↑

Properties

Label 27.27.2904636282...3089.1
Degree $27$
Signature $[27, 0]$
Discriminant $3^{66}\cdot 109^{26}$
Root discriminant $1343.58$
Ramified primes $3, 109$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{27}$ (as 27T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-16138943926629514561, -67082385110470102638, -95324677706378560338, -38812232925049188798, 27048463175169695061, 26342742980579439510, 1681015608216830466, -4405618310583782619, -1037038458999595329, 316982487984654954, 124080882210161235, -8959346343291105, -7408499319197349, -132413809696623, 255163612424409, 17240937970977, -5252980267026, -538247668545, 63853614493, 8593793478, -436152600, -76836171, 1502892, 382590, -1962, -981, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 981*x^25 - 1962*x^24 + 382590*x^23 + 1502892*x^22 - 76836171*x^21 - 436152600*x^20 + 8593793478*x^19 + 63853614493*x^18 - 538247668545*x^17 - 5252980267026*x^16 + 17240937970977*x^15 + 255163612424409*x^14 - 132413809696623*x^13 - 7408499319197349*x^12 - 8959346343291105*x^11 + 124080882210161235*x^10 + 316982487984654954*x^9 - 1037038458999595329*x^8 - 4405618310583782619*x^7 + 1681015608216830466*x^6 + 26342742980579439510*x^5 + 27048463175169695061*x^4 - 38812232925049188798*x^3 - 95324677706378560338*x^2 - 67082385110470102638*x - 16138943926629514561)
 
gp: K = bnfinit(x^27 - 981*x^25 - 1962*x^24 + 382590*x^23 + 1502892*x^22 - 76836171*x^21 - 436152600*x^20 + 8593793478*x^19 + 63853614493*x^18 - 538247668545*x^17 - 5252980267026*x^16 + 17240937970977*x^15 + 255163612424409*x^14 - 132413809696623*x^13 - 7408499319197349*x^12 - 8959346343291105*x^11 + 124080882210161235*x^10 + 316982487984654954*x^9 - 1037038458999595329*x^8 - 4405618310583782619*x^7 + 1681015608216830466*x^6 + 26342742980579439510*x^5 + 27048463175169695061*x^4 - 38812232925049188798*x^3 - 95324677706378560338*x^2 - 67082385110470102638*x - 16138943926629514561, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{27} - 981 x^{25} - 1962 x^{24} + 382590 x^{23} + 1502892 x^{22} - 76836171 x^{21} - 436152600 x^{20} + 8593793478 x^{19} + 63853614493 x^{18} - 538247668545 x^{17} - 5252980267026 x^{16} + 17240937970977 x^{15} + 255163612424409 x^{14} - 132413809696623 x^{13} - 7408499319197349 x^{12} - 8959346343291105 x^{11} + 124080882210161235 x^{10} + 316982487984654954 x^{9} - 1037038458999595329 x^{8} - 4405618310583782619 x^{7} + 1681015608216830466 x^{6} + 26342742980579439510 x^{5} + 27048463175169695061 x^{4} - 38812232925049188798 x^{3} - 95324677706378560338 x^{2} - 67082385110470102638 x - 16138943926629514561 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $27$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[27, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(2904636282635430627257935704503025621208529312293717639293800815805291320812817603089=3^{66}\cdot 109^{26}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $1343.58$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 109$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(2943=3^{3}\cdot 109\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{2943}(1,·)$, $\chi_{2943}(1987,·)$, $\chi_{2943}(1732,·)$, $\chi_{2943}(1093,·)$, $\chi_{2943}(1606,·)$, $\chi_{2943}(2305,·)$, $\chi_{2943}(1117,·)$, $\chi_{2943}(457,·)$, $\chi_{2943}(907,·)$, $\chi_{2943}(910,·)$, $\chi_{2943}(1615,·)$, $\chi_{2943}(1168,·)$, $\chi_{2943}(1105,·)$, $\chi_{2943}(2134,·)$, $\chi_{2943}(2839,·)$, $\chi_{2943}(1135,·)$, $\chi_{2943}(157,·)$, $\chi_{2943}(1552,·)$, $\chi_{2943}(2338,·)$, $\chi_{2943}(727,·)$, $\chi_{2943}(2791,·)$, $\chi_{2943}(2503,·)$, $\chi_{2943}(2734,·)$, $\chi_{2943}(2479,·)$, $\chi_{2943}(2800,·)$, $\chi_{2943}(1330,·)$, $\chi_{2943}(2623,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $\frac{1}{407461} a^{25} + \frac{60231}{407461} a^{24} - \frac{14752}{407461} a^{23} - \frac{87388}{407461} a^{22} - \frac{35313}{407461} a^{21} + \frac{163806}{407461} a^{20} + \frac{30780}{407461} a^{19} - \frac{186568}{407461} a^{18} + \frac{129204}{407461} a^{17} + \frac{114112}{407461} a^{16} - \frac{41256}{407461} a^{15} - \frac{103162}{407461} a^{14} - \frac{66819}{407461} a^{13} - \frac{127330}{407461} a^{12} + \frac{186345}{407461} a^{11} + \frac{120129}{407461} a^{10} - \frac{42639}{407461} a^{9} + \frac{81439}{407461} a^{8} + \frac{55932}{407461} a^{7} - \frac{26894}{407461} a^{6} - \frac{67337}{407461} a^{5} - \frac{126359}{407461} a^{4} - \frac{153547}{407461} a^{3} - \frac{8925}{407461} a^{2} + \frac{190547}{407461} a + \frac{143941}{407461}$, $\frac{1}{3754167978056431049458817435730728569174450069757028988687311868677024506380002322642131679103381181667319488291875858491615964194576022506715321284801479333726641390761184962119614394210984839216843258300486887631037467748448317714029666289} a^{26} - \frac{4414271618687756941210820724487208740020916887395476319790304525144175812356483330295292874823618876615221627847532252731450572711130814707474454301438494019547655750742680455143298803143195554968894948272504124513692845366766623607171}{3754167978056431049458817435730728569174450069757028988687311868677024506380002322642131679103381181667319488291875858491615964194576022506715321284801479333726641390761184962119614394210984839216843258300486887631037467748448317714029666289} a^{25} + \frac{436797569846156208100985710803500657225826388217157822706838841266407339643622741807659988491606680506993902667028432367488784665718979707069298950342778683736038385014402828781767863359149505944603290711641399423765147408778501055562396973}{3754167978056431049458817435730728569174450069757028988687311868677024506380002322642131679103381181667319488291875858491615964194576022506715321284801479333726641390761184962119614394210984839216843258300486887631037467748448317714029666289} a^{24} + \frac{1503580947312931727847177298395534695957492813544381000509818847621930881716429631554588123283392815146997240349604877739370138374076007395057494987529290512051527314280805796720682330523231885825999512959602054412965650426444706058207212470}{3754167978056431049458817435730728569174450069757028988687311868677024506380002322642131679103381181667319488291875858491615964194576022506715321284801479333726641390761184962119614394210984839216843258300486887631037467748448317714029666289} a^{23} + \frac{758587639876647806479769341648951762312140149746109651480067288071438843079080766440804762402930973452593346625759322130057570083850026266238871101059244625925239162818622638677202568997029194331751884976790730435865441104053668897543311535}{3754167978056431049458817435730728569174450069757028988687311868677024506380002322642131679103381181667319488291875858491615964194576022506715321284801479333726641390761184962119614394210984839216843258300486887631037467748448317714029666289} a^{22} - \frac{1851892458476508770542550788405304940752910758262560415444413985693127360853228652359221219339818643386443666451975027515811912115935600644067921719183892934840103726330453654675879236502339005752267637718409345029622237679213783083337982023}{3754167978056431049458817435730728569174450069757028988687311868677024506380002322642131679103381181667319488291875858491615964194576022506715321284801479333726641390761184962119614394210984839216843258300486887631037467748448317714029666289} a^{21} - \frac{1868011709166262309072411190538989208546096545326269918605179070284219945883772586799241712395525019919474806125106472375396643127070350779948933198875050123214724740078113791273063059401438705116471645474829550465310753366806879406461094565}{3754167978056431049458817435730728569174450069757028988687311868677024506380002322642131679103381181667319488291875858491615964194576022506715321284801479333726641390761184962119614394210984839216843258300486887631037467748448317714029666289} a^{20} + \frac{362808382172952701559545819381521693705452283118723472885445849776031934023531328266252260457057591489072084936892777989162616028304322040269998459089860428297216889565583317484892619255717821455839887054706171882591507907465360701505242906}{3754167978056431049458817435730728569174450069757028988687311868677024506380002322642131679103381181667319488291875858491615964194576022506715321284801479333726641390761184962119614394210984839216843258300486887631037467748448317714029666289} a^{19} + \frac{1101559972867007680525795568596399483062008433917804009955483157986475149405210262097825119598503445543523867393873070651115086061532322192687276671173840579815159785601696894294853176496749824659696885256529758483701793359012080838464474828}{3754167978056431049458817435730728569174450069757028988687311868677024506380002322642131679103381181667319488291875858491615964194576022506715321284801479333726641390761184962119614394210984839216843258300486887631037467748448317714029666289} a^{18} + \frac{192516896730693419721134677140889423654632715337711638898859267387402840841136251223935970563806718455718622797172498111712271983817763448775189515392447145869350893647902852661441196280008575503220311470163092190753553100906606709070295605}{3754167978056431049458817435730728569174450069757028988687311868677024506380002322642131679103381181667319488291875858491615964194576022506715321284801479333726641390761184962119614394210984839216843258300486887631037467748448317714029666289} a^{17} + \frac{84802814278804042470260448999286858381383809933720887282452277220654444552789167792206946252609901095585222856079129560328850631789140059565486253333950341631483761731952342701149328888345724279428307597257976091018389366503074222449124427}{3754167978056431049458817435730728569174450069757028988687311868677024506380002322642131679103381181667319488291875858491615964194576022506715321284801479333726641390761184962119614394210984839216843258300486887631037467748448317714029666289} a^{16} - \frac{794706268507031920449595083516927050314384746835048347817710448385289949702296163592199959995790586291777753423326355848085467526466561578959646282522127627993527514216376371594786258448136156742176165597143224975185052799378691087063888587}{3754167978056431049458817435730728569174450069757028988687311868677024506380002322642131679103381181667319488291875858491615964194576022506715321284801479333726641390761184962119614394210984839216843258300486887631037467748448317714029666289} a^{15} - \frac{1348460866591229710618519042115173501903948291081989668568742059188264819850022819285425710873943029652407677331495328855704436136454519341135454786369663336201535808895855282694693649778972634066090973306757240784714347647149002250933141877}{3754167978056431049458817435730728569174450069757028988687311868677024506380002322642131679103381181667319488291875858491615964194576022506715321284801479333726641390761184962119614394210984839216843258300486887631037467748448317714029666289} a^{14} - \frac{1492247879807153369627950107345533992426210898755639225915216529668441647681983588583012821549802729168251916571662756838048639870132555983345892756245716715977392663042983055679497801602172301214277642819674684217058745361073977692483238744}{3754167978056431049458817435730728569174450069757028988687311868677024506380002322642131679103381181667319488291875858491615964194576022506715321284801479333726641390761184962119614394210984839216843258300486887631037467748448317714029666289} a^{13} - \frac{522515824813429533837892149283371569602694306879972109940397516793796624338594212786447704604692436785855637072419976213000263207862468053988991205039818201395987944375275945847479533496496291996926993827298819505287675528592132923131946738}{3754167978056431049458817435730728569174450069757028988687311868677024506380002322642131679103381181667319488291875858491615964194576022506715321284801479333726641390761184962119614394210984839216843258300486887631037467748448317714029666289} a^{12} - \frac{330003001113271148733513238615636197643762732246006025691547520153166978510224034739997197337893487425785676855366912131100697068630204175008941724290233966405437443952524449158480114596094956536346554086727036847168291942344241922363303897}{3754167978056431049458817435730728569174450069757028988687311868677024506380002322642131679103381181667319488291875858491615964194576022506715321284801479333726641390761184962119614394210984839216843258300486887631037467748448317714029666289} a^{11} - \frac{1357269624056731605802190158275967512574191974086212556458017633423580280519242760296704803995547120692834435663111208076543606422059210331821776313725943118305293869503783873962053434930826513994601258617069409771236918977774538958296597867}{3754167978056431049458817435730728569174450069757028988687311868677024506380002322642131679103381181667319488291875858491615964194576022506715321284801479333726641390761184962119614394210984839216843258300486887631037467748448317714029666289} a^{10} - \frac{1505174270813733504967010124431376083505862431652365503543940986278322032716940023920889856197326890784607649513271623027229716303392532472851285428127817124065464687082941670238795553606657893974096438479980329167016113908560560289743431934}{3754167978056431049458817435730728569174450069757028988687311868677024506380002322642131679103381181667319488291875858491615964194576022506715321284801479333726641390761184962119614394210984839216843258300486887631037467748448317714029666289} a^{9} + \frac{1647667835496186837384164071266521046470811616235124937387878809430025684031687840989242405358437032194286588754707747898785157670394612145590991768288256916026436760635820536321274332543899988422175018814078526951369244393306150402354748778}{3754167978056431049458817435730728569174450069757028988687311868677024506380002322642131679103381181667319488291875858491615964194576022506715321284801479333726641390761184962119614394210984839216843258300486887631037467748448317714029666289} a^{8} + \frac{1065137218504600372483674432101608127624240920862915887507241690475376619568936834560487355540794443430761906949909909005157584718511908779865503257060845634345461528668737622735155830063580514223796622921606896583376596629238785420264998963}{3754167978056431049458817435730728569174450069757028988687311868677024506380002322642131679103381181667319488291875858491615964194576022506715321284801479333726641390761184962119614394210984839216843258300486887631037467748448317714029666289} a^{7} + \frac{876008802543906952996412834874823157395742960140102265118371634576205172768719146921258101879988214220460158427896741356321338238715770877287506873367103847740446612937325639583708884359623083514553146467373950249212132613436295326270497438}{3754167978056431049458817435730728569174450069757028988687311868677024506380002322642131679103381181667319488291875858491615964194576022506715321284801479333726641390761184962119614394210984839216843258300486887631037467748448317714029666289} a^{6} + \frac{1515042231570131292181918894806161251809346249345209221149253609418501013507754085279852521782385581905589996541106511961014653013138295781275934470616751274819760363624948907353883010585743894179201864706748409426373850155247358574553582219}{3754167978056431049458817435730728569174450069757028988687311868677024506380002322642131679103381181667319488291875858491615964194576022506715321284801479333726641390761184962119614394210984839216843258300486887631037467748448317714029666289} a^{5} - \frac{1389567622999055379804871765886597405523358708009697764304733484959026218488255536976873937166534359118752840407209023888385206122216969697412196602082324720672186386856965155949629051014363579049723545041457563300082578096922092910993029764}{3754167978056431049458817435730728569174450069757028988687311868677024506380002322642131679103381181667319488291875858491615964194576022506715321284801479333726641390761184962119614394210984839216843258300486887631037467748448317714029666289} a^{4} - \frac{2713090307602382262913071671618975081953040919888629753588253185550071924457148556469078697032873257640903363501946286307562133769447550404907926360004576795866130791012365721521929772770026968518736091589549679047431475271304134341825605}{3754167978056431049458817435730728569174450069757028988687311868677024506380002322642131679103381181667319488291875858491615964194576022506715321284801479333726641390761184962119614394210984839216843258300486887631037467748448317714029666289} a^{3} + \frac{1564342962307970055767554343920073900481860689617893205241652366993430468934551648819253304201383473397312554480312274104869893763885890129365415838636128692251091334458174945871150497347309791110554948942402527292669629814619352586728553226}{3754167978056431049458817435730728569174450069757028988687311868677024506380002322642131679103381181667319488291875858491615964194576022506715321284801479333726641390761184962119614394210984839216843258300486887631037467748448317714029666289} a^{2} - \frac{1805678598941887938092752345179330558017054451071344841649396872018885131759755990379207543465992262709333630458479730521679344043612676121182658242686460562982502996065024749962536162878139087834357381651772215194221905473030862004439759844}{3754167978056431049458817435730728569174450069757028988687311868677024506380002322642131679103381181667319488291875858491615964194576022506715321284801479333726641390761184962119614394210984839216843258300486887631037467748448317714029666289} a + \frac{908492789527524767591849858842216527490319150582076740481548238015261977534557697211234217733207028262738041021608396026337080572019669412712024736975090673884507095236270956436157617360955251279066924916336172183215533927299892508721624968}{3754167978056431049458817435730728569174450069757028988687311868677024506380002322642131679103381181667319488291875858491615964194576022506715321284801479333726641390761184962119614394210984839216843258300486887631037467748448317714029666289}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $26$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{27}$ (as 27T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 27
The 27 conjugacy class representatives for $C_{27}$
Character table for $C_{27}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.11881.1, 9.9.10589294828624773798161.4

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.9.0.1}{9} }^{3}$ R $27$ $27$ $27$ $27$ ${\href{/LocalNumberField/17.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/19.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/23.9.0.1}{9} }^{3}$ $27$ $27$ $27$ ${\href{/LocalNumberField/41.9.0.1}{9} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/43.9.0.1}{9} }^{3}$ $27$ $27$ $27$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
109Data not computed