Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 9*x^26 - 36*x^25 + 441*x^24 + 378*x^23 - 8235*x^22 - 1647*x^21 + 81891*x^20 + 8019*x^19 - 489621*x^18 - 87885*x^17 + 1845909*x^16 + 591453*x^15 - 4427514*x^14 - 2082537*x^13 + 6631281*x^12 + 4052430*x^11 - 5937300*x^10 - 4424841*x^9 + 2963061*x^8 + 2683422*x^7 - 721620*x^6 - 883440*x^5 + 42336*x^4 + 145242*x^3 + 12150*x^2 - 9099*x - 1509)
gp: K = bnfinit(y^27 - 9*y^26 - 36*y^25 + 441*y^24 + 378*y^23 - 8235*y^22 - 1647*y^21 + 81891*y^20 + 8019*y^19 - 489621*y^18 - 87885*y^17 + 1845909*y^16 + 591453*y^15 - 4427514*y^14 - 2082537*y^13 + 6631281*y^12 + 4052430*y^11 - 5937300*y^10 - 4424841*y^9 + 2963061*y^8 + 2683422*y^7 - 721620*y^6 - 883440*y^5 + 42336*y^4 + 145242*y^3 + 12150*y^2 - 9099*y - 1509, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^27 - 9*x^26 - 36*x^25 + 441*x^24 + 378*x^23 - 8235*x^22 - 1647*x^21 + 81891*x^20 + 8019*x^19 - 489621*x^18 - 87885*x^17 + 1845909*x^16 + 591453*x^15 - 4427514*x^14 - 2082537*x^13 + 6631281*x^12 + 4052430*x^11 - 5937300*x^10 - 4424841*x^9 + 2963061*x^8 + 2683422*x^7 - 721620*x^6 - 883440*x^5 + 42336*x^4 + 145242*x^3 + 12150*x^2 - 9099*x - 1509);
oscar: Qx, x = polynomial_ring(QQ); K, a = number_field(x^27 - 9*x^26 - 36*x^25 + 441*x^24 + 378*x^23 - 8235*x^22 - 1647*x^21 + 81891*x^20 + 8019*x^19 - 489621*x^18 - 87885*x^17 + 1845909*x^16 + 591453*x^15 - 4427514*x^14 - 2082537*x^13 + 6631281*x^12 + 4052430*x^11 - 5937300*x^10 - 4424841*x^9 + 2963061*x^8 + 2683422*x^7 - 721620*x^6 - 883440*x^5 + 42336*x^4 + 145242*x^3 + 12150*x^2 - 9099*x - 1509)
\( x^{27} - 9 x^{26} - 36 x^{25} + 441 x^{24} + 378 x^{23} - 8235 x^{22} - 1647 x^{21} + 81891 x^{20} + \cdots - 1509 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $27$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[27, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(278924508041662122046672329971307261712894173849\)
\(\medspace = 3^{78}\cdot 19^{8}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(57.18\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | not computed | ||
| Ramified primes: |
\(3\), \(19\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $9$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $\frac{1}{13\!\cdots\!19}a^{26}-\frac{33\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!19}a^{25}-\frac{62\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{25\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{43\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!19}a^{22}-\frac{47\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!19}a^{21}+\frac{33\!\cdots\!14}{13\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{46\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!19}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!19}a^{18}-\frac{48\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!19}a^{16}-\frac{37\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!19}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!19}a^{14}-\frac{98\!\cdots\!77}{36\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{21\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!19}a^{11}+\frac{48\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{33\!\cdots\!14}{13\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{57\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{32\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!19}a^{6}+\frac{39\!\cdots\!72}{13\!\cdots\!19}a^{5}-\frac{55\!\cdots\!77}{36\!\cdots\!87}a^{4}-\frac{52\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{93\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!19}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!19}a-\frac{57\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!19}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $26$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{53\!\cdots\!50}{42\!\cdots\!51}a^{26}+\frac{53\!\cdots\!25}{42\!\cdots\!51}a^{25}+\frac{13\!\cdots\!52}{42\!\cdots\!51}a^{24}-\frac{25\!\cdots\!12}{42\!\cdots\!51}a^{23}+\frac{51\!\cdots\!26}{42\!\cdots\!51}a^{22}+\frac{44\!\cdots\!99}{42\!\cdots\!51}a^{21}-\frac{37\!\cdots\!34}{42\!\cdots\!51}a^{20}-\frac{42\!\cdots\!55}{42\!\cdots\!51}a^{19}+\frac{40\!\cdots\!80}{42\!\cdots\!51}a^{18}+\frac{24\!\cdots\!78}{42\!\cdots\!51}a^{17}-\frac{21\!\cdots\!44}{42\!\cdots\!51}a^{16}-\frac{92\!\cdots\!00}{42\!\cdots\!51}a^{15}+\frac{63\!\cdots\!98}{42\!\cdots\!51}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!67}{42\!\cdots\!51}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!34}{42\!\cdots\!51}a^{12}-\frac{37\!\cdots\!37}{42\!\cdots\!51}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!08}{42\!\cdots\!51}a^{10}+\frac{38\!\cdots\!86}{42\!\cdots\!51}a^{9}-\frac{50\!\cdots\!82}{42\!\cdots\!51}a^{8}-\frac{24\!\cdots\!68}{42\!\cdots\!51}a^{7}+\frac{93\!\cdots\!81}{42\!\cdots\!51}a^{6}+\frac{85\!\cdots\!65}{42\!\cdots\!51}a^{5}+\frac{75\!\cdots\!68}{42\!\cdots\!51}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!73}{42\!\cdots\!51}a^{3}-\frac{23\!\cdots\!75}{42\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!45}{42\!\cdots\!51}a+\frac{20\!\cdots\!18}{42\!\cdots\!51}$, $\frac{15\!\cdots\!16}{42\!\cdots\!51}a^{26}+\frac{46\!\cdots\!51}{42\!\cdots\!51}a^{25}-\frac{59\!\cdots\!05}{42\!\cdots\!51}a^{24}-\frac{14\!\cdots\!76}{42\!\cdots\!51}a^{23}+\frac{26\!\cdots\!51}{42\!\cdots\!51}a^{22}+\frac{99\!\cdots\!17}{42\!\cdots\!51}a^{21}-\frac{48\!\cdots\!16}{42\!\cdots\!51}a^{20}+\frac{22\!\cdots\!46}{42\!\cdots\!51}a^{19}+\frac{47\!\cdots\!30}{42\!\cdots\!51}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!06}{42\!\cdots\!51}a^{17}-\frac{27\!\cdots\!47}{42\!\cdots\!51}a^{16}-\frac{29\!\cdots\!26}{42\!\cdots\!51}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!85}{42\!\cdots\!51}a^{14}+\frac{28\!\cdots\!15}{42\!\cdots\!51}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!14}{42\!\cdots\!51}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!92}{42\!\cdots\!51}a^{11}+\frac{30\!\cdots\!07}{42\!\cdots\!51}a^{10}+\frac{19\!\cdots\!83}{42\!\cdots\!51}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!45}{42\!\cdots\!51}a^{8}-\frac{18\!\cdots\!58}{42\!\cdots\!51}a^{7}+\frac{82\!\cdots\!61}{42\!\cdots\!51}a^{6}+\frac{83\!\cdots\!44}{42\!\cdots\!51}a^{5}-\frac{88\!\cdots\!58}{42\!\cdots\!51}a^{4}-\frac{17\!\cdots\!17}{42\!\cdots\!51}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!84}{42\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!22}{42\!\cdots\!51}a+\frac{21\!\cdots\!79}{42\!\cdots\!51}$, $\frac{72\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!19}a^{26}-\frac{66\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!19}a^{25}-\frac{24\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{32\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!19}a^{23}+\frac{18\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!19}a^{22}-\frac{58\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!19}a^{21}+\frac{45\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!19}a^{20}+\frac{57\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!19}a^{19}-\frac{99\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!19}a^{18}-\frac{33\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{29\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!19}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!19}a^{15}+\frac{69\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!19}a^{14}-\frac{75\!\cdots\!80}{36\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{57\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!19}a^{12}+\frac{40\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!19}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{33\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!19}a^{7}+\frac{72\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{36\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!19}a^{5}-\frac{48\!\cdots\!55}{36\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{38\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!19}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!19}a-\frac{72\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!19}$, $\frac{16\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{15\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!19}a^{25}+\frac{46\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!19}a^{24}-\frac{74\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{81\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{67\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{77\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{73\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!19}a^{17}-\frac{37\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!19}a^{16}-\frac{27\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!19}a^{15}+\frac{96\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!10}{36\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!36}{13\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!19}a^{11}+\frac{42\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{95\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{60\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!19}a^{8}-\frac{54\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{69\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!19}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{78\!\cdots\!15}{36\!\cdots\!87}a^{4}-\frac{28\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{54\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!19}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!19}a+\frac{37\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!19}$, $\frac{31\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{31\!\cdots\!90}{13\!\cdots\!19}a^{25}+\frac{83\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!19}a^{24}-\frac{14\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!19}a^{23}+\frac{26\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{26\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{21\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{25\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{23\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!19}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!19}a^{16}-\frac{54\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!19}a^{15}+\frac{35\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{36\!\cdots\!34}{36\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{62\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{21\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!19}a^{11}+\frac{60\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!19}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{75\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!19}a^{6}+\frac{48\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!23}{36\!\cdots\!87}a^{4}-\frac{85\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!19}a^{2}+\frac{56\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!19}a+\frac{11\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!19}$, $\frac{73\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{50\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!19}a^{25}+\frac{40\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!19}a^{24}-\frac{26\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{95\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{54\!\cdots\!72}{13\!\cdots\!19}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{55\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!19}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{32\!\cdots\!14}{13\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{77\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!19}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{29\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{51\!\cdots\!93}{36\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{70\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{88\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{79\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{36\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{30\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!21}{36\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{45\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!19}a^{2}-\frac{35\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!19}a-\frac{56\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!19}$, $\frac{24\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!19}a^{26}-\frac{23\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!19}a^{25}-\frac{78\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!19}a^{23}+\frac{40\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!19}a^{22}-\frac{20\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!19}a^{21}+\frac{53\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!19}a^{20}+\frac{19\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!19}a^{19}-\frac{69\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!19}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{29\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!19}a^{16}+\frac{41\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{45\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!19}a^{14}-\frac{26\!\cdots\!99}{36\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{43\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!19}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!19}a^{11}+\frac{24\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{32\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{66\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!19}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!19}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!14}{36\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{69\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!19}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!88}{13\!\cdots\!19}a-\frac{35\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!19}$, $\frac{50\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!19}a^{26}-\frac{47\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!19}a^{25}-\frac{15\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{22\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!19}a^{23}+\frac{52\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!19}a^{22}-\frac{41\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!19}a^{21}+\frac{16\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!19}a^{20}+\frac{39\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!19}a^{19}-\frac{19\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!19}a^{18}-\frac{23\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{91\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!19}a^{16}+\frac{85\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{20\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!19}a^{14}-\frac{54\!\cdots\!81}{36\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!14}{13\!\cdots\!19}a^{12}+\frac{30\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!19}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{28\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{39\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!19}a^{7}+\frac{29\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{47\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!19}a^{5}-\frac{27\!\cdots\!13}{36\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{74\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!19}a^{2}-\frac{44\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!19}a-\frac{10\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!19}$, $\frac{23\!\cdots\!72}{13\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{18\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!19}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!19}a^{24}-\frac{93\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{23\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{18\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!19}a^{21}+\frac{30\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{18\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!19}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!19}a^{16}-\frac{37\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{67\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!86}{36\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{65\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{97\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{19\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{61\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{77\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{39\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{32\!\cdots\!36}{36\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{94\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{25\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!19}a^{2}-\frac{73\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!19}a-\frac{10\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!19}$, $\frac{95\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{89\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!19}a^{25}+\frac{30\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!19}a^{24}-\frac{43\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{19\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{78\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{75\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{43\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!19}a^{17}-\frac{82\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!19}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!19}a^{15}+\frac{66\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!13}{36\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{39\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{54\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{46\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!19}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{70\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!19}a^{6}+\frac{59\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{45\!\cdots\!60}{36\!\cdots\!87}a^{4}-\frac{74\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!19}a^{2}+\frac{32\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!19}a+\frac{69\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!19}$, $\frac{26\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{22\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!19}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!19}a^{24}-\frac{11\!\cdots\!36}{13\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{20\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!19}a^{21}+\frac{15\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!19}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{86\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!19}a^{16}-\frac{42\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{37\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{24\!\cdots\!88}{36\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{50\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{95\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{54\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!72}{13\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{24\!\cdots\!42}{36\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{47\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!19}a^{2}-\frac{39\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!19}a-\frac{53\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!19}$, $\frac{20\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!19}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!19}a^{25}-\frac{83\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{87\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!19}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!19}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!19}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{91\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!19}a^{18}-\frac{94\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!19}a^{17}-\frac{61\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!19}a^{16}+\frac{33\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!19}a^{15}+\frac{27\!\cdots\!14}{13\!\cdots\!19}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!52}{36\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{74\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!19}a^{12}+\frac{88\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!19}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{48\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{99\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{32\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!19}a^{7}+\frac{42\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!19}a^{6}+\frac{94\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!19}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!88}{36\!\cdots\!87}a^{4}-\frac{29\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{33\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!19}a^{2}+\frac{25\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!19}a+\frac{26\!\cdots\!72}{13\!\cdots\!19}$, $\frac{76\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!19}a^{26}-\frac{74\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!19}a^{25}-\frac{22\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{35\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!19}a^{23}+\frac{25\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!19}a^{22}-\frac{63\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!19}a^{21}+\frac{35\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!19}a^{20}+\frac{60\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!19}a^{19}-\frac{39\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!19}a^{18}-\frac{35\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{19\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!19}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{52\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!19}a^{14}-\frac{85\!\cdots\!09}{36\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{72\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!19}a^{12}+\frac{48\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{39\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{46\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!36}{13\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{27\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!19}a^{7}+\frac{28\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{88\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!19}a^{5}-\frac{35\!\cdots\!10}{36\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{26\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!19}a^{2}-\frac{90\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!19}a-\frac{19\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!19}$, $\frac{83\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!19}a^{26}-\frac{70\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!19}a^{25}-\frac{33\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{34\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!19}a^{23}+\frac{50\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!19}a^{22}-\frac{65\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{50\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!19}a^{20}+\frac{64\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{42\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!19}a^{18}-\frac{37\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!19}a^{17}-\frac{28\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!19}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!19}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!19}a^{14}-\frac{76\!\cdots\!98}{36\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{32\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!19}a^{12}+\frac{33\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!19}a^{11}+\frac{50\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{42\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!19}a^{8}-\frac{25\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!19}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!19}a^{6}+\frac{50\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!19}a^{5}-\frac{82\!\cdots\!32}{36\!\cdots\!87}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{85\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!19}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!19}a+\frac{15\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!19}$, $\frac{93\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{85\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!19}a^{25}+\frac{32\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!19}a^{24}-\frac{41\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{29\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{76\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!19}a^{21}+\frac{53\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{75\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{23\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{44\!\cdots\!72}{13\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!19}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!12}{36\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{56\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{49\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{24\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!19}a^{8}-\frac{24\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!19}a^{6}+\frac{65\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{84\!\cdots\!65}{36\!\cdots\!87}a^{4}-\frac{87\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{34\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!19}a^{2}+\frac{43\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!19}a+\frac{12\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!19}$, $\frac{28\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!19}a^{26}-\frac{28\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!19}a^{25}-\frac{76\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{20\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!19}a^{22}-\frac{24\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!19}a^{21}+\frac{18\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!19}a^{20}+\frac{22\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!19}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!19}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!19}a^{16}+\frac{49\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!19}a^{14}-\frac{32\!\cdots\!06}{36\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{50\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!19}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{46\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!19}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{41\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!19}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!35}{36\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{73\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!19}a^{2}-\frac{47\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!19}a-\frac{96\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!19}$, $\frac{55\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{54\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!19}a^{25}+\frac{16\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!19}a^{24}-\frac{25\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{37\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{46\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{22\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{44\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{25\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{25\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!19}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!52}{13\!\cdots\!19}a^{16}-\frac{95\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!19}a^{15}+\frac{31\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{62\!\cdots\!83}{36\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{38\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{35\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!19}a^{11}+\frac{86\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{33\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!19}a^{8}-\frac{19\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{27\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!19}a^{6}+\frac{61\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!38}{36\!\cdots\!87}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!19}a^{2}+\frac{62\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!19}a+\frac{13\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!19}$, $\frac{31\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!19}a^{26}-\frac{31\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!19}a^{25}-\frac{79\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{40\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!19}a^{22}-\frac{26\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!19}a^{21}+\frac{23\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!19}a^{20}+\frac{24\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!19}a^{19}-\frac{25\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!19}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!19}a^{16}+\frac{54\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{40\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!19}a^{14}-\frac{36\!\cdots\!67}{36\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{73\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!19}a^{12}+\frac{21\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{75\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{38\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{41\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{52\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!19}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!83}{36\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{92\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!19}a^{2}-\frac{61\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!19}a-\frac{12\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!19}$, $\frac{35\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{30\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!19}a^{25}+\frac{13\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!19}a^{24}-\frac{15\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{17\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{28\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!19}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{27\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!19}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{81\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!19}a^{16}-\frac{57\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{38\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{34\!\cdots\!33}{36\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!19}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{63\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{92\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{32\!\cdots\!57}{36\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{37\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{55\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!19}a^{2}-\frac{34\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!19}a-\frac{35\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!19}$, $\frac{11\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{89\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!19}a^{25}+\frac{56\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!19}a^{24}-\frac{45\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{89\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!19}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{90\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!19}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{52\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{83\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!19}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{32\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{95\!\cdots\!75}{36\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{80\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{30\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{75\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{94\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{32\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{36\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!82}{36\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{49\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!19}a^{2}-\frac{38\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!19}a-\frac{58\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!19}$, $\frac{35\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{33\!\cdots\!14}{13\!\cdots\!19}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!19}a^{24}-\frac{15\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{67\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{29\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{60\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{28\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{84\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!19}a^{17}-\frac{35\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!19}a^{16}-\frac{60\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!19}a^{15}+\frac{40\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{38\!\cdots\!49}{36\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{42\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{52\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!19}a^{8}-\frac{94\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{29\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!19}a^{6}+\frac{26\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!09}{36\!\cdots\!87}a^{4}-\frac{38\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!19}a^{2}+\frac{21\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!19}a+\frac{56\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!19}$, $\frac{38\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!19}a^{26}-\frac{26\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!19}a^{25}-\frac{20\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!19}a^{23}+\frac{48\!\cdots\!52}{13\!\cdots\!19}a^{22}-\frac{27\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{69\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!19}a^{20}+\frac{28\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{65\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!19}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!19}a^{17}-\frac{40\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!19}a^{16}+\frac{53\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!19}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!19}a^{14}-\frac{24\!\cdots\!54}{36\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{37\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!19}a^{12}+\frac{27\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!19}a^{11}+\frac{53\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{42\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!19}a^{8}-\frac{20\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!19}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!19}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!19}a^{5}-\frac{60\!\cdots\!07}{36\!\cdots\!87}a^{4}-\frac{24\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{90\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!19}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!19}a+\frac{29\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!19}$, $\frac{10\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!19}a^{26}-\frac{31\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!19}a^{25}-\frac{97\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{23\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!19}a^{23}+\frac{32\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!19}a^{22}-\frac{63\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{54\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!19}a^{20}+\frac{75\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{52\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!19}a^{18}-\frac{45\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!19}a^{17}-\frac{30\!\cdots\!36}{13\!\cdots\!19}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!19}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!19}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!26}{36\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{26\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{61\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!19}a^{11}+\frac{36\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{27\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!19}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!19}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!19}a^{6}+\frac{85\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!19}a^{5}-\frac{36\!\cdots\!63}{36\!\cdots\!87}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{84\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!19}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!19}a+\frac{20\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!19}$, $\frac{24\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!19}a^{26}-\frac{26\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!19}a^{25}-\frac{49\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{95\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!19}a^{22}-\frac{20\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!19}a^{21}+\frac{29\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!19}a^{20}+\frac{19\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!19}a^{19}-\frac{30\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!19}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!88}{13\!\cdots\!19}a^{16}+\frac{39\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{51\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!19}a^{14}-\frac{26\!\cdots\!33}{36\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!19}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{76\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{44\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{41\!\cdots\!17}{36\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{79\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{60\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!19}a^{2}-\frac{51\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!19}a-\frac{81\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!19}$, $\frac{71\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{67\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!19}a^{25}+\frac{23\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!19}a^{24}-\frac{32\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{59\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{58\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{17\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{34\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!19}a^{17}-\frac{75\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!19}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!19}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{81\!\cdots\!27}{36\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{45\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{71\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{40\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{93\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!19}a^{8}-\frac{21\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{54\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!19}a^{6}+\frac{63\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{41\!\cdots\!86}{36\!\cdots\!87}a^{4}-\frac{94\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!19}a^{2}+\frac{53\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!19}a+\frac{11\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!19}$, $\frac{22\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{17\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!19}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!19}a^{24}-\frac{88\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!19}a^{23}-\frac{20\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{17\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!19}a^{21}+\frac{26\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!19}a^{19}-\frac{23\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{99\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!19}a^{16}-\frac{34\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{59\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!43}{36\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{57\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{59\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{68\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{37\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!81}{36\!\cdots\!87}a^{4}+\frac{89\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!19}a^{2}-\frac{69\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!19}a-\frac{10\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!19}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 1845726979276938.2 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 1845726979276938.2 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{278924508041662122046672329971307261712894173849}}\cr\approx \mathstrut & 0.234533027531802 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 9*x^26 - 36*x^25 + 441*x^24 + 378*x^23 - 8235*x^22 - 1647*x^21 + 81891*x^20 + 8019*x^19 - 489621*x^18 - 87885*x^17 + 1845909*x^16 + 591453*x^15 - 4427514*x^14 - 2082537*x^13 + 6631281*x^12 + 4052430*x^11 - 5937300*x^10 - 4424841*x^9 + 2963061*x^8 + 2683422*x^7 - 721620*x^6 - 883440*x^5 + 42336*x^4 + 145242*x^3 + 12150*x^2 - 9099*x - 1509)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^27 - 9*x^26 - 36*x^25 + 441*x^24 + 378*x^23 - 8235*x^22 - 1647*x^21 + 81891*x^20 + 8019*x^19 - 489621*x^18 - 87885*x^17 + 1845909*x^16 + 591453*x^15 - 4427514*x^14 - 2082537*x^13 + 6631281*x^12 + 4052430*x^11 - 5937300*x^10 - 4424841*x^9 + 2963061*x^8 + 2683422*x^7 - 721620*x^6 - 883440*x^5 + 42336*x^4 + 145242*x^3 + 12150*x^2 - 9099*x - 1509, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^27 - 9*x^26 - 36*x^25 + 441*x^24 + 378*x^23 - 8235*x^22 - 1647*x^21 + 81891*x^20 + 8019*x^19 - 489621*x^18 - 87885*x^17 + 1845909*x^16 + 591453*x^15 - 4427514*x^14 - 2082537*x^13 + 6631281*x^12 + 4052430*x^11 - 5937300*x^10 - 4424841*x^9 + 2963061*x^8 + 2683422*x^7 - 721620*x^6 - 883440*x^5 + 42336*x^4 + 145242*x^3 + 12150*x^2 - 9099*x - 1509);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 9*x^26 - 36*x^25 + 441*x^24 + 378*x^23 - 8235*x^22 - 1647*x^21 + 81891*x^20 + 8019*x^19 - 489621*x^18 - 87885*x^17 + 1845909*x^16 + 591453*x^15 - 4427514*x^14 - 2082537*x^13 + 6631281*x^12 + 4052430*x^11 - 5937300*x^10 - 4424841*x^9 + 2963061*x^8 + 2683422*x^7 - 721620*x^6 - 883440*x^5 + 42336*x^4 + 145242*x^3 + 12150*x^2 - 9099*x - 1509);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$C_9\wr C_3$ (as 27T434):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A solvable group of order 2187 |
| The 267 conjugacy class representatives for $C_9\wr C_3$ |
| Character table for $C_9\wr C_3$ |
Intermediate fields
| \(\Q(\zeta_{9})^+\), 9.9.139858796529.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 27 siblings: | data not computed |
| Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | $27$ | R | $27$ | ${\href{/padicField/7.9.0.1}{9} }^{3}$ | ${\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{9}$ | $27$ | ${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }^{3}$ | R | $27$ | $27$ | ${\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{9}$ | ${\href{/padicField/37.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }^{9}$ | $27$ | $27$ | $27$ | ${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }^{3}$ | $27$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(3\)
| Deg $27$ | $27$ | $1$ | $78$ | |||
|
\(19\)
| 19.3.0.1 | $x^{3} + 4 x + 17$ | $1$ | $3$ | $0$ | $C_3$ | $[\ ]^{3}$ |
| 19.3.0.1 | $x^{3} + 4 x + 17$ | $1$ | $3$ | $0$ | $C_3$ | $[\ ]^{3}$ | |
| 19.3.0.1 | $x^{3} + 4 x + 17$ | $1$ | $3$ | $0$ | $C_3$ | $[\ ]^{3}$ | |
| 19.9.8.2 | $x^{9} + 57$ | $9$ | $1$ | $8$ | $C_9$ | $[\ ]_{9}$ | |
| 19.9.0.1 | $x^{9} + 11 x^{3} + 14 x^{2} + 16 x + 17$ | $1$ | $9$ | $0$ | $C_9$ | $[\ ]^{9}$ |