Number field 27.27.33967771186402966366427549984621879030979398934601324527479889.6

• Label: 27.27.339...889.6
• Degree: $27$
• Signature: $[27, 0]$
• Discriminant: $3.397\times 10^{61}$
• Root discriminant: \(190.08\)
• Ramified primes: $3,19$
• Class number: $3$ (GRH)
• Class group: [3] (GRH)
• Galois group: $C_9^2:C_3$ (as 27T108)

Normalized defining polynomial

x^27 - 198*x^25 - 240*x^24 + 14211*x^23 + 27828*x^22 - 470235*x^21 - 1095210*x^20 + 7805736*x^19 + 17721963*x^18 - 75980394*x^17 - 145128888*x^16 + 462567705*x^15 + 653137839*x^14 - 1750939695*x^13 - 1685642442*x^12 + 4004759304*x^11 + 2575237032*x^10 - 5330234694*x^9 - 2406041811*x^8 + 3884585238*x^7 + 1396307361*x^6 - 1366755093*x^5 - 467018919*x^4 + 163985460*x^3 + 65743461*x^2 + 1605852*x - 707723

Invariants

Degree:		$27$
Signature:		$[27, 0]$
Discriminant:		\(33967771186402966366427549984621879030979398934601324527479889\) \(\medspace = 3^{70}\cdot 19^{22}\)
Root discriminant:		\(190.08\)
Galois root discriminant:		$3^{220/81}19^{8/9}\approx 270.741453963268$
Ramified primes:		\(3\), \(19\)
Discriminant root field:		\(\Q\)
$\card{ \Aut(K/\Q) }$:		$9$
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $\frac{1}{889}a^{24}+\frac{79}{889}a^{23}-\frac{40}{127}a^{22}+\frac{8}{127}a^{21}+\frac{405}{889}a^{20}-\frac{314}{889}a^{19}+\frac{232}{889}a^{18}-\frac{17}{889}a^{17}-\frac{36}{889}a^{16}-\frac{74}{889}a^{15}+\frac{438}{889}a^{14}+\frac{8}{889}a^{13}-\frac{375}{889}a^{12}+\frac{312}{889}a^{11}-\frac{31}{127}a^{10}-\frac{68}{889}a^{9}+\frac{9}{127}a^{8}-\frac{20}{127}a^{7}+\frac{25}{889}a^{6}-\frac{340}{889}a^{5}-\frac{1}{127}a^{4}-\frac{352}{889}a^{3}-\frac{193}{889}a^{2}+\frac{15}{127}a-\frac{9}{889}$, $\frac{1}{889}a^{25}-\frac{298}{889}a^{23}-\frac{7}{127}a^{22}+\frac{426}{889}a^{21}-\frac{305}{889}a^{20}+\frac{146}{889}a^{19}+\frac{324}{889}a^{18}+\frac{418}{889}a^{17}+\frac{103}{889}a^{16}+\frac{61}{889}a^{15}+\frac{11}{127}a^{14}-\frac{118}{889}a^{13}-\frac{289}{889}a^{12}+\frac{27}{889}a^{11}+\frac{184}{889}a^{10}+\frac{101}{889}a^{9}+\frac{31}{127}a^{8}+\frac{417}{889}a^{7}+\frac{352}{889}a^{6}+\frac{183}{889}a^{5}+\frac{201}{889}a^{4}+\frac{8}{127}a^{3}+\frac{239}{889}a^{2}-\frac{303}{889}a-\frac{178}{889}$, $\frac{1}{37\!\cdots\!99}a^{26}+\frac{14\!\cdots\!73}{37\!\cdots\!99}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!22}{37\!\cdots\!99}a^{24}+\frac{24\!\cdots\!41}{37\!\cdots\!99}a^{23}-\frac{53\!\cdots\!73}{37\!\cdots\!99}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!11}{37\!\cdots\!99}a^{21}+\frac{45\!\cdots\!57}{37\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{94\!\cdots\!22}{53\!\cdots\!57}a^{19}+\frac{33\!\cdots\!06}{37\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{79\!\cdots\!28}{37\!\cdots\!99}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!65}{37\!\cdots\!99}a^{16}+\frac{57\!\cdots\!35}{37\!\cdots\!99}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!12}{37\!\cdots\!99}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!57}{37\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!40}{37\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!57}{37\!\cdots\!99}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!43}{37\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{57\!\cdots\!81}{37\!\cdots\!99}a^{9}-\frac{98\!\cdots\!77}{37\!\cdots\!99}a^{8}-\frac{94\!\cdots\!31}{37\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!04}{37\!\cdots\!99}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!58}{37\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{49\!\cdots\!43}{37\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!82}{37\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!78}{37\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!79}{37\!\cdots\!99}a-\frac{36\!\cdots\!07}{37\!\cdots\!99}$

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

$C_{3}$, which has order $3$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$26$
Torsion generator:		\( -1 \)  (order $2$)
Fundamental units:		$\frac{24\!\cdots\!66}{95\!\cdots\!13}a^{26}-\frac{28\!\cdots\!81}{95\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{47\!\cdots\!37}{95\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!58}{95\!\cdots\!13}a^{23}-\frac{32\!\cdots\!55}{95\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!30}{95\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{97\!\cdots\!55}{95\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{36\!\cdots\!24}{95\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!85}{95\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{54\!\cdots\!28}{95\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!86}{95\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{41\!\cdots\!61}{95\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{52\!\cdots\!70}{95\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!92}{95\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!39}{95\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{43\!\cdots\!41}{95\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{32\!\cdots\!35}{95\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{58\!\cdots\!78}{95\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{36\!\cdots\!53}{95\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{43\!\cdots\!15}{95\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!49}{95\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!15}{95\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{44\!\cdots\!30}{95\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!83}{95\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!09}{95\!\cdots\!13}a^{2}-\frac{87\!\cdots\!25}{95\!\cdots\!13}a-\frac{75\!\cdots\!30}{95\!\cdots\!13}$, $\frac{50\!\cdots\!54}{95\!\cdots\!13}a^{26}-\frac{90\!\cdots\!86}{95\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{98\!\cdots\!11}{95\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{29\!\cdots\!81}{95\!\cdots\!13}a^{23}-\frac{66\!\cdots\!87}{95\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{25\!\cdots\!63}{95\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{19\!\cdots\!75}{95\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{89\!\cdots\!80}{95\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{23\!\cdots\!47}{95\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!31}{95\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!74}{95\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{99\!\cdots\!23}{95\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{54\!\cdots\!32}{95\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{42\!\cdots\!28}{95\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!88}{95\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!24}{95\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!43}{95\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!08}{95\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{24\!\cdots\!43}{95\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!01}{95\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!94}{95\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{46\!\cdots\!05}{95\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{99\!\cdots\!64}{95\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{67\!\cdots\!69}{95\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!63}{95\!\cdots\!13}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!25}{95\!\cdots\!13}a-\frac{35\!\cdots\!74}{95\!\cdots\!13}$, $\frac{68\!\cdots\!92}{37\!\cdots\!99}a^{26}-\frac{33\!\cdots\!71}{53\!\cdots\!57}a^{25}+\frac{97\!\cdots\!62}{37\!\cdots\!99}a^{24}+\frac{47\!\cdots\!72}{37\!\cdots\!99}a^{23}+\frac{33\!\cdots\!82}{37\!\cdots\!99}a^{22}-\frac{32\!\cdots\!53}{37\!\cdots\!99}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!80}{53\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{96\!\cdots\!24}{37\!\cdots\!99}a^{19}+\frac{34\!\cdots\!04}{37\!\cdots\!99}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!86}{37\!\cdots\!99}a^{17}-\frac{53\!\cdots\!99}{37\!\cdots\!99}a^{16}+\frac{85\!\cdots\!86}{37\!\cdots\!99}a^{15}+\frac{41\!\cdots\!14}{37\!\cdots\!99}a^{14}-\frac{35\!\cdots\!01}{37\!\cdots\!99}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!26}{37\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{93\!\cdots\!75}{37\!\cdots\!99}a^{11}+\frac{44\!\cdots\!30}{37\!\cdots\!99}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!18}{37\!\cdots\!99}a^{9}-\frac{62\!\cdots\!76}{37\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!16}{37\!\cdots\!99}a^{7}+\frac{48\!\cdots\!91}{37\!\cdots\!99}a^{6}-\frac{28\!\cdots\!12}{37\!\cdots\!99}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!31}{53\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{85\!\cdots\!87}{37\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{26\!\cdots\!87}{37\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{31\!\cdots\!96}{37\!\cdots\!99}a-\frac{44\!\cdots\!76}{37\!\cdots\!99}$, $\frac{17\!\cdots\!57}{37\!\cdots\!99}a^{26}+\frac{59\!\cdots\!24}{37\!\cdots\!99}a^{25}-\frac{47\!\cdots\!91}{53\!\cdots\!57}a^{24}-\frac{15\!\cdots\!29}{37\!\cdots\!99}a^{23}+\frac{21\!\cdots\!09}{37\!\cdots\!99}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!39}{37\!\cdots\!99}a^{21}-\frac{51\!\cdots\!75}{37\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{41\!\cdots\!64}{37\!\cdots\!99}a^{19}+\frac{32\!\cdots\!48}{37\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{59\!\cdots\!00}{37\!\cdots\!99}a^{17}+\frac{19\!\cdots\!28}{37\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{44\!\cdots\!19}{37\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{34\!\cdots\!17}{37\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!18}{37\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!60}{37\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{48\!\cdots\!64}{37\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{51\!\cdots\!43}{37\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{72\!\cdots\!46}{37\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{78\!\cdots\!72}{37\!\cdots\!99}a^{8}-\frac{59\!\cdots\!96}{37\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{63\!\cdots\!36}{37\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!86}{37\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{24\!\cdots\!57}{37\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{34\!\cdots\!32}{53\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{35\!\cdots\!71}{37\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!35}{37\!\cdots\!99}a+\frac{49\!\cdots\!67}{37\!\cdots\!99}$, $\frac{34\!\cdots\!64}{37\!\cdots\!99}a^{26}-\frac{15\!\cdots\!04}{37\!\cdots\!99}a^{25}+\frac{67\!\cdots\!40}{37\!\cdots\!99}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!47}{37\!\cdots\!99}a^{23}-\frac{47\!\cdots\!05}{37\!\cdots\!99}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!12}{37\!\cdots\!99}a^{21}+\frac{15\!\cdots\!79}{37\!\cdots\!99}a^{20}+\frac{43\!\cdots\!68}{37\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!39}{37\!\cdots\!99}a^{18}-\frac{68\!\cdots\!15}{37\!\cdots\!99}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!88}{37\!\cdots\!99}a^{16}+\frac{55\!\cdots\!37}{37\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!27}{37\!\cdots\!99}a^{14}-\frac{24\!\cdots\!58}{37\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{47\!\cdots\!32}{37\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{64\!\cdots\!57}{37\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!85}{53\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{96\!\cdots\!46}{37\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!95}{37\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{83\!\cdots\!87}{37\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!14}{37\!\cdots\!99}a^{6}-\frac{38\!\cdots\!09}{37\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{38\!\cdots\!19}{37\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{81\!\cdots\!47}{37\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{60\!\cdots\!76}{37\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{62\!\cdots\!49}{53\!\cdots\!57}a+\frac{13\!\cdots\!29}{37\!\cdots\!99}$, $\frac{97\!\cdots\!46}{37\!\cdots\!99}a^{26}-\frac{26\!\cdots\!55}{37\!\cdots\!99}a^{25}-\frac{23\!\cdots\!68}{37\!\cdots\!99}a^{24}+\frac{49\!\cdots\!86}{37\!\cdots\!99}a^{23}+\frac{28\!\cdots\!93}{37\!\cdots\!99}a^{22}-\frac{32\!\cdots\!53}{37\!\cdots\!99}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!38}{37\!\cdots\!99}a^{20}+\frac{92\!\cdots\!04}{37\!\cdots\!99}a^{19}+\frac{51\!\cdots\!44}{37\!\cdots\!99}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!18}{37\!\cdots\!99}a^{17}-\frac{71\!\cdots\!17}{37\!\cdots\!99}a^{16}+\frac{80\!\cdots\!98}{37\!\cdots\!99}a^{15}+\frac{53\!\cdots\!04}{37\!\cdots\!99}a^{14}-\frac{35\!\cdots\!51}{37\!\cdots\!99}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!58}{37\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!59}{37\!\cdots\!99}a^{11}+\frac{54\!\cdots\!00}{37\!\cdots\!99}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!66}{37\!\cdots\!99}a^{9}-\frac{76\!\cdots\!47}{37\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{17\!\cdots\!68}{37\!\cdots\!99}a^{7}+\frac{57\!\cdots\!69}{37\!\cdots\!99}a^{6}-\frac{67\!\cdots\!92}{37\!\cdots\!99}a^{5}-\frac{21\!\cdots\!83}{37\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!39}{37\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{29\!\cdots\!39}{37\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!66}{37\!\cdots\!99}a-\frac{52\!\cdots\!74}{37\!\cdots\!99}$, $\frac{58\!\cdots\!53}{37\!\cdots\!99}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!52}{37\!\cdots\!99}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!01}{37\!\cdots\!99}a^{24}+\frac{36\!\cdots\!56}{37\!\cdots\!99}a^{23}-\frac{76\!\cdots\!36}{37\!\cdots\!99}a^{22}-\frac{31\!\cdots\!51}{37\!\cdots\!99}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!50}{37\!\cdots\!99}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!48}{37\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{25\!\cdots\!43}{37\!\cdots\!99}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!23}{37\!\cdots\!99}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!58}{53\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!38}{53\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{49\!\cdots\!50}{37\!\cdots\!99}a^{14}-\frac{51\!\cdots\!18}{37\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{78\!\cdots\!92}{37\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!12}{37\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!26}{37\!\cdots\!99}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!32}{37\!\cdots\!99}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!87}{37\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!99}{37\!\cdots\!99}a^{7}+\frac{29\!\cdots\!56}{37\!\cdots\!99}a^{6}-\frac{55\!\cdots\!61}{37\!\cdots\!99}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!71}{37\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{71\!\cdots\!69}{37\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{27\!\cdots\!15}{37\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{46\!\cdots\!42}{37\!\cdots\!99}a-\frac{28\!\cdots\!06}{37\!\cdots\!99}$, $\frac{13\!\cdots\!20}{53\!\cdots\!57}a^{26}+\frac{24\!\cdots\!94}{37\!\cdots\!99}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!69}{37\!\cdots\!99}a^{24}-\frac{25\!\cdots\!97}{37\!\cdots\!99}a^{23}-\frac{20\!\cdots\!26}{53\!\cdots\!57}a^{22}+\frac{71\!\cdots\!50}{37\!\cdots\!99}a^{21}+\frac{53\!\cdots\!72}{37\!\cdots\!99}a^{20}+\frac{24\!\cdots\!45}{53\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!03}{37\!\cdots\!99}a^{18}-\frac{25\!\cdots\!61}{37\!\cdots\!99}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!59}{37\!\cdots\!99}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!45}{37\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{84\!\cdots\!53}{37\!\cdots\!99}a^{14}-\frac{54\!\cdots\!24}{37\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{34\!\cdots\!75}{37\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{21\!\cdots\!33}{37\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{80\!\cdots\!80}{37\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!39}{37\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!57}{53\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!24}{37\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{79\!\cdots\!55}{37\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!81}{37\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!79}{37\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!09}{37\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{32\!\cdots\!78}{37\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!03}{37\!\cdots\!99}a+\frac{37\!\cdots\!75}{37\!\cdots\!99}$, $\frac{67\!\cdots\!15}{37\!\cdots\!99}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!18}{37\!\cdots\!99}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!36}{37\!\cdots\!99}a^{24}-\frac{41\!\cdots\!39}{37\!\cdots\!99}a^{23}+\frac{87\!\cdots\!59}{37\!\cdots\!99}a^{22}+\frac{35\!\cdots\!78}{37\!\cdots\!99}a^{21}-\frac{24\!\cdots\!47}{37\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!88}{37\!\cdots\!99}a^{19}+\frac{41\!\cdots\!06}{53\!\cdots\!57}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!99}{37\!\cdots\!99}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!77}{37\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!06}{37\!\cdots\!99}a^{15}+\frac{54\!\cdots\!48}{37\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{58\!\cdots\!05}{37\!\cdots\!99}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!19}{53\!\cdots\!57}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!62}{53\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!62}{37\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{20\!\cdots\!58}{37\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!30}{37\!\cdots\!99}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!43}{37\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{48\!\cdots\!31}{53\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{87\!\cdots\!42}{53\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!90}{37\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{85\!\cdots\!74}{37\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{34\!\cdots\!77}{53\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{56\!\cdots\!00}{37\!\cdots\!99}a+\frac{19\!\cdots\!96}{37\!\cdots\!99}$, $\frac{14\!\cdots\!09}{37\!\cdots\!99}a^{26}-\frac{73\!\cdots\!35}{37\!\cdots\!99}a^{25}-\frac{28\!\cdots\!26}{37\!\cdots\!99}a^{24}-\frac{19\!\cdots\!83}{37\!\cdots\!99}a^{23}+\frac{20\!\cdots\!37}{37\!\cdots\!99}a^{22}+\frac{29\!\cdots\!75}{37\!\cdots\!99}a^{21}-\frac{69\!\cdots\!21}{37\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!75}{37\!\cdots\!99}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!33}{37\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!41}{37\!\cdots\!99}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!60}{37\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!00}{37\!\cdots\!99}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!49}{53\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{67\!\cdots\!51}{37\!\cdots\!99}a^{13}-\frac{29\!\cdots\!70}{37\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{21\!\cdots\!75}{53\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{69\!\cdots\!51}{37\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!75}{37\!\cdots\!99}a^{9}-\frac{93\!\cdots\!17}{37\!\cdots\!99}a^{8}-\frac{90\!\cdots\!29}{37\!\cdots\!99}a^{7}+\frac{68\!\cdots\!62}{37\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{36\!\cdots\!43}{53\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{24\!\cdots\!63}{37\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{93\!\cdots\!16}{37\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{44\!\cdots\!92}{53\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{25\!\cdots\!10}{37\!\cdots\!99}a-\frac{43\!\cdots\!41}{37\!\cdots\!99}$, $\frac{24\!\cdots\!98}{37\!\cdots\!99}a^{26}-\frac{43\!\cdots\!93}{37\!\cdots\!99}a^{25}+\frac{47\!\cdots\!85}{37\!\cdots\!99}a^{24}+\frac{20\!\cdots\!29}{53\!\cdots\!57}a^{23}-\frac{31\!\cdots\!20}{37\!\cdots\!99}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!39}{37\!\cdots\!99}a^{21}+\frac{91\!\cdots\!05}{37\!\cdots\!99}a^{20}+\frac{42\!\cdots\!56}{37\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!38}{53\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{62\!\cdots\!35}{37\!\cdots\!99}a^{17}+\frac{71\!\cdots\!84}{37\!\cdots\!99}a^{16}+\frac{47\!\cdots\!76}{37\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{26\!\cdots\!67}{37\!\cdots\!99}a^{14}-\frac{20\!\cdots\!74}{37\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{58\!\cdots\!28}{37\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{50\!\cdots\!31}{37\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{64\!\cdots\!38}{37\!\cdots\!99}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!85}{53\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{35\!\cdots\!15}{37\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{55\!\cdots\!50}{37\!\cdots\!99}a^{7}+\frac{57\!\cdots\!64}{37\!\cdots\!99}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!86}{37\!\cdots\!99}a^{5}-\frac{42\!\cdots\!08}{37\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!82}{37\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{81\!\cdots\!52}{37\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{73\!\cdots\!47}{37\!\cdots\!99}a-\frac{13\!\cdots\!08}{53\!\cdots\!57}$, $\frac{95\!\cdots\!93}{37\!\cdots\!99}a^{26}-\frac{24\!\cdots\!87}{53\!\cdots\!57}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!60}{37\!\cdots\!99}a^{24}+\frac{79\!\cdots\!85}{53\!\cdots\!57}a^{23}-\frac{12\!\cdots\!70}{37\!\cdots\!99}a^{22}-\frac{48\!\cdots\!75}{37\!\cdots\!99}a^{21}+\frac{36\!\cdots\!02}{37\!\cdots\!99}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!84}{37\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{44\!\cdots\!46}{37\!\cdots\!99}a^{18}-\frac{24\!\cdots\!60}{37\!\cdots\!99}a^{17}+\frac{28\!\cdots\!79}{37\!\cdots\!99}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!46}{53\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!85}{37\!\cdots\!99}a^{14}-\frac{79\!\cdots\!20}{37\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!40}{37\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!24}{37\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{31\!\cdots\!38}{37\!\cdots\!99}a^{10}-\frac{40\!\cdots\!07}{53\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{99\!\cdots\!69}{37\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!75}{37\!\cdots\!99}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!26}{37\!\cdots\!99}a^{6}-\frac{82\!\cdots\!38}{37\!\cdots\!99}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!12}{53\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!85}{37\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{28\!\cdots\!14}{37\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{29\!\cdots\!43}{37\!\cdots\!99}a-\frac{39\!\cdots\!63}{53\!\cdots\!57}$, $\frac{10\!\cdots\!14}{37\!\cdots\!99}a^{26}-\frac{46\!\cdots\!91}{37\!\cdots\!99}a^{25}+\frac{21\!\cdots\!92}{37\!\cdots\!99}a^{24}+\frac{35\!\cdots\!10}{37\!\cdots\!99}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!07}{37\!\cdots\!99}a^{22}-\frac{36\!\cdots\!17}{37\!\cdots\!99}a^{21}+\frac{48\!\cdots\!77}{37\!\cdots\!99}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!59}{37\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{74\!\cdots\!59}{37\!\cdots\!99}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!10}{37\!\cdots\!99}a^{17}+\frac{68\!\cdots\!65}{37\!\cdots\!99}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!87}{37\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{56\!\cdots\!77}{53\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{68\!\cdots\!90}{37\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!36}{37\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!20}{37\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{31\!\cdots\!32}{37\!\cdots\!99}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!02}{37\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{40\!\cdots\!56}{37\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!70}{37\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{28\!\cdots\!61}{37\!\cdots\!99}a^{6}-\frac{50\!\cdots\!60}{37\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{94\!\cdots\!81}{37\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{86\!\cdots\!55}{37\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!32}{37\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{94\!\cdots\!92}{37\!\cdots\!99}a+\frac{17\!\cdots\!97}{37\!\cdots\!99}$, $\frac{23\!\cdots\!94}{37\!\cdots\!99}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!76}{53\!\cdots\!57}a^{25}+\frac{42\!\cdots\!10}{37\!\cdots\!99}a^{24}+\frac{22\!\cdots\!93}{37\!\cdots\!99}a^{23}-\frac{24\!\cdots\!62}{37\!\cdots\!99}a^{22}-\frac{17\!\cdots\!61}{37\!\cdots\!99}a^{21}+\frac{40\!\cdots\!27}{37\!\cdots\!99}a^{20}+\frac{54\!\cdots\!57}{37\!\cdots\!99}a^{19}+\frac{71\!\cdots\!59}{53\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{63\!\cdots\!32}{37\!\cdots\!99}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!81}{37\!\cdots\!99}a^{16}+\frac{31\!\cdots\!32}{37\!\cdots\!99}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!28}{37\!\cdots\!99}a^{14}-\frac{50\!\cdots\!17}{53\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{96\!\cdots\!86}{37\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{23\!\cdots\!68}{37\!\cdots\!99}a^{11}+\frac{30\!\cdots\!97}{37\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{92\!\cdots\!78}{37\!\cdots\!99}a^{9}-\frac{57\!\cdots\!74}{37\!\cdots\!99}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!10}{37\!\cdots\!99}a^{7}+\frac{57\!\cdots\!65}{37\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{73\!\cdots\!71}{37\!\cdots\!99}a^{5}-\frac{38\!\cdots\!93}{53\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{20\!\cdots\!07}{37\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{40\!\cdots\!17}{37\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{38\!\cdots\!69}{37\!\cdots\!99}a-\frac{61\!\cdots\!33}{37\!\cdots\!99}$, $\frac{58\!\cdots\!57}{37\!\cdots\!99}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!27}{53\!\cdots\!57}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!80}{37\!\cdots\!99}a^{24}+\frac{37\!\cdots\!03}{37\!\cdots\!99}a^{23}-\frac{75\!\cdots\!68}{37\!\cdots\!99}a^{22}-\frac{32\!\cdots\!86}{37\!\cdots\!99}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!80}{37\!\cdots\!99}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!69}{37\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!47}{37\!\cdots\!99}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!08}{37\!\cdots\!99}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!47}{37\!\cdots\!99}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!62}{37\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{31\!\cdots\!94}{37\!\cdots\!99}a^{14}-\frac{50\!\cdots\!86}{37\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!20}{37\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{17\!\cdots\!09}{53\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!11}{37\!\cdots\!99}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!00}{37\!\cdots\!99}a^{9}-\frac{48\!\cdots\!77}{37\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!57}{37\!\cdots\!99}a^{7}+\frac{52\!\cdots\!59}{37\!\cdots\!99}a^{6}-\frac{69\!\cdots\!85}{53\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{35\!\cdots\!70}{53\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{50\!\cdots\!87}{37\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{56\!\cdots\!30}{53\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{30\!\cdots\!28}{37\!\cdots\!99}a-\frac{58\!\cdots\!80}{37\!\cdots\!99}$, $\frac{30\!\cdots\!38}{37\!\cdots\!99}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!32}{37\!\cdots\!99}a^{25}+\frac{61\!\cdots\!08}{37\!\cdots\!99}a^{24}-\frac{13\!\cdots\!80}{37\!\cdots\!99}a^{23}-\frac{48\!\cdots\!74}{37\!\cdots\!99}a^{22}+\frac{56\!\cdots\!08}{37\!\cdots\!99}a^{21}+\frac{19\!\cdots\!49}{37\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{88\!\cdots\!55}{37\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{58\!\cdots\!85}{53\!\cdots\!57}a^{18}+\frac{26\!\cdots\!52}{37\!\cdots\!99}a^{17}+\frac{48\!\cdots\!12}{37\!\cdots\!99}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!90}{37\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{33\!\cdots\!40}{37\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{25\!\cdots\!44}{37\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!34}{37\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!10}{37\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{32\!\cdots\!31}{37\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{38\!\cdots\!82}{37\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{43\!\cdots\!73}{37\!\cdots\!99}a^{8}-\frac{52\!\cdots\!17}{37\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{32\!\cdots\!82}{37\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{26\!\cdots\!89}{37\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!97}{37\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{22\!\cdots\!40}{37\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!31}{37\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{83\!\cdots\!26}{37\!\cdots\!99}a+\frac{26\!\cdots\!52}{37\!\cdots\!99}$, $\frac{47\!\cdots\!31}{37\!\cdots\!99}a^{26}+\frac{24\!\cdots\!51}{37\!\cdots\!99}a^{25}+\frac{94\!\cdots\!69}{37\!\cdots\!99}a^{24}+\frac{95\!\cdots\!92}{53\!\cdots\!57}a^{23}-\frac{68\!\cdots\!58}{37\!\cdots\!99}a^{22}-\frac{98\!\cdots\!53}{37\!\cdots\!99}a^{21}+\frac{23\!\cdots\!44}{37\!\cdots\!99}a^{20}+\frac{58\!\cdots\!20}{53\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{39\!\cdots\!76}{37\!\cdots\!99}a^{18}-\frac{94\!\cdots\!39}{53\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{40\!\cdots\!43}{37\!\cdots\!99}a^{16}+\frac{51\!\cdots\!14}{37\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!33}{37\!\cdots\!99}a^{14}-\frac{20\!\cdots\!11}{37\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{96\!\cdots\!78}{37\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{39\!\cdots\!88}{37\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{22\!\cdots\!61}{37\!\cdots\!99}a^{10}-\frac{43\!\cdots\!40}{53\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!24}{37\!\cdots\!99}a^{8}-\frac{55\!\cdots\!52}{37\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!41}{37\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!86}{37\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{67\!\cdots\!21}{37\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{65\!\cdots\!89}{37\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{76\!\cdots\!04}{37\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{32\!\cdots\!59}{37\!\cdots\!99}a+\frac{36\!\cdots\!15}{53\!\cdots\!57}$, $\frac{32\!\cdots\!99}{37\!\cdots\!99}a^{26}+\frac{28\!\cdots\!03}{37\!\cdots\!99}a^{25}+\frac{65\!\cdots\!86}{37\!\cdots\!99}a^{24}+\frac{24\!\cdots\!46}{37\!\cdots\!99}a^{23}-\frac{48\!\cdots\!26}{37\!\cdots\!99}a^{22}-\frac{77\!\cdots\!84}{53\!\cdots\!57}a^{21}+\frac{16\!\cdots\!15}{37\!\cdots\!99}a^{20}+\frac{25\!\cdots\!01}{37\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{30\!\cdots\!04}{37\!\cdots\!99}a^{18}-\frac{44\!\cdots\!65}{37\!\cdots\!99}a^{17}+\frac{32\!\cdots\!34}{37\!\cdots\!99}a^{16}+\frac{38\!\cdots\!28}{37\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{20\!\cdots\!48}{37\!\cdots\!99}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!33}{37\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!33}{53\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{43\!\cdots\!30}{37\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!19}{37\!\cdots\!99}a^{10}-\frac{63\!\cdots\!70}{37\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!60}{37\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{79\!\cdots\!36}{53\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{29\!\cdots\!04}{53\!\cdots\!57}a^{6}-\frac{31\!\cdots\!22}{37\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{80\!\cdots\!37}{37\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{98\!\cdots\!89}{37\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!59}{37\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!32}{37\!\cdots\!99}a+\frac{18\!\cdots\!42}{37\!\cdots\!99}$, $\frac{86\!\cdots\!04}{53\!\cdots\!57}a^{26}+\frac{56\!\cdots\!90}{37\!\cdots\!99}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!24}{37\!\cdots\!99}a^{24}-\frac{22\!\cdots\!70}{53\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!51}{53\!\cdots\!57}a^{22}+\frac{17\!\cdots\!38}{37\!\cdots\!99}a^{21}-\frac{27\!\cdots\!48}{37\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{66\!\cdots\!07}{37\!\cdots\!99}a^{19}+\frac{44\!\cdots\!83}{37\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!51}{37\!\cdots\!99}a^{17}-\frac{41\!\cdots\!46}{37\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{79\!\cdots\!78}{37\!\cdots\!99}a^{15}+\frac{24\!\cdots\!39}{37\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{33\!\cdots\!29}{37\!\cdots\!99}a^{13}-\frac{88\!\cdots\!77}{37\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!82}{53\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!04}{37\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!09}{53\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{33\!\cdots\!83}{53\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{73\!\cdots\!95}{37\!\cdots\!99}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!22}{37\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{51\!\cdots\!71}{53\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{46\!\cdots\!95}{37\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!73}{37\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{77\!\cdots\!27}{53\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!75}{37\!\cdots\!99}a-\frac{11\!\cdots\!93}{53\!\cdots\!57}$, $\frac{26\!\cdots\!28}{37\!\cdots\!99}a^{26}+\frac{46\!\cdots\!80}{37\!\cdots\!99}a^{25}-\frac{50\!\cdots\!39}{37\!\cdots\!99}a^{24}-\frac{15\!\cdots\!06}{37\!\cdots\!99}a^{23}+\frac{34\!\cdots\!57}{37\!\cdots\!99}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!77}{37\!\cdots\!99}a^{21}-\frac{98\!\cdots\!29}{37\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{46\!\cdots\!93}{37\!\cdots\!99}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!51}{37\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{67\!\cdots\!02}{37\!\cdots\!99}a^{17}-\frac{76\!\cdots\!67}{37\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{73\!\cdots\!09}{53\!\cdots\!57}a^{15}+\frac{40\!\cdots\!64}{53\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{31\!\cdots\!82}{53\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{62\!\cdots\!13}{37\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{54\!\cdots\!17}{37\!\cdots\!99}a^{11}+\frac{65\!\cdots\!30}{37\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{78\!\cdots\!48}{37\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{45\!\cdots\!19}{37\!\cdots\!99}a^{8}-\frac{60\!\cdots\!80}{37\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{70\!\cdots\!66}{37\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!43}{37\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{49\!\cdots\!81}{37\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{29\!\cdots\!87}{37\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{93\!\cdots\!77}{37\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!33}{37\!\cdots\!99}a+\frac{98\!\cdots\!58}{37\!\cdots\!99}$, $\frac{11\!\cdots\!56}{37\!\cdots\!99}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!41}{37\!\cdots\!99}a^{25}+\frac{24\!\cdots\!55}{37\!\cdots\!99}a^{24}-\frac{31\!\cdots\!63}{53\!\cdots\!57}a^{23}-\frac{22\!\cdots\!84}{37\!\cdots\!99}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!87}{37\!\cdots\!99}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!27}{37\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{37\!\cdots\!72}{37\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{41\!\cdots\!67}{53\!\cdots\!57}a^{18}+\frac{47\!\cdots\!33}{37\!\cdots\!99}a^{17}+\frac{38\!\cdots\!62}{37\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{34\!\cdots\!46}{37\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{28\!\cdots\!21}{37\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!81}{37\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!24}{37\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{55\!\cdots\!87}{37\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!38}{37\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!38}{53\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{40\!\cdots\!11}{37\!\cdots\!99}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!00}{37\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{30\!\cdots\!44}{37\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{67\!\cdots\!74}{37\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!18}{37\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!77}{37\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!65}{37\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{54\!\cdots\!75}{37\!\cdots\!99}a+\frac{68\!\cdots\!44}{53\!\cdots\!57}$, $\frac{62\!\cdots\!54}{53\!\cdots\!57}a^{26}-\frac{88\!\cdots\!69}{37\!\cdots\!99}a^{25}+\frac{84\!\cdots\!19}{37\!\cdots\!99}a^{24}+\frac{27\!\cdots\!28}{37\!\cdots\!99}a^{23}-\frac{81\!\cdots\!51}{53\!\cdots\!57}a^{22}-\frac{23\!\cdots\!45}{37\!\cdots\!99}a^{21}+\frac{16\!\cdots\!79}{37\!\cdots\!99}a^{20}+\frac{81\!\cdots\!43}{37\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!95}{37\!\cdots\!99}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!33}{53\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!61}{37\!\cdots\!99}a^{16}+\frac{89\!\cdots\!30}{37\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{28\!\cdots\!00}{37\!\cdots\!99}a^{14}-\frac{38\!\cdots\!87}{37\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!16}{37\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{95\!\cdots\!13}{37\!\cdots\!99}a^{11}+\frac{92\!\cdots\!27}{37\!\cdots\!99}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!74}{37\!\cdots\!99}a^{9}-\frac{42\!\cdots\!84}{53\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!14}{37\!\cdots\!99}a^{7}+\frac{33\!\cdots\!06}{37\!\cdots\!99}a^{6}-\frac{39\!\cdots\!34}{37\!\cdots\!99}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!44}{37\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{47\!\cdots\!89}{37\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{27\!\cdots\!98}{37\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!33}{37\!\cdots\!99}a-\frac{36\!\cdots\!72}{37\!\cdots\!99}$, $\frac{25\!\cdots\!85}{37\!\cdots\!99}a^{26}-\frac{92\!\cdots\!35}{37\!\cdots\!99}a^{25}+\frac{50\!\cdots\!05}{37\!\cdots\!99}a^{24}+\frac{79\!\cdots\!77}{37\!\cdots\!99}a^{23}-\frac{35\!\cdots\!41}{37\!\cdots\!99}a^{22}-\frac{83\!\cdots\!91}{37\!\cdots\!99}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!53}{37\!\cdots\!99}a^{20}+\frac{31\!\cdots\!57}{37\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!25}{37\!\cdots\!99}a^{18}-\frac{69\!\cdots\!09}{53\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{23\!\cdots\!98}{53\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{38\!\cdots\!42}{37\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{98\!\cdots\!83}{37\!\cdots\!99}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!09}{37\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{36\!\cdots\!53}{37\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{38\!\cdots\!41}{37\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{80\!\cdots\!75}{37\!\cdots\!99}a^{10}-\frac{51\!\cdots\!12}{37\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!11}{37\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{38\!\cdots\!82}{37\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{74\!\cdots\!89}{37\!\cdots\!99}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!46}{37\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!22}{37\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{34\!\cdots\!98}{37\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{32\!\cdots\!36}{37\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{43\!\cdots\!25}{37\!\cdots\!99}a+\frac{58\!\cdots\!24}{37\!\cdots\!99}$, $\frac{18\!\cdots\!41}{37\!\cdots\!99}a^{26}-\frac{15\!\cdots\!60}{37\!\cdots\!99}a^{25}-\frac{54\!\cdots\!53}{53\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{26\!\cdots\!76}{37\!\cdots\!99}a^{23}+\frac{34\!\cdots\!09}{37\!\cdots\!99}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!51}{37\!\cdots\!99}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!06}{37\!\cdots\!99}a^{20}+\frac{42\!\cdots\!94}{37\!\cdots\!99}a^{19}+\frac{40\!\cdots\!55}{37\!\cdots\!99}a^{18}-\frac{49\!\cdots\!43}{37\!\cdots\!99}a^{17}-\frac{52\!\cdots\!73}{37\!\cdots\!99}a^{16}+\frac{33\!\cdots\!18}{37\!\cdots\!99}a^{15}+\frac{37\!\cdots\!53}{37\!\cdots\!99}a^{14}-\frac{21\!\cdots\!64}{53\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!79}{37\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{48\!\cdots\!78}{37\!\cdots\!99}a^{11}+\frac{38\!\cdots\!32}{37\!\cdots\!99}a^{10}-\frac{95\!\cdots\!23}{37\!\cdots\!99}a^{9}-\frac{52\!\cdots\!19}{37\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{98\!\cdots\!13}{37\!\cdots\!99}a^{7}+\frac{39\!\cdots\!69}{37\!\cdots\!99}a^{6}-\frac{42\!\cdots\!09}{37\!\cdots\!99}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!67}{37\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{39\!\cdots\!05}{53\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!44}{37\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!71}{37\!\cdots\!99}a-\frac{27\!\cdots\!52}{37\!\cdots\!99}$, $\frac{24\!\cdots\!44}{37\!\cdots\!99}a^{26}+\frac{38\!\cdots\!81}{37\!\cdots\!99}a^{25}-\frac{48\!\cdots\!26}{37\!\cdots\!99}a^{24}-\frac{19\!\cdots\!07}{53\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{33\!\cdots\!30}{37\!\cdots\!99}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!31}{37\!\cdots\!99}a^{21}-\frac{98\!\cdots\!48}{37\!\cdots\!99}a^{20}-\frac{42\!\cdots\!97}{37\!\cdots\!99}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!88}{37\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{64\!\cdots\!90}{37\!\cdots\!99}a^{17}-\frac{91\!\cdots\!42}{37\!\cdots\!99}a^{16}-\frac{50\!\cdots\!62}{37\!\cdots\!99}a^{15}+\frac{55\!\cdots\!52}{53\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!84}{37\!\cdots\!99}a^{13}-\frac{98\!\cdots\!37}{37\!\cdots\!99}a^{12}-\frac{58\!\cdots\!31}{37\!\cdots\!99}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!61}{37\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!96}{53\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{75\!\cdots\!42}{37\!\cdots\!99}a^{8}-\frac{70\!\cdots\!18}{37\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!87}{37\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{26\!\cdots\!80}{37\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!90}{37\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{33\!\cdots\!33}{37\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{91\!\cdots\!88}{37\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!27}{37\!\cdots\!99}a+\frac{16\!\cdots\!69}{53\!\cdots\!57}$, $\frac{63\!\cdots\!94}{37\!\cdots\!99}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!09}{37\!\cdots\!99}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!48}{37\!\cdots\!99}a^{24}+\frac{39\!\cdots\!77}{37\!\cdots\!99}a^{23}-\frac{83\!\cdots\!35}{37\!\cdots\!99}a^{22}-\frac{34\!\cdots\!97}{37\!\cdots\!99}a^{21}+\frac{23\!\cdots\!51}{37\!\cdots\!99}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!94}{37\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{28\!\cdots\!99}{37\!\cdots\!99}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!29}{37\!\cdots\!99}a^{17}+\frac{24\!\cdots\!36}{53\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!72}{53\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{50\!\cdots\!24}{37\!\cdots\!99}a^{14}-\frac{61\!\cdots\!96}{37\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{54\!\cdots\!02}{37\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!98}{37\!\cdots\!99}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!78}{37\!\cdots\!99}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!03}{37\!\cdots\!99}a^{9}-\frac{42\!\cdots\!10}{37\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!07}{37\!\cdots\!99}a^{7}+\frac{51\!\cdots\!53}{37\!\cdots\!99}a^{6}-\frac{99\!\cdots\!49}{37\!\cdots\!99}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!66}{37\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!19}{37\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{55\!\cdots\!99}{37\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!65}{37\!\cdots\!99}a-\frac{35\!\cdots\!02}{37\!\cdots\!99}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 5839873155237562000000 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 5839873155237562000000 \cdot 3}{2\cdot\sqrt{33967771186402966366427549984621879030979398934601324527479889}}\cr\approx \mathstrut & 0.201730251725614 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_9^2:C_3$ (as 27T108):

A solvable group of order 243

The 35 conjugacy class representatives for $C_9^2:C_3$

Character table for $C_9^2:C_3$

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{9})^+\), 9.9.5609891727441.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Sibling fields

Degree 27 siblings:	data not computed
Minimal sibling:	27.27.722013712239823213565233266321909861375098894090246169.1

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	${\href{/padicField/2.9.0.1}{9} }^{3}$	R	${\href{/padicField/5.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/7.3.0.1}{3} }^{9}$	${\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{9}$	${\href{/padicField/13.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/17.3.0.1}{3} }^{3}$	R	${\href{/padicField/23.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/29.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{9}$	${\href{/padicField/37.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/41.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/43.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/47.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/53.3.0.1}{3} }^{3}$	${\href{/padicField/59.9.0.1}{9} }^{3}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(3\)		Deg $27$	$27$	$1$	$70$
\(19\)	19.9.8.9	$x^{9} + 171$	$9$	$1$	$8$	$C_9$	$[\ ]_{9}$
	19.9.8.2	$x^{9} + 57$	$9$	$1$	$8$	$C_9$	$[\ ]_{9}$
	19.9.6.1	$x^{9} + 1444 x^{3} - 116603$	$3$	$3$	$6$	$C_9$	$[\ ]_{3}^{3}$