Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 252*x^25 - 153*x^24 + 26676*x^23 + 32148*x^22 - 1560717*x^21 - 2766096*x^20 + 55372023*x^19 + 127624767*x^18 - 1224408393*x^17 - 3450315051*x^16 + 16693678179*x^15 + 56072843757*x^14 - 134677099638*x^13 - 546076812150*x^12 + 596270531925*x^11 + 3157615221048*x^10 - 1158142431219*x^9 - 10597232739906*x^8 - 348324575220*x^7 + 19755125421237*x^6 + 4626276516927*x^5 - 19184037556914*x^4 - 5979749371812*x^3 + 8367062889969*x^2 + 2393976700566*x - 1004382513469)
gp: K = bnfinit(y^27 - 252*y^25 - 153*y^24 + 26676*y^23 + 32148*y^22 - 1560717*y^21 - 2766096*y^20 + 55372023*y^19 + 127624767*y^18 - 1224408393*y^17 - 3450315051*y^16 + 16693678179*y^15 + 56072843757*y^14 - 134677099638*y^13 - 546076812150*y^12 + 596270531925*y^11 + 3157615221048*y^10 - 1158142431219*y^9 - 10597232739906*y^8 - 348324575220*y^7 + 19755125421237*y^6 + 4626276516927*y^5 - 19184037556914*y^4 - 5979749371812*y^3 + 8367062889969*y^2 + 2393976700566*y - 1004382513469, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^27 - 252*x^25 - 153*x^24 + 26676*x^23 + 32148*x^22 - 1560717*x^21 - 2766096*x^20 + 55372023*x^19 + 127624767*x^18 - 1224408393*x^17 - 3450315051*x^16 + 16693678179*x^15 + 56072843757*x^14 - 134677099638*x^13 - 546076812150*x^12 + 596270531925*x^11 + 3157615221048*x^10 - 1158142431219*x^9 - 10597232739906*x^8 - 348324575220*x^7 + 19755125421237*x^6 + 4626276516927*x^5 - 19184037556914*x^4 - 5979749371812*x^3 + 8367062889969*x^2 + 2393976700566*x - 1004382513469);
oscar: Qx, x = polynomial_ring(QQ); K, a = number_field(x^27 - 252*x^25 - 153*x^24 + 26676*x^23 + 32148*x^22 - 1560717*x^21 - 2766096*x^20 + 55372023*x^19 + 127624767*x^18 - 1224408393*x^17 - 3450315051*x^16 + 16693678179*x^15 + 56072843757*x^14 - 134677099638*x^13 - 546076812150*x^12 + 596270531925*x^11 + 3157615221048*x^10 - 1158142431219*x^9 - 10597232739906*x^8 - 348324575220*x^7 + 19755125421237*x^6 + 4626276516927*x^5 - 19184037556914*x^4 - 5979749371812*x^3 + 8367062889969*x^2 + 2393976700566*x - 1004382513469)
\( x^{27} - 252 x^{25} - 153 x^{24} + 26676 x^{23} + 32148 x^{22} - 1560717 x^{21} - 2766096 x^{20} + \cdots - 1004382513469 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $27$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[27, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(190011626636442035290748873464670696308223400858835994049561\)
\(\medspace = 3^{76}\cdot 19^{18}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(156.86\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | not computed | ||
| Ramified primes: |
\(3\), \(19\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $3$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $\frac{1}{19}a^{12}-\frac{5}{19}a^{10}-\frac{1}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{13}-\frac{5}{19}a^{11}-\frac{1}{19}a^{10}$, $\frac{1}{57}a^{14}+\frac{1}{57}a^{13}+\frac{1}{57}a^{12}-\frac{25}{57}a^{11}+\frac{26}{57}a^{10}-\frac{25}{57}a^{9}-\frac{1}{3}a^{5}-\frac{1}{3}a^{4}-\frac{1}{3}a^{3}+\frac{1}{3}a^{2}+\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{1083}a^{15}-\frac{8}{361}a^{13}-\frac{20}{1083}a^{12}-\frac{8}{19}a^{11}-\frac{9}{19}a^{10}+\frac{25}{57}a^{9}-\frac{2}{19}a^{8}+\frac{7}{19}a^{7}+\frac{23}{57}a^{6}-\frac{9}{19}a^{4}-\frac{22}{57}a^{3}-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{1083}a^{16}-\frac{5}{1083}a^{14}-\frac{1}{1083}a^{13}+\frac{1}{57}a^{12}+\frac{5}{57}a^{11}-\frac{4}{19}a^{10}+\frac{2}{57}a^{9}+\frac{7}{19}a^{8}+\frac{23}{57}a^{7}+\frac{11}{57}a^{5}+\frac{16}{57}a^{4}-\frac{1}{3}a^{3}+\frac{1}{3}a^{2}+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{1083}a^{17}-\frac{1}{1083}a^{14}+\frac{13}{1083}a^{13}-\frac{5}{1083}a^{12}+\frac{3}{19}a^{11}-\frac{25}{57}a^{10}-\frac{25}{57}a^{9}-\frac{7}{57}a^{8}-\frac{3}{19}a^{7}+\frac{4}{19}a^{6}+\frac{16}{57}a^{5}+\frac{17}{57}a^{4}+\frac{23}{57}a^{3}+\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{20577}a^{18}-\frac{5}{20577}a^{16}-\frac{1}{20577}a^{15}+\frac{3}{361}a^{14}-\frac{14}{1083}a^{13}+\frac{5}{1083}a^{12}-\frac{59}{361}a^{11}-\frac{359}{1083}a^{10}+\frac{109}{361}a^{9}+\frac{4}{19}a^{8}-\frac{46}{1083}a^{7}-\frac{269}{1083}a^{6}+\frac{1}{19}a^{5}+\frac{20}{57}a^{4}-\frac{14}{57}a^{3}-\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{20577}a^{19}-\frac{5}{20577}a^{17}-\frac{1}{20577}a^{16}+\frac{5}{1083}a^{14}+\frac{4}{361}a^{13}+\frac{22}{1083}a^{12}+\frac{26}{361}a^{11}+\frac{251}{1083}a^{10}-\frac{10}{57}a^{9}-\frac{103}{1083}a^{8}+\frac{472}{1083}a^{7}+\frac{8}{19}a^{6}+\frac{1}{57}a^{5}-\frac{6}{19}a^{4}+\frac{8}{57}a^{3}+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{20577}a^{20}-\frac{1}{20577}a^{17}-\frac{2}{6859}a^{16}-\frac{5}{20577}a^{15}-\frac{5}{1083}a^{14}+\frac{14}{1083}a^{13}-\frac{2}{361}a^{12}-\frac{83}{1083}a^{11}-\frac{275}{1083}a^{10}-\frac{292}{1083}a^{9}+\frac{415}{1083}a^{8}-\frac{83}{361}a^{7}-\frac{262}{1083}a^{6}+\frac{8}{57}a^{5}-\frac{26}{57}a^{4}+\frac{7}{19}a^{3}+\frac{1}{3}a^{2}-\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{390963}a^{21}-\frac{5}{390963}a^{19}-\frac{1}{390963}a^{18}+\frac{3}{6859}a^{17}+\frac{5}{20577}a^{16}+\frac{5}{20577}a^{15}+\frac{89}{20577}a^{14}-\frac{17}{20577}a^{13}-\frac{34}{20577}a^{12}+\frac{259}{1083}a^{11}-\frac{4739}{20577}a^{10}+\frac{8756}{20577}a^{9}-\frac{151}{361}a^{8}+\frac{457}{1083}a^{7}+\frac{499}{1083}a^{6}-\frac{2}{57}a^{5}-\frac{1}{3}a^{4}-\frac{1}{19}a^{3}-\frac{1}{3}a^{2}+\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{390963}a^{22}-\frac{5}{390963}a^{20}-\frac{1}{390963}a^{19}+\frac{5}{20577}a^{17}-\frac{7}{20577}a^{16}+\frac{1}{6859}a^{15}+\frac{173}{20577}a^{14}-\frac{119}{6859}a^{13}-\frac{3}{361}a^{12}-\frac{636}{6859}a^{11}+\frac{2638}{20577}a^{10}+\frac{46}{361}a^{9}-\frac{56}{1083}a^{8}-\frac{227}{1083}a^{7}+\frac{66}{361}a^{6}+\frac{16}{57}a^{5}-\frac{1}{57}a^{4}+\frac{9}{19}a^{3}-\frac{1}{3}a^{2}$, $\frac{1}{390963}a^{23}-\frac{1}{390963}a^{20}-\frac{2}{130321}a^{19}-\frac{5}{390963}a^{18}-\frac{5}{20577}a^{17}-\frac{5}{20577}a^{16}-\frac{2}{6859}a^{15}+\frac{4}{6859}a^{14}-\frac{256}{20577}a^{13}+\frac{430}{20577}a^{12}+\frac{8357}{20577}a^{11}-\frac{2610}{6859}a^{10}-\frac{328}{6859}a^{9}-\frac{163}{1083}a^{8}-\frac{7}{1083}a^{7}+\frac{140}{361}a^{6}+\frac{5}{57}a^{5}+\frac{10}{57}a^{4}-\frac{7}{57}a^{3}-\frac{1}{3}a^{2}-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{7428297}a^{24}-\frac{5}{7428297}a^{22}-\frac{1}{7428297}a^{21}+\frac{3}{130321}a^{20}+\frac{5}{390963}a^{19}+\frac{5}{390963}a^{18}+\frac{89}{390963}a^{17}-\frac{17}{390963}a^{16}-\frac{34}{390963}a^{15}-\frac{34}{6859}a^{14}+\frac{2993}{130321}a^{13}+\frac{1897}{390963}a^{12}+\frac{2074}{20577}a^{11}+\frac{6233}{20577}a^{10}+\frac{7358}{20577}a^{9}-\frac{458}{1083}a^{8}-\frac{13}{57}a^{7}+\frac{151}{361}a^{6}-\frac{8}{19}a^{5}-\frac{10}{57}a^{4}+\frac{1}{19}a^{3}-\frac{1}{3}a^{2}-\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{7428297}a^{25}-\frac{5}{7428297}a^{23}-\frac{1}{7428297}a^{22}+\frac{5}{390963}a^{20}-\frac{7}{390963}a^{19}+\frac{1}{130321}a^{18}+\frac{173}{390963}a^{17}+\frac{4}{390963}a^{16}-\frac{3}{6859}a^{15}+\frac{3146}{390963}a^{14}+\frac{9136}{390963}a^{13}-\frac{223}{20577}a^{12}+\frac{6803}{20577}a^{11}+\frac{2692}{6859}a^{10}-\frac{1607}{20577}a^{9}-\frac{98}{1083}a^{8}-\frac{134}{1083}a^{7}+\frac{28}{361}a^{6}+\frac{9}{19}a^{5}-\frac{5}{19}a^{4}-\frac{8}{57}a^{3}-\frac{1}{3}a^{2}+\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{86\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{63\!\cdots\!82}{86\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{18\!\cdots\!71}{86\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{39\!\cdots\!17}{86\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{97\!\cdots\!11}{86\!\cdots\!79}a^{22}+\frac{77\!\cdots\!39}{86\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{34\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!41}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!40}{15\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!41}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!84}{45\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!74}{45\!\cdots\!41}a^{16}-\frac{55\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!05}{15\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{98\!\cdots\!77}{15\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!74}{15\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!39}a^{11}-\frac{96\!\cdots\!50}{23\!\cdots\!39}a^{10}-\frac{20\!\cdots\!98}{41\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!44}{41\!\cdots\!27}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!38}{22\!\cdots\!33}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!18}{12\!\cdots\!81}a^{6}+\frac{28\!\cdots\!74}{66\!\cdots\!99}a^{5}-\frac{74\!\cdots\!22}{66\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{44\!\cdots\!70}{66\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{44\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{45\!\cdots\!96}{34\!\cdots\!21}a+\frac{11\!\cdots\!11}{34\!\cdots\!21}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $26$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{46\!\cdots\!14}{20\!\cdots\!39}a^{26}+\frac{48\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!39}a^{25}+\frac{34\!\cdots\!69}{62\!\cdots\!17}a^{24}-\frac{48\!\cdots\!99}{20\!\cdots\!39}a^{23}-\frac{12\!\cdots\!62}{20\!\cdots\!39}a^{22}-\frac{71\!\cdots\!47}{62\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{37\!\cdots\!45}{10\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{28\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!81}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!87}{10\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!14}{10\!\cdots\!81}a^{17}+\frac{29\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!32}{32\!\cdots\!43}a^{15}-\frac{42\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{87\!\cdots\!06}{10\!\cdots\!81}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!23}{32\!\cdots\!43}a^{12}+\frac{44\!\cdots\!19}{57\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{98\!\cdots\!01}{57\!\cdots\!99}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!56}{57\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!84}{30\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{40\!\cdots\!90}{30\!\cdots\!21}a^{7}-\frac{74\!\cdots\!71}{90\!\cdots\!63}a^{6}-\frac{33\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!08}{15\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{70\!\cdots\!42}{47\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{29\!\cdots\!12}{83\!\cdots\!61}a^{2}-\frac{27\!\cdots\!92}{83\!\cdots\!61}a+\frac{94\!\cdots\!17}{83\!\cdots\!61}$, $\frac{46\!\cdots\!14}{20\!\cdots\!39}a^{26}+\frac{48\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!39}a^{25}+\frac{34\!\cdots\!69}{62\!\cdots\!17}a^{24}-\frac{48\!\cdots\!99}{20\!\cdots\!39}a^{23}-\frac{12\!\cdots\!62}{20\!\cdots\!39}a^{22}-\frac{71\!\cdots\!47}{62\!\cdots\!17}a^{21}+\frac{37\!\cdots\!45}{10\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{28\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!81}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!87}{10\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!14}{10\!\cdots\!81}a^{17}+\frac{29\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!81}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!32}{32\!\cdots\!43}a^{15}-\frac{42\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!81}a^{14}-\frac{87\!\cdots\!06}{10\!\cdots\!81}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!23}{32\!\cdots\!43}a^{12}+\frac{44\!\cdots\!19}{57\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{98\!\cdots\!01}{57\!\cdots\!99}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!56}{57\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!84}{30\!\cdots\!21}a^{8}+\frac{40\!\cdots\!90}{30\!\cdots\!21}a^{7}-\frac{74\!\cdots\!71}{90\!\cdots\!63}a^{6}-\frac{33\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!08}{15\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{70\!\cdots\!42}{47\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{29\!\cdots\!12}{83\!\cdots\!61}a^{2}-\frac{27\!\cdots\!92}{83\!\cdots\!61}a+\frac{85\!\cdots\!56}{83\!\cdots\!61}$, $\frac{20\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!01}a^{26}+\frac{17\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{52\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!01}a^{24}-\frac{46\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{53\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{15\!\cdots\!17}{40\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!64}{70\!\cdots\!79}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!85}{70\!\cdots\!79}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!69}{21\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{55\!\cdots\!61}{70\!\cdots\!79}a^{17}-\frac{38\!\cdots\!40}{70\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!36}{70\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{58\!\cdots\!57}{70\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!96}{70\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{58\!\cdots\!41}{21\!\cdots\!37}a^{12}-\frac{57\!\cdots\!42}{37\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!42}{37\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{63\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!23}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!84}{19\!\cdots\!39}a^{8}-\frac{18\!\cdots\!74}{19\!\cdots\!39}a^{7}-\frac{61\!\cdots\!35}{19\!\cdots\!39}a^{6}+\frac{43\!\cdots\!05}{10\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{35\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!77}{30\!\cdots\!43}a^{3}-\frac{84\!\cdots\!47}{53\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!74}{53\!\cdots\!99}a+\frac{26\!\cdots\!07}{16\!\cdots\!97}$, $\frac{20\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!01}a^{25}+\frac{52\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{46\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!01}a^{23}-\frac{53\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!17}{40\!\cdots\!03}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!64}{70\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!85}{70\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!69}{21\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{55\!\cdots\!61}{70\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{38\!\cdots\!40}{70\!\cdots\!79}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!36}{70\!\cdots\!79}a^{15}+\frac{58\!\cdots\!57}{70\!\cdots\!79}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!96}{70\!\cdots\!79}a^{13}-\frac{58\!\cdots\!41}{21\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{57\!\cdots\!42}{37\!\cdots\!41}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!42}{37\!\cdots\!41}a^{10}-\frac{63\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!23}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!84}{19\!\cdots\!39}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!74}{19\!\cdots\!39}a^{7}+\frac{61\!\cdots\!35}{19\!\cdots\!39}a^{6}-\frac{43\!\cdots\!05}{10\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{35\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!77}{30\!\cdots\!43}a^{3}+\frac{84\!\cdots\!47}{53\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!74}{53\!\cdots\!99}a-\frac{25\!\cdots\!10}{16\!\cdots\!97}$, $\frac{94\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!01}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!29}{40\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{70\!\cdots\!17}{40\!\cdots\!03}a^{24}-\frac{25\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{72\!\cdots\!46}{40\!\cdots\!03}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!08}{40\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{71\!\cdots\!17}{70\!\cdots\!79}a^{20}-\frac{49\!\cdots\!36}{21\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{23\!\cdots\!95}{70\!\cdots\!79}a^{18}+\frac{69\!\cdots\!12}{70\!\cdots\!79}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!14}{21\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!66}{70\!\cdots\!79}a^{15}+\frac{54\!\cdots\!78}{70\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{73\!\cdots\!16}{21\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{97\!\cdots\!51}{21\!\cdots\!37}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!51}{37\!\cdots\!41}a^{11}+\frac{58\!\cdots\!79}{58\!\cdots\!17}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!23}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!54}{19\!\cdots\!39}a^{8}-\frac{18\!\cdots\!03}{58\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{43\!\cdots\!55}{58\!\cdots\!17}a^{6}+\frac{43\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!33}{30\!\cdots\!43}a^{4}-\frac{28\!\cdots\!12}{10\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{31\!\cdots\!20}{53\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!97}{16\!\cdots\!97}a-\frac{21\!\cdots\!16}{16\!\cdots\!97}$, $\frac{15\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{48\!\cdots\!10}{40\!\cdots\!03}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!91}{40\!\cdots\!03}a^{24}+\frac{65\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!01}a^{23}-\frac{32\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!23}a^{22}-\frac{92\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!63}{70\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!82}{21\!\cdots\!37}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!80}{21\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!31}{70\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!33}{21\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{96\!\cdots\!70}{21\!\cdots\!37}a^{15}-\frac{26\!\cdots\!47}{37\!\cdots\!41}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!57}{21\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{21\!\cdots\!13}{21\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!80}{37\!\cdots\!41}a^{11}+\frac{47\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!23}a^{10}-\frac{59\!\cdots\!21}{37\!\cdots\!41}a^{9}-\frac{52\!\cdots\!32}{19\!\cdots\!39}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!61}{58\!\cdots\!17}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!29}{19\!\cdots\!39}a^{6}-\frac{59\!\cdots\!55}{10\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{23\!\cdots\!35}{30\!\cdots\!43}a^{4}-\frac{51\!\cdots\!10}{30\!\cdots\!43}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!39}{53\!\cdots\!99}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!23}{16\!\cdots\!97}a-\frac{71\!\cdots\!81}{16\!\cdots\!97}$, $\frac{41\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{50\!\cdots\!19}{40\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{99\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!01}a^{24}-\frac{28\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{29\!\cdots\!88}{40\!\cdots\!03}a^{22}+\frac{29\!\cdots\!11}{40\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{28\!\cdots\!28}{70\!\cdots\!79}a^{20}-\frac{76\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!23}a^{19}+\frac{27\!\cdots\!27}{21\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!85}{70\!\cdots\!79}a^{17}-\frac{50\!\cdots\!46}{21\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!70}{21\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!25}{70\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!63}{21\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!73}{21\!\cdots\!37}a^{12}-\frac{29\!\cdots\!40}{37\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{39\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!23}a^{10}+\frac{31\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!23}a^{9}+\frac{77\!\cdots\!76}{19\!\cdots\!39}a^{8}-\frac{20\!\cdots\!42}{58\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{67\!\cdots\!42}{58\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{23\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{45\!\cdots\!21}{30\!\cdots\!43}a^{4}+\frac{81\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{45\!\cdots\!97}{53\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{68\!\cdots\!17}{16\!\cdots\!97}a+\frac{75\!\cdots\!06}{53\!\cdots\!99}$, $\frac{18\!\cdots\!72}{37\!\cdots\!41}a^{26}+\frac{93\!\cdots\!74}{40\!\cdots\!03}a^{25}-\frac{47\!\cdots\!75}{40\!\cdots\!03}a^{24}-\frac{19\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{46\!\cdots\!41}{40\!\cdots\!03}a^{22}+\frac{30\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{42\!\cdots\!16}{70\!\cdots\!79}a^{20}-\frac{36\!\cdots\!57}{21\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{38\!\cdots\!85}{21\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{48\!\cdots\!59}{70\!\cdots\!79}a^{17}-\frac{60\!\cdots\!52}{21\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{33\!\cdots\!04}{21\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!16}{70\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{43\!\cdots\!44}{21\!\cdots\!37}a^{13}+\frac{32\!\cdots\!02}{21\!\cdots\!37}a^{12}-\frac{48\!\cdots\!77}{37\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{30\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!23}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!26}{37\!\cdots\!41}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!28}{19\!\cdots\!39}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!33}{58\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{63\!\cdots\!43}{19\!\cdots\!39}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!60}{30\!\cdots\!43}a^{4}+\frac{60\!\cdots\!40}{30\!\cdots\!43}a^{3}-\frac{84\!\cdots\!03}{53\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{98\!\cdots\!68}{16\!\cdots\!97}a+\frac{43\!\cdots\!59}{16\!\cdots\!97}$, $\frac{11\!\cdots\!43}{86\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!57}{86\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{92\!\cdots\!27}{28\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{45\!\cdots\!56}{86\!\cdots\!79}a^{23}+\frac{28\!\cdots\!90}{86\!\cdots\!79}a^{22}+\frac{21\!\cdots\!18}{28\!\cdots\!93}a^{21}-\frac{82\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!41}a^{20}-\frac{78\!\cdots\!34}{15\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{89\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{94\!\cdots\!72}{45\!\cdots\!41}a^{17}-\frac{50\!\cdots\!23}{45\!\cdots\!41}a^{16}-\frac{21\!\cdots\!76}{45\!\cdots\!41}a^{15}+\frac{53\!\cdots\!22}{45\!\cdots\!41}a^{14}+\frac{29\!\cdots\!56}{45\!\cdots\!41}a^{13}-\frac{23\!\cdots\!92}{45\!\cdots\!41}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!22}{23\!\cdots\!39}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!50}{79\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{45\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!39}a^{9}+\frac{90\!\cdots\!23}{12\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{45\!\cdots\!36}{12\!\cdots\!81}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!95}{12\!\cdots\!81}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!31}{66\!\cdots\!99}a^{5}-\frac{51\!\cdots\!08}{66\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!10}{66\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{53\!\cdots\!84}{34\!\cdots\!21}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!07}a-\frac{10\!\cdots\!55}{34\!\cdots\!21}$, $\frac{21\!\cdots\!81}{86\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{28\!\cdots\!40}{86\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{42\!\cdots\!85}{86\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{21\!\cdots\!96}{28\!\cdots\!93}a^{23}+\frac{32\!\cdots\!28}{86\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{60\!\cdots\!19}{86\!\cdots\!79}a^{21}-\frac{23\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{55\!\cdots\!72}{15\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{53\!\cdots\!74}{15\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{53\!\cdots\!58}{45\!\cdots\!41}a^{17}-\frac{22\!\cdots\!66}{45\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{37\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{67\!\cdots\!69}{15\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!55}{45\!\cdots\!41}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!14}{45\!\cdots\!41}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!49}{79\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!96}{79\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{37\!\cdots\!29}{23\!\cdots\!39}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!20}{12\!\cdots\!81}a^{8}+\frac{62\!\cdots\!78}{12\!\cdots\!81}a^{7}-\frac{89\!\cdots\!22}{12\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{19\!\cdots\!04}{22\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!53}{66\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!45}{22\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{28\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!07}a+\frac{18\!\cdots\!08}{34\!\cdots\!21}$, $\frac{53\!\cdots\!68}{28\!\cdots\!93}a^{26}-\frac{14\!\cdots\!50}{28\!\cdots\!93}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!23}{28\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{78\!\cdots\!51}{86\!\cdots\!79}a^{23}+\frac{38\!\cdots\!70}{86\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{51\!\cdots\!21}{86\!\cdots\!79}a^{21}-\frac{38\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{74\!\cdots\!05}{45\!\cdots\!41}a^{19}+\frac{38\!\cdots\!18}{45\!\cdots\!41}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!28}{45\!\cdots\!41}a^{17}-\frac{82\!\cdots\!92}{45\!\cdots\!41}a^{16}-\frac{40\!\cdots\!39}{45\!\cdots\!41}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!17}{45\!\cdots\!41}a^{14}+\frac{96\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!41}a^{13}-\frac{29\!\cdots\!68}{15\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{51\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!39}a^{11}+\frac{22\!\cdots\!34}{23\!\cdots\!39}a^{10}+\frac{26\!\cdots\!99}{23\!\cdots\!39}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!92}{66\!\cdots\!99}a^{8}-\frac{37\!\cdots\!89}{12\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{53\!\cdots\!60}{12\!\cdots\!81}a^{6}+\frac{95\!\cdots\!95}{22\!\cdots\!33}a^{5}-\frac{78\!\cdots\!46}{22\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{21\!\cdots\!80}{66\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{40\!\cdots\!81}{34\!\cdots\!21}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!07}a+\frac{29\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!07}$, $\frac{18\!\cdots\!40}{86\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{42\!\cdots\!22}{86\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!39}{28\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{72\!\cdots\!54}{86\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{44\!\cdots\!86}{86\!\cdots\!79}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!93}{28\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{68\!\cdots\!97}{23\!\cdots\!39}a^{20}-\frac{34\!\cdots\!41}{45\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!77}{15\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{51\!\cdots\!91}{15\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{80\!\cdots\!54}{45\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!02}{45\!\cdots\!41}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!70}{45\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{92\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!41}a^{12}+\frac{72\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!39}a^{11}-\frac{37\!\cdots\!54}{41\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{33\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!39}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!63}{12\!\cdots\!81}a^{8}+\frac{42\!\cdots\!12}{12\!\cdots\!81}a^{7}-\frac{41\!\cdots\!23}{12\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{92\!\cdots\!25}{22\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{58\!\cdots\!03}{22\!\cdots\!33}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!91}{66\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!86}{34\!\cdots\!21}a+\frac{60\!\cdots\!98}{34\!\cdots\!21}$, $\frac{13\!\cdots\!70}{28\!\cdots\!93}a^{26}-\frac{52\!\cdots\!39}{86\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!29}{86\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{65\!\cdots\!57}{28\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!86}{86\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{26\!\cdots\!58}{86\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{97\!\cdots\!69}{15\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{98\!\cdots\!01}{45\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{90\!\cdots\!05}{45\!\cdots\!41}a^{18}-\frac{68\!\cdots\!76}{79\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!40}{45\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{29\!\cdots\!40}{15\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{41\!\cdots\!58}{15\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!93}{45\!\cdots\!41}a^{13}-\frac{54\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!12}{79\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{48\!\cdots\!02}{23\!\cdots\!39}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!42}{23\!\cdots\!39}a^{9}-\frac{27\!\cdots\!51}{22\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{46\!\cdots\!26}{41\!\cdots\!27}a^{7}+\frac{39\!\cdots\!75}{12\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{79\!\cdots\!08}{22\!\cdots\!33}a^{5}-\frac{78\!\cdots\!92}{22\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{22\!\cdots\!32}{34\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{49\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!07}a-\frac{22\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!07}$, $\frac{60\!\cdots\!19}{28\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{25\!\cdots\!15}{28\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{43\!\cdots\!49}{86\!\cdots\!79}a^{24}-\frac{52\!\cdots\!77}{28\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!27}{28\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!89}{86\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{42\!\cdots\!08}{15\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{96\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!98}{15\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{23\!\cdots\!76}{15\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{97\!\cdots\!84}{45\!\cdots\!41}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!14}{45\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{46\!\cdots\!62}{15\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{90\!\cdots\!64}{45\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!94}{45\!\cdots\!41}a^{12}-\frac{83\!\cdots\!02}{79\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{38\!\cdots\!22}{23\!\cdots\!39}a^{10}+\frac{85\!\cdots\!43}{23\!\cdots\!39}a^{9}+\frac{23\!\cdots\!81}{41\!\cdots\!27}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!67}{12\!\cdots\!81}a^{7}-\frac{45\!\cdots\!37}{41\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{21\!\cdots\!02}{22\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{74\!\cdots\!21}{66\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{31\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!07}a^{3}-\frac{58\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{89\!\cdots\!06}{34\!\cdots\!21}a+\frac{20\!\cdots\!81}{34\!\cdots\!21}$, $\frac{34\!\cdots\!71}{86\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{15\!\cdots\!22}{28\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{24\!\cdots\!22}{86\!\cdots\!79}a^{24}-\frac{60\!\cdots\!30}{45\!\cdots\!41}a^{23}-\frac{19\!\cdots\!93}{86\!\cdots\!79}a^{22}+\frac{38\!\cdots\!91}{28\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!48}{15\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{37\!\cdots\!73}{15\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{56\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!47}a^{16}-\frac{75\!\cdots\!44}{15\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{45\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!41}a^{14}+\frac{27\!\cdots\!11}{45\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{68\!\cdots\!01}{45\!\cdots\!41}a^{12}-\frac{97\!\cdots\!39}{23\!\cdots\!39}a^{11}-\frac{98\!\cdots\!72}{79\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{90\!\cdots\!08}{66\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{67\!\cdots\!73}{12\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{70\!\cdots\!66}{41\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!09}{12\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!01}{22\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{83\!\cdots\!20}{66\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!15}{66\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!78}{34\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!07}a+\frac{23\!\cdots\!60}{34\!\cdots\!21}$, $\frac{33\!\cdots\!90}{86\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{36\!\cdots\!48}{86\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{25\!\cdots\!25}{28\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{83\!\cdots\!13}{86\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{75\!\cdots\!17}{86\!\cdots\!79}a^{22}+\frac{78\!\cdots\!59}{86\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{77\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{71\!\cdots\!48}{15\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{91\!\cdots\!69}{45\!\cdots\!41}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{25\!\cdots\!17}{45\!\cdots\!41}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!28}{45\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{46\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!41}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{55\!\cdots\!76}{45\!\cdots\!41}a^{12}-\frac{48\!\cdots\!46}{23\!\cdots\!39}a^{11}-\frac{69\!\cdots\!98}{79\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{77\!\cdots\!47}{12\!\cdots\!81}a^{9}+\frac{44\!\cdots\!81}{12\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{69\!\cdots\!82}{12\!\cdots\!81}a^{7}-\frac{92\!\cdots\!63}{12\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!98}{22\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{51\!\cdots\!04}{66\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{42\!\cdots\!05}{22\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!43}{34\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!07}a+\frac{48\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!07}$, $\frac{13\!\cdots\!67}{86\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{70\!\cdots\!18}{28\!\cdots\!93}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!03}{28\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{28\!\cdots\!92}{86\!\cdots\!79}a^{23}+\frac{34\!\cdots\!33}{86\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{19\!\cdots\!73}{28\!\cdots\!93}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!07}{45\!\cdots\!41}a^{20}-\frac{50\!\cdots\!89}{45\!\cdots\!41}a^{19}+\frac{61\!\cdots\!69}{79\!\cdots\!13}a^{18}+\frac{39\!\cdots\!35}{45\!\cdots\!41}a^{17}-\frac{24\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!47}a^{16}-\frac{42\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{97\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!41}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!92}{45\!\cdots\!41}a^{13}-\frac{24\!\cdots\!92}{15\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!39}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!13}{23\!\cdots\!39}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!64}{79\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{87\!\cdots\!77}{12\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{26\!\cdots\!25}{41\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{88\!\cdots\!88}{41\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{52\!\cdots\!46}{66\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{38\!\cdots\!76}{66\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{69\!\cdots\!27}{22\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!38}{34\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!08}{34\!\cdots\!21}a+\frac{42\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!07}$, $\frac{28\!\cdots\!62}{86\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{68\!\cdots\!36}{86\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{70\!\cdots\!83}{86\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{21\!\cdots\!25}{86\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{71\!\cdots\!41}{86\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{87\!\cdots\!23}{28\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{20\!\cdots\!39}{45\!\cdots\!41}a^{20}+\frac{90\!\cdots\!75}{45\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{62\!\cdots\!37}{45\!\cdots\!41}a^{18}-\frac{34\!\cdots\!01}{45\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!19}{79\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{25\!\cdots\!26}{15\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{69\!\cdots\!81}{45\!\cdots\!41}a^{14}-\frac{33\!\cdots\!68}{15\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{38\!\cdots\!28}{45\!\cdots\!41}a^{12}+\frac{39\!\cdots\!74}{23\!\cdots\!39}a^{11}+\frac{45\!\cdots\!59}{23\!\cdots\!39}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!52}{23\!\cdots\!39}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!42}{12\!\cdots\!81}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!26}{12\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{33\!\cdots\!81}{12\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{33\!\cdots\!01}{66\!\cdots\!99}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!27}{66\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{23\!\cdots\!07}{66\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{46\!\cdots\!46}{34\!\cdots\!21}a^{2}+\frac{35\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!07}a-\frac{17\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!07}$, $\frac{10\!\cdots\!86}{86\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{62\!\cdots\!28}{28\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{25\!\cdots\!41}{86\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{19\!\cdots\!15}{28\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{48\!\cdots\!94}{15\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{25\!\cdots\!53}{28\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{84\!\cdots\!54}{45\!\cdots\!41}a^{20}+\frac{26\!\cdots\!73}{45\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{29\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!41}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!89}{45\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!68}{15\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{25\!\cdots\!01}{45\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{26\!\cdots\!22}{15\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!69}{15\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!05}{15\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{17\!\cdots\!45}{23\!\cdots\!39}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!39}a^{10}-\frac{87\!\cdots\!12}{23\!\cdots\!39}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!36}{12\!\cdots\!81}a^{8}+\frac{45\!\cdots\!97}{41\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!33}{12\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{39\!\cdots\!23}{22\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{75\!\cdots\!62}{22\!\cdots\!33}a^{4}+\frac{33\!\cdots\!86}{22\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!79}{34\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!80}{34\!\cdots\!21}a+\frac{44\!\cdots\!01}{34\!\cdots\!21}$, $\frac{17\!\cdots\!41}{86\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{14\!\cdots\!20}{28\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{43\!\cdots\!42}{86\!\cdots\!79}a^{24}-\frac{83\!\cdots\!02}{86\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!85}{28\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{19\!\cdots\!58}{28\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!62}{45\!\cdots\!41}a^{20}-\frac{89\!\cdots\!25}{45\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{53\!\cdots\!79}{45\!\cdots\!41}a^{18}+\frac{26\!\cdots\!10}{45\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{42\!\cdots\!78}{15\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{54\!\cdots\!96}{45\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!58}{23\!\cdots\!39}a^{14}-\frac{52\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{63\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!97}{23\!\cdots\!39}a^{11}-\frac{60\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!39}a^{10}-\frac{70\!\cdots\!41}{23\!\cdots\!39}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!19}{12\!\cdots\!81}a^{8}+\frac{43\!\cdots\!68}{41\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!19}{12\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!51}{66\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{42\!\cdots\!07}{22\!\cdots\!33}a^{4}+\frac{31\!\cdots\!94}{22\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{31\!\cdots\!06}{34\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!16}{34\!\cdots\!21}a+\frac{47\!\cdots\!99}{34\!\cdots\!21}$, $\frac{39\!\cdots\!28}{86\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!35}{86\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{16\!\cdots\!90}{15\!\cdots\!47}a^{24}-\frac{80\!\cdots\!31}{28\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{33\!\cdots\!58}{28\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{18\!\cdots\!02}{86\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{31\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!41}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!64}{45\!\cdots\!41}a^{18}+\frac{59\!\cdots\!41}{45\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{26\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!90}{45\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!30}{15\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!87}{45\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{40\!\cdots\!12}{45\!\cdots\!41}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!79}{23\!\cdots\!39}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!39}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!11}{23\!\cdots\!39}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!99}{12\!\cdots\!81}a^{8}+\frac{79\!\cdots\!40}{41\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{53\!\cdots\!38}{12\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{42\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!07}a^{5}+\frac{31\!\cdots\!65}{66\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{75\!\cdots\!35}{22\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{87\!\cdots\!46}{34\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{40\!\cdots\!08}{34\!\cdots\!21}a+\frac{45\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!07}$, $\frac{89\!\cdots\!05}{86\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{75\!\cdots\!98}{28\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{72\!\cdots\!25}{28\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{40\!\cdots\!14}{86\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{22\!\cdots\!93}{86\!\cdots\!79}a^{22}+\frac{26\!\cdots\!07}{86\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{22\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!98}{15\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!62}{45\!\cdots\!41}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!84}{45\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{28\!\cdots\!01}{23\!\cdots\!39}a^{16}+\frac{29\!\cdots\!22}{45\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{79\!\cdots\!95}{45\!\cdots\!41}a^{14}-\frac{73\!\cdots\!32}{45\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{72\!\cdots\!58}{45\!\cdots\!41}a^{12}+\frac{44\!\cdots\!93}{23\!\cdots\!39}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!34}{23\!\cdots\!39}a^{10}-\frac{90\!\cdots\!84}{79\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!69}{41\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{46\!\cdots\!39}{12\!\cdots\!81}a^{7}-\frac{72\!\cdots\!38}{12\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!63}{22\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!41}{22\!\cdots\!33}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!30}{22\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{96\!\cdots\!97}{34\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{48\!\cdots\!07}{34\!\cdots\!21}a+\frac{15\!\cdots\!97}{34\!\cdots\!21}$, $\frac{10\!\cdots\!55}{28\!\cdots\!93}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!67}{86\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{25\!\cdots\!13}{28\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{20\!\cdots\!00}{86\!\cdots\!79}a^{23}+\frac{76\!\cdots\!81}{86\!\cdots\!79}a^{22}+\frac{73\!\cdots\!99}{86\!\cdots\!79}a^{21}-\frac{22\!\cdots\!03}{45\!\cdots\!41}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!04}{15\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{73\!\cdots\!85}{45\!\cdots\!41}a^{18}+\frac{87\!\cdots\!11}{23\!\cdots\!39}a^{17}-\frac{47\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!47}a^{16}-\frac{42\!\cdots\!89}{45\!\cdots\!41}a^{15}+\frac{53\!\cdots\!50}{15\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{60\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!41}a^{13}-\frac{88\!\cdots\!37}{45\!\cdots\!41}a^{12}-\frac{84\!\cdots\!04}{79\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{62\!\cdots\!81}{23\!\cdots\!39}a^{10}+\frac{34\!\cdots\!88}{79\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{21\!\cdots\!79}{12\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!86}{12\!\cdots\!81}a^{7}-\frac{82\!\cdots\!77}{12\!\cdots\!81}a^{6}+\frac{56\!\cdots\!65}{66\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{18\!\cdots\!08}{22\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{59\!\cdots\!35}{22\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!46}{34\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{76\!\cdots\!84}{34\!\cdots\!21}a+\frac{11\!\cdots\!58}{34\!\cdots\!21}$, $\frac{55\!\cdots\!36}{28\!\cdots\!93}a^{26}-\frac{45\!\cdots\!41}{28\!\cdots\!93}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!16}{28\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{94\!\cdots\!75}{86\!\cdots\!79}a^{23}+\frac{45\!\cdots\!31}{86\!\cdots\!79}a^{22}+\frac{53\!\cdots\!20}{28\!\cdots\!93}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!41}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!53}{45\!\cdots\!41}a^{19}+\frac{50\!\cdots\!72}{45\!\cdots\!41}a^{18}+\frac{69\!\cdots\!45}{45\!\cdots\!41}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!46}{45\!\cdots\!41}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!88}{45\!\cdots\!41}a^{15}+\frac{56\!\cdots\!65}{15\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{35\!\cdots\!17}{45\!\cdots\!41}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!25}{45\!\cdots\!41}a^{12}-\frac{18\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!39}a^{11}+\frac{47\!\cdots\!97}{23\!\cdots\!39}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!97}{23\!\cdots\!39}a^{9}-\frac{86\!\cdots\!16}{12\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{19\!\cdots\!04}{12\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!30}{12\!\cdots\!81}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!01}{66\!\cdots\!99}a^{5}-\frac{38\!\cdots\!99}{22\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!44}{66\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{88\!\cdots\!74}{11\!\cdots\!07}a-\frac{26\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!07}$, $\frac{40\!\cdots\!80}{28\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!37}{28\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{99\!\cdots\!46}{28\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{25\!\cdots\!30}{28\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!18}{28\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{58\!\cdots\!88}{86\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{94\!\cdots\!64}{45\!\cdots\!41}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!34}{45\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{34\!\cdots\!44}{45\!\cdots\!41}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!85}{45\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{42\!\cdots\!86}{23\!\cdots\!39}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!41}a^{14}-\frac{52\!\cdots\!61}{45\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!24}{45\!\cdots\!41}a^{12}+\frac{45\!\cdots\!34}{23\!\cdots\!39}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!17}{79\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{33\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!39}a^{9}+\frac{69\!\cdots\!82}{12\!\cdots\!81}a^{8}+\frac{66\!\cdots\!75}{12\!\cdots\!81}a^{7}-\frac{46\!\cdots\!08}{41\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{62\!\cdots\!08}{66\!\cdots\!99}a^{5}+\frac{39\!\cdots\!48}{34\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{52\!\cdots\!62}{66\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{63\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{83\!\cdots\!74}{34\!\cdots\!21}a+\frac{28\!\cdots\!25}{34\!\cdots\!21}$, $\frac{39\!\cdots\!32}{28\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{20\!\cdots\!03}{86\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{29\!\cdots\!91}{86\!\cdots\!79}a^{24}-\frac{69\!\cdots\!44}{86\!\cdots\!79}a^{23}+\frac{99\!\cdots\!06}{28\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{47\!\cdots\!79}{45\!\cdots\!41}a^{21}-\frac{28\!\cdots\!67}{15\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{32\!\cdots\!67}{45\!\cdots\!41}a^{19}+\frac{26\!\cdots\!03}{45\!\cdots\!41}a^{18}+\frac{41\!\cdots\!55}{15\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{46\!\cdots\!34}{45\!\cdots\!41}a^{16}-\frac{95\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{36\!\cdots\!10}{45\!\cdots\!41}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!58}{23\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{49\!\cdots\!59}{79\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!36}{23\!\cdots\!39}a^{10}+\frac{56\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!39}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!60}{41\!\cdots\!27}a^{8}-\frac{51\!\cdots\!51}{12\!\cdots\!81}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!40}{12\!\cdots\!81}a^{6}+\frac{84\!\cdots\!19}{34\!\cdots\!21}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!07}{22\!\cdots\!33}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!21}{22\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{53\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{32\!\cdots\!12}{34\!\cdots\!21}a+\frac{57\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!07}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 1598701524418741700000 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 1598701524418741700000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{190011626636442035290748873464670696308223400858835994049561}}\cr\approx \mathstrut & 0.246125827004764 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^27 - 252*x^25 - 153*x^24 + 26676*x^23 + 32148*x^22 - 1560717*x^21 - 2766096*x^20 + 55372023*x^19 + 127624767*x^18 - 1224408393*x^17 - 3450315051*x^16 + 16693678179*x^15 + 56072843757*x^14 - 134677099638*x^13 - 546076812150*x^12 + 596270531925*x^11 + 3157615221048*x^10 - 1158142431219*x^9 - 10597232739906*x^8 - 348324575220*x^7 + 19755125421237*x^6 + 4626276516927*x^5 - 19184037556914*x^4 - 5979749371812*x^3 + 8367062889969*x^2 + 2393976700566*x - 1004382513469)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^27 - 252*x^25 - 153*x^24 + 26676*x^23 + 32148*x^22 - 1560717*x^21 - 2766096*x^20 + 55372023*x^19 + 127624767*x^18 - 1224408393*x^17 - 3450315051*x^16 + 16693678179*x^15 + 56072843757*x^14 - 134677099638*x^13 - 546076812150*x^12 + 596270531925*x^11 + 3157615221048*x^10 - 1158142431219*x^9 - 10597232739906*x^8 - 348324575220*x^7 + 19755125421237*x^6 + 4626276516927*x^5 - 19184037556914*x^4 - 5979749371812*x^3 + 8367062889969*x^2 + 2393976700566*x - 1004382513469, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^27 - 252*x^25 - 153*x^24 + 26676*x^23 + 32148*x^22 - 1560717*x^21 - 2766096*x^20 + 55372023*x^19 + 127624767*x^18 - 1224408393*x^17 - 3450315051*x^16 + 16693678179*x^15 + 56072843757*x^14 - 134677099638*x^13 - 546076812150*x^12 + 596270531925*x^11 + 3157615221048*x^10 - 1158142431219*x^9 - 10597232739906*x^8 - 348324575220*x^7 + 19755125421237*x^6 + 4626276516927*x^5 - 19184037556914*x^4 - 5979749371812*x^3 + 8367062889969*x^2 + 2393976700566*x - 1004382513469);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^27 - 252*x^25 - 153*x^24 + 26676*x^23 + 32148*x^22 - 1560717*x^21 - 2766096*x^20 + 55372023*x^19 + 127624767*x^18 - 1224408393*x^17 - 3450315051*x^16 + 16693678179*x^15 + 56072843757*x^14 - 134677099638*x^13 - 546076812150*x^12 + 596270531925*x^11 + 3157615221048*x^10 - 1158142431219*x^9 - 10597232739906*x^8 - 348324575220*x^7 + 19755125421237*x^6 + 4626276516927*x^5 - 19184037556914*x^4 - 5979749371812*x^3 + 8367062889969*x^2 + 2393976700566*x - 1004382513469);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$C_3^4.C_3\wr C_3$ (as 27T692):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A solvable group of order 6561 |
| The 81 conjugacy class representatives for $C_3^4.C_3\wr C_3$ |
| Character table for $C_3^4.C_3\wr C_3$ |
Intermediate fields
| \(\Q(\zeta_{9})^+\), 9.9.139858796529.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 27 siblings: | data not computed |
| Minimal sibling: | 27.27.4038857868055272156360487190465637072631786847797281.1 |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | $27$ | R | $27$ | ${\href{/padicField/7.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/7.3.0.1}{3} }^{3}$ | ${\href{/padicField/11.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{3}$ | $27$ | ${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }^{3}$ | R | $27$ | $27$ | ${\href{/padicField/31.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{3}$ | ${\href{/padicField/37.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }^{3}$ | $27$ | $27$ | $27$ | ${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }^{3}$ | $27$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(3\)
| Deg $27$ | $27$ | $1$ | $76$ | |||
|
\(19\)
| 19.3.0.1 | $x^{3} + 4 x + 17$ | $1$ | $3$ | $0$ | $C_3$ | $[\ ]^{3}$ |
| 19.3.2.3 | $x^{3} + 38$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ | |
| 19.3.2.2 | $x^{3} + 19$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ | |
| 19.9.8.2 | $x^{9} + 57$ | $9$ | $1$ | $8$ | $C_9$ | $[\ ]_{9}$ | |
| 19.9.6.1 | $x^{9} + 1444 x^{3} - 116603$ | $3$ | $3$ | $6$ | $C_9$ | $[\ ]_{3}^{3}$ |