↑

Properties

Label 27.27.2904636282...3089.4
Degree $27$
Signature $[27, 0]$
Discriminant $3^{66}\cdot 109^{26}$
Root discriminant $1343.58$
Ramified primes $3, 109$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{27}$ (as 27T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![13501336803776, -427628571773184, 2269088447893488, 2381897225559600, -14268854946745152, -6529678433587440, 28357598086884837, 10977970866234507, -19243512359549019, -7539868472088462, 5078544955694361, 1919829902996862, -638856451127076, -223416498256713, 41364203974740, 13413197139192, -1374989293575, -433214741421, 22336994059, 7529151456, -179714295, -71877216, 684738, 373761, -981, -981, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 981*x^25 - 981*x^24 + 373761*x^23 + 684738*x^22 - 71877216*x^21 - 179714295*x^20 + 7529151456*x^19 + 22336994059*x^18 - 433214741421*x^17 - 1374989293575*x^16 + 13413197139192*x^15 + 41364203974740*x^14 - 223416498256713*x^13 - 638856451127076*x^12 + 1919829902996862*x^11 + 5078544955694361*x^10 - 7539868472088462*x^9 - 19243512359549019*x^8 + 10977970866234507*x^7 + 28357598086884837*x^6 - 6529678433587440*x^5 - 14268854946745152*x^4 + 2381897225559600*x^3 + 2269088447893488*x^2 - 427628571773184*x + 13501336803776)
 
gp: K = bnfinit(x^27 - 981*x^25 - 981*x^24 + 373761*x^23 + 684738*x^22 - 71877216*x^21 - 179714295*x^20 + 7529151456*x^19 + 22336994059*x^18 - 433214741421*x^17 - 1374989293575*x^16 + 13413197139192*x^15 + 41364203974740*x^14 - 223416498256713*x^13 - 638856451127076*x^12 + 1919829902996862*x^11 + 5078544955694361*x^10 - 7539868472088462*x^9 - 19243512359549019*x^8 + 10977970866234507*x^7 + 28357598086884837*x^6 - 6529678433587440*x^5 - 14268854946745152*x^4 + 2381897225559600*x^3 + 2269088447893488*x^2 - 427628571773184*x + 13501336803776, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{27} - 981 x^{25} - 981 x^{24} + 373761 x^{23} + 684738 x^{22} - 71877216 x^{21} - 179714295 x^{20} + 7529151456 x^{19} + 22336994059 x^{18} - 433214741421 x^{17} - 1374989293575 x^{16} + 13413197139192 x^{15} + 41364203974740 x^{14} - 223416498256713 x^{13} - 638856451127076 x^{12} + 1919829902996862 x^{11} + 5078544955694361 x^{10} - 7539868472088462 x^{9} - 19243512359549019 x^{8} + 10977970866234507 x^{7} + 28357598086884837 x^{6} - 6529678433587440 x^{5} - 14268854946745152 x^{4} + 2381897225559600 x^{3} + 2269088447893488 x^{2} - 427628571773184 x + 13501336803776 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $27$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[27, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(2904636282635430627257935704503025621208529312293717639293800815805291320812817603089=3^{66}\cdot 109^{26}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $1343.58$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 109$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(2943=3^{3}\cdot 109\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{2943}(1,·)$, $\chi_{2943}(898,·)$, $\chi_{2943}(580,·)$, $\chi_{2943}(1942,·)$, $\chi_{2943}(1111,·)$, $\chi_{2943}(2872,·)$, $\chi_{2943}(1426,·)$, $\chi_{2943}(22,·)$, $\chi_{2943}(343,·)$, $\chi_{2943}(1819,·)$, $\chi_{2943}(2134,·)$, $\chi_{2943}(1759,·)$, $\chi_{2943}(97,·)$, $\chi_{2943}(2011,·)$, $\chi_{2943}(484,·)$, $\chi_{2943}(1381,·)$, $\chi_{2943}(988,·)$, $\chi_{2943}(1522,·)$, $\chi_{2943}(1135,·)$, $\chi_{2943}(2098,·)$, $\chi_{2943}(2803,·)$, $\chi_{2943}(1204,·)$, $\chi_{2943}(2806,·)$, $\chi_{2943}(439,·)$, $\chi_{2943}(952,·)$, $\chi_{2943}(1660,·)$, $\chi_{2943}(829,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $\frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{4} a^{8} - \frac{1}{4} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{4} a^{2}$, $\frac{1}{4} a^{9} - \frac{1}{4} a^{5} - \frac{1}{4} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{4} a^{10} - \frac{1}{4} a^{6} - \frac{1}{4} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{4} a^{11} - \frac{1}{4} a^{7} - \frac{1}{4} a^{5} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{16} a^{12} + \frac{1}{16} a^{10} - \frac{1}{16} a^{9} - \frac{1}{16} a^{8} + \frac{1}{8} a^{7} - \frac{1}{8} a^{6} - \frac{1}{16} a^{5} + \frac{1}{16} a^{4} + \frac{5}{16} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} + \frac{1}{4} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{16} a^{13} + \frac{1}{16} a^{11} - \frac{1}{16} a^{10} - \frac{1}{16} a^{9} - \frac{1}{8} a^{8} - \frac{1}{8} a^{7} - \frac{1}{16} a^{6} + \frac{1}{16} a^{5} + \frac{1}{16} a^{4}$, $\frac{1}{16} a^{14} - \frac{1}{16} a^{11} - \frac{1}{8} a^{10} - \frac{1}{16} a^{9} - \frac{1}{16} a^{8} - \frac{3}{16} a^{7} + \frac{3}{16} a^{6} + \frac{1}{8} a^{5} - \frac{1}{16} a^{4} - \frac{5}{16} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{4} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{16} a^{15} - \frac{1}{8} a^{11} - \frac{1}{8} a^{9} - \frac{3}{16} a^{7} - \frac{1}{8} a^{5} - \frac{3}{16} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{4} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{32} a^{16} - \frac{1}{8} a^{11} + \frac{1}{16} a^{9} + \frac{3}{32} a^{8} + \frac{1}{16} a^{6} - \frac{1}{16} a^{5} + \frac{7}{32} a^{4} + \frac{3}{16} a^{3} + \frac{3}{8} a^{2} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{64} a^{17} - \frac{1}{32} a^{15} - \frac{1}{32} a^{14} + \frac{3}{32} a^{11} - \frac{3}{32} a^{10} - \frac{3}{64} a^{9} + \frac{3}{32} a^{8} - \frac{5}{32} a^{7} - \frac{5}{64} a^{5} + \frac{1}{16} a^{4} - \frac{1}{8} a^{3} + \frac{1}{8} a^{2} + \frac{1}{4} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{64} a^{18} - \frac{1}{32} a^{15} - \frac{1}{32} a^{12} + \frac{1}{32} a^{11} + \frac{5}{64} a^{10} + \frac{1}{32} a^{9} + \frac{1}{16} a^{8} - \frac{1}{64} a^{6} + \frac{1}{8} a^{5} + \frac{7}{32} a^{4} + \frac{7}{16} a^{3} - \frac{3}{8} a^{2} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{64} a^{19} - \frac{1}{32} a^{13} - \frac{1}{32} a^{12} - \frac{3}{64} a^{11} - \frac{1}{32} a^{10} - \frac{1}{16} a^{9} - \frac{3}{32} a^{8} - \frac{9}{64} a^{7} - \frac{3}{16} a^{6} - \frac{1}{32} a^{5} - \frac{5}{32} a^{4} + \frac{1}{4} a^{3} - \frac{3}{8} a^{2} + \frac{1}{4} a$, $\frac{1}{64} a^{20} - \frac{1}{32} a^{14} - \frac{1}{32} a^{13} + \frac{1}{64} a^{12} - \frac{1}{32} a^{11} + \frac{3}{32} a^{9} + \frac{3}{64} a^{8} - \frac{1}{16} a^{7} - \frac{5}{32} a^{6} + \frac{1}{32} a^{5} + \frac{1}{16} a^{4} - \frac{5}{16} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{4} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{128} a^{21} - \frac{1}{128} a^{19} - \frac{1}{128} a^{18} - \frac{1}{64} a^{14} + \frac{3}{128} a^{13} - \frac{1}{64} a^{12} + \frac{1}{128} a^{11} - \frac{1}{128} a^{10} - \frac{7}{128} a^{9} - \frac{7}{64} a^{8} + \frac{23}{128} a^{7} + \frac{23}{128} a^{6} - \frac{7}{64} a^{5} - \frac{3}{32} a^{4} + \frac{1}{8} a^{3} - \frac{3}{8} a^{2}$, $\frac{1}{128} a^{22} - \frac{1}{128} a^{20} - \frac{1}{128} a^{19} - \frac{1}{64} a^{15} + \frac{3}{128} a^{14} - \frac{1}{64} a^{13} + \frac{1}{128} a^{12} - \frac{1}{128} a^{11} - \frac{7}{128} a^{10} - \frac{7}{64} a^{9} - \frac{9}{128} a^{8} + \frac{23}{128} a^{7} - \frac{7}{64} a^{6} - \frac{3}{32} a^{5} - \frac{1}{8} a^{4} + \frac{1}{8} a^{3} - \frac{1}{4} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{5504} a^{23} - \frac{9}{2752} a^{22} - \frac{7}{5504} a^{21} + \frac{15}{5504} a^{20} + \frac{1}{1376} a^{19} + \frac{1}{688} a^{18} + \frac{7}{2752} a^{17} - \frac{19}{2752} a^{16} + \frac{15}{5504} a^{15} - \frac{17}{1376} a^{14} + \frac{63}{5504} a^{13} - \frac{93}{5504} a^{12} + \frac{541}{5504} a^{11} - \frac{25}{1376} a^{10} + \frac{91}{5504} a^{9} + \frac{679}{5504} a^{8} - \frac{71}{2752} a^{7} - \frac{11}{344} a^{6} - \frac{323}{2752} a^{5} + \frac{163}{688} a^{4} + \frac{193}{688} a^{3} + \frac{21}{344} a^{2} - \frac{11}{86} a$, $\frac{1}{88064} a^{24} - \frac{15}{44032} a^{22} - \frac{163}{44032} a^{21} - \frac{113}{88064} a^{20} - \frac{261}{44032} a^{19} + \frac{287}{88064} a^{18} + \frac{161}{22016} a^{17} + \frac{19}{88064} a^{16} - \frac{93}{11008} a^{15} - \frac{5}{512} a^{14} + \frac{671}{44032} a^{13} + \frac{7}{22016} a^{12} - \frac{255}{44032} a^{11} - \frac{1795}{88064} a^{10} + \frac{4663}{44032} a^{9} + \frac{6103}{88064} a^{8} - \frac{5193}{44032} a^{7} - \frac{3083}{88064} a^{6} - \frac{113}{2752} a^{5} + \frac{63}{1376} a^{4} - \frac{571}{1376} a^{3} - \frac{2117}{5504} a^{2} + \frac{189}{1376} a + \frac{5}{32}$, $\frac{1}{101537792} a^{25} - \frac{5}{1180672} a^{24} + \frac{3969}{50768896} a^{23} - \frac{171721}{50768896} a^{22} - \frac{82893}{101537792} a^{21} - \frac{108259}{25384448} a^{20} - \frac{182325}{101537792} a^{19} + \frac{237089}{50768896} a^{18} - \frac{424037}{101537792} a^{17} + \frac{734423}{50768896} a^{16} + \frac{147141}{25384448} a^{15} + \frac{843115}{50768896} a^{14} + \frac{358785}{12692224} a^{13} - \frac{305579}{50768896} a^{12} + \frac{1082689}{101537792} a^{11} - \frac{399789}{12692224} a^{10} + \frac{10650947}{101537792} a^{9} - \frac{667481}{25384448} a^{8} - \frac{8696175}{101537792} a^{7} - \frac{2670715}{50768896} a^{6} + \frac{71515}{3173056} a^{5} - \frac{61893}{793264} a^{4} - \frac{2705541}{6346112} a^{3} - \frac{805499}{3173056} a^{2} - \frac{76167}{1586528} a + \frac{4949}{18448}$, $\frac{1}{6034414434887992167476998410249205472156921002575922917520356019509347233002393944400554101773837140609355954094930546352572752543808065526355594368988073309817048918163373850315892480426262203303348224} a^{26} + \frac{2342554290978739913036079936608017932276279383071223911722752476450014894736008385142751974958279681638606245248952839765325834519794976308016530449211741572666945355395273171528777255207561717}{6034414434887992167476998410249205472156921002575922917520356019509347233002393944400554101773837140609355954094930546352572752543808065526355594368988073309817048918163373850315892480426262203303348224} a^{25} - \frac{19069490361520786517171458627988596089420725306567790254385749857248535277568748314321799605920707653802617346415469308894752114433800867610944156352178761552428628578479302869157395608404245976917}{6034414434887992167476998410249205472156921002575922917520356019509347233002393944400554101773837140609355954094930546352572752543808065526355594368988073309817048918163373850315892480426262203303348224} a^{24} + \frac{83405312182373690180729665525406167275643476806533057959575028833441404927403085157749563688134453608288675520371448700599294251701426017312191780085105086345474335121210110111090203347870176171225}{1508603608721998041869249602562301368039230250643980729380089004877336808250598486100138525443459285152338988523732636588143188135952016381588898592247018327454262229540843462578973120106565550825837056} a^{23} - \frac{8009566187096048888730131971085379615471447851206718427403479124882712174456508542870387519604265736688292790121236483101541688291070448323173121086066346261290687694453928344051909270388440534963117}{6034414434887992167476998410249205472156921002575922917520356019509347233002393944400554101773837140609355954094930546352572752543808065526355594368988073309817048918163373850315892480426262203303348224} a^{22} - \frac{7974493211431738073152212940608277927887370349826030393754728210647809304165531596841944716120047360369795959033432338660840332795065963720719852976329344359981448876721292622188520017049818077415669}{6034414434887992167476998410249205472156921002575922917520356019509347233002393944400554101773837140609355954094930546352572752543808065526355594368988073309817048918163373850315892480426262203303348224} a^{21} - \frac{4910189447808588900996370462908439832512331716842099950719410065554687081495375084118576219815775072586230292087910812728762920872373340178302247930775691484360357813567122068700476686506933247991695}{1508603608721998041869249602562301368039230250643980729380089004877336808250598486100138525443459285152338988523732636588143188135952016381588898592247018327454262229540843462578973120106565550825837056} a^{20} - \frac{1029278292484141121437382569684305458425533270539805000956201667706348554697525875857561564618097967709711036575578694844826406906959169999388856724749437501650048651728711269765746371406651285531979}{6034414434887992167476998410249205472156921002575922917520356019509347233002393944400554101773837140609355954094930546352572752543808065526355594368988073309817048918163373850315892480426262203303348224} a^{19} - \frac{17077468173735438270264862454168630249320355044054256243482860257422974621427274790770483077411428267590803641480320059144289664429196457329148802887996680037259975651973234329680054076822951429095049}{3017207217443996083738499205124602736078460501287961458760178009754673616501196972200277050886918570304677977047465273176286376271904032763177797184494036654908524459081686925157946240213131101651674112} a^{18} + \frac{29338119438819417230852085900966796485500263006927873273360068200849935526012003174493722914431072726949994905369736476685266588994897678841031879855243023911110419585470019930904304460123957412106059}{6034414434887992167476998410249205472156921002575922917520356019509347233002393944400554101773837140609355954094930546352572752543808065526355594368988073309817048918163373850315892480426262203303348224} a^{17} - \frac{1090523551883832197689596964898924286112623942445458374101764943695640932496548376188412948541956725577935191517569349956917579923308753726604213964940711624700822417792974582646406569939471902581817}{6034414434887992167476998410249205472156921002575922917520356019509347233002393944400554101773837140609355954094930546352572752543808065526355594368988073309817048918163373850315892480426262203303348224} a^{16} + \frac{20646741847182852093107013336544663095296935205414845694506168759908930675882595072928772456250065520121588801249576901210778586700781181448366273458621155149493208294241294141746162295075364086051557}{3017207217443996083738499205124602736078460501287961458760178009754673616501196972200277050886918570304677977047465273176286376271904032763177797184494036654908524459081686925157946240213131101651674112} a^{15} - \frac{27184452812136847581857441700520996354004935759412766074823926552070186233681688490263039508024833754719475724851569441979389947385075301597199415617244331350338511419920775611303898822100286341631069}{3017207217443996083738499205124602736078460501287961458760178009754673616501196972200277050886918570304677977047465273176286376271904032763177797184494036654908524459081686925157946240213131101651674112} a^{14} + \frac{5979146758711350329133324099506378407649259617932475359615653964323371386811097762726569567956551679043016408499993957795004498338273403814346236262215200193935955925628788712506970287036305968183307}{1508603608721998041869249602562301368039230250643980729380089004877336808250598486100138525443459285152338988523732636588143188135952016381588898592247018327454262229540843462578973120106565550825837056} a^{13} + \frac{50608419318710346404058935835533029375696332216567701914952627958594347831445927860836504551988337678363583578803507770398644051041579150734172152404758357765070933247719532696307260885328273266512979}{6034414434887992167476998410249205472156921002575922917520356019509347233002393944400554101773837140609355954094930546352572752543808065526355594368988073309817048918163373850315892480426262203303348224} a^{12} - \frac{179030463554853095975987126591862785637993450246490307110959553106299498477731804597103387497787740820365254389735355619046450495230896355735655633940110889661538378570407669402269419948345338069257599}{6034414434887992167476998410249205472156921002575922917520356019509347233002393944400554101773837140609355954094930546352572752543808065526355594368988073309817048918163373850315892480426262203303348224} a^{11} + \frac{261896154317797720039148921448028060969281243587503995333948555356132599835823016230528522895429749682522485303364348236697889728043225087660046961768797552011196247463480130736908862678990547739553889}{3017207217443996083738499205124602736078460501287961458760178009754673616501196972200277050886918570304677977047465273176286376271904032763177797184494036654908524459081686925157946240213131101651674112} a^{10} + \frac{162900256286809867741220955265428717031210219392393146366015181928560163502907156074149732013844257786583920824839630561904290727572432003219891196745492403407676621031947018078957398900987953944474879}{6034414434887992167476998410249205472156921002575922917520356019509347233002393944400554101773837140609355954094930546352572752543808065526355594368988073309817048918163373850315892480426262203303348224} a^{9} + \frac{222063757924182494271309474319252320751119019361359086491514223791328713509327516914978805999929074264423069895492726981489349226979123094869254427540601497936366184411273536630050439984782447437947853}{3017207217443996083738499205124602736078460501287961458760178009754673616501196972200277050886918570304677977047465273176286376271904032763177797184494036654908524459081686925157946240213131101651674112} a^{8} + \frac{72448042637390067202543070755197401294390972470322439254870620313780114173635461325688847234377063538735725708068462956228714076577771099004875771142156553441141613090871390205769881252342862730775191}{6034414434887992167476998410249205472156921002575922917520356019509347233002393944400554101773837140609355954094930546352572752543808065526355594368988073309817048918163373850315892480426262203303348224} a^{7} + \frac{111508503278516280535457828267344051074637957697675324765881391773230329474390104316460963193561646213634322790424600229666629185966281561373715443031041028384257724520901684159926685699133198921670285}{6034414434887992167476998410249205472156921002575922917520356019509347233002393944400554101773837140609355954094930546352572752543808065526355594368988073309817048918163373850315892480426262203303348224} a^{6} - \frac{9459803794727962545811421768551552289103809856568281937884097074199628485129507116445736972176056245367505157247107570660819476026554583709775363443750814053682607166386621899491708760635816720110151}{188575451090249755233656200320287671004903781330497591172511125609667101031324810762517315680432410644042373565466579573517898516994002047698612324030877290931782778692605432822371640013320693853229632} a^{5} - \frac{78423969838996404007644993062518779556726440291064341847708952761086404991814387718561136874198581280405204111856375911555608261660730668085146734329510357252056786361682390059767984718285262987677073}{377150902180499510467312400640575342009807562660995182345022251219334202062649621525034631360864821288084747130933159147035797033988004095397224648061754581863565557385210865644743280026641387706459264} a^{4} - \frac{137246634956916688055840001666027231264069910424435817692895637668662468505747427802647601932743484624801982714742296385699566567397025695795435975455669925842082834909698174564333926484714036865517889}{377150902180499510467312400640575342009807562660995182345022251219334202062649621525034631360864821288084747130933159147035797033988004095397224648061754581863565557385210865644743280026641387706459264} a^{3} - \frac{85834097852473000531021741036262714267326634558658165191866889588987841184303692076116692175394225654532037724334909499855195990562202109230745399278157990718874137159706863654046829063123137529765517}{377150902180499510467312400640575342009807562660995182345022251219334202062649621525034631360864821288084747130933159147035797033988004095397224648061754581863565557385210865644743280026641387706459264} a^{2} + \frac{597452250053353459861548730838646862546797495691214600022325263685310928866109284444290059698806021992910554765004059529953555230170687754495436971358378001313341347552122364644973810711846382152667}{5892982846570304851051756260008989718903243166578049724140972675302096907228900336328666115013512832626324173920830611672434328656062563990581635125964915341618211834143919775699113750416271682913426} a - \frac{929599169692990408995016540993283157134743165829348440982261701120342330881683908970795892913437946951696131875563324457916165294693602922742304515819871863810331230354523966456792444669929021475395}{2192737803374997153879723259538228732615160248029041757819896809414733732922381520494387391632935007488864808900774181087417424616209326136030375860824154545718404403402388753748507442015356905270112}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $26$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{27}$ (as 27T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 27
The 27 conjugacy class representatives for $C_{27}$
Character table for $C_{27}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.11881.1, 9.9.10589294828624773798161.3

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.3.0.1}{3} }^{9}$ R $27$ $27$ $27$ $27$ ${\href{/LocalNumberField/17.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/19.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/23.3.0.1}{3} }^{9}$ $27$ $27$ $27$ ${\href{/LocalNumberField/41.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/43.1.0.1}{1} }^{27}$ $27$ $27$ $27$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
109Data not computed