Number field 27.27.2944327385812293401986795161849449425948572612044217849.7

• Label: 27.27.294...849.7
• Degree: $27$
• Signature: $[27, 0]$
• Discriminant: $2.944\times 10^{54}$
• Root discriminant: \(104.08\)
• Ramified primes: $3,19$
• Class number: $1$ (GRH)
• Class group: trivial (GRH)
• Galois group: $C_3^7.C_3\wr C_3$ (as 27T1459)

Normalized defining polynomial

x^27 - 135*x^25 - 27*x^24 + 7047*x^23 + 3348*x^22 - 187164*x^21 - 125793*x^20 + 2815992*x^19 + 1976769*x^18 - 26075115*x^17 - 15605838*x^16 + 155938356*x^15 + 62760420*x^14 - 611741727*x^13 - 91912158*x^12 + 1546030152*x^11 - 196588782*x^10 - 2359374894*x^9 + 967201479*x^8 + 1846195173*x^7 - 1315759329*x^6 - 406946997*x^5 + 567947943*x^4 - 107694603*x^3 - 26667792*x^2 + 7778106*x - 61731

Invariants

Degree:		$27$
Signature:		$[27, 0]$
Discriminant:		\(2944327385812293401986795161849449425948572612044217849\) \(\medspace = 3^{82}\cdot 19^{12}\)
Root discriminant:		\(104.08\)
Galois root discriminant:		not computed
Ramified primes:		\(3\), \(19\)
Discriminant root field:		\(\Q\)
$\card{ \Aut(K/\Q) }$:		$3$
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $\frac{1}{3}a^{14}$, $\frac{1}{3}a^{15}$, $\frac{1}{3}a^{16}$, $\frac{1}{3}a^{17}$, $\frac{1}{3}a^{18}$, $\frac{1}{3}a^{19}$, $\frac{1}{3}a^{20}$, $\frac{1}{57}a^{21}-\frac{2}{57}a^{19}-\frac{8}{57}a^{18}-\frac{2}{57}a^{17}+\frac{4}{57}a^{16}+\frac{5}{57}a^{15}+\frac{2}{19}a^{14}+\frac{7}{19}a^{13}+\frac{3}{19}a^{12}-\frac{3}{19}a^{11}+\frac{7}{19}a^{10}-\frac{7}{19}a^{9}$, $\frac{1}{57}a^{22}-\frac{2}{57}a^{20}-\frac{8}{57}a^{19}-\frac{2}{57}a^{18}+\frac{4}{57}a^{17}+\frac{5}{57}a^{16}+\frac{2}{19}a^{15}+\frac{2}{57}a^{14}+\frac{3}{19}a^{13}-\frac{3}{19}a^{12}+\frac{7}{19}a^{11}-\frac{7}{19}a^{10}$, $\frac{1}{57}a^{23}-\frac{8}{57}a^{20}-\frac{2}{19}a^{19}+\frac{7}{57}a^{18}+\frac{1}{57}a^{17}-\frac{5}{57}a^{16}-\frac{7}{57}a^{15}+\frac{2}{57}a^{14}-\frac{8}{19}a^{13}-\frac{6}{19}a^{12}+\frac{6}{19}a^{11}-\frac{5}{19}a^{10}+\frac{5}{19}a^{9}$, $\frac{1}{1083}a^{24}-\frac{2}{1083}a^{22}-\frac{8}{1083}a^{21}-\frac{26}{361}a^{20}+\frac{80}{1083}a^{19}+\frac{46}{361}a^{18}-\frac{32}{1083}a^{17}-\frac{50}{361}a^{16}+\frac{104}{1083}a^{15}-\frac{22}{361}a^{14}-\frac{126}{361}a^{13}+\frac{164}{361}a^{12}-\frac{1}{19}a^{11}+\frac{6}{19}a^{10}-\frac{9}{19}a^{9}-\frac{8}{19}a^{7}+\frac{3}{19}a^{6}+\frac{3}{19}a^{5}-\frac{6}{19}a^{4}+\frac{2}{19}a^{3}$, $\frac{1}{1083}a^{25}-\frac{2}{1083}a^{23}-\frac{8}{1083}a^{22}-\frac{2}{1083}a^{21}+\frac{80}{1083}a^{20}-\frac{14}{1083}a^{19}+\frac{82}{1083}a^{18}+\frac{59}{1083}a^{17}+\frac{47}{1083}a^{16}-\frac{47}{1083}a^{15}+\frac{26}{361}a^{14}-\frac{26}{361}a^{13}-\frac{8}{19}a^{12}-\frac{6}{19}a^{11}-\frac{9}{19}a^{9}-\frac{8}{19}a^{8}+\frac{3}{19}a^{7}+\frac{3}{19}a^{6}-\frac{6}{19}a^{5}+\frac{2}{19}a^{4}$, $\frac{1}{20\!\cdots\!17}a^{26}+\frac{16\!\cdots\!46}{69\!\cdots\!39}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!43}{69\!\cdots\!39}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!07}{69\!\cdots\!39}a^{23}+\frac{58\!\cdots\!82}{20\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{45\!\cdots\!69}{69\!\cdots\!39}a^{21}+\frac{42\!\cdots\!01}{20\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{77\!\cdots\!89}{20\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!91}{20\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{82\!\cdots\!11}{20\!\cdots\!17}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!08}{20\!\cdots\!17}a^{16}+\frac{66\!\cdots\!24}{20\!\cdots\!17}a^{15}+\frac{30\!\cdots\!39}{20\!\cdots\!17}a^{14}+\frac{87\!\cdots\!58}{69\!\cdots\!39}a^{13}+\frac{55\!\cdots\!01}{69\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!06}{36\!\cdots\!81}a^{11}-\frac{90\!\cdots\!03}{36\!\cdots\!81}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!48}{36\!\cdots\!81}a^{9}-\frac{19\!\cdots\!43}{36\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!34}{19\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{95\!\cdots\!20}{36\!\cdots\!81}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!02}{36\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{17\!\cdots\!89}{36\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!29}{36\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{88\!\cdots\!58}{19\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{62\!\cdots\!89}{19\!\cdots\!99}a+\frac{76\!\cdots\!06}{19\!\cdots\!99}$

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$26$
Torsion generator:		\( -1 \)  (order $2$)
Fundamental units:		$\frac{28\!\cdots\!03}{27\!\cdots\!01}a^{26}+\frac{17\!\cdots\!45}{27\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!38}{82\!\cdots\!03}a^{24}-\frac{31\!\cdots\!48}{27\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{19\!\cdots\!03}{27\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{21\!\cdots\!17}{27\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{51\!\cdots\!75}{27\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{67\!\cdots\!17}{27\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!53}{43\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!10}{27\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{66\!\cdots\!42}{27\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{86\!\cdots\!73}{27\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{38\!\cdots\!58}{27\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{41\!\cdots\!54}{27\!\cdots\!01}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!64}{27\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!13}{27\!\cdots\!01}a^{11}+\frac{36\!\cdots\!45}{27\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!99}{27\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{29\!\cdots\!99}{14\!\cdots\!79}a^{8}-\frac{39\!\cdots\!34}{14\!\cdots\!79}a^{7}+\frac{24\!\cdots\!48}{14\!\cdots\!79}a^{6}-\frac{39\!\cdots\!67}{14\!\cdots\!79}a^{5}-\frac{84\!\cdots\!83}{14\!\cdots\!79}a^{4}+\frac{31\!\cdots\!06}{14\!\cdots\!79}a^{3}+\frac{33\!\cdots\!78}{14\!\cdots\!79}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!00}{14\!\cdots\!79}a+\frac{15\!\cdots\!42}{14\!\cdots\!79}$, $\frac{51\!\cdots\!90}{27\!\cdots\!01}a^{26}+\frac{32\!\cdots\!53}{27\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{20\!\cdots\!27}{82\!\cdots\!03}a^{24}-\frac{57\!\cdots\!33}{27\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{35\!\cdots\!79}{27\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{39\!\cdots\!79}{27\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{93\!\cdots\!38}{27\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!75}{27\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{21\!\cdots\!97}{43\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!37}{27\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!65}{27\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!81}{27\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{69\!\cdots\!62}{27\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{76\!\cdots\!78}{27\!\cdots\!01}a^{13}-\frac{26\!\cdots\!81}{27\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{21\!\cdots\!05}{27\!\cdots\!01}a^{11}+\frac{65\!\cdots\!45}{27\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{31\!\cdots\!15}{27\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{53\!\cdots\!42}{14\!\cdots\!79}a^{8}-\frac{76\!\cdots\!23}{14\!\cdots\!79}a^{7}+\frac{44\!\cdots\!36}{14\!\cdots\!79}a^{6}-\frac{69\!\cdots\!47}{14\!\cdots\!79}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!36}{14\!\cdots\!79}a^{4}+\frac{55\!\cdots\!33}{14\!\cdots\!79}a^{3}+\frac{62\!\cdots\!13}{14\!\cdots\!79}a^{2}-\frac{32\!\cdots\!73}{14\!\cdots\!79}a+\frac{26\!\cdots\!25}{14\!\cdots\!79}$, $\frac{21\!\cdots\!90}{19\!\cdots\!91}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!26}{19\!\cdots\!91}a^{25}-\frac{85\!\cdots\!91}{58\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{23\!\cdots\!44}{19\!\cdots\!91}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!39}{19\!\cdots\!91}a^{22}+\frac{49\!\cdots\!89}{58\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{38\!\cdots\!68}{19\!\cdots\!91}a^{20}-\frac{51\!\cdots\!15}{19\!\cdots\!91}a^{19}+\frac{56\!\cdots\!84}{19\!\cdots\!91}a^{18}+\frac{77\!\cdots\!18}{19\!\cdots\!91}a^{17}-\frac{50\!\cdots\!01}{19\!\cdots\!91}a^{16}-\frac{65\!\cdots\!90}{19\!\cdots\!91}a^{15}+\frac{29\!\cdots\!59}{19\!\cdots\!91}a^{14}+\frac{31\!\cdots\!37}{19\!\cdots\!91}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!26}{19\!\cdots\!91}a^{12}-\frac{46\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!98}{10\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{68\!\cdots\!36}{10\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{22\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{30\!\cdots\!48}{10\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!63}{10\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{64\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!89}{54\!\cdots\!31}a^{2}-\frac{71\!\cdots\!17}{54\!\cdots\!31}a+\frac{51\!\cdots\!79}{54\!\cdots\!31}$, $\frac{21\!\cdots\!90}{19\!\cdots\!91}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!26}{19\!\cdots\!91}a^{25}-\frac{85\!\cdots\!91}{58\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{23\!\cdots\!44}{19\!\cdots\!91}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!39}{19\!\cdots\!91}a^{22}+\frac{49\!\cdots\!89}{58\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{38\!\cdots\!68}{19\!\cdots\!91}a^{20}-\frac{51\!\cdots\!15}{19\!\cdots\!91}a^{19}+\frac{56\!\cdots\!84}{19\!\cdots\!91}a^{18}+\frac{77\!\cdots\!18}{19\!\cdots\!91}a^{17}-\frac{50\!\cdots\!01}{19\!\cdots\!91}a^{16}-\frac{65\!\cdots\!90}{19\!\cdots\!91}a^{15}+\frac{29\!\cdots\!59}{19\!\cdots\!91}a^{14}+\frac{31\!\cdots\!37}{19\!\cdots\!91}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!26}{19\!\cdots\!91}a^{12}-\frac{46\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!98}{10\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{68\!\cdots\!36}{10\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{22\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{30\!\cdots\!48}{10\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!63}{10\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{64\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!89}{54\!\cdots\!31}a^{2}-\frac{71\!\cdots\!17}{54\!\cdots\!31}a+\frac{45\!\cdots\!48}{54\!\cdots\!31}$, $\frac{59\!\cdots\!06}{19\!\cdots\!91}a^{26}-\frac{37\!\cdots\!76}{19\!\cdots\!91}a^{25}+\frac{79\!\cdots\!64}{19\!\cdots\!91}a^{24}+\frac{66\!\cdots\!73}{19\!\cdots\!91}a^{23}-\frac{41\!\cdots\!20}{19\!\cdots\!91}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!54}{58\!\cdots\!73}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!68}{19\!\cdots\!91}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!42}{19\!\cdots\!91}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!13}{19\!\cdots\!91}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!53}{19\!\cdots\!91}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!09}{19\!\cdots\!91}a^{16}+\frac{54\!\cdots\!97}{58\!\cdots\!73}a^{15}-\frac{81\!\cdots\!46}{19\!\cdots\!91}a^{14}-\frac{88\!\cdots\!60}{19\!\cdots\!91}a^{13}+\frac{30\!\cdots\!75}{19\!\cdots\!91}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{40\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!48}{10\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{61\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{84\!\cdots\!21}{10\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{52\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{83\!\cdots\!07}{10\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{17\!\cdots\!69}{10\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{65\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{37\!\cdots\!22}{54\!\cdots\!31}a^{2}+\frac{20\!\cdots\!03}{54\!\cdots\!31}a-\frac{15\!\cdots\!73}{54\!\cdots\!31}$, $\frac{11\!\cdots\!19}{19\!\cdots\!91}a^{26}+\frac{73\!\cdots\!98}{19\!\cdots\!91}a^{25}-\frac{15\!\cdots\!50}{19\!\cdots\!91}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!55}{19\!\cdots\!91}a^{23}+\frac{79\!\cdots\!07}{19\!\cdots\!91}a^{22}+\frac{89\!\cdots\!60}{19\!\cdots\!91}a^{21}-\frac{20\!\cdots\!00}{19\!\cdots\!91}a^{20}-\frac{27\!\cdots\!54}{19\!\cdots\!91}a^{19}+\frac{90\!\cdots\!67}{58\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{42\!\cdots\!52}{19\!\cdots\!91}a^{17}-\frac{26\!\cdots\!49}{19\!\cdots\!91}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!16}{58\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!06}{19\!\cdots\!91}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!35}{19\!\cdots\!91}a^{13}-\frac{58\!\cdots\!65}{19\!\cdots\!91}a^{12}-\frac{25\!\cdots\!11}{10\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{76\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{37\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!74}{10\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!86}{10\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{99\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{34\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{78\!\cdots\!69}{54\!\cdots\!31}a^{2}-\frac{37\!\cdots\!72}{54\!\cdots\!31}a-\frac{89\!\cdots\!87}{54\!\cdots\!31}$, $\frac{25\!\cdots\!87}{19\!\cdots\!91}a^{26}+\frac{19\!\cdots\!00}{19\!\cdots\!91}a^{25}-\frac{33\!\cdots\!75}{19\!\cdots\!91}a^{24}-\frac{32\!\cdots\!44}{19\!\cdots\!91}a^{23}+\frac{17\!\cdots\!63}{19\!\cdots\!91}a^{22}+\frac{64\!\cdots\!42}{58\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{45\!\cdots\!11}{19\!\cdots\!91}a^{20}-\frac{65\!\cdots\!85}{19\!\cdots\!91}a^{19}+\frac{19\!\cdots\!75}{58\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{98\!\cdots\!31}{19\!\cdots\!91}a^{17}-\frac{57\!\cdots\!40}{19\!\cdots\!91}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!37}{58\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{32\!\cdots\!31}{19\!\cdots\!91}a^{14}+\frac{39\!\cdots\!41}{19\!\cdots\!91}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!81}{19\!\cdots\!91}a^{12}-\frac{59\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!71}{10\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{90\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{24\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{51\!\cdots\!65}{10\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{20\!\cdots\!37}{10\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!56}{10\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{71\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!34}{10\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!44}{54\!\cdots\!31}a^{2}-\frac{72\!\cdots\!09}{54\!\cdots\!31}a+\frac{13\!\cdots\!54}{54\!\cdots\!31}$, $\frac{29\!\cdots\!13}{19\!\cdots\!91}a^{26}-\frac{18\!\cdots\!68}{19\!\cdots\!91}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!61}{58\!\cdots\!73}a^{24}+\frac{32\!\cdots\!47}{19\!\cdots\!91}a^{23}-\frac{20\!\cdots\!86}{19\!\cdots\!91}a^{22}-\frac{68\!\cdots\!49}{58\!\cdots\!73}a^{21}+\frac{53\!\cdots\!50}{19\!\cdots\!91}a^{20}+\frac{70\!\cdots\!73}{19\!\cdots\!91}a^{19}-\frac{77\!\cdots\!80}{19\!\cdots\!91}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!16}{19\!\cdots\!91}a^{17}+\frac{69\!\cdots\!42}{19\!\cdots\!91}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!18}{58\!\cdots\!73}a^{15}-\frac{39\!\cdots\!21}{19\!\cdots\!91}a^{14}-\frac{43\!\cdots\!64}{19\!\cdots\!91}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!19}{19\!\cdots\!91}a^{12}+\frac{64\!\cdots\!58}{10\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!06}{10\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{94\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{30\!\cdots\!97}{10\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{43\!\cdots\!74}{10\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{25\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{39\!\cdots\!25}{10\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{87\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{31\!\cdots\!11}{10\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!94}{54\!\cdots\!31}a^{2}+\frac{97\!\cdots\!04}{54\!\cdots\!31}a-\frac{69\!\cdots\!26}{54\!\cdots\!31}$, $\frac{50\!\cdots\!56}{20\!\cdots\!17}a^{26}+\frac{31\!\cdots\!52}{20\!\cdots\!17}a^{25}-\frac{68\!\cdots\!05}{20\!\cdots\!17}a^{24}-\frac{56\!\cdots\!57}{20\!\cdots\!17}a^{23}+\frac{35\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!17}a^{22}+\frac{68\!\cdots\!19}{36\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{92\!\cdots\!90}{20\!\cdots\!17}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!08}{20\!\cdots\!17}a^{19}+\frac{45\!\cdots\!53}{69\!\cdots\!39}a^{18}+\frac{32\!\cdots\!24}{36\!\cdots\!81}a^{17}-\frac{40\!\cdots\!32}{69\!\cdots\!39}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!12}{20\!\cdots\!17}a^{15}+\frac{69\!\cdots\!04}{20\!\cdots\!17}a^{14}+\frac{25\!\cdots\!85}{69\!\cdots\!39}a^{13}-\frac{87\!\cdots\!97}{69\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{37\!\cdots\!40}{36\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!49}{36\!\cdots\!81}a^{10}+\frac{54\!\cdots\!72}{36\!\cdots\!81}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!40}{36\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{25\!\cdots\!46}{36\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!39}{36\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{22\!\cdots\!85}{36\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{51\!\cdots\!32}{36\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!13}{36\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!58}{19\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{56\!\cdots\!60}{19\!\cdots\!99}a+\frac{45\!\cdots\!91}{19\!\cdots\!99}$, $\frac{16\!\cdots\!63}{69\!\cdots\!39}a^{26}-\frac{37\!\cdots\!02}{20\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{65\!\cdots\!01}{20\!\cdots\!17}a^{24}+\frac{63\!\cdots\!81}{20\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{34\!\cdots\!96}{20\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{42\!\cdots\!14}{20\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{29\!\cdots\!07}{69\!\cdots\!39}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!80}{36\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{37\!\cdots\!59}{69\!\cdots\!39}a^{16}+\frac{54\!\cdots\!79}{69\!\cdots\!39}a^{15}-\frac{64\!\cdots\!85}{20\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{26\!\cdots\!42}{69\!\cdots\!39}a^{13}+\frac{81\!\cdots\!32}{69\!\cdots\!39}a^{12}+\frac{21\!\cdots\!48}{19\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!91}{36\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{64\!\cdots\!79}{36\!\cdots\!81}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!56}{36\!\cdots\!81}a^{8}+\frac{42\!\cdots\!62}{36\!\cdots\!81}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!78}{36\!\cdots\!81}a^{6}+\frac{70\!\cdots\!72}{36\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{50\!\cdots\!24}{36\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!68}{36\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!90}{19\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{48\!\cdots\!61}{19\!\cdots\!99}a+\frac{34\!\cdots\!91}{19\!\cdots\!99}$, $\frac{14\!\cdots\!38}{20\!\cdots\!17}a^{26}+\frac{93\!\cdots\!01}{20\!\cdots\!17}a^{25}-\frac{19\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!17}a^{24}-\frac{16\!\cdots\!47}{20\!\cdots\!17}a^{23}+\frac{34\!\cdots\!26}{69\!\cdots\!39}a^{22}+\frac{11\!\cdots\!64}{20\!\cdots\!17}a^{21}-\frac{89\!\cdots\!05}{69\!\cdots\!39}a^{20}-\frac{35\!\cdots\!08}{20\!\cdots\!17}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!91}{69\!\cdots\!39}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!69}{69\!\cdots\!39}a^{17}-\frac{35\!\cdots\!57}{20\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{45\!\cdots\!11}{20\!\cdots\!17}a^{15}+\frac{20\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!17}a^{14}+\frac{38\!\cdots\!69}{36\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{25\!\cdots\!98}{69\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!15}{36\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{33\!\cdots\!74}{36\!\cdots\!81}a^{10}+\frac{83\!\cdots\!34}{19\!\cdots\!99}a^{9}-\frac{51\!\cdots\!08}{36\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{72\!\cdots\!55}{36\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{43\!\cdots\!67}{36\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{67\!\cdots\!70}{36\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!79}{36\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{53\!\cdots\!74}{36\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{31\!\cdots\!31}{19\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!23}{19\!\cdots\!99}a+\frac{13\!\cdots\!92}{19\!\cdots\!99}$, $\frac{14\!\cdots\!02}{20\!\cdots\!17}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!81}{20\!\cdots\!17}a^{25}-\frac{63\!\cdots\!16}{69\!\cdots\!39}a^{24}-\frac{58\!\cdots\!25}{69\!\cdots\!39}a^{23}+\frac{98\!\cdots\!14}{20\!\cdots\!17}a^{22}+\frac{11\!\cdots\!95}{20\!\cdots\!17}a^{21}-\frac{85\!\cdots\!88}{69\!\cdots\!39}a^{20}-\frac{36\!\cdots\!89}{20\!\cdots\!17}a^{19}+\frac{37\!\cdots\!48}{20\!\cdots\!17}a^{18}+\frac{54\!\cdots\!73}{20\!\cdots\!17}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!97}{69\!\cdots\!39}a^{16}-\frac{45\!\cdots\!95}{20\!\cdots\!17}a^{15}+\frac{62\!\cdots\!39}{69\!\cdots\!39}a^{14}+\frac{75\!\cdots\!33}{69\!\cdots\!39}a^{13}-\frac{23\!\cdots\!95}{69\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!96}{36\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{30\!\cdots\!39}{36\!\cdots\!81}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!66}{36\!\cdots\!81}a^{9}-\frac{46\!\cdots\!40}{36\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!61}{36\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{39\!\cdots\!61}{36\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{34\!\cdots\!75}{36\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!56}{36\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{40\!\cdots\!87}{36\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{40\!\cdots\!02}{19\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!05}{19\!\cdots\!99}a-\frac{53\!\cdots\!99}{19\!\cdots\!99}$, $\frac{24\!\cdots\!73}{20\!\cdots\!17}a^{26}+\frac{52\!\cdots\!86}{69\!\cdots\!39}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!73}{69\!\cdots\!39}a^{24}-\frac{93\!\cdots\!39}{69\!\cdots\!39}a^{23}+\frac{57\!\cdots\!12}{69\!\cdots\!39}a^{22}+\frac{19\!\cdots\!36}{20\!\cdots\!17}a^{21}-\frac{45\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!17}a^{20}-\frac{59\!\cdots\!06}{20\!\cdots\!17}a^{19}+\frac{21\!\cdots\!71}{69\!\cdots\!39}a^{18}+\frac{90\!\cdots\!29}{20\!\cdots\!17}a^{17}-\frac{58\!\cdots\!37}{20\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{76\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!17}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!44}{69\!\cdots\!39}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!41}{69\!\cdots\!39}a^{13}-\frac{42\!\cdots\!79}{69\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{18\!\cdots\!55}{36\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{55\!\cdots\!61}{36\!\cdots\!81}a^{10}+\frac{26\!\cdots\!58}{36\!\cdots\!81}a^{9}-\frac{85\!\cdots\!78}{36\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!64}{36\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{72\!\cdots\!93}{36\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!56}{36\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{24\!\cdots\!51}{36\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{88\!\cdots\!95}{36\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{52\!\cdots\!31}{19\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{27\!\cdots\!38}{19\!\cdots\!99}a+\frac{22\!\cdots\!81}{19\!\cdots\!99}$, $\frac{34\!\cdots\!53}{20\!\cdots\!17}a^{26}+\frac{21\!\cdots\!48}{20\!\cdots\!17}a^{25}-\frac{46\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!17}a^{24}-\frac{19\!\cdots\!25}{10\!\cdots\!43}a^{23}+\frac{23\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!17}a^{22}+\frac{26\!\cdots\!87}{20\!\cdots\!17}a^{21}-\frac{20\!\cdots\!05}{69\!\cdots\!39}a^{20}-\frac{81\!\cdots\!67}{20\!\cdots\!17}a^{19}+\frac{30\!\cdots\!74}{69\!\cdots\!39}a^{18}+\frac{41\!\cdots\!59}{69\!\cdots\!39}a^{17}-\frac{81\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!60}{20\!\cdots\!17}a^{15}+\frac{46\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!17}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!72}{69\!\cdots\!39}a^{13}-\frac{59\!\cdots\!68}{69\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{24\!\cdots\!19}{36\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{77\!\cdots\!62}{36\!\cdots\!81}a^{10}+\frac{35\!\cdots\!06}{36\!\cdots\!81}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!64}{36\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!55}{36\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!81}{36\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!98}{36\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{34\!\cdots\!52}{36\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!80}{36\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{76\!\cdots\!14}{19\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{39\!\cdots\!72}{19\!\cdots\!99}a+\frac{11\!\cdots\!09}{19\!\cdots\!99}$, $\frac{43\!\cdots\!12}{20\!\cdots\!17}a^{26}-\frac{94\!\cdots\!17}{69\!\cdots\!39}a^{25}+\frac{58\!\cdots\!50}{20\!\cdots\!17}a^{24}+\frac{49\!\cdots\!55}{20\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{30\!\cdots\!17}{20\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{34\!\cdots\!38}{20\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{78\!\cdots\!65}{20\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!63}{20\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{53\!\cdots\!37}{69\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{34\!\cdots\!33}{69\!\cdots\!39}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!95}{20\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{58\!\cdots\!41}{20\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{21\!\cdots\!52}{69\!\cdots\!39}a^{13}+\frac{73\!\cdots\!01}{69\!\cdots\!39}a^{12}+\frac{31\!\cdots\!97}{36\!\cdots\!81}a^{11}-\frac{96\!\cdots\!60}{36\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{46\!\cdots\!43}{36\!\cdots\!81}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!11}{36\!\cdots\!81}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!30}{36\!\cdots\!81}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!44}{36\!\cdots\!81}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!98}{36\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{42\!\cdots\!63}{36\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!83}{36\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{92\!\cdots\!13}{19\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{47\!\cdots\!75}{19\!\cdots\!99}a-\frac{29\!\cdots\!51}{19\!\cdots\!99}$, $\frac{14\!\cdots\!76}{20\!\cdots\!17}a^{26}+\frac{87\!\cdots\!29}{20\!\cdots\!17}a^{25}-\frac{18\!\cdots\!06}{20\!\cdots\!17}a^{24}-\frac{15\!\cdots\!09}{20\!\cdots\!17}a^{23}+\frac{32\!\cdots\!66}{69\!\cdots\!39}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!27}{20\!\cdots\!17}a^{21}-\frac{25\!\cdots\!70}{20\!\cdots\!17}a^{20}-\frac{33\!\cdots\!14}{20\!\cdots\!17}a^{19}+\frac{37\!\cdots\!56}{20\!\cdots\!17}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!20}{69\!\cdots\!39}a^{17}-\frac{33\!\cdots\!75}{20\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{42\!\cdots\!19}{20\!\cdots\!17}a^{15}+\frac{19\!\cdots\!69}{20\!\cdots\!17}a^{14}+\frac{69\!\cdots\!41}{69\!\cdots\!39}a^{13}-\frac{24\!\cdots\!51}{69\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!53}{36\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{31\!\cdots\!49}{36\!\cdots\!81}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!07}{36\!\cdots\!81}a^{9}-\frac{48\!\cdots\!40}{36\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{69\!\cdots\!04}{36\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{40\!\cdots\!83}{36\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{62\!\cdots\!74}{36\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!41}{36\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{50\!\cdots\!46}{36\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{30\!\cdots\!97}{19\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!81}{19\!\cdots\!99}a+\frac{13\!\cdots\!62}{19\!\cdots\!99}$, $\frac{75\!\cdots\!48}{69\!\cdots\!39}a^{26}+\frac{14\!\cdots\!40}{20\!\cdots\!17}a^{25}-\frac{30\!\cdots\!81}{20\!\cdots\!17}a^{24}-\frac{25\!\cdots\!48}{20\!\cdots\!17}a^{23}+\frac{15\!\cdots\!71}{20\!\cdots\!17}a^{22}+\frac{17\!\cdots\!68}{20\!\cdots\!17}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!51}{69\!\cdots\!39}a^{20}-\frac{54\!\cdots\!19}{20\!\cdots\!17}a^{19}+\frac{60\!\cdots\!32}{20\!\cdots\!17}a^{18}+\frac{82\!\cdots\!82}{20\!\cdots\!17}a^{17}-\frac{53\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{23\!\cdots\!59}{69\!\cdots\!39}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!37}{10\!\cdots\!43}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!79}{69\!\cdots\!39}a^{13}-\frac{38\!\cdots\!54}{69\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{87\!\cdots\!54}{19\!\cdots\!99}a^{11}+\frac{50\!\cdots\!89}{36\!\cdots\!81}a^{10}+\frac{24\!\cdots\!41}{36\!\cdots\!81}a^{9}-\frac{41\!\cdots\!85}{19\!\cdots\!99}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!01}{36\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{66\!\cdots\!49}{36\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!08}{36\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!62}{19\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{81\!\cdots\!69}{36\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{47\!\cdots\!25}{19\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{25\!\cdots\!39}{19\!\cdots\!99}a+\frac{20\!\cdots\!69}{19\!\cdots\!99}$, $\frac{18\!\cdots\!75}{36\!\cdots\!81}a^{26}+\frac{22\!\cdots\!68}{69\!\cdots\!39}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!54}{20\!\cdots\!17}a^{24}-\frac{39\!\cdots\!76}{69\!\cdots\!39}a^{23}+\frac{24\!\cdots\!80}{69\!\cdots\!39}a^{22}+\frac{82\!\cdots\!37}{20\!\cdots\!17}a^{21}-\frac{63\!\cdots\!31}{69\!\cdots\!39}a^{20}-\frac{25\!\cdots\!18}{20\!\cdots\!17}a^{19}+\frac{27\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!17}a^{18}+\frac{38\!\cdots\!12}{20\!\cdots\!17}a^{17}-\frac{24\!\cdots\!95}{20\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!38}{69\!\cdots\!39}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!72}{20\!\cdots\!17}a^{14}+\frac{52\!\cdots\!47}{69\!\cdots\!39}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!90}{69\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{40\!\cdots\!40}{19\!\cdots\!99}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!61}{36\!\cdots\!81}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!80}{36\!\cdots\!81}a^{9}-\frac{35\!\cdots\!78}{36\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{53\!\cdots\!34}{36\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{30\!\cdots\!86}{36\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{45\!\cdots\!13}{36\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!74}{36\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{37\!\cdots\!33}{36\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{22\!\cdots\!29}{19\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!72}{19\!\cdots\!99}a+\frac{92\!\cdots\!98}{19\!\cdots\!99}$, $\frac{15\!\cdots\!19}{20\!\cdots\!17}a^{26}+\frac{97\!\cdots\!44}{20\!\cdots\!17}a^{25}-\frac{20\!\cdots\!78}{20\!\cdots\!17}a^{24}-\frac{17\!\cdots\!08}{20\!\cdots\!17}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!32}{20\!\cdots\!17}a^{22}+\frac{11\!\cdots\!70}{20\!\cdots\!17}a^{21}-\frac{48\!\cdots\!83}{36\!\cdots\!81}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!41}{69\!\cdots\!39}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!93}{69\!\cdots\!39}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!13}{69\!\cdots\!39}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!41}{69\!\cdots\!39}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!50}{69\!\cdots\!39}a^{15}+\frac{68\!\cdots\!86}{69\!\cdots\!39}a^{14}+\frac{76\!\cdots\!83}{69\!\cdots\!39}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!41}{36\!\cdots\!81}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!07}{36\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{33\!\cdots\!14}{36\!\cdots\!81}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!39}{36\!\cdots\!81}a^{9}-\frac{52\!\cdots\!21}{36\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{80\!\cdots\!74}{36\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{44\!\cdots\!39}{36\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{33\!\cdots\!46}{19\!\cdots\!99}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!96}{36\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!41}{19\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{34\!\cdots\!49}{19\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!87}{19\!\cdots\!99}a+\frac{13\!\cdots\!42}{19\!\cdots\!99}$, $\frac{65\!\cdots\!11}{20\!\cdots\!17}a^{26}+\frac{41\!\cdots\!43}{20\!\cdots\!17}a^{25}-\frac{29\!\cdots\!32}{69\!\cdots\!39}a^{24}-\frac{73\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!17}a^{23}+\frac{45\!\cdots\!43}{20\!\cdots\!17}a^{22}+\frac{50\!\cdots\!13}{20\!\cdots\!17}a^{21}-\frac{39\!\cdots\!47}{69\!\cdots\!39}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!52}{20\!\cdots\!17}a^{19}+\frac{17\!\cdots\!59}{20\!\cdots\!17}a^{18}+\frac{24\!\cdots\!62}{20\!\cdots\!17}a^{17}-\frac{15\!\cdots\!04}{20\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!13}{20\!\cdots\!17}a^{15}+\frac{29\!\cdots\!71}{69\!\cdots\!39}a^{14}+\frac{32\!\cdots\!14}{69\!\cdots\!39}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!86}{69\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{48\!\cdots\!36}{36\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!82}{36\!\cdots\!81}a^{10}+\frac{70\!\cdots\!98}{36\!\cdots\!81}a^{9}-\frac{22\!\cdots\!48}{36\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{32\!\cdots\!01}{36\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!96}{36\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!92}{36\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{65\!\cdots\!15}{36\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!66}{36\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!07}{19\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{73\!\cdots\!45}{19\!\cdots\!99}a+\frac{58\!\cdots\!79}{19\!\cdots\!99}$, $\frac{12\!\cdots\!68}{20\!\cdots\!17}a^{26}-\frac{83\!\cdots\!54}{20\!\cdots\!17}a^{25}+\frac{58\!\cdots\!89}{69\!\cdots\!39}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!68}{20\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{90\!\cdots\!14}{20\!\cdots\!17}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!26}{20\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{23\!\cdots\!39}{20\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{31\!\cdots\!35}{20\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!86}{69\!\cdots\!39}a^{18}-\frac{47\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!91}{20\!\cdots\!17}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!14}{69\!\cdots\!39}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!22}{20\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{64\!\cdots\!98}{69\!\cdots\!39}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!31}{69\!\cdots\!39}a^{12}+\frac{95\!\cdots\!37}{36\!\cdots\!81}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!36}{36\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!44}{36\!\cdots\!81}a^{9}+\frac{44\!\cdots\!56}{36\!\cdots\!81}a^{8}+\frac{64\!\cdots\!53}{36\!\cdots\!81}a^{7}-\frac{37\!\cdots\!20}{36\!\cdots\!81}a^{6}+\frac{58\!\cdots\!67}{36\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!98}{36\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{46\!\cdots\!80}{36\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{27\!\cdots\!19}{19\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!66}{19\!\cdots\!99}a-\frac{11\!\cdots\!72}{19\!\cdots\!99}$, $\frac{45\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!17}a^{26}+\frac{99\!\cdots\!72}{69\!\cdots\!39}a^{25}-\frac{61\!\cdots\!88}{20\!\cdots\!17}a^{24}-\frac{92\!\cdots\!97}{36\!\cdots\!81}a^{23}+\frac{31\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!17}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!47}{69\!\cdots\!39}a^{21}-\frac{83\!\cdots\!76}{20\!\cdots\!17}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!57}{20\!\cdots\!17}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!60}{20\!\cdots\!17}a^{18}+\frac{89\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!43}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!99}{20\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{47\!\cdots\!42}{69\!\cdots\!39}a^{15}+\frac{62\!\cdots\!60}{20\!\cdots\!17}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!14}{69\!\cdots\!39}a^{13}-\frac{78\!\cdots\!67}{69\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{34\!\cdots\!15}{36\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!70}{36\!\cdots\!81}a^{10}+\frac{51\!\cdots\!46}{36\!\cdots\!81}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!46}{36\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{25\!\cdots\!88}{36\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!81}{36\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!86}{36\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{45\!\cdots\!44}{36\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!34}{36\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{93\!\cdots\!27}{19\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{49\!\cdots\!13}{19\!\cdots\!99}a+\frac{47\!\cdots\!83}{19\!\cdots\!99}$, $\frac{30\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!17}a^{26}+\frac{19\!\cdots\!96}{20\!\cdots\!17}a^{25}-\frac{40\!\cdots\!49}{20\!\cdots\!17}a^{24}-\frac{11\!\cdots\!39}{69\!\cdots\!39}a^{23}+\frac{21\!\cdots\!84}{20\!\cdots\!17}a^{22}+\frac{77\!\cdots\!97}{69\!\cdots\!39}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!79}{69\!\cdots\!39}a^{20}-\frac{38\!\cdots\!37}{10\!\cdots\!43}a^{19}+\frac{26\!\cdots\!55}{69\!\cdots\!39}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!39}{20\!\cdots\!17}a^{17}-\frac{23\!\cdots\!60}{69\!\cdots\!39}a^{16}-\frac{30\!\cdots\!24}{69\!\cdots\!39}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!00}{69\!\cdots\!39}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!36}{69\!\cdots\!39}a^{13}-\frac{52\!\cdots\!48}{69\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!57}{36\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{67\!\cdots\!61}{36\!\cdots\!81}a^{10}+\frac{32\!\cdots\!35}{36\!\cdots\!81}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!43}{36\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!48}{36\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{88\!\cdots\!66}{36\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!40}{36\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{30\!\cdots\!27}{36\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!28}{36\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{62\!\cdots\!62}{19\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{33\!\cdots\!91}{19\!\cdots\!99}a+\frac{34\!\cdots\!11}{19\!\cdots\!99}$, $\frac{19\!\cdots\!52}{20\!\cdots\!17}a^{26}+\frac{24\!\cdots\!46}{69\!\cdots\!39}a^{25}-\frac{68\!\cdots\!28}{57\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!53}{20\!\cdots\!17}a^{23}+\frac{62\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!43}a^{22}+\frac{56\!\cdots\!49}{20\!\cdots\!17}a^{21}-\frac{25\!\cdots\!88}{20\!\cdots\!17}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!85}{20\!\cdots\!17}a^{19}+\frac{24\!\cdots\!89}{20\!\cdots\!17}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!89}{20\!\cdots\!17}a^{17}-\frac{76\!\cdots\!22}{20\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!78}{20\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{48\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!17}a^{14}+\frac{27\!\cdots\!32}{69\!\cdots\!39}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!66}{69\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{45\!\cdots\!72}{36\!\cdots\!81}a^{11}-\frac{35\!\cdots\!55}{36\!\cdots\!81}a^{10}+\frac{90\!\cdots\!47}{36\!\cdots\!81}a^{9}+\frac{69\!\cdots\!27}{36\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!40}{36\!\cdots\!81}a^{7}-\frac{68\!\cdots\!68}{36\!\cdots\!81}a^{6}+\frac{78\!\cdots\!10}{36\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{28\!\cdots\!25}{36\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{25\!\cdots\!21}{36\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!02}{19\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!54}{19\!\cdots\!99}a-\frac{10\!\cdots\!84}{19\!\cdots\!99}$, $\frac{10\!\cdots\!30}{69\!\cdots\!39}a^{26}+\frac{19\!\cdots\!09}{20\!\cdots\!17}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!81}{69\!\cdots\!39}a^{24}-\frac{34\!\cdots\!98}{20\!\cdots\!17}a^{23}+\frac{21\!\cdots\!42}{20\!\cdots\!17}a^{22}+\frac{23\!\cdots\!28}{20\!\cdots\!17}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!66}{69\!\cdots\!39}a^{20}-\frac{73\!\cdots\!25}{20\!\cdots\!17}a^{19}+\frac{42\!\cdots\!12}{10\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!24}{20\!\cdots\!17}a^{17}-\frac{72\!\cdots\!95}{20\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{31\!\cdots\!28}{69\!\cdots\!39}a^{15}+\frac{41\!\cdots\!89}{20\!\cdots\!17}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!83}{69\!\cdots\!39}a^{13}-\frac{52\!\cdots\!03}{69\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!17}{36\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{68\!\cdots\!68}{36\!\cdots\!81}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!82}{19\!\cdots\!99}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!77}{36\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!27}{36\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{88\!\cdots\!15}{36\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!60}{36\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{30\!\cdots\!57}{36\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!56}{36\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{63\!\cdots\!65}{19\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{34\!\cdots\!00}{19\!\cdots\!99}a+\frac{30\!\cdots\!61}{19\!\cdots\!99}$, $\frac{67\!\cdots\!19}{36\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{79\!\cdots\!34}{69\!\cdots\!39}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!40}{69\!\cdots\!39}a^{24}+\frac{42\!\cdots\!35}{20\!\cdots\!17}a^{23}-\frac{90\!\cdots\!20}{69\!\cdots\!39}a^{22}-\frac{29\!\cdots\!39}{20\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{23\!\cdots\!30}{69\!\cdots\!39}a^{20}+\frac{92\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{34\!\cdots\!63}{69\!\cdots\!39}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!37}{20\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!38}{69\!\cdots\!39}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!93}{20\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{53\!\cdots\!54}{20\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!62}{69\!\cdots\!39}a^{13}+\frac{67\!\cdots\!71}{69\!\cdots\!39}a^{12}+\frac{28\!\cdots\!71}{36\!\cdots\!81}a^{11}-\frac{87\!\cdots\!58}{36\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{40\!\cdots\!31}{36\!\cdots\!81}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!87}{36\!\cdots\!81}a^{8}+\frac{17\!\cdots\!10}{36\!\cdots\!81}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!99}{36\!\cdots\!81}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!55}{36\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{39\!\cdots\!00}{36\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!22}{36\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{79\!\cdots\!86}{19\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{44\!\cdots\!29}{19\!\cdots\!99}a-\frac{54\!\cdots\!50}{19\!\cdots\!99}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 6037098075027638000 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 6037098075027638000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{2944327385812293401986795161849449425948572612044217849}}\cr\approx \mathstrut & 0.236110374058094 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_3^7.C_3\wr C_3$ (as 27T1459):

A solvable group of order 177147

The 251 conjugacy class representatives for $C_3^7.C_3\wr C_3$

Character table for $C_3^7.C_3\wr C_3$

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{9})^+\), 9.9.139858796529.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Sibling fields

Degree 27 siblings:	data not computed
Minimal sibling:	27.27.8156031539646242110766745600690995639746738537518609.3

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	$27$	R	$27$	${\href{/padicField/7.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/padicField/7.3.0.1}{3} }^{6}$	${\href{/padicField/11.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{3}$	$27$	${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/17.3.0.1}{3} }^{3}$	R	$27$	$27$	${\href{/padicField/31.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{3}$	${\href{/padicField/37.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{3}$	$27$	$27$	$27$	${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/53.3.0.1}{3} }^{3}$	$27$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(3\)		Deg $27$	$27$	$1$	$82$
\(19\)	19.3.0.1	$x^{3} + 4 x + 17$	$1$	$3$	$0$	$C_3$	$[\ ]^{3}$
	19.3.2.1	$x^{3} + 76$	$3$	$1$	$2$	$C_3$	$[\ ]_{3}$
	19.3.2.3	$x^{3} + 38$	$3$	$1$	$2$	$C_3$	$[\ ]_{3}$
	19.9.0.1	$x^{9} + 11 x^{3} + 14 x^{2} + 16 x + 17$	$1$	$9$	$0$	$C_9$	$[\ ]^{9}$
	19.9.8.2	$x^{9} + 57$	$9$	$1$	$8$	$C_9$	$[\ ]_{9}$