Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 9*x^26 - 63*x^25 + 774*x^24 + 834*x^23 - 26013*x^22 + 24482*x^21 + 438771*x^20 - 917742*x^19 - 3954764*x^18 + 12493773*x^17 + 17637390*x^16 - 89943576*x^15 - 16499340*x^14 + 367102377*x^13 - 183437513*x^12 - 838172511*x^11 + 827108970*x^10 + 967374964*x^9 - 1484013339*x^8 - 364627638*x^7 + 1223353523*x^6 - 171844968*x^5 - 419177382*x^4 + 123185675*x^3 + 52146132*x^2 - 17057376*x - 1145024)
gp: K = bnfinit(y^27 - 9*y^26 - 63*y^25 + 774*y^24 + 834*y^23 - 26013*y^22 + 24482*y^21 + 438771*y^20 - 917742*y^19 - 3954764*y^18 + 12493773*y^17 + 17637390*y^16 - 89943576*y^15 - 16499340*y^14 + 367102377*y^13 - 183437513*y^12 - 838172511*y^11 + 827108970*y^10 + 967374964*y^9 - 1484013339*y^8 - 364627638*y^7 + 1223353523*y^6 - 171844968*y^5 - 419177382*y^4 + 123185675*y^3 + 52146132*y^2 - 17057376*y - 1145024, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^27 - 9*x^26 - 63*x^25 + 774*x^24 + 834*x^23 - 26013*x^22 + 24482*x^21 + 438771*x^20 - 917742*x^19 - 3954764*x^18 + 12493773*x^17 + 17637390*x^16 - 89943576*x^15 - 16499340*x^14 + 367102377*x^13 - 183437513*x^12 - 838172511*x^11 + 827108970*x^10 + 967374964*x^9 - 1484013339*x^8 - 364627638*x^7 + 1223353523*x^6 - 171844968*x^5 - 419177382*x^4 + 123185675*x^3 + 52146132*x^2 - 17057376*x - 1145024);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 9*x^26 - 63*x^25 + 774*x^24 + 834*x^23 - 26013*x^22 + 24482*x^21 + 438771*x^20 - 917742*x^19 - 3954764*x^18 + 12493773*x^17 + 17637390*x^16 - 89943576*x^15 - 16499340*x^14 + 367102377*x^13 - 183437513*x^12 - 838172511*x^11 + 827108970*x^10 + 967374964*x^9 - 1484013339*x^8 - 364627638*x^7 + 1223353523*x^6 - 171844968*x^5 - 419177382*x^4 + 123185675*x^3 + 52146132*x^2 - 17057376*x - 1145024)
\( x^{27} - 9 x^{26} - 63 x^{25} + 774 x^{24} + 834 x^{23} - 26013 x^{22} + 24482 x^{21} + 438771 x^{20} + \cdots - 1145024 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $27$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[27, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(25450405558360134867067668541820239712260815470994619689\)
\(\medspace = 3^{36}\cdot 7^{18}\cdot 19^{18}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(112.74\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $3^{4/3}7^{2/3}19^{2/3}\approx 112.7360377530179$ | ||
| Ramified primes: |
\(3\), \(7\), \(19\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $27$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
| Conductor: | \(1197=3^{2}\cdot 7\cdot 19\) | ||
| Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{1197}(64,·)$, $\chi_{1197}(1,·)$, $\chi_{1197}(961,·)$, $\chi_{1197}(520,·)$, $\chi_{1197}(1033,·)$, $\chi_{1197}(970,·)$, $\chi_{1197}(463,·)$, $\chi_{1197}(400,·)$, $\chi_{1197}(121,·)$, $\chi_{1197}(277,·)$, $\chi_{1197}(919,·)$, $\chi_{1197}(856,·)$, $\chi_{1197}(634,·)$, $\chi_{1197}(862,·)$, $\chi_{1197}(799,·)$, $\chi_{1197}(163,·)$, $\chi_{1197}(676,·)$, $\chi_{1197}(106,·)$, $\chi_{1197}(235,·)$, $\chi_{1197}(172,·)$, $\chi_{1197}(904,·)$, $\chi_{1197}(562,·)$, $\chi_{1197}(1075,·)$, $\chi_{1197}(457,·)$, $\chi_{1197}(505,·)$, $\chi_{1197}(58,·)$, $\chi_{1197}(571,·)$$\rbrace$ | ||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{2}a^{9}-\frac{1}{2}a^{2}$, $\frac{1}{2}a^{10}-\frac{1}{2}a^{3}$, $\frac{1}{2}a^{11}-\frac{1}{2}a^{4}$, $\frac{1}{2}a^{12}-\frac{1}{2}a^{5}$, $\frac{1}{2}a^{13}-\frac{1}{2}a^{6}$, $\frac{1}{2}a^{14}-\frac{1}{2}a^{7}$, $\frac{1}{4}a^{15}-\frac{1}{4}a$, $\frac{1}{4}a^{16}-\frac{1}{4}a^{2}$, $\frac{1}{4}a^{17}-\frac{1}{4}a^{3}$, $\frac{1}{12}a^{18}-\frac{1}{12}a^{15}+\frac{1}{6}a^{9}+\frac{1}{4}a^{4}+\frac{1}{3}a^{3}-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{4}a-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{12}a^{19}-\frac{1}{12}a^{16}+\frac{1}{6}a^{10}+\frac{1}{4}a^{5}+\frac{1}{3}a^{4}-\frac{1}{2}a^{3}-\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{24}a^{20}-\frac{1}{24}a^{19}-\frac{1}{24}a^{18}+\frac{1}{12}a^{17}+\frac{1}{24}a^{16}-\frac{1}{12}a^{15}-\frac{1}{4}a^{14}-\frac{1}{4}a^{13}-\frac{1}{4}a^{12}-\frac{1}{6}a^{11}-\frac{1}{12}a^{10}+\frac{1}{6}a^{9}+\frac{1}{4}a^{7}-\frac{1}{8}a^{6}+\frac{7}{24}a^{5}+\frac{5}{24}a^{4}+\frac{1}{3}a^{3}+\frac{11}{24}a^{2}+\frac{5}{12}a-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{24}a^{21}-\frac{1}{24}a^{18}-\frac{1}{8}a^{17}-\frac{1}{8}a^{16}+\frac{1}{12}a^{12}-\frac{1}{4}a^{11}-\frac{1}{4}a^{10}-\frac{1}{4}a^{8}-\frac{3}{8}a^{7}-\frac{1}{3}a^{6}+\frac{1}{4}a^{5}-\frac{3}{8}a^{4}-\frac{7}{24}a^{3}+\frac{1}{8}a^{2}+\frac{1}{4}a$, $\frac{1}{24}a^{22}-\frac{1}{24}a^{19}-\frac{1}{24}a^{18}-\frac{1}{8}a^{17}-\frac{1}{12}a^{15}+\frac{1}{12}a^{13}-\frac{1}{4}a^{12}-\frac{1}{4}a^{11}-\frac{1}{12}a^{9}+\frac{1}{8}a^{8}-\frac{1}{3}a^{7}+\frac{1}{4}a^{6}-\frac{3}{8}a^{5}-\frac{1}{24}a^{4}+\frac{11}{24}a^{3}-\frac{1}{4}a^{2}+\frac{1}{4}a-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{48}a^{23}-\frac{1}{48}a^{22}+\frac{1}{48}a^{19}-\frac{1}{48}a^{18}+\frac{5}{48}a^{17}-\frac{1}{16}a^{16}+\frac{1}{12}a^{15}-\frac{1}{12}a^{14}+\frac{5}{24}a^{13}+\frac{1}{8}a^{12}+\frac{1}{24}a^{11}-\frac{11}{48}a^{9}+\frac{1}{48}a^{8}+\frac{5}{12}a^{7}+\frac{1}{8}a^{6}-\frac{5}{16}a^{5}-\frac{17}{48}a^{4}-\frac{13}{48}a^{3}+\frac{5}{48}a^{2}+\frac{1}{4}a+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{6096}a^{24}+\frac{13}{2032}a^{23}+\frac{29}{1524}a^{22}+\frac{1}{1016}a^{21}+\frac{33}{2032}a^{20}+\frac{193}{6096}a^{19}-\frac{251}{6096}a^{18}+\frac{253}{2032}a^{17}+\frac{11}{254}a^{16}-\frac{11}{254}a^{15}-\frac{147}{1016}a^{14}-\frac{691}{3048}a^{13}+\frac{517}{3048}a^{12}-\frac{97}{508}a^{11}+\frac{471}{2032}a^{10}+\frac{161}{6096}a^{9}+\frac{83}{508}a^{8}+\frac{647}{1524}a^{7}+\frac{73}{2032}a^{6}-\frac{409}{2032}a^{5}-\frac{833}{6096}a^{4}-\frac{2213}{6096}a^{3}+\frac{17}{127}a^{2}+\frac{9}{127}a+\frac{190}{381}$, $\frac{1}{30480}a^{25}-\frac{131}{15240}a^{23}+\frac{181}{30480}a^{22}-\frac{389}{30480}a^{21}+\frac{71}{15240}a^{20}-\frac{539}{30480}a^{19}+\frac{7}{30480}a^{18}+\frac{1}{40}a^{17}+\frac{3791}{30480}a^{16}-\frac{373}{15240}a^{15}-\frac{413}{1905}a^{14}-\frac{2887}{15240}a^{13}+\frac{359}{7620}a^{12}+\frac{109}{10160}a^{11}-\frac{1057}{15240}a^{10}+\frac{47}{1524}a^{9}-\frac{6919}{30480}a^{8}-\frac{1907}{30480}a^{7}-\frac{967}{3810}a^{6}-\frac{2129}{30480}a^{5}+\frac{10081}{30480}a^{4}-\frac{1381}{3810}a^{3}-\frac{431}{10160}a^{2}+\frac{117}{508}a-\frac{806}{1905}$, $\frac{1}{46\!\cdots\!00}a^{26}+\frac{63\!\cdots\!93}{46\!\cdots\!00}a^{25}+\frac{26\!\cdots\!29}{38\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{19\!\cdots\!49}{92\!\cdots\!80}a^{23}-\frac{24\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!00}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!07}{92\!\cdots\!80}a^{21}+\frac{32\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{64\!\cdots\!29}{92\!\cdots\!08}a^{19}+\frac{17\!\cdots\!33}{46\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{48\!\cdots\!73}{46\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{91\!\cdots\!51}{76\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{89\!\cdots\!27}{76\!\cdots\!00}a^{14}+\frac{53\!\cdots\!39}{76\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!39}{92\!\cdots\!80}a^{12}+\frac{61\!\cdots\!77}{46\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!77}{15\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!36}{28\!\cdots\!25}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!63}{46\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!37}{46\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{21\!\cdots\!79}{76\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{52\!\cdots\!79}{92\!\cdots\!80}a^{4}-\frac{33\!\cdots\!47}{46\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{73\!\cdots\!23}{15\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{29\!\cdots\!41}{28\!\cdots\!25}a+\frac{19\!\cdots\!44}{96\!\cdots\!75}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | No | |
| Index: | Not computed | |
| Inessential primes: | $2$ |
Class group and class number
$C_{2}\times C_{2}$, which has order $4$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $26$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{22\!\cdots\!79}{99\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{41\!\cdots\!27}{24\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{35\!\cdots\!21}{20\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!19}{99\!\cdots\!60}a^{23}+\frac{21\!\cdots\!83}{49\!\cdots\!00}a^{22}-\frac{51\!\cdots\!69}{99\!\cdots\!60}a^{21}-\frac{29\!\cdots\!27}{99\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{31\!\cdots\!79}{33\!\cdots\!20}a^{19}-\frac{52\!\cdots\!03}{99\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{48\!\cdots\!51}{49\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!03}{99\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{74\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!50}a^{15}-\frac{52\!\cdots\!81}{49\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{34\!\cdots\!99}{16\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!91}{39\!\cdots\!04}a^{12}+\frac{94\!\cdots\!87}{24\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{63\!\cdots\!29}{49\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!13}{49\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{91\!\cdots\!37}{49\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{85\!\cdots\!97}{24\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!43}{99\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!51}{61\!\cdots\!25}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!21}{66\!\cdots\!40}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!78}{61\!\cdots\!25}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!37}{33\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{51\!\cdots\!87}{20\!\cdots\!75}a+\frac{98\!\cdots\!58}{61\!\cdots\!25}$, $\frac{22\!\cdots\!79}{99\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{41\!\cdots\!27}{24\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{35\!\cdots\!21}{20\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!19}{99\!\cdots\!60}a^{23}+\frac{21\!\cdots\!83}{49\!\cdots\!00}a^{22}-\frac{51\!\cdots\!69}{99\!\cdots\!60}a^{21}-\frac{29\!\cdots\!27}{99\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{31\!\cdots\!79}{33\!\cdots\!20}a^{19}-\frac{52\!\cdots\!03}{99\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{48\!\cdots\!51}{49\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!03}{99\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{74\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!50}a^{15}-\frac{52\!\cdots\!81}{49\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{34\!\cdots\!99}{16\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!91}{39\!\cdots\!04}a^{12}+\frac{94\!\cdots\!87}{24\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{63\!\cdots\!29}{49\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!13}{49\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{91\!\cdots\!37}{49\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{85\!\cdots\!97}{24\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!43}{99\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!51}{61\!\cdots\!25}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!21}{66\!\cdots\!40}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!78}{61\!\cdots\!25}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!37}{33\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{51\!\cdots\!87}{20\!\cdots\!75}a+\frac{98\!\cdots\!83}{61\!\cdots\!25}$, $\frac{23\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!50}a^{26}-\frac{69\!\cdots\!83}{63\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{42\!\cdots\!93}{38\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{49\!\cdots\!65}{50\!\cdots\!92}a^{23}+\frac{66\!\cdots\!66}{23\!\cdots\!25}a^{22}-\frac{54\!\cdots\!58}{15\!\cdots\!35}a^{21}-\frac{23\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{47\!\cdots\!73}{76\!\cdots\!80}a^{19}-\frac{46\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{81\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{52\!\cdots\!43}{63\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{92\!\cdots\!41}{23\!\cdots\!25}a^{15}-\frac{44\!\cdots\!27}{63\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{25\!\cdots\!27}{19\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!47}{38\!\cdots\!40}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!83}{63\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!91}{12\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{38\!\cdots\!27}{31\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{52\!\cdots\!19}{19\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!91}{12\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{48\!\cdots\!27}{12\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!27}{76\!\cdots\!80}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!31}{12\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!11}{63\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{58\!\cdots\!33}{31\!\cdots\!00}a+\frac{20\!\cdots\!48}{23\!\cdots\!25}$, $\frac{32\!\cdots\!09}{95\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{32\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{95\!\cdots\!47}{38\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{17\!\cdots\!23}{76\!\cdots\!80}a^{23}+\frac{22\!\cdots\!79}{38\!\cdots\!00}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!76}a^{21}-\frac{35\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{27\!\cdots\!17}{19\!\cdots\!20}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!41}{19\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{56\!\cdots\!73}{38\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{81\!\cdots\!37}{38\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!97}{19\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!23}{63\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!67}{47\!\cdots\!50}a^{13}+\frac{30\!\cdots\!71}{38\!\cdots\!40}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!27}{38\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{80\!\cdots\!37}{38\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{73\!\cdots\!03}{12\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!51}{38\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{33\!\cdots\!87}{38\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{85\!\cdots\!97}{38\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{67\!\cdots\!59}{63\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{28\!\cdots\!97}{38\!\cdots\!40}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!87}{38\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!93}{12\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!73}{47\!\cdots\!50}a+\frac{77\!\cdots\!87}{23\!\cdots\!25}$, $\frac{20\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{14\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{37\!\cdots\!63}{28\!\cdots\!25}a^{24}+\frac{35\!\cdots\!83}{30\!\cdots\!60}a^{23}+\frac{15\!\cdots\!51}{46\!\cdots\!00}a^{22}-\frac{23\!\cdots\!86}{57\!\cdots\!05}a^{21}-\frac{52\!\cdots\!41}{23\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{67\!\cdots\!11}{92\!\cdots\!80}a^{19}-\frac{19\!\cdots\!83}{46\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!69}{15\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!37}{57\!\cdots\!50}a^{15}-\frac{47\!\cdots\!99}{57\!\cdots\!50}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!39}{76\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!71}{46\!\cdots\!40}a^{12}+\frac{67\!\cdots\!59}{23\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!17}{15\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{21\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!01}{57\!\cdots\!50}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!51}{46\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{64\!\cdots\!41}{18\!\cdots\!16}a^{4}-\frac{74\!\cdots\!53}{46\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!41}{46\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!97}{57\!\cdots\!50}a+\frac{35\!\cdots\!23}{28\!\cdots\!25}$, $\frac{16\!\cdots\!23}{28\!\cdots\!25}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!76}{28\!\cdots\!25}a^{25}-\frac{48\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!41}{30\!\cdots\!60}a^{23}+\frac{17\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!00}a^{22}-\frac{48\!\cdots\!33}{38\!\cdots\!70}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{70\!\cdots\!99}{30\!\cdots\!60}a^{19}-\frac{44\!\cdots\!61}{46\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{36\!\cdots\!73}{15\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!71}{46\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{28\!\cdots\!93}{19\!\cdots\!50}a^{15}-\frac{27\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!39}{23\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{50\!\cdots\!27}{46\!\cdots\!40}a^{12}+\frac{23\!\cdots\!53}{23\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!93}{38\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{36\!\cdots\!17}{46\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{64\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!03}{38\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!21}{76\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{43\!\cdots\!17}{46\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{63\!\cdots\!77}{61\!\cdots\!72}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!01}{46\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{58\!\cdots\!97}{46\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{26\!\cdots\!99}{57\!\cdots\!50}a+\frac{81\!\cdots\!16}{28\!\cdots\!25}$, $\frac{52\!\cdots\!47}{28\!\cdots\!25}a^{26}-\frac{20\!\cdots\!93}{15\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!48}{96\!\cdots\!75}a^{24}+\frac{54\!\cdots\!27}{46\!\cdots\!40}a^{23}+\frac{16\!\cdots\!83}{46\!\cdots\!00}a^{22}-\frac{38\!\cdots\!09}{92\!\cdots\!80}a^{21}-\frac{62\!\cdots\!13}{23\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{23\!\cdots\!09}{30\!\cdots\!60}a^{19}-\frac{55\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{90\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{42\!\cdots\!39}{46\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!39}{23\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{23\!\cdots\!16}{28\!\cdots\!25}a^{14}-\frac{39\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{86\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!02}a^{12}+\frac{49\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{22\!\cdots\!77}{23\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{65\!\cdots\!87}{46\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{89\!\cdots\!19}{46\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!33}{46\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!33}{30\!\cdots\!60}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!79}{76\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!93}{46\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!00}a+\frac{31\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!25}$, $\frac{18\!\cdots\!99}{46\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!93}{46\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!23}{46\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{23\!\cdots\!81}{92\!\cdots\!80}a^{23}+\frac{35\!\cdots\!01}{46\!\cdots\!00}a^{22}-\frac{82\!\cdots\!67}{92\!\cdots\!80}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!23}{19\!\cdots\!50}a^{20}+\frac{37\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!02}a^{19}-\frac{39\!\cdots\!83}{46\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{26\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{78\!\cdots\!29}{38\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!03}{23\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!89}{57\!\cdots\!50}a^{14}-\frac{28\!\cdots\!89}{76\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!87}{30\!\cdots\!60}a^{12}+\frac{31\!\cdots\!73}{46\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!43}{46\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{63\!\cdots\!77}{15\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!49}{46\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{23\!\cdots\!13}{46\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{54\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!99}{19\!\cdots\!50}a^{5}+\frac{71\!\cdots\!19}{92\!\cdots\!80}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!53}{46\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!53}{23\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!41}{28\!\cdots\!25}a+\frac{75\!\cdots\!93}{28\!\cdots\!25}$, $\frac{52\!\cdots\!91}{72\!\cdots\!40}a^{26}-\frac{25\!\cdots\!65}{48\!\cdots\!36}a^{25}-\frac{19\!\cdots\!01}{36\!\cdots\!20}a^{24}+\frac{57\!\cdots\!51}{12\!\cdots\!40}a^{23}+\frac{33\!\cdots\!27}{24\!\cdots\!80}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!23}{72\!\cdots\!40}a^{21}-\frac{70\!\cdots\!99}{72\!\cdots\!40}a^{20}+\frac{22\!\cdots\!27}{72\!\cdots\!40}a^{19}-\frac{30\!\cdots\!57}{18\!\cdots\!60}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!77}{60\!\cdots\!20}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!87}{36\!\cdots\!20}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!40}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!47}{36\!\cdots\!20}a^{14}-\frac{20\!\cdots\!01}{30\!\cdots\!10}a^{13}+\frac{37\!\cdots\!09}{24\!\cdots\!80}a^{12}+\frac{89\!\cdots\!11}{72\!\cdots\!40}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!87}{72\!\cdots\!04}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!71}{18\!\cdots\!60}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!51}{24\!\cdots\!80}a^{8}-\frac{25\!\cdots\!57}{24\!\cdots\!80}a^{7}-\frac{31\!\cdots\!89}{72\!\cdots\!40}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!91}{72\!\cdots\!40}a^{5}+\frac{65\!\cdots\!67}{45\!\cdots\!15}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!17}{18\!\cdots\!60}a^{3}-\frac{66\!\cdots\!93}{36\!\cdots\!52}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!41}{18\!\cdots\!60}a+\frac{46\!\cdots\!91}{90\!\cdots\!63}$, $\frac{95\!\cdots\!87}{60\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{41\!\cdots\!99}{36\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{42\!\cdots\!69}{36\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{73\!\cdots\!11}{72\!\cdots\!40}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!83}{36\!\cdots\!00}a^{22}-\frac{17\!\cdots\!65}{48\!\cdots\!36}a^{21}-\frac{26\!\cdots\!07}{12\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!89}{18\!\cdots\!60}a^{19}-\frac{52\!\cdots\!61}{15\!\cdots\!50}a^{18}-\frac{24\!\cdots\!71}{36\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{29\!\cdots\!99}{36\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{75\!\cdots\!69}{18\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!63}{18\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{44\!\cdots\!81}{30\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{60\!\cdots\!11}{18\!\cdots\!60}a^{12}+\frac{97\!\cdots\!79}{36\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!33}{12\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!31}{12\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{45\!\cdots\!27}{36\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{77\!\cdots\!99}{36\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!73}{12\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!93}{60\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{28\!\cdots\!51}{90\!\cdots\!30}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!33}{36\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{37\!\cdots\!98}{22\!\cdots\!75}a+\frac{24\!\cdots\!49}{22\!\cdots\!75}$, $\frac{12\!\cdots\!99}{15\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{90\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{69\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!59}{23\!\cdots\!02}a^{23}+\frac{70\!\cdots\!73}{46\!\cdots\!00}a^{22}-\frac{56\!\cdots\!59}{30\!\cdots\!60}a^{21}-\frac{49\!\cdots\!91}{46\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{30\!\cdots\!89}{92\!\cdots\!80}a^{19}-\frac{42\!\cdots\!67}{23\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{39\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{32\!\cdots\!69}{76\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!83}{76\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{85\!\cdots\!23}{23\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{42\!\cdots\!79}{57\!\cdots\!50}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!37}{92\!\cdots\!80}a^{12}+\frac{62\!\cdots\!59}{46\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{42\!\cdots\!58}{96\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{29\!\cdots\!17}{46\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{53\!\cdots\!29}{46\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{74\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{82\!\cdots\!73}{46\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{73\!\cdots\!43}{46\!\cdots\!40}a^{4}-\frac{41\!\cdots\!93}{57\!\cdots\!50}a^{3}-\frac{23\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{33\!\cdots\!39}{38\!\cdots\!00}a+\frac{16\!\cdots\!59}{28\!\cdots\!25}$, $\frac{38\!\cdots\!01}{46\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{93\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{28\!\cdots\!77}{46\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{20\!\cdots\!43}{38\!\cdots\!70}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!59}{76\!\cdots\!00}a^{22}-\frac{17\!\cdots\!97}{92\!\cdots\!80}a^{21}-\frac{25\!\cdots\!19}{23\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{31\!\cdots\!51}{92\!\cdots\!80}a^{19}-\frac{43\!\cdots\!91}{23\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{27\!\cdots\!73}{76\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!07}{46\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!69}{76\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!58}{28\!\cdots\!25}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!53}{38\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!31}{61\!\cdots\!72}a^{12}+\frac{64\!\cdots\!87}{46\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!77}{46\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!09}{28\!\cdots\!25}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!63}{38\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{18\!\cdots\!49}{15\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{86\!\cdots\!79}{46\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{94\!\cdots\!17}{57\!\cdots\!05}a^{4}-\frac{86\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{94\!\cdots\!59}{46\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!00}a+\frac{16\!\cdots\!77}{28\!\cdots\!25}$, $\frac{85\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{86\!\cdots\!23}{15\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{25\!\cdots\!99}{46\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!29}{30\!\cdots\!60}a^{23}+\frac{20\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!00}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!93}{92\!\cdots\!80}a^{21}-\frac{26\!\cdots\!71}{46\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{72\!\cdots\!67}{23\!\cdots\!20}a^{19}-\frac{56\!\cdots\!87}{23\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{49\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!39}{46\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!23}{76\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{91\!\cdots\!13}{23\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{61\!\cdots\!74}{96\!\cdots\!75}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!91}{15\!\cdots\!80}a^{12}+\frac{47\!\cdots\!29}{46\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!69}{46\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!53}{46\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{31\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!09}{46\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{56\!\cdots\!39}{23\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!33}{92\!\cdots\!08}a^{4}-\frac{42\!\cdots\!09}{46\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!73}{46\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!00}a+\frac{24\!\cdots\!94}{28\!\cdots\!25}$, $\frac{17\!\cdots\!77}{46\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{44\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{33\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!81}{46\!\cdots\!40}a^{23}+\frac{33\!\cdots\!63}{46\!\cdots\!00}a^{22}-\frac{82\!\cdots\!53}{92\!\cdots\!80}a^{21}-\frac{21\!\cdots\!91}{46\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!03}{92\!\cdots\!80}a^{19}-\frac{19\!\cdots\!21}{19\!\cdots\!50}a^{18}-\frac{38\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{25\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{78\!\cdots\!83}{76\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{43\!\cdots\!23}{23\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{31\!\cdots\!99}{90\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{79\!\cdots\!21}{92\!\cdots\!80}a^{12}+\frac{94\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!03}{57\!\cdots\!50}a^{10}-\frac{72\!\cdots\!93}{28\!\cdots\!25}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!67}{46\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{33\!\cdots\!29}{46\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!89}{46\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{46\!\cdots\!63}{46\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!93}{46\!\cdots\!04}a^{4}-\frac{30\!\cdots\!69}{76\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!79}{23\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{53\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!00}a+\frac{86\!\cdots\!99}{28\!\cdots\!25}$, $\frac{86\!\cdots\!83}{46\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{21\!\cdots\!77}{15\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{16\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{28\!\cdots\!43}{23\!\cdots\!20}a^{23}+\frac{16\!\cdots\!67}{46\!\cdots\!00}a^{22}-\frac{39\!\cdots\!59}{92\!\cdots\!80}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!09}{46\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!67}{18\!\cdots\!16}a^{19}-\frac{41\!\cdots\!57}{96\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!91}{19\!\cdots\!50}a^{17}+\frac{77\!\cdots\!11}{76\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!51}{23\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{66\!\cdots\!59}{76\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{50\!\cdots\!83}{28\!\cdots\!25}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!69}{30\!\cdots\!60}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!91}{46\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!19}{19\!\cdots\!50}a^{10}-\frac{41\!\cdots\!01}{23\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{70\!\cdots\!83}{46\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!71}{46\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{52\!\cdots\!71}{46\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!67}{46\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!08}{57\!\cdots\!05}a^{4}-\frac{64\!\cdots\!73}{38\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{54\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{77\!\cdots\!71}{38\!\cdots\!00}a+\frac{12\!\cdots\!02}{96\!\cdots\!75}$, $\frac{18\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{46\!\cdots\!43}{76\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{94\!\cdots\!91}{15\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{30\!\cdots\!57}{57\!\cdots\!05}a^{23}+\frac{72\!\cdots\!61}{46\!\cdots\!00}a^{22}-\frac{57\!\cdots\!09}{30\!\cdots\!36}a^{21}-\frac{50\!\cdots\!57}{46\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!11}{46\!\cdots\!40}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!56}{96\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!11}{38\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{67\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{83\!\cdots\!33}{38\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{29\!\cdots\!57}{76\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!64}{28\!\cdots\!25}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!23}{15\!\cdots\!80}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{70\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{60\!\cdots\!01}{76\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{30\!\cdots\!59}{46\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{76\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{42\!\cdots\!43}{23\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{75\!\cdots\!83}{46\!\cdots\!40}a^{4}-\frac{56\!\cdots\!43}{76\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{95\!\cdots\!11}{46\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{33\!\cdots\!13}{38\!\cdots\!00}a+\frac{56\!\cdots\!36}{96\!\cdots\!75}$, $\frac{75\!\cdots\!89}{46\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{91\!\cdots\!63}{76\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{56\!\cdots\!03}{46\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{32\!\cdots\!11}{30\!\cdots\!60}a^{23}+\frac{36\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!00}a^{22}-\frac{57\!\cdots\!73}{15\!\cdots\!80}a^{21}-\frac{91\!\cdots\!11}{38\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{62\!\cdots\!99}{92\!\cdots\!80}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!79}{38\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{32\!\cdots\!07}{46\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{38\!\cdots\!73}{46\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{50\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{83\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{62\!\cdots\!39}{18\!\cdots\!16}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!53}{76\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{40\!\cdots\!53}{46\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{29\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!58}{96\!\cdots\!75}a^{8}-\frac{41\!\cdots\!79}{23\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!37}{19\!\cdots\!50}a^{6}+\frac{49\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{37\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!10}a^{4}-\frac{20\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!01}{46\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{45\!\cdots\!26}{28\!\cdots\!25}a+\frac{29\!\cdots\!78}{28\!\cdots\!25}$, $\frac{14\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{52\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{53\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{74\!\cdots\!07}{18\!\cdots\!16}a^{23}+\frac{52\!\cdots\!59}{46\!\cdots\!00}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!63}{76\!\cdots\!40}a^{21}-\frac{83\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{23\!\cdots\!47}{92\!\cdots\!80}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!99}{15\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!03}{46\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!87}{46\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{34\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{43\!\cdots\!01}{76\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!10}a^{12}+\frac{75\!\cdots\!37}{76\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!31}{38\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{63\!\cdots\!23}{15\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{23\!\cdots\!61}{46\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{33\!\cdots\!77}{28\!\cdots\!25}a^{7}-\frac{29\!\cdots\!37}{76\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{73\!\cdots\!59}{46\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!03}{92\!\cdots\!80}a^{4}-\frac{96\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{73\!\cdots\!49}{46\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{86\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!00}a+\frac{13\!\cdots\!72}{28\!\cdots\!25}$, $\frac{10\!\cdots\!19}{46\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{54\!\cdots\!58}{28\!\cdots\!25}a^{25}-\frac{37\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{96\!\cdots\!19}{57\!\cdots\!05}a^{23}+\frac{37\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!00}a^{22}-\frac{66\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!10}a^{21}+\frac{16\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{47\!\cdots\!83}{46\!\cdots\!40}a^{19}-\frac{60\!\cdots\!13}{46\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{58\!\cdots\!69}{57\!\cdots\!50}a^{17}+\frac{32\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!91}{28\!\cdots\!25}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!77}{76\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!79}{76\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!09}{30\!\cdots\!60}a^{12}+\frac{63\!\cdots\!31}{57\!\cdots\!50}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!41}{57\!\cdots\!50}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!61}{19\!\cdots\!50}a^{9}+\frac{73\!\cdots\!89}{28\!\cdots\!25}a^{8}-\frac{34\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{84\!\cdots\!33}{46\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{27\!\cdots\!39}{19\!\cdots\!50}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!69}{18\!\cdots\!16}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!79}{23\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!67}{15\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{73\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!00}a+\frac{11\!\cdots\!03}{28\!\cdots\!25}$, $\frac{48\!\cdots\!61}{38\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{45\!\cdots\!39}{46\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{21\!\cdots\!57}{23\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{79\!\cdots\!59}{92\!\cdots\!80}a^{23}+\frac{49\!\cdots\!39}{23\!\cdots\!00}a^{22}-\frac{92\!\cdots\!43}{30\!\cdots\!60}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!59}{19\!\cdots\!35}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!77}{38\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{84\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{75\!\cdots\!99}{23\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{82\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{20\!\cdots\!23}{19\!\cdots\!50}a^{13}+\frac{29\!\cdots\!65}{92\!\cdots\!08}a^{12}+\frac{23\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{47\!\cdots\!33}{57\!\cdots\!50}a^{10}+\frac{82\!\cdots\!39}{15\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{68\!\cdots\!99}{57\!\cdots\!50}a^{8}-\frac{20\!\cdots\!79}{46\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{67\!\cdots\!99}{76\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{43\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!80}a^{4}-\frac{28\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!49}{38\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{86\!\cdots\!09}{38\!\cdots\!00}a+\frac{40\!\cdots\!64}{28\!\cdots\!25}$, $\frac{35\!\cdots\!89}{76\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{51\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{78\!\cdots\!59}{23\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{68\!\cdots\!97}{23\!\cdots\!20}a^{23}+\frac{39\!\cdots\!11}{46\!\cdots\!00}a^{22}-\frac{96\!\cdots\!63}{92\!\cdots\!80}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{17\!\cdots\!69}{92\!\cdots\!80}a^{19}-\frac{49\!\cdots\!63}{46\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!63}{46\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{27\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{61\!\cdots\!97}{28\!\cdots\!25}a^{14}-\frac{97\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{30\!\cdots\!25}{30\!\cdots\!36}a^{12}+\frac{35\!\cdots\!33}{46\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{73\!\cdots\!48}{28\!\cdots\!25}a^{10}-\frac{33\!\cdots\!91}{76\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!79}{46\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{30\!\cdots\!73}{46\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!41}{57\!\cdots\!50}a^{6}+\frac{47\!\cdots\!11}{46\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{84\!\cdots\!43}{92\!\cdots\!80}a^{4}-\frac{94\!\cdots\!79}{23\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{53\!\cdots\!81}{46\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!31}{28\!\cdots\!25}a+\frac{96\!\cdots\!68}{28\!\cdots\!25}$, $\frac{77\!\cdots\!29}{46\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!96}{96\!\cdots\!75}a^{25}-\frac{55\!\cdots\!33}{46\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!03}{92\!\cdots\!80}a^{23}+\frac{60\!\cdots\!33}{23\!\cdots\!00}a^{22}-\frac{46\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!10}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{66\!\cdots\!69}{92\!\cdots\!80}a^{19}-\frac{59\!\cdots\!13}{76\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{33\!\cdots\!77}{46\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{60\!\cdots\!53}{46\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!63}{38\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{40\!\cdots\!01}{38\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{72\!\cdots\!43}{57\!\cdots\!50}a^{13}+\frac{86\!\cdots\!67}{18\!\cdots\!16}a^{12}+\frac{51\!\cdots\!79}{38\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{54\!\cdots\!83}{46\!\cdots\!00}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!49}{46\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{38\!\cdots\!87}{23\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{98\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{39\!\cdots\!91}{46\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{17\!\cdots\!49}{46\!\cdots\!40}a^{4}-\frac{48\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!61}{46\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{43\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!00}a+\frac{66\!\cdots\!08}{28\!\cdots\!25}$, $\frac{12\!\cdots\!54}{57\!\cdots\!05}a^{26}-\frac{62\!\cdots\!71}{38\!\cdots\!70}a^{25}-\frac{19\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!10}a^{24}+\frac{22\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!80}a^{23}+\frac{39\!\cdots\!41}{92\!\cdots\!08}a^{22}-\frac{78\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!80}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!77}{46\!\cdots\!40}a^{20}+\frac{71\!\cdots\!07}{76\!\cdots\!40}a^{19}-\frac{47\!\cdots\!71}{92\!\cdots\!08}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!01}{23\!\cdots\!20}a^{17}+\frac{55\!\cdots\!31}{46\!\cdots\!40}a^{16}+\frac{45\!\cdots\!71}{76\!\cdots\!40}a^{15}-\frac{23\!\cdots\!51}{23\!\cdots\!20}a^{14}-\frac{23\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!20}a^{12}+\frac{43\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!10}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!10}a^{10}-\frac{94\!\cdots\!83}{46\!\cdots\!40}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!23}{15\!\cdots\!80}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!83}{46\!\cdots\!40}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!80}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!23}{23\!\cdots\!02}a^{5}+\frac{68\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!80}a^{4}-\frac{94\!\cdots\!35}{46\!\cdots\!04}a^{3}-\frac{87\!\cdots\!23}{15\!\cdots\!80}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!76}{57\!\cdots\!05}a+\frac{92\!\cdots\!99}{57\!\cdots\!05}$, $\frac{59\!\cdots\!49}{46\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!91}{15\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{38\!\cdots\!29}{46\!\cdots\!04}a^{23}+\frac{37\!\cdots\!97}{15\!\cdots\!00}a^{22}-\frac{56\!\cdots\!83}{19\!\cdots\!35}a^{21}-\frac{65\!\cdots\!81}{38\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{30\!\cdots\!68}{57\!\cdots\!05}a^{19}-\frac{45\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{65\!\cdots\!59}{19\!\cdots\!50}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!93}{19\!\cdots\!50}a^{14}-\frac{27\!\cdots\!97}{23\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{84\!\cdots\!43}{30\!\cdots\!60}a^{12}+\frac{50\!\cdots\!39}{23\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{33\!\cdots\!03}{46\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{92\!\cdots\!01}{76\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{48\!\cdots\!89}{46\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{18\!\cdots\!41}{96\!\cdots\!75}a^{7}-\frac{59\!\cdots\!63}{76\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!61}{76\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{23\!\cdots\!67}{92\!\cdots\!80}a^{4}-\frac{89\!\cdots\!83}{76\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{30\!\cdots\!62}{96\!\cdots\!75}a^{2}+\frac{26\!\cdots\!69}{19\!\cdots\!50}a+\frac{85\!\cdots\!01}{96\!\cdots\!75}$, $\frac{26\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{26\!\cdots\!97}{15\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{80\!\cdots\!81}{46\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{17\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{50\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!00}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!61}{30\!\cdots\!60}a^{21}-\frac{47\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{88\!\cdots\!01}{92\!\cdots\!80}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!91}{46\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{96\!\cdots\!58}{96\!\cdots\!75}a^{17}+\frac{47\!\cdots\!53}{38\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{46\!\cdots\!67}{76\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!77}{23\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{49\!\cdots\!59}{23\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!67}{23\!\cdots\!20}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!41}{46\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!97}{15\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{43\!\cdots\!29}{23\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!71}{46\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{79\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{42\!\cdots\!89}{92\!\cdots\!80}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!57}{57\!\cdots\!50}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!42}{28\!\cdots\!25}a^{2}+\frac{47\!\cdots\!43}{19\!\cdots\!50}a+\frac{45\!\cdots\!91}{28\!\cdots\!25}$, $\frac{81\!\cdots\!21}{76\!\cdots\!00}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!19}{15\!\cdots\!00}a^{25}-\frac{19\!\cdots\!51}{23\!\cdots\!00}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!20}a^{23}+\frac{35\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!00}a^{22}-\frac{71\!\cdots\!01}{30\!\cdots\!60}a^{21}-\frac{45\!\cdots\!27}{19\!\cdots\!50}a^{20}+\frac{26\!\cdots\!81}{61\!\cdots\!72}a^{19}-\frac{29\!\cdots\!17}{46\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{26\!\cdots\!81}{57\!\cdots\!50}a^{17}+\frac{57\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{66\!\cdots\!97}{23\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{41\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{83\!\cdots\!61}{76\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{80\!\cdots\!57}{46\!\cdots\!40}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!77}{46\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!61}{38\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{57\!\cdots\!97}{23\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{31\!\cdots\!51}{46\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{39\!\cdots\!27}{76\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{50\!\cdots\!27}{30\!\cdots\!60}a^{4}-\frac{93\!\cdots\!11}{23\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{90\!\cdots\!19}{46\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{20\!\cdots\!37}{38\!\cdots\!00}a+\frac{34\!\cdots\!69}{96\!\cdots\!75}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 8214137232374256000 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 8214137232374256000 \cdot 4}{2\cdot\sqrt{25450405558360134867067668541820239712260815470994619689}}\cr\approx \mathstrut & 0.437073503446306 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 9*x^26 - 63*x^25 + 774*x^24 + 834*x^23 - 26013*x^22 + 24482*x^21 + 438771*x^20 - 917742*x^19 - 3954764*x^18 + 12493773*x^17 + 17637390*x^16 - 89943576*x^15 - 16499340*x^14 + 367102377*x^13 - 183437513*x^12 - 838172511*x^11 + 827108970*x^10 + 967374964*x^9 - 1484013339*x^8 - 364627638*x^7 + 1223353523*x^6 - 171844968*x^5 - 419177382*x^4 + 123185675*x^3 + 52146132*x^2 - 17057376*x - 1145024)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^27 - 9*x^26 - 63*x^25 + 774*x^24 + 834*x^23 - 26013*x^22 + 24482*x^21 + 438771*x^20 - 917742*x^19 - 3954764*x^18 + 12493773*x^17 + 17637390*x^16 - 89943576*x^15 - 16499340*x^14 + 367102377*x^13 - 183437513*x^12 - 838172511*x^11 + 827108970*x^10 + 967374964*x^9 - 1484013339*x^8 - 364627638*x^7 + 1223353523*x^6 - 171844968*x^5 - 419177382*x^4 + 123185675*x^3 + 52146132*x^2 - 17057376*x - 1145024, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^27 - 9*x^26 - 63*x^25 + 774*x^24 + 834*x^23 - 26013*x^22 + 24482*x^21 + 438771*x^20 - 917742*x^19 - 3954764*x^18 + 12493773*x^17 + 17637390*x^16 - 89943576*x^15 - 16499340*x^14 + 367102377*x^13 - 183437513*x^12 - 838172511*x^11 + 827108970*x^10 + 967374964*x^9 - 1484013339*x^8 - 364627638*x^7 + 1223353523*x^6 - 171844968*x^5 - 419177382*x^4 + 123185675*x^3 + 52146132*x^2 - 17057376*x - 1145024);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 9*x^26 - 63*x^25 + 774*x^24 + 834*x^23 - 26013*x^22 + 24482*x^21 + 438771*x^20 - 917742*x^19 - 3954764*x^18 + 12493773*x^17 + 17637390*x^16 - 89943576*x^15 - 16499340*x^14 + 367102377*x^13 - 183437513*x^12 - 838172511*x^11 + 827108970*x^10 + 967374964*x^9 - 1484013339*x^8 - 364627638*x^7 + 1223353523*x^6 - 171844968*x^5 - 419177382*x^4 + 123185675*x^3 + 52146132*x^2 - 17057376*x - 1145024);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| An abelian group of order 27 |
| The 27 conjugacy class representatives for $C_3^3$ |
| Character table for $C_3^3$ |
Intermediate fields
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | ${\href{/padicField/2.3.0.1}{3} }^{9}$ | R | ${\href{/padicField/5.3.0.1}{3} }^{9}$ | R | ${\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{9}$ | ${\href{/padicField/13.3.0.1}{3} }^{9}$ | ${\href{/padicField/17.3.0.1}{3} }^{9}$ | R | ${\href{/padicField/23.3.0.1}{3} }^{9}$ | ${\href{/padicField/29.3.0.1}{3} }^{9}$ | ${\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{9}$ | ${\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{9}$ | ${\href{/padicField/41.3.0.1}{3} }^{9}$ | ${\href{/padicField/43.3.0.1}{3} }^{9}$ | ${\href{/padicField/47.3.0.1}{3} }^{9}$ | ${\href{/padicField/53.3.0.1}{3} }^{9}$ | ${\href{/padicField/59.3.0.1}{3} }^{9}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(3\)
| 3.9.12.1 | $x^{9} + 18 x^{8} + 108 x^{7} + 225 x^{6} + 108 x^{5} + 324 x^{4} + 675 x^{3} + 4050 x^{2} - 3861$ | $3$ | $3$ | $12$ | $C_3^2$ | $[2]^{3}$ |
| 3.9.12.1 | $x^{9} + 18 x^{8} + 108 x^{7} + 225 x^{6} + 108 x^{5} + 324 x^{4} + 675 x^{3} + 4050 x^{2} - 3861$ | $3$ | $3$ | $12$ | $C_3^2$ | $[2]^{3}$ | |
| 3.9.12.1 | $x^{9} + 18 x^{8} + 108 x^{7} + 225 x^{6} + 108 x^{5} + 324 x^{4} + 675 x^{3} + 4050 x^{2} - 3861$ | $3$ | $3$ | $12$ | $C_3^2$ | $[2]^{3}$ | |
|
\(7\)
| 7.9.6.1 | $x^{9} + 18 x^{8} + 108 x^{7} + 249 x^{6} + 396 x^{5} + 1944 x^{4} + 2631 x^{3} - 2358 x^{2} - 756 x + 11915$ | $3$ | $3$ | $6$ | $C_3^2$ | $[\ ]_{3}^{3}$ |
| 7.9.6.1 | $x^{9} + 18 x^{8} + 108 x^{7} + 249 x^{6} + 396 x^{5} + 1944 x^{4} + 2631 x^{3} - 2358 x^{2} - 756 x + 11915$ | $3$ | $3$ | $6$ | $C_3^2$ | $[\ ]_{3}^{3}$ | |
| 7.9.6.1 | $x^{9} + 18 x^{8} + 108 x^{7} + 249 x^{6} + 396 x^{5} + 1944 x^{4} + 2631 x^{3} - 2358 x^{2} - 756 x + 11915$ | $3$ | $3$ | $6$ | $C_3^2$ | $[\ ]_{3}^{3}$ | |
|
\(19\)
| 19.9.6.2 | $x^{9} + 981 x^{7} + 108 x^{6} + 316911 x^{5} + 20529 x^{4} + 34115982 x^{3} + 10990188 x^{2} + 130942880 x + 566550143$ | $3$ | $3$ | $6$ | $C_3^2$ | $[\ ]_{3}^{3}$ |
| 19.9.6.2 | $x^{9} + 981 x^{7} + 108 x^{6} + 316911 x^{5} + 20529 x^{4} + 34115982 x^{3} + 10990188 x^{2} + 130942880 x + 566550143$ | $3$ | $3$ | $6$ | $C_3^2$ | $[\ ]_{3}^{3}$ | |
| 19.9.6.2 | $x^{9} + 981 x^{7} + 108 x^{6} + 316911 x^{5} + 20529 x^{4} + 34115982 x^{3} + 10990188 x^{2} + 130942880 x + 566550143$ | $3$ | $3$ | $6$ | $C_3^2$ | $[\ ]_{3}^{3}$ |