↑

Properties

Label 27.27.2904636282...3089.6
Degree $27$
Signature $[27, 0]$
Discriminant $3^{66}\cdot 109^{26}$
Root discriminant $1343.58$
Ramified primes $3, 109$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{27}$ (as 27T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![2723029543253312, -20670342760256832, 29619759695053680, 59983368323472000, -124320658363397712, -49384592272051488, 130990295541684177, 27061786145990799, -57055730532335019, -12047180244214794, 11067766296130557, 2502136134254538, -1094416253548836, -259786668484341, 58195882608228, 14482095775128, -1659494707047, -443924177157, 24716174119, 7528668804, -190520991, -71582916, 708282, 373761, -981, -981, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 981*x^25 - 981*x^24 + 373761*x^23 + 708282*x^22 - 71582916*x^21 - 190520991*x^20 + 7528668804*x^19 + 24716174119*x^18 - 443924177157*x^17 - 1659494707047*x^16 + 14482095775128*x^15 + 58195882608228*x^14 - 259786668484341*x^13 - 1094416253548836*x^12 + 2502136134254538*x^11 + 11067766296130557*x^10 - 12047180244214794*x^9 - 57055730532335019*x^8 + 27061786145990799*x^7 + 130990295541684177*x^6 - 49384592272051488*x^5 - 124320658363397712*x^4 + 59983368323472000*x^3 + 29619759695053680*x^2 - 20670342760256832*x + 2723029543253312)
 
gp: K = bnfinit(x^27 - 981*x^25 - 981*x^24 + 373761*x^23 + 708282*x^22 - 71582916*x^21 - 190520991*x^20 + 7528668804*x^19 + 24716174119*x^18 - 443924177157*x^17 - 1659494707047*x^16 + 14482095775128*x^15 + 58195882608228*x^14 - 259786668484341*x^13 - 1094416253548836*x^12 + 2502136134254538*x^11 + 11067766296130557*x^10 - 12047180244214794*x^9 - 57055730532335019*x^8 + 27061786145990799*x^7 + 130990295541684177*x^6 - 49384592272051488*x^5 - 124320658363397712*x^4 + 59983368323472000*x^3 + 29619759695053680*x^2 - 20670342760256832*x + 2723029543253312, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{27} - 981 x^{25} - 981 x^{24} + 373761 x^{23} + 708282 x^{22} - 71582916 x^{21} - 190520991 x^{20} + 7528668804 x^{19} + 24716174119 x^{18} - 443924177157 x^{17} - 1659494707047 x^{16} + 14482095775128 x^{15} + 58195882608228 x^{14} - 259786668484341 x^{13} - 1094416253548836 x^{12} + 2502136134254538 x^{11} + 11067766296130557 x^{10} - 12047180244214794 x^{9} - 57055730532335019 x^{8} + 27061786145990799 x^{7} + 130990295541684177 x^{6} - 49384592272051488 x^{5} - 124320658363397712 x^{4} + 59983368323472000 x^{3} + 29619759695053680 x^{2} - 20670342760256832 x + 2723029543253312 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $27$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[27, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(2904636282635430627257935704503025621208529312293717639293800815805291320812817603089=3^{66}\cdot 109^{26}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $1343.58$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 109$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(2943=3^{3}\cdot 109\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{2943}(1984,·)$, $\chi_{2943}(1,·)$, $\chi_{2943}(130,·)$, $\chi_{2943}(1030,·)$, $\chi_{2943}(844,·)$, $\chi_{2943}(2185,·)$, $\chi_{2943}(778,·)$, $\chi_{2943}(343,·)$, $\chi_{2943}(1420,·)$, $\chi_{2943}(1933,·)$, $\chi_{2943}(400,·)$, $\chi_{2943}(2134,·)$, $\chi_{2943}(1879,·)$, $\chi_{2943}(1135,·)$, $\chi_{2943}(1819,·)$, $\chi_{2943}(1822,·)$, $\chi_{2943}(679,·)$, $\chi_{2943}(2923,·)$, $\chi_{2943}(1522,·)$, $\chi_{2943}(2542,·)$, $\chi_{2943}(829,·)$, $\chi_{2943}(1969,·)$, $\chi_{2943}(2098,·)$, $\chi_{2943}(1078,·)$, $\chi_{2943}(2872,·)$, $\chi_{2943}(1465,·)$, $\chi_{2943}(445,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $\frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{4} a^{8} - \frac{1}{4} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{4} a^{2}$, $\frac{1}{4} a^{9} - \frac{1}{4} a^{5} - \frac{1}{4} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{4} a^{10} - \frac{1}{4} a^{6} - \frac{1}{4} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{4} a^{11} - \frac{1}{4} a^{7} - \frac{1}{4} a^{5} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{16} a^{12} + \frac{1}{16} a^{10} + \frac{1}{16} a^{9} - \frac{1}{16} a^{8} - \frac{1}{8} a^{7} - \frac{1}{8} a^{6} + \frac{1}{16} a^{5} + \frac{1}{16} a^{4} - \frac{5}{16} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{4} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{16} a^{13} + \frac{1}{16} a^{11} + \frac{1}{16} a^{10} - \frac{1}{16} a^{9} - \frac{1}{8} a^{8} - \frac{1}{8} a^{7} + \frac{1}{16} a^{6} + \frac{1}{16} a^{5} + \frac{3}{16} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3} + \frac{1}{4} a^{2}$, $\frac{1}{16} a^{14} + \frac{1}{16} a^{11} - \frac{1}{8} a^{10} + \frac{1}{16} a^{9} - \frac{1}{16} a^{8} + \frac{3}{16} a^{7} + \frac{3}{16} a^{6} - \frac{1}{8} a^{5} - \frac{1}{16} a^{4} + \frac{5}{16} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} + \frac{1}{4} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{16} a^{15} - \frac{1}{8} a^{11} - \frac{1}{8} a^{9} - \frac{3}{16} a^{7} - \frac{1}{8} a^{5} - \frac{3}{16} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{4} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{32} a^{16} - \frac{1}{8} a^{11} - \frac{1}{16} a^{9} + \frac{3}{32} a^{8} - \frac{1}{4} a^{7} + \frac{1}{16} a^{6} - \frac{3}{16} a^{5} + \frac{7}{32} a^{4} + \frac{5}{16} a^{3} + \frac{3}{8} a^{2} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{64} a^{17} - \frac{1}{32} a^{15} - \frac{1}{32} a^{12} + \frac{1}{16} a^{11} - \frac{1}{8} a^{10} - \frac{7}{64} a^{9} - \frac{1}{32} a^{8} + \frac{1}{16} a^{7} - \frac{1}{32} a^{6} + \frac{13}{64} a^{5} + \frac{3}{16} a^{4} - \frac{3}{8} a^{3} - \frac{1}{8} a^{2} - \frac{1}{4} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{64} a^{18} - \frac{1}{32} a^{13} + \frac{5}{64} a^{10} + \frac{3}{32} a^{9} - \frac{1}{32} a^{8} + \frac{3}{32} a^{7} + \frac{9}{64} a^{6} - \frac{1}{16} a^{5} - \frac{7}{32} a^{4} - \frac{1}{4} a^{3} - \frac{1}{8} a^{2} + \frac{1}{4} a$, $\frac{1}{64} a^{19} - \frac{1}{32} a^{14} + \frac{5}{64} a^{11} + \frac{3}{32} a^{10} - \frac{1}{32} a^{9} + \frac{3}{32} a^{8} + \frac{9}{64} a^{7} - \frac{1}{16} a^{6} - \frac{7}{32} a^{5} - \frac{1}{4} a^{4} - \frac{1}{8} a^{3} + \frac{1}{4} a^{2}$, $\frac{1}{64} a^{20} - \frac{1}{32} a^{15} + \frac{1}{64} a^{12} + \frac{3}{32} a^{11} - \frac{3}{32} a^{10} + \frac{1}{32} a^{9} - \frac{3}{64} a^{8} + \frac{1}{16} a^{7} - \frac{3}{32} a^{6} + \frac{3}{16} a^{5} + \frac{1}{16} a^{4} - \frac{7}{16} a^{3} + \frac{1}{4} a^{2} + \frac{1}{4} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{128} a^{21} - \frac{1}{128} a^{19} - \frac{1}{128} a^{18} - \frac{1}{64} a^{14} - \frac{1}{128} a^{13} - \frac{1}{64} a^{12} - \frac{11}{128} a^{11} - \frac{13}{128} a^{10} - \frac{3}{128} a^{9} + \frac{5}{64} a^{8} + \frac{23}{128} a^{7} - \frac{21}{128} a^{6} - \frac{13}{64} a^{5} - \frac{1}{8} a^{4} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{4} a$, $\frac{1}{128} a^{22} - \frac{1}{128} a^{20} - \frac{1}{128} a^{19} - \frac{1}{64} a^{15} - \frac{1}{128} a^{14} - \frac{1}{64} a^{13} - \frac{3}{128} a^{12} - \frac{13}{128} a^{11} + \frac{5}{128} a^{10} - \frac{7}{64} a^{9} + \frac{15}{128} a^{8} + \frac{27}{128} a^{7} + \frac{11}{64} a^{6} + \frac{3}{16} a^{5} + \frac{1}{16} a^{4} + \frac{7}{16} a^{3} + \frac{1}{4} a^{2} + \frac{1}{4} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{128} a^{23} - \frac{1}{128} a^{20} - \frac{1}{128} a^{19} - \frac{1}{128} a^{18} - \frac{1}{64} a^{16} - \frac{1}{128} a^{15} - \frac{1}{32} a^{14} - \frac{1}{32} a^{13} + \frac{1}{128} a^{12} - \frac{3}{64} a^{11} - \frac{11}{128} a^{10} - \frac{1}{32} a^{9} - \frac{11}{128} a^{8} + \frac{13}{128} a^{7} - \frac{29}{128} a^{6} + \frac{15}{64} a^{5} + \frac{3}{16} a^{4} + \frac{3}{8} a^{3} - \frac{1}{4} a$, $\frac{1}{2048} a^{24} + \frac{1}{1024} a^{22} + \frac{3}{1024} a^{21} + \frac{15}{2048} a^{20} - \frac{3}{1024} a^{19} - \frac{9}{2048} a^{18} + \frac{3}{512} a^{17} - \frac{13}{2048} a^{16} - \frac{3}{256} a^{15} - \frac{11}{512} a^{14} - \frac{23}{1024} a^{13} + \frac{15}{512} a^{12} - \frac{49}{1024} a^{11} + \frac{21}{2048} a^{10} + \frac{65}{1024} a^{9} + \frac{215}{2048} a^{8} + \frac{225}{1024} a^{7} + \frac{445}{2048} a^{6} + \frac{17}{128} a^{5} + \frac{5}{64} a^{4} - \frac{43}{128} a^{3} + \frac{51}{128} a^{2} - \frac{7}{16} a - \frac{15}{32}$, $\frac{1}{231424} a^{25} + \frac{19}{231424} a^{24} - \frac{327}{115712} a^{23} + \frac{131}{57856} a^{22} - \frac{847}{231424} a^{21} - \frac{1593}{231424} a^{20} - \frac{1371}{231424} a^{19} + \frac{1505}{231424} a^{18} + \frac{1719}{231424} a^{17} - \frac{2735}{231424} a^{16} + \frac{839}{57856} a^{15} + \frac{2855}{115712} a^{14} - \frac{2191}{115712} a^{13} + \frac{1889}{115712} a^{12} + \frac{21087}{231424} a^{11} + \frac{9617}{231424} a^{10} + \frac{24013}{231424} a^{9} + \frac{13159}{231424} a^{8} + \frac{47011}{231424} a^{7} + \frac{27671}{231424} a^{6} + \frac{1291}{14464} a^{5} + \frac{3443}{14464} a^{4} - \frac{859}{7232} a^{3} + \frac{3969}{14464} a^{2} - \frac{985}{3616} a - \frac{1629}{3616}$, $\frac{1}{48680444168660494854340406886520008159795895676616999861035451652275309657470528796370469756045738746332696517412901591423135638780306178563191243952597676418342847341607662345256724028649009432405219883967756288} a^{26} - \frac{100954713284039233110527452333873361936719221823903693360456072012709133715563798593403374552281911688107490129493523831207153475158258216544167157913031422046076703475674146313974400615584183050332310131107}{48680444168660494854340406886520008159795895676616999861035451652275309657470528796370469756045738746332696517412901591423135638780306178563191243952597676418342847341607662345256724028649009432405219883967756288} a^{25} - \frac{3285877427922504393163620982738095634380406127464710828838778414016133384321871869830304701251668186371078078901467348510378965907291324719453716537262665693811248700635175941678772706499978180961313852283}{47539496258457514506191803600117195468550679371696288926792433254175107087373563277705536871138416744465523942786036710374155897246392752503116449172458668377287936857038732759039769559227548273833222542937262} a^{24} + \frac{5884055263636702104342971288654554740076057199997200291680581076281856631478692635940339545969730025420386005201560291834118894172688633156829377960642650910815818316913418638862590595681780429676351203311225}{3042527760541280928396275430407500509987243479788562491314715728267206853591908049773154359752858671645793532338306349463945977423769136160199452747037354776146427958850478896578545251790563089525326242747984768} a^{23} + \frac{33499763754150917918480273748560319500716077137282572223128716021384778884646484200510511528663423987462635425178563958559418484258572045740505838069938167751037204860476790371355762871642179166141289800561497}{48680444168660494854340406886520008159795895676616999861035451652275309657470528796370469756045738746332696517412901591423135638780306178563191243952597676418342847341607662345256724028649009432405219883967756288} a^{22} + \frac{55370871580338004344335460030746281823631069008421079409859915850735597216798844256075686702444690536980300207570069396619029089096664726024493829593588804236493462232352152580493868475777583918683088336252193}{48680444168660494854340406886520008159795895676616999861035451652275309657470528796370469756045738746332696517412901591423135638780306178563191243952597676418342847341607662345256724028649009432405219883967756288} a^{21} + \frac{146946572617946443120491085424543310884341843277007032709760009196785738991091336437099302818103958548263099587365945210970594031786830506917126860555309067703761379599214006785946745028127590387671053872265307}{48680444168660494854340406886520008159795895676616999861035451652275309657470528796370469756045738746332696517412901591423135638780306178563191243952597676418342847341607662345256724028649009432405219883967756288} a^{20} - \frac{35209486692510464857296237194236283233869476225889833104172013436799885651511045711490265235687933079084219302548655373787835407449593550673432822273260776135350915730838825973141575036468827534682258814312733}{48680444168660494854340406886520008159795895676616999861035451652275309657470528796370469756045738746332696517412901591423135638780306178563191243952597676418342847341607662345256724028649009432405219883967756288} a^{19} + \frac{224575101389241657465073281666228976055595005034764863481390411584062394289928207355049715949818479527173070091041867509412518065554021268268236025603954537094538998775592747446964330665326521674819491396864273}{48680444168660494854340406886520008159795895676616999861035451652275309657470528796370469756045738746332696517412901591423135638780306178563191243952597676418342847341607662345256724028649009432405219883967756288} a^{18} + \frac{221405484778914364430453407720978009377244835748419857503251579601835888919734355044674442913598897484437152221286194808857585627393869966229921107649079382790764590608585044576036356774845628559389709095383799}{48680444168660494854340406886520008159795895676616999861035451652275309657470528796370469756045738746332696517412901591423135638780306178563191243952597676418342847341607662345256724028649009432405219883967756288} a^{17} - \frac{283511872610746401681434412469380455145133915710370936200999517215008127847116016384811330879054195870279946891479218578175229934237896965980075996791568193064123547717102122890258055741537713963834779157009973}{24340222084330247427170203443260004079897947838308499930517725826137654828735264398185234878022869373166348258706450795711567819390153089281595621976298838209171423670803831172628362014324504716202609941983878144} a^{16} + \frac{370596068248792521493904595403181914365115088218843717486749684652302105713421596681681577743013851561365644599707211307153031122561556085784146872792268025618948751055228334040746920493350686012952279149996859}{24340222084330247427170203443260004079897947838308499930517725826137654828735264398185234878022869373166348258706450795711567819390153089281595621976298838209171423670803831172628362014324504716202609941983878144} a^{15} + \frac{551322365186022000104663735903311578063138899111341543726362175861507786906230333374368984313950889913846017613815588713521197862653703799333083840650438299676442534950278683589364464701601531598272872503348671}{24340222084330247427170203443260004079897947838308499930517725826137654828735264398185234878022869373166348258706450795711567819390153089281595621976298838209171423670803831172628362014324504716202609941983878144} a^{14} - \frac{412393912199975532213318951880718299851660415655467360790828219011147941370016987688816341791381607632604701070834917536739728001972234990582315179639224233510362367619672150317031635468750210903985923897432381}{24340222084330247427170203443260004079897947838308499930517725826137654828735264398185234878022869373166348258706450795711567819390153089281595621976298838209171423670803831172628362014324504716202609941983878144} a^{13} - \frac{1107393455030904177346923064988904723726514912273221913697149323119455024519609828401382214053460932478789328434449175221351419492225894679375877941246562434968495999279791594739223446644058575036670863685110189}{48680444168660494854340406886520008159795895676616999861035451652275309657470528796370469756045738746332696517412901591423135638780306178563191243952597676418342847341607662345256724028649009432405219883967756288} a^{12} - \frac{2616733114375718745225358419215650556562847271096388413644977261804405548414330740688334662481124094823858638932673389079612000548280861910092614456950103297269880954607495422769344595320828926827798049874574937}{48680444168660494854340406886520008159795895676616999861035451652275309657470528796370469756045738746332696517412901591423135638780306178563191243952597676418342847341607662345256724028649009432405219883967756288} a^{11} - \frac{3709352008609323125441744965505170005316827727658890454861214670537637524169157933133188110773221415729306788087918992789020843386160580369827500142486932435217750171758886229671646475652711400761142565432122665}{48680444168660494854340406886520008159795895676616999861035451652275309657470528796370469756045738746332696517412901591423135638780306178563191243952597676418342847341607662345256724028649009432405219883967756288} a^{10} + \frac{5244981028993754988303720214469143388050581122098836702193875038061888080150652556679097156538123379825290456144314941400119204518436489963143462170426845809028360223391938004533764211344934912593415054117537977}{48680444168660494854340406886520008159795895676616999861035451652275309657470528796370469756045738746332696517412901591423135638780306178563191243952597676418342847341607662345256724028649009432405219883967756288} a^{9} - \frac{192934853453730695102941085570639897557878316850068571417459583871170376675964007254372338629146289445021113092368304134610905422263205712182494999806072799246587248101172056958942019194607517377223670273118759}{48680444168660494854340406886520008159795895676616999861035451652275309657470528796370469756045738746332696517412901591423135638780306178563191243952597676418342847341607662345256724028649009432405219883967756288} a^{8} + \frac{7301557436764877779776233594670991063632795532166367595719340801221499184095875256856718825466599375082266738555107781559148718736284393647892613393028569683955382081609500776100438135272486206879866592386613541}{48680444168660494854340406886520008159795895676616999861035451652275309657470528796370469756045738746332696517412901591423135638780306178563191243952597676418342847341607662345256724028649009432405219883967756288} a^{7} + \frac{3944461187128995976995796473490183460725904171977515805595326689762056488569988984633805043630055767246632809765639736599583342586818236544826759745892202268804381417925618398252292481865289870096673332178549331}{24340222084330247427170203443260004079897947838308499930517725826137654828735264398185234878022869373166348258706450795711567819390153089281595621976298838209171423670803831172628362014324504716202609941983878144} a^{6} - \frac{178970570483291074060408122539291643653457106726105403177092948208511286244572634103011715990497670370590167124189328784094351047156832931728667444220249792325037284975081570753501623808552332014394553098407015}{3042527760541280928396275430407500509987243479788562491314715728267206853591908049773154359752858671645793532338306349463945977423769136160199452747037354776146427958850478896578545251790563089525326242747984768} a^{5} - \frac{11752047441416313442650459343106813544395363941842121048067992989058142770012665906492837140473205286143281399650462688335574559447408602421063323615309956491456572508778684966913226500562284747601136973633033}{190157985033830058024767214400468781874202717486785155707169733016700428349494253110822147484553666977862095771144146841496623588985571010012465796689834673509151747428154931036159078236910193095332890171749048} a^{4} - \frac{1118644645543817654144668896070451745713477298663768420807941325323841985436449051175493348605880537315332201654002049948380364857212818547372652963871513450230074416122168452317431693972147060305209430307699395}{3042527760541280928396275430407500509987243479788562491314715728267206853591908049773154359752858671645793532338306349463945977423769136160199452747037354776146427958850478896578545251790563089525326242747984768} a^{3} - \frac{109260027297042580201866538022349691293142748210481627296040689603285367977002980698133495288714707870443711435042795584038839959710572204097164187795605664100108516358004696008762947397400119474412829422773781}{1521263880270640464198137715203750254993621739894281245657357864133603426795954024886577179876429335822896766169153174731972988711884568080099726373518677388073213979425239448289272625895281544762663121373992384} a^{2} - \frac{22221490678319068657414644242029443787699495168536821495023167572127484431209816907170711347500628356863427085414722768329851624427016494162346913996998796794189337164904058333264541025867184772874222964489615}{760631940135320232099068857601875127496810869947140622828678932066801713397977012443288589938214667911448383084576587365986494355942284040049863186759338694036606989712619724144636312947640772381331560686996192} a - \frac{109752110960307406787983412181795118719831202483203774908959126212813203039006221703528709132440957979225009679174436032336829988352643090243873649334422627785237906741988756117974643512037696304228960886437697}{380315970067660116049534428800937563748405434973570311414339466033400856698988506221644294969107333955724191542288293682993247177971142020024931593379669347018303494856309862072318156473820386190665780343498096}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $26$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{27}$ (as 27T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 27
The 27 conjugacy class representatives for $C_{27}$
Character table for $C_{27}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.11881.1, 9.9.10589294828624773798161.3

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.3.0.1}{3} }^{9}$ R $27$ $27$ $27$ $27$ ${\href{/LocalNumberField/17.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/19.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/23.3.0.1}{3} }^{9}$ $27$ $27$ $27$ ${\href{/LocalNumberField/41.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/43.3.0.1}{3} }^{9}$ $27$ $27$ $27$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
109Data not computed