642302*x^5 - 292929027750*x^4 + 19194328485*x^3 + 68592894498*x^2 + 24847653465*x + 2988651493, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^27 - 342*x^25 - 513*x^24 + 33345*x^23 + 97470*x^22 - 1260270*x^21 - 5221827*x^20 + 21068226*x^19 + 127768179*x^18 - 110794149*x^17 - 1625812596*x^16 - 1238190651*x^15 + 10625545845*x^14 + 21661040763*x^13 - 26176910337*x^12 - 123140488707*x^11 - 62085384675*x^10 + 266388984264*x^9 + 452485760760*x^8 + 50424782157*x^7 - 565685907975*x^6 - 671734642302*x^5 - 292929027750*x^4 + 19194328485*x^3 + 68592894498*x^2 + 24847653465*x + 2988651493);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 342*x^25 - 513*x^24 + 33345*x^23 + 97470*x^22 - 1260270*x^21 - 5221827*x^20 + 21068226*x^19 + 127768179*x^18 - 110794149*x^17 - 1625812596*x^16 - 1238190651*x^15 + 10625545845*x^14 + 21661040763*x^13 - 26176910337*x^12 - 123140488707*x^11 - 62085384675*x^10 + 266388984264*x^9 + 452485760760*x^8 + 50424782157*x^7 - 565685907975*x^6 - 671734642302*x^5 - 292929027750*x^4 + 19194328485*x^3 + 68592894498*x^2 + 24847653465*x + 2988651493);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$C_9^2.C_3$ (as 27T112):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A solvable group of order 243 |
| The 35 conjugacy class representatives for $C_9^2.C_3$ |
| Character table for $C_9^2.C_3$ |
Intermediate fields
| \(\Q(\zeta_{9})^+\), 9.9.5609891727441.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 27 siblings: | data not computed |
| Minimal sibling: | 27.27.722013712239823213565233266321909861375098894090246169.6 |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | ${\href{/padicField/2.9.0.1}{9} }^{3}$ | R | ${\href{/padicField/5.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/7.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/11.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/13.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/17.1.0.1}{1} }^{9}$ | R | ${\href{/padicField/23.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/29.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/31.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/37.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/41.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/43.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/47.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/53.1.0.1}{1} }^{9}$ | ${\href{/padicField/59.9.0.1}{9} }^{3}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(3\)
| Deg $27$ | $27$ | $1$ | $70$ | |||
|
\(19\)
| 19.9.8.4 | $x^{9} + 114$ | $9$ | $1$ | $8$ | $C_9$ | $[\ ]_{9}$ |
| 19.9.8.2 | $x^{9} + 57$ | $9$ | $1$ | $8$ | $C_9$ | $[\ ]_{9}$ | |
| 19.9.6.3 | $x^{9} - 152 x^{6} + 5776 x^{3} + 1982251$ | $3$ | $3$ | $6$ | $C_9$ | $[\ ]_{3}^{3}$ |