Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 342*x^25 - 171*x^24 + 46170*x^23 + 57969*x^22 - 3279438*x^21 - 6520230*x^20 + 134909595*x^19 + 352381467*x^18 - 3333620205*x^17 - 10418795730*x^16 + 50121757674*x^15 + 178009616952*x^14 - 463992065019*x^13 - 1806600296394*x^12 + 2715560049888*x^11 + 11011380121971*x^10 - 10515068124774*x^9 - 39561865551387*x^8 + 28232252708814*x^7 + 77396652420660*x^6 - 50679118012977*x^5 - 64451687339025*x^4 + 46443797067753*x^3 + 3010733343882*x^2 - 6428032239168*x + 953773526008)
gp: K = bnfinit(y^27 - 342*y^25 - 171*y^24 + 46170*y^23 + 57969*y^22 - 3279438*y^21 - 6520230*y^20 + 134909595*y^19 + 352381467*y^18 - 3333620205*y^17 - 10418795730*y^16 + 50121757674*y^15 + 178009616952*y^14 - 463992065019*y^13 - 1806600296394*y^12 + 2715560049888*y^11 + 11011380121971*y^10 - 10515068124774*y^9 - 39561865551387*y^8 + 28232252708814*y^7 + 77396652420660*y^6 - 50679118012977*y^5 - 64451687339025*y^4 + 46443797067753*y^3 + 3010733343882*y^2 - 6428032239168*y + 953773526008, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^27 - 342*x^25 - 171*x^24 + 46170*x^23 + 57969*x^22 - 3279438*x^21 - 6520230*x^20 + 134909595*x^19 + 352381467*x^18 - 3333620205*x^17 - 10418795730*x^16 + 50121757674*x^15 + 178009616952*x^14 - 463992065019*x^13 - 1806600296394*x^12 + 2715560049888*x^11 + 11011380121971*x^10 - 10515068124774*x^9 - 39561865551387*x^8 + 28232252708814*x^7 + 77396652420660*x^6 - 50679118012977*x^5 - 64451687339025*x^4 + 46443797067753*x^3 + 3010733343882*x^2 - 6428032239168*x + 953773526008);
oscar: Qx, x = polynomial_ring(QQ); K, a = number_field(x^27 - 342*x^25 - 171*x^24 + 46170*x^23 + 57969*x^22 - 3279438*x^21 - 6520230*x^20 + 134909595*x^19 + 352381467*x^18 - 3333620205*x^17 - 10418795730*x^16 + 50121757674*x^15 + 178009616952*x^14 - 463992065019*x^13 - 1806600296394*x^12 + 2715560049888*x^11 + 11011380121971*x^10 - 10515068124774*x^9 - 39561865551387*x^8 + 28232252708814*x^7 + 77396652420660*x^6 - 50679118012977*x^5 - 64451687339025*x^4 + 46443797067753*x^3 + 3010733343882*x^2 - 6428032239168*x + 953773526008)
\( x^{27} - 342 x^{25} - 171 x^{24} + 46170 x^{23} + 57969 x^{22} - 3279438 x^{21} - 6520230 x^{20} + \cdots + 953773526008 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $27$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[27, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(33967771186402966366427549984621879030979398934601324527479889\)
\(\medspace = 3^{70}\cdot 19^{22}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(190.08\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $3^{220/81}19^{8/9}\approx 270.741453963268$ | ||
| Ramified primes: |
\(3\), \(19\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $9$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{38}a^{9}-\frac{1}{2}a^{2}$, $\frac{1}{38}a^{10}-\frac{1}{2}a^{3}$, $\frac{1}{38}a^{11}-\frac{1}{2}a^{4}$, $\frac{1}{76}a^{12}-\frac{1}{76}a^{11}-\frac{1}{76}a^{9}+\frac{1}{4}a^{5}+\frac{1}{4}a^{4}-\frac{1}{2}a^{3}-\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{76}a^{13}-\frac{1}{76}a^{11}-\frac{1}{76}a^{10}-\frac{1}{76}a^{9}+\frac{1}{4}a^{6}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{4}a^{4}+\frac{1}{4}a^{3}+\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{228}a^{14}-\frac{1}{228}a^{13}+\frac{1}{228}a^{12}-\frac{1}{114}a^{11}+\frac{1}{114}a^{10}+\frac{1}{228}a^{9}-\frac{1}{4}a^{7}-\frac{1}{4}a^{6}-\frac{5}{12}a^{5}-\frac{1}{3}a^{4}-\frac{1}{6}a^{3}+\frac{1}{12}a^{2}+\frac{1}{6}a+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{228}a^{15}-\frac{1}{228}a^{12}-\frac{1}{76}a^{10}+\frac{1}{228}a^{9}-\frac{1}{4}a^{8}-\frac{1}{2}a^{7}+\frac{1}{3}a^{6}+\frac{1}{4}a^{5}-\frac{1}{2}a^{4}+\frac{5}{12}a^{3}+\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{228}a^{16}-\frac{1}{228}a^{13}-\frac{1}{76}a^{11}+\frac{1}{228}a^{10}-\frac{1}{76}a^{9}+\frac{1}{3}a^{7}+\frac{1}{4}a^{6}-\frac{1}{2}a^{5}+\frac{5}{12}a^{4}+\frac{1}{4}a^{3}-\frac{1}{6}a$, $\frac{1}{228}a^{17}-\frac{1}{228}a^{13}+\frac{1}{228}a^{12}+\frac{1}{114}a^{11}-\frac{1}{228}a^{10}-\frac{1}{114}a^{9}-\frac{1}{6}a^{8}+\frac{1}{4}a^{6}+\frac{1}{4}a^{5}-\frac{1}{3}a^{4}+\frac{1}{3}a^{3}-\frac{1}{3}a^{2}+\frac{1}{6}a+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4332}a^{18}+\frac{1}{114}a^{9}+\frac{1}{4}a^{4}-\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{8664}a^{19}-\frac{1}{456}a^{16}-\frac{1}{456}a^{15}-\frac{1}{456}a^{14}-\frac{1}{456}a^{13}-\frac{1}{152}a^{12}+\frac{5}{456}a^{11}-\frac{1}{456}a^{10}+\frac{1}{456}a^{9}-\frac{1}{8}a^{8}+\frac{5}{24}a^{7}+\frac{5}{24}a^{6}+\frac{1}{12}a^{5}+\frac{11}{24}a^{4}-\frac{1}{8}a^{3}+\frac{1}{12}a^{2}-\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{17328}a^{20}-\frac{1}{17328}a^{19}-\frac{1}{8664}a^{18}+\frac{1}{912}a^{17}-\frac{1}{456}a^{15}-\frac{1}{456}a^{14}+\frac{1}{228}a^{13}+\frac{1}{228}a^{12}+\frac{1}{456}a^{11}+\frac{1}{114}a^{10}-\frac{5}{456}a^{9}-\frac{1}{24}a^{8}-\frac{1}{8}a^{7}-\frac{17}{48}a^{6}-\frac{23}{48}a^{5}+\frac{1}{12}a^{4}+\frac{13}{48}a^{3}+\frac{5}{24}a^{2}-\frac{1}{6}$, $\frac{1}{329232}a^{21}-\frac{1}{17328}a^{19}-\frac{1}{17328}a^{18}+\frac{17}{17328}a^{17}+\frac{5}{2888}a^{16}+\frac{2}{1083}a^{15}-\frac{5}{2888}a^{14}-\frac{5}{1083}a^{13}-\frac{29}{8664}a^{12}+\frac{5}{456}a^{11}-\frac{5}{456}a^{10}+\frac{1}{114}a^{9}-\frac{43}{228}a^{8}-\frac{53}{304}a^{7}+\frac{26}{57}a^{6}-\frac{33}{304}a^{5}-\frac{71}{912}a^{4}-\frac{221}{912}a^{3}-\frac{1}{24}a^{2}-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{329232}a^{22}-\frac{1}{17328}a^{18}-\frac{9}{5776}a^{17}-\frac{1}{2888}a^{16}-\frac{5}{2888}a^{15}-\frac{1}{4332}a^{14}-\frac{2}{361}a^{13}-\frac{1}{228}a^{12}-\frac{5}{456}a^{11}-\frac{1}{456}a^{10}-\frac{1}{76}a^{9}+\frac{23}{304}a^{8}-\frac{35}{76}a^{7}+\frac{25}{76}a^{6}+\frac{101}{228}a^{5}+\frac{197}{912}a^{4}-\frac{7}{48}a^{3}-\frac{5}{24}a^{2}-\frac{1}{6}a-\frac{1}{6}$, $\frac{1}{658464}a^{23}-\frac{1}{658464}a^{21}-\frac{1}{17328}a^{18}+\frac{53}{34656}a^{17}+\frac{1}{2166}a^{16}+\frac{5}{4332}a^{15}-\frac{11}{5776}a^{14}+\frac{5}{2166}a^{13}+\frac{1}{361}a^{12}+\frac{1}{228}a^{11}+\frac{11}{912}a^{10}-\frac{1}{608}a^{9}-\frac{43}{456}a^{8}-\frac{605}{1824}a^{7}-\frac{53}{114}a^{6}+\frac{17}{456}a^{5}-\frac{449}{912}a^{4}-\frac{197}{1824}a^{3}-\frac{17}{48}a^{2}+\frac{5}{12}a+\frac{1}{12}$, $\frac{1}{212683872}a^{24}+\frac{1}{1399236}a^{23}+\frac{3}{3731296}a^{22}-\frac{1}{5596944}a^{20}-\frac{29}{699618}a^{19}-\frac{35}{658464}a^{18}-\frac{10009}{5596944}a^{17}+\frac{47}{1399236}a^{16}+\frac{3423}{1865648}a^{15}-\frac{269}{147288}a^{14}+\frac{293}{73644}a^{13}-\frac{79}{12274}a^{12}+\frac{1073}{294576}a^{11}+\frac{5237}{589152}a^{10}+\frac{163}{24548}a^{9}+\frac{58003}{589152}a^{8}+\frac{1403}{8664}a^{7}-\frac{67475}{294576}a^{6}-\frac{1601}{3876}a^{5}-\frac{13811}{31008}a^{4}+\frac{261}{1292}a^{3}-\frac{21}{136}a^{2}+\frac{35}{204}a+\frac{37}{102}$, $\frac{1}{1063419360}a^{25}-\frac{1}{531709680}a^{24}-\frac{1}{3498090}a^{23}+\frac{1}{736440}a^{22}+\frac{49}{55969440}a^{21}-\frac{181}{6996180}a^{20}-\frac{169}{11193888}a^{19}-\frac{877}{9328240}a^{18}+\frac{100889}{55969440}a^{17}+\frac{1333}{1646160}a^{16}+\frac{17813}{13992360}a^{15}-\frac{857}{1472880}a^{14}-\frac{3}{3230}a^{13}+\frac{3139}{1472880}a^{12}-\frac{22919}{2945760}a^{11}+\frac{2359}{736440}a^{10}+\frac{31}{2584}a^{9}-\frac{9905}{147288}a^{8}-\frac{321443}{981920}a^{7}+\frac{21481}{184110}a^{6}-\frac{9}{160}a^{5}+\frac{9031}{19380}a^{4}-\frac{55643}{155040}a^{3}+\frac{287}{1360}a^{2}+\frac{149}{340}a+\frac{117}{340}$, $\frac{1}{10\!\cdots\!00}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!19}{10\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{32\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!00}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!33}{18\!\cdots\!80}a^{23}-\frac{25\!\cdots\!63}{91\!\cdots\!40}a^{22}-\frac{49\!\cdots\!69}{54\!\cdots\!00}a^{21}-\frac{63\!\cdots\!13}{54\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{69\!\cdots\!57}{28\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{84\!\cdots\!91}{27\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{46\!\cdots\!17}{18\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!21}{91\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!24}{85\!\cdots\!25}a^{15}-\frac{50\!\cdots\!63}{28\!\cdots\!60}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!69}{14\!\cdots\!00}a^{13}-\frac{91\!\cdots\!67}{96\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{47\!\cdots\!09}{96\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{51\!\cdots\!07}{96\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{60\!\cdots\!03}{96\!\cdots\!20}a^{9}+\frac{83\!\cdots\!39}{72\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{83\!\cdots\!97}{28\!\cdots\!00}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!39}{96\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{69\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!71}{39\!\cdots\!80}a^{4}-\frac{96\!\cdots\!71}{30\!\cdots\!80}a^{3}+\frac{43\!\cdots\!69}{39\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!49}{58\!\cdots\!00}a+\frac{23\!\cdots\!11}{18\!\cdots\!00}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | No | |
| Index: | Not computed | |
| Inessential primes: | $2$ |
Class group and class number
$C_{3}$, which has order $3$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $26$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{33\!\cdots\!57}{76\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{98\!\cdots\!87}{76\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{82\!\cdots\!39}{57\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{53\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!40}a^{23}+\frac{28\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!40}a^{22}-\frac{33\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!00}a^{21}-\frac{98\!\cdots\!89}{76\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{67\!\cdots\!39}{76\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!73}{22\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{61\!\cdots\!19}{50\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{26\!\cdots\!61}{20\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{41\!\cdots\!57}{60\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{40\!\cdots\!69}{20\!\cdots\!40}a^{14}+\frac{32\!\cdots\!13}{20\!\cdots\!00}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!51}{63\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{36\!\cdots\!81}{21\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!84}{12\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!03}{24\!\cdots\!80}a^{9}-\frac{90\!\cdots\!33}{21\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{26\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!00}a^{7}+\frac{56\!\cdots\!97}{63\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{54\!\cdots\!61}{21\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{71\!\cdots\!31}{84\!\cdots\!88}a^{4}-\frac{65\!\cdots\!23}{63\!\cdots\!16}a^{3}+\frac{82\!\cdots\!09}{52\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{53\!\cdots\!99}{26\!\cdots\!00}a-\frac{23\!\cdots\!27}{39\!\cdots\!50}$, $\frac{21\!\cdots\!93}{61\!\cdots\!36}a^{26}+\frac{33\!\cdots\!89}{30\!\cdots\!80}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!81}{91\!\cdots\!40}a^{24}-\frac{44\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!40}a^{23}-\frac{23\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!40}a^{22}+\frac{21\!\cdots\!37}{91\!\cdots\!40}a^{21}+\frac{31\!\cdots\!47}{30\!\cdots\!80}a^{20}-\frac{42\!\cdots\!85}{61\!\cdots\!36}a^{19}-\frac{96\!\cdots\!79}{22\!\cdots\!60}a^{18}-\frac{68\!\cdots\!99}{16\!\cdots\!20}a^{17}+\frac{83\!\cdots\!39}{80\!\cdots\!60}a^{16}+\frac{43\!\cdots\!49}{63\!\cdots\!60}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!47}{80\!\cdots\!60}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!53}{80\!\cdots\!60}a^{13}+\frac{72\!\cdots\!89}{48\!\cdots\!60}a^{12}+\frac{28\!\cdots\!51}{16\!\cdots\!20}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!89}{16\!\cdots\!20}a^{10}-\frac{49\!\cdots\!99}{48\!\cdots\!16}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!27}{84\!\cdots\!88}a^{8}+\frac{27\!\cdots\!39}{84\!\cdots\!80}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!03}{25\!\cdots\!40}a^{6}-\frac{45\!\cdots\!11}{84\!\cdots\!80}a^{5}+\frac{26\!\cdots\!49}{42\!\cdots\!40}a^{4}+\frac{91\!\cdots\!11}{25\!\cdots\!40}a^{3}-\frac{81\!\cdots\!61}{42\!\cdots\!40}a^{2}-\frac{52\!\cdots\!47}{10\!\cdots\!60}a+\frac{56\!\cdots\!87}{31\!\cdots\!80}$, $\frac{38\!\cdots\!19}{69\!\cdots\!00}a^{26}+\frac{23\!\cdots\!63}{10\!\cdots\!00}a^{25}+\frac{38\!\cdots\!57}{20\!\cdots\!00}a^{24}-\frac{44\!\cdots\!21}{72\!\cdots\!92}a^{23}-\frac{12\!\cdots\!43}{54\!\cdots\!40}a^{22}+\frac{21\!\cdots\!51}{36\!\cdots\!00}a^{21}+\frac{60\!\cdots\!67}{36\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{29\!\cdots\!31}{10\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{37\!\cdots\!17}{54\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{23\!\cdots\!71}{36\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{95\!\cdots\!71}{54\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{89\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!50}a^{15}-\frac{53\!\cdots\!07}{19\!\cdots\!40}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!93}{28\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!97}{57\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{72\!\cdots\!53}{19\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!17}{57\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{79\!\cdots\!21}{19\!\cdots\!40}a^{9}+\frac{34\!\cdots\!59}{47\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!49}{57\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{88\!\cdots\!89}{57\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{26\!\cdots\!29}{19\!\cdots\!40}a^{4}-\frac{77\!\cdots\!21}{60\!\cdots\!60}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!49}{26\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!00}a-\frac{13\!\cdots\!47}{36\!\cdots\!00}$, $\frac{73\!\cdots\!93}{69\!\cdots\!00}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!19}{20\!\cdots\!00}a^{25}+\frac{72\!\cdots\!59}{20\!\cdots\!00}a^{24}-\frac{34\!\cdots\!43}{19\!\cdots\!40}a^{23}-\frac{32\!\cdots\!43}{71\!\cdots\!40}a^{22}+\frac{71\!\cdots\!77}{36\!\cdots\!00}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!89}{36\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{73\!\cdots\!59}{54\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!17}{36\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!97}{54\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!73}{22\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!77}{19\!\cdots\!40}a^{14}+\frac{25\!\cdots\!91}{28\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!81}{30\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!71}{19\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!39}{57\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!49}{30\!\cdots\!80}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{88\!\cdots\!43}{57\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{27\!\cdots\!23}{57\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{35\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{33\!\cdots\!11}{75\!\cdots\!20}a^{4}-\frac{22\!\cdots\!43}{60\!\cdots\!60}a^{3}+\frac{79\!\cdots\!23}{26\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{57\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!00}a-\frac{11\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!00}$, 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$\frac{51\!\cdots\!47}{69\!\cdots\!00}a^{26}+\frac{17\!\cdots\!77}{69\!\cdots\!00}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!67}{69\!\cdots\!00}a^{24}-\frac{24\!\cdots\!39}{36\!\cdots\!60}a^{23}-\frac{58\!\cdots\!41}{18\!\cdots\!80}a^{22}+\frac{65\!\cdots\!19}{10\!\cdots\!00}a^{21}+\frac{80\!\cdots\!51}{36\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{80\!\cdots\!51}{36\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!47}{18\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{87\!\cdots\!33}{36\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{41\!\cdots\!31}{18\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!07}{56\!\cdots\!25}a^{15}-\frac{35\!\cdots\!63}{10\!\cdots\!60}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!17}{95\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!21}{57\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{43\!\cdots\!01}{19\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{41\!\cdots\!67}{19\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!17}{19\!\cdots\!40}a^{9}+\frac{38\!\cdots\!17}{47\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{65\!\cdots\!11}{19\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{32\!\cdots\!79}{19\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{33\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!41}{10\!\cdots\!36}a^{4}-\frac{49\!\cdots\!03}{12\!\cdots\!32}a^{3}-\frac{69\!\cdots\!73}{26\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{66\!\cdots\!67}{38\!\cdots\!00}a+\frac{80\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!00}$, $\frac{60\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!75}a^{26}-\frac{49\!\cdots\!49}{51\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{16\!\cdots\!63}{10\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{22\!\cdots\!15}{72\!\cdots\!92}a^{23}+\frac{18\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!80}a^{22}-\frac{20\!\cdots\!27}{54\!\cdots\!00}a^{21}-\frac{98\!\cdots\!39}{90\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{65\!\cdots\!77}{27\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{26\!\cdots\!81}{54\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!89}{18\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!41}{68\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!13}{90\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{35\!\cdots\!13}{95\!\cdots\!20}a^{14}-\frac{59\!\cdots\!39}{17\!\cdots\!50}a^{13}-\frac{37\!\cdots\!37}{71\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{75\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!03}{28\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{37\!\cdots\!83}{19\!\cdots\!40}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!49}{95\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!91}{28\!\cdots\!00}a^{7}+\frac{58\!\cdots\!13}{14\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{43\!\cdots\!19}{25\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{37\!\cdots\!79}{30\!\cdots\!80}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!13}{10\!\cdots\!60}a^{3}-\frac{67\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{35\!\cdots\!52}{14\!\cdots\!25}a+\frac{15\!\cdots\!23}{18\!\cdots\!00}$, 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$\frac{54\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{85\!\cdots\!81}{34\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{38\!\cdots\!15}{54\!\cdots\!64}a^{23}+\frac{23\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!30}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!19}{18\!\cdots\!00}a^{21}-\frac{25\!\cdots\!23}{18\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{59\!\cdots\!63}{18\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!73}{27\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!99}{18\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{64\!\cdots\!57}{48\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!27}{22\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{60\!\cdots\!09}{28\!\cdots\!60}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!17}{14\!\cdots\!00}a^{13}-\frac{57\!\cdots\!93}{28\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{51\!\cdots\!07}{96\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{34\!\cdots\!73}{28\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{40\!\cdots\!11}{14\!\cdots\!80}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!69}{36\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!27}{96\!\cdots\!00}a^{7}+\frac{24\!\cdots\!41}{28\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{19\!\cdots\!83}{50\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{54\!\cdots\!11}{75\!\cdots\!20}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!09}{30\!\cdots\!80}a^{3}+\frac{56\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!59}{34\!\cdots\!00}a+\frac{17\!\cdots\!43}{18\!\cdots\!00}$, 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$\frac{17\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!01}{30\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!38}{53\!\cdots\!15}a^{23}+\frac{17\!\cdots\!07}{32\!\cdots\!20}a^{22}-\frac{25\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!00}a^{21}-\frac{49\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{76\!\cdots\!89}{80\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{78\!\cdots\!19}{53\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{34\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{49\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{33\!\cdots\!03}{80\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{81\!\cdots\!61}{14\!\cdots\!40}a^{14}-\frac{30\!\cdots\!79}{70\!\cdots\!00}a^{13}-\frac{40\!\cdots\!33}{70\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{70\!\cdots\!93}{21\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{30\!\cdots\!51}{84\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!84}{53\!\cdots\!15}a^{9}-\frac{38\!\cdots\!93}{28\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{47\!\cdots\!87}{53\!\cdots\!50}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!51}{70\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{52\!\cdots\!39}{22\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{41\!\cdots\!39}{17\!\cdots\!44}a^{4}+\frac{77\!\cdots\!19}{29\!\cdots\!24}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!57}{14\!\cdots\!50}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!67}{29\!\cdots\!00}a+\frac{92\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!75}$, $\frac{34\!\cdots\!89}{34\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{19\!\cdots\!83}{10\!\cdots\!00}a^{25}+\frac{35\!\cdots\!97}{10\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{21\!\cdots\!17}{27\!\cdots\!20}a^{23}-\frac{48\!\cdots\!45}{10\!\cdots\!28}a^{22}-\frac{40\!\cdots\!43}{28\!\cdots\!00}a^{21}+\frac{54\!\cdots\!17}{18\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{66\!\cdots\!89}{54\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{31\!\cdots\!57}{54\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{62\!\cdots\!11}{27\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{68\!\cdots\!89}{45\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!99}{57\!\cdots\!12}a^{14}-\frac{32\!\cdots\!97}{14\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!87}{28\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{57\!\cdots\!81}{28\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{26\!\cdots\!83}{28\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!31}{14\!\cdots\!80}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!51}{14\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{82\!\cdots\!41}{28\!\cdots\!00}a^{7}+\frac{65\!\cdots\!01}{28\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!03}{50\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{35\!\cdots\!69}{15\!\cdots\!40}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!49}{53\!\cdots\!40}a^{3}-\frac{68\!\cdots\!83}{39\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!93}{58\!\cdots\!00}a+\frac{35\!\cdots\!01}{61\!\cdots\!00}$, $\frac{70\!\cdots\!93}{41\!\cdots\!64}a^{26}+\frac{44\!\cdots\!21}{10\!\cdots\!80}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!17}{20\!\cdots\!20}a^{24}-\frac{20\!\cdots\!39}{18\!\cdots\!80}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!60}a^{22}+\frac{33\!\cdots\!97}{36\!\cdots\!60}a^{21}+\frac{60\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!80}a^{20}-\frac{58\!\cdots\!17}{21\!\cdots\!56}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!99}{54\!\cdots\!40}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!80}a^{17}+\frac{32\!\cdots\!69}{54\!\cdots\!40}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!07}{45\!\cdots\!20}a^{15}-\frac{27\!\cdots\!03}{28\!\cdots\!60}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!07}{28\!\cdots\!60}a^{13}+\frac{56\!\cdots\!97}{57\!\cdots\!20}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!61}{30\!\cdots\!80}a^{11}-\frac{36\!\cdots\!01}{57\!\cdots\!20}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!83}{57\!\cdots\!12}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!19}{48\!\cdots\!76}a^{8}-\frac{83\!\cdots\!91}{57\!\cdots\!20}a^{7}-\frac{31\!\cdots\!01}{57\!\cdots\!20}a^{6}+\frac{51\!\cdots\!01}{30\!\cdots\!80}a^{5}+\frac{95\!\cdots\!37}{18\!\cdots\!80}a^{4}-\frac{92\!\cdots\!27}{30\!\cdots\!80}a^{3}-\frac{70\!\cdots\!77}{26\!\cdots\!20}a^{2}+\frac{51\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!20}a-\frac{76\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!80}$, $\frac{40\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!00}a^{26}+\frac{33\!\cdots\!63}{10\!\cdots\!00}a^{25}+\frac{19\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!00}a^{24}-\frac{56\!\cdots\!81}{54\!\cdots\!64}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!71}{91\!\cdots\!40}a^{22}+\frac{71\!\cdots\!37}{54\!\cdots\!00}a^{21}-\frac{81\!\cdots\!21}{54\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{48\!\cdots\!49}{54\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!57}{27\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!77}{54\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!09}{27\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!57}{22\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{36\!\cdots\!03}{96\!\cdots\!20}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!47}{14\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!63}{28\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{34\!\cdots\!61}{28\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!97}{15\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{99\!\cdots\!51}{14\!\cdots\!80}a^{9}+\frac{32\!\cdots\!33}{72\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{70\!\cdots\!21}{28\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{27\!\cdots\!31}{28\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{73\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{63\!\cdots\!69}{18\!\cdots\!80}a^{4}-\frac{44\!\cdots\!83}{10\!\cdots\!60}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!41}{19\!\cdots\!00}a-\frac{35\!\cdots\!63}{18\!\cdots\!00}$, $\frac{60\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{24\!\cdots\!71}{10\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{68\!\cdots\!07}{34\!\cdots\!00}a^{24}-\frac{33\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!60}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!17}{54\!\cdots\!40}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!71}{54\!\cdots\!00}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!83}{54\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{90\!\cdots\!13}{28\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{34\!\cdots\!51}{45\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{97\!\cdots\!91}{54\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{50\!\cdots\!33}{27\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{73\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{79\!\cdots\!57}{28\!\cdots\!60}a^{14}+\frac{44\!\cdots\!07}{48\!\cdots\!00}a^{13}-\frac{70\!\cdots\!91}{28\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{26\!\cdots\!43}{28\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!87}{96\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{39\!\cdots\!69}{72\!\cdots\!40}a^{9}-\frac{21\!\cdots\!59}{48\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{18\!\cdots\!41}{96\!\cdots\!00}a^{7}+\frac{26\!\cdots\!47}{28\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{99\!\cdots\!91}{26\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!17}{15\!\cdots\!40}a^{4}-\frac{32\!\cdots\!37}{10\!\cdots\!60}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{27\!\cdots\!59}{58\!\cdots\!00}a-\frac{20\!\cdots\!49}{18\!\cdots\!00}$, $\frac{30\!\cdots\!61}{34\!\cdots\!00}a^{26}+\frac{30\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!00}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!21}{34\!\cdots\!00}a^{24}-\frac{22\!\cdots\!03}{27\!\cdots\!20}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!09}{27\!\cdots\!20}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!99}{18\!\cdots\!00}a^{21}+\frac{48\!\cdots\!13}{18\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!89}{54\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{29\!\cdots\!83}{27\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{91\!\cdots\!79}{18\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{75\!\cdots\!09}{27\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{54\!\cdots\!48}{85\!\cdots\!25}a^{15}-\frac{42\!\cdots\!51}{96\!\cdots\!20}a^{14}-\frac{51\!\cdots\!71}{48\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!23}{28\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{35\!\cdots\!39}{28\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!21}{96\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{64\!\cdots\!69}{14\!\cdots\!80}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!71}{24\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!21}{28\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{64\!\cdots\!31}{28\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!91}{99\!\cdots\!62}a^{4}-\frac{69\!\cdots\!21}{60\!\cdots\!96}a^{3}-\frac{54\!\cdots\!97}{39\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!63}{58\!\cdots\!00}a-\frac{44\!\cdots\!83}{18\!\cdots\!00}$, $\frac{14\!\cdots\!89}{20\!\cdots\!20}a^{26}-\frac{50\!\cdots\!99}{69\!\cdots\!40}a^{25}-\frac{16\!\cdots\!61}{69\!\cdots\!40}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!30}a^{23}+\frac{56\!\cdots\!77}{18\!\cdots\!80}a^{22}+\frac{15\!\cdots\!97}{10\!\cdots\!80}a^{21}-\frac{78\!\cdots\!71}{36\!\cdots\!60}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!71}{36\!\cdots\!60}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!60}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!97}{10\!\cdots\!80}a^{17}-\frac{22\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!28}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!20}a^{15}+\frac{84\!\cdots\!31}{28\!\cdots\!60}a^{14}+\frac{97\!\cdots\!61}{96\!\cdots\!20}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!53}{57\!\cdots\!20}a^{12}-\frac{39\!\cdots\!31}{38\!\cdots\!08}a^{11}+\frac{73\!\cdots\!11}{57\!\cdots\!20}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!87}{24\!\cdots\!88}a^{9}-\frac{37\!\cdots\!81}{96\!\cdots\!20}a^{8}-\frac{26\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!24}a^{7}+\frac{86\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!24}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!21}{30\!\cdots\!80}a^{5}-\frac{55\!\cdots\!99}{50\!\cdots\!80}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!81}{30\!\cdots\!80}a^{3}+\frac{27\!\cdots\!61}{26\!\cdots\!20}a^{2}+\frac{65\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!20}a-\frac{49\!\cdots\!19}{36\!\cdots\!40}$, $\frac{16\!\cdots\!21}{26\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{90\!\cdots\!67}{52\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!47}{52\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{61\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!60}a^{23}+\frac{52\!\cdots\!61}{19\!\cdots\!04}a^{22}-\frac{30\!\cdots\!11}{91\!\cdots\!00}a^{21}-\frac{45\!\cdots\!09}{24\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!11}{27\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!49}{27\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{33\!\cdots\!69}{91\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{25\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{27\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{80\!\cdots\!35}{28\!\cdots\!56}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!92}{45\!\cdots\!75}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!03}{47\!\cdots\!50}a^{12}-\frac{62\!\cdots\!81}{14\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{21\!\cdots\!67}{14\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!73}{60\!\cdots\!70}a^{9}-\frac{75\!\cdots\!73}{14\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!91}{14\!\cdots\!00}a^{7}+\frac{76\!\cdots\!37}{72\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!59}{75\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!40}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!40}a^{3}+\frac{92\!\cdots\!83}{19\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{83\!\cdots\!53}{48\!\cdots\!50}a-\frac{43\!\cdots\!03}{92\!\cdots\!00}$, $\frac{24\!\cdots\!25}{20\!\cdots\!32}a^{26}-\frac{49\!\cdots\!43}{52\!\cdots\!80}a^{25}-\frac{51\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!20}a^{24}+\frac{64\!\cdots\!31}{54\!\cdots\!40}a^{23}+\frac{29\!\cdots\!09}{54\!\cdots\!40}a^{22}+\frac{48\!\cdots\!97}{18\!\cdots\!80}a^{21}-\frac{20\!\cdots\!87}{54\!\cdots\!40}a^{20}-\frac{86\!\cdots\!67}{18\!\cdots\!88}a^{19}+\frac{85\!\cdots\!57}{54\!\cdots\!40}a^{18}+\frac{54\!\cdots\!97}{18\!\cdots\!80}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!57}{34\!\cdots\!90}a^{16}-\frac{25\!\cdots\!21}{27\!\cdots\!20}a^{15}+\frac{29\!\cdots\!39}{48\!\cdots\!60}a^{14}+\frac{24\!\cdots\!03}{14\!\cdots\!80}a^{13}-\frac{56\!\cdots\!61}{96\!\cdots\!20}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!67}{60\!\cdots\!70}a^{11}+\frac{51\!\cdots\!27}{14\!\cdots\!80}a^{10}+\frac{65\!\cdots\!29}{57\!\cdots\!12}a^{9}-\frac{79\!\cdots\!37}{57\!\cdots\!12}a^{8}-\frac{40\!\cdots\!17}{96\!\cdots\!20}a^{7}+\frac{96\!\cdots\!99}{28\!\cdots\!60}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!79}{37\!\cdots\!60}a^{5}-\frac{24\!\cdots\!81}{50\!\cdots\!80}a^{4}-\frac{39\!\cdots\!19}{50\!\cdots\!80}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!89}{39\!\cdots\!80}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!71}{14\!\cdots\!15}a-\frac{70\!\cdots\!81}{18\!\cdots\!20}$, $\frac{33\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!50}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!47}{86\!\cdots\!00}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!99}{17\!\cdots\!00}a^{24}-\frac{19\!\cdots\!13}{54\!\cdots\!40}a^{23}-\frac{23\!\cdots\!63}{18\!\cdots\!80}a^{22}+\frac{47\!\cdots\!47}{14\!\cdots\!00}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{98\!\cdots\!79}{68\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{96\!\cdots\!29}{27\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{80\!\cdots\!53}{27\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{59\!\cdots\!73}{68\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!77}{14\!\cdots\!80}a^{14}-\frac{20\!\cdots\!14}{15\!\cdots\!25}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!89}{18\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{39\!\cdots\!93}{12\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!97}{14\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{52\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!60}a^{9}+\frac{43\!\cdots\!13}{14\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{39\!\cdots\!51}{14\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!19}{24\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{64\!\cdots\!27}{94\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{58\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!16}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!83}{10\!\cdots\!16}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!43}{19\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{68\!\cdots\!56}{24\!\cdots\!25}a+\frac{20\!\cdots\!41}{30\!\cdots\!00}$, $\frac{11\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!00}a^{26}+\frac{64\!\cdots\!73}{34\!\cdots\!00}a^{25}+\frac{38\!\cdots\!69}{10\!\cdots\!00}a^{24}-\frac{21\!\cdots\!09}{54\!\cdots\!40}a^{23}-\frac{89\!\cdots\!51}{18\!\cdots\!80}a^{22}+\frac{41\!\cdots\!31}{54\!\cdots\!00}a^{21}+\frac{61\!\cdots\!29}{18\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!83}{54\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{62\!\cdots\!89}{45\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{58\!\cdots\!71}{28\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!79}{91\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{95\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!63}{28\!\cdots\!60}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!69}{14\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!99}{28\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{37\!\cdots\!27}{28\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!43}{96\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!39}{28\!\cdots\!60}a^{9}+\frac{38\!\cdots\!51}{48\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!99}{96\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{46\!\cdots\!83}{28\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{81\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{30\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!40}a^{4}+\frac{46\!\cdots\!63}{10\!\cdots\!60}a^{3}-\frac{52\!\cdots\!31}{39\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{36\!\cdots\!01}{58\!\cdots\!00}a+\frac{32\!\cdots\!11}{18\!\cdots\!00}$, $\frac{33\!\cdots\!79}{69\!\cdots\!40}a^{26}+\frac{47\!\cdots\!23}{69\!\cdots\!40}a^{25}-\frac{34\!\cdots\!69}{20\!\cdots\!20}a^{24}-\frac{71\!\cdots\!17}{22\!\cdots\!60}a^{23}+\frac{29\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!60}a^{22}+\frac{63\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!80}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!80}a^{20}-\frac{18\!\cdots\!53}{36\!\cdots\!60}a^{19}+\frac{28\!\cdots\!01}{54\!\cdots\!40}a^{18}+\frac{86\!\cdots\!37}{36\!\cdots\!60}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!85}{10\!\cdots\!28}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!73}{34\!\cdots\!90}a^{15}+\frac{29\!\cdots\!93}{28\!\cdots\!60}a^{14}+\frac{82\!\cdots\!93}{96\!\cdots\!20}a^{13}-\frac{16\!\cdots\!49}{57\!\cdots\!20}a^{12}-\frac{79\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!24}a^{11}-\frac{48\!\cdots\!69}{19\!\cdots\!40}a^{10}+\frac{44\!\cdots\!49}{14\!\cdots\!28}a^{9}+\frac{49\!\cdots\!03}{24\!\cdots\!80}a^{8}-\frac{87\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!24}a^{7}-\frac{59\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!24}a^{6}+\frac{29\!\cdots\!83}{30\!\cdots\!80}a^{5}+\frac{31\!\cdots\!67}{75\!\cdots\!20}a^{4}-\frac{58\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!60}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!63}{26\!\cdots\!20}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!03}{39\!\cdots\!40}a-\frac{12\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!80}$, $\frac{12\!\cdots\!21}{26\!\cdots\!00}a^{26}+\frac{28\!\cdots\!99}{26\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{29\!\cdots\!59}{17\!\cdots\!00}a^{24}-\frac{83\!\cdots\!37}{18\!\cdots\!80}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!03}{54\!\cdots\!40}a^{22}+\frac{21\!\cdots\!27}{27\!\cdots\!00}a^{21}-\frac{75\!\cdots\!91}{45\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{90\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{18\!\cdots\!19}{27\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{28\!\cdots\!39}{91\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{44\!\cdots\!27}{28\!\cdots\!75}a^{16}-\frac{39\!\cdots\!23}{45\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{30\!\cdots\!29}{14\!\cdots\!80}a^{14}+\frac{42\!\cdots\!73}{30\!\cdots\!50}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!21}{72\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{25\!\cdots\!27}{18\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{90\!\cdots\!57}{14\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{24\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!60}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!23}{14\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{44\!\cdots\!51}{14\!\cdots\!00}a^{7}+\frac{50\!\cdots\!19}{24\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!97}{37\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!40}a^{4}-\frac{85\!\cdots\!17}{15\!\cdots\!40}a^{3}+\frac{26\!\cdots\!73}{19\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{39\!\cdots\!43}{48\!\cdots\!50}a-\frac{17\!\cdots\!13}{92\!\cdots\!00}$, $\frac{23\!\cdots\!31}{52\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!07}{65\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{25\!\cdots\!07}{17\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{16\!\cdots\!33}{27\!\cdots\!20}a^{23}+\frac{52\!\cdots\!99}{27\!\cdots\!32}a^{22}-\frac{86\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!00}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!31}{91\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{44\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{73\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{66\!\cdots\!81}{68\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{31\!\cdots\!83}{22\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{43\!\cdots\!73}{22\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{32\!\cdots\!99}{14\!\cdots\!28}a^{14}-\frac{65\!\cdots\!43}{24\!\cdots\!00}a^{13}-\frac{34\!\cdots\!41}{14\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!23}{36\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!31}{14\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{32\!\cdots\!99}{14\!\cdots\!80}a^{9}-\frac{83\!\cdots\!47}{12\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{79\!\cdots\!81}{72\!\cdots\!00}a^{7}+\frac{77\!\cdots\!19}{48\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!99}{63\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!63}{75\!\cdots\!20}a^{4}+\frac{24\!\cdots\!73}{75\!\cdots\!20}a^{3}-\frac{34\!\cdots\!53}{99\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!71}{48\!\cdots\!50}a+\frac{41\!\cdots\!23}{46\!\cdots\!50}$, $\frac{18\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!00}a^{26}+\frac{50\!\cdots\!11}{54\!\cdots\!00}a^{25}+\frac{57\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!00}a^{24}-\frac{24\!\cdots\!03}{91\!\cdots\!44}a^{23}-\frac{37\!\cdots\!47}{54\!\cdots\!40}a^{22}+\frac{50\!\cdots\!97}{18\!\cdots\!00}a^{21}+\frac{83\!\cdots\!99}{18\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{78\!\cdots\!07}{54\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{25\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!11}{54\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!87}{27\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{70\!\cdots\!49}{96\!\cdots\!20}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!21}{14\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!09}{28\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{21\!\cdots\!23}{28\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{45\!\cdots\!33}{96\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!37}{36\!\cdots\!20}a^{9}+\frac{86\!\cdots\!21}{48\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!01}{96\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!33}{28\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{21\!\cdots\!29}{50\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{48\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!40}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!07}{30\!\cdots\!80}a^{3}+\frac{47\!\cdots\!09}{39\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{38\!\cdots\!39}{58\!\cdots\!00}a-\frac{66\!\cdots\!03}{61\!\cdots\!00}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 38146196077994220000000 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 38146196077994220000000 \cdot 3}{2\cdot\sqrt{33967771186402966366427549984621879030979398934601324527479889}}\cr\approx \mathstrut & 1.31770700024312 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 342*x^25 - 171*x^24 + 46170*x^23 + 57969*x^22 - 3279438*x^21 - 6520230*x^20 + 134909595*x^19 + 352381467*x^18 - 3333620205*x^17 - 10418795730*x^16 + 50121757674*x^15 + 178009616952*x^14 - 463992065019*x^13 - 1806600296394*x^12 + 2715560049888*x^11 + 11011380121971*x^10 - 10515068124774*x^9 - 39561865551387*x^8 + 28232252708814*x^7 + 77396652420660*x^6 - 50679118012977*x^5 - 64451687339025*x^4 + 46443797067753*x^3 + 3010733343882*x^2 - 6428032239168*x + 953773526008)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^27 - 342*x^25 - 171*x^24 + 46170*x^23 + 57969*x^22 - 3279438*x^21 - 6520230*x^20 + 134909595*x^19 + 352381467*x^18 - 3333620205*x^17 - 10418795730*x^16 + 50121757674*x^15 + 178009616952*x^14 - 463992065019*x^13 - 1806600296394*x^12 + 2715560049888*x^11 + 11011380121971*x^10 - 10515068124774*x^9 - 39561865551387*x^8 + 28232252708814*x^7 + 77396652420660*x^6 - 50679118012977*x^5 - 64451687339025*x^4 + 46443797067753*x^3 + 3010733343882*x^2 - 6428032239168*x + 953773526008, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^27 - 342*x^25 - 171*x^24 + 46170*x^23 + 57969*x^22 - 3279438*x^21 - 6520230*x^20 + 134909595*x^19 + 352381467*x^18 - 3333620205*x^17 - 10418795730*x^16 + 50121757674*x^15 + 178009616952*x^14 - 463992065019*x^13 - 1806600296394*x^12 + 2715560049888*x^11 + 11011380121971*x^10 - 10515068124774*x^9 - 39561865551387*x^8 + 28232252708814*x^7 + 77396652420660*x^6 - 50679118012977*x^5 - 64451687339025*x^4 + 46443797067753*x^3 + 3010733343882*x^2 - 6428032239168*x + 953773526008);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 342*x^25 - 171*x^24 + 46170*x^23 + 57969*x^22 - 3279438*x^21 - 6520230*x^20 + 134909595*x^19 + 352381467*x^18 - 3333620205*x^17 - 10418795730*x^16 + 50121757674*x^15 + 178009616952*x^14 - 463992065019*x^13 - 1806600296394*x^12 + 2715560049888*x^11 + 11011380121971*x^10 - 10515068124774*x^9 - 39561865551387*x^8 + 28232252708814*x^7 + 77396652420660*x^6 - 50679118012977*x^5 - 64451687339025*x^4 + 46443797067753*x^3 + 3010733343882*x^2 - 6428032239168*x + 953773526008);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$C_9^2:C_3$ (as 27T104):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A solvable group of order 243 |
| The 35 conjugacy class representatives for $C_9^2:C_3$ |
| Character table for $C_9^2:C_3$ |
Intermediate fields
| \(\Q(\zeta_{9})^+\), 9.9.5609891727441.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 27 siblings: | data not computed |
| Minimal sibling: | 27.27.722013712239823213565233266321909861375098894090246169.4 |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | ${\href{/padicField/2.3.0.1}{3} }^{9}$ | R | ${\href{/padicField/5.3.0.1}{3} }^{9}$ | ${\href{/padicField/7.3.0.1}{3} }^{9}$ | ${\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{9}$ | ${\href{/padicField/13.3.0.1}{3} }^{9}$ | ${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/17.1.0.1}{1} }^{9}$ | R | ${\href{/padicField/23.3.0.1}{3} }^{9}$ | ${\href{/padicField/29.3.0.1}{3} }^{9}$ | ${\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{9}$ | ${\href{/padicField/37.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/41.3.0.1}{3} }^{9}$ | ${\href{/padicField/43.3.0.1}{3} }^{9}$ | ${\href{/padicField/47.3.0.1}{3} }^{9}$ | ${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/53.3.0.1}{3} }^{3}$ | ${\href{/padicField/59.3.0.1}{3} }^{9}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(3\)
| Deg $27$ | $27$ | $1$ | $70$ | |||
|
\(19\)
| 19.9.8.1 | $x^{9} + 76$ | $9$ | $1$ | $8$ | $C_9$ | $[\ ]_{9}$ |
| 19.9.6.1 | $x^{9} + 1444 x^{3} - 116603$ | $3$ | $3$ | $6$ | $C_9$ | $[\ ]_{3}^{3}$ | |
| 19.9.8.2 | $x^{9} + 57$ | $9$ | $1$ | $8$ | $C_9$ | $[\ ]_{9}$ |