Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 342*x^25 - 171*x^24 + 46170*x^23 + 54207*x^22 - 3268665*x^21 - 5858460*x^20 + 134311095*x^19 + 307109616*x^18 - 3351895830*x^17 - 8921016477*x^16 + 51614085105*x^15 + 150995085174*x^14 - 490758149016*x^13 - 1497559744062*x^12 + 2913712319943*x^11 + 8540208558981*x^10 - 11433313439043*x^9 - 27388259069094*x^8 + 30252509997111*x^7 + 45148147517106*x^6 - 48196927157832*x^5 - 28168971334749*x^4 + 32756642210241*x^3 - 1498948623333*x^2 - 870715261152*x + 60790706549)
gp: K = bnfinit(y^27 - 342*y^25 - 171*y^24 + 46170*y^23 + 54207*y^22 - 3268665*y^21 - 5858460*y^20 + 134311095*y^19 + 307109616*y^18 - 3351895830*y^17 - 8921016477*y^16 + 51614085105*y^15 + 150995085174*y^14 - 490758149016*y^13 - 1497559744062*y^12 + 2913712319943*y^11 + 8540208558981*y^10 - 11433313439043*y^9 - 27388259069094*y^8 + 30252509997111*y^7 + 45148147517106*y^6 - 48196927157832*y^5 - 28168971334749*y^4 + 32756642210241*y^3 - 1498948623333*y^2 - 870715261152*y + 60790706549, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^27 - 342*x^25 - 171*x^24 + 46170*x^23 + 54207*x^22 - 3268665*x^21 - 5858460*x^20 + 134311095*x^19 + 307109616*x^18 - 3351895830*x^17 - 8921016477*x^16 + 51614085105*x^15 + 150995085174*x^14 - 490758149016*x^13 - 1497559744062*x^12 + 2913712319943*x^11 + 8540208558981*x^10 - 11433313439043*x^9 - 27388259069094*x^8 + 30252509997111*x^7 + 45148147517106*x^6 - 48196927157832*x^5 - 28168971334749*x^4 + 32756642210241*x^3 - 1498948623333*x^2 - 870715261152*x + 60790706549);
oscar: Qx, x = polynomial_ring(QQ); K, a = number_field(x^27 - 342*x^25 - 171*x^24 + 46170*x^23 + 54207*x^22 - 3268665*x^21 - 5858460*x^20 + 134311095*x^19 + 307109616*x^18 - 3351895830*x^17 - 8921016477*x^16 + 51614085105*x^15 + 150995085174*x^14 - 490758149016*x^13 - 1497559744062*x^12 + 2913712319943*x^11 + 8540208558981*x^10 - 11433313439043*x^9 - 27388259069094*x^8 + 30252509997111*x^7 + 45148147517106*x^6 - 48196927157832*x^5 - 28168971334749*x^4 + 32756642210241*x^3 - 1498948623333*x^2 - 870715261152*x + 60790706549)
\( x^{27} - 342 x^{25} - 171 x^{24} + 46170 x^{23} + 54207 x^{22} - 3268665 x^{21} - 5858460 x^{20} + \cdots + 60790706549 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $27$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[27, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(33967771186402966366427549984621879030979398934601324527479889\)
\(\medspace = 3^{70}\cdot 19^{22}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(190.08\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $3^{220/81}19^{8/9}\approx 270.741453963268$ | ||
| Ramified primes: |
\(3\), \(19\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $9$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $\frac{1}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{10}$, $\frac{1}{19}a^{11}$, $\frac{1}{19}a^{12}$, $\frac{1}{19}a^{13}$, $\frac{1}{57}a^{14}+\frac{1}{57}a^{13}+\frac{1}{57}a^{12}-\frac{1}{57}a^{11}-\frac{1}{57}a^{10}-\frac{1}{57}a^{9}-\frac{1}{3}a^{5}-\frac{1}{3}a^{4}-\frac{1}{3}a^{3}+\frac{1}{3}a^{2}+\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{57}a^{15}+\frac{1}{57}a^{12}+\frac{1}{57}a^{9}-\frac{1}{3}a^{6}-\frac{1}{3}a^{3}-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{57}a^{16}+\frac{1}{57}a^{13}+\frac{1}{57}a^{10}-\frac{1}{3}a^{7}-\frac{1}{3}a^{4}-\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{57}a^{17}-\frac{1}{57}a^{13}-\frac{1}{57}a^{12}-\frac{1}{57}a^{11}+\frac{1}{57}a^{10}+\frac{1}{57}a^{9}-\frac{1}{3}a^{8}+\frac{1}{3}a^{4}+\frac{1}{3}a^{3}+\frac{1}{3}a^{2}-\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{1083}a^{18}+\frac{1}{57}a^{9}+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{1083}a^{19}+\frac{1}{57}a^{10}+\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{1083}a^{20}+\frac{1}{57}a^{11}+\frac{1}{3}a^{2}$, $\frac{1}{20577}a^{21}-\frac{2}{1083}a^{17}+\frac{1}{361}a^{16}-\frac{3}{361}a^{15}-\frac{8}{1083}a^{14}-\frac{7}{361}a^{13}+\frac{22}{1083}a^{12}+\frac{1}{57}a^{11}+\frac{8}{57}a^{8}+\frac{8}{19}a^{7}-\frac{6}{19}a^{6}-\frac{7}{57}a^{5}+\frac{8}{19}a^{4}+\frac{1}{57}a^{3}-\frac{1}{3}a^{2}$, $\frac{1}{20577}a^{22}+\frac{1}{361}a^{17}-\frac{3}{361}a^{16}-\frac{8}{1083}a^{15}-\frac{2}{1083}a^{14}-\frac{16}{1083}a^{13}-\frac{1}{57}a^{12}-\frac{1}{57}a^{11}-\frac{1}{57}a^{10}+\frac{8}{19}a^{8}-\frac{6}{19}a^{7}-\frac{7}{57}a^{6}+\frac{5}{57}a^{5}-\frac{6}{19}a^{4}+\frac{1}{3}a^{3}+\frac{1}{3}a^{2}+\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{20577}a^{23}-\frac{3}{361}a^{17}-\frac{8}{1083}a^{16}-\frac{2}{1083}a^{15}+\frac{1}{361}a^{14}+\frac{1}{57}a^{11}-\frac{1}{57}a^{10}-\frac{1}{57}a^{9}-\frac{6}{19}a^{8}-\frac{7}{57}a^{7}+\frac{5}{57}a^{6}+\frac{20}{57}a^{5}-\frac{1}{3}a^{2}+\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{2736741}a^{24}+\frac{1}{48013}a^{23}-\frac{1}{144039}a^{22}-\frac{1}{144039}a^{21}-\frac{40}{144039}a^{20}+\frac{1}{48013}a^{19}-\frac{22}{48013}a^{18}+\frac{1189}{144039}a^{17}+\frac{35}{20577}a^{16}-\frac{206}{144039}a^{15}-\frac{22}{2527}a^{14}+\frac{5}{361}a^{13}+\frac{82}{7581}a^{12}-\frac{68}{7581}a^{11}+\frac{46}{2527}a^{10}-\frac{170}{7581}a^{9}+\frac{398}{1083}a^{8}-\frac{1439}{7581}a^{7}+\frac{2680}{7581}a^{6}+\frac{27}{133}a^{5}-\frac{8}{57}a^{4}-\frac{16}{133}a^{3}-\frac{3}{7}a^{2}-\frac{3}{7}a-\frac{1}{21}$, $\frac{1}{2736741}a^{25}+\frac{1}{48013}a^{23}+\frac{1}{48013}a^{21}+\frac{22}{144039}a^{20}+\frac{29}{144039}a^{19}+\frac{10}{48013}a^{18}+\frac{967}{144039}a^{17}+\frac{286}{48013}a^{16}-\frac{22}{7581}a^{15}-\frac{13}{2527}a^{14}-\frac{191}{7581}a^{13}+\frac{4}{7581}a^{12}+\frac{8}{2527}a^{11}+\frac{11}{1083}a^{10}-\frac{53}{2527}a^{9}-\frac{109}{7581}a^{8}+\frac{3440}{7581}a^{7}-\frac{8}{57}a^{6}+\frac{36}{133}a^{5}+\frac{92}{399}a^{4}-\frac{109}{399}a^{3}-\frac{1}{3}a^{2}+\frac{8}{21}a-\frac{2}{7}$, $\frac{1}{15\!\cdots\!67}a^{26}+\frac{27\!\cdots\!82}{53\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!67}a^{24}+\frac{62\!\cdots\!45}{83\!\cdots\!93}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!99}a^{22}+\frac{21\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!99}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!13}{83\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!49}{39\!\cdots\!33}a^{19}+\frac{26\!\cdots\!15}{83\!\cdots\!93}a^{18}-\frac{71\!\cdots\!37}{83\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!36}{39\!\cdots\!33}a^{16}+\frac{31\!\cdots\!59}{83\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{62\!\cdots\!91}{14\!\cdots\!49}a^{14}-\frac{21\!\cdots\!62}{14\!\cdots\!49}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!53}{44\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{62\!\cdots\!30}{44\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!25}{44\!\cdots\!47}a^{10}+\frac{89\!\cdots\!59}{44\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!03}{44\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{57\!\cdots\!78}{14\!\cdots\!49}a^{7}-\frac{83\!\cdots\!46}{44\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{92\!\cdots\!35}{23\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{93\!\cdots\!87}{23\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!19}{77\!\cdots\!71}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!43}{40\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{30\!\cdots\!38}{12\!\cdots\!27}a+\frac{27\!\cdots\!78}{58\!\cdots\!87}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
$C_{3}$, which has order $3$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $26$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{21\!\cdots\!32}{82\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{25\!\cdots\!06}{82\!\cdots\!03}a^{25}+\frac{22\!\cdots\!23}{24\!\cdots\!09}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!29}{82\!\cdots\!03}a^{23}-\frac{98\!\cdots\!97}{82\!\cdots\!03}a^{22}-\frac{23\!\cdots\!53}{82\!\cdots\!03}a^{21}+\frac{67\!\cdots\!77}{82\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{20\!\cdots\!13}{82\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!02}{82\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{51\!\cdots\!65}{43\!\cdots\!37}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!33}{22\!\cdots\!23}a^{16}+\frac{41\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{41\!\cdots\!79}{43\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{21\!\cdots\!91}{43\!\cdots\!37}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!52}{43\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!40}{43\!\cdots\!37}a^{11}-\frac{77\!\cdots\!17}{43\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!50}{43\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{42\!\cdots\!79}{22\!\cdots\!23}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!30}{22\!\cdots\!23}a^{7}+\frac{49\!\cdots\!03}{68\!\cdots\!69}a^{6}-\frac{23\!\cdots\!00}{22\!\cdots\!23}a^{5}-\frac{70\!\cdots\!59}{22\!\cdots\!23}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!05}{22\!\cdots\!23}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!97}{22\!\cdots\!23}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!28}{22\!\cdots\!23}a+\frac{62\!\cdots\!93}{22\!\cdots\!23}$, $\frac{79\!\cdots\!95}{82\!\cdots\!03}a^{26}+\frac{17\!\cdots\!62}{82\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{81\!\cdots\!26}{24\!\cdots\!09}a^{24}-\frac{73\!\cdots\!34}{82\!\cdots\!03}a^{23}+\frac{36\!\cdots\!59}{82\!\cdots\!03}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!76}{82\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{25\!\cdots\!19}{82\!\cdots\!03}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!37}{82\!\cdots\!03}a^{19}+\frac{99\!\cdots\!71}{82\!\cdots\!03}a^{18}+\frac{23\!\cdots\!84}{43\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!31}{43\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!75}{43\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{99\!\cdots\!31}{43\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{98\!\cdots\!68}{43\!\cdots\!37}a^{12}-\frac{91\!\cdots\!54}{43\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{21\!\cdots\!13}{43\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{47\!\cdots\!86}{43\!\cdots\!37}a^{9}+\frac{23\!\cdots\!73}{22\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{73\!\cdots\!48}{22\!\cdots\!23}a^{7}-\frac{31\!\cdots\!32}{68\!\cdots\!69}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!85}{22\!\cdots\!23}a^{5}+\frac{44\!\cdots\!79}{22\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{68\!\cdots\!50}{22\!\cdots\!23}a^{3}+\frac{82\!\cdots\!62}{22\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!38}{22\!\cdots\!23}a-\frac{13\!\cdots\!57}{22\!\cdots\!23}$, $\frac{15\!\cdots\!61}{28\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{18\!\cdots\!37}{85\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{15\!\cdots\!26}{85\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!66}{21\!\cdots\!63}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!08}{64\!\cdots\!89}a^{22}-\frac{26\!\cdots\!54}{44\!\cdots\!23}a^{21}-\frac{23\!\cdots\!51}{14\!\cdots\!41}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!54}{44\!\cdots\!23}a^{19}+\frac{42\!\cdots\!46}{64\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!19}{14\!\cdots\!41}a^{17}-\frac{76\!\cdots\!90}{44\!\cdots\!23}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!03}{21\!\cdots\!63}a^{15}+\frac{22\!\cdots\!29}{78\!\cdots\!39}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!55}{23\!\cdots\!17}a^{13}-\frac{70\!\cdots\!97}{23\!\cdots\!17}a^{12}-\frac{23\!\cdots\!71}{78\!\cdots\!39}a^{11}+\frac{46\!\cdots\!78}{23\!\cdots\!17}a^{10}+\frac{35\!\cdots\!92}{78\!\cdots\!39}a^{9}-\frac{64\!\cdots\!54}{78\!\cdots\!39}a^{8}-\frac{37\!\cdots\!44}{17\!\cdots\!49}a^{7}+\frac{46\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!17}a^{6}+\frac{91\!\cdots\!57}{21\!\cdots\!99}a^{5}-\frac{45\!\cdots\!93}{17\!\cdots\!49}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!21}{41\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{28\!\cdots\!06}{21\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{25\!\cdots\!98}{65\!\cdots\!97}a-\frac{11\!\cdots\!85}{65\!\cdots\!97}$, $\frac{50\!\cdots\!92}{28\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!93}{85\!\cdots\!37}a^{25}+\frac{51\!\cdots\!34}{85\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!30}{14\!\cdots\!41}a^{23}-\frac{36\!\cdots\!17}{44\!\cdots\!23}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!50}{64\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{83\!\cdots\!74}{14\!\cdots\!41}a^{20}+\frac{75\!\cdots\!83}{44\!\cdots\!23}a^{19}-\frac{51\!\cdots\!31}{23\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!84}{14\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!01}{44\!\cdots\!23}a^{16}+\frac{31\!\cdots\!54}{14\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{53\!\cdots\!94}{78\!\cdots\!39}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!94}{33\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{40\!\cdots\!89}{78\!\cdots\!39}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!39}a^{11}-\frac{44\!\cdots\!86}{23\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{55\!\cdots\!68}{33\!\cdots\!31}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!55}{78\!\cdots\!39}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!15}{23\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{43\!\cdots\!86}{59\!\cdots\!83}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!43}a^{4}+\frac{55\!\cdots\!55}{12\!\cdots\!43}a^{3}-\frac{35\!\cdots\!98}{21\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{28\!\cdots\!02}{65\!\cdots\!97}a+\frac{21\!\cdots\!99}{21\!\cdots\!99}$, $\frac{22\!\cdots\!01}{28\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{90\!\cdots\!00}{14\!\cdots\!41}a^{25}+\frac{23\!\cdots\!72}{85\!\cdots\!37}a^{24}-\frac{98\!\cdots\!51}{14\!\cdots\!41}a^{23}-\frac{78\!\cdots\!40}{21\!\cdots\!63}a^{22}-\frac{74\!\cdots\!69}{44\!\cdots\!23}a^{21}+\frac{39\!\cdots\!46}{14\!\cdots\!41}a^{20}+\frac{42\!\cdots\!18}{14\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{48\!\cdots\!35}{44\!\cdots\!23}a^{18}-\frac{36\!\cdots\!63}{21\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{41\!\cdots\!62}{14\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!07}{44\!\cdots\!23}a^{15}-\frac{50\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!77}a^{14}-\frac{39\!\cdots\!60}{41\!\cdots\!81}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!70}{33\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{78\!\cdots\!60}{78\!\cdots\!39}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!55}{78\!\cdots\!39}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!46}{23\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!82}{78\!\cdots\!39}a^{7}-\frac{82\!\cdots\!57}{23\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!05}{41\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!22}{41\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{41\!\cdots\!00}{17\!\cdots\!49}a^{3}-\frac{77\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!68}{21\!\cdots\!99}a+\frac{53\!\cdots\!76}{65\!\cdots\!97}$, $\frac{74\!\cdots\!40}{28\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!37}{85\!\cdots\!37}a^{25}+\frac{81\!\cdots\!46}{85\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{79\!\cdots\!11}{14\!\cdots\!41}a^{23}-\frac{88\!\cdots\!12}{64\!\cdots\!89}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!41}{14\!\cdots\!41}a^{21}+\frac{15\!\cdots\!95}{14\!\cdots\!41}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{65\!\cdots\!71}{14\!\cdots\!41}a^{18}-\frac{36\!\cdots\!60}{14\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{49\!\cdots\!96}{44\!\cdots\!23}a^{16}+\frac{28\!\cdots\!70}{44\!\cdots\!23}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!81}{78\!\cdots\!39}a^{14}-\frac{23\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{38\!\cdots\!93}{23\!\cdots\!17}a^{12}+\frac{75\!\cdots\!89}{78\!\cdots\!39}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!87}{23\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!70}{23\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{36\!\cdots\!08}{78\!\cdots\!39}a^{8}+\frac{42\!\cdots\!94}{23\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!16}{78\!\cdots\!39}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!22}{41\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!15}{12\!\cdots\!43}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!37}{12\!\cdots\!43}a^{3}-\frac{49\!\cdots\!39}{21\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{56\!\cdots\!02}{65\!\cdots\!97}a+\frac{41\!\cdots\!91}{65\!\cdots\!97}$, $\frac{54\!\cdots\!43}{28\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{31\!\cdots\!96}{85\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{18\!\cdots\!38}{28\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!89}{14\!\cdots\!41}a^{23}+\frac{38\!\cdots\!22}{44\!\cdots\!23}a^{22}-\frac{25\!\cdots\!25}{44\!\cdots\!23}a^{21}-\frac{92\!\cdots\!90}{14\!\cdots\!41}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!62}{44\!\cdots\!23}a^{19}+\frac{39\!\cdots\!65}{14\!\cdots\!41}a^{18}+\frac{34\!\cdots\!56}{21\!\cdots\!63}a^{17}-\frac{31\!\cdots\!63}{44\!\cdots\!23}a^{16}-\frac{32\!\cdots\!55}{44\!\cdots\!23}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{35\!\cdots\!88}{23\!\cdots\!17}a^{13}-\frac{29\!\cdots\!96}{23\!\cdots\!17}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!80}{78\!\cdots\!39}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!70}{23\!\cdots\!17}a^{10}+\frac{28\!\cdots\!33}{23\!\cdots\!17}a^{9}-\frac{28\!\cdots\!32}{78\!\cdots\!39}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!56}{23\!\cdots\!17}a^{7}+\frac{22\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!17}a^{6}+\frac{34\!\cdots\!03}{41\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!32}{12\!\cdots\!43}a^{4}-\frac{27\!\cdots\!86}{41\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!70}{21\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{56\!\cdots\!32}{65\!\cdots\!97}a-\frac{69\!\cdots\!41}{65\!\cdots\!97}$, $\frac{64\!\cdots\!35}{28\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{27\!\cdots\!62}{85\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{34\!\cdots\!84}{44\!\cdots\!23}a^{24}-\frac{22\!\cdots\!34}{14\!\cdots\!41}a^{23}+\frac{66\!\cdots\!11}{64\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{17\!\cdots\!56}{64\!\cdots\!89}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!53}{14\!\cdots\!41}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!35}{64\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!71}{44\!\cdots\!23}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!84}{14\!\cdots\!41}a^{17}-\frac{40\!\cdots\!56}{64\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{68\!\cdots\!59}{23\!\cdots\!17}a^{15}+\frac{64\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!39}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!25}{23\!\cdots\!17}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!17}a^{12}-\frac{33\!\cdots\!34}{78\!\cdots\!39}a^{11}+\frac{31\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!17}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!41}{78\!\cdots\!39}a^{9}+\frac{99\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!39}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!48}{23\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{38\!\cdots\!48}{41\!\cdots\!81}a^{6}+\frac{39\!\cdots\!25}{41\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{79\!\cdots\!01}{12\!\cdots\!43}a^{4}-\frac{23\!\cdots\!66}{41\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{96\!\cdots\!09}{21\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!34}{65\!\cdots\!97}a-\frac{10\!\cdots\!37}{93\!\cdots\!71}$, $\frac{10\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!67}a^{26}+\frac{76\!\cdots\!54}{15\!\cdots\!67}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!23}{53\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{51\!\cdots\!58}{83\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{35\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!99}a^{22}-\frac{89\!\cdots\!61}{83\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{18\!\cdots\!94}{83\!\cdots\!93}a^{20}+\frac{56\!\cdots\!63}{27\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{78\!\cdots\!89}{83\!\cdots\!93}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!53}{83\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!19}{83\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!56}{27\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{63\!\cdots\!09}{14\!\cdots\!49}a^{14}-\frac{33\!\cdots\!13}{44\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{70\!\cdots\!92}{14\!\cdots\!49}a^{12}+\frac{52\!\cdots\!08}{63\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!94}{44\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{34\!\cdots\!46}{63\!\cdots\!21}a^{9}+\frac{72\!\cdots\!73}{44\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{91\!\cdots\!65}{44\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{70\!\cdots\!64}{14\!\cdots\!49}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!28}{33\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{31\!\cdots\!80}{40\!\cdots\!09}a^{4}+\frac{86\!\cdots\!15}{23\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!30}{40\!\cdots\!09}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!40}{17\!\cdots\!61}a+\frac{29\!\cdots\!13}{40\!\cdots\!09}$, $\frac{14\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!67}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!84}{15\!\cdots\!67}a^{25}-\frac{50\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!67}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!58}{27\!\cdots\!31}a^{23}+\frac{35\!\cdots\!83}{83\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{22\!\cdots\!98}{27\!\cdots\!31}a^{21}-\frac{82\!\cdots\!70}{27\!\cdots\!31}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!50}{27\!\cdots\!31}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{30\!\cdots\!95}{83\!\cdots\!93}a^{17}-\frac{23\!\cdots\!24}{83\!\cdots\!93}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!02}{11\!\cdots\!99}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!33}{44\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{34\!\cdots\!08}{21\!\cdots\!07}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!28}{44\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{97\!\cdots\!49}{63\!\cdots\!21}a^{11}+\frac{64\!\cdots\!56}{44\!\cdots\!47}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!05}{14\!\cdots\!49}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!48}{44\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{58\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{42\!\cdots\!78}{44\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{92\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{39\!\cdots\!94}{23\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{58\!\cdots\!53}{23\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{23\!\cdots\!28}{17\!\cdots\!61}a^{2}+\frac{78\!\cdots\!05}{12\!\cdots\!27}a-\frac{44\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!27}$, $\frac{39\!\cdots\!48}{15\!\cdots\!67}a^{26}+\frac{61\!\cdots\!52}{15\!\cdots\!67}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!99}a^{24}-\frac{36\!\cdots\!03}{27\!\cdots\!31}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!18}{83\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{21\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!99}a^{21}-\frac{79\!\cdots\!10}{83\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!97}{83\!\cdots\!93}a^{19}+\frac{94\!\cdots\!29}{27\!\cdots\!31}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!55}{27\!\cdots\!31}a^{17}-\frac{46\!\cdots\!39}{83\!\cdots\!93}a^{16}-\frac{56\!\cdots\!71}{44\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{44\!\cdots\!51}{44\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{83\!\cdots\!71}{44\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!76}{21\!\cdots\!07}a^{12}-\frac{74\!\cdots\!96}{44\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{67\!\cdots\!37}{44\!\cdots\!47}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!99}{14\!\cdots\!49}a^{9}+\frac{39\!\cdots\!37}{44\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!79}{44\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!81}{77\!\cdots\!71}a^{6}+\frac{86\!\cdots\!98}{23\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{32\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{27\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!49}{12\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!42}{58\!\cdots\!87}a+\frac{15\!\cdots\!67}{40\!\cdots\!09}$, $\frac{13\!\cdots\!10}{15\!\cdots\!67}a^{26}-\frac{29\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!67}a^{25}+\frac{24\!\cdots\!10}{83\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{57\!\cdots\!52}{27\!\cdots\!31}a^{23}-\frac{32\!\cdots\!66}{83\!\cdots\!93}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!46}{27\!\cdots\!31}a^{21}+\frac{23\!\cdots\!07}{83\!\cdots\!93}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!79}{27\!\cdots\!31}a^{19}-\frac{31\!\cdots\!14}{27\!\cdots\!31}a^{18}-\frac{79\!\cdots\!38}{27\!\cdots\!31}a^{17}+\frac{33\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!99}a^{16}+\frac{35\!\cdots\!94}{44\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!43}{44\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{31\!\cdots\!68}{23\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!52}{44\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{59\!\cdots\!13}{44\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!28}{44\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!01}{14\!\cdots\!49}a^{9}+\frac{38\!\cdots\!04}{44\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!40}{44\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!95}{77\!\cdots\!71}a^{6}-\frac{96\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!66}{77\!\cdots\!71}a^{4}+\frac{34\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{29\!\cdots\!27}{12\!\cdots\!27}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!74}{17\!\cdots\!61}a+\frac{82\!\cdots\!11}{40\!\cdots\!09}$, $\frac{42\!\cdots\!92}{15\!\cdots\!67}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!67}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!67}a^{24}+\frac{29\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!99}a^{23}-\frac{53\!\cdots\!01}{44\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{48\!\cdots\!62}{39\!\cdots\!33}a^{21}+\frac{23\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!31}a^{20}+\frac{62\!\cdots\!24}{44\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{96\!\cdots\!63}{27\!\cdots\!31}a^{18}-\frac{48\!\cdots\!63}{63\!\cdots\!21}a^{17}+\frac{70\!\cdots\!92}{83\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!57}{83\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{26\!\cdots\!77}{21\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{55\!\cdots\!91}{14\!\cdots\!49}a^{13}+\frac{49\!\cdots\!85}{44\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!55}{44\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{88\!\cdots\!36}{14\!\cdots\!49}a^{10}-\frac{90\!\cdots\!05}{44\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{91\!\cdots\!25}{44\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{40\!\cdots\!48}{63\!\cdots\!21}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!39}{44\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{17\!\cdots\!50}{23\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!22}{23\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{61\!\cdots\!05}{12\!\cdots\!27}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!24}{12\!\cdots\!27}a+\frac{47\!\cdots\!78}{12\!\cdots\!27}$, $\frac{15\!\cdots\!34}{15\!\cdots\!67}a^{26}+\frac{23\!\cdots\!72}{15\!\cdots\!67}a^{25}-\frac{28\!\cdots\!77}{83\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{18\!\cdots\!85}{27\!\cdots\!31}a^{23}+\frac{37\!\cdots\!40}{83\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{33\!\cdots\!71}{27\!\cdots\!31}a^{21}-\frac{25\!\cdots\!04}{83\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{85\!\cdots\!22}{83\!\cdots\!93}a^{19}+\frac{33\!\cdots\!91}{27\!\cdots\!31}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!31}a^{17}-\frac{22\!\cdots\!32}{83\!\cdots\!93}a^{16}-\frac{55\!\cdots\!32}{44\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{48\!\cdots\!06}{14\!\cdots\!49}a^{14}+\frac{86\!\cdots\!27}{44\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{30\!\cdots\!27}{14\!\cdots\!49}a^{12}-\frac{77\!\cdots\!84}{44\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{58\!\cdots\!29}{14\!\cdots\!49}a^{10}+\frac{55\!\cdots\!22}{63\!\cdots\!21}a^{9}+\frac{64\!\cdots\!04}{63\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{36\!\cdots\!09}{14\!\cdots\!49}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!35}{40\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{39\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{43\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{88\!\cdots\!67}{40\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!26}{58\!\cdots\!87}a^{2}+\frac{77\!\cdots\!66}{12\!\cdots\!27}a-\frac{70\!\cdots\!44}{12\!\cdots\!27}$, $\frac{11\!\cdots\!24}{53\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{16\!\cdots\!73}{53\!\cdots\!89}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!67}a^{24}-\frac{11\!\cdots\!16}{83\!\cdots\!93}a^{23}+\frac{44\!\cdots\!21}{44\!\cdots\!47}a^{22}+\frac{21\!\cdots\!52}{83\!\cdots\!93}a^{21}-\frac{19\!\cdots\!81}{27\!\cdots\!31}a^{20}-\frac{63\!\cdots\!29}{27\!\cdots\!31}a^{19}+\frac{22\!\cdots\!84}{83\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{88\!\cdots\!00}{83\!\cdots\!93}a^{17}-\frac{51\!\cdots\!45}{83\!\cdots\!93}a^{16}-\frac{23\!\cdots\!13}{83\!\cdots\!93}a^{15}+\frac{35\!\cdots\!23}{44\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{66\!\cdots\!26}{14\!\cdots\!49}a^{13}-\frac{77\!\cdots\!71}{14\!\cdots\!49}a^{12}-\frac{86\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!07}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!68}{14\!\cdots\!49}a^{10}+\frac{94\!\cdots\!00}{44\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{84\!\cdots\!91}{44\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{27\!\cdots\!27}{44\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{53\!\cdots\!65}{44\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{71\!\cdots\!69}{77\!\cdots\!71}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!95}{23\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!31}{23\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{56\!\cdots\!84}{40\!\cdots\!09}a^{2}+\frac{48\!\cdots\!97}{40\!\cdots\!09}a-\frac{20\!\cdots\!53}{40\!\cdots\!09}$, $\frac{58\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!67}a^{26}-\frac{74\!\cdots\!85}{15\!\cdots\!67}a^{25}+\frac{19\!\cdots\!48}{15\!\cdots\!67}a^{24}+\frac{62\!\cdots\!01}{27\!\cdots\!31}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!48}{83\!\cdots\!93}a^{22}-\frac{34\!\cdots\!66}{83\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{32\!\cdots\!25}{27\!\cdots\!31}a^{20}+\frac{30\!\cdots\!70}{83\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!00}{27\!\cdots\!31}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!99}a^{17}+\frac{84\!\cdots\!71}{83\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!27}{27\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{27\!\cdots\!72}{21\!\cdots\!07}a^{14}-\frac{55\!\cdots\!90}{77\!\cdots\!71}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!37}{14\!\cdots\!49}a^{12}+\frac{29\!\cdots\!78}{44\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{50\!\cdots\!23}{23\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{50\!\cdots\!97}{14\!\cdots\!49}a^{9}-\frac{28\!\cdots\!06}{14\!\cdots\!49}a^{8}+\frac{43\!\cdots\!67}{44\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{67\!\cdots\!46}{44\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!53}{77\!\cdots\!71}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!85}{12\!\cdots\!27}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{63\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!27}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!20}{40\!\cdots\!09}a+\frac{81\!\cdots\!93}{40\!\cdots\!09}$, 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|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 7310010199955040000000 \cdot 3}{2\cdot\sqrt{33967771186402966366427549984621879030979398934601324527479889}}\cr\approx \mathstrut & 0.252514080109973 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 342*x^25 - 171*x^24 + 46170*x^23 + 54207*x^22 - 3268665*x^21 - 5858460*x^20 + 134311095*x^19 + 307109616*x^18 - 3351895830*x^17 - 8921016477*x^16 + 51614085105*x^15 + 150995085174*x^14 - 490758149016*x^13 - 1497559744062*x^12 + 2913712319943*x^11 + 8540208558981*x^10 - 11433313439043*x^9 - 27388259069094*x^8 + 30252509997111*x^7 + 45148147517106*x^6 - 48196927157832*x^5 - 28168971334749*x^4 + 32756642210241*x^3 - 1498948623333*x^2 - 870715261152*x + 60790706549)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^27 - 342*x^25 - 171*x^24 + 46170*x^23 + 54207*x^22 - 3268665*x^21 - 5858460*x^20 + 134311095*x^19 + 307109616*x^18 - 3351895830*x^17 - 8921016477*x^16 + 51614085105*x^15 + 150995085174*x^14 - 490758149016*x^13 - 1497559744062*x^12 + 2913712319943*x^11 + 8540208558981*x^10 - 11433313439043*x^9 - 27388259069094*x^8 + 30252509997111*x^7 + 45148147517106*x^6 - 48196927157832*x^5 - 28168971334749*x^4 + 32756642210241*x^3 - 1498948623333*x^2 - 870715261152*x + 60790706549, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^27 - 342*x^25 - 171*x^24 + 46170*x^23 + 54207*x^22 - 3268665*x^21 - 5858460*x^20 + 134311095*x^19 + 307109616*x^18 - 3351895830*x^17 - 8921016477*x^16 + 51614085105*x^15 + 150995085174*x^14 - 490758149016*x^13 - 1497559744062*x^12 + 2913712319943*x^11 + 8540208558981*x^10 - 11433313439043*x^9 - 27388259069094*x^8 + 30252509997111*x^7 + 45148147517106*x^6 - 48196927157832*x^5 - 28168971334749*x^4 + 32756642210241*x^3 - 1498948623333*x^2 - 870715261152*x + 60790706549);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 342*x^25 - 171*x^24 + 46170*x^23 + 54207*x^22 - 3268665*x^21 - 5858460*x^20 + 134311095*x^19 + 307109616*x^18 - 3351895830*x^17 - 8921016477*x^16 + 51614085105*x^15 + 150995085174*x^14 - 490758149016*x^13 - 1497559744062*x^12 + 2913712319943*x^11 + 8540208558981*x^10 - 11433313439043*x^9 - 27388259069094*x^8 + 30252509997111*x^7 + 45148147517106*x^6 - 48196927157832*x^5 - 28168971334749*x^4 + 32756642210241*x^3 - 1498948623333*x^2 - 870715261152*x + 60790706549);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$C_9^2:C_3$ (as 27T108):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A solvable group of order 243 |
| The 35 conjugacy class representatives for $C_9^2:C_3$ |
| Character table for $C_9^2:C_3$ |
Intermediate fields
| \(\Q(\zeta_{9})^+\), 9.9.5609891727441.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 27 siblings: | data not computed |
| Minimal sibling: | 27.27.722013712239823213565233266321909861375098894090246169.2 |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | ${\href{/padicField/2.9.0.1}{9} }^{3}$ | R | ${\href{/padicField/5.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/7.3.0.1}{3} }^{9}$ | ${\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{9}$ | ${\href{/padicField/13.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/17.3.0.1}{3} }^{3}$ | R | ${\href{/padicField/23.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/29.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{9}$ | ${\href{/padicField/37.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/41.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/43.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/47.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/53.1.0.1}{1} }^{9}$ | ${\href{/padicField/59.9.0.1}{9} }^{3}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(3\)
| Deg $27$ | $27$ | $1$ | $70$ | |||
|
\(19\)
| 19.9.8.2 | $x^{9} + 57$ | $9$ | $1$ | $8$ | $C_9$ | $[\ ]_{9}$ |
| 19.9.8.4 | $x^{9} + 114$ | $9$ | $1$ | $8$ | $C_9$ | $[\ ]_{9}$ | |
| 19.9.6.1 | $x^{9} + 1444 x^{3} - 116603$ | $3$ | $3$ | $6$ | $C_9$ | $[\ ]_{3}^{3}$ |