Number field 27.27.138518475817966243726955928755744937608694859226091439662129969.7

• Label: 27.27.138...969.7
• Degree: $27$
• Signature: $[27, 0]$
• Discriminant: $1.385\times 10^{62}$
• Root discriminant: \(200.23\)
• Ramified primes: $3,19$
• Class number: $1$ (GRH)
• Class group: trivial (GRH)
• Galois group: $C_3^7.C_3\wr C_3$ (as 27T1459)

Normalized defining polynomial

x^27 - 378*x^25 - 180*x^24 + 55404*x^23 + 24111*x^22 - 4270554*x^21 - 1205037*x^20 + 193978638*x^19 + 34664778*x^18 - 5500402929*x^17 - 826631784*x^16 + 100060233273*x^15 + 17341462773*x^14 - 1173646133964*x^13 - 242321726520*x^12 + 8757504551097*x^11 + 1781259610428*x^10 - 40408055580087*x^9 - 5139431874873*x^8 + 110255393136807*x^7 - 2797660463697*x^6 - 161409309518763*x^5 + 35414591654925*x^4 + 96140161943631*x^3 - 36022701760533*x^2 - 4256570175237*x - 76637740149

Invariants

Degree:		$27$
Signature:		$[27, 0]$
Discriminant:		\(138518475817966243726955928755744937608694859226091439662129969\) \(\medspace = 3^{82}\cdot 19^{18}\)
Root discriminant:		\(200.23\)
Galois root discriminant:		not computed
Ramified primes:		\(3\), \(19\)
Discriminant root field:		\(\Q\)
$\card{ \Aut(K/\Q) }$:		$3$
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $\frac{1}{19}a^{12}+\frac{2}{19}a^{10}-\frac{9}{19}a^{9}$, $\frac{1}{19}a^{13}+\frac{2}{19}a^{11}-\frac{9}{19}a^{10}$, $\frac{1}{57}a^{14}-\frac{3}{19}a^{11}+\frac{5}{19}a^{10}+\frac{6}{19}a^{9}$, $\frac{1}{1083}a^{15}+\frac{7}{361}a^{13}-\frac{3}{361}a^{12}-\frac{2}{19}a^{11}+\frac{5}{19}a^{10}+\frac{6}{19}a^{9}+\frac{6}{19}a^{8}+\frac{6}{19}a^{7}+\frac{2}{19}a^{6}+\frac{5}{19}a^{5}+\frac{8}{19}a^{4}+\frac{9}{19}a^{3}$, $\frac{1}{1083}a^{16}+\frac{2}{1083}a^{14}-\frac{3}{361}a^{13}+\frac{8}{19}a^{11}+\frac{5}{19}a^{10}+\frac{1}{19}a^{9}+\frac{6}{19}a^{8}+\frac{2}{19}a^{7}+\frac{5}{19}a^{6}+\frac{8}{19}a^{5}+\frac{9}{19}a^{4}$, $\frac{1}{1083}a^{17}-\frac{3}{361}a^{14}+\frac{5}{361}a^{13}+\frac{6}{361}a^{12}-\frac{8}{19}a^{11}+\frac{4}{19}a^{10}+\frac{9}{19}a^{9}+\frac{9}{19}a^{8}-\frac{7}{19}a^{7}+\frac{4}{19}a^{6}-\frac{1}{19}a^{5}+\frac{3}{19}a^{4}+\frac{1}{19}a^{3}$, $\frac{1}{20577}a^{18}+\frac{2}{20577}a^{16}-\frac{3}{6859}a^{15}-\frac{8}{1083}a^{14}+\frac{8}{361}a^{13}+\frac{6}{361}a^{12}+\frac{82}{361}a^{11}+\frac{82}{361}a^{10}-\frac{150}{361}a^{9}-\frac{52}{361}a^{8}+\frac{122}{361}a^{7}+\frac{123}{361}a^{6}+\frac{6}{19}a^{5}+\frac{2}{19}a^{4}+\frac{6}{19}a^{3}$, $\frac{1}{20577}a^{19}+\frac{2}{20577}a^{17}-\frac{3}{6859}a^{16}+\frac{5}{1083}a^{14}+\frac{5}{361}a^{13}+\frac{1}{361}a^{12}+\frac{82}{361}a^{11}-\frac{169}{361}a^{10}+\frac{176}{361}a^{9}-\frac{49}{361}a^{8}-\frac{48}{361}a^{7}+\frac{3}{19}a^{6}+\frac{4}{19}a^{5}-\frac{6}{19}a^{4}-\frac{4}{19}a^{3}$, $\frac{1}{20577}a^{20}-\frac{3}{6859}a^{17}-\frac{4}{20577}a^{16}-\frac{1}{20577}a^{15}-\frac{7}{1083}a^{14}-\frac{7}{361}a^{12}+\frac{123}{361}a^{11}-\frac{7}{361}a^{10}-\frac{167}{361}a^{9}+\frac{94}{361}a^{8}-\frac{149}{361}a^{7}-\frac{37}{361}a^{6}+\frac{9}{19}a^{5}+\frac{1}{19}a^{4}-\frac{9}{19}a^{3}$, $\frac{1}{390963}a^{21}+\frac{2}{390963}a^{19}-\frac{3}{130321}a^{18}-\frac{8}{20577}a^{17}+\frac{5}{20577}a^{16}-\frac{1}{20577}a^{15}-\frac{51}{6859}a^{14}+\frac{6}{6859}a^{13}-\frac{93}{6859}a^{12}-\frac{1857}{6859}a^{11}+\frac{1566}{6859}a^{10}-\frac{960}{6859}a^{9}-\frac{146}{361}a^{8}+\frac{78}{361}a^{7}+\frac{177}{361}a^{6}-\frac{8}{19}a^{5}-\frac{8}{19}a^{4}-\frac{2}{19}a^{3}$, $\frac{1}{390963}a^{22}+\frac{2}{390963}a^{20}-\frac{3}{130321}a^{19}+\frac{5}{20577}a^{17}-\frac{4}{20577}a^{16}+\frac{1}{6859}a^{15}-\frac{51}{6859}a^{14}-\frac{112}{6859}a^{13}+\frac{176}{6859}a^{12}+\frac{312}{6859}a^{11}-\frac{2214}{6859}a^{10}-\frac{149}{361}a^{9}-\frac{167}{361}a^{8}-\frac{44}{361}a^{7}+\frac{110}{361}a^{6}-\frac{3}{19}a^{5}+\frac{6}{19}a^{4}+\frac{4}{19}a^{3}$, $\frac{1}{390963}a^{23}-\frac{3}{130321}a^{20}-\frac{4}{390963}a^{19}-\frac{1}{390963}a^{18}-\frac{7}{20577}a^{17}-\frac{2}{20577}a^{15}+\frac{8}{20577}a^{14}+\frac{126}{6859}a^{13}+\frac{137}{6859}a^{12}-\frac{1711}{6859}a^{11}+\frac{573}{6859}a^{10}-\frac{2925}{6859}a^{9}-\frac{10}{361}a^{8}-\frac{37}{361}a^{7}+\frac{143}{361}a^{6}+\frac{1}{19}a^{5}-\frac{3}{19}a^{4}-\frac{7}{19}a^{3}$, $\frac{1}{7428297}a^{24}+\frac{2}{7428297}a^{22}-\frac{3}{2476099}a^{21}-\frac{8}{390963}a^{20}+\frac{5}{390963}a^{19}-\frac{1}{390963}a^{18}-\frac{51}{130321}a^{17}+\frac{6}{130321}a^{16}+\frac{82}{390963}a^{15}+\frac{1288}{390963}a^{14}-\frac{2766}{130321}a^{13}-\frac{2043}{130321}a^{12}+\frac{215}{6859}a^{11}-\frac{644}{6859}a^{10}-\frac{1267}{6859}a^{9}-\frac{160}{361}a^{8}+\frac{106}{361}a^{7}+\frac{93}{361}a^{6}-\frac{4}{19}a^{5}+\frac{7}{19}a^{4}+\frac{4}{19}a^{3}$, $\frac{1}{7428297}a^{25}+\frac{2}{7428297}a^{23}-\frac{3}{2476099}a^{22}+\frac{5}{390963}a^{20}-\frac{4}{390963}a^{19}+\frac{1}{130321}a^{18}-\frac{51}{130321}a^{17}+\frac{25}{390963}a^{16}+\frac{167}{390963}a^{15}+\frac{1658}{390963}a^{14}+\frac{1035}{130321}a^{13}-\frac{92}{6859}a^{12}+\frac{2360}{6859}a^{11}+\frac{2483}{6859}a^{10}+\frac{2276}{6859}a^{9}-\frac{155}{361}a^{8}-\frac{146}{361}a^{7}-\frac{167}{361}a^{6}-\frac{9}{19}a^{5}+\frac{5}{19}a^{4}-\frac{5}{19}a^{3}$, $\frac{1}{38\!\cdots\!77}a^{26}-\frac{31\!\cdots\!40}{38\!\cdots\!77}a^{25}-\frac{83\!\cdots\!87}{38\!\cdots\!77}a^{24}+\frac{35\!\cdots\!84}{38\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{32\!\cdots\!76}{38\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{31\!\cdots\!10}{12\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{31\!\cdots\!73}{20\!\cdots\!83}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!51}{20\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!20}{20\!\cdots\!83}a^{18}+\frac{21\!\cdots\!00}{20\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{74\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!18}{20\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{34\!\cdots\!11}{67\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!70}{67\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!78}{67\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{28\!\cdots\!83}{35\!\cdots\!19}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!06}{35\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{72\!\cdots\!93}{35\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{61\!\cdots\!60}{18\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{49\!\cdots\!77}{18\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{60\!\cdots\!39}{18\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!54}{97\!\cdots\!79}a^{5}-\frac{33\!\cdots\!48}{97\!\cdots\!79}a^{4}-\frac{58\!\cdots\!38}{97\!\cdots\!79}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!02}{51\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!59}{51\!\cdots\!41}a+\frac{22\!\cdots\!90}{51\!\cdots\!41}$

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$26$
Torsion generator:		\( -1 \)  (order $2$)
Fundamental units:		$\frac{79\!\cdots\!76}{15\!\cdots\!47}a^{26}+\frac{20\!\cdots\!64}{15\!\cdots\!47}a^{25}+\frac{88\!\cdots\!20}{47\!\cdots\!41}a^{24}-\frac{60\!\cdots\!66}{15\!\cdots\!47}a^{23}-\frac{42\!\cdots\!96}{15\!\cdots\!47}a^{22}+\frac{88\!\cdots\!50}{15\!\cdots\!47}a^{21}+\frac{16\!\cdots\!87}{83\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{37\!\cdots\!10}{83\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!99}{25\!\cdots\!39}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!13}{83\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!26}{83\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{44\!\cdots\!65}{83\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!82}{83\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{71\!\cdots\!26}{83\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{31\!\cdots\!63}{83\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{37\!\cdots\!86}{43\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{53\!\cdots\!78}{23\!\cdots\!33}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!71}{43\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!90}{23\!\cdots\!33}a^{8}-\frac{41\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!33}a^{7}-\frac{26\!\cdots\!44}{23\!\cdots\!33}a^{6}+\frac{39\!\cdots\!60}{12\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{25\!\cdots\!98}{12\!\cdots\!07}a^{4}-\frac{27\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!07}a^{3}+\frac{53\!\cdots\!30}{64\!\cdots\!53}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!07}{64\!\cdots\!53}a-\frac{98\!\cdots\!41}{64\!\cdots\!53}$, $\frac{12\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!47}a^{26}-\frac{30\!\cdots\!94}{15\!\cdots\!47}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!87}{47\!\cdots\!41}a^{24}+\frac{91\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{66\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{26\!\cdots\!70}{83\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{56\!\cdots\!15}{83\!\cdots\!13}a^{19}+\frac{33\!\cdots\!43}{25\!\cdots\!39}a^{18}-\frac{25\!\cdots\!29}{83\!\cdots\!13}a^{17}-\frac{29\!\cdots\!11}{83\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{67\!\cdots\!39}{83\!\cdots\!13}a^{15}+\frac{48\!\cdots\!47}{83\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!60}{83\!\cdots\!13}a^{13}-\frac{49\!\cdots\!01}{83\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{56\!\cdots\!76}{43\!\cdots\!27}a^{11}+\frac{84\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!33}a^{10}-\frac{34\!\cdots\!85}{43\!\cdots\!27}a^{9}-\frac{28\!\cdots\!50}{23\!\cdots\!33}a^{8}+\frac{63\!\cdots\!27}{23\!\cdots\!33}a^{7}+\frac{43\!\cdots\!56}{23\!\cdots\!33}a^{6}-\frac{61\!\cdots\!75}{12\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{24\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!07}a^{4}+\frac{42\!\cdots\!98}{12\!\cdots\!07}a^{3}-\frac{73\!\cdots\!58}{64\!\cdots\!53}a^{2}-\frac{75\!\cdots\!43}{64\!\cdots\!53}a-\frac{31\!\cdots\!17}{64\!\cdots\!53}$, $\frac{17\!\cdots\!32}{15\!\cdots\!71}a^{26}-\frac{40\!\cdots\!82}{15\!\cdots\!71}a^{25}-\frac{64\!\cdots\!70}{15\!\cdots\!71}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!05}{15\!\cdots\!71}a^{23}+\frac{93\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!71}a^{22}-\frac{27\!\cdots\!22}{24\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{36\!\cdots\!35}{80\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{74\!\cdots\!37}{80\!\cdots\!09}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!48}{80\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{33\!\cdots\!67}{80\!\cdots\!09}a^{17}-\frac{41\!\cdots\!79}{80\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{89\!\cdots\!96}{80\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{69\!\cdots\!38}{80\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!73}{80\!\cdots\!09}a^{13}-\frac{37\!\cdots\!69}{42\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{73\!\cdots\!89}{42\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!59}{42\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{44\!\cdots\!99}{42\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{82\!\cdots\!80}{22\!\cdots\!69}a^{7}+\frac{73\!\cdots\!62}{22\!\cdots\!69}a^{6}-\frac{81\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!51}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{59\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!51}a^{3}-\frac{54\!\cdots\!62}{62\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{30\!\cdots\!26}{62\!\cdots\!29}a-\frac{17\!\cdots\!66}{62\!\cdots\!29}$, $\frac{35\!\cdots\!02}{15\!\cdots\!71}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!02}{15\!\cdots\!71}a^{25}-\frac{39\!\cdots\!31}{46\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{36\!\cdots\!77}{15\!\cdots\!71}a^{23}+\frac{18\!\cdots\!15}{15\!\cdots\!71}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!55}{46\!\cdots\!13}a^{21}-\frac{73\!\cdots\!99}{80\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{22\!\cdots\!26}{80\!\cdots\!09}a^{19}+\frac{31\!\cdots\!87}{80\!\cdots\!09}a^{18}-\frac{98\!\cdots\!34}{80\!\cdots\!09}a^{17}-\frac{79\!\cdots\!82}{80\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!68}{80\!\cdots\!09}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!88}{80\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{42\!\cdots\!73}{80\!\cdots\!09}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!91}{80\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!61}{42\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{34\!\cdots\!96}{42\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!22}{42\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{45\!\cdots\!92}{22\!\cdots\!69}a^{8}+\frac{25\!\cdots\!01}{22\!\cdots\!69}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!33}{22\!\cdots\!69}a^{6}-\frac{23\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!51}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!51}a^{3}-\frac{74\!\cdots\!70}{62\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!54}{62\!\cdots\!29}a+\frac{19\!\cdots\!64}{62\!\cdots\!29}$, $\frac{73\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!71}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!42}{15\!\cdots\!71}a^{25}-\frac{82\!\cdots\!27}{46\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{53\!\cdots\!80}{15\!\cdots\!71}a^{23}+\frac{39\!\cdots\!91}{15\!\cdots\!71}a^{22}-\frac{78\!\cdots\!32}{15\!\cdots\!71}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!28}{80\!\cdots\!09}a^{20}+\frac{33\!\cdots\!98}{80\!\cdots\!09}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!24}{24\!\cdots\!27}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!57}{80\!\cdots\!09}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!19}{80\!\cdots\!09}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!14}{24\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{29\!\cdots\!07}{80\!\cdots\!09}a^{14}-\frac{63\!\cdots\!02}{80\!\cdots\!09}a^{13}-\frac{29\!\cdots\!58}{80\!\cdots\!09}a^{12}+\frac{17\!\cdots\!01}{22\!\cdots\!69}a^{11}+\frac{97\!\cdots\!59}{42\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!59}{42\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!95}{22\!\cdots\!69}a^{8}+\frac{36\!\cdots\!42}{22\!\cdots\!69}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!51}a^{6}-\frac{35\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!51}a^{5}-\frac{34\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!51}a^{3}-\frac{36\!\cdots\!94}{62\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{69\!\cdots\!45}{62\!\cdots\!29}a-\frac{20\!\cdots\!59}{62\!\cdots\!29}$, $\frac{37\!\cdots\!54}{15\!\cdots\!71}a^{26}+\frac{95\!\cdots\!80}{15\!\cdots\!71}a^{25}+\frac{22\!\cdots\!16}{24\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{28\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!71}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!86}{80\!\cdots\!09}a^{22}+\frac{42\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!71}a^{21}+\frac{79\!\cdots\!25}{80\!\cdots\!09}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!10}{80\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!45}{24\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{42\!\cdots\!62}{42\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{89\!\cdots\!62}{80\!\cdots\!09}a^{16}-\frac{63\!\cdots\!05}{24\!\cdots\!27}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!01}{80\!\cdots\!09}a^{14}+\frac{34\!\cdots\!74}{80\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!51}{80\!\cdots\!09}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!05}{42\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{48\!\cdots\!79}{42\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!30}{42\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{85\!\cdots\!26}{22\!\cdots\!69}a^{8}-\frac{19\!\cdots\!19}{22\!\cdots\!69}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!70}{22\!\cdots\!69}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!51}a^{5}-\frac{23\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!51}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!51}a^{3}+\frac{26\!\cdots\!07}{62\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{65\!\cdots\!00}{62\!\cdots\!29}a-\frac{62\!\cdots\!75}{62\!\cdots\!29}$, $\frac{33\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!71}a^{26}+\frac{79\!\cdots\!22}{15\!\cdots\!71}a^{25}+\frac{37\!\cdots\!76}{46\!\cdots\!13}a^{24}-\frac{23\!\cdots\!28}{15\!\cdots\!71}a^{23}-\frac{17\!\cdots\!55}{15\!\cdots\!71}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!15}{46\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{70\!\cdots\!44}{80\!\cdots\!09}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!95}{80\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{91\!\cdots\!65}{24\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{66\!\cdots\!20}{80\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{80\!\cdots\!52}{80\!\cdots\!09}a^{16}-\frac{52\!\cdots\!70}{24\!\cdots\!27}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!09}{80\!\cdots\!09}a^{14}+\frac{28\!\cdots\!68}{80\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!12}{80\!\cdots\!09}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!71}{42\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{44\!\cdots\!14}{42\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{46\!\cdots\!14}{22\!\cdots\!69}a^{9}+\frac{43\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!51}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!27}{22\!\cdots\!69}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!10}{22\!\cdots\!69}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!51}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!51}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!51}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!46}{62\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{45\!\cdots\!23}{62\!\cdots\!29}a-\frac{99\!\cdots\!27}{62\!\cdots\!29}$, $\frac{24\!\cdots\!54}{15\!\cdots\!71}a^{26}+\frac{60\!\cdots\!10}{15\!\cdots\!71}a^{25}+\frac{27\!\cdots\!18}{46\!\cdots\!13}a^{24}-\frac{18\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!71}a^{23}-\frac{68\!\cdots\!17}{80\!\cdots\!09}a^{22}+\frac{79\!\cdots\!62}{46\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{51\!\cdots\!51}{80\!\cdots\!09}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!14}{80\!\cdots\!09}a^{19}-\frac{66\!\cdots\!57}{24\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{50\!\cdots\!76}{80\!\cdots\!09}a^{17}+\frac{58\!\cdots\!27}{80\!\cdots\!09}a^{16}-\frac{40\!\cdots\!25}{24\!\cdots\!27}a^{15}-\frac{95\!\cdots\!77}{80\!\cdots\!09}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!07}{80\!\cdots\!09}a^{13}+\frac{97\!\cdots\!38}{80\!\cdots\!09}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!45}{42\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{31\!\cdots\!88}{42\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{66\!\cdots\!72}{42\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{57\!\cdots\!18}{22\!\cdots\!69}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!51}{22\!\cdots\!69}a^{7}-\frac{87\!\cdots\!97}{22\!\cdots\!69}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!51}a^{5}+\frac{59\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!51}a^{4}-\frac{82\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!51}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!79}{62\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!29}{62\!\cdots\!29}a+\frac{28\!\cdots\!26}{62\!\cdots\!29}$, $\frac{68\!\cdots\!30}{12\!\cdots\!59}a^{26}+\frac{16\!\cdots\!08}{12\!\cdots\!59}a^{25}+\frac{76\!\cdots\!22}{38\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{49\!\cdots\!60}{12\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!75}{38\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{21\!\cdots\!19}{38\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!87}{67\!\cdots\!61}a^{20}-\frac{91\!\cdots\!05}{20\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!09}{20\!\cdots\!83}a^{18}+\frac{72\!\cdots\!08}{35\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{49\!\cdots\!47}{20\!\cdots\!83}a^{16}-\frac{36\!\cdots\!94}{67\!\cdots\!61}a^{15}-\frac{27\!\cdots\!88}{67\!\cdots\!61}a^{14}+\frac{58\!\cdots\!09}{67\!\cdots\!61}a^{13}+\frac{28\!\cdots\!80}{67\!\cdots\!61}a^{12}-\frac{30\!\cdots\!63}{35\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{91\!\cdots\!67}{35\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!96}{35\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{88\!\cdots\!76}{97\!\cdots\!79}a^{8}-\frac{33\!\cdots\!04}{18\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{27\!\cdots\!44}{18\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{33\!\cdots\!99}{97\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{40\!\cdots\!89}{97\!\cdots\!79}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!68}{51\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{31\!\cdots\!55}{51\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{75\!\cdots\!02}{51\!\cdots\!41}a+\frac{12\!\cdots\!53}{51\!\cdots\!41}$, $\frac{87\!\cdots\!35}{38\!\cdots\!77}a^{26}-\frac{41\!\cdots\!79}{38\!\cdots\!77}a^{25}-\frac{32\!\cdots\!21}{38\!\cdots\!77}a^{24}+\frac{46\!\cdots\!34}{12\!\cdots\!59}a^{23}+\frac{15\!\cdots\!51}{12\!\cdots\!59}a^{22}-\frac{67\!\cdots\!91}{12\!\cdots\!59}a^{21}-\frac{60\!\cdots\!22}{67\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{43\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!57}a^{19}+\frac{75\!\cdots\!13}{20\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!45}{67\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!31}{20\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!00}{67\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{98\!\cdots\!72}{67\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{53\!\cdots\!84}{67\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{93\!\cdots\!29}{67\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{28\!\cdots\!06}{35\!\cdots\!19}a^{11}+\frac{26\!\cdots\!86}{35\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!72}{35\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{37\!\cdots\!32}{18\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{34\!\cdots\!30}{18\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{54\!\cdots\!71}{18\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{33\!\cdots\!83}{97\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{86\!\cdots\!48}{97\!\cdots\!79}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!90}{51\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{50\!\cdots\!52}{51\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{65\!\cdots\!09}{51\!\cdots\!41}a-\frac{14\!\cdots\!11}{51\!\cdots\!41}$, $\frac{50\!\cdots\!70}{12\!\cdots\!59}a^{26}+\frac{86\!\cdots\!42}{12\!\cdots\!59}a^{25}-\frac{55\!\cdots\!99}{38\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!30}{38\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{79\!\cdots\!03}{38\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{32\!\cdots\!87}{67\!\cdots\!61}a^{21}-\frac{30\!\cdots\!31}{20\!\cdots\!83}a^{20}-\frac{70\!\cdots\!35}{20\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!83}a^{18}+\frac{31\!\cdots\!57}{20\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!02}{67\!\cdots\!61}a^{16}-\frac{29\!\cdots\!08}{67\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!48}{67\!\cdots\!61}a^{14}+\frac{56\!\cdots\!94}{67\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{97\!\cdots\!40}{35\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{35\!\cdots\!41}{35\!\cdots\!19}a^{11}+\frac{53\!\cdots\!71}{35\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{25\!\cdots\!25}{35\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{71\!\cdots\!43}{18\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{55\!\cdots\!86}{18\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{37\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{62\!\cdots\!55}{97\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{56\!\cdots\!40}{97\!\cdots\!79}a^{4}-\frac{57\!\cdots\!10}{97\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{36\!\cdots\!52}{51\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{81\!\cdots\!01}{51\!\cdots\!41}a+\frac{66\!\cdots\!04}{51\!\cdots\!41}$, $\frac{29\!\cdots\!62}{38\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{30\!\cdots\!12}{12\!\cdots\!59}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!16}{38\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{97\!\cdots\!67}{12\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!40}{38\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!60}{12\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{62\!\cdots\!10}{20\!\cdots\!83}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!07}{20\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!03}{20\!\cdots\!83}a^{18}+\frac{26\!\cdots\!30}{67\!\cdots\!61}a^{17}+\frac{19\!\cdots\!17}{55\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{70\!\cdots\!92}{67\!\cdots\!61}a^{15}-\frac{37\!\cdots\!37}{67\!\cdots\!61}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!33}{67\!\cdots\!61}a^{13}+\frac{37\!\cdots\!31}{67\!\cdots\!61}a^{12}-\frac{60\!\cdots\!36}{35\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{63\!\cdots\!72}{18\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{37\!\cdots\!72}{35\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{21\!\cdots\!10}{18\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{69\!\cdots\!56}{18\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{28\!\cdots\!29}{18\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{68\!\cdots\!52}{97\!\cdots\!79}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!11}{51\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{48\!\cdots\!99}{97\!\cdots\!79}a^{3}+\frac{78\!\cdots\!77}{51\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!18}{51\!\cdots\!41}a+\frac{29\!\cdots\!54}{51\!\cdots\!41}$, $\frac{70\!\cdots\!95}{12\!\cdots\!59}a^{26}-\frac{65\!\cdots\!25}{38\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{87\!\cdots\!02}{38\!\cdots\!77}a^{24}+\frac{24\!\cdots\!02}{38\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{44\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!59}a^{22}-\frac{35\!\cdots\!56}{38\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{60\!\cdots\!93}{20\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!58}{20\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!48}{67\!\cdots\!61}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!29}{67\!\cdots\!61}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!90}{20\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!81}{20\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{84\!\cdots\!65}{67\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{92\!\cdots\!33}{67\!\cdots\!61}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!25}{67\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{51\!\cdots\!70}{35\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{49\!\cdots\!03}{35\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{33\!\cdots\!90}{35\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!13}{18\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{64\!\cdots\!17}{18\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{39\!\cdots\!06}{18\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{61\!\cdots\!46}{97\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{35\!\cdots\!37}{97\!\cdots\!79}a^{4}+\frac{41\!\cdots\!13}{97\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!80}{51\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{33\!\cdots\!13}{51\!\cdots\!41}a-\frac{54\!\cdots\!63}{51\!\cdots\!41}$, $\frac{74\!\cdots\!33}{38\!\cdots\!77}a^{26}-\frac{18\!\cdots\!89}{38\!\cdots\!77}a^{25}-\frac{27\!\cdots\!52}{38\!\cdots\!77}a^{24}+\frac{56\!\cdots\!18}{38\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{39\!\cdots\!17}{38\!\cdots\!77}a^{22}-\frac{82\!\cdots\!86}{38\!\cdots\!77}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!91}{20\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{61\!\cdots\!67}{35\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{22\!\cdots\!47}{67\!\cdots\!61}a^{18}-\frac{52\!\cdots\!90}{67\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!51}{20\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{41\!\cdots\!08}{20\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{95\!\cdots\!46}{67\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!15}{35\!\cdots\!19}a^{13}-\frac{96\!\cdots\!27}{67\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!00}{35\!\cdots\!19}a^{11}+\frac{30\!\cdots\!91}{35\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{65\!\cdots\!28}{35\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{54\!\cdots\!89}{18\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!64}{18\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{79\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!55}{97\!\cdots\!79}a^{5}-\frac{59\!\cdots\!44}{97\!\cdots\!79}a^{4}+\frac{75\!\cdots\!58}{97\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!44}{51\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!71}{51\!\cdots\!41}a+\frac{75\!\cdots\!76}{51\!\cdots\!41}$, $\frac{91\!\cdots\!48}{12\!\cdots\!59}a^{26}-\frac{15\!\cdots\!58}{12\!\cdots\!59}a^{25}+\frac{54\!\cdots\!82}{20\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{22\!\cdots\!85}{38\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{50\!\cdots\!50}{12\!\cdots\!59}a^{22}-\frac{32\!\cdots\!53}{38\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{20\!\cdots\!95}{67\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!67}{20\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{50\!\cdots\!09}{20\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{75\!\cdots\!85}{20\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{45\!\cdots\!10}{67\!\cdots\!61}a^{15}-\frac{44\!\cdots\!97}{67\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{42\!\cdots\!19}{35\!\cdots\!19}a^{13}+\frac{50\!\cdots\!22}{67\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{47\!\cdots\!48}{35\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!08}{35\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{32\!\cdots\!90}{35\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{38\!\cdots\!38}{18\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{33\!\cdots\!74}{97\!\cdots\!79}a^{7}-\frac{87\!\cdots\!01}{18\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{62\!\cdots\!42}{97\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{54\!\cdots\!82}{97\!\cdots\!79}a^{4}+\frac{43\!\cdots\!33}{97\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!26}{51\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!66}{51\!\cdots\!41}a-\frac{26\!\cdots\!20}{51\!\cdots\!41}$, $\frac{72\!\cdots\!01}{12\!\cdots\!59}a^{26}-\frac{28\!\cdots\!13}{20\!\cdots\!83}a^{25}-\frac{26\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!59}a^{24}+\frac{53\!\cdots\!64}{12\!\cdots\!59}a^{23}+\frac{38\!\cdots\!45}{12\!\cdots\!59}a^{22}-\frac{23\!\cdots\!25}{38\!\cdots\!77}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!95}{67\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{99\!\cdots\!90}{20\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{19\!\cdots\!35}{20\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{44\!\cdots\!58}{20\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{51\!\cdots\!06}{20\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{39\!\cdots\!02}{67\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{28\!\cdots\!58}{67\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{63\!\cdots\!64}{67\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{28\!\cdots\!16}{67\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{32\!\cdots\!59}{35\!\cdots\!19}a^{11}+\frac{93\!\cdots\!84}{35\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!37}{35\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!61}{18\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{36\!\cdots\!27}{18\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!96}{18\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{35\!\cdots\!11}{97\!\cdots\!79}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!68}{97\!\cdots\!79}a^{4}+\frac{24\!\cdots\!49}{97\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{42\!\cdots\!47}{51\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{44\!\cdots\!88}{51\!\cdots\!41}a-\frac{40\!\cdots\!19}{51\!\cdots\!41}$, $\frac{11\!\cdots\!45}{12\!\cdots\!59}a^{26}+\frac{81\!\cdots\!94}{38\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!63}{38\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{24\!\cdots\!35}{38\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{17\!\cdots\!00}{38\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{35\!\cdots\!21}{38\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{23\!\cdots\!31}{67\!\cdots\!61}a^{20}-\frac{50\!\cdots\!39}{67\!\cdots\!61}a^{19}-\frac{30\!\cdots\!25}{20\!\cdots\!83}a^{18}+\frac{68\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{79\!\cdots\!61}{20\!\cdots\!83}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!08}{20\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{43\!\cdots\!93}{67\!\cdots\!61}a^{14}+\frac{96\!\cdots\!08}{67\!\cdots\!61}a^{13}+\frac{44\!\cdots\!89}{67\!\cdots\!61}a^{12}-\frac{50\!\cdots\!97}{35\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!61}{35\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!98}{35\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!47}{18\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{55\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{40\!\cdots\!16}{18\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{53\!\cdots\!01}{97\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{34\!\cdots\!13}{97\!\cdots\!79}a^{4}-\frac{37\!\cdots\!56}{97\!\cdots\!79}a^{3}+\frac{61\!\cdots\!08}{51\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{78\!\cdots\!77}{51\!\cdots\!41}a+\frac{16\!\cdots\!64}{51\!\cdots\!41}$, $\frac{25\!\cdots\!62}{38\!\cdots\!77}a^{26}-\frac{63\!\cdots\!46}{38\!\cdots\!77}a^{25}-\frac{96\!\cdots\!86}{38\!\cdots\!77}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!35}{38\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!43}{38\!\cdots\!77}a^{22}-\frac{27\!\cdots\!87}{38\!\cdots\!77}a^{21}-\frac{54\!\cdots\!03}{20\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!95}{20\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{23\!\cdots\!03}{20\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{52\!\cdots\!77}{20\!\cdots\!83}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!74}{67\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!37}{20\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{33\!\cdots\!83}{67\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{74\!\cdots\!41}{67\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{34\!\cdots\!34}{67\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{38\!\cdots\!56}{35\!\cdots\!19}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!06}{35\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{23\!\cdots\!22}{35\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!57}{18\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{43\!\cdots\!89}{18\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{32\!\cdots\!06}{18\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{41\!\cdots\!24}{97\!\cdots\!79}a^{5}-\frac{34\!\cdots\!81}{97\!\cdots\!79}a^{4}+\frac{29\!\cdots\!63}{97\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{44\!\cdots\!43}{51\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{74\!\cdots\!56}{51\!\cdots\!41}a-\frac{14\!\cdots\!82}{51\!\cdots\!41}$, $\frac{31\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!59}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!41}{38\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{35\!\cdots\!44}{38\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{31\!\cdots\!74}{38\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{51\!\cdots\!51}{38\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{47\!\cdots\!94}{38\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{20\!\cdots\!79}{20\!\cdots\!83}a^{20}-\frac{21\!\cdots\!67}{20\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{89\!\cdots\!84}{20\!\cdots\!83}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!90}{20\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{24\!\cdots\!97}{20\!\cdots\!83}a^{16}-\frac{26\!\cdots\!05}{20\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!58}{67\!\cdots\!61}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!13}{67\!\cdots\!61}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!96}{67\!\cdots\!61}a^{12}-\frac{69\!\cdots\!50}{35\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{53\!\cdots\!93}{35\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{39\!\cdots\!87}{35\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!90}{18\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{74\!\cdots\!33}{18\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!54}{18\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{82\!\cdots\!66}{97\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!74}{97\!\cdots\!79}a^{4}-\frac{84\!\cdots\!99}{97\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{27\!\cdots\!83}{51\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!75}{51\!\cdots\!41}a+\frac{40\!\cdots\!44}{51\!\cdots\!41}$, $\frac{12\!\cdots\!55}{20\!\cdots\!83}a^{26}-\frac{95\!\cdots\!89}{38\!\cdots\!77}a^{25}-\frac{89\!\cdots\!37}{38\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{27\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!59}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!30}{38\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{78\!\cdots\!98}{38\!\cdots\!77}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!36}{67\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{38\!\cdots\!63}{20\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{22\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!55}{67\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{59\!\cdots\!84}{20\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!26}{67\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{33\!\cdots\!42}{67\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{37\!\cdots\!13}{67\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{34\!\cdots\!16}{67\!\cdots\!61}a^{12}-\frac{25\!\cdots\!54}{35\!\cdots\!19}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!75}{35\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{32\!\cdots\!88}{35\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!36}{97\!\cdots\!79}a^{8}-\frac{84\!\cdots\!88}{18\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!27}{18\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!73}{97\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!48}{97\!\cdots\!79}a^{4}-\frac{84\!\cdots\!01}{51\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{71\!\cdots\!96}{51\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{55\!\cdots\!69}{51\!\cdots\!41}a+\frac{38\!\cdots\!67}{51\!\cdots\!41}$, $\frac{23\!\cdots\!32}{38\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{57\!\cdots\!20}{38\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{28\!\cdots\!95}{12\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{17\!\cdots\!27}{38\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{12\!\cdots\!53}{38\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{25\!\cdots\!68}{38\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{48\!\cdots\!33}{20\!\cdots\!83}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!95}{20\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!83}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!77}{67\!\cdots\!61}a^{17}+\frac{55\!\cdots\!36}{20\!\cdots\!83}a^{16}-\frac{42\!\cdots\!55}{67\!\cdots\!61}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!50}{67\!\cdots\!61}a^{14}+\frac{67\!\cdots\!05}{67\!\cdots\!61}a^{13}+\frac{30\!\cdots\!15}{67\!\cdots\!61}a^{12}-\frac{35\!\cdots\!92}{35\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{99\!\cdots\!77}{35\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{20\!\cdots\!24}{35\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!24}{18\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{38\!\cdots\!32}{18\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{27\!\cdots\!36}{18\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{37\!\cdots\!43}{97\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{98\!\cdots\!40}{51\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{25\!\cdots\!74}{97\!\cdots\!79}a^{3}+\frac{41\!\cdots\!34}{51\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{53\!\cdots\!82}{51\!\cdots\!41}a+\frac{11\!\cdots\!11}{51\!\cdots\!41}$, $\frac{26\!\cdots\!88}{67\!\cdots\!61}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!59}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!22}{12\!\cdots\!59}a^{24}-\frac{36\!\cdots\!22}{12\!\cdots\!59}a^{23}-\frac{27\!\cdots\!77}{12\!\cdots\!59}a^{22}+\frac{53\!\cdots\!96}{12\!\cdots\!59}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!28}{67\!\cdots\!61}a^{20}-\frac{67\!\cdots\!97}{20\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!83}a^{18}+\frac{30\!\cdots\!78}{20\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{64\!\cdots\!90}{35\!\cdots\!19}a^{16}-\frac{80\!\cdots\!97}{20\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!48}{35\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!49}{35\!\cdots\!19}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!04}{67\!\cdots\!61}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!15}{35\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{68\!\cdots\!75}{35\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{37\!\cdots\!37}{97\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!41}{18\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{24\!\cdots\!94}{18\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!07}{18\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!01}{51\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{17\!\cdots\!49}{51\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{17\!\cdots\!63}{97\!\cdots\!79}a^{3}+\frac{22\!\cdots\!39}{51\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{60\!\cdots\!75}{51\!\cdots\!41}a+\frac{12\!\cdots\!31}{51\!\cdots\!41}$, $\frac{10\!\cdots\!19}{12\!\cdots\!59}a^{26}-\frac{41\!\cdots\!14}{38\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{41\!\cdots\!95}{12\!\cdots\!59}a^{24}+\frac{21\!\cdots\!74}{38\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{60\!\cdots\!37}{12\!\cdots\!59}a^{22}-\frac{29\!\cdots\!98}{38\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{25\!\cdots\!23}{67\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!24}{20\!\cdots\!83}a^{19}-\frac{35\!\cdots\!16}{20\!\cdots\!83}a^{18}-\frac{43\!\cdots\!74}{20\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!59}{20\!\cdots\!83}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!54}{20\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{64\!\cdots\!47}{67\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{63\!\cdots\!40}{67\!\cdots\!61}a^{13}+\frac{79\!\cdots\!67}{67\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{35\!\cdots\!85}{35\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{32\!\cdots\!42}{35\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!40}{35\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{83\!\cdots\!26}{18\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{39\!\cdots\!32}{18\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!95}{18\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!28}{97\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!32}{97\!\cdots\!79}a^{4}-\frac{29\!\cdots\!88}{97\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{66\!\cdots\!51}{51\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{24\!\cdots\!03}{51\!\cdots\!41}a+\frac{22\!\cdots\!69}{51\!\cdots\!41}$, $\frac{26\!\cdots\!23}{12\!\cdots\!59}a^{26}+\frac{19\!\cdots\!29}{38\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{29\!\cdots\!35}{38\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{59\!\cdots\!92}{38\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{42\!\cdots\!53}{38\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{86\!\cdots\!81}{38\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{55\!\cdots\!78}{67\!\cdots\!61}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!00}{67\!\cdots\!61}a^{19}-\frac{72\!\cdots\!81}{20\!\cdots\!83}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!32}{20\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!14}{20\!\cdots\!83}a^{16}-\frac{43\!\cdots\!05}{20\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!12}{67\!\cdots\!61}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!17}{67\!\cdots\!61}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!84}{67\!\cdots\!61}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!06}{35\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{34\!\cdots\!18}{35\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{73\!\cdots\!96}{35\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{62\!\cdots\!11}{18\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!71}{18\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{95\!\cdots\!30}{18\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!67}{97\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{72\!\cdots\!98}{97\!\cdots\!79}a^{4}-\frac{48\!\cdots\!32}{51\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!74}{51\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!81}{51\!\cdots\!41}a+\frac{36\!\cdots\!46}{51\!\cdots\!41}$, $\frac{50\!\cdots\!01}{38\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{41\!\cdots\!52}{12\!\cdots\!59}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!43}{38\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{37\!\cdots\!87}{38\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{26\!\cdots\!24}{38\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{54\!\cdots\!04}{38\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{55\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!57}a^{20}-\frac{76\!\cdots\!25}{67\!\cdots\!61}a^{19}-\frac{45\!\cdots\!61}{20\!\cdots\!83}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!81}{20\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!68}{20\!\cdots\!83}a^{16}-\frac{27\!\cdots\!73}{20\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{65\!\cdots\!14}{67\!\cdots\!61}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!63}{67\!\cdots\!61}a^{13}+\frac{67\!\cdots\!41}{67\!\cdots\!61}a^{12}-\frac{75\!\cdots\!02}{35\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!87}{35\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{45\!\cdots\!91}{35\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{39\!\cdots\!53}{18\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{84\!\cdots\!65}{18\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{60\!\cdots\!23}{18\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{81\!\cdots\!27}{97\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{47\!\cdots\!36}{97\!\cdots\!79}a^{4}-\frac{29\!\cdots\!49}{51\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{93\!\cdots\!46}{51\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!01}{51\!\cdots\!41}a+\frac{20\!\cdots\!88}{51\!\cdots\!41}$, $\frac{92\!\cdots\!67}{38\!\cdots\!77}a^{26}-\frac{71\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!59}a^{25}-\frac{34\!\cdots\!79}{38\!\cdots\!77}a^{24}+\frac{62\!\cdots\!06}{38\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{16\!\cdots\!44}{12\!\cdots\!59}a^{22}-\frac{30\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!59}a^{21}-\frac{19\!\cdots\!74}{20\!\cdots\!83}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!26}{67\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{28\!\cdots\!26}{67\!\cdots\!61}a^{18}-\frac{58\!\cdots\!49}{67\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!74}{67\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!98}{67\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{24\!\cdots\!59}{67\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!99}{67\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!56}{35\!\cdots\!19}a^{11}+\frac{41\!\cdots\!99}{35\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{76\!\cdots\!97}{35\!\cdots\!19}a^{9}-\frac{76\!\cdots\!85}{18\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{74\!\cdots\!96}{97\!\cdots\!79}a^{7}+\frac{66\!\cdots\!94}{97\!\cdots\!79}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!81}{97\!\cdots\!79}a^{5}-\frac{21\!\cdots\!99}{97\!\cdots\!79}a^{4}+\frac{96\!\cdots\!46}{97\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!33}{51\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{26\!\cdots\!78}{51\!\cdots\!41}a-\frac{10\!\cdots\!80}{51\!\cdots\!41}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 44379744372833940000000 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 44379744372833940000000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{138518475817966243726955928755744937608694859226091439662129969}}\cr\approx \mathstrut & 0.253052616143063 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_3^7.C_3\wr C_3$ (as 27T1459):

A solvable group of order 177147

The 251 conjugacy class representatives for $C_3^7.C_3\wr C_3$

Character table for $C_3^7.C_3\wr C_3$

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{9})^+\), 9.9.139858796529.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Sibling fields

Degree 27 siblings:	data not computed
Minimal sibling:	27.27.8156031539646242110766745600690995639746738537518609.3

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	$27$	R	$27$	${\href{/padicField/7.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/padicField/7.3.0.1}{3} }^{6}$	${\href{/padicField/11.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{3}$	$27$	${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/17.3.0.1}{3} }^{3}$	R	$27$	$27$	${\href{/padicField/31.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{3}$	${\href{/padicField/37.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }^{3}$	$27$	$27$	$27$	${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/53.3.0.1}{3} }^{3}$	$27$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(3\)		Deg $27$	$27$	$1$	$82$
\(19\)	19.3.0.1	$x^{3} + 4 x + 17$	$1$	$3$	$0$	$C_3$	$[\ ]^{3}$
	19.3.2.2	$x^{3} + 19$	$3$	$1$	$2$	$C_3$	$[\ ]_{3}$
	19.3.2.1	$x^{3} + 76$	$3$	$1$	$2$	$C_3$	$[\ ]_{3}$
	19.9.8.2	$x^{9} + 57$	$9$	$1$	$8$	$C_9$	$[\ ]_{9}$
	19.9.6.3	$x^{9} - 152 x^{6} + 5776 x^{3} + 1982251$	$3$	$3$	$6$	$C_9$	$[\ ]_{3}^{3}$