Number field 27.27.190011626636442035290748873464670696308223400858835994049561.6

• Label: 27.27.190...561.6
• Degree: $27$
• Signature: $[27, 0]$
• Discriminant: $1.900\times 10^{59}$
• Root discriminant: \(156.86\)
• Ramified primes: $3,19$
• Class number: $1$ (GRH)
• Class group: trivial (GRH)
• Galois group: $C_3^4.C_3\wr C_3$ (as 27T692)

Normalized defining polynomial

x^27 - 252*x^25 - 153*x^24 + 26676*x^23 + 33687*x^22 - 1553364*x^21 - 3053889*x^20 + 54186993*x^19 + 148881606*x^18 - 1139298615*x^17 - 4252897908*x^16 + 13262322753*x^15 + 72283381614*x^14 - 53627977755*x^13 - 701974235448*x^12 - 488492465364*x^11 + 3407798185731*x^10 + 6269229941286*x^9 - 4735327044591*x^8 - 21572290559160*x^7 - 11921681283597*x^6 + 17866911359250*x^5 + 19771712417475*x^4 - 3798660234969*x^3 - 9596654035785*x^2 - 293848572726*x + 1654650680651

Invariants

Degree:		$27$
Signature:		$[27, 0]$
Discriminant:		\(190011626636442035290748873464670696308223400858835994049561\) \(\medspace = 3^{76}\cdot 19^{18}\)
Root discriminant:		\(156.86\)
Galois root discriminant:		not computed
Ramified primes:		\(3\), \(19\)
Discriminant root field:		\(\Q\)
$\card{ \Aut(K/\Q) }$:		$3$
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $\frac{1}{19}a^{12}-\frac{5}{19}a^{10}-\frac{1}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{13}-\frac{5}{19}a^{11}-\frac{1}{19}a^{10}$, $\frac{1}{57}a^{14}+\frac{1}{57}a^{13}+\frac{1}{57}a^{12}-\frac{25}{57}a^{11}+\frac{26}{57}a^{10}-\frac{25}{57}a^{9}-\frac{1}{3}a^{5}-\frac{1}{3}a^{4}-\frac{1}{3}a^{3}+\frac{1}{3}a^{2}+\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{1083}a^{15}-\frac{8}{361}a^{13}-\frac{20}{1083}a^{12}-\frac{8}{19}a^{11}-\frac{1}{19}a^{10}+\frac{13}{57}a^{9}+\frac{3}{19}a^{8}+\frac{3}{19}a^{7}+\frac{8}{57}a^{6}+\frac{1}{19}a^{5}-\frac{4}{19}a^{4}-\frac{16}{57}a^{3}-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{1083}a^{16}-\frac{5}{1083}a^{14}-\frac{1}{1083}a^{13}+\frac{1}{57}a^{12}-\frac{28}{57}a^{11}-\frac{8}{19}a^{10}+\frac{17}{57}a^{9}+\frac{3}{19}a^{8}+\frac{8}{57}a^{7}+\frac{1}{19}a^{6}+\frac{26}{57}a^{5}+\frac{22}{57}a^{4}-\frac{1}{3}a^{3}+\frac{1}{3}a^{2}+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{1083}a^{17}-\frac{1}{1083}a^{14}+\frac{13}{1083}a^{13}-\frac{5}{1083}a^{12}-\frac{1}{19}a^{11}+\frac{2}{57}a^{10}-\frac{16}{57}a^{9}-\frac{4}{57}a^{8}-\frac{3}{19}a^{7}+\frac{3}{19}a^{6}-\frac{20}{57}a^{5}-\frac{22}{57}a^{4}-\frac{4}{57}a^{3}+\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{20577}a^{18}-\frac{5}{20577}a^{16}-\frac{1}{20577}a^{15}+\frac{3}{361}a^{14}+\frac{10}{1083}a^{13}-\frac{7}{1083}a^{12}-\frac{149}{361}a^{11}-\frac{428}{1083}a^{10}+\frac{161}{361}a^{9}-\frac{94}{361}a^{8}-\frac{31}{1083}a^{7}+\frac{535}{1083}a^{6}-\frac{4}{19}a^{5}-\frac{4}{57}a^{4}-\frac{26}{57}a^{3}-\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{20577}a^{19}-\frac{5}{20577}a^{17}-\frac{1}{20577}a^{16}-\frac{3}{361}a^{14}+\frac{1}{57}a^{13}-\frac{1}{1083}a^{12}-\frac{409}{1083}a^{11}+\frac{331}{1083}a^{10}-\frac{149}{1083}a^{9}-\frac{487}{1083}a^{8}+\frac{79}{1083}a^{7}-\frac{9}{19}a^{6}-\frac{4}{19}a^{5}-\frac{13}{57}a^{4}-\frac{8}{57}a^{3}+\frac{1}{3}a^{2}+\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{20577}a^{20}-\frac{1}{20577}a^{17}-\frac{2}{6859}a^{16}-\frac{5}{20577}a^{15}+\frac{2}{1083}a^{14}+\frac{1}{361}a^{13}+\frac{22}{1083}a^{12}+\frac{81}{361}a^{11}+\frac{92}{361}a^{10}-\frac{200}{1083}a^{9}+\frac{379}{1083}a^{8}-\frac{20}{361}a^{7}-\frac{460}{1083}a^{6}-\frac{20}{57}a^{5}+\frac{11}{57}a^{3}-\frac{1}{3}a^{2}-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{390963}a^{21}-\frac{5}{390963}a^{19}-\frac{1}{390963}a^{18}+\frac{3}{6859}a^{17}-\frac{3}{6859}a^{16}-\frac{7}{20577}a^{15}+\frac{3}{6859}a^{14}-\frac{16}{6859}a^{13}+\frac{161}{6859}a^{12}-\frac{816}{6859}a^{11}+\frac{7189}{20577}a^{10}+\frac{7033}{20577}a^{9}-\frac{175}{361}a^{8}+\frac{176}{361}a^{7}+\frac{487}{1083}a^{6}-\frac{9}{19}a^{5}-\frac{6}{19}a^{4}-\frac{10}{57}a^{3}+\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{390963}a^{22}-\frac{5}{390963}a^{20}-\frac{1}{390963}a^{19}-\frac{3}{6859}a^{17}-\frac{1}{20577}a^{15}+\frac{47}{20577}a^{14}-\frac{124}{6859}a^{13}-\frac{149}{20577}a^{12}-\frac{487}{20577}a^{11}-\frac{2260}{6859}a^{10}-\frac{28}{361}a^{9}+\frac{129}{361}a^{8}+\frac{97}{361}a^{7}-\frac{179}{1083}a^{6}+\frac{16}{57}a^{5}-\frac{25}{57}a^{4}-\frac{16}{57}a^{3}+\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{390963}a^{23}-\frac{1}{390963}a^{20}-\frac{2}{130321}a^{19}-\frac{5}{390963}a^{18}+\frac{2}{20577}a^{17}+\frac{1}{6859}a^{16}+\frac{1}{6859}a^{15}-\frac{118}{20577}a^{14}+\frac{371}{20577}a^{13}-\frac{181}{20577}a^{12}-\frac{10090}{20577}a^{11}-\frac{2948}{20577}a^{10}-\frac{460}{20577}a^{9}-\frac{20}{1083}a^{8}+\frac{2}{19}a^{7}+\frac{162}{361}a^{6}-\frac{5}{19}a^{5}-\frac{20}{57}a^{4}+\frac{1}{57}a^{3}-\frac{1}{3}a^{2}-\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{7428297}a^{24}-\frac{5}{7428297}a^{22}-\frac{1}{7428297}a^{21}+\frac{3}{130321}a^{20}-\frac{3}{130321}a^{19}-\frac{7}{390963}a^{18}+\frac{3}{130321}a^{17}-\frac{16}{130321}a^{16}+\frac{122}{390963}a^{15}-\frac{816}{130321}a^{14}-\frac{4724}{390963}a^{13}-\frac{2108}{130321}a^{12}-\frac{3424}{6859}a^{11}-\frac{1268}{6859}a^{10}-\frac{1763}{6859}a^{9}+\frac{67}{361}a^{8}+\frac{89}{361}a^{7}-\frac{73}{361}a^{6}+\frac{6}{19}a^{5}+\frac{16}{57}a^{4}-\frac{17}{57}a^{3}+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{51998079}a^{25}-\frac{1}{51998079}a^{24}-\frac{43}{51998079}a^{23}+\frac{4}{51998079}a^{22}+\frac{13}{17332693}a^{21}+\frac{22}{2736741}a^{20}+\frac{7}{390963}a^{19}-\frac{62}{2736741}a^{18}+\frac{4}{144039}a^{17}-\frac{305}{2736741}a^{16}-\frac{43}{2736741}a^{15}-\frac{19927}{2736741}a^{14}+\frac{13742}{912247}a^{13}-\frac{62095}{2736741}a^{12}+\frac{1315}{6859}a^{11}-\frac{43138}{144039}a^{10}+\frac{5504}{144039}a^{9}+\frac{2396}{7581}a^{8}+\frac{451}{7581}a^{7}-\frac{3007}{7581}a^{6}+\frac{23}{399}a^{5}-\frac{10}{399}a^{4}-\frac{26}{57}a^{3}-\frac{4}{21}a^{2}-\frac{1}{7}$, $\frac{1}{19\!\cdots\!01}a^{26}+\frac{19\!\cdots\!44}{65\!\cdots\!67}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!51}{19\!\cdots\!01}a^{24}-\frac{33\!\cdots\!52}{28\!\cdots\!43}a^{23}+\frac{33\!\cdots\!38}{65\!\cdots\!67}a^{22}+\frac{15\!\cdots\!43}{94\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{80\!\cdots\!51}{34\!\cdots\!93}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{73\!\cdots\!19}{34\!\cdots\!93}a^{18}-\frac{97\!\cdots\!49}{34\!\cdots\!93}a^{17}-\frac{41\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!79}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!79}a^{15}+\frac{78\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{91\!\cdots\!90}{70\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{21\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!79}a^{12}+\frac{38\!\cdots\!56}{18\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{31\!\cdots\!22}{78\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!56}{54\!\cdots\!41}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!55}{28\!\cdots\!39}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!99}{28\!\cdots\!39}a^{7}+\frac{92\!\cdots\!13}{28\!\cdots\!39}a^{6}+\frac{84\!\cdots\!24}{50\!\cdots\!27}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!95}{50\!\cdots\!27}a^{4}+\frac{73\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{47\!\cdots\!57}{26\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!54}{26\!\cdots\!33}a-\frac{30\!\cdots\!14}{79\!\cdots\!99}$

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$26$
Torsion generator:		\( -1 \)  (order $2$)
Fundamental units:		$\frac{18\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!63}a^{26}+\frac{44\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!63}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!55}{69\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{11\!\cdots\!29}{32\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{48\!\cdots\!30}{23\!\cdots\!63}a^{22}+\frac{21\!\cdots\!80}{98\!\cdots\!27}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{43\!\cdots\!72}{12\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{53\!\cdots\!33}{12\!\cdots\!77}a^{18}-\frac{24\!\cdots\!73}{12\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{62\!\cdots\!06}{63\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{43\!\cdots\!09}{36\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!77}a^{14}-\frac{47\!\cdots\!29}{17\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{39\!\cdots\!61}{36\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!00}{63\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{32\!\cdots\!04}{91\!\cdots\!69}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!41}{63\!\cdots\!83}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!41}{33\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{17\!\cdots\!69}{33\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{56\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!71}a^{6}-\frac{59\!\cdots\!68}{17\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!02}{17\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!55}{53\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{29\!\cdots\!54}{93\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{30\!\cdots\!48}{93\!\cdots\!37}a-\frac{53\!\cdots\!22}{93\!\cdots\!37}$, $\frac{30\!\cdots\!12}{23\!\cdots\!63}a^{26}+\frac{72\!\cdots\!20}{23\!\cdots\!63}a^{25}+\frac{22\!\cdots\!69}{69\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{19\!\cdots\!28}{32\!\cdots\!09}a^{23}-\frac{77\!\cdots\!96}{23\!\cdots\!63}a^{22}+\frac{36\!\cdots\!99}{98\!\cdots\!27}a^{21}+\frac{23\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{85\!\cdots\!36}{12\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{83\!\cdots\!36}{12\!\cdots\!77}a^{18}-\frac{33\!\cdots\!26}{12\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{99\!\cdots\!13}{63\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{65\!\cdots\!55}{36\!\cdots\!31}a^{15}-\frac{26\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!77}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!62}{24\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{62\!\cdots\!58}{36\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{32\!\cdots\!89}{63\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{52\!\cdots\!15}{91\!\cdots\!69}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!92}{63\!\cdots\!83}a^{9}-\frac{27\!\cdots\!39}{33\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{27\!\cdots\!97}{33\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{87\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!71}a^{6}-\frac{90\!\cdots\!75}{17\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!66}{17\!\cdots\!03}a^{4}-\frac{53\!\cdots\!78}{53\!\cdots\!09}a^{3}+\frac{46\!\cdots\!65}{93\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{52\!\cdots\!55}{93\!\cdots\!37}a-\frac{84\!\cdots\!09}{93\!\cdots\!37}$, $\frac{11\!\cdots\!18}{52\!\cdots\!31}a^{26}+\frac{26\!\cdots\!91}{52\!\cdots\!31}a^{25}+\frac{88\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{68\!\cdots\!30}{75\!\cdots\!33}a^{23}-\frac{30\!\cdots\!18}{52\!\cdots\!31}a^{22}+\frac{41\!\cdots\!09}{75\!\cdots\!33}a^{21}+\frac{94\!\cdots\!88}{27\!\cdots\!49}a^{20}-\frac{19\!\cdots\!21}{27\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{53\!\cdots\!72}{43\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!68}{27\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{75\!\cdots\!02}{27\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{29\!\cdots\!77}{83\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!70}{27\!\cdots\!49}a^{14}-\frac{31\!\cdots\!43}{39\!\cdots\!07}a^{13}+\frac{82\!\cdots\!86}{27\!\cdots\!49}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!28}{14\!\cdots\!71}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!79}{20\!\cdots\!53}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!27}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!18}{77\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!05}{77\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{37\!\cdots\!15}{23\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{37\!\cdots\!05}{40\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{80\!\cdots\!21}{40\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!22}{40\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!65}{21\!\cdots\!69}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!59}{21\!\cdots\!69}a-\frac{10\!\cdots\!55}{64\!\cdots\!07}$, $\frac{11\!\cdots\!18}{52\!\cdots\!31}a^{26}+\frac{26\!\cdots\!91}{52\!\cdots\!31}a^{25}+\frac{88\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{68\!\cdots\!30}{75\!\cdots\!33}a^{23}-\frac{30\!\cdots\!18}{52\!\cdots\!31}a^{22}+\frac{41\!\cdots\!09}{75\!\cdots\!33}a^{21}+\frac{94\!\cdots\!88}{27\!\cdots\!49}a^{20}-\frac{19\!\cdots\!21}{27\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{53\!\cdots\!72}{43\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!68}{27\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{75\!\cdots\!02}{27\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{29\!\cdots\!77}{83\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!70}{27\!\cdots\!49}a^{14}-\frac{31\!\cdots\!43}{39\!\cdots\!07}a^{13}+\frac{82\!\cdots\!86}{27\!\cdots\!49}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!28}{14\!\cdots\!71}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!79}{20\!\cdots\!53}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!27}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!18}{77\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!05}{77\!\cdots\!09}a^{7}+\frac{37\!\cdots\!15}{23\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{37\!\cdots\!05}{40\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{80\!\cdots\!21}{40\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!22}{40\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!65}{21\!\cdots\!69}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!59}{21\!\cdots\!69}a-\frac{10\!\cdots\!62}{64\!\cdots\!07}$, $\frac{34\!\cdots\!06}{52\!\cdots\!31}a^{26}+\frac{23\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{84\!\cdots\!14}{52\!\cdots\!31}a^{24}-\frac{20\!\cdots\!07}{75\!\cdots\!33}a^{23}-\frac{26\!\cdots\!80}{15\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{38\!\cdots\!46}{22\!\cdots\!99}a^{21}+\frac{26\!\cdots\!95}{27\!\cdots\!49}a^{20}-\frac{22\!\cdots\!10}{83\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{28\!\cdots\!88}{83\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{44\!\cdots\!76}{27\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{64\!\cdots\!03}{83\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{78\!\cdots\!76}{83\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{29\!\cdots\!25}{27\!\cdots\!49}a^{14}-\frac{25\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!29}{27\!\cdots\!49}a^{12}+\frac{37\!\cdots\!08}{14\!\cdots\!71}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!98}{62\!\cdots\!59}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!82}{14\!\cdots\!71}a^{9}-\frac{32\!\cdots\!44}{77\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{94\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!27}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!15}{23\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!67}{40\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{66\!\cdots\!84}{12\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!17}{12\!\cdots\!33}a^{3}+\frac{53\!\cdots\!47}{21\!\cdots\!69}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!51}{64\!\cdots\!07}a-\frac{28\!\cdots\!80}{64\!\cdots\!07}$, $\frac{18\!\cdots\!74}{52\!\cdots\!31}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{45\!\cdots\!12}{52\!\cdots\!31}a^{24}-\frac{81\!\cdots\!06}{75\!\cdots\!33}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!97}{15\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{17\!\cdots\!70}{32\!\cdots\!57}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!38}{27\!\cdots\!49}a^{20}+\frac{55\!\cdots\!93}{83\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!03}{83\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{44\!\cdots\!49}{27\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{35\!\cdots\!65}{83\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{56\!\cdots\!52}{83\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!49}{27\!\cdots\!49}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{36\!\cdots\!00}{83\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{23\!\cdots\!89}{14\!\cdots\!71}a^{11}-\frac{78\!\cdots\!46}{62\!\cdots\!59}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!27}{14\!\cdots\!71}a^{9}-\frac{32\!\cdots\!87}{77\!\cdots\!09}a^{8}+\frac{55\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!27}a^{7}+\frac{68\!\cdots\!86}{23\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{54\!\cdots\!83}{40\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{43\!\cdots\!77}{12\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{93\!\cdots\!63}{40\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{35\!\cdots\!23}{21\!\cdots\!69}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!13}{64\!\cdots\!07}a-\frac{20\!\cdots\!94}{64\!\cdots\!07}$, $\frac{28\!\cdots\!35}{52\!\cdots\!31}a^{26}-\frac{18\!\cdots\!19}{15\!\cdots\!93}a^{25}-\frac{21\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!27}{75\!\cdots\!33}a^{23}+\frac{22\!\cdots\!00}{15\!\cdots\!93}a^{22}-\frac{93\!\cdots\!21}{75\!\cdots\!33}a^{21}-\frac{22\!\cdots\!41}{27\!\cdots\!49}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!92}{83\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{24\!\cdots\!96}{83\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{47\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!49}a^{17}-\frac{54\!\cdots\!51}{83\!\cdots\!47}a^{16}-\frac{73\!\cdots\!15}{83\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{25\!\cdots\!76}{27\!\cdots\!49}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!40}{62\!\cdots\!59}a^{13}-\frac{59\!\cdots\!29}{83\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{32\!\cdots\!97}{14\!\cdots\!71}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!09}{62\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{19\!\cdots\!73}{14\!\cdots\!71}a^{9}+\frac{35\!\cdots\!18}{77\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{81\!\cdots\!20}{23\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{30\!\cdots\!22}{77\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{88\!\cdots\!81}{40\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{59\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!33}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!05}{12\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{48\!\cdots\!53}{21\!\cdots\!69}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!85}{64\!\cdots\!07}a+\frac{26\!\cdots\!83}{64\!\cdots\!07}$, $\frac{88\!\cdots\!57}{52\!\cdots\!31}a^{26}-\frac{61\!\cdots\!28}{15\!\cdots\!93}a^{25}-\frac{65\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{52\!\cdots\!93}{75\!\cdots\!33}a^{23}+\frac{67\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!93}a^{22}-\frac{32\!\cdots\!41}{75\!\cdots\!33}a^{21}-\frac{69\!\cdots\!56}{27\!\cdots\!49}a^{20}+\frac{59\!\cdots\!39}{83\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{74\!\cdots\!38}{83\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!33}{27\!\cdots\!49}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!45}{83\!\cdots\!47}a^{16}-\frac{67\!\cdots\!19}{27\!\cdots\!49}a^{15}+\frac{77\!\cdots\!10}{27\!\cdots\!49}a^{14}+\frac{94\!\cdots\!72}{17\!\cdots\!03}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!74}{83\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{96\!\cdots\!51}{14\!\cdots\!71}a^{11}+\frac{45\!\cdots\!69}{62\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{58\!\cdots\!48}{14\!\cdots\!71}a^{9}+\frac{83\!\cdots\!41}{77\!\cdots\!09}a^{8}-\frac{24\!\cdots\!03}{23\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{26\!\cdots\!87}{23\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{27\!\cdots\!88}{40\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!62}{12\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!50}{12\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!08}{21\!\cdots\!69}a^{2}-\frac{43\!\cdots\!80}{64\!\cdots\!07}a+\frac{74\!\cdots\!77}{64\!\cdots\!07}$, $\frac{40\!\cdots\!50}{19\!\cdots\!01}a^{26}+\frac{24\!\cdots\!67}{65\!\cdots\!67}a^{25}+\frac{99\!\cdots\!45}{19\!\cdots\!01}a^{24}-\frac{17\!\cdots\!61}{28\!\cdots\!43}a^{23}-\frac{18\!\cdots\!25}{34\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{80\!\cdots\!39}{28\!\cdots\!43}a^{21}+\frac{56\!\cdots\!16}{18\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{56\!\cdots\!84}{10\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!48}{10\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{25\!\cdots\!37}{10\!\cdots\!79}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!21}{34\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{35\!\cdots\!47}{10\!\cdots\!79}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!14}{14\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{89\!\cdots\!59}{34\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{27\!\cdots\!66}{28\!\cdots\!39}a^{11}-\frac{55\!\cdots\!77}{78\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!91}{18\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{25\!\cdots\!39}{96\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{41\!\cdots\!92}{28\!\cdots\!39}a^{7}+\frac{52\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!39}a^{6}-\frac{40\!\cdots\!76}{50\!\cdots\!27}a^{5}-\frac{33\!\cdots\!14}{15\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{23\!\cdots\!65}{15\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{81\!\cdots\!54}{79\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{38\!\cdots\!73}{26\!\cdots\!33}a-\frac{15\!\cdots\!19}{79\!\cdots\!99}$, $\frac{84\!\cdots\!02}{65\!\cdots\!67}a^{26}-\frac{58\!\cdots\!49}{19\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{62\!\cdots\!22}{19\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!21}{28\!\cdots\!43}a^{23}+\frac{64\!\cdots\!73}{19\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{45\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{66\!\cdots\!21}{34\!\cdots\!93}a^{20}+\frac{56\!\cdots\!19}{10\!\cdots\!79}a^{19}+\frac{23\!\cdots\!97}{34\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{32\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!79}a^{17}-\frac{15\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{64\!\cdots\!87}{34\!\cdots\!93}a^{15}+\frac{22\!\cdots\!37}{10\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{63\!\cdots\!96}{14\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{27\!\cdots\!09}{54\!\cdots\!41}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!89}{26\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!87}{54\!\cdots\!41}a^{9}+\frac{23\!\cdots\!82}{28\!\cdots\!39}a^{8}-\frac{77\!\cdots\!40}{96\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!27}{28\!\cdots\!39}a^{6}+\frac{26\!\cdots\!63}{50\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{54\!\cdots\!10}{50\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{39\!\cdots\!70}{79\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{41\!\cdots\!77}{79\!\cdots\!99}a+\frac{71\!\cdots\!92}{79\!\cdots\!99}$, $\frac{13\!\cdots\!41}{19\!\cdots\!01}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!80}{65\!\cdots\!67}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!03}{65\!\cdots\!67}a^{24}-\frac{26\!\cdots\!99}{94\!\cdots\!81}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!33}{65\!\cdots\!67}a^{22}+\frac{68\!\cdots\!77}{40\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!79}a^{20}-\frac{85\!\cdots\!56}{34\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!90}{34\!\cdots\!93}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{28\!\cdots\!68}{34\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{35\!\cdots\!68}{34\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{39\!\cdots\!45}{34\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!26}{49\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{92\!\cdots\!87}{10\!\cdots\!79}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!80}{54\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{75\!\cdots\!25}{26\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{29\!\cdots\!59}{18\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!73}{28\!\cdots\!39}a^{8}+\frac{41\!\cdots\!02}{96\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{45\!\cdots\!20}{96\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!71}{50\!\cdots\!27}a^{5}-\frac{29\!\cdots\!89}{50\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{75\!\cdots\!39}{15\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{21\!\cdots\!45}{79\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{78\!\cdots\!40}{26\!\cdots\!33}a-\frac{12\!\cdots\!74}{26\!\cdots\!33}$, $\frac{13\!\cdots\!41}{19\!\cdots\!01}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!80}{65\!\cdots\!67}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!03}{65\!\cdots\!67}a^{24}-\frac{26\!\cdots\!99}{94\!\cdots\!81}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!33}{65\!\cdots\!67}a^{22}+\frac{68\!\cdots\!77}{40\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!79}a^{20}-\frac{85\!\cdots\!56}{34\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!90}{34\!\cdots\!93}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{28\!\cdots\!68}{34\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{35\!\cdots\!68}{34\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{39\!\cdots\!45}{34\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!26}{49\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{92\!\cdots\!87}{10\!\cdots\!79}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!80}{54\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{75\!\cdots\!25}{26\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{29\!\cdots\!59}{18\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!73}{28\!\cdots\!39}a^{8}+\frac{41\!\cdots\!02}{96\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{45\!\cdots\!20}{96\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!71}{50\!\cdots\!27}a^{5}-\frac{29\!\cdots\!89}{50\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{75\!\cdots\!39}{15\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{21\!\cdots\!45}{79\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{78\!\cdots\!40}{26\!\cdots\!33}a-\frac{12\!\cdots\!41}{26\!\cdots\!33}$, $\frac{99\!\cdots\!33}{19\!\cdots\!01}a^{26}+\frac{26\!\cdots\!09}{19\!\cdots\!01}a^{25}+\frac{42\!\cdots\!79}{34\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{70\!\cdots\!72}{28\!\cdots\!43}a^{23}-\frac{25\!\cdots\!01}{19\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{16\!\cdots\!88}{94\!\cdots\!81}a^{21}+\frac{77\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!79}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!65}{34\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{92\!\cdots\!42}{34\!\cdots\!93}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!80}{34\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!76}{34\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!55}{34\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{29\!\cdots\!48}{34\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{21\!\cdots\!58}{14\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!99}{34\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{96\!\cdots\!39}{54\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!32}{96\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!06}{28\!\cdots\!39}a^{8}+\frac{86\!\cdots\!14}{28\!\cdots\!39}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!79}{96\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{33\!\cdots\!99}{15\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{17\!\cdots\!78}{50\!\cdots\!27}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!15}{50\!\cdots\!27}a^{3}+\frac{41\!\cdots\!99}{26\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{59\!\cdots\!55}{79\!\cdots\!99}a-\frac{69\!\cdots\!81}{26\!\cdots\!33}$, $\frac{38\!\cdots\!28}{65\!\cdots\!67}a^{26}+\frac{87\!\cdots\!79}{65\!\cdots\!67}a^{25}+\frac{28\!\cdots\!36}{19\!\cdots\!01}a^{24}-\frac{67\!\cdots\!50}{28\!\cdots\!43}a^{23}-\frac{29\!\cdots\!13}{19\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{40\!\cdots\!92}{28\!\cdots\!43}a^{21}+\frac{90\!\cdots\!06}{10\!\cdots\!79}a^{20}-\frac{21\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{32\!\cdots\!85}{10\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{72\!\cdots\!87}{10\!\cdots\!79}a^{16}+\frac{91\!\cdots\!38}{10\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!85}{10\!\cdots\!79}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!39}{70\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{79\!\cdots\!41}{10\!\cdots\!79}a^{12}+\frac{42\!\cdots\!64}{18\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!92}{78\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{77\!\cdots\!44}{54\!\cdots\!41}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!19}{28\!\cdots\!39}a^{8}+\frac{56\!\cdots\!19}{15\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!40}{28\!\cdots\!39}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!08}{50\!\cdots\!27}a^{5}-\frac{75\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{82\!\cdots\!42}{15\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!71}{79\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{69\!\cdots\!57}{26\!\cdots\!33}a-\frac{33\!\cdots\!89}{79\!\cdots\!99}$, $\frac{25\!\cdots\!98}{65\!\cdots\!67}a^{26}+\frac{39\!\cdots\!36}{65\!\cdots\!67}a^{25}+\frac{64\!\cdots\!79}{65\!\cdots\!67}a^{24}-\frac{24\!\cdots\!73}{28\!\cdots\!43}a^{23}-\frac{68\!\cdots\!42}{65\!\cdots\!67}a^{22}+\frac{66\!\cdots\!98}{28\!\cdots\!43}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!89}{34\!\cdots\!93}a^{20}+\frac{30\!\cdots\!45}{10\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{75\!\cdots\!03}{34\!\cdots\!93}a^{18}-\frac{27\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{50\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!79}a^{16}+\frac{98\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{36\!\cdots\!41}{54\!\cdots\!41}a^{14}-\frac{27\!\cdots\!33}{14\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{50\!\cdots\!21}{10\!\cdots\!79}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!64}{54\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{27\!\cdots\!18}{26\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{64\!\cdots\!62}{54\!\cdots\!41}a^{9}-\frac{21\!\cdots\!37}{28\!\cdots\!39}a^{8}+\frac{83\!\cdots\!30}{28\!\cdots\!39}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!01}{28\!\cdots\!39}a^{6}-\frac{69\!\cdots\!52}{50\!\cdots\!27}a^{5}-\frac{74\!\cdots\!70}{15\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{31\!\cdots\!68}{50\!\cdots\!27}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!83}{79\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{32\!\cdots\!00}{79\!\cdots\!99}a-\frac{36\!\cdots\!10}{79\!\cdots\!99}$, $\frac{11\!\cdots\!23}{65\!\cdots\!67}a^{26}-\frac{21\!\cdots\!80}{65\!\cdots\!67}a^{25}-\frac{83\!\cdots\!18}{19\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{80\!\cdots\!24}{14\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{87\!\cdots\!22}{19\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{75\!\cdots\!27}{28\!\cdots\!43}a^{21}-\frac{89\!\cdots\!09}{34\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!80}{34\!\cdots\!93}a^{19}+\frac{32\!\cdots\!15}{34\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{81\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!79}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!75}{54\!\cdots\!41}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!64}{34\!\cdots\!93}a^{15}+\frac{29\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!02}{26\!\cdots\!21}a^{13}-\frac{75\!\cdots\!51}{34\!\cdots\!93}a^{12}-\frac{42\!\cdots\!41}{54\!\cdots\!41}a^{11}+\frac{47\!\cdots\!36}{78\!\cdots\!63}a^{10}+\frac{25\!\cdots\!50}{54\!\cdots\!41}a^{9}+\frac{62\!\cdots\!96}{28\!\cdots\!39}a^{8}-\frac{33\!\cdots\!36}{28\!\cdots\!39}a^{7}-\frac{43\!\cdots\!07}{28\!\cdots\!39}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!17}{50\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!26}{15\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{67\!\cdots\!88}{79\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{99\!\cdots\!19}{79\!\cdots\!99}a+\frac{12\!\cdots\!83}{79\!\cdots\!99}$, $\frac{23\!\cdots\!94}{19\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{18\!\cdots\!41}{65\!\cdots\!67}a^{25}-\frac{59\!\cdots\!93}{19\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!07}{28\!\cdots\!43}a^{23}+\frac{61\!\cdots\!34}{19\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{83\!\cdots\!28}{28\!\cdots\!43}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!07}{10\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!90}{34\!\cdots\!93}a^{19}+\frac{67\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!79}a^{18}+\frac{36\!\cdots\!83}{10\!\cdots\!79}a^{17}-\frac{15\!\cdots\!25}{10\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{65\!\cdots\!53}{34\!\cdots\!93}a^{15}+\frac{21\!\cdots\!07}{10\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{62\!\cdots\!60}{14\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{16\!\cdots\!98}{10\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{26\!\cdots\!57}{54\!\cdots\!41}a^{11}+\frac{40\!\cdots\!83}{78\!\cdots\!63}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!52}{54\!\cdots\!41}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!94}{28\!\cdots\!39}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!52}{28\!\cdots\!39}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!66}{28\!\cdots\!39}a^{6}+\frac{74\!\cdots\!30}{15\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{53\!\cdots\!72}{50\!\cdots\!27}a^{4}+\frac{85\!\cdots\!78}{50\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{39\!\cdots\!05}{79\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{45\!\cdots\!16}{79\!\cdots\!99}a+\frac{23\!\cdots\!06}{26\!\cdots\!33}$, $\frac{11\!\cdots\!78}{65\!\cdots\!67}a^{26}-\frac{39\!\cdots\!35}{19\!\cdots\!01}a^{25}+\frac{47\!\cdots\!78}{10\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{20\!\cdots\!74}{28\!\cdots\!43}a^{23}-\frac{98\!\cdots\!73}{19\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{99\!\cdots\!55}{94\!\cdots\!81}a^{21}+\frac{30\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{27\!\cdots\!13}{34\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!92}{34\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{24\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!79}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{29\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!79}a^{14}-\frac{79\!\cdots\!77}{49\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{51\!\cdots\!21}{34\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{87\!\cdots\!00}{54\!\cdots\!41}a^{11}+\frac{46\!\cdots\!64}{78\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{46\!\cdots\!24}{54\!\cdots\!41}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!31}{96\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{17\!\cdots\!53}{96\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!61}{28\!\cdots\!39}a^{6}-\frac{63\!\cdots\!36}{15\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{70\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{70\!\cdots\!92}{50\!\cdots\!27}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!26}{79\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{48\!\cdots\!01}{79\!\cdots\!99}a-\frac{38\!\cdots\!96}{79\!\cdots\!99}$, $\frac{99\!\cdots\!92}{65\!\cdots\!67}a^{26}-\frac{68\!\cdots\!39}{19\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{73\!\cdots\!82}{19\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{17\!\cdots\!17}{28\!\cdots\!43}a^{23}+\frac{77\!\cdots\!89}{19\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{35\!\cdots\!50}{94\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{23\!\cdots\!56}{10\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{96\!\cdots\!38}{18\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{28\!\cdots\!92}{34\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{43\!\cdots\!38}{10\!\cdots\!79}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!80}{10\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{23\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!79}a^{15}+\frac{26\!\cdots\!66}{10\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{25\!\cdots\!40}{49\!\cdots\!99}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!38}{18\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{50\!\cdots\!07}{78\!\cdots\!63}a^{10}+\frac{20\!\cdots\!99}{54\!\cdots\!41}a^{9}+\frac{88\!\cdots\!81}{79\!\cdots\!99}a^{8}-\frac{93\!\cdots\!09}{96\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!30}{96\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{31\!\cdots\!71}{50\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!96}{15\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{48\!\cdots\!22}{79\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{54\!\cdots\!97}{79\!\cdots\!99}a+\frac{88\!\cdots\!90}{79\!\cdots\!99}$, $\frac{15\!\cdots\!34}{19\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{36\!\cdots\!32}{19\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{38\!\cdots\!88}{19\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{95\!\cdots\!62}{28\!\cdots\!43}a^{23}+\frac{40\!\cdots\!59}{19\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{59\!\cdots\!94}{28\!\cdots\!43}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!11}{10\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{36\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!79}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!90}{34\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{67\!\cdots\!49}{34\!\cdots\!93}a^{17}-\frac{99\!\cdots\!74}{10\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!09}{10\!\cdots\!79}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{39\!\cdots\!95}{14\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{36\!\cdots\!50}{34\!\cdots\!93}a^{12}-\frac{57\!\cdots\!16}{18\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{27\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!63}a^{10}+\frac{55\!\cdots\!70}{28\!\cdots\!39}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!24}{28\!\cdots\!39}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!47}{28\!\cdots\!39}a^{7}-\frac{52\!\cdots\!40}{96\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!19}{50\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!82}{15\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{72\!\cdots\!24}{15\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{24\!\cdots\!34}{79\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{27\!\cdots\!15}{79\!\cdots\!99}a+\frac{45\!\cdots\!78}{79\!\cdots\!99}$, $\frac{34\!\cdots\!17}{65\!\cdots\!67}a^{26}+\frac{78\!\cdots\!84}{65\!\cdots\!67}a^{25}+\frac{25\!\cdots\!82}{19\!\cdots\!01}a^{24}-\frac{20\!\cdots\!47}{94\!\cdots\!81}a^{23}-\frac{26\!\cdots\!80}{19\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{52\!\cdots\!55}{40\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{82\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!79}a^{20}-\frac{60\!\cdots\!12}{34\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{29\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{51\!\cdots\!17}{34\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{65\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!79}a^{16}+\frac{28\!\cdots\!40}{34\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!16}{34\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{89\!\cdots\!59}{49\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{72\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!79}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!06}{54\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{92\!\cdots\!41}{41\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{70\!\cdots\!25}{54\!\cdots\!41}a^{9}-\frac{37\!\cdots\!12}{96\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{97\!\cdots\!83}{28\!\cdots\!39}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!42}{28\!\cdots\!39}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!05}{50\!\cdots\!27}a^{5}-\frac{69\!\cdots\!42}{15\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{28\!\cdots\!65}{50\!\cdots\!27}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!03}{79\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!38}{79\!\cdots\!99}a-\frac{10\!\cdots\!57}{26\!\cdots\!33}$, $\frac{39\!\cdots\!96}{65\!\cdots\!67}a^{26}+\frac{89\!\cdots\!99}{65\!\cdots\!67}a^{25}+\frac{50\!\cdots\!40}{34\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{68\!\cdots\!21}{28\!\cdots\!43}a^{23}-\frac{30\!\cdots\!44}{19\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!81}{94\!\cdots\!81}a^{21}+\frac{48\!\cdots\!85}{54\!\cdots\!41}a^{20}-\frac{75\!\cdots\!09}{34\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{32\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{74\!\cdots\!80}{10\!\cdots\!79}a^{16}+\frac{31\!\cdots\!60}{34\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!79}a^{14}-\frac{30\!\cdots\!82}{14\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!68}{34\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!60}{54\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{78\!\cdots\!89}{54\!\cdots\!41}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!51}{28\!\cdots\!39}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!28}{28\!\cdots\!39}a^{7}+\frac{39\!\cdots\!03}{96\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!45}{50\!\cdots\!27}a^{5}-\frac{25\!\cdots\!22}{50\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{25\!\cdots\!39}{50\!\cdots\!27}a^{3}+\frac{63\!\cdots\!44}{26\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{21\!\cdots\!18}{79\!\cdots\!99}a-\frac{34\!\cdots\!53}{79\!\cdots\!99}$, $\frac{16\!\cdots\!91}{65\!\cdots\!67}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!60}{19\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!81}{19\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{44\!\cdots\!98}{49\!\cdots\!99}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!65}{19\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{65\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!83}a^{21}-\frac{39\!\cdots\!66}{10\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{88\!\cdots\!41}{10\!\cdots\!79}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!79}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!79}a^{17}-\frac{32\!\cdots\!80}{10\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{46\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!79}a^{15}+\frac{44\!\cdots\!45}{10\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!86}{14\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!49}{34\!\cdots\!93}a^{12}-\frac{60\!\cdots\!22}{54\!\cdots\!41}a^{11}+\frac{77\!\cdots\!44}{78\!\cdots\!63}a^{10}+\frac{36\!\cdots\!90}{54\!\cdots\!41}a^{9}+\frac{75\!\cdots\!41}{28\!\cdots\!39}a^{8}-\frac{49\!\cdots\!17}{28\!\cdots\!39}a^{7}-\frac{58\!\cdots\!82}{28\!\cdots\!39}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!50}{15\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{37\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!04}{26\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{30\!\cdots\!06}{26\!\cdots\!33}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!10}{79\!\cdots\!99}a+\frac{16\!\cdots\!92}{79\!\cdots\!99}$, $\frac{10\!\cdots\!07}{19\!\cdots\!01}a^{26}+\frac{24\!\cdots\!29}{19\!\cdots\!01}a^{25}+\frac{26\!\cdots\!77}{19\!\cdots\!01}a^{24}-\frac{21\!\cdots\!51}{94\!\cdots\!81}a^{23}-\frac{27\!\cdots\!92}{19\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{54\!\cdots\!05}{40\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{85\!\cdots\!11}{10\!\cdots\!79}a^{20}-\frac{19\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{30\!\cdots\!54}{10\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{52\!\cdots\!64}{34\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!49}{34\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{28\!\cdots\!00}{34\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{95\!\cdots\!34}{10\!\cdots\!79}a^{14}-\frac{93\!\cdots\!39}{49\!\cdots\!99}a^{13}+\frac{75\!\cdots\!80}{10\!\cdots\!79}a^{12}+\frac{40\!\cdots\!84}{18\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!17}{78\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!98}{18\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!92}{28\!\cdots\!39}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!41}{28\!\cdots\!39}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!42}{28\!\cdots\!39}a^{6}-\frac{33\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{71\!\cdots\!44}{15\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{27\!\cdots\!91}{50\!\cdots\!27}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!98}{79\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{65\!\cdots\!48}{26\!\cdots\!33}a-\frac{31\!\cdots\!80}{79\!\cdots\!99}$, $\frac{74\!\cdots\!09}{19\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{88\!\cdots\!96}{19\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{62\!\cdots\!87}{65\!\cdots\!67}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!66}{28\!\cdots\!43}a^{23}+\frac{66\!\cdots\!55}{65\!\cdots\!67}a^{22}+\frac{21\!\cdots\!25}{28\!\cdots\!43}a^{21}-\frac{61\!\cdots\!48}{10\!\cdots\!79}a^{20}-\frac{46\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!79}a^{19}+\frac{22\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!79}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!70}{34\!\cdots\!93}a^{17}-\frac{25\!\cdots\!34}{54\!\cdots\!41}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!58}{10\!\cdots\!79}a^{15}+\frac{22\!\cdots\!64}{34\!\cdots\!93}a^{14}+\frac{98\!\cdots\!21}{49\!\cdots\!99}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!94}{34\!\cdots\!93}a^{12}-\frac{38\!\cdots\!52}{18\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{63\!\cdots\!53}{78\!\cdots\!63}a^{10}+\frac{34\!\cdots\!62}{28\!\cdots\!39}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!46}{28\!\cdots\!39}a^{8}-\frac{85\!\cdots\!60}{28\!\cdots\!39}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!74}{28\!\cdots\!39}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!17}{15\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{26\!\cdots\!08}{50\!\cdots\!27}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!74}{15\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!09}{79\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{36\!\cdots\!89}{79\!\cdots\!99}a+\frac{12\!\cdots\!61}{26\!\cdots\!33}$, $\frac{14\!\cdots\!29}{19\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{46\!\cdots\!71}{19\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!58}{65\!\cdots\!67}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!49}{28\!\cdots\!43}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!01}{65\!\cdots\!67}a^{22}-\frac{32\!\cdots\!34}{94\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{37\!\cdots\!08}{34\!\cdots\!93}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!79}a^{19}+\frac{40\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!79}a^{17}-\frac{90\!\cdots\!19}{10\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{39\!\cdots\!46}{10\!\cdots\!79}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!24}{10\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!61}{14\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{37\!\cdots\!38}{18\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{35\!\cdots\!51}{78\!\cdots\!63}a^{10}+\frac{24\!\cdots\!86}{18\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!91}{28\!\cdots\!39}a^{8}-\frac{37\!\cdots\!17}{96\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{62\!\cdots\!24}{28\!\cdots\!39}a^{6}+\frac{53\!\cdots\!96}{15\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{47\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{17\!\cdots\!58}{15\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{37\!\cdots\!11}{26\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{39\!\cdots\!21}{26\!\cdots\!33}a+\frac{14\!\cdots\!80}{79\!\cdots\!99}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 1824559286708386400000 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 1824559286708386400000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{190011626636442035290748873464670696308223400858835994049561}}\cr\approx \mathstrut & 0.280897438640773 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_3^4.C_3\wr C_3$ (as 27T692):

A solvable group of order 6561

The 81 conjugacy class representatives for $C_3^4.C_3\wr C_3$

Character table for $C_3^4.C_3\wr C_3$

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{9})^+\), 9.9.139858796529.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Sibling fields

Degree 27 siblings:	data not computed
Minimal sibling:	27.27.4038857868055272156360487190465637072631786847797281.1

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	$27$	R	$27$	${\href{/padicField/7.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/7.3.0.1}{3} }^{3}$	${\href{/padicField/11.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{3}$	$27$	${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }^{3}$	R	$27$	$27$	${\href{/padicField/31.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{3}$	${\href{/padicField/37.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }^{3}$	$27$	$27$	$27$	${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }^{3}$	$27$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(3\)		Deg $27$	$27$	$1$	$76$
\(19\)	19.3.0.1	$x^{3} + 4 x + 17$	$1$	$3$	$0$	$C_3$	$[\ ]^{3}$
	19.3.2.2	$x^{3} + 19$	$3$	$1$	$2$	$C_3$	$[\ ]_{3}$
	19.3.2.3	$x^{3} + 38$	$3$	$1$	$2$	$C_3$	$[\ ]_{3}$
	19.9.8.2	$x^{9} + 57$	$9$	$1$	$8$	$C_9$	$[\ ]_{9}$
	19.9.6.3	$x^{9} - 152 x^{6} + 5776 x^{3} + 1982251$	$3$	$3$	$6$	$C_9$	$[\ ]_{3}^{3}$