Number field 27.27.1710104639727978317616739861182036266774010607729523946446049.4

• Label: 27.27.171...049.4
• Degree: $27$
• Signature: $[27, 0]$
• Discriminant: $1.710\times 10^{60}$
• Root discriminant: \(170.16\)
• Ramified primes: $3,19$
• Class number: $1$ (GRH)
• Class group: trivial (GRH)
• Galois group: $C_3^4.C_3\wr C_3$ (as 27T692)

Normalized defining polynomial

x^27 - 252*x^25 - 99*x^24 + 26676*x^23 + 20178*x^22 - 1570293*x^21 - 1699569*x^20 + 57017214*x^19 + 78127848*x^18 - 1334373021*x^17 - 2172073635*x^16 + 20370285396*x^15 + 38161629846*x^14 - 199882736190*x^13 - 428779146348*x^12 + 1195373405592*x^11 + 3027247806195*x^10 - 3753781201236*x^9 - 12644875257885*x^8 + 2816072475219*x^7 + 26896341027078*x^6 + 12429019112103*x^5 - 18143533711233*x^4 - 18014727041253*x^3 - 4242597548580*x^2 + 87223063374*x + 82189154107

Invariants

Degree:		$27$
Signature:		$[27, 0]$
Discriminant:		\(1710104639727978317616739861182036266774010607729523946446049\) \(\medspace = 3^{78}\cdot 19^{18}\)
Root discriminant:		\(170.16\)
Galois root discriminant:		not computed
Ramified primes:		\(3\), \(19\)
Discriminant root field:		\(\Q\)
$\card{ \Aut(K/\Q) }$:		$3$
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $\frac{1}{19}a^{12}-\frac{5}{19}a^{10}-\frac{4}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{13}-\frac{5}{19}a^{11}-\frac{4}{19}a^{10}$, $\frac{1}{19}a^{14}-\frac{4}{19}a^{11}-\frac{6}{19}a^{10}-\frac{1}{19}a^{9}$, $\frac{1}{361}a^{15}-\frac{5}{361}a^{13}-\frac{4}{361}a^{12}+\frac{9}{19}a^{11}-\frac{3}{19}a^{10}+\frac{2}{19}a^{9}+\frac{1}{19}a^{8}+\frac{8}{19}a^{7}-\frac{7}{19}a^{6}-\frac{3}{19}a^{5}-\frac{9}{19}a^{4}+\frac{7}{19}a^{3}$, $\frac{1}{361}a^{16}-\frac{5}{361}a^{14}-\frac{4}{361}a^{13}-\frac{3}{19}a^{11}+\frac{9}{19}a^{10}-\frac{1}{19}a^{9}+\frac{8}{19}a^{8}-\frac{7}{19}a^{7}-\frac{3}{19}a^{6}-\frac{9}{19}a^{5}+\frac{7}{19}a^{4}$, $\frac{1}{361}a^{17}-\frac{4}{361}a^{14}-\frac{6}{361}a^{13}-\frac{1}{361}a^{12}-\frac{8}{19}a^{11}-\frac{2}{19}a^{10}+\frac{2}{19}a^{9}-\frac{2}{19}a^{8}-\frac{1}{19}a^{7}-\frac{6}{19}a^{6}-\frac{8}{19}a^{5}-\frac{7}{19}a^{4}-\frac{3}{19}a^{3}$, $\frac{1}{6859}a^{18}-\frac{5}{6859}a^{16}-\frac{4}{6859}a^{15}+\frac{9}{361}a^{14}-\frac{3}{361}a^{13}+\frac{2}{361}a^{12}-\frac{18}{361}a^{11}+\frac{65}{361}a^{10}+\frac{31}{361}a^{9}+\frac{130}{361}a^{8}+\frac{124}{361}a^{7}+\frac{140}{361}a^{6}-\frac{2}{19}a^{5}+\frac{5}{19}a^{4}+\frac{7}{19}a^{3}$, $\frac{1}{6859}a^{19}-\frac{5}{6859}a^{17}-\frac{4}{6859}a^{16}-\frac{3}{361}a^{14}+\frac{9}{361}a^{13}-\frac{1}{361}a^{12}+\frac{160}{361}a^{11}+\frac{69}{361}a^{10}-\frac{136}{361}a^{9}-\frac{47}{361}a^{8}-\frac{145}{361}a^{7}+\frac{4}{19}a^{6}-\frac{6}{19}a^{5}-\frac{7}{19}a^{4}-\frac{6}{19}a^{3}$, $\frac{1}{6859}a^{20}-\frac{4}{6859}a^{17}-\frac{6}{6859}a^{16}-\frac{1}{6859}a^{15}-\frac{8}{361}a^{14}-\frac{2}{361}a^{13}+\frac{2}{361}a^{12}-\frac{78}{361}a^{11}-\frac{1}{361}a^{10}-\frac{177}{361}a^{9}+\frac{11}{361}a^{8}+\frac{88}{361}a^{7}-\frac{3}{361}a^{6}+\frac{9}{19}a^{4}+\frac{6}{19}a^{3}$, $\frac{1}{130321}a^{21}-\frac{5}{130321}a^{19}-\frac{4}{130321}a^{18}+\frac{9}{6859}a^{17}-\frac{3}{6859}a^{16}+\frac{2}{6859}a^{15}-\frac{18}{6859}a^{14}+\frac{65}{6859}a^{13}+\frac{31}{6859}a^{12}+\frac{1935}{6859}a^{11}+\frac{1929}{6859}a^{10}-\frac{1304}{6859}a^{9}-\frac{173}{361}a^{8}+\frac{24}{361}a^{7}+\frac{26}{361}a^{6}+\frac{8}{19}a^{5}-\frac{8}{19}a^{4}-\frac{4}{19}a^{3}$, $\frac{1}{130321}a^{22}-\frac{5}{130321}a^{20}-\frac{4}{130321}a^{19}-\frac{3}{6859}a^{17}+\frac{9}{6859}a^{16}-\frac{1}{6859}a^{15}+\frac{160}{6859}a^{14}+\frac{69}{6859}a^{13}-\frac{136}{6859}a^{12}+\frac{1758}{6859}a^{11}-\frac{867}{6859}a^{10}-\frac{148}{361}a^{9}-\frac{25}{361}a^{8}+\frac{107}{361}a^{7}-\frac{139}{361}a^{6}-\frac{7}{19}a^{5}+\frac{3}{19}a^{4}+\frac{6}{19}a^{3}$, $\frac{1}{130321}a^{23}-\frac{4}{130321}a^{20}-\frac{6}{130321}a^{19}-\frac{1}{130321}a^{18}-\frac{8}{6859}a^{17}-\frac{2}{6859}a^{16}+\frac{2}{6859}a^{15}-\frac{78}{6859}a^{14}-\frac{1}{6859}a^{13}-\frac{177}{6859}a^{12}-\frac{711}{6859}a^{11}-\frac{1356}{6859}a^{10}+\frac{3246}{6859}a^{9}-\frac{1}{19}a^{8}-\frac{10}{361}a^{7}+\frac{120}{361}a^{6}+\frac{2}{19}a^{5}-\frac{9}{19}a^{4}-\frac{7}{19}a^{3}$, $\frac{1}{2476099}a^{24}-\frac{5}{2476099}a^{22}-\frac{4}{2476099}a^{21}+\frac{9}{130321}a^{20}-\frac{3}{130321}a^{19}+\frac{2}{130321}a^{18}-\frac{18}{130321}a^{17}+\frac{65}{130321}a^{16}+\frac{31}{130321}a^{15}+\frac{1935}{130321}a^{14}+\frac{1929}{130321}a^{13}-\frac{1304}{130321}a^{12}+\frac{549}{6859}a^{11}+\frac{1107}{6859}a^{10}+\frac{1470}{6859}a^{9}+\frac{122}{361}a^{8}-\frac{141}{361}a^{7}+\frac{72}{361}a^{6}+\frac{8}{19}a^{5}-\frac{5}{19}a^{4}-\frac{7}{19}a^{3}$, $\frac{1}{2476099}a^{25}-\frac{5}{2476099}a^{23}-\frac{4}{2476099}a^{22}-\frac{3}{130321}a^{20}+\frac{9}{130321}a^{19}-\frac{1}{130321}a^{18}+\frac{160}{130321}a^{17}+\frac{69}{130321}a^{16}-\frac{136}{130321}a^{15}+\frac{1758}{130321}a^{14}-\frac{867}{130321}a^{13}-\frac{148}{6859}a^{12}-\frac{3274}{6859}a^{11}-\frac{2420}{6859}a^{10}+\frac{944}{6859}a^{9}+\frac{107}{361}a^{8}+\frac{174}{361}a^{7}-\frac{51}{361}a^{6}-\frac{5}{19}a^{5}+\frac{1}{19}a^{4}-\frac{6}{19}a^{3}$, $\frac{1}{88\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!34}{88\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{58\!\cdots\!46}{88\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{26\!\cdots\!87}{88\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{92\!\cdots\!36}{46\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{20\!\cdots\!70}{88\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{63\!\cdots\!27}{46\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{30\!\cdots\!75}{46\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{23\!\cdots\!29}{46\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{57\!\cdots\!91}{46\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!67}{46\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{34\!\cdots\!18}{46\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{83\!\cdots\!31}{46\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!14}{46\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{42\!\cdots\!90}{46\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{33\!\cdots\!27}{24\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{31\!\cdots\!03}{24\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!05}{24\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{19\!\cdots\!28}{12\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!56}{12\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{63\!\cdots\!07}{12\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{69\!\cdots\!22}{68\!\cdots\!33}a^{5}-\frac{45\!\cdots\!62}{68\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!88}{68\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!81}{35\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!76}{35\!\cdots\!07}a+\frac{16\!\cdots\!99}{35\!\cdots\!07}$

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$26$
Torsion generator:		\( -1 \)  (order $2$)
Fundamental units:		$\frac{95\!\cdots\!18}{66\!\cdots\!23}a^{26}+\frac{43\!\cdots\!00}{66\!\cdots\!23}a^{25}+\frac{23\!\cdots\!64}{66\!\cdots\!23}a^{24}-\frac{18\!\cdots\!09}{66\!\cdots\!23}a^{23}-\frac{24\!\cdots\!98}{66\!\cdots\!23}a^{22}-\frac{67\!\cdots\!38}{66\!\cdots\!23}a^{21}+\frac{75\!\cdots\!63}{34\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{43\!\cdots\!28}{34\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!07}{34\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!38}{34\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{62\!\cdots\!14}{34\!\cdots\!17}a^{16}+\frac{63\!\cdots\!13}{34\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{93\!\cdots\!72}{34\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{57\!\cdots\!21}{18\!\cdots\!43}a^{13}+\frac{90\!\cdots\!82}{34\!\cdots\!17}a^{12}+\frac{62\!\cdots\!05}{18\!\cdots\!43}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!98}{18\!\cdots\!43}a^{10}-\frac{41\!\cdots\!61}{18\!\cdots\!43}a^{9}+\frac{54\!\cdots\!16}{96\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{87\!\cdots\!77}{96\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{93\!\cdots\!04}{96\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{95\!\cdots\!91}{50\!\cdots\!63}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!65}{50\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{71\!\cdots\!39}{50\!\cdots\!63}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!78}{26\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!59}{26\!\cdots\!77}a+\frac{99\!\cdots\!33}{26\!\cdots\!77}$, $\frac{95\!\cdots\!18}{66\!\cdots\!23}a^{26}+\frac{43\!\cdots\!00}{66\!\cdots\!23}a^{25}+\frac{23\!\cdots\!64}{66\!\cdots\!23}a^{24}-\frac{18\!\cdots\!09}{66\!\cdots\!23}a^{23}-\frac{24\!\cdots\!98}{66\!\cdots\!23}a^{22}-\frac{67\!\cdots\!38}{66\!\cdots\!23}a^{21}+\frac{75\!\cdots\!63}{34\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{43\!\cdots\!28}{34\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!07}{34\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!38}{34\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{62\!\cdots\!14}{34\!\cdots\!17}a^{16}+\frac{63\!\cdots\!13}{34\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{93\!\cdots\!72}{34\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{57\!\cdots\!21}{18\!\cdots\!43}a^{13}+\frac{90\!\cdots\!82}{34\!\cdots\!17}a^{12}+\frac{62\!\cdots\!05}{18\!\cdots\!43}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!98}{18\!\cdots\!43}a^{10}-\frac{41\!\cdots\!61}{18\!\cdots\!43}a^{9}+\frac{54\!\cdots\!16}{96\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{87\!\cdots\!77}{96\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{93\!\cdots\!04}{96\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{95\!\cdots\!91}{50\!\cdots\!63}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!65}{50\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{71\!\cdots\!39}{50\!\cdots\!63}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!78}{26\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!59}{26\!\cdots\!77}a-\frac{25\!\cdots\!44}{26\!\cdots\!77}$, $\frac{21\!\cdots\!17}{19\!\cdots\!47}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!88}{19\!\cdots\!47}a^{25}-\frac{54\!\cdots\!78}{19\!\cdots\!47}a^{24}+\frac{47\!\cdots\!43}{19\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{57\!\cdots\!09}{19\!\cdots\!47}a^{22}+\frac{16\!\cdots\!73}{19\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!13}a^{19}+\frac{65\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!13}a^{18}+\frac{57\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!13}a^{17}-\frac{15\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!13}a^{15}+\frac{23\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{32\!\cdots\!83}{10\!\cdots\!13}a^{13}-\frac{24\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!10}{54\!\cdots\!27}a^{11}+\frac{79\!\cdots\!81}{54\!\cdots\!27}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!66}{54\!\cdots\!27}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!82}{28\!\cdots\!33}a^{8}-\frac{32\!\cdots\!81}{28\!\cdots\!33}a^{7}+\frac{22\!\cdots\!43}{28\!\cdots\!33}a^{6}+\frac{38\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!07}a^{5}+\frac{46\!\cdots\!04}{15\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{29\!\cdots\!99}{15\!\cdots\!07}a^{3}-\frac{90\!\cdots\!33}{79\!\cdots\!53}a^{2}-\frac{59\!\cdots\!19}{79\!\cdots\!53}a+\frac{22\!\cdots\!22}{79\!\cdots\!53}$, $\frac{15\!\cdots\!81}{19\!\cdots\!47}a^{26}+\frac{19\!\cdots\!84}{19\!\cdots\!47}a^{25}+\frac{39\!\cdots\!32}{19\!\cdots\!47}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!04}{19\!\cdots\!47}a^{23}-\frac{42\!\cdots\!42}{19\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{26\!\cdots\!39}{19\!\cdots\!47}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{47\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{58\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!06}{10\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!08}{10\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!13}{10\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{17\!\cdots\!42}{54\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{56\!\cdots\!06}{54\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!07}{54\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!16}{28\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{28\!\cdots\!15}{28\!\cdots\!33}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!58}{28\!\cdots\!33}a^{6}-\frac{32\!\cdots\!39}{15\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{86\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!07}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!02}{15\!\cdots\!07}a^{3}+\frac{89\!\cdots\!28}{79\!\cdots\!53}a^{2}+\frac{58\!\cdots\!84}{79\!\cdots\!53}a-\frac{20\!\cdots\!81}{79\!\cdots\!53}$, $\frac{37\!\cdots\!28}{19\!\cdots\!47}a^{26}-\frac{20\!\cdots\!01}{19\!\cdots\!47}a^{25}+\frac{93\!\cdots\!60}{19\!\cdots\!47}a^{24}+\frac{41\!\cdots\!10}{19\!\cdots\!47}a^{23}-\frac{98\!\cdots\!22}{19\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{78\!\cdots\!66}{19\!\cdots\!47}a^{21}+\frac{30\!\cdots\!98}{10\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{33\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{25\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{41\!\cdots\!98}{10\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{38\!\cdots\!38}{10\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{70\!\cdots\!68}{10\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{37\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{40\!\cdots\!25}{54\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!44}{54\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!17}{28\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{20\!\cdots\!60}{28\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!21}{79\!\cdots\!53}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!97}{28\!\cdots\!33}a^{6}-\frac{68\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{21\!\cdots\!20}{15\!\cdots\!07}a^{4}+\frac{50\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!07}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!31}{79\!\cdots\!53}a^{2}+\frac{20\!\cdots\!16}{79\!\cdots\!53}a-\frac{30\!\cdots\!51}{79\!\cdots\!53}$, $\frac{84\!\cdots\!84}{19\!\cdots\!47}a^{26}+\frac{79\!\cdots\!59}{19\!\cdots\!47}a^{25}+\frac{21\!\cdots\!20}{19\!\cdots\!47}a^{24}-\frac{11\!\cdots\!08}{19\!\cdots\!47}a^{23}-\frac{22\!\cdots\!58}{19\!\cdots\!47}a^{22}+\frac{37\!\cdots\!30}{19\!\cdots\!47}a^{21}+\frac{69\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{25\!\cdots\!55}{10\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!84}{10\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{60\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{42\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{94\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{86\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{96\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{56\!\cdots\!48}{54\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{32\!\cdots\!81}{54\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{43\!\cdots\!75}{54\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{33\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!07}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!31}{28\!\cdots\!33}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!52}{28\!\cdots\!33}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!60}{15\!\cdots\!07}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!60}{15\!\cdots\!07}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!85}{15\!\cdots\!07}a^{3}+\frac{23\!\cdots\!29}{79\!\cdots\!53}a^{2}+\frac{36\!\cdots\!13}{79\!\cdots\!53}a-\frac{54\!\cdots\!49}{79\!\cdots\!53}$, $\frac{14\!\cdots\!55}{19\!\cdots\!47}a^{26}+\frac{34\!\cdots\!85}{19\!\cdots\!47}a^{25}+\frac{37\!\cdots\!68}{19\!\cdots\!47}a^{24}+\frac{31\!\cdots\!47}{10\!\cdots\!13}a^{23}-\frac{39\!\cdots\!42}{19\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{20\!\cdots\!55}{19\!\cdots\!47}a^{21}+\frac{12\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{44\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{26\!\cdots\!02}{54\!\cdots\!27}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!65}{10\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!78}{10\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{25\!\cdots\!56}{10\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!62}{54\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{53\!\cdots\!84}{54\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!13}{54\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{96\!\cdots\!80}{28\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!87}{28\!\cdots\!33}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!17}{28\!\cdots\!33}a^{6}-\frac{28\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{60\!\cdots\!22}{15\!\cdots\!07}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!90}{15\!\cdots\!07}a^{3}+\frac{74\!\cdots\!39}{79\!\cdots\!53}a^{2}+\frac{41\!\cdots\!19}{79\!\cdots\!53}a-\frac{17\!\cdots\!93}{79\!\cdots\!53}$, $\frac{11\!\cdots\!78}{19\!\cdots\!47}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!95}{19\!\cdots\!47}a^{25}+\frac{28\!\cdots\!52}{19\!\cdots\!47}a^{24}-\frac{16\!\cdots\!01}{19\!\cdots\!47}a^{23}-\frac{29\!\cdots\!35}{19\!\cdots\!47}a^{22}+\frac{60\!\cdots\!50}{19\!\cdots\!47}a^{21}+\frac{92\!\cdots\!12}{10\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{17\!\cdots\!04}{54\!\cdots\!27}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!66}{10\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{80\!\cdots\!47}{10\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{54\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!13}{10\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!19}{10\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{74\!\cdots\!27}{54\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{43\!\cdots\!04}{54\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{57\!\cdots\!30}{54\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{86\!\cdots\!06}{28\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!85}{28\!\cdots\!33}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!06}{28\!\cdots\!33}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!64}{15\!\cdots\!07}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!07}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!07}a^{3}+\frac{31\!\cdots\!45}{79\!\cdots\!53}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!29}{79\!\cdots\!53}a-\frac{66\!\cdots\!14}{79\!\cdots\!53}$, $\frac{70\!\cdots\!68}{88\!\cdots\!93}a^{26}-\frac{95\!\cdots\!84}{88\!\cdots\!93}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!99}{88\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{17\!\cdots\!63}{88\!\cdots\!93}a^{23}+\frac{18\!\cdots\!43}{88\!\cdots\!93}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!74}{88\!\cdots\!93}a^{21}-\frac{58\!\cdots\!80}{46\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!65}{46\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{21\!\cdots\!07}{46\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{28\!\cdots\!33}{46\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{51\!\cdots\!06}{46\!\cdots\!47}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!83}{46\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{81\!\cdots\!47}{46\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{33\!\cdots\!84}{46\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{84\!\cdots\!64}{46\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{26\!\cdots\!20}{24\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{29\!\cdots\!10}{24\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!63}{24\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{62\!\cdots\!84}{12\!\cdots\!27}a^{8}-\frac{56\!\cdots\!05}{12\!\cdots\!27}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{72\!\cdots\!74}{68\!\cdots\!33}a^{5}-\frac{50\!\cdots\!01}{68\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{62\!\cdots\!73}{68\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!34}{35\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!32}{35\!\cdots\!07}a-\frac{78\!\cdots\!92}{35\!\cdots\!07}$, $\frac{32\!\cdots\!33}{88\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{56\!\cdots\!24}{88\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{82\!\cdots\!57}{88\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!68}{88\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{86\!\cdots\!52}{88\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{81\!\cdots\!46}{88\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{27\!\cdots\!12}{46\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!95}{46\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{99\!\cdots\!74}{46\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{28\!\cdots\!79}{46\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{23\!\cdots\!96}{46\!\cdots\!47}a^{16}-\frac{51\!\cdots\!41}{46\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{37\!\cdots\!38}{46\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{76\!\cdots\!83}{46\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{39\!\cdots\!97}{46\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{83\!\cdots\!09}{24\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!02}{24\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{81\!\cdots\!46}{24\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{29\!\cdots\!12}{12\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{61\!\cdots\!95}{12\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{30\!\cdots\!83}{68\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{23\!\cdots\!97}{68\!\cdots\!33}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!84}{68\!\cdots\!33}a^{3}+\frac{81\!\cdots\!71}{35\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{39\!\cdots\!05}{35\!\cdots\!07}a+\frac{98\!\cdots\!38}{35\!\cdots\!07}$, $\frac{70\!\cdots\!27}{88\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{19\!\cdots\!58}{88\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!51}{88\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{16\!\cdots\!32}{88\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{18\!\cdots\!71}{88\!\cdots\!93}a^{22}-\frac{78\!\cdots\!63}{88\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{55\!\cdots\!70}{46\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{40\!\cdots\!27}{46\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{19\!\cdots\!06}{46\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!45}{46\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{45\!\cdots\!91}{46\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{51\!\cdots\!09}{46\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{67\!\cdots\!95}{46\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{85\!\cdots\!69}{46\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{64\!\cdots\!74}{46\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{46\!\cdots\!15}{24\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!41}{24\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{30\!\cdots\!41}{24\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{38\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{31\!\cdots\!61}{68\!\cdots\!33}a^{7}-\frac{65\!\cdots\!86}{12\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{63\!\cdots\!50}{68\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!89}{68\!\cdots\!33}a^{4}+\frac{46\!\cdots\!67}{68\!\cdots\!33}a^{3}+\frac{70\!\cdots\!13}{35\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{71\!\cdots\!95}{35\!\cdots\!07}a-\frac{13\!\cdots\!68}{35\!\cdots\!07}$, $\frac{54\!\cdots\!63}{88\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{91\!\cdots\!61}{88\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{13\!\cdots\!56}{88\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{17\!\cdots\!32}{88\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!90}{88\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!83}{88\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{44\!\cdots\!39}{46\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{25\!\cdots\!55}{46\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!07}{46\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{47\!\cdots\!53}{46\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{38\!\cdots\!85}{46\!\cdots\!47}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!76}{46\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{61\!\cdots\!54}{46\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!52}{46\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{63\!\cdots\!78}{46\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!64}{24\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{22\!\cdots\!86}{24\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!21}{24\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{47\!\cdots\!15}{12\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{32\!\cdots\!65}{12\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{43\!\cdots\!77}{68\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{44\!\cdots\!77}{68\!\cdots\!33}a^{4}+\frac{38\!\cdots\!68}{68\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!95}{35\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{90\!\cdots\!07}{35\!\cdots\!07}a+\frac{92\!\cdots\!99}{35\!\cdots\!07}$, $\frac{83\!\cdots\!44}{24\!\cdots\!13}a^{26}+\frac{52\!\cdots\!02}{46\!\cdots\!47}a^{25}-\frac{74\!\cdots\!73}{88\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{27\!\cdots\!27}{46\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{77\!\cdots\!00}{88\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{79\!\cdots\!65}{88\!\cdots\!93}a^{21}-\frac{23\!\cdots\!90}{46\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{30\!\cdots\!44}{46\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{80\!\cdots\!14}{46\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!62}{46\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!42}{46\!\cdots\!47}a^{16}-\frac{30\!\cdots\!38}{46\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{25\!\cdots\!13}{46\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{46\!\cdots\!56}{46\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{23\!\cdots\!83}{46\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{23\!\cdots\!54}{24\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{69\!\cdots\!39}{24\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!24}{24\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!58}{12\!\cdots\!27}a^{8}-\frac{24\!\cdots\!51}{12\!\cdots\!27}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!79}{12\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!99}{35\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!08}{68\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!99}{68\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!11}{35\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!17}{35\!\cdots\!07}a+\frac{43\!\cdots\!13}{35\!\cdots\!07}$, $\frac{13\!\cdots\!47}{88\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{21\!\cdots\!08}{88\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{34\!\cdots\!79}{88\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{41\!\cdots\!77}{88\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{35\!\cdots\!07}{88\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{29\!\cdots\!84}{88\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!24}{46\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{55\!\cdots\!12}{46\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!71}{24\!\cdots\!13}a^{18}+\frac{83\!\cdots\!72}{46\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{94\!\cdots\!61}{46\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{38\!\cdots\!10}{46\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!05}{46\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{37\!\cdots\!25}{46\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!98}{46\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{34\!\cdots\!04}{24\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{51\!\cdots\!01}{24\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{32\!\cdots\!74}{24\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!60}{12\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{86\!\cdots\!89}{12\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!45}{12\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!09}{68\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{59\!\cdots\!78}{68\!\cdots\!33}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!56}{68\!\cdots\!33}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!26}{35\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!57}{35\!\cdots\!07}a-\frac{26\!\cdots\!05}{35\!\cdots\!07}$, $\frac{10\!\cdots\!85}{88\!\cdots\!93}a^{26}-\frac{25\!\cdots\!05}{88\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{27\!\cdots\!44}{88\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!44}{88\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{28\!\cdots\!22}{88\!\cdots\!93}a^{22}-\frac{26\!\cdots\!76}{88\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{90\!\cdots\!78}{46\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!08}{46\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{33\!\cdots\!42}{46\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!08}{12\!\cdots\!27}a^{17}+\frac{78\!\cdots\!10}{46\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!64}{46\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!68}{46\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!48}{46\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!83}{46\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!40}{24\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{39\!\cdots\!82}{24\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{92\!\cdots\!86}{24\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{71\!\cdots\!04}{12\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!47}{12\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{88\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{23\!\cdots\!14}{68\!\cdots\!33}a^{5}-\frac{59\!\cdots\!89}{68\!\cdots\!33}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!26}{68\!\cdots\!33}a^{3}+\frac{63\!\cdots\!55}{35\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{31\!\cdots\!83}{35\!\cdots\!07}a-\frac{15\!\cdots\!88}{35\!\cdots\!07}$, $\frac{31\!\cdots\!45}{88\!\cdots\!93}a^{26}-\frac{21\!\cdots\!34}{88\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{79\!\cdots\!32}{88\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{84\!\cdots\!74}{88\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{83\!\cdots\!20}{88\!\cdots\!93}a^{22}-\frac{62\!\cdots\!82}{46\!\cdots\!47}a^{21}+\frac{25\!\cdots\!30}{46\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{45\!\cdots\!47}{46\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{93\!\cdots\!32}{46\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!04}{46\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!82}{46\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{49\!\cdots\!27}{46\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{32\!\cdots\!19}{46\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{83\!\cdots\!32}{46\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!94}{24\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{47\!\cdots\!53}{24\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{98\!\cdots\!26}{24\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{32\!\cdots\!84}{24\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!10}{12\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{70\!\cdots\!05}{12\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{90\!\cdots\!48}{12\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{78\!\cdots\!16}{68\!\cdots\!33}a^{5}-\frac{33\!\cdots\!63}{68\!\cdots\!33}a^{4}+\frac{58\!\cdots\!46}{68\!\cdots\!33}a^{3}+\frac{24\!\cdots\!80}{35\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!69}{35\!\cdots\!07}a-\frac{59\!\cdots\!69}{35\!\cdots\!07}$, $\frac{42\!\cdots\!35}{88\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{59\!\cdots\!49}{88\!\cdots\!93}a^{25}-\frac{55\!\cdots\!01}{88\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{77\!\cdots\!26}{46\!\cdots\!47}a^{23}-\frac{59\!\cdots\!76}{88\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{15\!\cdots\!98}{88\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{79\!\cdots\!72}{46\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{45\!\cdots\!79}{46\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{61\!\cdots\!97}{46\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!50}{46\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{25\!\cdots\!20}{46\!\cdots\!47}a^{16}-\frac{33\!\cdots\!78}{46\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{31\!\cdots\!84}{24\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{45\!\cdots\!62}{46\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{86\!\cdots\!62}{46\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!99}{24\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{40\!\cdots\!33}{24\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{98\!\cdots\!36}{24\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!27}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!09}{12\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{30\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{52\!\cdots\!76}{68\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{18\!\cdots\!02}{68\!\cdots\!33}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!07}{68\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{35\!\cdots\!75}{35\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{93\!\cdots\!12}{35\!\cdots\!07}a-\frac{27\!\cdots\!21}{35\!\cdots\!07}$, $\frac{23\!\cdots\!12}{88\!\cdots\!93}a^{26}-\frac{85\!\cdots\!73}{88\!\cdots\!93}a^{25}-\frac{57\!\cdots\!62}{88\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{13\!\cdots\!74}{88\!\cdots\!93}a^{23}+\frac{61\!\cdots\!90}{88\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{23\!\cdots\!25}{88\!\cdots\!93}a^{21}-\frac{19\!\cdots\!23}{46\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!93}{46\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{69\!\cdots\!19}{46\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{69\!\cdots\!77}{46\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!21}{46\!\cdots\!47}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!72}{46\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{25\!\cdots\!66}{46\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!67}{24\!\cdots\!13}a^{13}-\frac{25\!\cdots\!20}{46\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!43}{24\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{84\!\cdots\!82}{24\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!89}{24\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!35}{12\!\cdots\!27}a^{8}-\frac{36\!\cdots\!65}{12\!\cdots\!27}a^{7}+\frac{21\!\cdots\!17}{12\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{43\!\cdots\!58}{68\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{76\!\cdots\!74}{68\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{33\!\cdots\!94}{68\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!45}{35\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{60\!\cdots\!76}{35\!\cdots\!07}a+\frac{25\!\cdots\!59}{35\!\cdots\!07}$, $\frac{22\!\cdots\!12}{88\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{57\!\cdots\!78}{88\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{54\!\cdots\!26}{88\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{64\!\cdots\!11}{46\!\cdots\!47}a^{23}-\frac{55\!\cdots\!68}{88\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{11\!\cdots\!83}{88\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{16\!\cdots\!48}{46\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{29\!\cdots\!11}{46\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{60\!\cdots\!22}{46\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{50\!\cdots\!95}{24\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!41}{46\!\cdots\!47}a^{16}-\frac{21\!\cdots\!84}{46\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{21\!\cdots\!69}{46\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{32\!\cdots\!37}{46\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!29}{46\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!23}{24\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{81\!\cdots\!48}{24\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!36}{24\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!12}{68\!\cdots\!33}a^{8}-\frac{26\!\cdots\!93}{12\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{59\!\cdots\!98}{12\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{29\!\cdots\!39}{68\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{56\!\cdots\!10}{68\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!86}{68\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!24}{35\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{25\!\cdots\!61}{35\!\cdots\!07}a+\frac{61\!\cdots\!07}{35\!\cdots\!07}$, $\frac{10\!\cdots\!13}{88\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{53\!\cdots\!48}{88\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{25\!\cdots\!20}{88\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{64\!\cdots\!65}{46\!\cdots\!47}a^{23}-\frac{24\!\cdots\!12}{88\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{11\!\cdots\!89}{88\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{71\!\cdots\!61}{46\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{34\!\cdots\!21}{46\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!25}{46\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!86}{46\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{52\!\cdots\!21}{46\!\cdots\!47}a^{16}-\frac{26\!\cdots\!29}{46\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{74\!\cdots\!40}{46\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{41\!\cdots\!21}{46\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{69\!\cdots\!86}{46\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!03}{24\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!94}{24\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!17}{24\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{55\!\cdots\!86}{12\!\cdots\!27}a^{8}-\frac{28\!\cdots\!23}{12\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{28\!\cdots\!28}{68\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{24\!\cdots\!08}{68\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!86}{68\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!49}{35\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{48\!\cdots\!50}{35\!\cdots\!07}a-\frac{65\!\cdots\!41}{35\!\cdots\!07}$, $\frac{54\!\cdots\!05}{88\!\cdots\!93}a^{26}-\frac{55\!\cdots\!11}{88\!\cdots\!93}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!36}{88\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{86\!\cdots\!91}{88\!\cdots\!93}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!15}{88\!\cdots\!93}a^{22}-\frac{39\!\cdots\!65}{88\!\cdots\!93}a^{21}-\frac{44\!\cdots\!32}{46\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{21\!\cdots\!92}{46\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{16\!\cdots\!08}{46\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{52\!\cdots\!20}{46\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{38\!\cdots\!13}{46\!\cdots\!47}a^{16}-\frac{21\!\cdots\!97}{46\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{31\!\cdots\!29}{24\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{44\!\cdots\!99}{46\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{60\!\cdots\!20}{46\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{29\!\cdots\!72}{24\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{20\!\cdots\!94}{24\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!49}{24\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{41\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!27}a^{8}-\frac{53\!\cdots\!03}{12\!\cdots\!27}a^{7}+\frac{77\!\cdots\!07}{12\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{64\!\cdots\!33}{68\!\cdots\!33}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!29}{68\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{52\!\cdots\!04}{68\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{88\!\cdots\!77}{35\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{48\!\cdots\!27}{35\!\cdots\!07}a+\frac{17\!\cdots\!43}{35\!\cdots\!07}$, $\frac{18\!\cdots\!67}{88\!\cdots\!93}a^{26}-\frac{24\!\cdots\!56}{88\!\cdots\!93}a^{25}-\frac{45\!\cdots\!03}{88\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{22\!\cdots\!65}{46\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{47\!\cdots\!33}{88\!\cdots\!93}a^{22}-\frac{26\!\cdots\!78}{88\!\cdots\!93}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!03}{46\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{33\!\cdots\!07}{46\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{50\!\cdots\!91}{46\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{23\!\cdots\!02}{46\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!66}{46\!\cdots\!47}a^{16}-\frac{32\!\cdots\!96}{46\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!16}{46\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{81\!\cdots\!64}{46\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{16\!\cdots\!30}{46\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{30\!\cdots\!31}{12\!\cdots\!27}a^{11}+\frac{27\!\cdots\!22}{12\!\cdots\!27}a^{10}+\frac{44\!\cdots\!67}{24\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{92\!\cdots\!12}{12\!\cdots\!27}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!04}{12\!\cdots\!27}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!13}{12\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!95}{68\!\cdots\!33}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!62}{68\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{95\!\cdots\!42}{68\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{26\!\cdots\!67}{35\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{46\!\cdots\!95}{35\!\cdots\!07}a-\frac{23\!\cdots\!58}{35\!\cdots\!07}$, $\frac{61\!\cdots\!27}{88\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{16\!\cdots\!93}{88\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!06}{88\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!57}{88\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{85\!\cdots\!64}{46\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{77\!\cdots\!64}{88\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{49\!\cdots\!34}{46\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{39\!\cdots\!32}{46\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{17\!\cdots\!36}{46\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!97}{46\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{41\!\cdots\!86}{46\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{54\!\cdots\!54}{46\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{63\!\cdots\!46}{46\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{96\!\cdots\!60}{46\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{62\!\cdots\!32}{46\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{56\!\cdots\!22}{24\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!83}{24\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{39\!\cdots\!93}{24\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{35\!\cdots\!96}{12\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{86\!\cdots\!75}{12\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{43\!\cdots\!04}{12\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{96\!\cdots\!80}{68\!\cdots\!33}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!91}{68\!\cdots\!33}a^{4}+\frac{65\!\cdots\!72}{68\!\cdots\!33}a^{3}+\frac{28\!\cdots\!28}{35\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{72\!\cdots\!88}{35\!\cdots\!07}a+\frac{62\!\cdots\!64}{35\!\cdots\!07}$, $\frac{66\!\cdots\!47}{88\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{45\!\cdots\!33}{88\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{16\!\cdots\!91}{88\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{49\!\cdots\!62}{88\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{17\!\cdots\!73}{88\!\cdots\!93}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!28}{88\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{54\!\cdots\!53}{46\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{20\!\cdots\!11}{46\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{19\!\cdots\!90}{46\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!86}{46\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{46\!\cdots\!07}{46\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{40\!\cdots\!58}{46\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{71\!\cdots\!54}{46\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{39\!\cdots\!00}{24\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{71\!\cdots\!46}{46\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{46\!\cdots\!08}{24\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!90}{24\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{33\!\cdots\!02}{24\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{46\!\cdots\!91}{12\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{39\!\cdots\!96}{68\!\cdots\!33}a^{7}-\frac{79\!\cdots\!98}{12\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{88\!\cdots\!36}{68\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{73\!\cdots\!01}{68\!\cdots\!33}a^{4}+\frac{36\!\cdots\!25}{35\!\cdots\!07}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!56}{35\!\cdots\!07}a^{2}+\frac{67\!\cdots\!39}{35\!\cdots\!07}a-\frac{36\!\cdots\!90}{35\!\cdots\!07}$, $\frac{39\!\cdots\!57}{88\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{40\!\cdots\!27}{88\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{99\!\cdots\!47}{88\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{63\!\cdots\!51}{88\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!41}{88\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{28\!\cdots\!10}{88\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{32\!\cdots\!11}{46\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{17\!\cdots\!18}{46\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!05}{46\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{39\!\cdots\!43}{46\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{28\!\cdots\!63}{46\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!91}{46\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{44\!\cdots\!12}{46\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!46}{24\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{45\!\cdots\!63}{46\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!80}{24\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!07}{24\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!48}{24\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{31\!\cdots\!64}{12\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{40\!\cdots\!36}{12\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{58\!\cdots\!19}{12\!\cdots\!27}a^{6}-\frac{49\!\cdots\!19}{68\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!65}{68\!\cdots\!33}a^{4}+\frac{40\!\cdots\!40}{68\!\cdots\!33}a^{3}+\frac{65\!\cdots\!65}{35\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!98}{35\!\cdots\!07}a-\frac{12\!\cdots\!73}{35\!\cdots\!07}$, $\frac{39\!\cdots\!95}{46\!\cdots\!47}a^{26}-\frac{58\!\cdots\!70}{88\!\cdots\!93}a^{25}-\frac{18\!\cdots\!59}{88\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{71\!\cdots\!32}{88\!\cdots\!93}a^{23}+\frac{19\!\cdots\!22}{88\!\cdots\!93}a^{22}-\frac{25\!\cdots\!34}{88\!\cdots\!93}a^{21}-\frac{61\!\cdots\!59}{46\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{19\!\cdots\!30}{46\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{22\!\cdots\!33}{46\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!83}{46\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{53\!\cdots\!56}{46\!\cdots\!47}a^{16}-\frac{45\!\cdots\!66}{46\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{83\!\cdots\!33}{46\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{87\!\cdots\!42}{46\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{84\!\cdots\!36}{46\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{55\!\cdots\!32}{24\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{28\!\cdots\!77}{24\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{41\!\cdots\!22}{24\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{55\!\cdots\!30}{12\!\cdots\!27}a^{8}-\frac{96\!\cdots\!32}{12\!\cdots\!27}a^{7}+\frac{92\!\cdots\!18}{12\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!50}{68\!\cdots\!33}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!93}{68\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{92\!\cdots\!46}{68\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{23\!\cdots\!94}{35\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!44}{35\!\cdots\!07}a+\frac{49\!\cdots\!47}{35\!\cdots\!07}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 5564427432512092000000 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 5564427432512092000000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{1710104639727978317616739861182036266774010607729523946446049}}\cr\approx \mathstrut & 0.285554512566685 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_3^4.C_3\wr C_3$ (as 27T692):

A solvable group of order 6561

The 81 conjugacy class representatives for $C_3^4.C_3\wr C_3$

Character table for $C_3^4.C_3\wr C_3$

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{9})^+\), 9.9.139858796529.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Sibling fields

Degree 27 siblings:	data not computed
Minimal sibling:	27.27.36349720812497449407244384714190733653686081630175529.1

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	$27$	R	$27$	${\href{/padicField/7.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/7.3.0.1}{3} }^{3}$	${\href{/padicField/11.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{3}$	$27$	${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }^{3}$	R	$27$	$27$	${\href{/padicField/31.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{3}$	${\href{/padicField/37.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }^{3}$	$27$	$27$	$27$	${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }^{3}$	$27$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(3\)		Deg $27$	$27$	$1$	$78$
\(19\)	$\Q_{19}$	$x + 17$	$1$	$1$	$0$	Trivial	$[\ ]$
	$\Q_{19}$	$x + 17$	$1$	$1$	$0$	Trivial	$[\ ]$
	$\Q_{19}$	$x + 17$	$1$	$1$	$0$	Trivial	$[\ ]$
	19.3.2.1	$x^{3} + 76$	$3$	$1$	$2$	$C_3$	$[\ ]_{3}$
	19.3.2.1	$x^{3} + 76$	$3$	$1$	$2$	$C_3$	$[\ ]_{3}$
	19.9.8.2	$x^{9} + 57$	$9$	$1$	$8$	$C_9$	$[\ ]_{9}$
	19.9.6.3	$x^{9} - 152 x^{6} + 5776 x^{3} + 1982251$	$3$	$3$	$6$	$C_9$	$[\ ]_{3}^{3}$